MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES APLICADOS NA ANÁLISE DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA

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1 MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES APLICADOS NA ANÁLISE DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA Robet Schiaveto de Souza e Fazal Hussai Chaudhy Resumo - Este tabalho ealiza uma compaação ete os métodos de esolução de sistemas lieaes aplicados a aálise de edes de distibuição de água e aalisa a eficiêcia destes métodos o compotameto da covegêcia. A fomulação poposta aalisa métodos dietos ou exatos (método da elimiação de Gauss e método de Cholesy e idietos ou iteativos (método dos gadietes cojugados. Os esultados obtidos das simulações ealizadas mostam a eficiêcia dos métodos de esolução de sistemas lieaes e demostam a ifluêcia sigificativa da escolha do método o pocesso iteativo paa a obteção da solução fial da hidáulica de uma ede. Abstact - This wo compaes methods of esolutio of liea systems applied i the aalysis of wate distibutio etwos ad aalyzes the efficiecy of these methods i the behavio of the covegece. The poposed fomulatio cosides diect o exact methods (method of the elimiatio of Gauss ad Cholesy s method ad idiect o iteative methods (cojugated gadiets method. The esults obtaied of the simulatios caied out demostate the efficiecy of the methods of esolutio of liea systems, ad show the sigificat ifluece of the choice of the method i the iteative pocess fo obtaiig the fial solutio of the hydaulics of a etwo. Egeheio Civil pela Uivesidade Fedeal de Mato Gosso do Sul e Douto em Hidáulica e Saeameto pela Escola de Egehaia de São Calos / USP. Pofesso Adjuto do Depatameto de Hidáulica e Taspotes do Ceto de Ciêcias Exatas e Tecologia da Uivesidade Fedeal de Mato Gosso do Sul. Edeeço: Rua José Atoio Peeia, 609, Apt. 0-Baio Mote Castelo-CEP Campo Gade-MS. Foe: 0xx Fax: 0xx Ramal 5. ssouza@i.ufms.b. Egeheio Civil pela Uivesidade Fedeal de Pujab - Paquistão, Meste em Egehaia Hidáulica pela Asia Istitute of Techology - Thaylad e PHD em Egehaia Civil pela Coloado State Uivesity - EUA. Pofesso Titula do Depatameto de Hidáilica e Saeameto da Escola de Egehaia de São Calos / USP. Edeeço: Av. Facisco Peeia Lopes, 00, Apt. A -Vila Pueza-CEP São Calos-SP. Foe: 0xx Fax: 0xx fazal@sc.usp.b.

2 Palavas-chave - Redes Hidáulicas, Sistemas Lieaes, Elimiação de Gauss, Cholesy, Gadietes Cojugados. INTRODUÇÃO A aálise em egime pemaete de sistemas de distibuição de água é um poblema de gade impotâcia a egehaia hidáulica (Shami e Howad 977. A solução paa poblemas de edes é obtida quado as vazões satisfazem as equações da cotiuidade em cada ó e a equação da eegia em cada caalização. Estas equações são ãolieaes toado ecessáio a utilização de métodos uméicos iteativos, iiciado com uma solução apoximada que é apefeiçoada espeaçosamete a cada iteação atavés da esolução de um sistema de equações liea. A cofiabilidade dos algoitmos aplicados paa a esolução do sistema liea esultate a aálise de edes é de gade impotâcia. Uma solução leta ou mesmo um facasso a sua obteção é um icoveiete picipalmete os estudos de otimização ode a ede é avaliada iúmeas vezes. Váios métodos matemáticos tem sido desevolvidos paa a esolução de sistemas lieaes (Fosythe 967. Os métodos se baseiam em técicas uméicas dietas ou exatas que icluem desde o método da elimiação gaussiaa até o método de Cholesy, e técicas idietas ou iteativas, que icluem o método dos gadietes cojugados dete outos. O estado da ate tem avaçado eomemete. Muitos algoitmos tem sido popostos paa esolve as equações esultates da aálise de edes hidáulicas, e técicas uméicas são lagamete usadas a atualidade. No etato, dificuldades tem sido obsevadas picipalmete quato ao tempo e a memóia computacioal ecessáia paa o cálculo de edes (Souza 994. Po isso, os métodos paa esolve sistemas de equações lieaes tem sofido costates evisões e apefeiçoametos. Atualmete, com a cescete dispoibilidade de micocomputadoes com gade capacidade de memóia e velocidade de pocessameto e o desevolvimeto de iúmeas técicas uméicas, faz-se ecessáio um eexame dos métodos teóicos utilizados paa a esolução de sistemas lieaes esultates da aálise e pojetos de gades edes. Neste tabalho é ealizado um estudo da eficiêcia dos picipais métodos dispoíveis paa a esolução de sistemas lieaes aplicados a aálise de edes de distibuição de água e compaações são feitas ete os divesos métodos. Estas se efeem gealmete à facilidade e flexibilidade de uso, úmeo de iteações, e tempo e memóia computacioal equeidos. Petede-se desta foma

3 apefeiçoa a aálise de edes visado a edução do tempo computacioal e dos poblemas de covegêcia a obteção da solução fial. MODELO HIDRÁULICO Nielse (989 popôs uma fomulação paa esolve poblemas de edes pelos métodos lieaes e ão-lieaes baseados a teoia dos gafos. O método po ele poposto é uma geealização e um apefeiçoameto dos métodos apesetados po Lam e Wolla (97 e Chadashea e Stewat (975. O auto agumeta que a escolha do modelo paa esolve as equações ão lieaes esultates da aálise de edes é essecial paa o compotameto do pocesso iteativo e sugee um modelo ode os métodos da teoia liea e Newto-Raphso são combiados. Obseva-se que tal hibidização está implícita a opeacioalização poposta po Righetto (977. A fomulação poposta po Nielse (989 pode se usada tato paa o método da teoia liea (LTM como paa o método de Newto-Raphso (NR e é dada pela equação (, ode D = diag d [ (H,...,d (H ] m m com d = K H ; β β ` H ou q K H com β = / α ; α β β = K q = sedo γ = paa LTM e γ = α paa NR; h é o veto de eegias os ós iteioes; A é a matiz de icidêcia (m x dos ós de esevatóio; A é a matiz de icidêcia (m x dos ós iteioes; h é o veto ( x de eegia os ós de esevatóios; Q são as vazões de pojeto (cosumos os ós iteioes. Esse sistema é ão liea de equações com icógita h. + = h γ t t [ A D A] [ Q + A D ( Ah A h ] h + ( As caacteísticas impotates de covegêcia já cohecidas do método liea (LTM e do método de Newto-Raphso (NR foam exploadas a aálise de edes hidáulicas. O método de NR covege apidamete (quadaticamete paa estimativas iiciais azoáveis, e tem covegêcia leta (liea ou poblemas de ão covegêcia paa estimativas gosseias, ão póximas da solução. No método da teoia liea há uma oscilação as poximidades da solução, mas gealmete é covegete paa a solução coeta. Quado o método de NR covege, pode-se afima que o faz mais apidamete, ou seja, em um úmeo meo de iteações do que o método LTM. Po outo lado, o método de NR apeseta mais poblemas de covegêcia do que o método LTM picipalmete devido aos eos elativamete gades que ocoem as pimeias iteações. As caacteísticas de covegêcia dos métodos liea (LTM e ão liea (NR povavelmete levaam a Nielse (989 a popo um modelo ode os métodos LTM e NR são

4 combiados, sugeido o método LTM paa a pimeia iteação e NR paa as demais iteações (LTM-NR. Neste tabalho, foam ealizadas divesas simulações cosideado uma ede exemplo. Tês métodos de esolução de sistemas lieaes foam utilizados. Dois métodos dietos ou exatos (elimiação gaussiaa e Cholesy e um método idieto ou iteativo (método dos gadietes cojugados. Os esultados dos tês métodos foam compaados ete si, em elação ao tempo computacioal, mostado a eficiêcia dos mesmos. MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES Os métodos paa esolução de sistemas de equações lieaes são divididos picipalmete em dois gupos: métodos dietos ou exatos (aqueles que foeceiam a solução exata, ão fossem os eos de aedodameto, com um úmeo fiito de opeações e métodos idietos ou iteativos (aqueles que pemitem obte a solução de um sistema com uma dada pecisão atavés de um pocesso fiito covegete. Com a fialidade de estuda a eficiêcia destes métodos em fução picipalmete do tempo computacioal ecessáio a esolução de sistemas lieaes, selecioou-se dois métodos dietos (elimiação gaussiaa e Cholesi, e um método iteativo (gadietes cojugados. Emboa ão seja possível afima paa um caso geal qual dos métodos dietos e/ou iteativos é o mais eficiete, pode-se o etato, em algus casos especiais, estabelece citéios de compaação ete os métodos. Métodos Dietos ou Exatos São métodos que cosistem a aulação de cetos coeficietes po meio de adições das equações dos sistemas, modificado seu aspecto pimitivo, mas tasfomado-o em um sistema de solução imediata. Seja o sistema liea de odem : ax + ax a x a x + a x a x... a x + a x a x = b = b = b (

5 Também deotado po Ax=b, ode A = [a ij ], i, j, e a matiz dos coeficietes x = (x é o veto icógita e t, x,..., x b = (b é o veto dos temos idepedetes. t, b,..., b - Método da Elimiação de Gauss O método de Gauss cosiste em tasfoma a matiz do sistema em uma matiz tiagula supeio. O método de elimiação de Gauss com pivoteameto a diagoal cosiste em tasfoma o sistema dado um sistema tiagula equivalete pela aplicação epetida da opeação de subtai de uma equação outa equação multiplicada po uma costate difeete de zeo. O elemeto ( a é chamado pivô do -ésimo passo. Se, em algum passo, ecotamos a = 0, o método pode se cotiuado simplesmete pemutado a -ésima equação com qualque outa abaixo cujo coeficiete da -ésima icógita seja difeete de zeo, o que sempe é possível pois det A 0. ( Seja Ax = b, A R(, ão sigula. a Costução do sistema Paa =,3,..., tiagula equivalete a. Faça i =, +,..., e calcule m i, = a ( i, / a (, a. Faça j =, +,..., +e calcule a ( ij = a ( ij m i, a (, j b Solução do sistema tiagula supeio. b. x = b / a b. Paa i = -, -,..., x i = (b i a ij j= i+ x j / a ii

6 - Método de Cholesy t t Se A R(, é simética e defiida positiva, etão A = R R e Ax = R Rx = b. Tomado Rx = y, temos que esolve dois sistemas: R t y b Rx == y Como R t e R sistemas tiagulaes. Seja o sistema Ax = b. a Decomposição de A em R Paa i =,,..., Calcule: são matizes tiagulaes, tasfoma-se a solução de Ax = b a solução de dois t R ii = (a ii i = i Faça j = i +,i +,..., e calcule: ij = (a ij i i = j / ii b Solução dos sistemas tiagulaes R t y = b e Rx = y Métodos Idietos ou Iteativos Um método é dito iteativo quado foece uma sequêcia de apoximates, cada um dos quais obtido das ateioes pela epetição do mesmo pocesso. Os métodos iteativos tem sido fequetemete pefeidos em elação aos métodos dietos paa esolve sistemas de equações espasos poque eles utilizam somete os coeficietes difeetes de zeo e potato equeem uma quatidade míima de memóia. - Método dos Gadietes Cojugados O método dos gadietes cojugados é um método iteativo que tem váias caacteísticas iteessates e desejáveis picipalmete paa a solução de gades sistemas espasos. Segudo

7 Schwaz (973, este método foi pimeiamete desevolvido po M. R. Hestees com a coopeação de J. B. Rose, G. Fosythe e L. Paige em 95. Cosidee um sistema de equações simético paa se esolvido paa o veto x: Ax + b = 0, a x + b = 0 i =,..., (3 = i i Substituido qualque veto teste iicial v paa x, obtemos um veto esidual = Av + b com os compoetes. O póposito de qualque método de elaxação é altea este veto teste v,..., sistematicamete de tal foma que os esíduos desapaeçam. O pocesso iteativo do método dos gadietes cojugados pode se esumido segudo Schwaz (973 a seguite sequêcia apopiada: Iício: Escolhe-se (0 (0 = Av (0 v + b ; p ( = (0 Relaxação: Paa =,,... e p - ( ( = ( = ( ( ( (, (, + e ( ( (, q = ( ( (Ap,p ( ( v = v + q p p ( ( ; paa paa ( = ( + q (Ap ( No método dos gadietes cojugados, as dieções de elaxação sistema de dieções cojugadas, e os vetoes esiduais ( p ( =,,... fomam um ( ( = 0,,,... fomam um sistema otogoal. Além disso o método dos gadietes cojugados poduz a solução em geal em passos. O método dos gadietes cojugados exibe a extaodiáia popiedade que ehum auto valo pecisa se calculado paa assegua a covegêcia (em cotaste dos outos métodos de elaxação. O método é desejável paa soluções de sistemas de equações siméticos e é especialmete vatajoso se a matiz A é espasa. RESULTADOS E DISCUSSÕES Paa estuda a eficiêcia dos métodos de esolução de sistemas lieaes, selecioou-se uma ede exemplo costituída de 7 techos, ós e esevatóio, cofome a figua, e cujas

8 caacteísticas são apesetadas as tabelas e. A eegia o esevatóio (ó é igual a 00m, e as cotas dos ós foam assumidas como sedo iguais a zeo Figua : Rede exemplo. Tabela - Caacteísticas dos tubos da ede apesetada a figua. Techo Nós Diâmeto Compimeto (mm (m C HW

9 Tabela - Caacteísticas dos ós da ede apesetada a figua. Nó Cosumo (m 3 /s Eegia Iicial (m 0,03 94,456 0,09 94,63 3 0,03 93, ,006 95,8 5 0,03 94, ,09 95, ,03 95,05 8 0,03 95, ,03 96, ,03 96,485

10 0,006 96,45 0,09 97,5 3 0,006 96, ,03 96, ,03 97, ,006 96, ,03 98,04 8 0,09 98,6 9 0,03 98,95 0 0,03 98,965 0,006 99,59-00,000 Desevolveu-se um pogama paa o cálculo de sistemas de distibuição de água ode os métodos de esolução de sistemas lieaes foam icopoados como subotias, com o objetivo de veifica a eficiêcia de cada método o pocesso iteativo de covegêcia. O citéio de covegêcia ou de paada implemetado foi quado a maio difeeça das vaiáveis icógitas ete duas iteações cosecutivas esultou meo do que uma toleâcia especificada. A pogamação dos algoitmos foi implemetada a liguagem Tubo Pascal vesão 6.0 e o equipameto utilizado foi um mico-computado tipo PC/386 sem co-pocessado aitmético 33 Mhz. Os esultados obtidos sobe o úmeo de iteações, tempo total e tempo po iteação equeidos paa a aálise da ede exemplo paa os divesos métodos de esolução de sistemas lieaes, estão apesetados a tabela 3. Tabela 3 - Númeo de iteações, tempo total e tempo po iteação equeidos paa a aálise da ede exemplo paa divesos métodos de esolução de sistemas lieaes. Método Sistema Númeo de Tempo Total (s Tempo/Iteação (s Iteações LTM

11 NR LTM-NR Legeda: ( elimiação gaussiaa; ( gadietes cojugados; (3 Cholesi. Neste estudo, o método de Cholesi apesetou melho eficiêcia, seguidos pelos métodos da elimiação gaussiaa e gadietes cojugados espectivamete. No etato é cohecido que paa gades sistemas, os métodos iteativos podem foece soluções sem eos de aedodametos, o que ão acotece com os dois métodos dietos utilizados. Quado a aálise de edes esulta em sistemas de odem muito baixa, a tedêcia é a vedade, uma equivalêcia a eficiêcia de todos os métodos, que sejam dietos ou iteativos. Os métodos dietos apesetam a vatagem de podeem se sempe aplicados, equato que os métodos iteativos depedem da covegêcia. Os métodos de elimiação assialam a sigulaidade de sistemas. Quado se utiliza o método iteativo poém, um sistema sigula pode apaeta ão covegêcia. Os eos de aedodameto causam meo efeito os métodos iteativos do que os de elimiação, poque os pimeios os coeficietes do sistema pemaecem ialteados. Nos sistemas espasos, isto é, aqueles em que é gade a pocetagem de coeficietes ulos, dimiui o úmeo de cálculos em métodos iteativos po iteação. Etetato, os métodos de elimiação são ealizados cálculos desecessáios. CONCLUSÕES Em elação ao métodos paa solução de equações lieaes, emboa ão seja possível afima paa um caso geal qual dos métodos dietos e/ou iteativos é o mais eficiete, pode-se em algus casos especiais estabelece citéios de compaação ete os métodos. Potato paece se mais coeete escolhe um método de esolução de sistemas lieaes que seja ecohecidamete mais eficiete paa cada caso ou situação paticula, uma vez que ão há esultado teóico paa o cohecimeto do melho método paa um caso geal.

12 A evisão e o eexame dos métodos de esolução de sistemas lieaes aplicados a aálise de edes de distibuição de água ealizados este tabalho possibilitaá a aálise de edes de com maio eficiêcia. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CHANDRASHEKAR, M., STEWART, K. H. Spasity Oieted Aalysis of Lage Pipe Netwos. Joual of the Hidaulic Divisio, v. 0,. HY4, p , 975. FORSYTHE, G. E. Compute Solutio of Liea Algebaic Systems. New Yo, Petice-Hall, p. LAM, C. F., WOLLA, M. L. - Compute Aalysis of Wate Distibutio Systems: Pat I - Fomulatio of Equatios. Joual of the Hydaulics Divisio, v. 98,. HY, p , 97. LAM, C. F., WOLLA, M. L. - Compute Aalysis of Wate Distibutio Systems: Pat II - Numeical Soluctio. Joual of the Hydaulics Divisio, v. 98,. HY3, p , 97. NIELSEN, H. B. Methods fo Aalyzig Pipe Netwos. Joual of Hidaulic Egieeig, ASCE, 5 (, 39-57, 989. RIGHETTO, A. M. Desevolvimeto de Modelos de Simulação paa o Desevolvimeto de Redes de Distibuição de Água. São Calos Tese de Doutoado. Escola de Egehaia de São Calos-Uivesidade de São Paulo, 977. SCHWARZ, H. R. Numeical Aalysis of Symmetic Matices. Eglewood Cliffs, Petice-Hall, p. SHAMIR, U., HOWARD, C. D. D. Egieeig Aalysis of Wate Distibutio Systems. Joual Ameica Wate Wos Associatio, 50-54, 977. SOUZA, R. S. Aspectos Computacioais da Aálise de Redes de Distibuição de Água com Compoetes Hidáulicos em Regime Pemaete. São Calos Dissetação de Mestado. Escola de Egehaia de São Calos-Uivesidade de São Paulo, 994.