NÚMEROS IRRACIONAIS E TRANSCENDENTES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "NÚMEROS IRRACIONAIS E TRANSCENDENTES"

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA UNIVERSIDADE VIRTUAL DO MARANHÃO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM MATEMÁTICA NÚMEROS IRRACIONAIS E TRANSCENDENTES IMPERATRIZ 009

2 JULIMAR CARLOS DE OLIVEIRA CARLOS CRUZ GOMES NÚMEROS IRRACIONAIS E TRANSCENDENTES Moogafia apesetada ao Depatameto de Matemática e Física da UFSC, como equisito pacial paa obteção do gau de pofesso Especialista em Matemática. Oietado: Pof.º Elieze Batista IMPERATRIZ 009

3 Oliveia, Julima Calos Númeos iacioais e tascedetes/ Julima Calos de Oliveia; Calos Cuz Gomes.-Impeatiz, 009. Moogafia (Especialização em Matemática) Uivesidade Fedeal de Sata Cataia e Uivesidade Vitual do Maahão, 009..Númeos Iacioais..Númeos Tascedetes. 3. Númeos Algébicos. I Gomes, Calos Cuz. II.Título. CDU 5.4

4 JULIMAR CARLOS DE OLIVEIRA CARLOS CRUZ GOMES NÚMEROS IRRACIONAIS E TRANSCENDENTES Moogafia apesetada ao Depatameto de Matemática e Física da UFSC, como equisito pacial paa obteção do gau de Pofesso Especialista em Matemática. Apovada em / / BANCA EXAMINADORA Pof.º Elieze Batista (oietado) Pof. D. Lício Heaes Bezea Pof. D. Iva Potual Costa e Silva

5 A todos os pofessoes do cuso de especialização, em especial ao pofesso Elieze Batista e à Coodeadoa do cuso, Nei Teeziha Both Cavalho, po teem se empehado paa o bom adameto deste cuso. Calos Cuz A todos os pofessoes do cuso de especialização em Matemática da UFSC e, em especial, ao pofesso Elieze Batista po te os oietado de foma tão pestativa ao logo de todo o tabalho. Julima Calos

6 AGRADECIMENTOS A todos os pofessoes do cuso de especialização em matemática da UFSC que duate todo o cuso os popocioaam os fudametos ecessáios paa a busca do cohecimeto. A Deus, pelo dom da vida, e po te os dado, até aqui, foça, saúde e iteligêcia paa que pudéssemos alcaça mais essa coquista. A toda a equipe de fucioáios da Uivima po teem povido os meios ecessáios paa facilita o osso acesso ao sabe. Aos ossos colegas de tuma, pelos cohecimetos e expeiêcias compatilhados o decoe de todo o cuso. A todos aqueles que de uma foma dieta ou idieta cotibuíam paa que pudéssemos alcaça osso tão almejado objetivo.

7 A filosofia está escita esse gade livo, ou seja, o uiveso, que se ecota abeto cotiuamete ate os ossos olhos, mas ele ão pode se etedido a meos que se apeda, pimeio, a le sua liguagem e itepeta as letas com as quais o compuseam. Ele foi escito o idioma da matemática e seus símbolos são tiâgulos, cículos e outas figuas geométicas sem as quais é humaamete impossível etede uma úica palava de seu texto. Galileu Galilei, Il Saggiatoe (63)

8 RESUMO Este tabalho tata dos úmeos iacioais e tascedetes caacteizado-os sob difeetes aspectos. Paticulamete taz a demostação da iacioalidade do úmeo π e do úmeo e de Eule, base do logaitmo atual. Também apeseta uma demostação da tascedêcia do úmeo e baseada o oteio de execícios popostos po D.G. de Figueiedo em [4], além de um pequeo apahado históico sobe π, e, úmeos algébicos e tascedetes. Palavas-chave: úmeos acioais, úmeos iacioais, úmeos algébicos, úmeos tascedetes, úmeo π, umeo e.

9 SUMÁRIO INTRODUÇÃO...8. CAPÍTULO I NÚMEROS RACIONAIS E IRRACIONAIS.... Caacteização dos Númeos Racioais.... Radiciação e Iacioalidade Eumeabilidade dos Racioais Não Eumeabilidade dos Iacioais.... CAPÍTULO II ALGUNS NÚMEROS IRRACIONAIS...4. Iacioalidade do Númeo e...4. Um pouco da Históia do Númeo π Iacioalidade do Númeo π CAPÍTULO III NÚMEROS ALGÉBRICOS TRANSCENDENTES Um Pouco Sobe Númeos Algébicos e Tascedetes Caacteização dos Númeos Algébicos e Tascedetes CAPÍTULO IV A TRANSCÊNDENCIA DO NÚMERO e CONCLUSÃO REFERÊNCIAS APÊNDICES Algoitmo da Divisão de Euclides Teoema Fudametal da Aitmética...58

10 8 INTRODUÇÃO Desde a auoa da históia escita os sees humaos têm ecessitado lida com úmeos. Paa os atigos, e paa algumas tibos aida hoje, os úmeos estão esumidos aos atuais. De fato, quado se toa ecessáio eumea aquilo que possuímos, os úmeos atuais são suficietes. Cedo ou tade, poém, devemos lida com medições, ecota a áea de um teeo, o volume de um ecipiete ou a distâcia ete duas cidades e é altamete impovável que tais medidas esultem em valoes exatos de uidades. Daí suge a ecessidade de fações. As fações já eam cohecidas pelos egípcios e babilôios que ciaam meios egehosos de egistá-las e de faze cálculos com elas. Mas foam os gegos, iflueciados pelos esiametos de Pitágoas, que fizeam das fações o ceto de seu sistema matemático filosófico, elevado-as a uma codição quase mítica. Os pitagóicos aceditavam que tudo o mudo, da física e da cosmologia até a ate e a aquitetua, podia se expesso em temos de fações, isto é, úmeos acioais. Esta ceça povavelmete oigiou-se do iteesse de Pitágoas pelas leis da hamoia musical. Assim, Pitágoas aciociou que se a música ea baseada em úmeos acioais, cetamete o mesmo deveia acotece com o uiveso iteio. E os úmeos acioais passaam a domia a visão gega do mudo, exatamete como o pesameto acioal domiou sua filosofia (de fato, a palava gega paa acioal é logos, da qual deiva o temo modeo, lógica). É clao que ão foam apeas agumetos filosóficos que colocaam os úmeos acioais tão o ceto da matemática. Uma popiedade que distigue esses úmeos dos iteios é que os acioais fomam um cojuto deso de úmeos A palava desa eflete com pecisão o modo como os acioais se distibuem ao logo da liha dos úmeos. Pegue qualque segmeto de eta e, ão impota o quão pequeo ele seja, estaá sempe povoado po um úmeo ifiito de potos acioais. Assim paece atual coclui, como os gegos fizeam, que toda a liha dos úmeos é povoada po potos acioais. Mas a matemática o que paece se uma coclusão atual muitas vezes se evela falsa. Um dos mometos mais impotates da históia da matemática foi a descobeta de que os úmeos acioais, apesa de sua desidade, deixam buacos ao logo da liha dos úmeos, ou seja, potos que ão coespodem a ehum úmeo acioal. A descobeta desses buacos é atibuída a Pitágoas, emboa possa te sido feita po um de seus discípulos. A descobeta evolveu a diagoal de um quadado uitáio. Chamado o compimeto da diagoal de x, pelo Teoema de Pitágoas teemos

11 9 x, de modo que x é a aiz quadada de, que escevemos. Os pitagóicos, é clao, pesumiam que este úmeo ea igual a alguma fação e tetaam petiazmete ecotá-lo. Ceto dia, poém, um deles fez a espatosa descobeta de que igual a uma fação. E assim foi descobeta a existêcia dos úmeos iacioais. A descobeta de que ão podia se é iacioal deixou os pitagóicos um estado de choque, pois lá estava uma quatidade que podia claamete se medida e até mesmo costuída com esquado e compasso e, o etato, ão se tatava de um úmeo acioal. Fiéis ao seu juameto de segedo, os pitagóicos se compometeam a mate a descobeta somete ete eles. Etetato, o cohecimeto da descobeta espalhou-se e logo outos úmeos iacioais foam ecotados. Na época em que Euclides esceveu seus Elemetos, o século III a.c., os úmeos iacioais já tiham deixado de se ovidade. No etato, uma teoia iteiamete satisfatóia dos iacioais, destituída de cosideações geométicas, só apaeceu em 87, quado Richad Dedekid (83-96) publicou seu famoso esaio Cotiuidade e úmeos iacioais. Jutado o cojuto dos úmeos acioais com o dos iacioais obtemos o cojuto maio dos úmeos eais. Caacteiza os úmeos iacioais a pati da costução dos acioais seá osso objetivo o pimeio capítulo. Já o segudo, demostaemos a iacioalidade de duas das mais impotates costates matemáticas; π e e, além de um pequeo apahado históico sobe eles. Outa alteativa de classificamos os eais é em algébicos e tascedetes. Dizemos que um úmeo x é algébico quado satisfaz uma equação poliomial com coeficietes iteios, ou seja, existem a,..., 0 a paa os quais a a x a x... a x a x 0. 0 A gade maioia dos úmeos que ecotamos satisfaz essa codição. Não é difícil pecebe que todo úmeo acioal é algébico assim, se um úmeo ão satisfize a equação acima ecessaiamete deve se iacioal. A ecípoca dessa afimação ão é vedadeia pois, po exemplo, a aiz -ésima de todo úmeo pimo é iacioal sedo que tal úmeo, o etato, é algébico. Quado um úmeo ão satisfaz uma equação poliomial com coeficietes iteios dizemos que ele é um úmeo tascedetal idicado com isso apeas que esses úmeos tascedem, ou seja, vão além o eio dos úmeos algébicos. A

12 0 questão que itigou po muito tempo os matemáticos ea a seguite: existião úmeos iacioais ão algébicos? Essa esposta só foi dada po volta da metade do século XIX. No teceio capítulo osso objetivo seá caacteiza os úmeos algébicos bem como demosta idietamete que úmeos ão algébicos, ou seja, tascedetes, de fato existem. No último capítulo demostaemos a tascedêcia do úmeo e, base dos logaitmos atuais, seguido o oteio dos execícios popostos pelo pofesso Djaio Guedes de Figueiedo apesetado em [4]. Ao logo de todo este tabalho supoemos estabelecidas a existêcia e popiedades do cojuto dos úmeos eais como feito, po exemplo, em.

13 CAPÍTULO I NÚMEROS RACIONAIS E IRRACIONAIS. Caacteização dos Númeos Racioais Uma fação a b, com b 0, diz-se iedutível se mdc( a, b).os úmeos acioais costumam se epesetados po fações odiáias, epesetação essa que é úica se tomamos as fações em foma iedutível e com deomiadoes positivos. Assim, podemos defii úmeos acioais da seguite foma: Defiição. Um úmeo eal é dito acioal se pode se escito a foma a *, com a e b. Simbolicamete b a * x ; x, com a e b b. Vamos cosidea a covesão de fações odiáias em decimais, com vistas a etede quado a epesetação decimal esulta se fiita ou peiódica. A covesão de uma fação odiáia em úmeo decimal se faz dividido o umeado pelo deomiado. Assim, podemos estabelece a seguite poposição. Poposição. Toda fação iedutível epeseta um decimal fiito ou peiódico. Demostação a Seja uma fação iedutível. Pelo algoitmo de Euclides existem a0 e 0 tais b a 0 que a ba0 0 a0, b b com 0 0 b. Podemos expadi essa divisão da seguite foma: a 00 a a0 a0 a a0, b 0 b 0 b 0 0 b Cotiuado com o mesmo aciocíio teemos, com 00 ba e 0 b. a a 0 a a a a0 a0 a a0, b 0 0 b 0 0 b b com 0 ba e 0 b.

14 Cotiuado com o mesmo aciocíio, ecotaemos 3, 4,..., i, com 0 b. Acotece que os possíveis estos da divisão de qualque úmeo po b só pode se 0,,,..., b. Diate disso, teemos duas possibilidades: i) 0 paa algum i i Neste caso, a expasão de a b seá; i i a a a ai i a a ai a0... a 0... a 0, aa... a i i i i que epesetaá b b um decimal fiito. ii) 0 i i Neste caso, como as classes de estos módulo b são fiitas, em algum mometo teemos um j i tal que i j i. Assim, a pati do mometo em que isso ocoe, os algaismos do quociete voltaão a se epeti. Dessa foma, teemos; a a a ai aj i j a com a i i j j i a j, ai a j,... que b b 0 0 b esultaá em a a a ai a a i j a a 0, aa... ai ai ai... a i i j j que epesetaá um b decimal peiódico. A baa sobe a seqüêcia de úmeos idica que estes úmeos são epetidos ifiitas vezes. Po esse caso, cocluímos também que o peíodo teá o máximo b algaismos. A ecípoca dessa poposição também é vedadeia, como veemos agoa. Poposição. Todo decimal fiito ou peiódico é acioal. Demostação: Se x é decimal fiito, etão x a0, aa... a, com 0 a 9( i,,... ) e a0. Multiplicado ambos os membos da igualdade po 0, obtemos: a0aa... a 0 x a0aa... a x que é acioal. 0 i

15 3 Cosideado x um úmeo decimal peiódico, etão x a0, a ab bs, com 0 a 9, 0 b 9, i,,...,, j,,..., s e a. Multiplicado ambos os membos da i igualdade po j 0 e 0 s : 0 x a0aa... ab... b s : 0 x a0a... a b... bs b... bs. Fazedo espectivamete, obtemos: s a aa... a 0 a, 0 s 0 a a a b b b e subtaido de, obtemos: s s b a 0 x 0 x b a x0 0 b a x s 0 0 que é acioal. Outa impotate caacteística das fações iedutíveis se efee à decomposição do deomiado em fatoes pimos, como veemos agoa., Poposição.3 Se uma fação iedutível cotém somete fatoes pimos e/ou 5 o deomiado, etão epesetaá um decimal fiito. Demostação: Seja a x uma fação iedutível com a decomposição do deomiado somete em b fatoes pimos e/ou 5. Etão a b a a Se s, etão 5 0 a seá da foma ( s, ). s 5 e x é decimal fiito. Se s, tomemos mi(, s) e m max(, s) e, assim, podemos itoduzi fatoes e/ou 5 o deomiado em umeo suficiete paa toá-lo potêcia de 0 e, dessa foma, teemos q se ou q 5 se s) e ovamete x é decimal fiito. a a. q x 5 0 s s m (com Outa alteativa de epesetamos um úmeo acioal é atavés de fações cotíuas. Esse seá o objetivo de ossa póxima poposição. Basicamete, paa essa epesetação, utilizamos o algoitmo da divisão de Euclides que, como vimos a Poposição., após um úmeo fiito de passos os foeceá esto.

16 4 Poposição.4 Um úmeo é acioal se, e somete se, epeseta uma fação cotíua fiita. Demostação: a Cosidee o acioal iedutível. Pelo algoitmo de Euclides existem a 0 e b tais que a ba 0, ou seja, a a0, com 0 b. Se, pocedimeto eceado b b a e teemos a0. Caso cotáio, cotiuamos o pocedimeto, fazedo: b b a b a0 a0, com b a e 0. Se b, pocedimeto eceado a a e teemos, a 0. b a a a0 a0 b a a 3 a Caso cotáio, cotiuamos o pocedimeto, fazedo:, com a 3 e 0 3. Acotece que existem apeas b atuais meoes que b e como temos b 3..., teemos ecessaiamete um que fializaá o pocedimeto e a toaá a0 b a a a Po outo lado, dada uma fação cotíua fiita a0 a podemos estabelece o pocesso iveso fazedo b a, b a,..., b a até obtemos o acioal b a0. a b b b 3 a 3 a a a, Covém obseva que, esse pocesso de divisões sucessivas, somete o pimeio

17 5 quociete é possivelmete egativo e os demais são todos positivos. Disso cocluímos que a fação cotíua todos os ai ' s são iteios positivos, com a possível exceção de a 0. Defiiemos agoa úmeos cuja epesetação decimal ão é em fiita em peiódica. Númeos como esses são chamados de iacioais. De foma mais pecisa podemos estabelece a seguite defiição: a Defiição. Todo úmeo decimal que ão pode se escito a foma, b * b é iacioal. Simbolicamete \ x ; x e x. com a e A pati dessa defiição e das poposições ateioes, podemos coclui que todos os úmeos iacioais são decimais ão peiódicos e, aida, sua epesetação em foma de fação esulta em uma fação cotíua ifiita. A seção seguite tataá da adiciação de iteios positivos, basicamete estabeleceemos quado a aiz -ésima de um iteio positivo seá acioal ou iacioal.. Radiciação e iacioalidade Paa ossos póximos esultados seá ecessáio cosidea o poliômio p x a0 ax a x... ax, com a0, a, a,... a. É peciso também estabelece a seguite poposição que fudametaá todos os esultados posteioes. Poposição.5 Se um úmeo acioal, s a 0 e s a. Demostação: Se o acioal s é aiz do poliômio a foma iedutível, é aiz de px, etão p x teemos p 0, ou seja, s a0 a a... a 0. s s s Multiplicado ambos os membos po s fica: 0 a s a s a s... a s a 0. Podo s em evidêcia a soma dos temos do pimeio membo e passado paa o segudo o último temo, obtemos: 0... s a s a s a a.

18 6 Isso mosta que s a s a ou s. Como s ão divide, pois são pimos ete si, s também ão divide. Logo, s a. Aalogamete, podo em evidêcia os temos do pimeio membo e passado a 0 s paa o segudo, fica: 0 a s a s... a s a a s. Pelo mesmo aciocíio, cocluímos que a 0. Cosideado agoa impotate cooláio. px como poliômio môico podemos estabelece o p x a0 ax a x... x, com a0, a, a,... a, etão as Cooláio. Se evetuais aízes acioais de x p são úmeos iteios divisoes de a. 0 Demostação: Se o úmeo acioal s é aiz de p x, etão pela Poposição.4, s ou seja, s ou s. Logo e, potato. Aida pela Poposição.4, a 0 e, potato, o s mesmo acotece com. Atavés da póxima poposição estabeleceemos osso pimeio impotate esultado sobe adiciação. Basicamete estabeleceemos que a aiz -ésima de um iteio positivo a é iacioal sempe que os expoetes dos fatoes a decomposição do adicado a, em fatoes pimos, foem meoes que o ídice do adical, mas em todos ulos. Poposição.5 Se p, p,..., p são pimos distitos, i (, i,,..., ) e pelo meos um 0, etão p. p... p é iacioal. i Demostação: Obsevamos que.... p p p é aiz do poliômio p x x p. p... p.

19 7 Se px possui alguma aiz acioal, pelo Cooláio., essa aiz seá um iteio diviso de.... p p p. Po outo lado, todo iteio positivo q que divide p. p... p é da foma s s s.... q p p p em que 0 si i( i,,..., ).Dessa foma teemos: s s s p q p. p... p p. p... p 0, ou seja,... s s s s s s p p p p p p p p p p p p. Mas como p, p,... p são pimos distitos, paa que essa igualdade faça setido, devemos i i te si i, ou seja, si paa todo i,,...,. No etato, si somete quado i si 0 paa todo i, o que cotaia a hipótese iicial de que pelo meos um i é difeete de zeo. Paa as demais possibilidades, todo i. Logo iacioal. s i i é um absudo, pois po hipótese, i paa p x ão possui aízes iteias e, potato p. p... p só pode se Como coseqüêcia dessa poposição podemos estabelece o seguite cooláio. Cooláio. Se p é pimo, etão p é iacioal. Demostação: Basta obseva que o expoete de p é meo que o ídice do adical. Logo, pela Poposição.5, p é iacioal. Mas o que acotece quado pelo meos um expoete dos fatoes da decomposição do adicado a é maio ou igual ao ídice do adical? Paa espode a essa peguta pecisaemos aida de uma poposição simples, mas de gade impotâcia. Poposição.6 O poduto de um úmeo iacioal po um acioal difeete de zeo é um úmeo iacioal. Demostação: etão teíamos Sejam iacioal e b a um acioal difeete de zeo. Se a x fosse acioal, b

20 8 xb., o que é um absudo pois é iacioal. Logo x só pode se iacioal. a Vamos agoa ao picipal esultado dessa seção que defiiemos como um Teoema. Teoema. Se e a são iteios positivos, etão a é um úmeo iacioal ou iteio positivo. Demostação:... Decompodo a de foma caôica em fatoes pimos, obteemos a p p p com p, p,... p apaecedo,,... vezes espectivamete ( i, i,,..., ). Além disso, pelo algoitmo de Euclides, podemos expessa cada i qi i com 0 i. Assim, q q q... a p p p p p p. q. q. q. q. q. q p. p. p p... p p ( p p... p )( p. p... p ) q q q q q q ( p p... p ) ( p. p... p ) p p... p ( p p... p ). q q q Se i 0 paa todo i,,...,, teemos a igual ao iteio positivo p. p... p. Poém, se pelo meos um i 0, pela Poposição.5, p. p... p é um úmeo iacioal e teemos pela Poposição.6, a como o poduto de um iacioal po um acioal difeete de zeo, que seá iacioal. Desse Teoema cocluímos que a aiz -ésima de qualque iteio positivo é um iteio positivo ou um úmeo iacioal Em ossa póxima seção, osso objetivo seá caacteiza os úmeos acioais sob o poto de vista de sua eumeação..3 Eumeabilidade dos Racioais Uma caacteística impotate do cojuto dos acioais é que ele é eumeável, ou seja, possui a mesma cadialidade dos atuais. De foma mais pecisa defiimos cojuto eumeável da seguite foma:

21 9 Defiição.3 Um cojuto X diz-se eumeável quado é fiito ou quado existe uma bijeção f : X. No segudo caso, o cojuto X diz-se ifiito eumeável. Nosso objetivo a pati de agoa seá demosta que os úmeos acioais fomam um cojuto ifiito eumeável e paa isso, pecisaemos da seguite poposição. Poposição.7 Se f : X Y é ijetiva e Y é eumeável, etão X é eumeável. Demostação: Basta cosidea o caso em que existe uma bijeção :Y. Etão f : X é uma bijeção de X sobe um subcojuto de, o qual é eumeável. Outa poposição de gade impotâcia seá a seguite: Poposição.8 Se f : E F e g : F G são ijetivas, etão g f é ijetiva. Demostação: Sejam x e x E tais que g f ( x) g f ( x). Etão g( f ( x)) g( f ( x)) e, como g é ijetiva, f ( x) f ( x). Usado-se agoa a hipótese de que f é ijetiva, cocluise que x x. Logo, g f é ijetoa. Po fim, pecisaemos aida de dois lemas. Lema. O cojuto é eumeável. Demostação: Cosideemos a aplicação f : defiida po f ( a) a, se a 0 e f ( a) a, se a 0. Claamete f é ijetiva. De fato, seja a e a. Se a e a são positivos, temos que f ( a ) f ( a) a a a a. Poém, se a e a foem úmeos egativos, temos que f ( a ) f ( a ) a a a a a a.

22 0 Se a 0 e 0 a, etão f a f a De fato, se fo f a f a., teemos f a f a a a. O que é um absudo, pois o pimeio membo é um atual pa, equato o segudo, é um atual ímpa. Lema. Sejam X, Y cojutos eumeáveis. O poduto catesiao X Y é eumeável. Demostação: :Y. Como X, Y são eumeáveis, etão existem aplicações ijetivas : X e Temos que a aplicação h: X Y defiida po ( x) ( y) h( x, y) 3 é ijetiva pois a decomposição em fatoes pimos é úica e ( x) e ( x) também o são. Além disso, h foece uma bijeção de XY sobe o cojuto eumeável h( X Y). Vamos agoa à demostação de que o cojuto dos úmeos acioais é eumeável. Teoema. O cojuto dos úmeos acioais é eumeável. Demostação: Cosideemos a aplicação * f : defiida po f ( x) ( m, ), com m x m m iedutível. Acotece que f é ijetiva pois, se x e x e f ( x) f ( x ), etão ( m, ) ( m, ) m m e. Da Poposição.8, temos que a aplicação h composta po f defiida po h f : é ijetiva. Assim, h f foece uma bijeção de sobe o cojuto eumeável ( h f)( ). Logo, é eumeável.

23 .4 Não Eumeabilidade dos Iacioais Mostamos pouco atás que o cojuto dos úmeos acioais é eumeável. Esse esultado podeia os leva a acedita que todos os cojutos ifiitos também o são. Mostaemos agoa que os iacioais fomam um cojuto ão eumeável, ou seja, possui cadialidade difeete dos atuais e estabeleceemos este esultado como uma coseqüêcia da ão eumeabilidade dos eais. Mas ates, pecisaemos da seguite poposição: Poposição.9 Uma euião eumeável de cojutos eumeáveis é eumeável. Demostação: Cosidee os cojutos A A,,... Como todos eles são eumeáveis, podemos escevê-los a foma: A a a a a... a A a a a a... a... A a a a a... a... A a a a a... a , A3 A uião i A i está cotida a uião disjuta i A i destes mesmos cojutos(pode se que algum elemeto peteça a váios cojutos epetido em cada A i ao qual ele petece). Defiamos, agoa, uma fução A i, a uião disjuta, este elemeto é : A (uião disjuta) i i a ij i, j É fácil ve que e ijetiva. Fialmete, pelo Lema., sabemos que é eumeável pela fução h : i, j 3 i j

24 Logo, podemos compo as divesas fuções ijetivas I Ai i i A(uião disjuta) e obtemos uma fução ijetiva de eumeabilidade. i i Demostaemos agoa a ão eumeabilidade dos eais. A i h os atuais, gaatido, assim a sua Poposição.0 O cojuto dos úmeos eais ão é eumeável. Demostação: Paa demosta esse esultado, usaemos o fato de que o itevalo (0,) possui a mesma cadialidade de toda a eta. Obseve que algus úmeos desse itevalo possuem mais de uma epesetação decimal como po exemplo, 0,7 e 0, Paa exclui essa possibilidade, adotaemos paa cada úmeo sua epesetação decimal ifiita. Assim, po exemplo; 0,7 0, ; 0,0343 0, ; etc. Supohamos agoa que seja possível estabelece uma bijeção ete os úmeos do itevalo (0,) e os atuais. Podemos etão supo que os úmeos desse itevalo sejam os elemetos de uma seqüêcia ifiita, x, x,..., x,... Assim podemos listá-los da seguite foma: x 0, a a a... a... 3 x 0, a a a... a... 3 x 0, a a a... a x 0, a a a... a... 3 Nas quais a ij são algaismos de 0 a 9. No etato, po mais extesa que seja ossa lista, podemos poduzi um úmeo que ão peteça a ela atavés do pocesso diagoal de Cato. Esse pocesso cosiste em costui um úmeo que seja difeete de x a pimeia casa decimal, difeete de x a seguda casa decimal, difeete de x 3 a teceia casa, e assim po diate, de sote que, esse úmeo, ão seá igual a ehum dos úmeos da lista acima. Paa tato, defiimos x 0, aa... do seguite modo: a i se a ii 5 e ai 5 se a 5. ii

25 3 Dessa foma, cada x i seá difeete de x ao meos pelo elemeto a ii e como esse elemeto ão está em ossa lista, chegamos a um absudo, o que os leva a coclui que o cojuto dos úmeos eais ão é eumeável. Cooláio.3 O cojuto dos úmeos iacioais ão é eumeável. Demostação: Sedo \, se o cojuto dos iacioais fosse eumeável, pela Poposição.9, os eais também o seiam, como euião de dois cojutos eumeáveis. Também pela Poposição.9, coclui-se que os iacioais fomam a maioia dos eais, pois o cojuto eumeável é o meo dos cojutos ifiitos.

26 CAPÍTULO II ALGUNS NÚMEROS IRRACIONAIS Acabamos de demosta a existêcia do cojuto dos úmeos iacioais, sua ão eumeabilidade bem como sua maioia dete os eais. Devida a sua impotâcia a aálise matemática, este capítulo daemos êfase a duas costates: e e. Demostaemos também que são iacioais.. A Iacioalidade do Númeo e A oigem de e ão é tão claa, ela paece ecua ao século XVI, quado se pecebeu que a expessão, que apaecia a fómula dos juos compostos, tedia a um ceto limite ceca de,788 à medida que aumeta. Assim e toou-se o pimeio úmeo a se defiido po um pocesso de limite, e lim cofome. Duate algum tempo o ovo úmeo foi cosideado uma cuiosidade. O passo cucial paa colocá-lo a vaguada da matemática foi dado com a iveção do cálculo, quado se pecebeu que o iveso da fução logaítmica que depois seia deotado como deivada. Isto imediatamete deu ao úmeo e e a fução biomial de Existem muitas fómulas evolvedo o úmeo e, dete as quais: e...!! 3! 4! x e ea igual à sua pópia x e um papel cetal a aálise. Esta séie ifiita foi descobeta po Newto em 665, e pode se obtida da expasão, deixado. Ela covege muito apidamete, devido ao aumeto ápido dos valoes dos fatoiais os deomiadoes. Po exemplo, a soma dos pimeios oze temos (temiados com apoximação. ) 0! é,78880, o que já é uma boa O úmeo e também pode se epesetado po uma fação cotiua ifiita. Esta foma de epesetação, descita a segui, foi descobeta po Eule em 737.

27 5 e Eule povou também que todo úmeo acioal pode se escito como uma fação cotíua fiita; ivesamete, toda fação cotíua ifiita sempe epeseta um úmeo iacioal. O úmeo e também pode se ecotado usado séie de Maclaui( ), como veemos a segui. Seja f x e. x x Calculemos divesas deivadas sucessivas de f o poto x 0 : f x e f 0 x f ' x e f ' 0 x f " x e f " 0 x f ''' x e f ''' 0 Logo, f 0. Etão, a séie de Maclaui ( ) f 0 x x de f x e 0 3! ' 0 '' 0 ''' 0 e x f 0 f x f x f x...!! 3! é: 3 e x x x x...! 3! e x x. Paa x, temos: 0! e...!! 3! Demostaemos agoa uma impotate caacteística desse úmeo. Sua iacioalidade. Iicialmete pecisaemos de um esultado simples mas muito impotate a aálise matemática expessado pela seguite poposição. Poposição. Toda seqüêcia moótoa limitada é covegete. Demostação: Sem peda de geealidade, supohamos X x x x3 x Podemos esceve x moótoa ão-decescete e limitada.,,,...,,.... Seja a sup X (que existe pelo axioma do

28 6 supemo). Afimamos que a lim x. Segue que, dado 0, o úmeo a ão é cota supeio de X. Logo, existe 0 tal que a x 0 a. Assim, a x x a e, potato, lim x a. 0 0 Dessa foma, podemos estabelece a seguite poposição. Poposição. A seqüêcia cujo temo geal é a...!! 3!! é covegete. Demostação: Esta seqüêcia é evidetemete moótoa cescete pois a a paa todo. Resta-os mosta que é limitada. Começado com 3, teemos:! , potato, a.... Nesta soma, a pati do segudo temo, temos uma pogessão geomética de azão. Aplicado a fómula a S, fica: q S. / Daí teemos a 3. Logo, a seqüêcia a é limitada supeiomete po 3 e, pela Poposição., é covegete. Esceveemos lim a e e mostaemos que a seqüêcia cujo temo geal é b covege paa o mesmo limite que a. Poposição.3 Se Demostação: b, etão lim b e. Pelo teoema biomial temos: ( ) ( )( ) b......!! b ! 3!! Como a expessão deto de cada paêtese é meo que, teemos que b a, assim, b lim a. Potato, a seqüêcia b também tem um limite supeio. Além disso, b é moótoa cescete pois b b paa todo. De fato;

29 7 b !! ( )!......! 3!! pois o último temo de b é positivo. Acotece que a a 0 a. Assim, teemos; b......!! b! 3!! lim b b Logo, b b. Assim, pela Poposição., b também é covegete e lim a. Po outo lado, quado p, vale: p ! p Agoa vamos deixa aumeta sem limites equato matemos p fixo. Da desigualdade acima obtemos limb... ap. Como esta desigualdade! 3! p! vale paa todo p, segue que limb lim a. Mas já vimos que limb lim a. Logo, só podemos te limb lim a e. p p Nossa pova também mosta que lim a e ecota-se ete e 3. Na ealidade vale e,78, com quato decimais exatas. ecessáia. Paa fialmete demostamos a iacioalidade de e uma última poposição seá Poposição.4 Se q, etão o somatóio S lim S, em que S q ( q )( q ) ( q )( q )...( q ), ão é um iteio. Demostação: Claamete S 0 paa todo. Como q, temos que:

30 q ( q )( q ) ( q )( q )( q 3) Usado a fómula paa a soma de uma séie geomética ifiita, a última desigualdade obtemos: Fialmete; / 3 3 S.. Logo, / S. Teoema. e é iacioal. Demostação: Supohamos que e seja acioal e etão mostamos que esta suposição leva a uma p cotadição. Vamos faze e, em que p e q são iteios. Já mostamos que e 3, q assim e ão pode se um iteio e cosequetemete o deomiado q deve se pelo meos. Assim; p q....! 3!! Multiplicado ambos os membos po q! fica: pq! q! q! 3! ( q )! q! ( q )!! q! q! q! q! q! q! p( q )( q )... q! q! ! 3! ( q )! q! ( q )!! p( q )( q )... q! q! q( q )( q ) q( q )( q ) q ( q )( q ) ( q )( q )...( q ) q O pimeio membo é obviamete um iteio pois tata-se de um poduto de iteios. O segudo membo ão é um iteio, pois a expessão deto das chaves também é um iteio, mas o somatóio dos temos emaescetes, pela poposição.4, ão é. Esse absudo completa a demostação.

31 9. Um pouco da históia do Númeo O úmeo mais famoso da históia,, epeseta a azão costate ete o peímeto de um cículo e o seu diâmeto. A históia do úmeo tem iício ceca de aos atás, sedo que a existêcia de uma elação costate ete a cicufeêcia e o seu diâmeto ea cohecida po muitas das civilizações atigas. Muitas civilizações atigas obsevaam atavés de medições que a azão ete o peímeto de difeetes cículos e seus espectivos diâmetos ea sempe um mesmo valo. No etato, foam os gegos que coseguiam compeede e explica a lógica desta elação, que advém das popiedades de figuas semelhates. Os gegos atigos compeedeam que úmeos como e são difeetes dos úmeos iteios e dos úmeos acioais utilizados em suas matemáticas e, mesmo tedo coseguido pova a iacioalidade de, o mesmo ão ocoeu paa. Aquimedes de Siacusa(87- a.c.) coseguiu melhoa a apoximação dada ao úmeo, apoximado a cicufeêcia po polígoos egulaes de, 4, 48 e 96 lados e 0 descobido as seguites limitações paa : 3 3, isto é, 3,4085 3, Ceca de dezoito séculos depois de Aquimedes, um matemático facês chamado Façois Viète( ), o cuso de seu tabalho em tigoometia, ecotou uma fómula otável evolvedo o úmeo :... A descobeta desse poduto ifiito em 593 foi um maco a históia da matemática, pois pela pimeia vez um pocesso ifiito ea escito explicitamete como uma fómula matemática. De fato, a caacteística mais extaodiáia a fómula de Viète, além de sua elegâcia, são os tês potos o fial, idicado que ela cotiua e cotiua...ad ifiitum. Ela mosta que o valo de pode se ecotado, pelo meos em picípio, usado-se epetidamete quato opeações da matemática elemeta: adição, multiplicação, divisão e a extação da aiz quadada, todas aplicadas ao úmeo. A fómula de Viète quebou uma impotate baeia psicológica, já que o meo ato de esceve os tês potos o fial sializava a aceitação dos pocessos ifiitos a matemática e abia o camiho paa seu uso geealizado. O gade matemático Isaac Newto descobiu outo poduto ifiito evolvedo iflueciado pelo tabalho de outo iglês, Joh Wallis(66-703). Eis o poduto ifiito de Newto paa :

32 E, em 67, o escocês James Gegoy( ) descobiu a séie ifiita: O que toa essas fómulas tão otáveis é que o úmeo, oigialmete defiido em elação ao cículo, pode se expesso somete atavés de iteios, aida que atavés de um pocesso ifiito. Até hoje, essas fómulas estão ete as mais belas de toda a matemática. Sabe-se hoje que é um úmeo iacioal, o etato, essa caacteística só foi demostada em 76 po Joha Heiich Lambet(78-777)..3 A Iacioalidade do Númeo Nosso objetivo agoa seá demosta a iacioalidade de, paa tato, ecessitaemos de algumas popiedades da fução 0, (0,)! f x x e que f x f x. Vamos iicia ossa demostação supodo que f x x ( x). Obseve que! seja acioal, assim, a com b a e b pimos ete si. Nosso objetivo é chega a um absudo, mostado assim que ão é acioal. E cosequetemete ão pode se acioal, pois o quadado de um acioal é também um acioal. Paa a coclusão da demostação, vamos pecisa da seguite poposição. Poposição.5 Paa um suficietemete gade e a um úmeo positivo, a.! Demostação: tal que Sedo N, otamos que; a a a a a a a......! N N N. Fixado N a N, cada um dos N fatoes do segudo paêtese seá ifeio a. Logo;

33 3 N N a a a a a a a ( a) C......, N em que C é uma! N N N! costate que só depede de N, que já está fixado. Assim, paa um suficietemete gade teemos a.! Um impotate esultado sobe a fução poposição. j j Poposição.6 f x ( ) x.! j0 j f x x ( x) é dado pela seguite! Demostação: f x ( x).! x Desevolvedo x fica: x 0 f x ( x) ( x) ( x)... ( x) ( x)! 0 f x x ( ). x ( ) x... ( ) x ( ) x, ou! 0 j j seja, f x ( ) x.! j0 j Estabeleceemos uma impotate coseqüêcia dessa poposição o seguite cooláio. Cooláio. Seja ( m) i) ii) ( m) f x a m-ésima deivada de f x. Etão: f 0 0 se 0 m ou m. ( m) 0 f é um úmeo iteio se m. Demostação: ( m) ª Pate: f 0 0 se 0 m ou m. zeo é aiz de Basta obseva que paa 0 m todos os temos são multiplicados po x e como De fato: f x com multiplicidade, ( m) f 0 0.

34 3 x f x x! x f ' x. x ( x). x ( x) ( x). x( x)!! x f ' x g( x), sedo g x x x x! Geealizado: m ( m) x f x gm x! ( ) ( ). ( ). ( m) que é tal que Paa m f 0 0 paa 0 m. ( m), obviamete f x 0 pois o gau de f x é. ª Pate: Desevolvedo f x, obtemos; f x c x c x c x c x c x!... ( ) ( ) 0 c, c, c... c. Assim: 0 f f 0 ( ) 0 0 c!! ( )! c! ( ) paa coveietes f ( ) ( ) ( )! c 0.! Potato, ( m) 0 f é um iteio paa m. Utilizado o mesmo aciocíio cocluímos que o cooláio também vale paa Supodo f ( m) a, defiiemos agoa a fução Hx da seguite foma: b () ( ) Defiição. H x b f x f " x... ( ) f x ( ) f x Assim, se. a, podemos estabelece a seguite poposição. b d H ' x se x H x cos x a f x se x. dx Poposição.7 Demostação: Aplicado a ega do poduto, fica:

35 33 d H ' x se. x H x cos. x H " x se x H ' x cos x H ' x cos x H x se x dx H " x H x se x. (4) 4 ( ) ( ) Mas H " x b f " x f x... ( ) f x ( ) f x e 4 ( ) ( ) H x b f x f " x... ( ) f x ( ) f x. Assim, teemos: (4) (4) H " x H x se x b f x f " x f x f x... ( ) ( ) ( ) f x ( ) f x b f x se x ( ). b f x se x. a Como supomos iicialmete, vem; b a b f x se x a f xse x. b d H ' x se x H x cos x a f x se x. dx Logo Poposição.8 H 0 e H são iteios. Demostação: Nas codições da defiição, temos: ( ) ( ) 0 0 " 0... ( ) 0 ( ) 0 H b f f f f. Acotece que paa m, pelo Cooláio,. teemos; ( ) f 0 0, f " 0 0,..., f 0 0 de ode 0 b j j j H fica esumida a ( ) ( m) ( ) f 0 paa j. Mas aida pelo cooláio, 0 j0 paa m. Já paa o fato b a b j j j Logo, b. j j j j a b, lembado que, temos: b ( ) ( ) f 0 paa j, e, potato j0 Pelo mesmo aciocíio cocluímos que H também é iteio. f H 0.

36 34 Poposição.9 Se, etão a f xse xdx H H 0 a b. 0 Demostação: Aplicado o teoema fudametal do cálculo, fica: a f x se x H ' x se x H x cos x ( H ' se H cos ) 0 0 ( H ' 0 se0 H 0 cos0) H H 0 H H 0. Teoema: Fialmete, diate de todas as coclusões ateioes, podemos estabelece o seguite Teoema. é iacioal. Demostação: Como 0 f x em (0,), de todas as coclusões temos que:! se x a a a a f x se xdx a dx se xdx!!!! ou seja,, 0 a f x se xdx. Como a f xse xdx H 0 H 0 a!, fica 0 a a H 0 H 0 H 0 H 0 H 0 H.!! 0 E isso é um absudo, pois ão existe úmeo iteio maio que zeo e meo que um. Somos assim obigados a abadoa a hipótese iicial que. é acioal e cosequetemete

37 CAPÍTULO III NÚMEROS ALGÉBRICOS E TRANSCENDENTES 3. Um Pouco Sobe Númeos Algébicos e Tascedetes Tedo em vista os esultados obtidos o capítulo II, classificamos os úmeos eais em dois cojutos disjutos: os acioais e os iacioais. Além dessa classificação, existe uma outa, em úmeos algébicos e tascedetes. Defiição 3.: Se um úmeo eal x satisfize uma equação da foma a a x a x a x, com coeficietes iteios, dizemos que este úmeo é algébico. Sobe a defiição acima, duas obsevações devem se feitas: Tedo em vista esultados posteioes, sempe que tomamos um poliômio paa o qual um úmeo é aiz supoemos o poliômio de meo gau possível paa o qual isso ocoe. A outa obsevação é que, se dividimos todos os temos da equação pelo coeficiete domiate, teemos x satisfazedo agoa uma equação com coeficietes acioais. Assim, uma defiição equivalete seia Se um úmeo eal x satisfize uma equação da foma a a x a x x, com coeficietes acioais, dizemos que este úmeo é algébico. A maioia dos úmeos ecotados a álgeba elemeta podem se imagiados como soluções paa equações simples; mais especificamete, são úmeos algébicos. Po exemplo, os úmeos, / 3 e são soluções, espectivamete, das equações poliomiais x 0, 3x 0 e x 0. O úmeo i também petece a esse gupo, visto que ele satisfaz a equação discussão aos úmeos eais. x 0; etetato, vamos estigi ossa Até mesmo um úmeo de apaêcia complicada como 3 ( ) classe, já que ele satisfaz a equação x 6 3 petece a essa x 0, como se pode costata facilmete. Claamete todo úmeo acioal a/ b é algébico, já que ele satisfaz a equação bx a 0. Assim, se um úmeo ão fo algébico, deve se iacioal. A ecípoca dessa

38 36 afimação, cotudo, ão é vedadeia; um úmeo iacioal pode se algébico, como mosta o exemplo de. Suge agoa uma questão impotate: existião úmeos iacioais ão algébicos? Po volta do iício do século XIX os matemáticos começaam a suspeita que a esposta fosse sim, mas ehum úmeo desse tipo tiha sido ecotado. Paecia que um úmeo ão algébico se fosse ecotado, seia uma sigulaidade. Foi em 844 que o matemático facês Joseph Liouville (809-88) povou que os úmeos ão algébicos de fato existiam. Sua pova, emboa ão fosse simples, pemitiu que ele poduzisse váios exemplos de tais úmeos. Um dos exemplos, cohecido como úmeo de Liouville, é...!! 3! 4! cuja expasão decimal é 0, ode os blocos cada vez maioes de zeos são devidos à peseça de! o expoete do deomiado do úmeo de Liouville, o que faz com que os temos dimiuam de um modo extemamete ápido. Outo exemplo é 0, , em que os dígitos são os úmeos atuais em odem. Um úmeo eal ão algébico é chamado de tascedete. Não há ada de místico essa palava, ela idica apeas que esses úmeos tascedem, ou seja, vão além o eio dos úmeos algébicos. A segui defiimos de foma mais pecisa úmeos tascedetes. Defiição 3. Todo úmeo eal que ão é aiz de ehuma equação da foma a a x a x a x com coeficietes iteio é tascedete Em cotaste com os úmeos iacioais, cuja descobeta sugiu de um poblema comum a geometia, os úmeos tascedetes foam ciados especificamete com o popósito de demosta que tais úmeos existiam. Nosso objetivo esse capítulo seá demosta algumas caacteísticas impotates do cojuto dos úmeos algébicos. 3. Caacteização dos Númeos Algébicos e Tascedetes Poposição 3. O cojuto dos algébicos é deso em. Demostação: Basta obseva que o cojuto dos úmeos algébicos cotém todos os acioais e, como os acioais são desos em, coclui-se tivialmete que os algébicos são desos.

39 37 Nosso objetivo agoa seá demosta a eumeabilidade dos úmeos algébicos, paa isso, vamos cosidea, sem demostação, o teoema fudametal da álgeba que afima: Todo poliômio ão costate de gau, com coeficietes complexos, tem aízes complexas. Pecisaemos também da seguite poposição: Poposição 3. Uma euião eumeável de cojutos fiitos é eumeável Demostação: No capítulo I demostamos que uma euião eumeável de cojutos eumeáveis é eumeável. Como todo cojuto fiito é eumeável temos, potato, um caso paticula da Poposição.4. Teoema 3. O cojuto dos úmeos algébicos é eumeável. Demostação: Cosidee um poliômio com coeficietes iteios p x a0 ax a x... ax. Vamos defii altua do poliômio como sedo o úmeo atual h( P) a a a... a. 0 Pelo teoema fudametal da álgeba, paa cada poliômio de gau, teemos o máximo aízes complexas. Evetualmete todas, algumas ou ehuma podem se eais. Recipocamete, paa cada altua ( ) esse úmeo. Assim teemos:, Mais pecisamete, 8,... #, p x x p x x hp teemos um úmeo fiito de poliômios. Seja P p7 x x, p8 x x # p x x, p x x, p x x, p x x, p x x, p x x, e assim po diate

40 38 Temos, potato, que as aízes de todos os poliômios com uma dada altua fomam um cojuto fiito e como podemos eumea todas essas altuas, segue da Poposição 3. que o cojuto A de todos os úmeos algébicos eais é eumeável. Cooláio 3. Existem úmeos tascedetes e estes são ão eumeáveis. Demostação: Como o cojuto é ão eumeável (Poposição.0, Cap.I) e o cojuto A é eumeável, segue que existe um cojuto T \ A ão eumeável, pois A \ A. De fato, se T fosse eumeável teíamos que também o ea cotaiado a Poposição.0 de que é ão eumeável. O objetivo do osso póximo teoema é demosta que os algébicos fomam um copo, paa isso, vamos ecessita de algus esultados da álgeba liea. Cosideaemos, a pati de agoa, V como sedo espaço vetoial sobe o copo dos acioais. S v,v,...,v V. Sejam V um espaço vetoial e Cosideemos a equação av av... av 0 Sabemos que essa equação admite pelo meos uma solução: a a a 0, 0,..., 0 Chamada solução tivial. Defiição 3.3 () O subcojuto S diz-se lieamete idepedete (LI) se admite apeas a solução tivial. () Se existiem soluções ão tiviais, isto é, soluções com algus a 0, dizse que o cojuto S é lieamete depedete (LD). i Defiição 3.4 Um subcojuto B v, v,..., v V é uma base de espaço vetoial V se: i) B é LI ii) B gea V A dimesão de um espaço vetoial V é a cadialidade de qualque base de V.

41 39 Seja V um espaço vetoial tal que dim V. Se S é um subespaço de V, etão dims. No caso de dim S, tem-se S V. Assim, podemos estabelece a seguite poposição. Poposição 3.3 Se V é um espaço vetoial de dimesão, etão qualque subcojuto de V com mais de vetoes é lieamete depedete (LD). Demostação: Seja B v v v uma base de um espaço vetoial V e B w w w,,..., ',,..., m cojuto qualque de m vetoes de V, com m. Petede-se mosta que B ' é LD. Paa tato, basta mosta que existem escalaes x, x,..., x ão todos ulos tais que: xw xw..., xmwm 0 Como B é uma base de V, cada veto w i petecete a vetoes de B, isto é, existem úmeos,,..., tais que: w v v... v w v v... v i i i um B ' é uma combiação liea dos w v v v m... Substituido as elações em, obtemos: x v v... v x v v... v xm v v... v 0 Odeado os temos coveietemete: x x... x v m x x... x v m x x... xm v 0 ulos, ou seja: Tedo em vista que v,...,, v v são LI, os coeficietes dessa combiação liea são

42 40 x x... x 0 x x... x 0 m m x x... xm 0 Esse sistema liea homogêeo possui m vaiáveis x, x,... x m e equações. Como m, existem soluções ão tiviais, isto é, existe 0. x Logo B w w w i ',,..., m é LD. Vamos agoa a demostação de que A é copo. Teoema 3. A foma um copo. Demostação: Pecisamos demosta as seguites popiedades: i, A A ii, A. A iii A A iv A, 0 A Demostação de iii : Se é algébico etão ele é aiz de uma equação com coeficietes iteios do tipo a a x a x... a x a x 0 0 Potato é aiz da equação a a x a x... a x a x 0 0 Demostação de iv : Se satisfaz a equação a a x a x... a x a x 0 0 e 0, etão satisfaz a equação De fato temos, a x a x... a x a 0 0

43 4 a a a... a a 0. 0 Multiplicado po obtemos, a0 a a... a a a0 a a... a a.0 0 Paa as demostações de i e ii vamos cosidea os úmeos algébicos como aízes de poliômios com coeficietes acioais, além disso, supoemos o poliômio de meo gau paa o qual isso ocoe. Demostação de i : Cosidee os poliômios p e p com coeficietes acioais obtidos a pati da divisão pelo coeficiete do temo de maio gau. p x a a x a x... a x x 0 p x b b x b x... b x x m 0 m Sejam e algébicos, aízes das equações poliomiais p 0 e p 0 espectivamete. Assim, ou seja, isto é, acioais e e 3.0 a... a a a m b... b b b 0 m m 0 e 3. a... a a a m b... b b b m m 0 está expesso como uma combiação liea de substituido-se o m como combiação liea de,,...,, usado coeficietes m. Multiplicado.0,,..., obtido a expessão pelo seu valo dado em 3 po e 3., obtemos expesso aida como combiação liea de,,..., usado coeficietes acioais. E assim sucessivamete todas as potecias j paa j, são expessas como combiações lieaes de,,...,, usado-se coeficietes acioais.

44 4 O mesmo se coclui paa k, paa k m como combiações lieaes de,,..., m. Nosso objetivo agoa seá mosta que satisfaz uma equação poliomial de gau m com coeficietes acioais, implicado etão que seja algébico. Cosideemos os m. úmeos,,,..., e o espaço vetoial sobe m B,,,,,,..., geado pelos elemetos m Como B é um cojuto de geadoes de m elemetos, etão possui uma base com cadialidade meo ou igual a m. Etão a dimesão deste espaço é meo ou igual a m, logo, os m todos ulos, tais que 0,..., m em úmeos acima são L.D.. Potato, existem acioais 0... m 0. O que mosta que satisfaz uma equação poliomial de gau m. m Demostação de ii : Utilizamos o mesmo aciocíio da demostação de i. No etato cosideamos agoa os m. úmeos m.,,,..., Seguido o mesmo agumeto de i, pela Poposição 3.3, os m. úmeos,,,..., w i s são os m. e os v i s são os m úmeos. Assim, existem s0, s,..., s m acioais, em todos ulos, tais que s0 s s... s m 0 O que mosta que é aiz de uma equação poliomial de gau m. m j k

45 CAPÍTULO IV A TRANSCENDÊNCIA DO NÚMERO e No capítulo II, demostamos a iacioalidade do úmeo e bem como o caacteizamos de difeetes fomas. Nosso objetivo, esse capitulo, seá demosta a tascedêcia do úmeo e. poliômio Iicialmete vamos cosidea um poliômio P x de gau com suas espectivas deivadas. Fx defiido como a soma de um ( ) Poposição 4. Seja a fução F x Px P' x... P x ; em que poliômio de gau e ( ) P x epeseta a deivada de odem de d e F x e P x dx x x. P x. Etão, P x é um Demostação: x x x x ( ) Temos e F x e Px e P x e P x '.... Etão, d e x F x e x P x e x P x x x ' x e P ' x e P " x e P " x... dx x ( ) x ( ) x ( ) e P x e P x e P x, como ( P ) ( x) 0, pois Px ( ) tem gau, temos d e F x e P x dx x x. k k( k ) Poposição 4. Temos que, F k e F ke Pk um úmeo ete 0 e. 0, paa todo k 0 k, ode k é Demostação: x Uma vez que 0 k, vamos aplica o Teoema do Valo Médio à fução e F( x). Temos etão:

46 44 0 k 0 e F k e F d e k. k F k k k 0 dx e F k F ke P k k k. k 0 k k k ( k ) F k e F 0 ke P k, sedo que a seguda liha usamos a poposição 4.. k Devido à impotâcia dessa expessão paa a demostação, vamos defii a costate do segudo membo como: k( k ) Defiição 4. ke Pk k k. A fim de geealizamos esultados posteioes, pecisaemos de um impotate esultado sobe o poliômio Q x a jx j0 j que seá exposto a seguite poposição. Poposição 4.3 Seja Q x a jx j0 j um poliômio com coeficietes iteios e seja p < um iteio pimo. Etão: i () i j! ji Q x a jx, i. ( ji)! ji ii Demostação: ( p )! () i Q x p i,, é um poliômio com coeficietes iteios divisíveis po p. Q x a x a a x... a x. j Temos que j 0 j0 Etão, Logo, Q x a a x... a x () Q x a 6 a x... ( ) a x () 3 Q x 6a 4 a x... ( )( ) a x (3) ! 4!! a3 a4x... a x 0!! ( 3)! ( i) i! ( i )! ( i )!! i Q x a ai x aix... ax, ou seja, 0!!! ( i)! 3

47 45 () i j! ji Q x a jx, i ( ji)! ji o que pova a pimeia pate. Quato a seguda, obsevemos que os coeficietes de j!. a j, ode ( j)! ( p)! a j é iteio. Temos p i, p fixo e j i,...,. Q ( p )! () i x seão da foma No pimeio coeficiete, temos j i e, cosequetemete, j! j( j )... p( p )!. j( j )... p. 0! ( p)! ( p)! No segudo coeficiete, temos ji, potato, j! j( j )... p( p )!. j( j )... p.! ( p)! ( p)! No teceio coeficiete, temos ji, potato, j! ( )... ( )! ( ).... j j p p j j p.! ( p)!.( p)! Obsevemos que o umeado tem j ( p ) j p fatoes. Como i p, temos j p, ou seja, j p, o que implica j p 3. Assim, podemos coclui que o umeado teá pelo meos 3 fatoes, logo é divisível po e po p. No quato coeficiete, temos ji3, potato, j! ( )... ( )! ( ).... j j p p j j p 3! ( p)! 3..( p)! 3! e, esse caso, o umeado teá pelo meos 4 fatoes, logo é divisível po 6 e po p. Geealizado, teemos paa j i k, k, j! j( j )... p( p )! j( j )... p., k! ( p )! k!( p )! k! sedo que o umeado tem pelo meos k fatoes, ou seja, Dessa foma, j p k j k p.

48 46 sedo potato, j k j! ( )...( )( ).... j j j k j k p k! ( p )! k! j( j )...( j k ) ( j k)!. ( j k)... p k! ( j k)! j! ( j k)... p k!( j k)! j ( j k)... p, k j j um úmeo biomial, o que implica, ou seja, ( j k)... p k k j!. k! ( p)! são todos iteios divisíveis po p. Defiiemos agoa o poliômio e é divisível po p. Dessa foma, os coeficietes de P x, da poposição 4., como sedo Q ( p )! () i e, x P x x ( x)...( x) ( p )! Defiição 4. p p p Diate dessa defiição, podemos estabelece impotates popiedades expessadas a seguite poposição e os cooláios que seguem. P x x ( x)...( x) ( p )! Poposição 4.4 O poliômio p p p, sedo p um úmeo pimo tal que p * e 0 p c, pode se escito a foma Sedo b uma costate. p (!) p b p Px x x... ( p)! ( p)! Demostação: Façamos Temos p p p Px x ( x)...( x). ( p )! H x ( x)( x)...( x)

49 47 e obsevemos que Hx é da foma e cosequetemete, teemos sedo b,..., b p costates. a x a x... a x!, sedo a,..., a costates [ H x ] b x b x... b x (!), Voltado a Px, temos, P x p p p p p p x H x ( p )! p p bp pp b p (!) P x x... x ( p )! ( p )! ( p )! ou seja, p (!) b p b p p p p Px x x... x, ( p )! ( p )! ( p )! Cooláio 4. Nas codições da Poposição 4.4, temos () i P k k 0;,..., ; sedo i p. Demostação: Basta obseva que,..., são aízes de multiplicidade p do poliômio P. Como o gau de P é maio que p (Poposição 4.4), temos que,..., são aízes das deivadas de odes meoes que p. De fato: sedo p, P x k x g x p p p p p g x x ( x)...( k x) ( k x)...( x). ( p )! Logo: p p P' x p( k x) g x ( k x) g ' x p ( k x) g x, p ( k x) pg x ( k x) g ' x sedo g x pg x k x g x ( ) '. Geealizado, teemos: () i pi P x k x gi x ( ),

50 48 que é tal que () i P k k 0;,..., ; sedo i p. Cooláio 4. Nas codições da Poposição 4.4, P ( p) p () i 0 (!) e P 0 0, i p. Demostação: a ( p) Pate: P p 0 (!). p (!) b p P x x x..., temos ( p)! ( p)! p De ( p) p P x b px (!)... e, assim, o p úico temo que ão é fatoado po x é (!). Daí, ao aplicamos x 0, esse é o úico temo que ão se aulaá. a () i Pate: P 0 0, i p. Nesse caso, qualque i p seá meo que o meo expoete de x em P, o que faá com que todos os temos do poliômio cosequetemete, se toem ulos ao aplicamos x 0. () i P x estejam fatoados po x e, A pati de agoa vamos supo que e seja algébico, ou seja, é aiz de uma equação poliomial com coeficietes iteios e de meo gau possível (tomaemos também c0 0 ). Assim, c e c e... c e c 0. (4.) 0 Nosso objetivo agoa é chega a alguma cotadição com essa hipótese. Poposição 4.5 Se e é algébico, satisfazedo à equação (4.), etão c F 0 c F... c F c... c. 0 Demostação: Da Poposição 4., temos ( ) 0 0 ( ) 0 0 F e P ef ef F e P e F e F Etão, ( ) F e P e F 0 e F 0.

51 c F c F c F c F c c ef c c e F 0 0 ou seja, F 0 c c e... c e c... c, 0 c F 0 c F... c F c... c, (4.) 0 Devido à hipótese assumida acima que e satisfaz (4.). Nosso objetivo agoa seá demosta que paa um detemiado poliômio P x o lado esquedo dessa igualdade é um iteio ão divisível po um pimo p equato o lado dieito pode se toa meo que, em valo absoluto, paa um pimo p suficietemete gade. O que os daá um absudo. ( pp) Poposição 4.6 Seja F x Px P' x... P x Poposição 4., etão F k, paa k,...,, iteio ão divisível po p. O poliômio, cofome defiido a é um iteio divisível po p e 0 P x é o da defiição 4.. F é um Demostação: Vamos cosidea os seguites fatos: p p p P x x ( x)...( x). ( p )!. Pk 0, k,...,. Pois () i. Do Cooláio 4., temos que P k 0; i p. ( p )! () 3. Todo i () i P x pode se escito a foma Q x, sedo () i Q x defiido de acodo com a Poposição 4.3 (paa ve isso, basta deiva P a foma ão fatoada, cofome Poposição 4.4). Daí, Potato, k iteios e divisíveis po p. Paa 4. P0 0. () i P k, paa i p é um iteio divisível po p. F fica esumida ao somatóio dos P i k, ode i p, os quais são F 0 cosideamos também que: ( p) p () i 5. Do Cooláio 4., temos que P 0 (!) e ( ) P 0 0, i p.

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática Unesp/Bauru CAPÍTULO 2 ESPAÇOS VETORIAIS

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática Unesp/Bauru CAPÍTULO 2 ESPAÇOS VETORIAIS Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matemática Uesp/Bauu CAPÍTULO ESPAÇOS VETORIAIS 1 Históico Sabe-se que, até pelo meos o fial do século XIX, ão havia ehuma teoia ou cojuto de egas bem defiidas a que se

Leia mais

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A. Tarefa nº 7 do plano de trabalho nº 1

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A. Tarefa nº 7 do plano de trabalho nº 1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A Taefa º 7 do plao de tabalho º. Comece po esolve o execício 3 da págia 0.. Muitas das geealizações feitas as divesas ciêcias,

Leia mais

AULA 23 FATORES DE FORMA DE RADIAÇÃO TÉRMICA

AULA 23 FATORES DE FORMA DE RADIAÇÃO TÉRMICA Notas de aula de PME 336 Pocessos de Tasfeêcia de Calo e Massa 98 AULA 3 ATORES DE ORMA DE RADIAÇÃO TÉRMICA Cosidee o caso de duas supefícies egas quaisque que tocam calo po adiação témica ete si. Supoha

Leia mais

Capítulo 4 Variáveis Aleatórias Discretas. Prof. Fabrício Maciel Gomes

Capítulo 4 Variáveis Aleatórias Discretas. Prof. Fabrício Maciel Gomes Capítulo 4 Vaiáveis Aleatóias Discetas Pof. Fabício Maciel Gomes Picipais Distibuições de Pobabilidade Discetas Equipovável Beoulli Biomial Poisso Geomética Pascal Hipegeomética Distibuição Equipovável

Leia mais

1 - CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES rxy

1 - CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES rxy 1 - CORRELAÇÃO LINEAR IMPLE Em pesquisas, feqüetemete, pocua-se veifica se existe elação ete duas ou mais vaiáveis, isto é, sabe se as alteações sofidas po uma das vaiáveis são acompahadas po alteações

Leia mais

Demonstrações Geométricas, Algébricas e Solução de Equações Discretas utilizando as Sequências de Números Figurados

Demonstrações Geométricas, Algébricas e Solução de Equações Discretas utilizando as Sequências de Números Figurados Demostações Geométicas, Algébicas e Solução de Equações Discetas utilizado as Sequêcias de Númeos Figuados José Atoio Salvado Depatameto de Matemática - CCET - Uivesidade Fedeal de São Calos 3565-905,

Leia mais

Funções analíticas complexas

Funções analíticas complexas Capítulo 5 Fuções aalíticas complexas 5 Itodução As fuções aalíticas são as fuções epesetáveis po séies de potêcias Até meados do séc XVII a oção de fução cofudia-se com a de fómula algébica com vaiáveis,

Leia mais

CEDERJ - CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR A DISTÂNCIA DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

CEDERJ - CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR A DISTÂNCIA DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO CEDERJ - CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR A DISTÂNCIA DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO MATERIAL DIDÁTICO IMPRESSO CURSO: Física DISCIPLINA: Ifomática paa o Esio de Física CONTEUDISTA: Calos Eduado Aguia AULA 4 TÍTULO:

Leia mais

Módulo: Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal. Somas de elementos em Linhas, Colunas e Diagonais do Triângulo de Pascal. 2 ano do E.M.

Módulo: Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal. Somas de elementos em Linhas, Colunas e Diagonais do Triângulo de Pascal. 2 ano do E.M. Módulo: Bômo de Newto e o Tâgulo de Pascal Somas de elemetos em Lhas, Coluas e Dagoas do Tâgulo de Pascal ao do EM Módulo: Bômo de Newto e o Tâgulo de Pascal Somas de elemetos em Lhas, Coluas e Dagoas

Leia mais

Revisão Vetores em R n

Revisão Vetores em R n Revisão Vetoes em R Deiição O espaço vetoial R é o cojuto R : {( x1,, x) xi R, i 1,, } o qual deiimos as opeações: a) Se u ( x 1,, x ) e v ( y 1,, y ) estão em R temos que u + v ( x1 + y1,, x + y) ; b)

Leia mais

Campo Gravítico da Terra

Campo Gravítico da Terra 5. Campo Gavítico ómalo elação ete o potecial gavítico e o potecial omal é dada po: W ( x, y, z = U( x, y,z + ( x, y,z O campo gavítico aómalo ou petubado é etão defiido pela difeeça do campo gavítico

Leia mais

Capítulo I Erros e Aritmética Computacional

Capítulo I Erros e Aritmética Computacional C. Balsa e A. Satos Capítulo I Eos e Aitmética Computacioal. Itodução aos Métodos Numéicos O objectivo da disciplia de Métodos Numéicos é o estudo, desevolvimeto e avaliação de algoitmos computacioais

Leia mais

Preliminares 1. 1 lim sup, lim inf. Medida e Integração. Departamento de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales. 8 de março de 2009.

Preliminares 1. 1 lim sup, lim inf. Medida e Integração. Departamento de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales. 8 de março de 2009. Medida e Itegração. Departameto de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales 8 de março de 2009. 1 lim sup, lim if Prelimiares 1 Seja (x ), N, uma seqüêcia de úmeros reais, e l o limite desta

Leia mais

Soluções dos Exercícios do Capítulo 6

Soluções dos Exercícios do Capítulo 6 Soluções dos Eercícios do Capítulo 6 1. O poliômio procurado P() a + b + c + d deve satisfazer a idetidade P(+1) P() +, ou seja, a(+1) + b(+1) + c(+1) + d a + b + c + d +, o que é equivalete a (a 1) +

Leia mais

Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Números reais

Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Números reais Fudametos de Aálise Matemática Profª Aa Paula Números reais 1,, 3, cojuto dos úmeros aturais 0,1,,3, cojuto dos úmeros iteiros p q /p e q cojuto dos úmeros racioais a, a 0 a 1 a a, a e a i 0, 1,, 3, 4,

Leia mais

( ) 10 2 = = 505. = n3 + n P1 - MA Questão 1. Considere a sequência (a n ) n 1 definida como indicado abaixo:

( ) 10 2 = = 505. = n3 + n P1 - MA Questão 1. Considere a sequência (a n ) n 1 definida como indicado abaixo: P1 - MA 1-011 Questão 1 Considee a sequência (a n ) n 1 definida como indicado abaixo: a 1 = 1 a = + 3 a 3 = + 5 + 6 a = 7 + 8 + 9 + 10 (05) (a) O temo a 10 é a soma de 10 inteios consecutivos Qual é o

Leia mais

Matemática do Ensino Médio vol.2

Matemática do Ensino Médio vol.2 Matemática do Ensino Médio vol.2 Cap.11 Soluções 1) a) = 10 1, = 9m = 9000 litos. b) A áea do fundo é 10 = 0m 2 e a áea das paedes é (10 + + 10 + ) 1, = 51,2m 2. Como a áea que seá ladilhada é 0 + 51,2

Leia mais

Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio Material Teórico - Módulo Biômio de Newto e Triagulo de Pascal Soma de Elemetos em Lihas, Coluas e Diagoais Segudo Ao do Esio Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Beevides Revisor: Prof Atoio Camiha M Neto

Leia mais

Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio Material Teórico - Módulo Biômio de Newto e Triagulo de Pascal Soma de Elemetos em Lihas, Coluas e Diagoais Segudo Ao do Esio Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Beevides Revisor: Prof Atoio Camiha M Neto

Leia mais

O Jogo do resta-um num tabuleiro infinito

O Jogo do resta-um num tabuleiro infinito O Jogo do esta-um num tabuleio infinito Alexande Baaviea Milton Pocópio de Boba 1. Intodução. No EREMAT-007 em Canoas-RS, acompanhando a Kelly, aluna de Matemática da UNIVILLE, assisti a váias palestas,

Leia mais

O perímetro da circunferência

O perímetro da circunferência Univesidade de Basília Depatamento de Matemática Cálculo 1 O peímeto da cicunfeência O peímeto de um polígono de n lados é a soma do compimento dos seus lados. Dado um polígono qualque, você pode sempe

Leia mais

Cálculo II Sucessões de números reais revisões

Cálculo II Sucessões de números reais revisões Ídice 1 Defiição e exemplos Cálculo II Sucessões de úmeros reais revisões Mestrado Itegrado em Egeharia Aeroáutica Mestrado Itegrado em Egeharia Civil Atóio Beto beto@ubi.pt Departameto de Matemática Uiversidade

Leia mais

VETORES GRANDEZAS VETORIAIS

VETORES GRANDEZAS VETORIAIS VETORES GRANDEZAS VETORIAIS Gandezas físicas que não ficam totalmente deteminadas com um valo e uma unidade são denominadas gandezas vetoiais. As gandezas que ficam totalmente expessas po um valo e uma

Leia mais

FORMULÁRIO ELABORAÇÃO ITENS/QUESTÕES

FORMULÁRIO ELABORAÇÃO ITENS/QUESTÕES CÓDIGOFO 7.5./0 REVISÃO 0 PÁGINA de CONCURSO DOCENTES EFETIVOS DO COLÉGIO PEDRO II DATA//0 CARGO/ARÉA MATEMÁTICÁ CONTEÚDO PROGRAMÁTICOSISTEMAS LINEARES/ VETORES NO R /GEOMETRIA ANALÍTICA EMR. NÍVEL DE

Leia mais

Sucessão ou Sequência. Sucessão ou seqüência é todo conjunto que consideramos os elementos dispostos em certa ordem. janeiro,fevereiro,...

Sucessão ou Sequência. Sucessão ou seqüência é todo conjunto que consideramos os elementos dispostos em certa ordem. janeiro,fevereiro,... Curso Metor www.cursometor.wordpress.com Sucessão ou Sequêcia Defiição Sucessão ou seqüêcia é todo cojuto que cosideramos os elemetos dispostos em certa ordem. jaeiro,fevereiro,...,dezembro Exemplo : Exemplo

Leia mais

Exercícios de Aprofundamento Matemática Progressão Aritmética e Geométrica

Exercícios de Aprofundamento Matemática Progressão Aritmética e Geométrica Exercícios de Aprofudameto Matemática Progressão Aritmética e b. (Fuvest 05) Dadas as sequêcias a 4 4, b, c a a e d, b defiidas para valores iteiros positivos de, cosidere as seguites afirmações: I. a

Leia mais

Sequências Reais. Departamento de Matemática - UEL Ulysses Sodré. 1 Sequências de números reais 1

Sequências Reais. Departamento de Matemática - UEL Ulysses Sodré.  1 Sequências de números reais 1 Matemática Essecial Sequêcias Reais Departameto de Matemática - UEL - 200 Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessecial/ Coteúdo Sequêcias de úmeros reais 2 Médias usuais 6 3 Médias versus progressões

Leia mais

PROVA COMENTADA E RESOLVIDA PELOS PROFESSORES DO CURSO POSITIVO

PROVA COMENTADA E RESOLVIDA PELOS PROFESSORES DO CURSO POSITIVO Vestibula AFA 010 Pova de Matemática COMENTÁRIO GERAL DOS PROFESSORES DO CURSO POSITIVO A pova de Matemática da AFA em 010 apesentou-se excessivamente algébica. Paa o equílibio que se espea nesta seleção,

Leia mais

APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA (CÁLCULO DIFERENCIAL EM ) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Cálculo Dieecial em Cálculo dieecial em

Leia mais

SISTEMA DE COORDENADAS

SISTEMA DE COORDENADAS ELETROMAGNETISMO I 1 0 ANÁLISE VETORIAL Este capítulo ofeece uma ecapitulação aos conhecimentos de álgeba vetoial, já vistos em outos cusos. Estando po isto numeado com o eo, não fa pate de fato dos nossos

Leia mais

APÊNDICE. Revisão de Trigonometria

APÊNDICE. Revisão de Trigonometria E APÊNDICE Revisão de Tigonometia FUNÇÕES E IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS ÂNGULOS Os ângulos em um plano podem se geados pela otação de um aio (semi-eta) em tono de sua etemidade. A posição inicial do aio

Leia mais

4.4 Mais da geometria analítica de retas e planos

4.4 Mais da geometria analítica de retas e planos 07 4.4 Mais da geometia analítica de etas e planos Equações da eta na foma simética Lembemos que uma eta, no planos casos acima, a foma simética é um caso paticula da equação na eta na foma geal ou no

Leia mais

MATEMÁTICA CADERNO 7 CURSO E. FRENTE 1 ÁLGEBRA n Módulo 28 Dispositivo de Briot-Ruffini Teorema Do Resto

MATEMÁTICA CADERNO 7 CURSO E. FRENTE 1 ÁLGEBRA n Módulo 28 Dispositivo de Briot-Ruffini Teorema Do Resto MATEMÁTICA FRENTE ÁLGEBRA n Módulo 8 Dispositivo de Biot-Ruffini Teoema Do Resto ) x + x x x po x + Utilizando o dispositivo de Biot-Ruffini: coeficientes esto Q(x) = x x + x 7 e esto nulo ) Pelo dispositivo

Leia mais

Secção 1. Introdução às equações diferenciais

Secção 1. Introdução às equações diferenciais Secção. Itrodução às equações difereciais (Farlow: Sec..,.) Cosideremos um exemplo simples de um feómeo que pode ser descrito por uma equação diferecial. A velocidade de um corpo é defiida como o espaço

Leia mais

Séries e aplicações15

Séries e aplicações15 Séries e aplicações5 Gil da Costa Marques Fudametos de Matemática I 5. Sequêcias 5. Séries 5. Séries especiais 5.4 Arquimedes e a quadratura da parábola 5.5 Sobre a Covergêcia de séries 5.6 Séries de Taylor

Leia mais

DERIVADAS DE FUNÇÕES11

DERIVADAS DE FUNÇÕES11 DERIVADAS DE FUNÇÕES11 Gil da Costa Marques Fudametos de Matemática I 11.1 O cálculo diferecial 11. Difereças 11.3 Taxa de variação média 11.4 Taxa de variação istatâea e potual 11.5 Primeiros exemplos

Leia mais

O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM E O MÁXIMO DIVISOR COMUM GENERALIZADOS

O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM E O MÁXIMO DIVISOR COMUM GENERALIZADOS O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM E O MÁXIMO DIVISOR COMUM GENERALIZADOS Cydaa C. Ripoll, Jaime B. Ripoll, Alvei A. Sant Ana 1 Intodução Na disciplina Tecnologia de Infomação e Comunicação em Educação Matemática

Leia mais

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 014.2

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 014.2 CÁLCULO IFERENCIAL E INTEGRAL II Obsevações: ) Todos os eecícios popostos devem se esolvidos e entegue no dia de feveeio de 5 Integais uplas Integais uplas Seja z f( uma função definida em uma egião do

Leia mais

CAPÍTULO 04 CINEMÁTICA INVERSA DE POSIÇÃO

CAPÍTULO 04 CINEMÁTICA INVERSA DE POSIÇÃO Capítulo 4 - Cinemática Invesa de Posição 4 CAPÍTULO 04 CINEMÁTICA INVERSA DE POSIÇÃO 4.1 INTRODUÇÃO No capítulo anteio foi visto como detemina a posição e a oientação do ógão teminal em temos das vaiáveis

Leia mais

Exame Final Nacional de Matemática A Prova 635 Época Especial Ensino Secundário º Ano de Escolaridade. Critérios de Classificação.

Exame Final Nacional de Matemática A Prova 635 Época Especial Ensino Secundário º Ano de Escolaridade. Critérios de Classificação. Exame Final Nacional de Matemática A Pova 635 Época Especial Ensino Secundáio 07.º Ano de Escolaidade Deceto-Lei n.º 39/0, de 5 de julho Citéios de Classificação 0 Páginas Pova 635/E. Especial CC Página

Leia mais

= o logaritmo natural de x.

= o logaritmo natural de x. VI OLIMPÍ IEROMERIN E MTEMÁTI UNIVERSITÁRI 8 E NOVEMRO E 00 PROLEM [5 potos] Seja f ( x) log x 0 = o logaritmo atural de x efia para todo 0 f+ ( x) = f() t dt = lim f() t dt x 0 ε 0 ε Prove que o limite

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 3. MATEMÁTICA III 1 GEOM. ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 3. MATEMÁTICA III 1 GEOM. ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO INTRODUÇÃO... NOÇÕES BÁSICAS... POSIÇÃO DE UM PONTO EM RELAÇÃO AO SISTEMA...4 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS...6 RAZÃO DE SECÇÃO... 5 DIVISÃO DE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA... 6 PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO...

Leia mais

1. Revisão Matemática

1. Revisão Matemática Sequêcias de Escalares Uma sequêcia { } diz-se uma sequêcia de Cauchy se para qualquer (depedete de ε ) tal que : ε > 0 algum K m < ε para todo K e m K Uma sequêcia { } diz-se ser limitada superiormete

Leia mais

CAPÍTULO 3 DEPENDÊNCIA LINEAR

CAPÍTULO 3 DEPENDÊNCIA LINEAR Luiz Fancisco da Cuz Depatamento de Matemática Unesp/Bauu CAPÍTULO 3 DEPENDÊNCIA LINEAR Combinação Linea 2 n Definição: Seja {,,..., } um conjunto com n etoes. Dizemos que um eto u é combinação linea desses

Leia mais

1. Revisão Matemática

1. Revisão Matemática Se x é um elemeto do cojuto Notação S: x S Especificação de um cojuto : S = xx satisfaz propriedadep Uião de dois cojutos S e T : S T Itersecção de dois cojutos S e T : S T existe ; para todo f : A B sigifica

Leia mais

Departamento de Informática. Modelagem Analítica. Desempenho de Sistemas de Computação. Arranjos: Amostras Ordenadas. Exemplo

Departamento de Informática. Modelagem Analítica. Desempenho de Sistemas de Computação. Arranjos: Amostras Ordenadas. Exemplo Depatameto de Ifomática Disciplia: Modelagem Aalítica do Desempeho de Sistemas de Computação Elemetos de Aálise Combiatóia Pof. Ségio Colche colche@if.puc-io.b Teoema: Elemetos de Aálise Combiatóia Modelagem

Leia mais

Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Sequência Infinitas

Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Sequência Infinitas Fudametos de Aálise Matemática Profª Aa Paula Sequêcia Ifiitas Defiição 1: Uma sequêcia umérica a 1, a 2, a 3,,a,é uma fução, defiida o cojuto dos úmeros aturais : f : f a Notação: O úmero é chamado de

Leia mais

Matemática. Binômio de Newton. Professor Dudan.

Matemática. Binômio de Newton. Professor Dudan. Matemática Biômio de Newto Professor Duda www.acasadococurseiro.com.br Matemática BINÔMIO DE NEWTON Defiição O biômio de Newto é uma expressão que permite calcular o desevolvimeto de (a + b), sedo a +

Leia mais

Capítulo II - Sucessões e Séries de Números Reais

Capítulo II - Sucessões e Séries de Números Reais Capítulo II - Sucessões e Séries de Números Reais 2 Séries de úmeros reais Sabemos bem o que sigifica u 1 + u 2 + + u p = p =1 e cohecemos as propriedades desta operação - comutatividade, associatividade,

Leia mais

Seção 8: EDO s de 2 a ordem redutíveis à 1 a ordem

Seção 8: EDO s de 2 a ordem redutíveis à 1 a ordem Seção 8: EDO s de a odem edutíveis à a odem Caso : Equações Autônomas Definição Uma EDO s de a odem é dita autônoma se não envolve explicitamente a vaiável independente, isto é, se fo da foma F y, y, y

Leia mais

Descontos desconto racional e desconto comercial

Descontos desconto racional e desconto comercial Descontos desconto acional e desconto comecial Uma opeação financeia ente dois agentes econômicos é nomalmente documentada po um título de cédito comecial, devendo esse título conte todos os elementos

Leia mais

1- Resolução de Sistemas Lineares.

1- Resolução de Sistemas Lineares. MÉTODOS NUMÉRICOS PR EQUÇÕES DIFERENCIIS PRCIIS 1- Resolução de Sistemas Lieares. 1.1- Matrizes e Vetores. 1.2- Resolução de Sistemas Lieares de Equações lgébricas por Métodos Exatos (Diretos). 1.3- Resolução

Leia mais

Seção 24: Laplaciano em Coordenadas Esféricas

Seção 24: Laplaciano em Coordenadas Esféricas Seção 4: Laplaciano em Coodenadas Esféicas Paa o leito inteessado, na pimeia seção deduimos a expessão do laplaciano em coodenadas esféicas. O leito ue estive disposto a aceita sem demonstação pode dietamente

Leia mais

Aluno(a): Professor: Chiquinho

Aluno(a): Professor: Chiquinho Aluo(a): Pofesso: Chquho Estatístca Básca É a cêca que tem po objetvo oeta a coleta, o esumo, a apesetação, a aálse e a tepetação de dados. População e amosta - População é um cojuto de sees com uma dada

Leia mais

Capítulo VII: Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Ordinárias

Capítulo VII: Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Ordinárias Capítulo VII: Soluções Numéricas de Equações Difereciais Ordiárias 0. Itrodução Muitos feómeos as áreas das ciêcias egearias ecoomia etc. são modelados por equações difereciais. Supoa-se que se quer determiar

Leia mais

DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL. todas as repetições). Então, para todo o número positivo ξ, teremos:

DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL. todas as repetições). Então, para todo o número positivo ξ, teremos: 48 DESIGUALDADES, LEIS LIMITE E TEOREMA DO LIMITE CENTRAL LEI DOS GRANDES NÚMEROS Pretede-se estudar o seguite problema: À medida que o úmero de repetições de uma experiêcia cresce, a frequêcia relativa

Leia mais

Carga Elétrica e Campo Elétrico

Carga Elétrica e Campo Elétrico Aula 1_ Caga lética e Campo lético Física Geal e peimental III Pof. Cláudio Gaça Capítulo 1 Pincípios fundamentais da letostática 1. Consevação da caga elética. Quantização da caga elética 3. Lei de Coulomb

Leia mais

MATEMÁTICA 3 A SÉRIE - E. MÉDIO

MATEMÁTICA 3 A SÉRIE - E. MÉDIO 1 MTEMÁTIC 3 SÉRIE - E. MÉDIO Pof. Rogéio Rodigues ELEMENTOS PRIMITIVOS / ÂNGULOS NOME :... NÚMERO :... TURM :... 2 I) ELEMENTOS PRIMITIVOS ÂNGULOS Os elementos pimitivos da Geometia são O Ponto, eta e

Leia mais

CPV O cursinho que mais aprova na GV

CPV O cursinho que mais aprova na GV RJ_MATEMATICA_9_0_08 FGV-RJ A dministação Economia Dieito C Administação 26 26 das 200 vagas da GV têm ficado paa os alunos do CPV CPV O cusinho que mais apova na GV Ciências Sociais ociais GV CPV. ociais

Leia mais

TRABALHO E POTENCIAL ELETROSTÁTICO

TRABALHO E POTENCIAL ELETROSTÁTICO LTOMAGNTISMO I 5 TABALHO POTNCIAL LTOSTÁTICO Nos capítulos ateioes ós ivestigamos o campo elético devido a divesas cofiguações de cagas (potuais, distibuição liea, supefície de cagas e distibuição volumética

Leia mais

BINÔMIO DE NEWTON. O desenvolvimento da expressão 2. a b é simples, pois exige somente quatro multiplicações e uma soma:

BINÔMIO DE NEWTON. O desenvolvimento da expressão 2. a b é simples, pois exige somente quatro multiplicações e uma soma: 07 BINÔMIO DE NEWTON O desevolvimeto da epressão a b é simples, pois eige somete quatro multiplicações e uma soma: a b a b a b a ab ba b a ab b O desevolvimeto de a b é uma tarefa um pouco mais trabalhosa,

Leia mais

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Escola de Engenharia de Lorena EEL

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Escola de Engenharia de Lorena EEL UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Escola de Egehaia de Loea EEL LOB101 - FÍSICA IV Pof. D. Duval Rodigues Juio Depatameto de Egehaia de Mateiais (DEMAR) Escola de Egehaia de Loea (EEL) Uivesidade de São Paulo

Leia mais

CAPÍTULO IV DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE

CAPÍTULO IV DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE CAPÍTUO IV DESENVOVIMENTOS EM SÉRIE Série de Taylor e de Mac-auri Seja f ) uma fução real de variável real com domíio A e seja a um poto iterior desse domíio Supoha-se que a fução admite derivadas fiitas

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS UFSCAR PROFMAT MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS UFSCAR PROFMAT MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS UFSCAR PROFMAT MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CRIANDO MENSAGENS SECRETAS NA ESCOLA BÁSICA UTILIZANDO A CRIPTOGRAFIA RSA

Leia mais

Áreas parte 2. Rodrigo Lucio Isabelle Araújo

Áreas parte 2. Rodrigo Lucio Isabelle Araújo Áeas pate Rodigo Lucio Isabelle Aaújo Áea do Cículo Veja o cículo inscito em um quadado. Medida do lado do quadado:. Áea da egião quadada: () = 4. Então, a áea do cículo com aio de medida é meno do que

Leia mais

Conjuntos Infinitos. Teorema (Cantor) Se A é conjunto qualquer, #A #P(A). Mais precisamente, qualquer

Conjuntos Infinitos. Teorema (Cantor) Se A é conjunto qualquer, #A #P(A). Mais precisamente, qualquer Cojutos Ifiitos Teorema (Cator) Se A é cojuto qualquer, #A #P(A). Mais precisamete, qualquer f : A P(A) ão é sobrejetora. Cosequêcia. Existe uma herarquia de cojutos ifiitos. Obs. Existe uma bijeção etre

Leia mais

Cap014 - Campo magnético gerado por corrente elétrica

Cap014 - Campo magnético gerado por corrente elétrica ap014 - ampo magnético geado po coente elética 14.1 NTRODUÇÃO S.J.Toise Até agoa os fenômenos eléticos e magnéticos foam apesentados como fatos isolados. Veemos a pati de agoa que os mesmos fazem pate

Leia mais

Mecânica Técnica. Aula 5 Vetor Posição, Aplicações do Produto Escalar. Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Mecânica Técnica. Aula 5 Vetor Posição, Aplicações do Produto Escalar. Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues ula 5 Veto Posição, plicações do Poduto Escala Pof. MSc. Luiz Eduado Mianda J. Rodigues Pof. MSc. Luiz Eduado Mianda J. Rodigues Tópicos bodados Nesta ula Vetoes Posição. Veto Foça Oientado ao Longo de

Leia mais

SEQUÊNCIAS IMPORTANTES PARA O LIMITE

SEQUÊNCIAS IMPORTANTES PARA O LIMITE começado a eteder CÁLCULO Volume Um - SEQUÊNCIAS IMPORTANTES PARA O LIMITE Uma sequêcia ifiita de úmeros () é covergete a um úmero o quado () se tora (ou é sempre) igual a o, ou se tora cada vez mais próima

Leia mais

Credenciamento Portaria MEC 3.613, de D.O.U

Credenciamento Portaria MEC 3.613, de D.O.U edenciamento Potaia ME 3.63, de 8..4 - D.O.U. 9..4. MATEMÁTIA, LIENIATURA / Geometia Analítica Unidade de apendizagem Geometia Analítica em meio digital Pof. Lucas Nunes Ogliai Quest(iii) - [8/9/4] onteúdos

Leia mais

Esquemas simétricos de cifra

Esquemas simétricos de cifra Esquemas siméticos de cifa Notas paa a UC de Seguaça Ifomática Iveo de 12/13 Pedo Félix (pedofelix em cc.isel.ipl.pt) Istituto Supeio de Egehaia de Lisboa Sumáio Pimitivas de cifa em bloco Pimitivas iteadas

Leia mais

Matemática. B) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. C) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD.

Matemática. B) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. C) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD. Matemática 0. Um losago do plao cartesiao oxy tem vértices A(0,0), B(,0), C(,) e D(,). A) Determie a equação da reta que cotém a diagoal AC. B) Determie a equação da reta que cotém a diagoal BD. C) Ecotre

Leia mais

INTEIROS DE GAUSS E INTEIROS DE EISENSTEIN Guilherme Fujiwara, São Paulo SP

INTEIROS DE GAUSS E INTEIROS DE EISENSTEIN Guilherme Fujiwara, São Paulo SP Nível Avaçado. INTEIROS DE GAUSS E INTEIROS DE EISENSTEIN Guilherme Fujiwara, São Paulo SP Vamos abordar esse artigo a aritmética de dois cojutos de iteiros algébricos: os Iteiros de Gauss e os Iteiros

Leia mais

GERADORES. Figura 5.1 (a) Gerador não ideal. (b) Gerador não ideal com a resistência interna r explicita no diagrama.

GERADORES. Figura 5.1 (a) Gerador não ideal. (b) Gerador não ideal com a resistência interna r explicita no diagrama. ELEICIDADE CAPÍULO 5 GEADOES Cofome visto o Capítulo, o geado é uma máquia elética capaz de estabelece uma difeeça de potecial elético (ddp) costate (ou fime) ete os extemos de um coduto elético, de maeia

Leia mais

Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Desenvolvimento Multinomial. Segundo Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Desenvolvimento Multinomial. Segundo Ano do Ensino Médio Material Teórico - Módulo Biômio de Newto e Triagulo de Pascal Desevolvimeto Multiomial Segudo Ao do Esio Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Beevides Revisor: Prof Atoio Camiha M Neto 1 Desevolvimeto

Leia mais

Cap03 - Estudo da força de interação entre corpos eletrizados

Cap03 - Estudo da força de interação entre corpos eletrizados ap03 - Estudo da foça de inteação ente copos eletizados 3.1 INTRODUÇÃO S.J.Toise omo foi dito na intodução, a Física utiliza como método de tabalho a medida das qandezas envolvidas em cada fenômeno que

Leia mais

CÁLCULO DIFERENCIAL. Conceito de derivada. Interpretação geométrica

CÁLCULO DIFERENCIAL. Conceito de derivada. Interpretação geométrica CÁLCULO DIFERENCIAL Coceito de derivada Iterpretação geométrica A oção fudametal do Cálculo Diferecial a derivada parece ter sido pela primeira vez explicitada o século XVII, pelo matemático fracês Pierre

Leia mais

Alguns autores também denotam uma sequência usando parêntesis:

Alguns autores também denotam uma sequência usando parêntesis: Capítulo 3 Sequêcias e Séries Numéricas 3. Sequêcias Numéricas Uma sequêcia umérica é uma fução real com domíio N que, a cada associa um úmero real a. Os úmeros a são chamados termos da sequêcia. É comum

Leia mais

Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa Departamento de Matemática. Geodesia Física. João Catalão

Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa Departamento de Matemática. Geodesia Física. João Catalão Faculdade de Ciêcias da Uivesidade de Lisboa Depatameto de Matemática Geodesia Física João Catalão Lisboa, Fudametos do campo gavítico Ídice Capítulo - Fudametos do Campo gavítico. O campo gavítico...

Leia mais

Sobre a necessidade das hipóteses no Teorema do Ponto Fixo de Banach

Sobre a necessidade das hipóteses no Teorema do Ponto Fixo de Banach Sobre a ecessidade das hipóteses o Teorema do Poto Fio de Baach Marcelo Lopes Vieira Valdair Bofim Itrodução: O Teorema do Poto Fio de Baach é crucial a demostração de vários resultados importates da Matemática

Leia mais

lim Px ( ) 35 x 5 ), teremos Px ( ) cada vez mais próximo de 35 (denotaremos isso da forma Px ( ) 35 ). UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CAMPUS IV-CCAE

lim Px ( ) 35 x 5 ), teremos Px ( ) cada vez mais próximo de 35 (denotaremos isso da forma Px ( ) 35 ). UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CAMPUS IV-CCAE CURSO DISCIPLINA PROFESSOR I) Itrodução ao Limite de uma Fução UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CAMPUS IV-CCAE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Limite de uma Fução José Elias

Leia mais

AULA 17 A TRANSFORMADA Z - DEFINIÇÃO

AULA 17 A TRANSFORMADA Z - DEFINIÇÃO Processameto Digital de Siais Aula 7 Professor Marcio Eisecraft abril 0 AULA 7 A TRANSFORMADA Z - DEFINIÇÃO Bibliografia OPPENHEIM, A.V.; WILLSKY, A. S. Siais e Sistemas, a edição, Pearso, 00. ISBN 9788576055044.

Leia mais

Sobre a classe de diferenciabilidade de quocientes de polinômios homogêneos.

Sobre a classe de diferenciabilidade de quocientes de polinômios homogêneos. Uvesdade Regoal do Ca - URCA CADERNO DE CULTURA E CIÊNCIA VOLUME Nº - 008 IN 980-586 obe a classe de dfeecabldade de quocetes de polômos homogêeos About the Dffeetablty Class of the Quotet of Homogeeous

Leia mais

Forma Integral das Equações Básicas para Volume de Controle (cont.)

Forma Integral das Equações Básicas para Volume de Controle (cont.) EOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Núcleo de Egehaia Témica e Fluidos Foma Itegal das Equações Básicas paa Volume de Cotole (cot.) Teoema do Taspote de Reyolds: elação geal ete a taxa de vaiação de qq. popiedade

Leia mais

TEOREMA DE TAYLOR 2! 1 1. (n) n (n 1) 0 + f x0 x x0 + f (c) x

TEOREMA DE TAYLOR 2! 1 1. (n) n (n 1) 0 + f x0 x x0 + f (c) x (Tóp. Tto Complmta) TEOREMA DE TAYLOR TEOREMA DE TAYLOR S uma ução suas pimias divadas istm um itvalo abto I cotdo, sgu-s do toma do valo médio galizado (dado o tópico dsta aula), substituido a ou b po,

Leia mais

Transformação de similaridade

Transformação de similaridade Trasformação de similaridade Relembrado bases e represetações, ós dissemos que dada uma base {q, q,..., q} o espaço real - dimesioal, qualquer vetor deste espaço pode ser escrito como:. Ou a forma matricial

Leia mais

Seqüências e Séries. Notas de Aula 4º Bimestre/2010 1º ano - Matemática Cálculo Diferencial e Integral I Profª Drª Gilcilene Sanchez de Paulo

Seqüências e Séries. Notas de Aula 4º Bimestre/2010 1º ano - Matemática Cálculo Diferencial e Integral I Profª Drª Gilcilene Sanchez de Paulo Seqüêcias e Séries Notas de Aula 4º Bimestre/200 º ao - Matemática Cálculo Diferecial e Itegral I Profª Drª Gilcilee Sachez de Paulo Seqüêcias e Séries Para x R, podemos em geral, obter sex, e x, lx, arctgx

Leia mais

Resolução da Prova de Raciocínio Lógico

Resolução da Prova de Raciocínio Lógico ESAF/ANA/2009 da Pova de Raciocínio Lógico (Refeência: Pova Objetiva 1 comum a todos os cagos). Opus Pi. Rio de Janeio, maço de 2009. Opus Pi. opuspi@ymail.com 1 21 Um io pincipal tem, ao passa em deteminado

Leia mais

. Essa força é a soma vectorial das forças individuais exercidas em q 0 pelas várias cargas que produzem o campo E r. Segue que a força q E

. Essa força é a soma vectorial das forças individuais exercidas em q 0 pelas várias cargas que produzem o campo E r. Segue que a força q E 7. Potencial Eléctico Tópicos do Capítulo 7.1. Difeença de Potencial e Potencial Eléctico 7.2. Difeenças de Potencial num Campo Eléctico Unifome 7.3. Potencial Eléctico e Enegia Potencial Eléctica de Cagas

Leia mais

XXXIV OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Primeira Fase (14 de agosto de 2010) Nível α (6 o e 7 o anos do Ensino Fundamental)

XXXIV OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Prova da Primeira Fase (14 de agosto de 2010) Nível α (6 o e 7 o anos do Ensino Fundamental) Instuções: XXXIV OLIMPÍADA PAULISTA DE MATEMÁTICA Pova da Pimeia Fase (14 de agosto de 010) Nível α (6 o e 7 o anos do Ensino Fundamental) Folha de Peguntas A duação da pova é de 3h30min. O tempo mínimo

Leia mais

ÁLGEBRA. Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores LEEC Ano lectivo de 2002/2003

ÁLGEBRA. Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores LEEC Ano lectivo de 2002/2003 ÁLGEBRA Liceciatura em Egeharia Electrotécica e de Computadores LEEC Ao lectivo de 00/003 Apotametos para a resolução dos exercícios da aula prática 5 MATRIZES ELIMINAÇÃO GAUSSIANA a) Até se obter a forma

Leia mais

O Paradoxo de Bertrand para um Experimento Probabilístico Geométrico

O Paradoxo de Bertrand para um Experimento Probabilístico Geométrico O Paadoxo de etand paa um Expeimento Pobabilístico Geomético maildo de Vicente 1 1 Colegiado do Cuso de Matemática Cento de Ciências Exatas e Tecnológicas da Univesidade Estadual do Oeste do Paaná Caixa

Leia mais

SÉRIES DE FOURIER E O FENÔMENO DE GIBBS

SÉRIES DE FOURIER E O FENÔMENO DE GIBBS UNIVERSIDADE FEDERA DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SÉRIES DE FOURIER E O FENÔMENO DE GIBBS UIZ FERNANDO NAZARI FORIANÓPOIS, JUNHO DE 8 UIZ FERNANDO

Leia mais

2013 Copyright. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.

2013 Copyright. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor. Cuso: Execícios ESAF paa Receita Fedeal 03 Disciplina: Raciocínio Lógico-Quantitativo Assunto: Tópico 04 Matizes, Deteminantes e Sistemas Lineaes Pofesso: Valdenilson Gacia 03 Copyight. Cuso Agoa eu Passo

Leia mais

Planificação Anual de Matemática

Planificação Anual de Matemática Direção-Geral dos Estabelecimetos Escolares Direção de Serviços da Região Cetro Plaificação Aual de Matemática Ao Letivo: 2015/2016 Domíio Coteúdos Metas Curriculares Nº de Aulas (45 miutos) TEOREMA DE

Leia mais

Prova-Modelo de Matemática

Prova-Modelo de Matemática Prova-Modelo de Matemática PROVA Págias Esio Secudário DURAÇÃO DA PROVA: miutos TOLERÂNCIA: miutos Cotações GRUPO I O quarto úmero de uma certa liha do triâgulo de Pascal é. A soma dos quatro primeiros

Leia mais

Capítulo 3. Sucessões e Séries Geométricas

Capítulo 3. Sucessões e Séries Geométricas Capítulo 3 Sucessões e Séries Geométricas SUMÁRIO Defiição de sucessão Mootoia de sucessões Sucessões itadas (majoradas e mioradas) Limites de sucessões Sucessões covergetes e divergetes Resultados sobre

Leia mais

Prova Escrita de Matemática A

Prova Escrita de Matemática A EXAME FINAL NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Pova Escita de Matemática A 12.º Ano de Escolaidade Deceto-Lei n.º 139/2012, de 5 de julho Pova 635/2.ª Fase Citéios de Classificação 11 Páginas 2015 Pova 635/2.ª

Leia mais

Sinais de Tempo Discreto

Sinais de Tempo Discreto Siais de Tempo Discreto Siais defiidos em istates discretos do tempo t 0, t 1, t 2,..., t,... são siais de tempo-discreto, deotados pelos símbolos f(t ), x(t ), y(t )... (sedo um iteiro). x(t )... t 1

Leia mais

Séquências e Séries Infinitas de Termos Constantes

Séquências e Séries Infinitas de Termos Constantes Capítulo Séquêcias e Séries Ifiitas de Termos Costates.. Itrodução Neste capítulo estamos iteressados em aalisar as séries ifiitas de termos costates. Etretato, para eteder as séries ifiitas devemos ates

Leia mais