UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONAL - PROFMAT

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONAL - PROFMAT JOSÉ ROBYSON AGGIO MOLINARI NÚMEROS PRIMOS E A CRIPTOGRAFIA RSA PONTA GROSSA 06

2 JOSÉ ROBYSON AGGIO MOLINARI NÚMEROS PRIMOS E A CRIPTOGRAFIA RSA Dissetação apesetada ao Pogama de Pós-Gaduação em Matemática PROFMAT - UEPG como pate dos equisitos paa obteção do título de Meste em Matemática Oietadoa: Po Da Fabiae de Oliveia PONTA GROSSA 06

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5 AGRADECIMENTOS À Deus pela opotuidade cocedida À miha mãe Ilda Aggio, pela educação e icetivo aos estudos À miha oiva Faciéle Retsla pelo amo, paciêcia e compeesão Aos poessoes do PROFMAT po compatilha seus cohecimetos À miha oietadoa Fabiae de Oliveia pelo apoio e oietação este tabalho Aos amigos do Mestado pela toca de cohecimetos adquiidos

6 Os ecatos dessa sublime ciêcia se evelam apeas àqueles que tem coagem de iem a udo ela Cal Fiedich Gauss

7 RESUMO Este tabalho apeseta algus métodos de ciptogaia utilizados a atiguidade e também o avaço a maeia de ciptogaa O objetivo picipal é o estudo do Método RSA: cotextualização históica, a impotâcia dos úmeos pimos, a ieiciêcia dos algoitmos de atoação, codiicação, decodiicação, a seguaça e um estudo sobe a ução de Eule Desevolveu-se algumas atividades com coteúdos matemáticos elacioadas à ciptogaia Desta maeia, espea-se que esta pesquisa possa apeseta uma metodologia auxilia paa o esio de cetos coteúdos da matemática, aticulados com a utilização da ciptogaia Palavas-chave: Ciptogaia RSA, Númeos Pimos, Fução de Eule

8 ABSTRACT This study pesets some o the ecyptio methods used i atiquity as well as the advace i the way o ecyptig The mai objective o this wok is the study o RSA Method: its Histoical cotext, the impotace o pime umbes, the ieiciecy o actoizatio algoithms, codig, decodig, its secuity ad a study o the Eule uctio Some activities with mathematical cotet elated to ecyptio have bee developed Thus, it is expected that this eseach ca peset a auxiliay methodology o teachig cetai math cotet, liked to the utilizatio o cyptogaphy Keywods: RSA ecyptio, Pime Numbes, Eule uctio

9 SUMÁRIO INTRODUÇÃO 0 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 0 CAPÍTULO - NÚMEROS PRIMOS NÚMEROS PERFEITOS 5 A DISTRIBUIÇÃO DOS NÚMEROS PRIMOS 8 O CRESCIMENTO DE (x) 9 CAPÍTULO - TEOREMAS FUNDAMENTAIS 0 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA 0 EXISTÊNCIA DA FATORAÇÃO 0 TEOREMA DE FERMAT 4 TEOREMA DE WILSON (TW) CAPÍTULO - ALGORITMOS DE FATORAÇÃO 5 ALGORITMO DA FATORAÇÃO (MENOR FATOR) 5 ALGORITMO DOS FATORES (TODOS OS FATORES) 6 INEFICIÊNCIA DOS ALGORITMOS 7 4 FATORAÇÃO POR FERMAT 7 5 ALGORITMO EUCLIDIANO 0 CAPÍTULO 4 - CRIPTOGRAFIA RSA 4 A ORIGEM DO MÉTODO RSA 4 DESCRIÇÃO MATEMÁTICA DO MÉTODO 4 PRÉ-CODIFICAÇÃO 44 CODIFICANDO E DECODIFICANDO 4 45 UM CASO PARTICULAR DO RSA 5 46 POR QUE O CASO PARTICULAR FUNCIONA? 6 47 POR QUE O RSA É SEGURO? 7 48 ANÁLISE DA FUNÇÃO DE EULER NO MÉTODO RSA 7 49 A FUNÇÃO ( m) ( m ) A ESCOLHA DOS NÚMEROS PRIMOS 9 4 UMA ANÁLISE PARA QUEBRAR O RSA 9 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÕES EM SALA DE AULA 4 5 CRIPTOGRAFIA RSA REDUZIDA 4 5 CRIPTOGRAFIA RSA E A FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU 4 5 CRIPTOGRAFIA COM MATRIZES CRIPTOGRAFIA COM FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU CRIPTOGRAFIA COM FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU CRIPTOGRAFIA COM FUNÇÃO EXPONENCIAL 49 CONSIDERAÇÕES FINAIS 5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 5 APÊNDICE 54

10 LISTA DE TABELAS Tabela : Aplicação da ómula atoial 4 Tabela : Tabela de covesão 4 Tabela : Código em blocos 4 Tabela 4: Código de covesão 5 Tabela 5: Código em blocos 4 Tabela 6: Código paa covesão 45 Tabela 7: Alabeto de covesão 45

11 LISTA DE FIGURAS Figua : Pimos de Messee 4 Figua : A ução ( ) ( ) o WxMáxima 5 Figua : Gáico da ução ( ) ( ) 6 Figua 4: Valoes paa a ução ( ) 7 Figua 5: Valoes paa a ução ( ) 56 7 Figua 6: A ução ( m) ( m ) 4 9

12 0 INTRODUÇÃO Com o avaço dos meios de comuicação e tecológicos, toou-se ecessáio o desevolvimeto de métodos seguos de tasmissão de iomações, ou seja, métodos de codiicação de mesages Com isso sugiu a ciptogaia de chave pública, também cohecida po ciptogaia assimética Esse método possui duas chaves distitas que são utilizadas Uma delas a chave pública, que está dispoível paa qualque pessoa, ou seja, é de cohecimeto de todos e é utilizada paa codiica as mesages, que só podeão se decodiicadas po quem possui a chave pivada coespodete O mais cohecido dos métodos de ciptogaia de chave pública é o RSA Este método oi ivetado em 977 po RL Rivest, A Shami e L Adlema, que a época tabalhavam o Massachussets Istitute o Techology (MIT) As letas RSA coespodem as iiciais de cada um dos ivetoes do código Paa o etedimeto do ucioameto do método RSA seão abodados algus tópicos de teoia dos úmeos elacioados a algus poblemas: como ecota úmeos pimos; como calcula os estos da divisão de uma potêcia po um úmeo dado; os algoitmos de atoação; o estudo da teoia dos úmeos e a descição do Método RSA, é o picipal oco deste estudo REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Ciptogaia é um assuto que soeu muitas mudaças duate a civilização humaa, os homes ivetavam códigos secetos a tetativa de tasmiti mesages iteligíveis po um iteceptado O ome Ciptogaia, em gego, cyptos sigiica seceto, oculto e gaia sigiica escita A ciptogaia estuda os métodos paa codiica uma mesagem de modo que só seu destiatáio legítimo cosiga itepetá-la (COUTINHO, 0), ou seja, atavés dela é possível o evio de mesages de uma oma segua, mesmo uma teceia pessoa tedo iteceptado, ão coseguiá le a iomação pesete a mesagem Um dos pimeios atos pesetes o que cocee a Ciptogaia, oi utilizado po Júlio Césa paa comuica-se com as legiões em combate pela Euopa A ciptogaia ea eita pela substituição de uma leta pela seguite, isto é, tasladava uma casa paa diate Todo código ecessaiamete utiliza-se de duas popiedades, uma paa codiica e

13 outa paa decodiica Decodiica é o que o destiatáio az quado ecebe a mesagem e possui a chave de decodiicação Decia é teta le a mesagem sem sabe a chave de decodiicação A ciptogaia utilizada po Júlio Césa ea muito ácil de se deciada, ou qualque outa oma de ciptogaia utilizado apeas substituição de letas po outas, isto se deve ao ato de que a equêcia média com que cada leta é usada em uma lígua é mais ou meos costate (COUTINHO, 0) Uma maeia paa cotoa esse poblema oi dividi a mesagem em gupos de letas e ciptogaa a mesagem em gupo, ciado assim um sistema poligáico, ode está pesete as Cias de Hill Em 99, Leste S Hill publica seu livo Cyptogaphy i a Algebaic Alphabet, o qual um bloco da mesagem é ciado atavés de uma opeação com matizes O pocedimeto com as Cias de Hill paa ciptogaa uma mesagem ea simples, bastava apeas sabe as opeações de Matizes (Multiplicação e o cálculo da Ivesa) O emetete e o destiatáio sabiam a chave (matiz), que codiicava a mesagem Com isso, ao ecebe a mesagem coseguiam lê-la, caso uma teceia pessoa tivesse acesso a essa mesagem ea peciso sabe a chave que a codiicou Mas aida essa oma de ciptogaa ão ea totalmete segua, pois se osse descobeto o sigiicado de uma colua da matiz as demais podeiam se descobetas Segudo Iezzi (00), as matizes sugiam a escola iglesa Tiity College, em um atigo do Matemático Athu Cayley (8-895), datado de 858 No século III ac; os chieses já desevolviam um pocesso de esolução de sistemas lieaes em que apaecia implícita a ideia das matizes A utilização de matizes oi udametal paa o desevolvimeto e agilidade a aálise de dados Segudo Date (00), quado você peeche um cadasto em uma págia da iteet, seus dados vão imediatamete paa um baco de dados, que ada mais é do que uma matiz que elacioa as suas iomações e de todos os outos cadastados, às espectivas pessoas de oma coeete e ecupeável A ciptogaia oi se apeeiçoado duate os aos e em 977 oi ivetado um método ciado po RL Rivest, A Shami e L Adlema cohecido po RSA Há váios outos códigos de chave pública, mas o RSA é atualmete, o mais usado em aplicações comeciais (COUTINHO, 0) O método RSA é muito seguo, utilizado o sistema bacáio paa gaati a seguaça em tasações iaceias pela iteet O método de codiicação de uma

14 mesagem é muito simples, poém o pocesso iveso, o de decodiicação é impossível de se esolvido se a mesagem o iteceptada po um hacke, mesmo utilizado-se da computação algébica ou da pogamação computacioal Este ato de deciação da mesagem é um poblema em abeto a Matemática até o pesete mometo, pois a úica pessoa que cosegue decodiica é o destiatáio da mesagem Segudo Coutiho (0): paa implemeta o RSA pecisamos de dois paâmetos básicos: dois úmeos pimos que vamos chama de p e q Paa codiica uma mesagem usado o RSA é suiciete cohece o poduto dos dois pimos, que vamos chama de A chave de codiicação do RSA é potato costituída essecialmete pelo úmeo =pq Cada usuáio do método tem sua pópia chave de codiicação Esta chave é toada pública: todos icam sabedo que, paa mada uma mesagem paa o baco Acme, deve se usada a chave Po isso também é cohecido como chave pública Já a chave de decodiicação é costituída pelos pimos p e q Cada usuáio tem que mate sua chave de decodiicação seceta ou a seguaça do método estaá compometida Apaetemete atoa o úmeo paece se um pocesso teoicamete ácil, mas usado como chaves de codiicação RSA úmeos muito gades (de 00 algaismos ou mais), levaia milhaes de aos De acodo com Coutiho (0), é disto que depede a seguaça do RSA, da ieiciêcia dos métodos de atoação atualmete cohecidos Na liteatua pode-se ecota algus tabalhos sobe o estudo de ciptogaia com matizes e ciptogaia RSA Com elação as matizes, Olgi (0) cometa sobe Ciptogaia paa o desevolvimeto de atividades didáticas que aliem os coteúdos matemáticos do Esio Médio a esse tema, que icetivem o mauseio de calculadoas cietíicas o Esio de Matemática Com elação a ciptogaia RSA, pelo ato da atoação de pq se um poblema em abeto a Matemática, há divesos pesquisadoes que cometam sobe o assuto, ete eles Coutiho (0) Diate da impotâcia do Método RSA utilizado costatemete os dias atuais, o objetivo deste tabalha visa seu estudo, o poquê do Método se seguo, além de popo uma alteativa paa atoa o valo de po meio da ução de Eule

15 CAPÍTULO - NÚMEROS PRIMOS O objetivo deste capítulo é cometa sobe os dieetes tipos de uções que geam úmeos pimos, a elação dos úmeos peeitos com os pimos de Messee e a distibuição e cescimeto dos úmeos pimos O estudo dos úmeos pimos é muito impotate a Matemática, pois desempeham um papel udametal que estão associados a muitos poblemas amosos cujas soluções até o pesete mometo são descohecidas, ete eles a ciptogaia RSA Um úmeo atual maio que e que só é divisível po e po si pópio é chamado de úmeo pimo Um úmeo maio que e que ão é pimo é deomiado composto Não se cohece ehuma ómula que gee úmeos pimos abitaiamete gades Algumas ómulas que poduzem úmeos pimos são: Fómulas Poliomiais ( x) x x 4, oece úmeos pimos em sequêcia paa x 0,,,, 40, mas paa x 4, tem-se ( 4) , logo ão é pimo Fómulas Expoeciais F, chamado de pimos de Femat, são obtidos a pati de um úmeo atual 0 Os pimeios quato úmeos de Femat, obtidos pela ução a pati de,,,4 são: F, F 7, F 57, F Em 640, o matemático Piee de Femat obsevou que esses pimeios quato úmeos eam pimos e cojectuou que todos os outos úmeos atuais paa 5, também seiam pimos Mas paa 5, tem-se que F e , logo ão é pimo Não se 5 5 sabe se existe algum pimo de Femat paa 5 M p p, chamado de pimos de Mesee, são obtidos a pati de um úmeo pimo p Nem todos os úmeos M p, com pimo p, são pimos A Figua, p mosta um exemplo pogamado o sotwae WxMáxima, dos pimeios 00 úmeos

16 4 pimos aplicados à ómula M p, esultado em apeas 4 úmeos pimos p Figua: Pimos de Messee Fómulas Fatoiais Seja p pimo Deie-se a ução # p como sedo a ução obtida somete pelo poduto de pimos meoes que ou iguais a p Po exemplo, # 6, se q p são pimos sucessivos etão p # q # p Obseve os úmeos da oma p #, a Tabela p 5 7 # p p # 7 00 Tabela : Aplicação da ómula atoial Mas # , logo ão gea um úmeo pimo

17 5 NÚMEROS PERFEITOS São os úmeos atuais com a seguite popiedade: é igual a soma de seus divisoes pópios Esses úmeos asciaam os gegos, a poto de seem deomiados de úmeos peeitos A ução (), que calcula a soma de todos os divisoes positivos de um úmeo atual, pode se utilizada paa o ecohecimeto dos úmeos peeitos Ao utiliza a ução que subtai de cada úmeo atual a soma de seus divisoes positivos pópios, ou seja, dieetes de 0 e do pópio úmeo Assim, esta ução pode se calculada da seguite maeia: : N * Z, ( ) [ ( ) ] ( ) A ução compaa um úmeo atual com a soma de seus divisoes pópios () [0] (6) 6 [ ] 0 (4) 4 [ ] () [ 7] 70 Os elemetos do cojuto dos zeos da ução, são: (0) { N * ( ) 0} {6, 8, 496,88,5506,} Atualmete os elemetos cohecidos desse cojuto são úmeos paes e estes estão elacioados com os pimos de Mesee, po meio de um teoema devido pate a Euclides e pate a Eule Teoema Um úmeo atual é um úmeo peeito pa se, e somete se, p M p, ode p M é um pimo de Mesee No WxMáxima o comado divsum calcula (), paa * N, coome Figua

18 6 Figua : A ução ( ) ( ) o WxMáxima Tem-se a dispesão dos potos a Figua Figua : Gáico da ução ( ) ( ) A dispesão hoizotal dos potos (, ( )) do gáico da ução ( ) ( ) se apesetam alihados paa os ( ) e ( ) 56, mas isso se deve às seguites poposições Poposição Se 6p com p pimo distito de e, etão ( ) Demostação: Como p é um pimo distito de e, segue que 6 e p ão possuem divisoes comus além do Logo, os divisoes de 6p são:,,,6, p, p, p e 6 p A soma desses divisoes é ( ) p e ( ) ( ) p ( p) Com o auxílio do WxMáxima pode-se lista algus úmeos com alihametos hoizotais: ( ), ( ) { : ( ) } {4,0, 4,54, 66, 78,0,4,8,74,}, coome epesetado a Figua 4

19 7 Figua 4: Valoes paa a ução ( ) Poposição Se 8 p com p pimo distito de e 7, etão ( ) 56 Demostação: Como p é um pimo distito de e 7, segue que 4 e p ão possuem divisoes comus além do Logo, os divisoes de 8 p são:,,4, 7,4,8,p, p,4p,7 p, 4 p e 8 p A soma desses divisoes é ( ) p e ( ) ( ) 56 p (56 56 p) 56 Com o auxílio do WxMáxima pode-se lista algus úmeos com alihametos hoizotais ( ) 56, ( 56) { : ( ) 56} {84,40, 4,08,64, }, coome Figua 5 Figua 5: Valoes paa a ução ( ) 56 A geealização paa os demais úmeos peeitos se ecota a Poposição Poposição Se K é um úmeo peeito e se Kp com p pimo ão diviso de K, etão ( ) K Demostação: Como p é um pimo distito de K, segue que K k k k e p ão possuem divisoes comus além do Logo, os divisoes de Kp são: k k,, k, K, k p, k p,, k p Kp e k p A soma desses divisoes é ( ) K Kp,, e ( ) ( ) Kp (K Kp) K

20 8 A DISTRIBUIÇÃO DOS NÚMEROS PRIMOS É possível estima com boa apoximação, o úmeo de pimos ieioes a N, picipalmete se N é gade, po outo lado a distibuição de úmeos pimos situados em pequeos itevalos tem compotameto aleatóio Paa todo úmeo x 0, desigase po (x) o úmeo de pimos p tais que p x ; (x) é chamada de ução de cotagem dos úmeos pimos Há questões a cosidea, segudo Ribeboim (0): - O cescimeto de (x) : sua odem de gadeza e a compaação de (x) com uções cotíuas - Os esultados sobe o eésimo úmeo pimo, sobe a dieeça ete dois: sua odem de gadeza, sua egulaidade ou sua iegulaidade Isso coclui a questão dos espaçametos ete úmeos pimos cosecutivos e coduz igualmete a um gade úmeo de poblemas em abeto, a sabe: - Os úmeos pimos em pogessão aitmética - A cojectua de GOLDBACH - A distibuição dos úmeos pseudopimos e dos úmeos de Camichael Um úmeo composto ímpa 0 é um úmeo de Camichael se a a(mod ) paa todo a Potato, úmeos de Camichael são pseudopimos de Femat paa todas as bases Em 899, uma caacteização paa os úmeos de Camichael oi dada po KORSELT Teoema Um iteio positivo ímpa é um úmeo de Camichael se, e somete se, cada ato pimo p de satisaz: p ão divide e p divide O úmeo 56 é o meo úmeo de Camichael Tem-se que: 56 7, logo: ão divide 56, e divide e 0 divide e 6 divide 560 ão divide 56 e 7 ão divide 56

21 9 O CRESCIMENTO DE (x) Uma ideia o estudo da ução (x) ou de outas uções ligadas à distibuição dos úmeos pimos é a compaação com uções clássicas que são calculáveis, cujos valoes sejam póximos aos valoes de (x) Cosidee (x) e g (x) uções cotíuas de valoes eais positivos, deiidas paa x x 0 0 ( x) ~ g( x), sigiica que ( x) lim x g( x) e etão (x) e g (x) são assitoticamete iguais, quado x tede paa o iiito Poém isso ão sigiica que a dieeça ete essa uções seja pequea, po exemplo, tede ao iiito x é assitótica a x x, mas a dieeça ete elas cesce à medida que x O Teoema dos Númeos Pimos desceve a distibuição assitótica dos úmeos pimos, ou seja, como os pimos estão distibuídos ete os úmeos iteios e ( x) uma boa apoximação paa (x) uma vez que lim, ou seja, x x l( x) A ução x l( x a) x l( x) x ( x) ~ l( x), paa qualque costate eal a, pode se utilizada paa apoxima (x) No Teoema dos Númeos Pimos o valo de a é igual a zeo, mas segudo algus estudos Ribeboi (0), coclui que a é a melho escolha paa a apoximação Sedo assim, pode-se apoxima (x) utilizado-se a ução x l( x ) é

22 0 CAPÍTULO - TEOREMAS FUNDAMENTAIS O objetivo deste capítulo é mecioa algus teoemas impotates paa o decoe da pesquisa, sedo estes o Teoema Fudametal da Aitmética, Teoema da Fatoação Úica, Teoema de Femat e o Teoema de Wilso TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA Todo úmeo atual maio que ou é pimo ou se esceve de modo úico (a meos da odem dos atoes) como um poduto de úmeos pimos Demostação: Se, o esultado é obviamete veiicado Supoha o esultado válido paa todo úmeo atual meo que, tem-se que pova que vale paa Se o úmeo é pimo, ada a demosta Supoha etão, que seja composto Logo, existem úmeos atuais e tais que, com e Pela hipótese de idução, tem-se que existem úmeos pimos p,, p e s q,,q, tais que p p e q qs Potato, p pq qs Paa pova a uicidade da escita, supoha, agoa, que p q, ode p q s os p i e os q j são úmeos pimos Se p,,, p p são úmeos pimos e, se p p p, etão p pi paa algum i,, Como p q qs, tem-se que p q j paa algum j, que, após o eodeameto de q,,qs, pode-se supo que seja q Potato, p p q qs Como p p, a hipótese de idução acaeta que s e os p i e q j são iguais aos paes EXISTÊNCIA DA FATORAÇÃO Paa estuda a atoação dos úmeos pimos é udametal eucia o Teoema da Fatoação Úica Teoema (Teoema da Fatoação Úica) Dado um iteio positivo, pode-se sempe escevê-lo, de modo úico, a oma: e p p k ek, em que

23 p p p são úmeos pimos e e e k são iteios positivos p k Este teoema ecota-se demostado mediate duas poposições (Pop 0 e ) dadas po Euclides o Livo VII de seus Elemetos TEOREMA DE FERMAT O Pequeo Teoema de Femat aima que se p é um úmeo pimo e a um iteio qualque etão p divide a p a Casos paticulaes desse teoema já eam cohecidos desde a atiguidade Segudo Coutiho (0), os chieses sabiam que se p p é pimo etão p divide, mas oi Femat quem obteve o esultado geal e o itoduziu a Matemática euopéia do século XVII utilizado a liguagem de coguêcias Teoema de Femat I Seja p um úmeo pimo e a um iteio, etão a p a (mod p) Demostação: A pova deste teoema seá eita po idução iita Paa isto pecisa ecota uma poposição p () paa aplica a idução p( ): p (mod p) É evidete que () p p é válido, pois Supoha etão que p (mod p) A passagem de p () paa p ( ) é pelo biômio de Newto Paa essa passagem utilizase o seguite Lema Lema Seja p um úmeo pimo e a e b iteios Etão, p p p ( a b) a b (mod p) Demostação do Lema : Utilizado a expessão usual do biômio de Newto, tem-se: ( a b) p i p p i p i a p i i a p b b p p i p a i pi b i é coguete a zeo módulo Paa obte o lema é suiciete mosta que o temo p Cosidee o úmeo biomial p( p )( p i ) Paa que a ação coespoda a um úmeo iteio é peciso i! que o deomiado seja completamete simpliicado po temos o umeado Supoha que i p, etão o deomiado i! ão tem p como um de seus atoes pimos

24 Assim o ato p que apaece o umeado ão é cacelado po ehum ato do deomiado Potato o úmeo iteio p p p i i cosequetemete a b 0(mod p) i i p i é múltiplo de p quado i p, Voltado à demostação do Teoema de Femat, supodo que p (mod p) e, p deseja-se mosta que ( ) (mod p) Utilizado o Lema, tem-se que: p p p p ( ) (mod p) Como a hipótese de idução é p (mod p), p p etão, ( ) (mod p) Com isso, pova-se o euciado do teoema paa os úmeos atuais, mas este oi euciado paa qualque iteio Etão, chamado de a um iteio egativo, a é positivo, logo aplicado o teoema já povado, paa a Temse: ( a) p a (mod p) () Supodo que p é ímpa, p p ( a) a Substituido em (), a p a (mod p), e multiplicado po -, cocluí-se que a p a (mod p), estado apeas o caso em que p Se p etão p p ( a) a O que ecoe o teoema a p a (mod p) Seá utilizado a ideia do Pequeo Teoema de Femat, o método RSA paa justiica uma passagem Matemática a ómula, mas sedo este o euciado a segui Teoema de Femat II Seja p um úmeo pimo e a um iteio que ão é divisível a p po p Etão (mod p) Demostação: Segudo o Teoema de Femat I, se p é pimo e a é um úmeo iteio qualque, etão a p a (mod p) Supoha que p ão divide a Neste caso a é ivetível módulo p, de acodo com o teoema de ivesão Seja a ' um iteio positivo tal que aa' (mod p) Multiplicado ambos os membos de a p a (mod p) po a ', obtém-se: a' a a p a' a (mod p) Com a substituição de aa' (mod p) esta equação, tem-se a p (mod p), o que coclui a demostação Um exemplo da aplicação dieta do Teoema de Femat é dado a segui

25 Sejam a, k e p tês iteios positivos, dos quais sabe-se que p é pimo e ão divide a Seja k um úmeo muito gade; deseja-se ecota a oma eduzida de módulo p Basta apeas que o valo de k p, pois dividido k po p, obtém-se k ( p ) q, em que o esto satisaz 0 p Tem-se etão que: k a a k a ( p) q ( a ) p q a (mod p), mas pelo Teoema de Femat II, tem-se que a p k q (mod p) Etão a a a (mod p) Se deseja calcula módulo Utiliza-se desta oma, o Teoema de Femat paa calcula o esto da divisão de po, esultado em Assim: (mod) Logo 7 é o meo esíduo positivo 4 TEOREMA DE WILSON (TW) Teoema 4 p é um úmeo pimo se, e somete se, ( p )! (mod p) Demostação: () Se p é pimo, etão todo elemeto de p, exceto [-] e [], possui um úico iveso distito de si Logo: ( p ) ( p ) (mod p), mas ( p )! ( p ) ( p ) p (mod p) () Supoha po absudo que m seja composto Etão existe um iteio d, com d m, que divide m Potato, ( m )! (mod d) Po outo lado, como d m, d é um diviso de ( m )! e ( m )! 0(mod d), o que é uma cotadição Potato, m é pimo, o que coclui a demostação do teoema Um exemplo da aplicação do Teoema de Wilso Ecota o meo esíduo positivo de ( 8 90 ) mod 7 É ácil obseva que: 8 (mod 7) 9 (mod 7) 0 (mod 7) 4(mod 7) 5(mod 7) 6(mod 7) Logo: ( 8 90) 45 6(mod 7) Pelo TW, tem-se que ( p )! (mod p), ou seja, 6! (mod 7)

26 4 Mas 6! 654, logo: Se ( 8 90) 6!(mod7 ) e 6! (mod 7), etão ( 8 90) (mod 7) Poém 6 (mod 7), logo ( 8 90) 6(mod 7) Potato, o meo esíduo positivo é igual a 6

27 5 CAPÍTULO - ALGORITMOS DE FATORAÇÃO O objetivo deste capítulo é mecioa sobe algus algoitmos de atoação, a ieiciêcia dos algoitmos, a atoação po Femat e o algoitmo Euclidiao O pocesso de ecota os atoes pimos de um úmeo composto deomia-se atoação Existem divesos algoitmos de atoação, mas ão existe um algoitmo que ucioe peeitamete, em que o computado possa executa em tempo poliomial paa todos os úmeos iteios Nesta pesquisa oam abodados algus algoitmos de atoação Cosidee o seguite Poblema: tedo po etada o valo atoes pimos e espectivos expoetes, detemie seus Com oco apeas o pimeio ato de um iteio dado Tedo como etada, tete dividi po cada um dos iteios de a, caso algum desses iteios dividi, etão ecota-se um ato de, ode é o meo ato e este ato é um úmeo pimo Sabe-se que um úmeo iteio ão pode te um ato maio que ele pópio e também pode-se estigi a busca em um itevalo meo que a, sedo este itevalo de a Poém se é pimo o úico ato seá o pópio É ecessáio veiica, etetato, que se é composto, seu meo ato é o máximo Assim, se é um úmeo composto e se é seu meo ato, existe um iteio positivo a tal que = a Como é o meo ato, cetamete a Mas a, logo Disso decoe que, que é equivalete a O pocedimeto descito é epesetado pelo Algoitmo ALGORITMO DA FATORAÇÃO (MENOR FATOR) Etada: Digite um iteio positivo Saída : Iteio positivo que é o meo ato pimo de ou a idicação que é pimo Etapa: Comece azedo Etapa : Se é iteio esceva ' é ato de ' e pae; seão vá paa a Etapa

28 6 Etapa : icemete a uma uidade e vá paa a Etapa 4 Etapa 4: Se, esceva é pimo e pae Caso cotáio, etoe à Etapa Logo, dado um iteio 0, pode-se detemia se é pimo ou composto Se é pimo ecota-se a sua atoação, mas se o composto, pode-se ecota todos os seus atoes pimos e suas espectivas multiplicidades aplicado o algoitmo da atoação váias vezes, ou seja, aplicado o algoitmo a ecota-se o ato q Etão q é o meo ato pimo de Aplicado o algoitmo da atoação ao co-ato q, detemia-se um segudo ato q Pode-se epeti esse pocedimeto aplicado ao co-ato q q, e assim po diate Dessa oma, detemia-se uma sequêcia cescete de úmeos pimos q q, em que cada um é um ato de q s O pocedimeto descito é epesetado pelo Algoitmo ALGORITMO DOS FATORES (TODOS OS FATORES) Etada: Digite um iteio positivo Saída: q q,, q, são os atoes pimos de, ou idicativo de que é pimo, s Etapa: Comece azedo Etapa : Se é iteio amazea qi e Vá paa a Etapa q i Etapa : Se o vedade a etapa, etão eetua o cálculo paa o ovo valo em e paa o mesmo q i paa i,,, k Equato houve o mesmo ato epeti a Etapa Seão vá paa a Etapa 4 Etapa 4: icemete a uma uidade e vá paa a Etapa 5 Etapa 5: Se, etão esceva os atoes q,,qs ou é pimo e pae Seão volte a Etapa

29 7 INEFICIÊNCIA DOS ALGORITMOS Apesa da acilidade em etede e pogama os algoitmos da atoação e dos atoes, estes algoitmos são muitos ieicietes, mesmo com a tecologia atual O pio caso paa executa o algoitmo é aquele em que o algoitmo executa o maio úmeo de laços, ou seja, laços Paa uma estimativa do tempo de execução, cosidee um úmeo pimo, de 00 ou mais algaismos, ou seja, 00 0 e potato o úmeo de laços seá igual a 50 0 Assim, são ecessáias pelo meos 50 0 divisões paa gaati que é pimo Segudo Coutiho (0), Digamos que osso computado executa 0 0 divisões po segudo Este é um úmeo muito alto, que ão é atigido o estado atual da tecologia Paa estima o tempo basta calcula paa detemia que é pimo segudos 0 Um ao tem 60 (segudos) 60(miutos) 4 (hoas) 65 (dias) segudos, esulta em aos, Potato, pecebe-se que é iviável coima que um úmeo de 00 ou mais algaismos é pimo usado esse algoitmo Poém, isso também ão sigiica que o algoitmo é iútil, segudo Coutiho (0), Se vamos atoa um iteio sobe o qual ada sabemos, há sempe a possibilidade que teha um ato pimo pequeo, digamos meo que 6 0, este caso o algoitmo da atoação pode se utilizado Segudo Coutiho (0), É muito impotate etede que ão existe um algoitmo de atoação que ucioe bem paa todos os iteios: disso depede a seguaça do método RSA Niguém sabe se a iexistêcia deste algoitmo geal é um poblema itíseco ou tecológico, ou seja, se um tal algoitmo pode existi ou se aida iguém oi espeto o suiciete paa ivetá-lo 4 FATORAÇÃO POR FERMAT A atoação po Femat é muito eiciete quado tem um ato pimo póximo de Supõe-se ímpa, pois se o pa etão é um de seus atoes Femat teve a bilhate ideia de teta ecota iteios positivos x e y tais que x y Se

30 8 ecotados esses úmeos x y ( x y)( x y) e po cosequêcia, x y e x y são atoes de Paa implemeta o algoitmo de Femat pimeio é peciso detemia a pate iteia de Se é um quadado peeito etão Pela otação acima tem-se:, seá o pópio ato x e y 0 Paa y 0, etão x y Logo pode-se elaboa o seguite algoitmo Algoitmo de Femat Etada: Iteio positivo ímpa Saída: Um ato de ou uma mesagem que é pimo Etapa : Iicie x [ ] ; Se Etapa x, etão x é ato de e pode paa Seão vá paa a Etapa : Icemete x de uma uidade e calcule y x Etapa : Repita a Etapa até ecota um valo iteio paa y ( caso), ou até que x seja igual a pimo ( caso): No caso tem atoes x y e x y, o caso é Demostação do Algoitmo de Femat É ecessáio cosidea sepaadamete o que ocoe quado é composto e quado é pimo No caso de se composto, é ecessáio mosta que existe um iteio x [ ], em que os colchetes epeseta a pate iteia da aiz quadada, tal que iteio meo que ates de chega em possível paa x é x é um Isto sigiica que se é composto etão o algoitmo iá paa Se é pimo, etão é ecessáio mosta que o úico valo Supoha que pode se atoado a oma iteios positivos x e y tais que Como x y, ou seja, pq, em que p q Deseja-se obte pq ( x y)( x y) x y x y x y, isto sugee que p x y e q x y Desse sistema, obtém-

31 9 se: p q x e q p y, e potato p q p q x e isso, q p p pq q q 4 pq p pq () Etetato, x e y devem se úmeos iteios e po hipótese é ímpa etão q p y, logo p e q, que são atoes de, têm que se ímpaes Com p q e q p são paes e cosequetemete, se é pimo etão p e q E, p q pimo Resta agoa cosidea o caso em que é composto Se e q p são iteios Agoa x é o úico valo possível paa x se é p q, o algoitmo obtém a esposta a Etapa Supodo que é composto e ão é um quadado peeito, isto é, p q Neste caso, o algoitmo vai paa se oem satiseitas as desigualdades: [ p q ] A desigualdade da dieita os diz que p q Paa pq, esta última desigualdade, e subtaido q de ambos os membos, obtém-se p q( p ) Como p, etão p q Logo p q Paa a desigualdade da esqueda, sabe-se que [ ], e basta veiica que p q Logo esta desigualdade é válida se, e somete se, ( p q) 4 p q q p Pela Equação (), tem-se: Etão ( p q) 4 ( q p) 4 ( q p) Como 0, logo ( p q) Este algoitmo de Femat tem uma elação muito impotate com a ciptogaia RSA, lembado que a seguaça do método RSA está a diiculdade em se atoa a chave pública, que é o poduto de dois úmeos pimos Pesa que escolhe dois pimos gades basta paa a seguaça do método RSA é eôeo, pois se estes dois pimos oem muito póximos, o seu poduto iá gea um úmeo, ode a sua aiz quadada seá póxima dos dois atoes pimos, logo é acilmete atoável pelo algoitmo de Femat

32 0 5 ALGORITMO EUCLIDIANO De acodo com Coutiho (0), Poposições e do Livo 7 dos Elemetos de Euclides este algoitmo é descito po Euclides as O objetivo do algoitmo Euclidiao é calcula o máximo diviso comum (MDC) ete dois úmeos iteios Um iteio b divide outo iteio a, se existe um outo úmeo iteio c, tal que a bc Também diz que b é um diviso ou ato de a, ou aida que a é múltiplo de b O úmeo c, deiido acima, é deomiado de co-ato de b em a O MDC ete a e b é o maio iteio positivo d que é diviso de a e também é diviso de b Se d é o MDC ete a e b,esceve-se d MDC( a, b) Caso MDC ( a, b), etão os úmeos são pimos ete si ou co-pimos Com a e b iteios positivos e tais que a b, o algoitmo Euclidiao cosistem em dividi a po b, ecotado o esto Se 0, dividido b po, obtém-se Se 0, dividido po, obtém-se o esto O último esto dieete de zeo, desta sequêcia de divisões é o máximo diviso comum (MDC) comum ete a e b Paa demosta o algoitmo Euclidiao, pecisa-se do seguite Lema Lema Sejam a e b úmeos iteios positivos Supoha que existam iteio g e s tais que a bg s Etão MDC( a, b) MDC( b, s) Demostação: O lema diz que assumido que a, b, g e s estão elacioados po a bg s coclui-se que MDC( a, b) MDC( b, s) Paa d MDC( a, ) e b d MDC( b, ), tem-se que mosta que d d Etão, basta mosta que d d e em s seguida d d Povado que d d Se d MDC( a, b), etão d divide a e d divide b De acodo com a deiição, isto sigiica que existem iteios u e v tais que: a b d u e d v Substituido a expessão a bg s, obtém-se: d u d vg s, ou seja, s du dvg d( u vg), logo d divide s Como o d MDC( a, b), tem-se que d divide b Potato d é um diviso comum ete b e s, mas d é o maio diviso comum ete b e s, logo d d De modo aálogo pode se mostado que d d e cosequetemete, d d Seá utilizado o Lema, paa pova que o último esto ão ulo da sequêcia de

33 divisões é o MDC Logo aplicado o algoitmo Euclidiao a a e b e supodo que o esto ulo ocoe após divisões, tem-se: e q e q e q e q e q e q b b e bq a Da última divisão tem-se que divide Logo, o maio diviso comum ete os dois é o pópio Potato ), ( MDC Com a aplicação do Lema à peúltima divisão, coclui-se que ), ( ), ( MDC MDC E, com o Lema sob a ate peúltima divisão, tem-se que 4 ), ( ), ( ), ( MDC MDC MDC De modo aálogo, coclui-se que o MDC(a,b) = -

34 CAPÍTULO 4 - CRIPTOGRAFIA RSA O objetivo deste capítulo tata-se da oigem do Método RSA, descição Matemática do método, pé-codiicação, como codiica e decodiica os blocos, caso paticula, o poquê do método RSA se seguo, elacioa a ução de Eule o método RSA, apota as possibilidades de queba o método RSA e a escolha dos úmeos pimos Em 976 Whitield Diie e Mati Hellma publicaam um documeto deomiado As ovas dieções da ciptogaia, que sugeia o desevolvimeto de algum método paa ciptogaa as iomações ates de seem eviadas Os dois cietistas popuseam um ovo método paa que a chave osse eviada de oma segua, em que todas as iomações ecessáias eam dispoibilizadas publicamete A ideia cosiste em usa uma ução que seja ácil de calcula mas diícil de ivete computacioalmete, caso a pessoa ão possua a chave do segedo Essa ução é chamada de ução aapuca (tap-doo oe-way uctio) Um código ciptogaado de chave pública deve cote um esquema público de codiicação E e um esquema pivado de decodiicação D, em que E e D são áceis de calcula e paa uma mesagem M, D( E( M )) E( D( M )) M, ou seja, o pocedimeto de codiicação E gea a mesagem codiicado, em que o ecepto de posse da chave de decodiicação D, utilizado ela decodiique, esultado a mesagem oigial 4 A ORIGEM DO MÉTODO RSA Após a publicação do documeto de Diie e Hellma, tês estudates do Massachusetts Istitute o Techology (MIT), começaam a pesquisa e desevolve um ovo tipo de ciptogaia, satisazedo às codições estabelecidas o atigo Paa isso, eles estabeleceam um jogo de adivihações, em que Rivest e Shami cometavam algumas ideias de como ciptogaavam a mesagem e Adlema tetava adiviha a técica utilizada, mas ceto dia Rivest touxe um método que Adlema ão coseguiu queba Esse método etão icou cohecido po RSA em homeagem aos seus ciadoes (Roald Rivest, Adi Shami e Leoad Adlema), pemaecedo iviolado até o pesete mometo É clao que duate esses aos, algus pesquisadoes ecotaam aquezas a implemetação do método RSA, mas que oam coigidas Foam testadas váias chaves

35 RSA, popostas como desaio paa aalisa a escolha dos úmeos pimos e os métodos utilizados paa ecotá-los O RSA toou-se a melho maeia de ciptogaa as iomações, como po exemplo, tasações com catão de cédito via iteet O RSA é o esultado de dois cálculos matemáticos, um paa codiica e outo paa decodiica, em que se utilizam duas chaves ciptogáicas, uma chave pública e uma pivada 4 DESCRIÇÃO MATEMÁTICA DO MÉTODO Paa codiica uma mesagem, pecisa-se de, que é o poduto de dois úmeos pimos p e q, logo pq e de um iteio positivo, que seja ivetível módulo (), ou seja, o MDC(, ( )), em que ( ) ( p )( q ) Deomia-se o pa (, ) chave de codiicação e o pa (, d) chave de decodiicação do método RSA - Repesete a mesagem com úmeos iteios, quebado em bloco de maeia que esses blocos ão ultapassem o valo de e ão iiciem em zeo - Paa codiica a mesagem B, eleva-se cada bloco B i à " ésima" potêcia i módulo, ou seja, B A (mod) i Etão cada esultado ciptogaado é o valo em A i - Paa decodiica a mesagem A ciptogaada, eleve-a a uma outa potêcia d e calcule o esto da divisão po, ou seja, Ai B (mod) Etão o esultado desciptogaado é o valo em B O valo do d é o iveso de [mod ( p )( q )] [mod ( )], ou seja, d (mod ( )) d i 4 PRÉ-CODIFICAÇÃO A pimeia coisa a aze paa utiliza o método RSA é covete a mesagem em uma sequêcia de úmeos elacioados em uma tabela de letas com seus espectivos úmeos Um cuidado a hoa de elacioa as letas com os úmeos é impotate: po exemplo, se escolhe a leta A =, B = e assim po diate, quado esceve o úmeo, qual seá a itepetação? Nesse sistema de covesão há uma ambiguidade, se = AB ou se = L Como alteativa, seá utilizada a seguite tabela de covesão de letas paa

36 4 úmeos (Tabela ) A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Tabela : Tabela de covesão Paa aplica o método RSA, seá pé-codiicado a palava RSA pela Tabela Com a covesão da mesagem leta a leta, obtém-se: R 7, S 8, A 0, assim a mesagem codiica é dada pelo úmeo: CODIFICANDO E DECODIFICANDO Seão utilizados úmeos pimos pequeos paa is pedagógicos, aim de que os cálculos possam se veiicados acilmete Poém paa uma maio seguaça ecomedase atoes gades diate da diiculdade da atoação Cosidee p 5 e q 7, tem-se que pq 57 5 e ( ) ( p )( q ), logo ( ) 4 Paa iicia o pocesso deve-se queba o código 780 em blocos meoes que 5 B B B Tabela : Código em blocos Cada um dos blocos seá codiicado po B A (mod) i i, em que o MDC(, ( )), etão MDC (,4), escolhedo assim 7 Logo, codiica-se da seguite maeia: B i A (mod) i 7 7 A (mod 5) 7 7 ( 8) 7 [( 8) ] ( 8) 64 ( 8) ( 6) ( 8) 48 (mod 5) 7 8 A (mod 5)

37 5 8 7 ( 7) 7 [( 7) ] ( 7) 49 ( 7) 4 ( 7) ( ) 7(mod5) 7 0 A (mod 5) 0 7 (0 ) 0 ( 5) 0 ( 5) (mod5) Os valoes são: A, A 7 e A 0, logo a mesagem codiicada é: 70 Mesagem Oigial 780 Mesagem Codiicada 70 Tabela 4: Código de covesão A iomação ecessáia paa a decodiicação cosiste o pa (, d), lembado que ( ) ( p )( q ) e o valo d é o iveso de em (), ou seja, d (mod ( )) Neste caso, 7, ( ) 4, dode 7 d (mod 4), logo d 7 Assim, decodiica-se 70, da seguite maeia: A d i B (mod ) i 7 B (mod 5) 7 ( ) () ( 6) ( 6) ( 6) 78 7 (mod5) 7 7 B (mod 5) 7 7 (7 ) (mod5) 7 0 B(mod5) 0 7 (0 ) 0 ( 5) 0 ( 5) (mod5) Os valoes são: B 7, B 8 e B 0, logo a mesagem oigial é: 780, que coespode às letas RSA 45 UM CASO PARTICULAR DO RSA Escolhedo úmeos pimos p e q da seguite maeia: p 5 (mod 6) e q 5 (mod 6), logo tem-se que p 4( mod 6) e q 4(mod6), etão ( p )( q ) 6 4(mod6), pode-se esceve ( p )( q ) 6k 4 6k, ou seja, ( p )( q ) (k ), logo: (k ) (mod6k 4), multiplicado po, paa que o esto seja

38 6 ( k ) (mod6k 4), somado 6k 4, obtém-se: (4k ) (mod6k 4) Po exemplo, cosidee p 5 e q, logo 5 55 e ( ) ( p )( q ) (5 )() 40, lembado que, paa codiica, utiliza-se o pa (, ), em que MDC(, ( )) Neste caso, como p e q estão o caso paticula, pois ambos deixam esto 5 a divisão po 6, etão pode se utilizado, mas po que esse valo paa? Na sequêcia seá espodida essa peguta, mas ates, paa decodiica, pecisa-se cohece o pa (, d) O valo de d é calculado po d (mod ( )) Como, azedo uma elação com o caso paticula desevolvido, em que (4k ) (mod6k 4), tem-se que d 4k e ( ) 6k 4 Esta elação justiica o poquê de Nesse exemplo, pode se calculado o valo de k em ( ) 6k 4, pois sabe-se o valo de ( ) 40, assim 40 6k 4 k 6 De posse do valo de k 6, calcula-se o valo d 4k, etão d 46 7 Potato é ácil calcula o valo de d, cohecedo-se o (), sem pecisa aplica o algoitmo de Euclides 46 POR QUE O CASO PARTICULAR FUNCIONA? O método RSA só seá útil se, decodiicado os blocos codiicados, obtém-se ovamete o bloco coespodete da mesagem oigial Cosidee que os blocos estejam o itevalo de B e B A(mod ) paa codiica, em que 0 A, logo A é a codiicação do bloco B Em seguida, paa decodiica utiliza-se A d B (mod ) Supodo que paa decodiica A d e(mod ), em que 0 e, assim e é a decodiicação do bloco A Etão, e A d d d ( B ) (mod ), ou seja, e B (mod ), mas d (mod( p )( q )), ou seja, d k( p )( q ), e tem-se: d k ( p)( q) k ( p)( q) B B B B Basta pova que ) Tem-se dois casos a cosidea ( MDC ( p, B) e MDC ( p, B) ) B d B (mod p e B d B (mod q) Se MDC ( p, B), como p é um úmeo pimo, logo B seá múltiplo de p, etão B p, ou seja, B 0(mod p), logo B d B (mod p) Se MDC ( p, B), B d B B k ( p)( q) B( B ) p k ( q), pelo Teoema de Femat

39 7 tem-se que B p (mod p) p k ( q) k ( q) e B ( B ) B B (mod p) De modo aálogo demosta-se que B B (mod q) Cosidee o seguite sistema de coguêcias: x B (mod p) x B (mod q) x B t p x B t q x B t p, etão: x B t q x B t pq x B(mod pq) x B(mod ) e B d B (mod p), como 0 e e B, etão ecessaiamete a coguêcia implica a igualdade, potato cocluí-se que e b 47 POR QUE O RSA É SEGURO? Cabe essalta que o RSA é um método de chave pública, etão sejam p e q os dois úmeos pimos do método, e pq A chave de codiicação coespode à chave pública Potato o pa (, ) é acessível paa qualque usuáio O método RSA só seá seguo se o diícil calcula d, quado apeas se cohece os valoes de (, ) Paa calcula o valo de d, aplica-se o algoitmo Euclidiao estedido a () e, pois d (mod ( )) Mas paa se calcula (), é ecessáio sabe quais são os pimos p e q, pois ( ) ( p ) ( q ) Potato paa decia o código pecisa-se atoa Poém se é um úmeo muito gade, sabe-se que atoa é um poblema extemamete diícil, pois ão se cohece um algoitmo ápido de atoação 48 ANÁLISE DA FUNÇÃO DE EULER NO MÉTODO RSA Supoha que pq e ( ) ( p ) ( q ) sejam ambos cohecidos Pode-se detemia p e q a pati deles Paa ( ) ( p ) ( q ), tem-se que ( ) pq( p q) ( p q), logo p q ( ), potato tem-se a soma dos dois úmeos pimos Sabe-se que ( p q) 4 ( p pq q ) 4 ( p pq q ) 4 pq( p q ), logo: p q ( p q) 4 ou p q ( ( ) ) 4, potato tem-se a dieeça dos dois úmeos pimos

40 8 Sedo cohecidos p q e p q, calcula-se acilmete o valo de p e q po meio da esolução de um sistema liea, ou seja, o pocedimeto atoa o valo em 49 A FUNÇÃO ( m) ( m ) 4 Seja a ução : R R, tal que ( m) ( m ) 4 Assim, tem-se aida que ( m) m m m, cujas aízes são: m e m A aiz m é positiva, basta aalisa m Logo, m 0, tem-se Elevado ao quadado ambos os membos obtém-se ( ) ( ) Logo 4 ( ) que é equivalete a 0 e 0 ; potato ambas as aízes são positivas Escolhe dois úmeos pimos quaisque p q, eetua o poduto deles paa gea o valo de e eetua a subtação de q po p paa gea o valo de g, logo pq e g q p Cosidee a ução : R R, tal que ( m) ( m ) 4 Substitui o esultado de g o luga de ) (m e esolve a equação em ução de m Sedo assim, g ( m ) 4 ou m mpq m p q q p 0 As aízes dessa equação são m ( p q) pq e m p q pq O impotate paa o método RSA é apeas a meo aiz, sedo esta o m ( p q) pq ( p ) ( q ) g O que é otável, caso alguém ivete um método ápido que ecote o valo de ( q p), ica ácil de ecota os atoes pimos p e q O coceito do vétice da paábola po meio das aízes é a média aitmética das aízes que esulta o x v da ução, ou seja, ( p q) pq p q pq pq x v pq e também o coceito do y v, calculado po meio de x ), ou seja, ( xv ) ( pq pq) 4pq 4 pq ( v Na igua 6, tem um esboço do gáico da ução ( m) ( m ) 4, que elacioa o vétice da paábola com o valo pocuado de dos úmeos pimos p e q m que é a soma

41 9 Figua 6: A ução ( m) ( m ) 4 40 A ESCOLHA DOS NÚMEROS PRIMOS Um poto muito impotate o método RSA é a escolha dos dois úmeos pimos p e q que seão utilizados, pois se ambos oem muito pequeos é ácil de ecotálosetetato ão basta que ambos sejam muito gades paa gaati a seguaça do método, pois se p q é pequeo, é ácil atoa pq, utilizado o algoitmo de Femat Segudo Coutiho (0), em 995 dois estudates de uma uivesidade ameicaa, quebaam a vesão do RSA em uso público, pelo ato da escolha dos úmeos pimos se totalmete iadequada Paa implemeta o RSA com chave pública (, ), de modo que teha 4 algaismos sugee-se que o pimo p esteja o itevalo de 0 45 e 00 algaismos e em seguida, supo que o pimo q seja póximo de 0, (COUTINHO, 0) p 4 UMA ANÁLISE PARA QUEBRAR O RSA Na áea de estudos em algoitmos de atoação ão é cohecido um algoitmo detemiístico, em tempo poliomial, que ecote um ato de um iteio composto com muitos algaismos Este ato está dietamete elacioado ao método RSA, pois caso este algoitmo existisse, seia possível ecota acilmete os atoes pimos de, e

42 40 cosequetemete sabe o valo de () e também ecota o expoete d, que é a chave de decodiicação do pa (, d) Nota-se algumas possibilidades de decia o método RSA, sedo apeas cohecido o valo de : atoa, ecota () ou ecota d sem atoa ou ecota () Paa o caso de ecota (), cohecedo apeas, utilizado a ução ( m) ( m ) 4, o apêdice ecota-se o algoitmo implemetado o Maple que calcula o () Obseva-se que a busca pelo valo de (), pode se eita po meio da meo aiz a ução, sedo veiicado se a pate iteia da aiz é múltiplo de quato; caso egativo, deve-se subtai um até ecota o pimeio valo múltiplo de quato Substitui-se esse valo póximo da aiz, se o esultado o um quadado peeito, etão o valo é o () quadado peeito ; seão subtai-se quato e substitui ovamete a ução até gea um O ato de veiica se o úmeo é um múltiplo de quato, e também de subtai quato até ecota um quadado peeito, deve-se a caacteística da ução ( ) ( p ) ( q ), pois p e q são pimos, logo () seá o poduto de dois úmeos paes, esultado um múltiplo de quato Potato, se existisse um método aplicado a ução ( m) ( m ) 4, que ecotasse apidamete um quadado peeito o itevalo de 0 a, etão o valo aplicado a ução seia o valo de ()

43 4 CAPÍTULO 5 - APLICAÇÕES EM SALA DE AULA O objetivo deste capítulo é popo atividades motivadoas que possam auxilia os poessoes o mometo de esia detemiados coteúdos 5 CRIPTOGRAFIA RSA REDUZIDA Tema: Ciptogaia RSA Reduzida Objetivo: Essa atividade popõe o estudo do método RSA apeas utilizado-se de um úmeo pimo paa o valo em p e a ução ( ) p Coteúdos Relacioados: Númeos Pimos, Poteciação, Coguêcias, Divisão de Númeos Natuais Séie de Aplicação: 9º ao Duação: 6 aulas Recusos Pedagógicos: Lousa e giz, cadeo, lápis e calculadoa Metodologia: Os aluos deveão seta em duplas e um deles iá ciptogaa uma mesagem e o outo iá teta decodiicá-la Seá utilizado a chave p com ( p pimo), p 5 (mod 6) e a ução ( ) p e Como exemplo seá apesetado aos aluos a palava MESTRE, utilizado como chave de codiicação o pa 7 e O pimeio passo é elacioa a mesagem com os úmeos, como a Tabela : Tabela de covesão, que costa a seção 4 Sedo assim, a mesagem a se ciptogaada é 48974, logo quebado a mesagem em blocos meoes que 7, tem-se: B B B B4 B5 B6 B7 B8 B9 B0 Tabela 5: Código em blocos

44 4 Cada um desses blocos seá ciptogaado po B A (mod) Duate a codiicação seá explicado a elação do esto das divisões e a impotâcia da coguêcia, utilizado a calculadoa, lousa e giz i Calculado B A (mod), tem-se: 8(mod7) 8(mod7) 4 7(mod7) 8(mod7) 8 (mod7) 8(mod7) 9 5(mod7) 8(mod7) 7 (mod7) 4 7(mod7) i Sedo assim, a mesagem codiicada é A iomação ecessáia paa pode decodiica cosiste o pa (, d) Em que ( ) p, e o valo do d é o iveso de em (), ou seja, d (mod ( )), i i logo d (mod6), potato d = Pelo Capítulo 45, se p 5 (mod 6) e q 5 (mod6) etão d 4k e ( ) 6k 4 Nesse caso, tem-se que p 5(mod 6), pois p 7 Como ( ) 6k 4 e 6 6k 4, etão k Assim d 4k d 4 Logo paa a decodiicação seá explicado que ( ) 6k 4 e d 4k, icado a cago do aluo que iá decodiica, eetua os cálculos e ecota o valo de d Paa decodiica utiliza-se Ai B (mod), logo: 8 (mod7) 8 (mod7) 7 4 (mod7) 8 (mod7) 8(mod7) d i, e

45 4 8 (mod7) 5 9(mod7) 8 (mod7) 7(mod7) 7 4 (mod7) Sedo assim a mesagem decodiicada é Como 7, basta ui os blocos com dois algaismos cada, e etoado os úmeos: e a mesagem é decodiicada Após todos codiicaem e decodiicaem as mesages, seá poposta uma mesagem pelo poesso, paa aveigua se todos coseguiam alcaça o objetivo da atividade Avaliação: A avaliação seá da seguite maeia: o aluo que codiicou coetamete a mesagem teá potuação máxima O aluo que decodiicou coetamete teá potuação máxima; o aluo que decodiicou a mesagem do poesso coetamete teá a potuação máxima a atividade e caso o aluo que codiicou ee o mometo da codiicação esse seá auxiliado pelo poesso paa que possa alcaça o objetivo; assim, como o aluo que eou o mometo de decodiica, ou o mometo de calcula o valo de d 5 CRIPTOGRAFIA RSA E A FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU Tema: Ciptogaia RSA e a Fução do Segudo Gau Objetivo: Essa atividade popõe o estudo da Fução do Segudo Gau,utilizadose do método RSA, paa motiva o apedizado, especiicamete o cálculo das aízes Coteúdos Relacioados: Fução do Segudo Gau, Cálculo do Discimiate, Cálculo das Raízes e Númeos Pimos Séie de Aplicação: º ao do Esio Médio

46 44 Duação: 6 aulas Recusos Pedagógicos: Lousa e giz, cadeo, lápis e calculadoa Metodologia: Seá abodado o estudo da Fução do Segudo Gau po meio da ciptogaia RSA Os aluos deveão escolhe dois úmeos pimos quaisque p q, eetua o poduto deles paa gea o valo de e eetua a subtação de q po p paa gea o valo de g, logo pq e g q p Cosidee a ução : R R, tal que ( m) ( m ) 4 Os aluos seão oietados a substitui o esultado de g o luga de (m) e esolve a equação em ução de m Sedo assim, g ( m ) 4 ou m mpq m p q q p 0 As aízes dessa equação são m ( p q) pq e m p q pq O impotate paa o método RSA é apeas a meo aiz, sedo ela o m e m ( p q) pq ( p ) ( q ) Os valoes ecotados as aízes da equação do segudo gau seão discutidos com os aluos, ivestigado po pate deles uma elação da meo aiz com o valo de e seá mostado a impotâcia dessa meo aiz o método RSA Após os aluos teem o domíio do cálculo das aízes de uma Equação do Segudo Gau e pecebeem a elação da meo aiz, seá exploado os coceitos do vétice da paábola po meio das aízes, ou seja, a média aitmética das aízes esulta o x v da ução, ou seja, ( p q) pq p q pq pq x v pq e também o coceito do y v, calculado po meio de x ), ou seja, ( xv ) ( pq pq) 4pq 4 pq ( v Potato, essa ução especíica seá estudado o cálculo das aízes, aalisado o padão que acotece o cálculo do vétice da paábola Avaliação: A avaliação seá da seguite maeia: O aluo que ecotou as aízes coetamete e aalisou a elação da meo aiz com o valo de teá a potuação máxima O aluo que esolve coetamete todos os execícios popostos teá a potuação máxima Os aluos que ão coseguiam esolve ou esolveam pacialmete os execícios, seão auxiliados paa que possam compeede todo o coteúdo miistado

47 45 5 CRIPTOGRAFIA COM MATRIZES Tema: Ciptogaia com Matizes Objetivo: Essa atividade popõe o estudo da multiplicação e o cálculo da matiz ivesa, utilizado-se da ciptogaia pelas Cias de Hill Coteúdos Relacioados: Poduto de Matizes e Cálculo da Matiz Ivesa Séie de Aplicação: º ao do Esio Médio Duação: 8 aulas Recusos Pedagógicos: Lousa e giz, cadeo e lápis Metodologia: Paa codiica uma mesagem, utiliza-se uma tabela de úmeos eeete ao alabeto, esceve uma mesagem com esses úmeos da tabela 6 em oma de uma matiz e multiplica pela esqueda po uma outa matiz, desde que seja possível essa multiplicação, tasomado a mesagem oigial em um código coome abaixo: Código B: paa covesão Tabela 7: Código Dada a seguite tabela: A B C 4 D 5 E 6 F 7 G 8 H 9 I 0 J K L M 4 N 5 O 6 P 7 Q 8 R 9 S 0 T U V W 4 Y 5 X 6 Z 7 - vazio Tabela 8: Alabeto de covesão Decodiique o Código da Tabela 6, sabedo que a chave que os codiicou é a matiz A Cosideado a mesagem M, aplicado a matiz chave A pela esqueda,

48 46 obtém-se a mesagem codiicada B, ou seja, aplica-se a matiz ivesa A em ambos os membos, AM B, paa decodiica a mesagem B, A AM A B, logo M A B Potato paa decodiica a mesagem basta calcula a matiz ivesa de A e multiplica pela esqueda o código ecebido Neste caso A, multiplicado po A a mesagem B : , obtém-se: que coespode a mesagem: G A E N O A M L E I T T R I I C A A Após todos coseguiem decodiica a mesagem poposta, os aluos deveão etega alguma mesagem codiicado e decodiicado Avaliação: A avaliação seá da seguite maeia: O aluo que calculou coetamete a matiz ivesa e decodiicou coetamete a mesagem teá potuação máxima O aluo que ão coseguiu calcula a matiz ivesa ou que multiplicou a matiz ivesa icoetamete o mometo de decodiicação, seá auxiliado po meio de explicação o quado e poposto um ovo execício de decodiicação 54 CRIPTOGRAFIA COM FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU Tema: Ciptogaia com Fução do Pimeio Gau ivesa Objetivo: Essa atividade popõe o estudo da ução do pimeio gau e da ução Coteúdos Relacioados: Fução do Pimeio Gau e Fução Ivesa Séie de Aplicação: º ao do Esio Médio Duação: 4 aulas