Sobre a Dedução da Equação da Onda e da Solução segundo a Fórmula de Kirchhoff

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1 ais do CNMC v ISSN 984-8X Sobe a Dedução da Equação da Oda e da Solução segudo a Fómula de Kichhoff Robeto Toscao Couto Uivesidade Fedeal Flumiese Dep Matemática plicada 4-4, Campus do Valoguiho, Ceto, Niteói, RJ toscao@imuffb Resumo: Tata-se de ovas deduções da equação da oda bem como da fómula de Kichhoff paa a sua solução em meios sem foteias Os métodos apesetados são susceptíveis de seem úteis ão apeas o desevolvimeto da teoia odulatóia ) Itodução Este tabalho cotibui de duas maeias o estudo do feômeo odulatóio, apesetado deduções oigiais da equação da oda e da solução segudo a fómula de Kichhoff Paa epo o método de obteção da equação da oda, cosideamos um poblema bidimesioal: a membaa vibate cotibuição eside o fato de a dedução ão se basea em um sistema de coodeadas paticula Isso cotasta com as deduções ecotadas a liteatua (eg, efeêcias [] e [3]), que pivilegiam as coodeadas catesiaas Vatages do método apesetado são a sua simplicidade e o isight popocioado Quato à fómula de Kichhoff, sabemos que ela foece a solução da equação da oda em meios sem foteias (todo o ) Uma demostação costutiva da mesma, etetato, é dificilmete ecotada a liteatua No, a pática otieia cosiste em eucia a fómula e 3 etão veifica que ela de fato foece a solução (eg, efeêcias [8, Eq (5,)], [, Sec 9, Eq (3)] e [, p 86, lema 53]) Já a fómula válida o é sempe obtida pelo método idealiado po Hadamad, descedo-se uma dimesão a pati do caso tidimesioal (eg, efeêcias [4], [8, Eq (3,)], [, Sec 9, Eq (9)] e [, p 89]) Pois bem, este tabalho, esolvedo a equação da oda em duas e tês dimesões, deduimos a fómula de Kichhoff Seção cotém a dedução da equação da membaa Seção 3 apeseta a dedução da fómula de Kichhoff Seção 4 acesce cometáios fiais, eceado a eposição ) membaa vibate Cosidee uma membaa de foma abitáia, que, quado estática, apeseta-se totalmete cotida o plao (hoiotal) e esticada igualmete em todos os seus potos e em todas as dieções Essa hipótese de esticameto uifome e isotópico pode se etedida como segue: s B Figua mosta essa membaa com um pequeo cote B etilíeo e de compimeto s, ão F ecessaiamete ifiitesimal Mostamos as foças oiudas do esticameto que agem os potos ao logo de uma das mages do cote, as quais, po Figua causa daquelas foças, tedem a se sepaa mais e mais uifomidade do esticameto implica que F / s T = costate em qualque local da membaa ode se efetue um cote paalelo Já a sua isotopia sigifica que, um mesmo local, a tesão po uidade de compimeto T é costate em cotes de todas as dieções (Na ausêcia de uifomidade e isotopia, é ecessáio cosidea um cote ifiitesimal e o veto ds ao logo do mesmo; esse caso, T depede do poto da membaa e da dieção de ds ) Obseve que Tds é a foça com que a magem do cote é puada tasvesalmete 445

2 Outas hipóteses são admitidas: () a foma da membaa pode se descita po uma fução (,, t ) que foece, o istate t, a defleão, em elação ao plao, do poto da membaa de abscissa e odeada ; () ela uca se iclia apeciavelmete (hipótese de pequeas icliações): o módulo do âgulo de icliação θ de qualque eta tagete em qualque dos potos da membaa é suficietemete pequeo paa que seja válida a apoimação cosθ (e seθ taθ, potato); (3) as vibações são veticais Essas são hipóteses de estição ciemática (uma limitação o movimeto da membaa) dmite-se também que a membaa: () seja homogêea, com desidade supeficial ρ = dm / ds costate; () só possa sofe a atuação de foças eteas que sejam veticais, sedo f ( t,, ) = f( t,, ) e a gadea que foece essas foças po uidade de áea da memba- a [po eemplo, f = ( dm g) / ds = ρ g se só a gavidade atua] Essas são hipóteses de estição diâmica Pelimiamete, paa maio claea dos agumetos adotados a dedução a segui, lembemo-os da defiição da deivada da fução (,,) t = (,) t a dieção do veto uitáio u do plao bem como a sua epessão que evolve o, válida se fo difeeciável (o que se admite): ( + hu) (, t) ( t, ) lim = u t (, ) u h h Em paticula, se u fo um dos vesoes catesiaos, a deivada diecioal seá ada mais do que a deivada pacial: / e = /, / e = / Esse fato ajuda o etedimeto de outo aspecto da deivada diecioal Sabemos que [ / ](,, t) é o coeficiete agula (a tagete do âgulo de icliação) da eta tagete à cuva de iteseção do gáfico ( ) da fução t (,, ) com o plao que é paalelo ao plao coodeado e passa pelo poto (, ) do plao (v Figua a, a qual τ é a eta tagete) alogamete, [ / u ](, t) é o coeficiete agula da eta tagete à cuva de iteseção do mesmo gáfico com o plao vetical paalelo a u e passado pelo poto do plao (v Figua b) (, t ) = taθ τ θ (, t ) = taφ u τ φ (, t) e gáfico de (,, t) (, t) u Figua a Figua b Uma deivada diecioal paticula é a chamada deivada omal Ela é a deivada ao logo do veto uitáio omal eteio, gealmete deotada a liteatua po / em ve de / Quado a fução (, t) = (,, t) desceve uma membaa, é comum calcula / em potos da cuva C de pojeção o plao da boda Λ da membaa (feqüetemete ( ) Tal gáfico pode caacteia a foma de uma membaa o espaço 446

3 Λ = C, ie, a boda da membaa ecota-se fia o plao ) Nesse caso, os vetoes uitáios omais eteioes são vetoes do plao omais a C, como os idicados a Figua 3, os potos e deivada [ / ](, t) pode se itepetada como o coeficiete agula de uma eta tagete à membaa, como vimos acima, ou como a taa de vaiação de (, t), o poto = do domíio espacial dessa fução, a dieção de ( ) Γ Σ ds Tds φ Tdsseφ C Figua 3 ( ) ( ) O seφ ta φ = ( t, ) K ds = (,,) Figua 4 Bem, podemos agoa, em poucos passos, dedui a equação que desceve o movimeto da membaa Paa isso, cosidee uma poção fiita qualque da membaa, Σ, cuja magem é a cuva Γ (como a Figua 4) Deotemos as pojeções de Σ e de sua magem Γ o plao po e K, espectivamete Seja = (,, ) o veto uitáio omal eteio essa foteia K de Cofome já se mecioou, sobe um segmeto ds de Γ, atua uma tesão magial de módulo Tds que é diecioada paa o eteio de Σ e pepedicula à magem Γ Isso, em cojução com a hipótese de pequeas icliações, pemite coclui que o compoete vetical dessa tesão é igual a Tds[ / ] (v Figua 4) Logo, aplicado em Σ a a lei de Newto a vetical, isto é, igualado o somatóio das foças veticais sobe Σ à massa M dessa poção de membaa multiplicada pela aceleação do seu ceto de massa, cm, obtemos d cm fds+ Tdsseφ = M (φ como a figua acima) () dt Σ Γ Mas, pela hipótese de pequeas icliações, temos que f ds f d () Σ e, cofome eplicado o paágafo ateio (e idicado a figua), que (#) Tdsseφ Tds = T ds = T d = T d, (3) Γ K K ode, a passagem (#), usamos o teoema de Gauss o plao Po outo lado, temos que ( ) ( ) M Σ Σ cm = = ρ ρ = ρ d d d d M M dm ds d d (4) dt dt dt dt t Logo, substituido (), (3) e (4) em (), obtemos ( f T ρ ) d + t =, 447

4 equação que, po se a poção Σ abitáia (e também a sua pojeção ), só pode se satisfeita se o itegado aula-se ideticamete, o que os leva à equação da membaa: t (, ) = f( t, ) c T/ ρ c t T 3) fómula de Kichhoff Mostaemos que a solução da equação da oda v v( t, ) v = ( t > ), (5) c t sob as codições iiciais v (,) = (6) e v (,) = p( ), (7) t em todo o plao ou todo o espaço (isto é,, com = ou 3) é dada pela fómula de Kichhoff : v d p( ) ( t, ) = c se =, (8) ct < ct em que a egião de itegação é a fomada pelos potos tais que < ct, ou seja, o disco de aio ct e ceto em, sedo d o elemeto de áea desse disco, ou v ( t, ) = ds p ( ) se = 3, (9) 4 ct = ct em que a egião de itegação é a fomada pelos potos tais que = ct, ou seja, a supefície esféica de aio ct e ceto em, sedo ds o elemeto de áea dessa supefície Covém fae uma obsevação É fácil veifica que a solução de w ( t, ) = sob as codições iiciais w (,) = p( ) e [ t]( w/,) = (com e t > ) é dada po w( t, ) = [ v/ t]( t, ), ode v ( t, ) é a solução do poblema defiido po (5), (6) e (7) ssim, a fómula de Kichhoff é suficiete paa obte-se a solução da equação da oda em meios sem foteia mesmo sob codições iiciais que são ambas ão-homogêeas, bastado ecoe-se ao picípio da supeposição (cf [8, Eq (4,)] e [, p 86, lema 5]) Paa demosta a fómula de Kichhoff, dada po (8) ou (9) cofome o poblema seja bi ou tidimesioal, devemos esolve o poblema de valo iicial fomado pelas equações (5), (6) e (7), o que faemos po meio da tasfomada de Fouie ( t, ) ( ) de i F v = v( t, ) v( t, ) () { } / plicado-a a Eq (5) e esolvedo a EDO esultate, obtemos d d ( v v v, t) c = + ( c) v(, t) = v (, t) = C cosct + Csect () dt dt Paa detemia as costates de itegação C e C, tomamos a tasfomada de Fouie das codições iiciais em (6) e (7), obtedo dv v (,) = e (,) = F { p( ) } p( ) dt 448

5 Eigido que () satisfaça essas equações, detemiamos v ( t, ) completamete: v (,) = C = sect dv p( ) v ( t, ) = p ( ) (,) = cc = p( ) C c = dt c solução desejada é a tasfomada de Fouie ivesa desse esultado, que pode se calculada usado o teoema da covolução: sect c c c / v ( t, ) = F p ( ) = p ( ) Gt (, ) = ( ) d p ( ) G (, t), (3) ode ct ct se ct / se ct / d i i i i e e Gt (, ) F = ( ) d e = ( ) e com / + ( ) = i [ I ( ) I ( ) ] i (), (4) ± ct e e I± ( ) i i d (5) Neste poto, devemos possegui cosideado sepaadamete os casos bi e tidimesioal Caso tidimesioal ( = 3): Paa efetua a itegal em (5), tipla o espaço de, escevemos 3 o elemeto de volume desse espaço em coodeadas esféicas, d = 3 seθ ddθdϕ (em ve das coodeadas catesiaas, d= d d d ), com o cuidado de coicidi a dieção do eio com a do veto, como mosta a Figua 5 Desse jeito, o âgulo ete e passa a se a vaiável de itegação θ e, potato, = cosθ, o que simplifica cosideavelmete as itegações em θ e ϕ : 3 i ± ict ± ict i cosθ 3 e e e e I± ( ) d = seθddθdϕ ± ict i cosθ ± ict i cosθ = d e dθ e i seθ = d e e i i ± ict i i 4 ± ict d e e e d e i ise = [ ] = se substituição desse esultado em (4) foece 3/ ( ) 4 ict ict Gt (, ) = dse e ( e ) i isect 3/ 3/ 4 ( ) 4 ( ) / = d se se ct = δ( ct) = δ( ct), (6) ode usamos a seguite epesetação itegal da fução delta (v Eecício 54 de []): θ ϕ θ = Figua 5 449

6 d se se =δ( ) (7) Substituido, po sua ve, (6) em (3), obtemos, fialmete, 3/ 3 / v ( t, ) = ( ) d p ( ) δ( ct) c 3 3/ / = ( ) ds p( ) = ds p( ) c ct ct 4 = ct = ct Caso bidimesioal ( = ): Nesse caso, covém epessa o elemeto de áea d = d d da itegal dupla em (5) em coodeadas polaes, isto é, d = ddϕ, bem como escolhe o eio a dieção oposta à do veto, como mosta a Figua 6 ssim, otado que = cosϕ, podemos esceve i ± ict e e ct cosϕ I ( ) d e ± i i ± = = e ddϕ Não é evidete como possegui o cálculo dessa itegal Cotasta, agoa, a ausêcia de seϕ, que toou óbvia a itegação a vaiável ϕ o caso tidimesioal qui, uma pista é ecohece que i cos e ϕ dϕ = J ( ) (v a equação (3c) de []), o que pemite esceve ± ict i cosϕ ϕ ± ict J ( ) I± ( ) = d e d e = d e J ( ) Cotiua a pati desse poto é aida meos evidete pesetamos o seguite camiho, baseado a seguite epesetação itegal da fução de Bessel em questão (v o Eecício 9 de []): seu J ( ) = du u Substituido-a a equação ateio e ivetedo a odem das duas itegações, obtemos ± ict seu du ± ict I± ( ) = d e du = 4 d e seu u u goa substituímos esse esultado em (4) paa esceve que δ( u ct) ( ) Gt (, ) = 4 d( e e )se u= dse use ct, i du ict ict du u sect u i ode já se ecota idicado que o temo ete colchetes, de acodo com (7), é uma epesetação itegal da fução delta acima dele Mas δ( u ct) = δ( u ct / ) ; logo,, Figua 6 ϕ 45

7 Gt (, ) se ct / < ie ct < du δ( u ct / ) se / ie ( ct / ) = = u ct > ct > U( ct ) = U( ct ) =, ( ct / ) c t ode U() deota a fução degau uitáio, igual a paa egativo e a paa positivo Fialmete, a substituição do esultado acima em (3) podu a fómula desejada: p ( ) ( ct ) p ( ) (, t) = ( ) d U v = d c ct c ct < ct 4) Cometáios fiais O método de dedução da equação da oda foi apesetado em duas dimesões e aplicado, em paticula, ao poblema da membaa vibate; mas ele pode se facilmete adaptado a outos poblemas odulatóios evolvedo qualque úmeo de dimesões espaciais técica cocebida paa leva a cabo a itegação elacioada à dedução bidimesioal da fómula de Kichhoff é susceptível de se utiliada o cálculo de outas gadeas que evolvem uma itegação simila (eg, fuções de Gee) Quato às opeações com a fução delta como uma fução que ão é!, diga-se que ela simplifica cosideavelmete os cálculos, pois, como se sabe, a fução delta pode se vista como um método abeviado de se obteem esultados que depedem de iticados pocessos de limite De fato, ecodemos que Diac ão via o seu uso qualque falta de igo, ates afimado se sempe possível substituí-la po uma fomulação equivalete, poém mais complicada (cf [5]) Isso, de fato, cofimou-se com a justificativa matemática da fução delta que a teoia das distibuições popiciou, estado as suas picipais popiedades igoosamete estabelecidas a liteatua, à ossa disposição, potas paa seem usadas (cf [7] e [9]) Refeêcias G B fe e H J Webe, "Física Matemática", Campus, 6 a ed, Rio de Jaeio, 7 E Butov, "Física Matemática", LTC, Rio de Jaeio, 988 (Seç 88) 3 R V Chuchill e J W Bow, "Fouie Seies ad Bouda Value Poblems", 3 a ed, McGaw-Hill, 978 (Cap, Seç 5, item b) 4 R Couat e D Hilbet, "Methods of Mathematical Phsics", vol, Wile-Itesciece, 96 (p 687) 5 P M Diac, "The Piciples of Quatum Mechaics", 4 a ed, Ofod U P, Claedo, 958 (p 59) 6 F Joh, "Patial Diffeetial Equatios", a ed, Spige-Velag, Nova Ioque, 975 (p 6) 7 M J Lighthill, "Fouie alsis ad Geealised Fuctios", Cambidge U P, Lodo, I G Petovs, "Lectues o Patial Diffeetial Equatios", Itesciece, L Schwat, "Théoie des distibutios", Hema, Pais, 95 W Stauss, "Patial Diffeetial Equatios, Itoductio", Wile, 99 E C Zachmaoglou e D W Thoe, "Itoductio to Patial Diffeetial Equatios with pplicatios", Dove, Nova Ioque,