UMA IMPLEMENTAÇÃO DO ALGORITMO AFIM-ESCALA PRIMAL COM MÉTRICA VARIÁVEL PARA PROGRAMAÇÃO CONVEXA E ANÁLISE DE RESULTADOS PARA PROGRAMAÇÃO LINEAR

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1 pesquisa Opeacioal e os Recusos Reováveis 4 a 7 de ovembo de 23, Natal-RN UM IMPLEMENÇÃO DO LGORIMO FIM-ESCL PRIML COM MÉRIC VRIÁVEL PR PROGRMÇÃO CONVEX E NÁLISE DE RESULDOS PR PROGRMÇÃO LINER Facisco Gêvae Muiz Cuha Ceto Fedeal de Educação ecológica do Ceaá, CEFE-CE, Fotaleza, CE, Basil. Egehaia de Sistemas e Computação, COPPE-UFRJ, Rio de Jaeio, RJ, Basil. gevae@cos.uf.b Paulo Robeto Oliveia Egehaia de Sistemas e Computação, COPPE-UFRJ, Rio de Jaeio, RJ, Basil. polivei@cos.uf.b Resumo Em [3], os algoitmos pimais fim-escala de Dii e Poetivo de Kamaa foam estudados e geealizados em um coteto de espaços Riemaiaos. Em [16], a motivação das dieções geadas estas estutuas leva a uma classe de algoitmos pimais de potos iteioes paa pogamação covea do tipo fim Potecial. Neste tabalho apesetamos esultados computacioais paa a classe de algoitmos estabelecida em [16] paa o caso de Pogamação Liea e fazemos uma aálise do compotameto com elação ao paâmeto. Palavas Chaves: Métodos de Potos Iteioes, Métodos fim-escala, Pogamação Liea, Pogamação Covea. bstact I [3], the pimal algoithms ffie-scalig of Dii ad Poective of Kamaa wee studied e geealized i cotet of Riemaia Spaces. I [16], the motivatio of diectios poduced i these stuctues give oe class of iteio poit pimal algoithms to cove pogammig of the type ffie Potetial. I these wo we peset computatioal esults fo the class established i [16] fo Liea Pogammig case e we mae oe aalyze of behavio i paamete. Key Wods: Iteio Poit Methods, ffie-scalig Methods, Liea Pogammig, Cove Pogammig. Itodução Em 1984 Kamaa [9] publicou um algoitmo que em cetos casos ea mais eficiete que o lgoitmo Simple. pati daí floesceam os métodos de potos iteioes. pati de 1985, váios matemáticos passaam a tabalha com o lgoitmo de Kamaa, de modo a simplificá-lo. Como futo desses tabalhos sugiu o lgoitmo fim Escala. Mais tade descobiu-se que esse algoitmo á eistia desde 1967, publicado po Dii [4] a Uião Soviética. Devido sua impotâcia teóica e pática váios atigos estudado sua covegêcia global e local paa pogamação liea e sua associação com taetóias cotíuas têm sido publicados, dete eles [14]. Destacamos os algoitmos paa pogamação covea popostos po Gozaga [7] e po

2 Eggemot [5], cua a covegêcia foi estudada po Iussem [8]. família de lgoitmos fim-escala Potecial poposta po [16] geealiza esses algoitmos, o setido que as dieções popostas po Gozaga e po Eggemot são casos paticulaes da dieção poposta em [16], paa valoes paticulaes do paâmeto paa 2 e 1, espectivamete. Neste tabalho apesetamos uma implemetação da família de algoitmos pimais do tipo fim-escala Potecial poposto po [16] paa o poblema de pogamação covea ão-degeeado ode: é veto do classe C 1. R, b é veto do (P miimiza sueito a f( b m R, é uma matiz m de posto m e f é uma fução covea de O couto P{ R ; b e } é deomiado couto viável e o couto P { P; >} é deomiado couto estitamete viável. Vamos cosidea P, como sedo uma subvaiedade de ( iduzida. R + +, X com mética O espaço tagete a P é paa todo que deotaemos po P. X P {d ε R ; d} poeção em P segudo a mética G( X é dada po P( I - X -1 (X O veto paa os quais: lgoitmo fim-escala Pimal (PS Se f é covea, as codições de otimalidade paa (P são estabelecidas como segue: R é uma solução de (P se, e somete se, eistem vetoes y ( i Das codições acima coclui-se que: s,s + i s f( b, i 1,..., y m R e s R y ( s( X s (X f( 1 X y( f( 2182

3 ssim, itoduzimos impotates fuções em P que são usadas a descição e a aálise do algoitmo fim Escala. ode X diag(. y( s( d( (X f( X 1 X f( y( ( P( s( P(X f( f( Estamos, agoa, em posição de desceve o algoitmo fim Escala Pimal. lgoitmo fim Escala: iicialização: Dados P, β > e < δ < 1 paa, 1, 2,... y s d t y( s( d( ag mi f ( δ α β + µ t [, α ] µ µ ( t d td fim (paa. Resultados de covegêcia desta família de algoitmos foam obtidos em [16], mas ão foam obtidos aida esultados de compleidade. Citéio de Paada Nos epeimetos computacioais ealizados este estudo, o lgoitmo PS temia quado a melhoia elativa a fução obetivo é pequeo, isto é, c c { c } < ε 1 1 ma 1, ode ε é a toleâcia positiva pequea dada. Usamos ε 1 8 como idicado a liteatua[1] ou valoes aida mais cosevadoes de ε o caso dos poblemas com fução obetivo liea. 2183

4 Resultados obtidos Implemetamos a família de algoitmos poposta aplicada a algus eemplos de pequeo pote obtidos da liteatua o ambiete Mathematica vesão 4. da Wolfam Reseach com o obetivo de obseva o compotameto com elação ao paâmeto e compaa com os algoitmos clássicos quado 1 ou 2. Em todos os eemplo obsevamos que paa valoes itemediáios ete 1 e 2 do paâmeto, a família de algoitmos poposta apeseta desempeho bem supeio aos algoitmos clássicos paa os poblemas 2, 3, 4 e 5. abelas e gáficos compaado esses esultados são foecidas. segui foecemos os poblemas paa os quais eecutamos a família de algoitmos. Poblema 1: (Poblema de Klee - Mity [2, 11] Maimize Sueito a 1 1 i 1 i + i i ( i 1, 2,..., 1 ( 1, 2,..., que colocado a foma padão (P fica: Miimize Sueito a Z 1 1 i 1 i 2 + i + i i ( i 1, 2,..., 1, ( 1, 2,..., + Paa este poblema o método Simple leva 2 1 iteações, equato o método que implemetamos leva bem meos iteações paa os melhoes valoes de, picipalmete quado cesce. solução 1 ótima ocoe paa 1, i 1 1, com i 1, 2,..., e + i, 1 Z 1 cofome obsevamos em ossos epeimetos. Poblema 2: [15] Miimize Z Sueito a ( 1, 2,...,6 Cofome obsevamos dos epeimetos este poblema tem solução ótima com 6, 2, e Z

5 Poblema 3: [17] Miimize Z Sueito a ( 1, 2,...,6 Este poblema tem solução ótima com ,,, e Z Poblema 4: [13] Miimize Z Sueito a , 2 1, 3 1, 4 5, 5 que colocado a foma padão (P fica: Miimize Z Sueito a ( 1, 2,...,1 Este poblema tem solução ótima com 7, 1, 1, 3,,, 9,, 2, 3 e Z Poblema 5: [2] Maimize Sueito a i, 33 i

6 ( ( ( , , 13 5, 21, , 23 13, 31, 32 39, 33 17, 1598, 51 45, , 41 que colocado a foma padão (P fica: 3. Miimize Sueito a Z y y y y4 + i y ( + + y y ( ( y8 i, y y y y y y y y y 61, i, yi, y Este poblema tem solução ótima com vaiáveis oigiais iguais a: , 13 5, 23 13, 41 14, , 3287 e demais vaiáveis ulas. Este é um poblema elativo a um estudo de caso em floesta ecotado a efeêcia [2] págia171. abelas e gáficos compaativos s tabelas 1 e 2 a segui visam foece uma aálise do compotameto da família de algoitmos implemetada segudo o paâmeto e compaá-la com os algoitmos clássicos eistetes quado 1 ou 2. s tabelas 3 e 4 apesetam as soluções ecotadas. 2186

7 abela 1: iteações paa istâcias do Poblema 1 com 3, 4,..., 1 e ε abela 2: iteações paa os Poblema 2, 3, 4 e 5 paa valoes vaiados de ε. Pob. ε Obsevamos que se aumetamos gadativamete a toleâcia ε, etão o aumeto o úmeo de iteações paa o método clássico quado 2 é muito mais acetuado que paa valoes itemediáios de ete 1 e2. ssim a família de algoitmos poposta em [16] paa estes valoes itemediáios de paece bem mais eficiete que o algoitmo clássico quado 2. abela 3: Solução ecotada paa os Poblema 2, 3, 4 e 5. Pob ε Z gap

8 abela 4: Solução ecotada paa as istâcias do Poblema 1 com 3, 4,..., 1. ε Z s soluções apesetadas são paa o valo itemediáio quado 1.5. Obsevamos que com a toleâcia adotada as soluções obtidas os epeimetos computacioais são idêticas as soluções eatas cohecidas. 2188

9 Gáficos Os gáficos a segui ilustam o compotameto do úmeo de iteações em elação ao paâmeto paa algus dos epeimetos ealizados. Poblema 1 com 3 e ε 1 12 Poblema 2 com ε 1 8 Poblema 3 com ε 1 8 Poblema 4 com ε 1 8 Poblema 5 com ε 1 8 Coclusões Dos epeimetos computacioais ealizados veificamos a família de algoitmos de potos iteioes poposta em [16], apeseta paa valoes itemediáios de ete 1 e 2 um desempeho supeio aos algoitmos clássicos quado 1 ou 2. Em epeimetos futuos petedemos aalisa o compotameto paa o caso em que f é uma fução covea ão liea. 2189

10 Refeêcias [1] dle, I., Kamaa, N., Resede, M. G. C. ad Veiga, G. Implemetatio of Kamaa s lgoithm fo Liea Pogammig, Mathematical Pogammig, Vol. 44, pp , [2] Chvátal, V. Liea Pogammig, W. H. Feema ad Compay, [3] Cuz Neto, J. X., Lima, L. L., Oliveia, P. R. - Geodesic lgoithm i Riemaia Maifold, Bala Joual of Geomety ad pplicatios, Vol. 3, 2 pp. 89-1, [4] Dii, I. I. Iteative Solutio of Poblems of Liea ad Quadatic Pogammig, Soviet Mathematics Dolady, 8, pp , [5] Eggemot, P. P. B. Multiplicative Iteative lgoithms fo Cove Pogam, Liea lgebe pplicatios, 13, pp , 199. [6] Gabay, D. - Miimizig a Diffeetiable Fuctio ove a Diffeetiable Maifold, Joual of Optimizatio heoy ad pplicatios, Vol. 37, pp , [7] Gozaga, C. C., Calos, L.. Pimal ffie-scalig lgoithms fo Liealy Costaied Cove Pogams, ech. Repot ES 23/9, COPPE/UFRJ, 21941, Rio de Jaeio, 199. [8] Iussem,. N. Iteio Poit Multiplicative Methods fo Optimizatio Ude Positivity Costaits, cta Mathematicae, 38, pp , [9] Kamaa, N. New Polyomial-ime lgoithm fo Liea Pogammig, Combiatoica, 4, pp , [1] Kamaa, N. - Riemaia Geomety Udelyig Iteio-Poit Methods fo Liea Pogammig, Cotempoay Mathematics, Vol. 114, pp , 199. [11] Klee, V. ad Mity G. J. How good is the simple algoithm? i Iequalities-III, O. Shisha, ed. New Yo: cademic Pess, , [12] Luebege, D. G. - he Gadiet Poectio Method alog Geodesics, Maagemet Sciece, Vol. 18,11 pp , [13] Luebege, D. G. Itodutio to Liea ad Noliea Pogammig, ddiso-wesley Publishig Compay Ic., [14] Moteio, R. D. C., suchiya,. ad Wag, Y. Simplified Global Covegece Poof of the ffie-scalig lgoithm, als of Opeatios Reseach, Vol. 47, pp , [15] Muty, K. G. Liea ad Combiatoial Pogammig, Joh Willey & Sos Ic., [16] Pito,. W. M. - Sobe betua e Desidade de Politopos Não-Degeeados e uma Família de lgoitmos Pimais de Potos Iteioes paa Pogamação Covea, ese de Doutoado - Pogama de Egehaia de Sistemas e Computação, COPPE/UFRJ, Rio de Jaeio, 2. [17] Puccii,. L., Pizzolato, N. D. Pogamação Liea 2a. Edição, Ed. Livos écicos e Cietíficos, Rio de Jaeio,