APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

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1 UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA (CÁLCULO DIFERENCIAL EM ) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL

2 Cálculo Dieecial em Cálculo dieecial em A ideia base do cálculo dieecial cosiste em apoima, uma vizihaça de um poto, a ução que se petede estuda po uma aplicação liea e, a pati das popiedades desta, obte iomação sobe o compotameto local da ução iicial As uções eais de vaiável eal, :, isto é, uções deiidas em que tomam valoes eais, podem desceve o compotameto de uma gadeza que apeas depede de um acto Paa se cotempla o caso de gadezas que depedam de mais do que um acto, devemos cosidea uções com mais do que uma vaiável, deiidas em, 3, ou, de um modo geal, em Relembemos que, um espaço euclidiao com dimesões (-dimesioal) é epesetado pelo cojuto = {(,,, ) :, i =,,, } i Ode, epeseta o cojuto dos úmeos eais e (o cojuto dos úmeos atuais) Isto é, odeados de úmeos eais, (,,, ) é o espaço de todos os -uplos O picipal objectivo da disciplia de complemetos de matemática é o estudo de uções com váias vaiáveis, potato, cujo domíio é um subcojuto de O caso geal são as uções m vectoiais de vaiável vectoial, deiidas po :, com, m Tem-se ( ) y = ( ) = ( ), ( ),, ( ), com = (,,, ) e y = ( y, y,, y m ) m as compoete y = ( ), i m se desigam po uções coodeadas de i i De acto, em váias áeas das ciêcias, em paticula em egehaia é ecessáio cosidea gadezas tais como, deslocametos, oças, velocidades, etc, ão epesetáveis uma escala, ou seja, cujos valoes ão são escalaes Po eemplo, paa se especiica completamete uma oça, é ecessáio cohece a diecção, a itesidade e o setido Tais gadezas são chamadas gadezas vectoiais As uções utilizadas paa desceve estas gadezas desigam-se po uções vectoiais ou campos vectoiais As uções vectoiais, associam, potato, a cada poto deiido po um cojuto de valoes das suas vaiáveis um vecto Po outo lado, muitas vezes, é ecessáio estuda poblemas ode iguam gadezas ísicas tais como compimetos, áeas, volumes, massas, etc Desigadas po gadezas escalaes, uma vez que podem se completamete especiicadas po um úmeo eal, e pela uidade coespodete (compimetos, áeas, volumes, massas, etc) As uções utilizadas paa desceve estas gadezas desigam-se po uções escalaes ou campos escalaes As uções escalaes, associam, potato, a cada poto deiido po um cojuto de valoes das suas vaiáveis um úmeo eal m, ode

3 Cálculo Dieecial em O temo campo tem um setido puamete omal e é utilizado quado se tem uma gadeza cujo valo seja distito em cada poto do espaço, o qual, em geal, está patete a eistêcia de uma elação ete as coodeadas do poto e o valo da gadeza esse poto Desiga-se campo à egião do espaço ode está patete a eistêcia de uma gadeza ísica que depede da sua posição Petede-se estuda uções com vaiáveis, com valoes eais ou vectoiais o que diz espeito a domíios, gáicos (quado possível), limites, cotiuidade, deivabilidade, dieeciabilidade, etemos lives e codicioados, e aida opeadoes dieeciais e suas aplicações A maio pate dos esultados seão geealizados a peeecialmete em e, cotudo, a sua a aplicação seá 3, ode eiste um sigiicado geomético que paa os potos que paa os vectoes Estes espaços, são de tatameto mais simples, mas, eglobam todos os aspectos elevates do caso geal dos espaços de -dimesões, isto é, das uções de vaiáveis Como pé-equisitos, o aluo deve te pesete os coceitos do cálculo dieecial, vectoial e itegal, das v Pois, petedemos mate válidos esultados estudados paa estas uções Campos escalaes Deiição A aplicação das uções eais de vaiável vectoial ou campos escalaes, está oietada a descição de eómeos elacioados, po eemplo, com distibuição de tempeatuas um detemiado local, com as pessões o iteio de luidos, com o potecial electostático, com a eegia potecial o sistema gavitacioal, etc Pemitem, como tal, modela poblemas eais do dia a dia Estas uções, associam a cada poto deiido po um cojuto de valoes das suas vaiáveis um úmeo eal, o que pode se visto como uma geealização do coceito de v Deiição : Uma ução eal de vaiável vectoial é uma coespodêcia uívoca, como o ome ução idica, ete o espaço de patida espaço de chegada (po isso o temo eal) (po isso o temo de vaiável vectoial) e o Uma ução eal de vaiável vectoial az, potato, coespode a cada elemeto um úmeo eal y É muitas vezes chamada ução eal de vaiáveis, ução ou campo escala, e pode se deiida po, : D y = ( )

4 Cálculo Dieecial em ode = (,,, ) é a vaiável idepedete, costituída po coodeadas (ou vaiáveis idepedetes) e y = ( ) = (,,, ) é a vaiável depedete As v são, um caso paticula das uções eais com vaiáveis, cosideado = Eemplo : A ução que dá a tempeatua um dado local da Tea é um eemplo de campo escala : 3 (, y, z) t = (, y, z) ode epeseta a latitude, y a logitude, z a altitude e t a tempeatua o poto (, y, z ) Covém salieta, que os elemetos de vectoes, uma vez que, a qualque poto de podem se cosideados como potos ou como pode se associado um vecto, com oigem a oigem do eeecial O = (,,, ) e etemidade o pópio poto O que que dize que, a cada poto pode associa-se um setido, uma diecção e uma oma (deiição de vecto), = (,,,) é o vecto ulo Tatado-se de um vecto = (,,, ), seá epesetado po v com compoetes ( v, v,, v ), ou seja, v =, v =,, v = Eemplo : Repesetação geomética do pa odeado (, 3) como poto, = (, 3) e como vecto v = (, 3) de Figua Repesetação do elemeto (, 3) como poto e como vecto o plao 3

5 Cálculo Dieecial em A igua, ilusta que o vecto v = (, 3), tem oigem o poto O = (,) e etemidade o poto A = (, 3), ou seja, v = OA = A O = (, 3) (,) = (, 3) A diecção é ete O e A, o setido de O paa A e o compimeto o compimeto do segmeto [ OA ], ou seja, OA Domíios Também as uções eais de vaiáveis está subjacete o estudo do domíio da ução paa o qual se azem as estições habituais: deomiadoes dieetes de zeo, adicados de aízes de ídice pa ão egativos, agumetos de logaitmos positivos, etc Deiição : O domíio, D, de uma ução eal de vaiável vectoial, :, é o cojuto de valoes da vaiável idepedete paa os quais a ução está deiida, ou seja, D { : ( ) } = () Nestes temos, D Deiição 3: O cotadomíio, CD, de uma ução eal de vaiável vectoial, y = ( ), é o cojuto de valoes de y obtidos quado pecoe o domíio da ução, ou seja, são os valoes obtidos pela ução quado se substitui a espectiva epessão aalítica os valoes do domíio Simbolicamete, Da deiição, CD { ( ) : } CD = y = D () Eemplo 3: Cálculo do domíio da ução (, y) = y y + l( + ) : deiida po Resolução: Utilizado as estições da aiz quadada e da ução logaítmica, obtém-se {(, ) : 6 } {(, y) : y 6 y } {(, y) : y 6 y } \ {(,)} D = y y + y + > = = < = Paa qualque dos potos petecetes a D é possível veiica que a ução toma um valo eal (que petece ao cotadomíio) Po eemplo, paa o poto (, ), (, ) = 6 + l() Po outo lado, paa o poto (,), (, ) = l() D D 4

6 Cálculo Dieecial em Eemplo 4: Cálculo do domíio da ução + y,(, y) (,) (, y) = + y,(, y) = (,) Resolução: Tata-se de uma ução : deiida po amos, paa o cálculo do domíio de (, y ) é ecessáio estuda o domíio da ução de cada amo: i) No pimeio amo, paa (, y) (, ), (, y) = + y + y O domíio desta ução é \{(,)}, ou seja, a ução está deiida paa (, y) (,) (como é idicado) ii) No segudo amo, a ução está deiida, paa (, y ) = (,), sedo (, y ) = Po i) e ii) coclui-se que \ {(,)} {(,)} D = = 3 Gáicos Muitas vezes é impotate cosegui uma visualização gáica de uma ução, isto é, estabelece uma associação geomética ete cada poto do seu domíio e a espectiva imagem, os valoes do cotadomíio O gáico de uma ução eal de váias vaiáveis deie-se de maeia aáloga ao de uma ução de uma só vaiável Deiição 4: Deie-se gáico, G, de uma ução : D ao luga geomético Repae-se que, sedo {(, ) :, ( )} G = y D y = (3) e y, G, ou seja, G é um subcojuto de + Po este motivo, a epesetação gáica de uma ução eal com vaiáveis é eita um espaço de dimesão +, isto é, um espaço com mais uma dimesão que o úmeo de vaiáveis idepedetes da ução Cosequetemete, só é possível epeseta gaicamete uções com Em paticula: a epesetação gáica de uma ução com = az-se um espaço bidimesioal (o plao), G É o caso de cuvas que epesetam v; a epesetação gáica de uma ução com = az-se um espaço tidimesioal, 3 G Sedo o gáico G uma supeície de potos do tipo (, y, z ), ode (, y) D e z é a cota coespodete 3, omada pelo cojuto de todos os 5

7 Cálculo Dieecial em Assim, a disciplia de complemetos de matemática, a ateção ecai a epesetação gáica de uções deiidas em Cotudo, o aluo deve te pesete os coceitos da epesetação gáica de v Na igua apeseta-se o esboço de uma supeície e do seu domíio Figua Esboço de uma supeície e espectivo domíio Uma vez que D, os domíios de uções eais com vaiáveis são epesetados gaicamete em espaços de dimesão, isto é, em espaços de dimesão igual ao úmeo de vaiáveis idepedetes da ução 4 Cojutos de ível O esboço de gáicos de uções eais com duas vaiáveis ão é um poblema tivial No etato, em detemiadas cicustâcias é possível obte uma boa epesetação gáica destas uções Eistem métodos geométicos que pemitem obte uma melho iomação sobe a oma da supeície, em paticula, é equete ecoe-se à itesecção do gáico (supeície) com plaos pivilegiados, sedo os mais comus os paalelos aos plaos coodeados Oy, yoz e Oz, e/ou aze a epesetação da pojecção o plao Oy das itesecções da supeície com plaos z = c Deiição 5: Dada uma ução : D e um úmeo eal c, ao cojuto dá-se o ome de cojuto de ível de c { : ( ) } N = D = c, (4) 6

8 Cálculo Dieecial em Repae-se que, po deiição, c CD Caso c CD, tem-se N c = Po outas palavas, chama-se cojuto de ível, N, de uma ução : D, ao cojuto c de potos do domíio paa os quais a ução toma um valo costate c, ou seja, ão vaia Paa um detemiado valo de c, também se chama a N c um cotoo de Um gáico que epeseta um cojuto de ível paa dieetes íveis (dieetes valoes de c) é desigado po um gáico de cotoos Como os cojutos de ível de uma ução são subcojutos do seu domíio seão também epesetados gaicamete em espaços de dimesão, ou seja, em espaços de dimesão igual ao úmeo de vaiáveis idepedetes Paa campos escalaes deiidos em, ou seja, quado =, o cojuto de ível c {(, ) : (, ) } N = y D y = c, (5) deie cuvas (lihas) de ível de, e epeseta-se um espaço de dimesão (o plao) Paa campos escalaes deiidos em 3, ou seja, quado = 3, o cojuto de ível c {(,, ) : (,, ) } N = y z D y z = c, (6) deie supeícies de ível de (de cota c) e epeseta-se um espaço de dimesão 3, apesa de ão se possível a epesetação gáica das uções deiidas em 3, uma vez que 4 G Paa 4, as supeícies de ível tomam geeicamete o ome de hipesupeícies de ível e ão é possível a sua epesetação gáica As amílias de cojutos de ível apaecem egulamete em muitas aplicações ísicas Po eemplo, caso (, y ) seja uma ução que epesete a altitude o poto (, y ), as cuvas de ível, as catas topogáicas, uem potos com a mesma altitude (ode a altitude é costate), e são desigadas po isolihas Caso se tate de tempeatuas, as cuvas de ível são chamadas isotémicas e, paa a pessão atmoséica isobáicas Mesmo com a utilização destes métodos geométicos, a epesetação gáica da maio pate das uções de duas vaiáveis eque alguma peícia atística que pode se apeeiçoada atavés de pogamas computacioais eistetes 7

9 Cálculo Dieecial em No esboço dos gáicos haveá a peocupação de da uma ideia da oma da supeície, colocado em segudo plao o igo da epesetação Adicioalmete, como a maio pate das supeícies se pologam ideiidamete, estas apaecem tucadas, e limitadas po um paalelepípedo imagiáio Tal como paa as v, eistem uções deiidas em cuja epesetação gáica se ecota bem estudada a liteatua Cotam-se ete estas, elipsóides, hipebolóides, paabolóides, plaos, eseas, etc Ve, po eemplo, Acilia (995) Eemplo 5: Esboço da epesetação gáica da ução (, y) y = + : deiida po Resolução: O gáico de é epesetado pelo cojuto de todos os potos (, y, z ) de 3 que satisaçam a equação z y = + Pela deiição 3 {(,, ) : (, ), } G = y z y D z = + y Relativamete à itesecção com os plaos coodeados tem-se: A itesecção com o plao Oz ( y = ), é uma paábola de equação, A itesecção com o plao yoz ( = ), é uma paábola de equação A itesecção com o plao Oy ( z = ), eduz-se à oigem z z = = y Figua 3 Repesetação gáica da ução z = y Po outo lado, a epessão geal do cojuto de ível, paa esta ução, é { } { } N = (, y) : (, y) = c = (, y) : + y = c c 8

10 Cálculo Dieecial em Paa dieetes valoes de c obtêm-se cuvas de ível da ução Não é muito diícil veiica + que CD =, uma vez que (, y) = + y, y D = Como oi eeido, c (, ) petece a CD, assim elativamete aos valoes de c, pode-se coclui que: Paa c <, N c =, ão eistem cuvas de ível; Paa c =, {(,)} N = ; c Paa c >, o cojuto de ível seá uma amília de elipses cetadas a oigem, isto é, o gáico de cotoo de, como ilustado a igua 4, cosiste em elipses cocêticas Po eemplo, paa c = y N = {(, y) : + y = } = (, y) : + =, ( ) a cuva de ível é uma elipse de ceto a oigem e semieios a = e b = Note-se que N coespode à pojecção o plao Oy da itesecção da supeície com o plao z = Figua 4 - Cuvas de ível da ução z y = +, c =,3,5,7 Tedo em cota as itesecções com os plaos coodeados e imagiado todas as cuvas de ível ao logo do eio dos zz (pojectadas o plao Oy ) é possível te uma ideia da oma da supeície De acto, a equação z y = + é do tipo z = a + by + c, com a =, b = e c =, ou seja, é um caso paticula das quádicas O gáico da ução é um paabolóide elíptico ( a b ) cujo eio é o eio dos zz e o vétice o poto (,, c ) = (,,) Como a, b >, o paabolóide tem a cocavidade voltada paa cima, como ilusta a igua 5 9

11 Cálculo Dieecial em Figua 5 Repesetação gáica da ução z = + y 5 Noções topológicas Paa se estuda o compotameto de uções de váias vaiáveis, é ecessáio aze eeêcia às oções topológicas em Deiição 6: Sejam = (,,, ) e y = ( y, y,, y ) dois elemetos de A distâcia (euclidiaa) de a y, que se epeseta po d(, y ), é d(, y ) = ( y ) + ( y ) + + ( y ) (7) A distâcia de a y também se epeseta po y, a oma do vecto y Na poposição seguite apesetam-se, sem demostação, algumas popiedades da distâcia euclidiaa Poposição : Sejam, y e z potos de (i) d(, y ),, y ; (ii) d (, y) = = y ;, etão: (iii) d(, y) = d( y, ),, y (simetia da distâcia); (iv) d(, y) d(, z) + d( z, y ), y, z (desigualdade tiagula)

12 Cálculo Dieecial em Cosidee-se o espaço muido da distâcia usual, isto é, a distâcia euclidiaa + Deiição 7: Fiado um poto a = ( a, a,, a ) e dado Ao cojuto de todos os potos cuja distâcia ao poto a é meo do que, chama-se bola abeta de dimesão, de ceto em a e aio, e epeseta-se po { } B ( a) = : d(, a ) < (8) Po outo lado, ao cojuto { } B ( a) = : d(, a ), (9) chama-se bola echada de dimesão, de ceto em a e com aio As epessões dadas po (8) e (9) são equivaletes, espectivamete, a e a ( a ) + ( a ) + + ( a ) <, () ( a ) + ( a ) + + ( a ) () O coceito de bola abeta geealiza a oção de vizihaça em, pois se =, ] [ a = a e B ( a) = a, a + (itevalo abeto), que coespode ao coceito de vizihaça em, po outo lado, B ( a) [ a, a ] = + (itevalo echado) Neste setido, bolas abetas e echadas são etesões atuais dos cojutos abetos e echados de (da ecta eal) O cojuto de a V, que coteha uma bola abeta de ceto em a e aio, é, aida, uma vizihaça Paa =, uma bola abeta, B ( a ), coespode ao iteio de uma cicueêcia de aio e ceto em a, equato uma bola echada, B ( a ), coespode a um cículo de aio e ceto em a Figua 6 Eemplo de uma bola abeta em

13 Cálculo Dieecial em Seja X, um cojuto, a = ( a, a,, a ), um poto, e > Deiição 8: O poto a diz-se poto iteio ao cojuto X sse eisti uma bola abeta de ceto em a, cotida em X Ao cojuto de todos os potos iteioes a X, chama-se iteio de X e epeseta-se po it( X ) Simbolicamete, Repae-se que, it( X ) X a it( X ) B ( a ) X () Deiição 9: O poto a diz-se poto eteio ao cojuto X sse eisti uma bola abeta de ceto em a, cotida o complemeta de X (se o iteio do seu complemeta) Ao cojuto de todos os potos eteioes a X, chama-se eteio de X e epeseta-se po et( X ) Simbolicamete, Ode, c X epeseta o complemeta de c X X c a et( X ) B ( a ) X (3) X, ou seja, é o cojuto \ X Tem-se, potato, Deiição : O poto a diz-se poto oteio ao cojuto X sse qualque bola abeta de ceto em a, cotive pelo meos um poto de X (se ão o em poto iteio em poto eteio de X) Ao cojuto de todos os potos oteios a X, chama-se oteia de X e epeseta-se po ot( X ) Simbolicamete, c a ot( X ) B ( a ) X e B ( a ) X, (4) Os cojutos, iteio, eteio e oteia são disjutos dois a dois, isto é, it( X ) et( X ), it( X ) ot( X ) e et( X ) ot( X ), e a sua uião é o uiveso cosideado, sedo X, vem it( X ) et( X ) ot( X ) Figua 7 Repesetação de bolas abeta em

14 Cálculo Dieecial em No âmbito da disciplia de complemetos de matemática, cosideam-se apeas bolas em ão sobecaega a otação, em vez de B ( a ), utiliza-se B ( a ), paa Da igua 7, pode-se coclui o seguite: B ( a ) está cotida o complemeta de X, potato, a ão petece ao iteio de X, petece ao seu eteio; B ( a ) está cotida em X, potato, a petece ao iteio de X, ão petece ao seu eteio; B ( a ) ão está cotida em o cojuto X em o seu complemeta, potato, a 3 ão 3 petece em ao iteio em ao eteio de X, é um poto oteio de X Deiição : Chama-se echo ou adeêcia de X à uião do iteio de X com a sua oteia e epeseta-se po ad( X ) X Simbolicamete, ad( X ) X it( X ) ot( X ) (5) Pova-se que um poto a é um poto adeete a X sse qualque bola abeta de ceto em a cotive pelo meos um elemeto de X, ou de outa oma, sse eisti uma sucessão de elemetos de X covegetes paa a Tedo em cota a igualdade dada em (5), esulta que et( X ) \ X Deiição : O cojuto X diz-se abeto sse coicide com o seu iteio Eemplo 6: é um cojuto abeto Deiição 3: O cojuto X diz-se echado sse coicide com a sua adeêcia, ou seja, se o seu complemeta o abeto Saliete-se que, equato a liguagem coete as oções de abeto e echado são opostas, o mesmo ão acotece com as oções topológicas de abeto e echado De acto, há cojutos que são simultaeamete abetos e echados, como po eemplo, e o cojuto vazio Há também cojutos que ão são abetos em echado, como po eemplo, o cojuto C (, y) : y (poquê?) 3

15 Cálculo Dieecial em Deiição 4: O poto a diz-se um poto de acumulação do cojuto X sse qualque bola abeta de ceto em a tive pelo meos um poto de X dieete de a (se houve potos de X, distitos de a, abitaiamete peto de a) Ao cojuto de todos os potos de acumulação de X, chama-se deivado de X e epeseta-se po X Simbolicamete, a X B ( a) X \{ a } (6) Eemplo 7: Cosidee-se o cojuto X(, y) : (4,) Qualque poto a ( a, a ), com a é um poto de acumulação de X, emboa ão peteça a X O poto b (4,) petece a X, mas ão é poto de acumulação deste cojuto já que, po eemplo, B (4,) X \{(4,)} Este eemplo mosta que o acto de um poto a se poto de acumulação de um cojuto X é idepedete do acto de ele petece ou ão a X O que impota é que, tão peto de a quato se queia, se possam ecota potos de X distitos de a Deiição 5: O poto a diz-se poto isolado do cojuto X sse eisti uma bola abeta de ceto em a cuja itesecção com X o apeas o pópio a Simbolicamete, B Note-se que, ad( X ) X potos isolados ( a) X a (7) Deiição 6: O cojuto X diz-se limitado sse eisti uma bola (de ) que o coteha Deiição 7: O cojuto X diz-se compacto sse o limitado e echado Estas oções são impotates, poque, po eemplo, só se podeá deii limite de uma ução um poto de acumulação do seu domíio e só se podeá deii deivada de uma ução um poto iteio do domíio 4

16 Cálculo Dieecial em Eemplo 8 : Classiicação topológica do domíio de (, y) = y y + l( + ) Resolução: No Eemplo 3, viu-se que D = {(, y) : y 6 y } \ {(,)} A epesetação gáica deste cojuto é, Figua 8 Gáico do domíio da ução y y y (, ) = l( + ) ( ) {(, ) : 6 } it D = y y < y > D Como, it( D ) D, D ão é um cojuto abeto; ot( D ) = {(, y) : ( y = 6 y = ) 3 < } Obs: Os potos de itesecção ete a ecta e a paábola são y = = = = y = 6 3 ( ) ( ) ( ) {(, ) : 6 } ad D = it D ot D = y y y D Como, ad( D ) D, D ão é um cojuto echado; eiste uma bola de que cotém D, po isso, D é um cojuto limitado Apesa de se limitado, uma vez que ão é echado, D ão é um cojuto compacto 5

17 Cálculo Dieecial em 6 Limites A deiição de limite paa uções eais de vaiável vectoial é aáloga à deiição de limite paa v E tem a ve com o estudo do compotameto da ução a vizihaça de um poto Deiição 8: Seja : D e a, um poto de acumulação de D Etão lim ( ) = l sse { } : \ ( ) δ > ε ( δ ) > D a a < ε l < δ (8) Atavés da deiição de limite pova-se que, se eisti, o limite é úico (uicidade do limite) Paa uções de váias vaiáveis, quado a, isto é, quado se apoima de a ao logo de uma detemiada diecção, ao limite lim ( ) dá-se o ome limite dieccioal Na disciplia de complemetos de matemática cosidea-se apeas os limites de uções deiidas em, paa as quais um caso paticula da deiição 8, é: Deiição 9: Seja e : D (, ) a b, um poto de acumulação de D Etão, lim (, y) = l sse (, y) ( a, b) { } : (, ) \ (, ) (, ) (, ) (, ) δ > ε ( δ ) > y D a b y a b < ε y l < δ, (9) ode (, y) ( a, b) ( a) ( y b) = + A deiição de limite paa uções eais de duas vaiáveis pode se itepetada atavés do seguite esquema y ε ( a, b ) l l + δ (, y ) (, y ) l δ 6

18 Cálculo Dieecial em Isto sigiica, que os valoes de (, y ) estão tão póimos de l quato se queia ( (, y) l < δ ), desde que (, y) ( a, b) esteja suicietemete peto de ( a, b ) ( (, y) ( a, b) < ε paa um valo adequado de δ ) Paa se utiliza a deiição de limite, um pocedimeto, seá po majoações sucessivos de (, y) l até se obte uma epessão em (, y) ( a, b) ( a) ( y b) = + Paa dieetes majoações podem obte-se dieetes epessões paa ε ( δ ) Tedo em vista esta majoação são úteis, ete outas, as seguites desigualdades: + y dode y + y ; y + y + y ; ( ) y e ( ) + k + y k + y, k ; si e cos ; si e cos ; si e cos ; + + y, ; acta π < A aplicação da deiição, quado se petede calcula o limite de uma ução eal de váias vaiáveis, em sempe é taea ácil Paa além disso, o limite de uma detemiada ução pode ão eisti No que se segue, tatam-se de esultados, elacioados com a eistêcia de limite Resultados estes, que pemitem em muitos casos a ão utilização da deiição, em paticula, caso o limite ão eista Como é sabido, em v, pela uicidade do limite, paa que eista o limite lim ( ) = l, deve te- a se lim ( ) = lim ( ) = l, ou seja, têm que eisti e seem iguais os limites lateais à esqueda + (quado se apoima de a po valoes ieioes) e à dieita de a (quado se apoima de a po valoes supeioes) Raciocíio aálogo pode se aplicado às uções : A dieeça está o acto de eistiem iiitas diecções ao logo das quais a vaiável se pode apoima de um dado 7

19 poto ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Cálculo Dieecial em a, cotaiamete às úicas duas possíveis em Assim, se eiste lim ( ), pela uicidade do limite, todos os limites dieccioais deveão se iguais, isto é, o limite é idepedete da diecção descita pelo poto a sua apoimação ao poto a Cosequetemete, a pática, ão é possível estabelece a eistêcia de limite paa uções eais de váias vaiáveis tedo po base este agumeto, uma vez, se eistisse limite deve-se-ia calcula iiitos limites e estes deveiam se todos iguais Cotudo, da mesma maeia, que se coclui pela ão eistêcia de limite, em v, caso os limites lateais ão sejam iguais, ou ão eistam, em uções de váias vaiáveis, basta, que dois limites dieccioais sejam dieetes paa que ão eista limite (se se ecota duas maeias de apoimação a a cujos limites sejam dieetes é suiciete paa se coclui que o limite ão eiste) Ateção que, o acto de váios limites dieccioais seem iguais ão gaate a eistêcia do limite da ução (pode sempe have uma diecção paa a qual o limite ão seja igual ou ão eista) O que oi aqui dito pode se esumido a seguite poposição Poposição : Seja : D e dois subcojutos de a, um poto de acumulação de D Sejam B e C D, dos quais a é também um poto de acumulação Etão: (i) lim ( ) ão eiste lim ( ) ão eiste; a B (ii) lim ( ) lim ( ) lim ( ) ão eiste B C A pocua de cojutos B e C as codições da poposição ateio pode ão se taea ácil, paa a qual ão eistem egas deiidas No caso de limites de uções (, y ) de duas vaiáveis quado (, y ) tede paa ( a, b ), uma pimeia tetativa podeá se pocua B e C como sedo amílias de ectas, paábolas ou outas quaisque tajectóias que passem pelo poto ( a, b ) (caso eista o limite, todos os limites segudo as tajectóias que passem o poto ( a, b ) deveão se iguais), ou aida ete as cuvas de ível da ução Covém o etato salieta que, uma vez que a codição da poposição é apeas suiciete, se ão se cosegui ecota B e C com as caacteísticas desejadas ada se podeá coclui com base aquela poposição 8

20 Eemplo 9: Estudo do ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL y lim (, y) (,) + y Resolução: O domíio da ução é D = \{(,)} Cálculo Dieecial em O poto (,) é um poto de acumulação do domíio da ução (poquê?) Tal como o cálculo de limites paa v, começa-se po substitui o poto de acumulação em (, y ), lim (, y) (,) y = + y, como se obteve uma idetemiação, essa deve se levatada Caso ão dê idetemiação o valo obtido é o valo do limite (mesmo que dê iiito) Paa se levata a idetemiação, calculam-se limites segudo algumas tajectóias, limites dieccioais Po eemplo, ao logo das lihas mais simples, a amília de ectas que passam em ( a, b ) = (,), ou seja, as ectas da oma y = b + m( a) y = m, ode m é o declive destas ( a, b) = (,) ectas A estição de (, y) às ectas y = m, cocoetes a oigem, é m m (, m) = = + ( m) + m m, logo lim (, y) = lim (, m) = lim =, (, y) (,) + m y= m o que que dize que o limite desta ução, quado (, y ) se apoima de (,) ao logo das ectas de equação y = m, é zeo Pode coclui-se que o limite ão depede do declive (m) destas ectas (ão depede destas tajectóias) que passam a oigem Potato, paa já, apeas se pode coclui que, caso eista o limite o seu valo é zeo, ada se cocluido quato à sua eistêcia Calcule-se o limite ao logo da amília de paábolas que passam a oigem, de equação (, y) (,) (, y) (,) 4 y= m y= m y = m, lim (, ) lim y lim m lim m y = = = = + y + m + m, o limite desta ução, quado (, y ) se apoima de (,) ao logo das paábolas de equação y = m, cotiua a se zeo O cálculo dos limites segudos estas tajectóias idica que deve pova-se que (, y) (,) y lim = Pela deiição, + y < <, δ > ε ( δ ) > : (, y) D \{(,)} (, y) (,) ε (, y) δ ou seja, paa δ > eiste outo úmeo positivo ε, que depede de δ, tal que, paa y < (, y) (,) = + y < ε, se tem (, y) = + y < δ 9

21 Cálculo Dieecial em Como + y e y + y, vem ( ) y y + y + y = = + y + y + y + y, caso uma vez que + y < ε δ etão y + y < ε δ < + y δ, y + y y ε + < δ, basta, potato, cosidea,ε δ, ou em paticula, ε ( δ ) = δ, paa se gaati que isto é, que y + y < ε = δ δ, + y δ > ε = δ : < (, y lim = y) (,) + y Note-se que o valo de lim ( ) é idepedete do que acotece o pópio poto a Basta te-se em cota que, o cálculo do limite do eemplo ateio, o poto a = (,) ão petece ao domíio D = da ução, \{(,)} Obs: O cálculo de limites dieccioais paa potos ( a, b) (, ), pode se acilitado ao se eectua uma taslação dos eios que coloque a ova oigem em ( a, b ), icado assim o estudo de um limite em (,) Um pocesso bastate útil o cálculo de limites, em paticula quado estes ão eistem, são os chamados limites iteados, que se passa a deii Supodo lim ( ) = lim (,,, ) = l, (,,, ) ( a, a,, a ) admite-se que as vaiáveis,,, covegem simultaeamete paa a, a,, a Pode admiti-se que pimeio se az tede paa a depois a,, ialmete, a, obtedose, assim, um limite escaloado ou iteado, que se epeseta po lim lim lim (,,, ) a a a

22 Cálculo Dieecial em No caso de se te vaiáveis, os limites iteados são em úmeo de! Se eiste lim ( ) e eistem os! limites iteados etão todos têm o mesmo valo Clao que a eistêcia de dois limites iteados iguais ão implica a eistêcia do limite, mas a eistêcia de dois limites iteados distitos implica a ão eistêcia de limite o poto cosideado Em paticula, paa =, elativamete a lim (, y) eistem dois limites iteados, (, y) ( a, b) lim lim (, y) y b e lim lim (, y) y b Eemplo : Estudo do lim (, y) (,) y + y Resolução: O domíio da ução é D = \{(,)}, e lim (, y) (,) y = + y Po vezes uma simples aálise da ução pemite coclui que os limites iteados eistem e são dieetes, cocluido-se que o limite ão eiste Neste eemplo, ou seja, y lim lim = lim y + y y y = e lim lim = lim =, y + y y lim lim (, y) lim lim (, y) y y y Como os limites iteados eistem e são dieetes pode coclui-se que ão eiste lim (, y) (,) + y Se os limites iteados ossem iguais, ada se podeia coclui quato à eistêcia do limite da ução Deve-se-ia, po eemplo, teta calcula o limite ao logo de outa(s) tajectóia(s) (e assim po diate) até se te ou ão idicações de que o limite eiste Se houvesse idícios da eistêcia do limite, aplicava-se a deiição, ou outo pocedimeto qualque, paa se pova a sua eistêcia Neste eemplo, apesa de se te povado que o limite ão eiste, estudam-se os limites dieccioais ao logo da amília de ectas que passa pelo poto (,), de equação y = m, y y ( m) m m lim = lim = lim = lim = + y + y + ( m) + m + m (, y) (,) (, y) (,) y= m, como o limite depede de m, o declive das ectas, isto é, depede da tajectóia de apoimação de (, y ) à oigem, coclui-se que este limite ão eiste Em paticula, paa m = lim (, y) (,) (, y) = e paa m = lim (, y) (,) 3 (, y) = 5

23 Cálculo Dieecial em Eemplo : Estudo do lim (, y) (,) Resolução: Os limites iteados são eiste, uma vez que, lim se yse lim lim yse = e lim lim yse, este último limite ão y y ão eiste Assim, ada se pode coclui, quato a eistêcia do limite utilizado os limites iteados Pova-se mais adiate que lim yse = (, y ) (,) O eemplo, ilusta que, paa se pode coclui sobe a eistêcia de limite, utilizado limites iteados estes devem eisti As popiedades dos limites de v cotiuam válidas paa uções eais de vaiável vectoial Apesetam-se aqui algumas sem demostação Poposição 3: Sejam, g e h uções de D Etão, () lim ( ) = l lim ( ) l = ; D, e seja aida a um poto de acumulação de () Se lim h( ) = l, lim g( ) = l e eiste uma bola B ( a ) tal que h( ) ( ) g( ) paa todo B ( a ) D etão lim ( ) = l (Lei do equadameto); (3) Se lim ( ) = e eistem M > e uma vizihaça B ( a ) tal que g( ) M paa todo B ( a ) D, etão lim ( ) g( ) = ; (4) Se eiste > e g( ) tais que: ( ) l g( ) paa todo o B ( a ) D e lim g( ) = l, etão lim ( ) = l ; (5) Se lim ( ) = l, lim g( ) = l e α, β, etão (i) lim α ( ) = αl ; (ii) lim( α ( ) ± β g( )) = αl ± βl ; (iii) lim( ( ) g( )) = ll ; ( ) l (iv) lim = g ( ) l, ( l ) Algumas das popiedades, apesetadas a poposição 3, pemitem detemia limites de uções de váias vaiáveis sem ecoe à deiição

24 Cálculo Dieecial em Eemplo : Estudo do y lim (, y) (,) + y Resolução: Este limite oi calculado o eemplo 9 Vê-se que y y y = = + y + y y, sedo lim = lim y =, coclui-se, pela lei do equadameto, que também (, y) (,) (, y) (,) (, y) (,) y lim = + y e, cosequetemete, (, y) (,) y lim = + y Eemplo 3: Estudo do lim yse (, y ) (,) Resolução: Uma vez que se M = e como lim y=, atavés do poto (3) da poposição (, y) (,) 3 coclui-se que lim yse = O poduto de um iiitésimo po uma ução limitada é um (, y ) (,) iiitésimo 7 Cotiuidade Ao cotáio da oção de limite, que está ligada ao estudo do compotameto de uma vizihaça de um poto sem te em cota o que acotece o pópio poto, a oção de cotiuidade elacioa o compotameto de uma ução peto de um poto com o valo que ela toma esse poto A cotiuidade pode, potato, se epessa em temos do limite Deiição : Seja : D A ução diz-se cotíua o poto { } a D quado : \ ( ) ( ) δ > ε ( δ ) > D a - a < ε a < δ Sedo a um poto de acumulação da ução, diz-se que a ução é cotíua o poto a sse lim ( ) = ( a ) A deiição geealiza o coceito de cotiuidade a uções deiidas em Como apeas se pode visualiza o gáico de uções com, o âmbito da disciplia complemetos de matemática, iteessa a seguite deiição paa uções deiidas em supeícies, cujos gáicos são 3

25 Cálculo Dieecial em Deiição : Seja : D quado { } A ução (, y), diz-se cotíua o poto ( a, b) D : (, ) \ (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) δ > ε ( δ ) > y D a b y - a b < ε y a b < δ Sedo ( a, b ) um poto de acumulação da ução, esta é cotíua o poto ( a, b ) sse lim (, y) = ( a, b) (, y) ( a, b) Também em, a ideia de cotiuidade de uma ução um detemiado poto esta ligada à ão eistêcia de saltos o gáico da ução esse poto Relativamete às v, a dieeça está o acto de em eistiem muitas omas de apoimação a um poto, e potato deve-se gaati que a cotiuidade se veiica, seja qual o a oma de apoimação ao poto Uma ução : D é cotíua sse o cotíua em todos os potos do seu domíio Se a codição de cotiuidade ão se veiica um ceto poto a, etão este seá um poto de descotiuidade: D A descotiuidade é ão essecial, emovível ou pologável se eisti lim ( ) Chamase, potato, pologameto po cotiuidade de ao poto a, à ução * que coicide com os potos ode já estava deiida e que o poto a toma o valo * ( a) = lim ( ) : * ( ), D ( ) = lim ( ), = a () a Neste caso, também, se diz que a ução é pologável po cotiuidade o poto a Note-se que, emboa a D, como é eigido que eista lim ( ), o poto a teá que se um poto de acumulação do domíio, paa que aça setido calcula o limite esse poto Caso ão eista lim ( ), a descotiuidade é ão emovível e a ução ão podeá se pologada po cotiuidade ao poto a Uma ução : D diz-se descotíua um poto a sse ão o cotíua em pologável po cotiuidade a esse poto Deiição : Uma ução : da oma (,,, ) = α i i i, ode α é um escala e i, i,, i são úmeos iteios ão egativos, é chamado um moómio Uma ução que epeseta a soma de moómios é um poliómio 4

26 Poposição 4: Uma ução poliomial : é cotíua em todo o poto Cálculo Dieecial em a Deiição 3: Se g e h oem ambas uções poliomiais, à ução ução acioal ( ) = g( ) h( ) dá-se o ome de Poposição 5: Uma ução acioal : D é cotíua em todos os potos do seu domíio Eemplo 4: Estudo da cotiuidade da ução (, y) = Resolução: O domíio da ução é D = \{(,)} y + y Sedo uma ução acioal é cotíua em todos os poto do seu domíio Po outo lado, como oi visto o eemplo 9, (, y) (,) y lim =, ou seja, a ução pode se pologada po cotiuidade a oigem Isto que + y dize que a ução y,(, ) (,) * y (, y) = + y,(, y) = (,) (o pologameto po cotiuidade de (, y ) à oigem) é cotíua em pode se ilustado atavés do gáico da ução (, y ), apesetado a igua 9, o seu domíio O que Figua 9 Repesetação gáica da ução - - y (, y) = + y 5

27 Cálculo Dieecial em A igua, ilusta que o limite da ução segudo qualque tajectóia que passe o poto (,) é zeo, e a elação deste acto com a cotiuidade da ução este poto, ode se vê ão eistiem quaisque saltos Eemplo 5: Estudo da cotiuidade da ução (, y) = Resolução: O domíio da ução é D = \{(,)} y + y Sedo uma ução acioal é cotíua em todos os poto do seu domíio Po outo lado, como oi visto o eemplo, ão eiste lim (, y) (,) y + y {(, ) : (, ) (,)}, assim, apesa da ução se cotíua o cojuto abeto U = y y, ão é cotíua em, em é pologável po cotiuidade a esse cojuto É possível veiica que o gáico da ução, ilustado a igua 9, apeseta um salto a oigem Figua Repesetação gáica da ução (, y) = - y + y Esta igua, ilusta o acto do limite da ução quado (, y) (,) ão eisti, e a elação deste acto com a ão cotiuidade da ução este poto Uma vez que a cotiuidade de uções um poto pode se deiida em temos de limite, a pati da poposição 3, é possível coclui sobe as popiedades coespodetes paa a cotiuidade de uções Seguem-se, sem demostação, algumas dessas popiedades: 6

28 Cálculo Dieecial em Poposição 6: Supodo as uções : e g : cotíuas em a Etão as uções ( ) ± g( ), ( ) g( ), ( ) g( ), ( g( a ) ) e α ( ) (α ), são cotíuas em a Tal como acotece o caso de v, a composta de duas uções cotíuas, quado tal composição é possível, é aida uma ução cotíua Teoema : Seja : D cotíua o poto y = ( ) Dg a, etão a ução composta go ( ) = g [ ( )] a D e g : Dg é cotíua o poto a cotíua em Pode aida, estabelece-se a seguite elação ete limite e composição de uções Teoema : Sejam : D, g : Dg e ( D ) Dg Se lim ( ) = l e g o lim go ( ) = lim g ( ) = g( l) cotíua o poto l, etão [ ] Eemplo 6: Estudo da cotiuidade da ução Resolução: O domíio da ução é D = \{(,)} se + y (, y) = + y, e o seu gáico é em Figua Repesetação gáica da ução se + y (, y) = + y Como se pode veiica o gáico da ução (, y ) ão apeseta quaisque saltos, é de espea que a ução seja cotíua em 7

29 Comecemos po estuda a cotiuidade em D = \{(,)} Seja Cálculo Dieecial em h(, y) y = + cotíua (, y), e g( t) si = t cotíua em Etão, pelo teoema, a ução goh(, y) = g( h(, y)) = g( + y ) = se + y é cotíua em Cosequetemete, pela poposição 6, a ução cotíua (, y) \ {(,)}, isto é, o seu domíio se + y (, y) = + y é Paa se estuda a cotiuidade da ução em, alta estuda a oigem, um poto de descotiuidade Utilizado o teoema, calcula-se o limite da ução quado (, y) (, ), paa se veiica que tipo de descotiuidade é este poto Como lim (, y) (,) + y = = l, cosidea-se si t, t w( t) = t, t = que é cotíua em t = = l, pois se t lim w( t) = lim = = g() Sedo a ução composta t t t se + y woh(, y) = = (, y), paa + y + y, etão pelo teoema, lim (, y) = lim woh(, y) = lim se + y = g() = = g( l) + y (, y) (,) (, y) (,) (, y) (,) Obs: paa o cálculo deste limite, se + y se se lim (, y) = lim = lim = lim = + y (, y) (,) (, y) (,) (, y) (,) Pode-se coclui que a descotiuidade da ução o poto (,) é emovível, a ução é pologável po cotiuidade a oigem Isto é, a ução se + y,(, y) (,) = +,,(, y) = (,) * (, y) y é cotíua paa todos os potos (, y), o seu domíio 8