UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ESTATÍSTICA REAMOSTRAGEM BOOTSTRAP EM AMOSTRAGEM POR CONJUNTOS ORDENADOS E INTERVALOS DE CONFIANÇA NÃO PARAMÉTRICOS PARA A MÉDIA Cesa Augusto Tacoeli Dissetação apesetada ao Pogama de Pós-Gaduação em Estatística do Ceto de Ciêcias Exatas e de Tecologia da Uivesidade Fedeal de São Calos, como pate dos equisitos paa obteção do título de Meste em Estatística. SÃO CARLOS 005

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ESTATÍSTICA REAMOSTRAGEM BOOTSTRAP EM AMOSTRAGEM POR CONJUNTOS ORDENADOS E INTERVALOS DE CONFIANÇA NÃO PARAMÉTRICOS PARA A MÉDIA Cesa Augusto Tacoeli SÃO CARLOS 005

3 Ficha catalogáfica elaboada pelo DePT da Biblioteca Comuitáia da UFSCa T9b Tacoeli, Cesa Augusto. Reamostagem bootstap em amostagem po cojutos odeados e itevalos de cofiaça ão paaméticos paa a média / Cesa Augusto Tacoeli. -- São Calos : UFSCa, p. Dissetação Mestado -- Uivesidade Fedeal de São Calos, Estatística matemática.. Bootstap estatística. 3. Amostagem po cojutos odeados. 4. Itevalos de cofiaça. I. Título. CDD: a

4 Dedico este tabalho à memóia de miha saudosa avó Teeza.

5 Cocedei-os Seho, Seeidade ecessáia paa aceita as coisas que ão podemos modifica, Coagem paa modifica aquelas que podemos e Sabedoia paa distiguimos umas das outas. Auto descohecido

6 Agadecimetos A Deus, que me abeçoa e dá foças diaiamete paa que eu possa segui em fete; à meus pais, Atoio e Alzia, que ão poupaam esfoços paa que eu cumpisse mais esta etapa de miha fomação; à meus imãos, Fábio e João Paulo, que me apoiaam e me motivaam desde o pimeio istate; à miha oietadoa, Pofa. Da. Maia Cecilia Medes Baeto, pela cofiaça depositada em meu tabalho, pela amizade, pela dedicação e pelo modo bilhate com que coduziu ossos estudos; aos pofessoes, D. Facisco Atoio Rojas Rojas, Da Lúcia Peeia Baoso e Da. Teesa Cistia Matis Dias, cujas cíticas e sugestões cotibuíam paa o apefeiçoameto deste tabalho; aos pofessoes e fucioáios do Depatameto de Estatística da UFSCa, que sempe se puseam a disposição paa me atede em mihas dificuldades; aos meus colegas de mestado, e a todos os meus amigos, que comigo compatilhaam os bos e maus mometos vividos ao logo dos últimos aos; à Coodeação de Apefeiçoameto Pessoal de Esio Supeio CAPES, pela assistêcia fiaceia; a todos que estiveam comigo, de maeia dieta ou idieta, duate o desevolvimeto deste tabalho.

7 Resumo A amostagem po cojutos odeados é uma alteativa pática e eficiete o que cocee à obteção de estimativas mais pecisas fete à impossibilidade de extação de uma amosta umeosa, seja devido a dificuldades a mesuação da vaiável de iteesse ou a um elevado custo ieete a obteção de tais medidas. A aplicação deste delieameto amostal toa-se viável caso seja possível odea amostas extaídas aleatoiamete de maeia eficiete, de acodo com o valo da vaiável de iteesse, sem de fato medi-las, mas baseado apeas em um citéio pé-estabelecido, que pode se alguma vaiável cocomitate altamete coelacioada ou mesmo mediate algum julgameto pessoal. Itoduzida po McItye 95, a amostagem po cojutos odeados popicia a estimação de divesos paâmetos com um elevate gaho em temos de pecisão. Um estimado paa a média populacioal é a média da amosta po cojutos odeados X, poposto po McItye com aplicações, iicialmete, a estimação da podução média de pastages. Cesáio e Baeto 003 apesetam uma alteativa paamética a obteção de itevalos de cofiaça bootstap paa a média de populações com distibuição omal via amostagem po cojutos odeados. Dada a estição quato à seleção de gades amostas, a suposição de alguma distibuição paa a vaiável de iteesse muitas vezes ão é azoável, geado estimativas pouco cofiáveis. Neste cotexto, o estudo e a poposição de estimadoes itevalaes ão paaméticos paa a média, elaboados a pati de um esquema de seleção de amostas capaz de gea estimativas pecisas sob cicustâcias advesas, como é a amostagem po cojutos odeados, mosta-se altamete elevate, sedo o objeto de estudo deste tabalho. Os itevalos de cofiaça aalisados são obtidos atavés de um esquema oigial de eamostagem bootstap, fudametado em amostagem po cojutos odeados, seguido algoitmos popostos este tabalho. A aálise das popiedades destes itevalos foi ealizada a pati de um amplo estudo via simulação, que evideciou uma sigificativa melhoa das estimativas popostas, quado compaado àquelas covecioais, baseadas em amostagem aleatóia simples, especialmete em elação à pecisão de tais estimativas.

8 Abstact Raked set samplig is a efficiet ad pactice way to obtai moe pecise estimative whe the sample size is small because of the high cost o difficulties to measue the iteest vaiable. Usig ough ad cheap qualitative o quatitative ifomatio, the sample uits ae aked befoe thei effective measuemet. I 95, McItye itoduced the aked set sample desig to estimate the aveage yields fom plots of coplad, usig the aked set sample mea, X. Cesaio ad Baeto 003 have show a paametic vesio of bootstap cofidece itevals fo omal distibutio mea. Because of the estictio of small sample size, the distibutioal assumptio may ot be easoable, poducig o liable estimates. So the study ad popositio of pecise iteval estimatos of the populatio mea could be elevat ad ae the mai iteest of this wok. Usig esamplig methods, we popose i this wok a extesio of bootstap esamplig fo aked set samplig. A simulatio study is coduced to the popeties of sigle adom sample bootstap cofidece itevals ad the simila usig ou vesio fo aked set samplig. The aalysis of the simulatio study have show the gai of pecisio fo usig the aked set samplig bootstap cofidece itevals i the populatio mea.

9 Sumáio Itodução Seleção da amosta po cojutos odeados e algus estimadoes paa a média.. 4. Esquema de seleção de uma amosta po cojutos odeados Citéios de odeação e modelos Algumas popiedades de estatísticas de odem Popiedades de vaiáveis com distibuição da família locação e escala Estimadoes da média via RSS Modelo de odeação po julgameto pessoal Modelo de odeação po vaiável cocomitate Estimadoes paa outos paâmetos e itevalos de cofiaça sob o delieameto de Amostagem po Cojutos Odeados 7 3. Estimadoes paa a vaiâcia Estimadoes paa os quatis Estimado da fução distibuição acumulada F Caacteização de uma amosta po cojutos odeados Eficiêcia de F Estimação itevala via amostagem po cojutos odeados Itevalos de cofiaça Bootstap sob Amostagem Aleatóia Simples 9 4. O bootstap Bootstap paamético Bootstap ão paamético Itevalos de cofiaça bootstap

10 4.4.- Acuácia dos itevalos de cofiaça Itevalo bootstap omal Itevalo bootstap básico Itevalo bootstap studetizado Itevalo bootstap pecetil O método BCa Popostas oigiais de eamostagem bootstap em Amostagem po Cojutos Odeados 4 5. Poposta oigial de eamostagem bootstap em cojutos odeados pefeitamete e extesões da estimação itevala paa a média populacioal Poposta oigial de eamostagem bootstap em cojutos odeados com odeação impefeita Aplicação dos itevalos popostos em dados eais Pocedimeto paa aálise da adequabilidade dos itevalos popostos e plaejameto do estudo via simulação Detemiação do úmeo de eamostages e itevalos de cofiaça simulados via aálise de covegêcia Estudo via simulação das popiedades dos itevalos de cofiaça oigiáios dos esquemas de eamostagem popostos Estimação da média das medições médias diáias de MP 0 a estação Ibiapuea, os aos de 000 e Estimação da média de uma população com distibuição omal Estimação da média de uma população com distibuição expoecial Estimação da média de uma população com distibuição uifome Estimação da média de uma população com distibuição logomal Estimação da média de uma população com distibuição Gumbell Coclusão e popostas futuas 98

11 Apêdice 00 Apêdice A: Pogama paa gea itevalos de cofiaça bootstap ão paaméticos dos tipos omal, básico e pecetil, via RSS com odeação pefeita, paa a média de MP0 a estação Ibiapuea em 000/ Apêdice B: Pogama paa gea itevalos de cofiaça bootstap ão paaméticos do tipo BCa, via RSS com odeação impefeita, paa a média de uma vaiável com distibuição omal 0, Apêdice C: Pogama paa gea itevalos de cofiaça bootstap ão paaméticos do tipo studetizado, via RSS com odeação pefeita, paa a média de uma vaiável com distibuição logomal 0, Refeêcias 7

12 Lista de figuas Figua -Repesetação da seleção de uma amosta po cojutos odeados de tamaho 3, com m éplicas Figua - Valoes de Va B X calculados via bootstap a pati de B eamostas, oigiáias de cico amostas distitas extaídas das medições médias diáias de MP Figua 3 -Valoes de X 0.05 e X 0.95 paa difeetes valoes de B, calculados via bootstap, a pati de cico amostas distitas extaídas das medições médias diáias de MP 0 53 Figua 4 -Pobabilidade de cobetua calculada paa difeetes úmeos de itevalos de cofiaça bootstap do tipo pecetil de 90, 95 e de cofiaça paa a média das medições médias diáias de MP Figua 5 -Pobabilidades de cobetua e compimetos médios de itevalos de cofiaça bootstap pecetil paa a média das veificações médias diáias de MP0 a estação Ibiapuea 000/00, via SRS e RSS com odeação pefeita e impefeita Figua 6 -Pobabilidades de cobetua e compimetos médios de itevalos de cofiaça bootstap studetizado paa a média das veificações médias diáias de MP0 a estação Ibiapuea 000/00, via SRS e RSS com odeação pefeita e impefeita Figua 7 - Pobabilidades de cobetua e compimetos médios de itevalos de cofiaça bootstap pecetil paa a média de uma vaiável com distibuição omal, via SRS e RSS com odeação pefeita e impefeita Figua 8 -Pobabilidades de cobetua e compimetos médios de itevalos de cofiaça bootstap studetizado paa a média de uma vaiável com distibuição omal, via SRS e RSS com odeação pefeita e impefeita

13 Figua 9 -Pobabilidades de cobetua e compimetos médios de itevalos de cofiaça bootstap pecetil paa a média de uma vaiável com distibuição expoecial, via SRS e RSS com odeação pefeita e impefeita Figua 0-Pobabilidades de cobetua e compimetos médios de itevalos de cofiaça bootstap studetizado paa a média de uma vaiável com distibuição expoecial, via SRS e RSS com odeação pefeita e impefeita Figua -Pobabilidades de cobetua e compimetos médios de itevalos de cofiaça bootstap pecetil paa a média de uma vaiável com distibuição uifome, via SRS e RSS com odeação pefeita e impefeita Figua -Pobabilidades de cobetua e compimetos médios de itevalos de cofiaça bootstap studetizado paa a média de uma vaiável com distibuição uifome, via SRS e RSS com odeação pefeita e impefeita Figua 3-Pobabilidades de cobetua e compimetos médios de itevalos de cofiaça bootstap pecetil paa a média de uma vaiável com distibuição logomal, via SRS e RSS com odeação pefeita e impefeita Figua 4-Pobabilidades de cobetua e compimetos médios de itevalos de cofiaça bootstap studetizado paa a média de uma vaiável com distibuição logomal, via SRS e RSS com odeação pefeita e impefeita Figua 5-Pobabilidades de cobetua e compimetos médios de itevalos de cofiaça bootstap pecetil paa a média de uma vaiável com distibuição Gumbell, via SRS e RSS com odeação pefeita e impefeita Figua 6-Pobabilidades de cobetua e compimetos médios de itevalos de cofiaça bootstap studetizado paa a média de uma vaiável com distibuição Gumbell, via SRS e RSS com odeação pefeita e impefeita

14 Capítulo Itodução A dificuldade em se obte uma amosta umeosa toa ecessáia a utilização de um pocedimeto mais efiado de extação de amostas, capaz de compesa tal limitação poduzido estimadoes mais pecisos paa os paâmetos de iteesse. A Amostagem po Cojutos Odeados Raked Set Samplig RSS é uma boa alteativa paa os casos em que se tem uma vaiável de iteesse cuja mesuação seja caa ou de difícil obteção, havedo o etato a possibilidade de odeação das uidades amostais utilizado algum citéio subjetivo, muitas vezes visual, ou alguma vaiável cocomitate fotemete coelacioada, de maeia simples, baata e eficiete. Itoduzida po McItye 95 com vistas à estimação da podução média de pastages, a amostagem po cojutos odeados vem sedo estudada e difudida desde etão. Sua aplicação toa-se coveiete à medida que possibilita a obteção de estimativas mais pecisas paa uma gade vaiedade de fuções e paâmetos populacioais mediate extação de uma amosta de tamaho eduzido. Divesas publicações atestam a coveiêcia, em temos de gaho de pecisão, da utilização da RSS com elação à Amostagem Aleatóia Simples Simple Radom Sample SRS. Takahasi e Wakimoto 968 compovam a meo vaiâcia do estimado média amostal via RSS em elação ao mesmo estimado obtido via SRS, sob odeação pefeita quado o citéio utilizado paa odeação é peciso, equato Dell e Clutte 97 a validade desta popiedade aida que a peseça de eos de odeação, emboa os esultados sejam meos satisfatóios paa citéios de odeação pouco pecisos.

15 Stokes 980 apeseta um estimado da vaiâcia populacioal usado amostagem po cojutos odeados, que é assitoticamete ão viciado e tem meo eo quadático médio que o seu aálogo paa SRS, emboa a melhoa ão seja tão sigificativa quato o caso da estimação da média. Stokes e Sage 988 apesetam um estudo da estimação da fução distibuição atavés da distibuição empíica obtida a pati da amosta po cojutos odeados e Che 999 apeseta um estudo da estimação da fução desidade, que mais uma vez evidecia a eficiêcia de RSS sobe SRS. O tabalho de Che 000 itoduz um estimado ão paamético paa o p-quatil, estuda algumas de suas popiedades e apeseta um itevalo de cofiaça assitótico. Recetes estudos têm abodado a estimação paamética via RSS. Stokes 995 itoduz a aálise paamética po cojutos odeados a estimação dos paâmetos de locação e de escala das distibuições petecetes à família locação e escala. Baett 999 apeseta esultados alcaçados atavés de simulação que atificam um elevate aumeto a pecisão de difeetes estimadoes de µ X, a média populacioal, via RSS, em elação ao estimado média amostal via SRS X, paa amostas da distibuição logomal e Gumbell. Yu et al 999 popõem um estimado paamético paa a vaiâcia, como uma extesão ão viciada do estimado poposto po Stokes 980. Cesáio e Baeto 003, Ramielli 003 e Gacia 004 apesetam, espectivamete, algumas alteativas paaméticas a obteção de itevalos de cofiaça paa a média, quatis e vaiâcia de populações com distibuição omal via RSS. Utilizado o método de eamostagem bootstap Daviso e Hikley, 997, alcaçam esultados bastate expessivos, viabilizado a aplicação de tais estimativas. Tacoeli e Baeto 003 se atêm ao estudo de popiedades assitóticas e poposição de itevalos de cofiaça paa a média populacioal. Fete à iexistêcia de outos estudos aceca da estimação itevala ão paamética sob RSS, este tabalho tem como objetivo picipal popo e avalia, atavés de um detalhado estudo via simulação, um esquema oigial de eamostagem bootstap baseado em amostagem po cojutos odeados quado a odeação é ealizada mediate julgameto visual, com aplicação dieta a obteção de itevalos de cofiaça paa a média populacioal. É abodado um pocedimeto de eamostagem baseado exclusivamete as amostas selecioadas bootstap ão paamético, buscado e-adequa as difeetes metodologias aplicáveis a detemiação de

16 itevalos de cofiaça bootstap, baseadas oigialmete em amostagem aleatóia simples, paa o caso em que as amostas são selecioadas po cojutos odeados. As seções iiciais do Capítulo apesetam algus coceitos efeetes a estatísticas de odem e vaiáveis com distibuição da família locação e escala, fudametais paa o estudo do vício e da pecisão de estimadoes pesetes os Capítulos e 3. Na seqüêcia, são apesetados o esquema de seleção de uma amosta po cojutos odeados, além de algus estimadoes paa a média populacioal sob tal delieameto. Uma explaação aceca dos dois modelos com eos de odeação ecea o capítulo. A aplicação da amostagem po cojutos odeados a estimação de quatis, da vaiâcia e da fução distibuição de pobabilidades é efocada o Capítulo 3. Estudos e esultados elativos à estimação itevala paamética da média, vaiâcia e quatis complemetam o capítulo. O Capítulo 4, po sua vez, tata exclusivamete do pocedimeto de eamostagem bootstap, descevedo de maeia detalhada o método em suas duas vesões paamética e ão paamética e apotado sua aplicabilidade a obteção de difeetes estimativas itevalaes sob o delieameto de SRS. O Capítulo 5 apeseta as popostas oigiais de eamostagem bootstap po cojutos odeados, bem como a extesão a detemiação de estimadoes itevalaes paa a média. Taz aida o plaejameto do estudo via simulação, utilizado a avaliação da acuácia e da pecisão das estimativas sugeidas. Os esultados alcaçados atavés deste estudo paa amostas geadas a pati de cico distibuições teóicas omal, expoecial, uifome, logomal e Gumbell, ou extaídas de uma população eal, com dados foecidos pela CETESB Compahia de Tecologia de Saeameto Ambietal, podem se veificados o Capítulo 6. Fializado, o Capítulo 7 apeseta as picipais coclusões extaídas deste estudo, acompahadas po algumas popostas paa estudos futuos. 3

17 Capítulo Seleção da amosta po cojutos odeados e algus estimadoes paa a média Neste capítulo, são apesetados e discutidos divesos aspectos elativos a extação de uma amosta po cojutos odeados e aos estimadoes existetes paa a média populacioal. A Seção. desceve o pocedimeto utilizado a obteção da amosta. Os citéios utilizados paa a odeação das amostas são descitos e classificados a Seção.. As Seções.3 e.4 itoduzem algus coceitos efeetes a estatísticas de odem e à distibuição de vaiáveis da família locação escala, paa a compeesão de algumas popiedades dos estimadoes da média populacioal pesetes a Seção.5 e de outos paâmetos pesetes o Capítulo 3. As Seções.6 e.7 apesetam os difeetes modelos com eos de odeação, coseqüetes da utilização dos dois difeetes tipos de citéios a odeação das amostas: julgameto pessoal ou vaiável cocomitate.. Esquema de seleção de uma amosta po cojutos odeados O esquema de seleção de uma amosta po cojutos odeados é apesetado a seqüêcia.. Seleção de amostas aleatóias simples de tamaho da população de iteesse, com eposição; 4

18 . Odeação de cada uma das amostas, em odem cescete da vaiável de iteesse, baseado em algum citéio subjetivo julgameto pessoal ou atavés de uma vaiável cocomitate fotemete coelacioada, sem de fato medi as uidades amostais; 3. Mesuação a pimeia amosta daquela obsevação que se julgou apeseta o meo valo da vaiável em estudo, a seguda amosta da uidade amostal que foi julgada como tedo a seguda meo medida, e assim po diate, até a -ésima amosta, em que se deve medi a -ésima meo uidade amostal u.a., ou seja, aquela que se julgou apeseta a maio medida; 4. Repetição dos passos a 3, m vezes. Ao fial deste pocedimeto, são medidas po cojutos odeados, epesetada po N m obsevações, que compõem a amosta x[ ] i ;,,..., ; i,,..., m.. Neste caso, x ] i [ efee-se à obsevação que foi julgada como estatística de odem, o i-ésimo ciclo ealizado. Subetede-se que o ídice deota, além da odem que foi julgada a uidade amostal, o úmeo da amosta de oigem, ou seja, 5 x ] i [ foi julgada como de odem a -ésima amosta do i-ésimo ciclo ou epetição. Vale lemba que caso a odeação seja pefeita, o ídice de fato idetifica a qual classe das estatísticas de odem coespode a obsevação. Ressalte-se o fato de as obsevações seem idepedetes, já que povém de amostas selecioadas idepedetemete, mas ão ideticamete distibuídas, devido à classificação em difeetes odes. A utilização de éplicas possibilita a obteção de uma amosta maio sem a ecessidade de odeação de uma gade quatidade de uidades amostais. Com o objetivo de selecioa uma amosta fial de tamaho N 5, amostas de tamaho 5 deveão se odeadas, caso ão sejam utilizadas éplicas. A compaação e posteio odeação de quize uidades amostais pode ão se uma taefa fácil. Neste caso, a utilização de m 3 éplicas pemitiia uma edução o úmeo de elemetos a seem odeados em cada amosta paa 5, matedo o tamaho fial

19 da amosta em N 5, mas implicado em uma maio facilidade e eficiêcia o pocesso de odeação. A Figua ilusta o esquema de seleção de uma amosta de cojutos odeados de tamaho 3, com duas eplicações m. Supõe-se que a vaiável de iteesse é a altua das ávoes e o citéio utilizado a sua odeação é o tamaho apoximado das mesmas, acessado atavés de uma simples ispeção visual. Cada uma das amostas iicialmete selecioadas ecota-se disposta a hoizotal, estado assialadas as uidades amostais que ião compo a amosta fial, sedo as úicas de fato mesuadas quato à vaiável de iteesse..ª eplicação.ª eplicação Figua - Repesetação da seleção de uma amosta po cojutos odeados de tamaho 3, com m éplicas.. Citéios de odeação e modelos Pode-se classifica o pocedimeto de amostagem em cojutos odeados de duas maeias, de acodo com o desempeho do pocedimeto adotado paa odeação das uidades amostais: odeação pefeita, quado o método utilizado ão apeseta eos, e odeação 6

20 impefeita, as situações em que a odeação pode apeseta falhas. Como dito ateiomete, o citéio de odeação das amostas pode se basea em uma opiião subjetiva, foecida pelo pópio pesquisado, ou em alguma vaiável cocomitate, que seja de fácil mesuação e apesete uma fote coelação com a vaiável de iteesse. Cada uma destas possibilidades de citéios paa odeação especifica um dos dois difeetes modelos aplicáveis em amostagem po cojutos odeados. Caso se queia ifei sobe a altua de ávoes, po exemplo, as uidades amostais podem se odeadas de maeia eficiete de acodo com julgameto visual, como exemplificado a Seção.. Da mesma foma, amostas de volumes de água de um io acodicioadas em ecipietes taspaetes podem se odeadas de acodo com julgameto visual, caso se teha iteesse em estima o ídice de uma detemiada impueza. O modelo de julgameto pessoal se faz útil em situações semelhates a estas. Cosideado aida a amosta de ávoes, pode-se te ciêcia de uma fote coelação ete a altua e o peímeto do toco a uma detemiada distâcia do solo, pemitido a odeação das uidades amostais sem maioes custos ou dificuldades. Caso o iteesse seja odea famílias de acodo com suas codições ecoômicas, pode-se utiliza algum citéio que atibua potos de acodo com as posses apesetadas. Desta maeia, utiliza-se-ia as potuações obtidas pelas famílias como base paa o pocedimeto de odeação. Nestas situações, aplica-se o modelo de odeação via vaiável cocomitate..3 Algumas popiedades de estatísticas de odem Paa uma amosta aleatóia simples de tamaho x, x,..., x, cosidea-se as uidades amostais como idepedetes e ideticamete distibuídas, com fução distibuição acumulada FX e fução desidade de pobabilidade f X. Tal popiedade ão se estede paa uma amosta po cojutos odeados, uma vez que, odeada a i-ésima amosta, veifica-se a seguite situação X X X.... 7

21 sedo X,,..., a estatística de odem. Neste caso, as v.a.s são idepedetes, mas ideticamete distibuídas somete paa algum valo fixado de. Ou seja, X tem fução distibuição acumulada F, que segudo David 98 pode se detemiada da seguite foma X x F x P { pelo meos dos X são meoes ou iguais a x} P i i i [ F x ] [ F x ]..3 i i Aida segudo David 98, a fução F x pode se expessa da seguite foma F x F x t t B, + 0 dt.4 sedo B, + x x dx 0 Assumido que X. seja uma v.a. cotíua, David 98 detemia a fdp da -ésima estatística de odem simplesmete deivado F x, obtedo a seguite expessão F x d f x t t B + dx, 0 dt B, + [ F x ] [ F x ]..5 Cohecedo f, tem-se codições de calcula a média e a vaiâcia de X, como segue E [ X ] x f x dx x [ F x ] [ F x ] dx µ B +.6, [ X ] E[ X ] [ E[ X ] x [ F x ] [ F x ] dx Va + µ.7 B, 8

22 escala.4 Popiedades de vaiáveis com distibuição da família locação e Algumas popiedades de estimadoes obtidos via amostagem po cojutos odeados evolvem cohecimetos de vaiáveis aleatóias da família locação e escala. Cosidee uma vaiável aleatóia X com distibuição F µ, X, sedo µ e, espectivamete, os paâmetos de locação e escala. Segudo Pigato e Baeto 004, a fução de distibuição desta vaiável pode se expessa a foma X µ F0..8 A média, µ x, e a vaiâcia, x, são fuções dos paâmetos de locação e escala µ e, e da média, µ 0, e vaiâcia, 0, da distibuição básica F 0. Tais elações podem se expessas da seguite foma: µ µ + µ 0 x, simética, µ 0, de modo que µ µ 0 x. 0 x. Quado F0 defie uma distibuição Cosidee X, X,..., X estatísticas de odem de uma amosta de tamaho e seja X µ U,,...,.9 as vaiáveis odeadas eduzidas. Paa,...,, E U e Va U depedem apeas do tamaho da amosta, da odem e da fução distibuição da vaiável eduzida X µ / David, 98. Tais quatidades podem se facilmete detemiadas mediate a utilização de algum softwae estatístico ou cosultado esultados em bibliogafias adequadas. Peaso e Hatley 976 apesetam os mometos das estatísticas de odem paa a distibuição omal e tamahos de amostas até 0. 9

23 .5 Estimadoes da média via RSS O estimado ão viciado paa EX via RSS poposto po McItye 95 é dado pela média da amosta po cojutos odeados X m m i X [ ] i.0 com vaiâcia dada po m Va X Va [ ] [ ]. x i mva µ + U. m m m i A expessão. pode se eescita da seguite maeia X Va X m m. que idica o gaho em temos de pecisão decoete da utilização do estimado X em detimeto a X, o estimado média amostal via SRS. A pecisão elativa deste estimado com espeito ao estimado X, paa uma amosta de tamaho m, é va X RP m va X m. X.3 Divesas outas publicações atestam a coveiêcia, em temos de gaho de pecisão, da utilização de X em compaação com X. Takahasi e Wakimoto 968 compovam a meo vaiâcia do estimado da média via RSS em elação a X sob odeação pefeita. Dell e Clutte 97 apesetam bos esultados mesmo com eos de odeação, mas os esultados toam-se meos satisfatóios cofome aumeta o eo a odeação das uidades amostais. 0

24 Existem outos estimadoes paa a média populacioal baseados a amosta po cojutos odeados. O BLUE best liea ubiased estimato, po exemplo, cosiste a podeação da amosta, atibuido difeetes pesos às uidades amostais. Baett e Mooe 997 compovam o elevate gaho alcaçado quado da utilização deste estimado cosideado vaiáveis aleatóias com distibuição simética e assimética. Os estimadoes do paâmeto de locação e do paâmeto de escala, cosideado uma úica eplicação do pocesso de amostagem, extaídos de Baett e Mooe 997, são dados po * x * µ e x.4 espectivamete, sedo / [ / / ] j j j j ;! j j / [ / / ]! j j j j j.5 com!. v.6 Quado a vaiável de iteesse é assimética, o BLUE costitui uma combiação liea de µ * e *, dada po µ * * x µ + *.7 ode µ * x é o BLUE da média populacioal po RSS e EU. Baett e Mooe 997 obtiveam também a vaiâcia deste estimado

25 . *! "# " $ % "& " ' +! x Va µ.8 A pecisão elativa de µ x * paa o estimado X é, etão, dada po., * * "# " $ % "& " ' x x Va X Va X RP µ µ.9 É possível veifica que µ x * ão pode se meos eficiete que X, e, potato o valo acima seá ecessaiamete maio ou igual a um. Kau et al 997 popõem uma alteativa a estimação da média de vaiáveis com distibuição assimética à dieita. Este estimado pate de uma alteação do delieameto amostal. Aqui, selecioa-se + k amostas de tamaho, mesuado-se a pimeia aquela obsevação que se julga apeseta a meo medida quato à vaiável de iteesse, a seguda amosta a seguda meo obsevação, e assim po diate, até que as k amostas fiais, mesuam-se as u.a.s que se julga teem os maioes valoes. Desta foma, utiliza-se a média destes k valoes, aliada às demais obsevações tomadas, buscado melho epeseta o efeito da assimetia pesete a distibuição dos dados, poduzido o seguite estimado.0 cuja vaiâcia é dada po. Paa se compaa o estimado X com X, deve-se utiliza tamahos de amostas idêticos. Deste modo, paa o estimado usual X cosidea-se uma amosta de tamaho m +, que oigia a seguite expessão paa a pecisão elativa: m k X X X m i k t t i + ] [ ] [ /. / m k X Va +

26 h+ RP X, X h + k + / k.. Baett 999 apeseta aplicações destes dois estimadoes em dados com distibuição logomal e Gumbell, e veifica expessivas melhoas quato à pecisão da estimação da média populacioal, em elação ao estimado X. Baseado a média das obsevações julgadas como sedo as mediaas das amostas selecioadas, o Media Raked Set Samplig MRSS foece uma estimativa ão viciada paa a média populacioal, apeas os casos em que a distibuição de X é simética. O estimado, poposto em Muttlak 997 e citado em Muttlak 998, cosidea duas vaiates, coseqüetes da utilização de amostas de tamaho pa ou ímpa. Paa simplifica as otações, cosidee X : / j a mediaa da -ésima amosta do j-ésimo ciclo. Pode-se esceve o estimado média amostal via MRSS da seguite foma X MRSS m m j X : / j.3 cuja vaiâcia é dada po Va X MRSS [ m : / ].4 ode [ : / ] E X [ : / ] E X [ ; / ] Muttlak 998 apeseta uma compaação deste estimado com a média amostal via cojutos odeados X, veificado maio pecisão do estimado X MRSS em todas as situações aalisadas. Cosideado estimadoes do tipo egessão, compova-se maio eficiêcia quado as uidades amostais são odeadas atavés de uma vaiável cocomitate, a meos que as vaiáveis apesetem uma coelação excessivamete acetuada. 3

27 .6 Modelo de odeação po julgameto pessoal O modelo com eos de odeação po julgameto pessoal pode se escito da seguite maeia, e i ~ N0,.5 A vaiável Y epeseta o valo da vaiável X que é de iteesse, acescido de um eo aleatóio, coseqüete das falhas de odeação. Este eo é omalmete distibuído com média zeo e vaiâcia. Y X + e i i i Na peseça de eos de odeação, Dell e Clutte 97 veificam, atavés de simulação, um decéscimo da pecisão elativa apesetada em.3 decoete do aumeto da vaiabilidade causado po icoeções a odeação da amosta, paa dados com distibuições siméticas uifome e omal e assimética expoecial. Este decéscimo toa-se meos elevate à medida que o julgameto utilizado como citéio de odeação toa-se mais peciso. Nahhas et al 003 mostaam que, usado o modelo de eos de odeação de Dell e Clutte 97 e supodo que a vaiável X é omalmete distibuída com vaiâcia e Y e tem vaiâcia +, a pecisão elativa pode se escita como { * } xy [ ] / RP.6 ode [] é a média da -ésima estatística de odem de uma amosta de tamaho com distibuição omal padoizada e * co X, Y / + / xy. Nahhas e Wolfe mauscito ão publicado, citado em Nahhas et al 003 mostaam que, se a vaiável de iteesse tive distibuição omal, a pobabilidade espeada de odea icoetamete um pa X i, Y i é Tem-se etão que [{ / } { ta / }/ + ] p..7 [ ta { + / } ] / p.8 4

28 e Segue que xy f p + [ + [ ta / } { ] ] * p..9 ' f p RP [ ] & # $%..30 Ou seja, a vaiâcia do estimado média amostal, a peseça de eos de odeação, quado a distibuição da vaiável de iteesse é omal, é dada como a segui f p Va X ' µ [ ] /. & # $%.3 Tais esultados possibilitam a estimação da vaiâcia de maeia adequada, sevido como base paa a obteção de itevalos de cofiaça, sob a codição de que a vaiável de iteesse teha distibuição omal..7 Modelo de odeação po vaiável cocomitate Em algus casos, a odeação pode se ealizada mediate a mesuação de uma vaiável cocomitate, fotemete coelacioada com a vaiável de iteesse. A utilização de uma vaiável Y po exemplo, alguma medida extea de pacietes ou cobaias pode sevi de base paa a odeação de uma vaiável X po exemplo, alguma caacteística itea dos mesmos. O modelo de eo de odeação com vaiável cocomitate foi pimeiamete abodado po Stokes 977, que veificou que o aumeto da pecisão do estimado depede de uma maio coelação ete as vaiáveis. O pocesso de seleção da amosta se dá com a obteção de amostas de tamaho, as quais mede-se o valo da vaiável Y, que seá esposável pela odeação das amostas. Como paa o modelo com julgameto pessoal, faão pate da amosta po cojutos odeados e seão mesuadas as uidades amostais julgadas como tedo a meo medida a pimeia amosta, a de seguda meo medida a seguda e assim po diate até a -ésima amosta, paa a qual devese medi a obsevação que apeseta maio valo paa a vaiável de iteesse, de acodo com o citéio utilizado paa odeação. 5

29 Este pocedimeto, aqui também, pode se eplicado m vezes com o ituito de se obte estimativas mais pecisas. Obviamete, o beefício poveiete da utilização deste método de amostagem depede de quata ifomação a vaiável Y poduz sobe X. Se X e Y foem idepedetes, o estimado X deve se equivalete em pecisão a X. Po outo lado, quato mais coelacioadas foem estas vaiáveis, mais a pecisão elativa se apoximaá daquela obtida com odeação pefeita. Stokes 977 assume que há uma elação liea ete X e Y, com coeficiete de coelação * xy, poduzido o seguite esultado: * xy " "% E Y µ y RP ' $ "& y "#..3 O capítulo seguite apeseta outos estimadoes, potuais e itevalaes, paa a média e divesos outos paâmetos e fuções populacioais, obtidos mediate amostagem po cojutos odeados. 6

30 Capítulo 3 Estimadoes paa outos paâmetos e itevalos de cofiaça sob o delieameto de Amostagem po Cojutos Odeados A amostagem po cojutos odeados popicia a estimação eficiete de divesos paâmetos e fuções populacioais além da média. Neste capítulo, são apesetados e discutidos algus estimadoes paaméticos e ão paaméticos paa a vaiâcia Seção 3., quatis Seção 3. e fução distibuição acumulada Seção 3.3 via RSS. A Seção 3.4 desceve esultados de estudos ateioes elativos à detemiação de itevalos de cofiaça paa a média, os quatis, a vaiâcia e os paâmetos do modelo de egessão liea simples, paa dados com distibuição omal. Pocua-se essalta os bos esultados obtidos mediate utilização do bootstap, em sua vesão paamética, a detemiação de tais estimativas. 3. Estimadoes paa a vaiâcia Stokes 980 popõe um estimado assitoticamete ão viciado paa a vaiâcia populacioal e compova a maio eficiêcia deste estimado em elação ao estimado oigiáio de uma amosta aleatóia simples, mesmo a peseça de eos de odeação. Este gaho em pecisão, o etato, ão é tão dástico quato o obsevado a estimação da média. ˆ ˆ m m i X X [ ] i 3. 7

31 8 tem média e vaiâcia dadas espectivamete po 3. e [ ], ˆ 4 # $ % & ' < s s X X m m m m m X E m m X E m m m m Va µ µ µ µ µ µ 3.3 sedo X µ µ - e µ a média da -ésima estatística de odem defiida em.6.e a vaiâcia da -ésima estatística de odem, defiida em.7. Uma alteativa paamética aplicável a estimação da vaiâcia populacioal é apesetada em Yu et al 999. Este estimado, vesão ão viciada de ˆ, é dado po 3.4 ode epeseta a média da -ésima estatística de odem eduzida de uma vaiável com distibuição omal. A vaiâcia do estimado ˆ MS é apesetada a seqüêcia 3.5, ˆ + m E X - + m i i MS X X m ˆ [ ] ˆ 4 4 # $ % "& " ' + < s s s MS U E m m m U E U E m m U E m m U E U E m m m m Va

32 3. Estimadoes paa os quatis Baseado o estudo de popiedades assitóticas, Che 999 popõe um itevalo de cofiaça ão paamético paa os quatis populacioais, a pati do quatil estimado de uma amosta po cojutos odeados. Paa uma v.a. X com distibuição F, o quatil populacioal de odem p é defiido da seguite maeia. p if{ x : F x p}. P F Pode-se estima. p atavés do quatil amostal calculado a pati de uma amosta selecioada aleatoiamete ou mediate utilização de esquemas amostais mais efiados. Cosidee uma amosta po cojutos odeados de tamaho N m, extaída de uma população com distibuição F e fução desidade de pobabilidades f. A fução distibuição empíica via RSS é dada po F x N m i I, x X i 3.7 sedo N m o tamaho da amosta selecioada e I a fução idicadoa. Paa 0 < p <, / seja. p o quatil populacioal de odem p e ˆ. N, p o quatil estimado a pati de F da seguite foma if { x : F x p}. ˆ N, p Os esultados assitóticos apesetados a seqüêcia foam extaídos de Che 999. Pimeiamete, pode-se veifica que o p-ésimo quatil amostal em cojutos odeados covege quase cetamete paa o p-ésimo quatil populacioal, pois com pobabilidade um ˆ.. N, p p log N f. N p / 3.9 9

33 paa valoes de N suficietemete gades. Outo esultado diz espeito à covegêcia em distibuição de ˆ N,.. Segudo Che 999, se a fução desidade f fo positiva em uma p vizihaça de. p e cotíua em. p, cosideado odeação pefeita tem-se N ˆ. D, p. 3 0, p N f. p N, p 3.0 sedo, p B, +, p[ B, +, p] e B, s, x a fução distibuição acumulada da distibuição beta com paâmetos e s. Está implícito este esultado o fato de que B, +. ão depede de F, povedo codições de se detemia itevalos F p de cofiaça paa o quatil populacioal. Desta foma, baseado o esultado efeete à covegêcia em distibuição de., um itevalo de cofiaça paa o p-ésimo quatil é ˆ N, p ˆ z, p ˆ z, p. N, p ;. N, p + N f. p N f. p 3. sedo z o ésimo quatil de, a distibuição omal padão. As expessões 3.0 e 3. cotiuam válidas quado f é estimada. Paa dados com distibuição omal, Baett e Bow 00 obtiveam o estimado liea ão viciado ótimo po cojutos odeados aked set sample best liea ubiased quatile estimato RSBLUQE do p-ésimo quatil populacioal, que é apesetado a segui Qˆ X ˆ p µ + 4 ˆ p + 4 p / / X / / 3. sedo e a média e a vaiâcia da -ésima estatística de odem padoizada, equato µˆ e ˆ são vesões simplificadas dos BLUEs codição de omalidade, po µ e, citados em.4, podedo se e-escitos, a 0

34 A vaiâcia do RSBLUQE é dada po 3.5 Uma extesão do RSBLUQE a peseça de éplicas é dada po 3.6 sedo m X X m k k e m o úmeo de eplicações ealizadas. A vaiâcia de ep Qˆ é dada po 3.7 Baett e Bow 00 veificaam um elevate gaho em eficiêcia devido a utilização do RSBLUQE, ao ivés do BLUQE best liea ubiased quatile estimato baseado em SRS e poposto em Hassaei et al 986. X / / ˆ µ. / / ˆ X. / / ˆ ˆ ˆ + + p p Q p Va Va 4 4 µ + p ep X X Q / / / / ˆ 4. / / ˆ + p ep Q Va 4

35 3.3 Estimado da fução distibuição acumulada Cosidee X X,..., X uma amosta aleatóia simples extaída de uma população com, N fução distibuição F. Esta fução a maio pate das vezes é descohecida, devedo se de alguma foma estimada. A maeia mais usual de se estima F é atavés da fução distibuição empíica Fˆ, obtida a pati das uidades amostais selecioadas. Esta fução caacteiza-se po saltos de tamaho / N, que ocoem em cada um dos potos amostais. Pode-se epeseta a fução distibuição empíica f.d.e. da seguite maeia Fˆ t N N j I t,, x j 3.8 ode I é a fução idicadoa. / Um pimeio esultado impotate elativo à f.d.e. diz espeito ao fato desta se um estimado ão viciado de F, o que pode se veificado como a segui ˆ N N,, E F t E I x t E I x t. j j N j N j 3.9 Mas as vaiáveis aleatóias I t, I t,..., I t 0, x 0, x 0, x N têm distibuição de Beoulli, com paâmeto F t. Logo, N E N j I t N t N N, x j FX t j NF t F. 3.0 Como X,...,, X X N são idepedetes, I 0, x t, I 0, t,..., I 0, t x x N também o são. Logo, a vaiâcia de Fˆ é dada po Va Fˆ t Va I, x t Va I j j j, x t j

36 F t[ F t] F t[ F t]. 3. Cosidee agoa uma amosta po cojutos odeados de tamaho N m, dada po X ], X [],..., X [ ], X [], X [],..., X [ ], X [] m, X [] m,..., X [ ] [ m, oigiáia de uma população com distibuição F. A fução distibuição empíica, calculada a pati da amosta em cojutos odeados, é dada po As obsevações { } X ] i F t m m i I., x[ ] t i 3. [ são idepedetes, mas ideticamete distibuídas com distibuição F[ ] apeas paa algum fixado. Logo, I 0, x t, I 0, x t,..., I 0, x t [ ] [ ] [ ] m têm distibuição Beoulli com paâmeto. Deste modo, F[ ] t E F t E m m i I, x[ ] i t 3.3 E m m i I, x t [ ] i F [ ] t. Dell e Clutte 97 apesetam o seguite esultado f [ f. ] 3.4 Utilizado o esultado 3.0, tem-se E F t F[ ] t F t. 3.5 A vaiâcia de F é calculada da seguite maeia Va F t m m va I, x[ ] i i t [ ] [ [ ] ] F t F t F[ m m ] t[ F [ ] t]

37 3.3. Caacteização de uma amosta po cojutos odeados Seja T T, T,..., T um veto aleatóio multiomial com m ealizações e veto de pobabilidades p /,/,...,/. Cosidee m vaiáveis aleatóias, epesetadas po y, y,..., y m, obtidas obsevado T e selecioado T f[],,...,. Stokes e Sage 988 mostam que obsevações da população com f.d.p. I. Y, Y,..., Ym tem a mesma estutua pobabilística de X, X,..., X m, uma amosta aleatóia simples de uma população com f.d.p II. {, Y,..., Y / T m, m,..., } m f X ; Y m tem a mesma estutua pobabilística de { } X [ ] i,,,..., ; i,,..., m, uma amosta po cojutos odeados da mesma população. Dado que os estimadoes Fˆ atavés de suas vaiâcias. e F são ão viciados, pode-se compaá-los simplesmete Va Fˆ t E Va Fˆ t / T + Va E Fˆ t / T E T F[ ] t[ F[ ] t + Va T m m F[ ] t [ F t ] + Va T F t. [ ] Va 3.7 m O segudo temo coespode ao gaho a estimação de F utilizado F ao ivés de Fˆ. Caso o citéio utilizado paa odeação das amostas seja muito uim aleatóio, F t F, poduzido [ ] t m T F[ ] t F t 3.8 e, coseqüetemete 4

38 ˆ Va F t Va F t Eficiêcia de F A fução distibuição empíica pode se usada tato a estimação potual de F t, paa algum valo de t, quato paa toda a distibuição populacioal. Um esultado impotate apesetado po Stokes e Sage 988 coespode a uma extesão do Teoema Cetal do Limite paa o estimado F [ ]/[ ] / D F E F Va F 3 z ~ N0, Utilizado este esultado, pode-se costui itevalos de 00 % de cofiaça paa F t, com limites F ± z / Va F t. 3.3 Um estimado ão viciado de Va F t é dado em 3.3 Va ˆ F t Fˆ [ ˆ [ ] [ ] ], t F m 3.3 m ode Fˆ [ ] t / m I[ X [ ] i t] odem julgadas a i ésima posição. é a fução distibuição empíica baseada as m estatísticas de A pecisão elativa RP de Fˆ em elação a F é apesetada a segui RP t [ Va Fˆ t] /[ Va F t ] F t[ F t] /' F t [ F[ & ] t] % / $. #

39 O valo de RP pode se estimado utilizado estimadoes paa as vaiâcias de Fˆ e F, ou seja ˆ 3.34 RP Va ˆ [ F t]/ Va ˆ [ F t] sedo Va ˆ F t como defiida em 3.3 e Va ˆ Fˆ t dada po Va Fˆ % ˆ [ t] ' F t F t + [ F[ ] t F[ ] t] / m $ & m # 3.35 que, de acodo com Stokes e Sage 988, é um estimado ão viciado de Va [ F ˆ t ]. Duas situações extemas podem se cosideadas paa melho itepeta a expessão 3.34, coespodete à pecisão elativa do estimado F em elação ao estimado Fˆ. Pimeiamete, se o citéio de odeação fo aleatóio, pode-se coclui da expessão 3.33 que o valo de RP seá igual a, uma vez que F t F, paa,,...,. Po outo lado, caso o [ ] t citéio de odeação seja idefectível odeação pefeita, F[ ] t F t, a fução distibuição acumulada da seguite maeia: ésima estatística de odem, toado possível epeseta RP da RP t F t F t[ F t] [ I F t, + ] / 3.36 sedo [ I F t, + ] a fução beta icompleta, igual à distibuição da ésima estatística de odem. Che 999 popõe um método de estimação da fução desidade de pobabilidades a pati da amosta po cojutos odeados, utilizado o método keel, e coclui, a pati da compaação dos eos médios quadáticos itegados, que este estimado é mais eficiete que o coespodete estimado obtido via SRS. 6

40 3.4 Estimação itevala via amostagem po cojutos odeados A maio pate dos estudos citados esta seção baseia-se a poposição de métodos paaméticos de eamostagem, o caso o bootstap, visado detemia itevalos de cofiaça paa divesos paâmetos. O Capítulo 4 apeseta de maeia detalhada o fucioameto do bootstap, bem como sua aplicabilidade a obteção de algumas estimativas itevalaes. O bootstap é um pocedimeto de eamostagem que possibilita, dete outas coisas, a estimação do eo padão de divesos estimadoes, pemitido a obteção de itevalos de cofiaça e testes de hipóteses. Dada uma amosta oigial, o bootstap, em sua vesão paamética, cosiste a geação de eamostas a pati de uma distibuição F, cuja foma é cohecida, mas com paâmetos estimados via amosta. As estimativas poduzidas po cada eamosta foecem codições de se costui difeetes tipos de itevalos de cofiaça. A estimação paamética via RSS com aplicação a poposição de métodos de eamostagem bootstap é abodada em estudos ecetes. Cesáio e Baeto 003, Ramielli 003 e Gacia 004 utilizam amplamete esta técica de eamostagem a poposição de estimadoes itevalaes paa os paâmetos de iteesse. A detemiação e avaliação de itevalos de cofiaça bootstap paa a média e paa os paâmetos de egessão liea simples, cosideado populações com distibuição omal, foi o objeto de estudo de Cesáio e Baeto 003. Compovou-se, este tabalho, a adequabilidade dos estimadoes popostos, mediate aálise de esultados obtidos via simulação. Na estimação da média populacioal, baseado as pobabilidades de cobetua obtidas, obteve-se bos esultados, picipalmete a codição de cohecimeto do valo do paâmeto de escala. Paa os casos em que ão se cohece este valo, os itevalos do tipo studetizado apesetaam melho desempeho. Bos esultados foam alcaçados também a estimação dos paâmetos de egessão, mas somete paa úmeos elevados de eplicações da vaiável depedete m supeio a 7. Ramielli 003 apeseta algumas alteativas a obteção de itevalos de cofiaça paa quatis populacioais via RSS, paa dados com distibuição omal. Cosidea, a estimação dos quatis, o itevalo assitótico poposto po Che 999 e apesetado em 3., além de difeetes itevalos de cofiaça bootstap, baseados o estimado liea ão viciado ótimo a peseça de éplicas 3.6. Atavés de simulação, foi veificada boa adequabilidade dos métodos 7

41 bootstap paa difeetes quatis e tamahos de amosta em elação aos itevalos assitóticos, sobetudo paa amostas de tamaho eduzido. Ratificou, além disso, a coclusão obtida po Che 999, efeete a um gaho mais expessivo, em temos de eficiêcia, a estimação de quatis cetais. Estudo aálogo foi ealizado po Gacia 004, visado aalisa a adequabilidade da utilização do bootstap paamético a costução de estimativas itevalaes paa a vaiâcia populacioal. Foam cosideados, dete outos, o estimado ão paamético poposto po Stokes 980 e dado em 3., além de sua vesão modificada, ˆ MS, apesetado em 3.4. Foi veificado, via simulação, um melho desempeho das estimativas baseadas em ˆ MS, devido a um meo vício e coseqüetemete meo eo quadático médio, se compaado aos demais estimadoes. Costatou, além disso, uma boa pefomace dos itevalos popostos, veificado pobabilidades de cobetua estimadas bem póximas aos íveis de cofiaça pé-estabelecidos, picipalmete paa os itevalos do tipo studetizado, como seá detalhado o póximo capítulo. Tacoeli e Baeto 003, po sua vez, veificaam um bom desempeho de itevalos de cofiaça assitóticos paa vaiáveis com distibuição omal, quado a odeação das amostas é pefeita ou apeseta pequeas falhas. Na peseça de eos de odeação com maioes magitudes, detectaam uma subestimação da vaiâcia do estimado média amostal. Paa vaiáveis com distibuição expoecial veificaam que a distibuição da média amostal é gama, e atestam a iviabilidade dos itevalos popostos esta situação. Estudo semelhate foi ealizado po Badão 003, cosideado vaiáveis aleatóias com distibuição uifome, logomal e Gumbell, em que se diagosticou a simetia da distibuição do estimado X paa divesos tamahos de amostas, além da adequabilidade dos itevalos assitóticos omais a estimação da média de uma distibuição uifome via RSS. O capítulo seguite apeseta uma evisão bibliogáfica do método de eamostagem bootstap, detalhado o pocedimeto em suas duas vesões paamética e ão paamética, além de expo divesos itevalos de cofiaça oigiados po esta metodologia, caacteizadoos de acodo com suas popiedades assitóticas. 8

42 Capítulo 4 Itevalos de cofiaça Bootstap sob Amostagem Aleatóia Simples Desevolvido po Efo 979, o bootstap é um método amplamete utilizado a obteção de estimativas potuais e itevalaes, bem como a avaliação da acuácia de estimativas e testes. Cosiste, basicamete, a eplicação do pocesso de estimação via eamostagem, atavés da amosta ou da sua distibuição, com paâmetos estimados via amosta. Efo e Tibshiai 993 e Daviso e Hikley 997 apesetam de maeia detalhada váias aplicações dos métodos bootstap em divesas metodologias estatísticas. A Seção 4. desceve o fucioameto do bootstap e a maeia como este pocedimeto pode se utilizado a estimação de um paâmeto populacioal qualque. Já as Seções 4. e 4.3 apesetam suas vesões paamética e ão paamética, espectivamete. Algus itevalos de cofiaça obtidos via bootstap são ecotados a Seção 4.4, acompahados de um beve estudo elativo a acuácia de estimativas itevalaes, ecessáio paa um bom etedimeto das popiedades assitóticas dos itevalos apesetados. 4. O bootstap Seja X,...,, X X uma amosta aleatóia simples de tamaho com fução distibuição de pobabilidade F. Supoha que se esteja iteessado em ifei sobe uma quatidade populacioal 7 tf, e seja 7ˆ um estimado desta quatidade. Segudo Efo e Tibshiai 993, com o pocedimeto de eamostagem bootstap tem-se codições de faze ifeêcia 9

43 sobe a distibuição de ˆ 7 7. Isto é possível a pati da detemiação de uma estimativa da distibuição F, po exemplo F ~, de modo que t F ~ ˆ De acodo com Caty 000, usado eamostagem bootstap, pode-se obte éplicas de 7ˆ, idicadas po 7ˆ, tais que D ˆ ˆ ˆ, 7 4. possibilitado a estimação de popiedades de 7ˆ, como seu vício e vaiâcia, da seguite maeia b ˆ 7 E ˆ 7 7 / X ~ F ˆ ˆ ~ 8 E 7 7 / X ~ F 4.3 Va ˆ 7 Va ˆ 7 7 / X ~ F ˆ ˆ ~ 8 Va 7 7 / X ~ F. 4.4 Ressaltado o fato de que a distibuição F ~ é cohecida, ão há maioes dificuldades a ~ detemiação da distibuição de ˆ 7 7ˆ / X ~ F, atificado a coveiêcia da apoximação apesetada em 4.. Esta apoximação pode se da de maeia aalítica, o que em sempe é possível, ou atavés de métodos computacioalmete itesivos, como Mote Calo. O pocesso de simulação de amostas bootstap pode se paamético, caso se coheça a distibuição de X, ou ão paamético, as situações em que ão se teha tal cohecimeto. 4. Bootstap paamético O pocesso de eamostagem bootstap paamético baseia-se em modelos pobabilísticos com paâmetos estimados via amosta oigial. Supoha F uma distibuição idexada po um paâmeto 9, com estimado 9ˆ, baseado a amosta oigial X,..., ˆ 7 t F 9ˆ. Deste modo, pode-se cosidea F 9ˆ como estimado de F 9. Sejam, X X, e cosidee X, X,..., X B amostas da distibuição F 9ˆ e 9ˆ, 9ˆ,..., 9ˆ B estimativas de 9ˆ paa estas amostas. Assim, 30