Dois resultados em combinatória contemporânea. Guilherme Oliveira Mota

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1 Dois esultados em combiatóia cotempoâea Guilheme Oliveia Mota Tese apesetada ao Istituto de Matemática e Estatística da Uivesidade de São Paulo paa obteção do título de Douto em Ciêcias Pogama: Ciêcia da Computação Oietado: Pof. D. Yoshihau Kohayakawa Duate o desevolvimeto deste tabalho o auto ecebeu auxílio fiaceio do CNPq (14088/009-0) e da FAPESP (009/ e 01/00036-) São Paulo, agosto de 013

2 Dois esultados em combiatóia cotempoâea Esta é a vesão oigial da tese elaboada pelo cadidato Guilheme Oliveia Mota, tal como submetida à Comissão Julgadoa.

3 Agadecimetos Pimeiamete agadeço a meus pais, que uca poupaam esfoços paa que eu tivesse uma fomação de qualidade, sempe me apoiado e me ajudado em tudo e, apesa de estaem tão loge, sempe fazem o possível paa ficaem mais póximos de mim. Agadeço também ao meu imão Geoge e ao meu pimo Fábio (um imão paa mim) pelos váios mometos de alegia que me popocioam sempe que vou a Fotaleza. Não posso deixa de pesta meus siceos agadecimetos ao Yoshi, que sempe me ofeeceu opotuidades paa que eu pudesse cesce itelectualmete. Além disso, suas qualidades de excelete pofesso e pesquisado sevem costatemete como fote de ispiação paa mim e me motivam a cotiua buscado melhoa. Ete muitas coisas boas que me acoteceam em São Paulo duate o meu doutoado, cetamete uma das melhoes foi cohece a Suele, essa pessoa maavilhosa a qual teho o paze de te como miha compaheia. Sussu teve um papel fudametal duate o desevolvimeto da miha pesquisa, sempe me icetivado e me apoiado os mometos mais difíceis, sedo o alicece que me mateve fime ao logo desses últimos aos. Ressalto também sua cotibuição impotatíssima a evisão fial da tese. Muitos amigos também me ajudaam duate a ealização dessa tese. Sou muito gato ao Leado Lima, po te me icetivado a faze doutoado a USP. Um agadecimeto especial vai paa Robeto e Rafiha, que estiveam sempe pesetes, ajudado os mometos difíceis e toado os mometos felizes aida mais especiais. Agadeço à Naty, essa pessoa queida que veio se juta ao tio ceaese. Não posso deixa de agadece também à Iasmi, Patícia e Tixa, pelo caiho e pelas logas covesas, especialmete quado eu me ecotava loge do país. Agadeço de todo o coação à ova família que gahei a Alemaha, em Hambugo: Adé e Philip, po seem paceios paa toda hoa, imãos basileios que gahei a Alemaha, e Tia Dô, po te me acolhido como um filho em sua casa, com a alegia e caiho que lhe é peculia. Sou também muito agadecido aos meus oietadoes alemães, Ausch e Mathias, po teem me ajudado o desevolvimeto de meu pojeto de pesquisa e po teem me ecebido tão bem a Alemaha. Po fim, agadeço a todos os paceios de jiu-jitsu que tive duate esses aos, especialmete ao meu meste Adiao Silva. Cetamete os teios foam esseciais paa que eu mativesse a mete leve paa tabalha melho os poblemas matemáticos. i

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5 Resumo Mota, G. O. Dois esultados em combiatóia cotempoâea. Tese Istituto de Matemática e Estatística, Uivesidade de São Paulo, São Paulo, 013. Dois poblemas combiatóios são estudados: (i) detemia a quatidade de cópias de um hipegafo fixo em um hipegafo uifome pseudoaleatóio, e (ii) estima úmeos de Ramsey de odem dois e tês paa gafos com lagua de bada pequea e gau máximo limitado. Apesetamos um lema de cotagem paa estima a quatidade de cópias de um hipegafo k-uifome liea live de coectoes (coecto é uma geealização de tiâgulo, paa hipegafos) que estão pesetes em um hipegafo espaso pseudoaleatóio G. Cosidee um hipegafo k-uifome liea H que é live de coectoes e um hipegafo k-uifome G com vétices. Seja d H = max{δ(j): J H} e D H = mi{kd H, (H)}. Estabelecemos que, se os vétices de G ão possuem gau gade, famílias pequeas de cojutos de k 1 elemetos de V (G) ão possuem vizihaça comum gade, e a maioia dos paes de cojutos em ( ) V (G) k 1 possuem a quatidade coeta de vizihos, etão a quatidade de imesões de H em G é (1+o(1)) V (H) p E(H), desde que p 1/D H e E(G) = ( ) k p. Isso geealiza um esultado de Kohayakawa, Rödl e Sissokho [Embeddig gaphs with bouded degee i spase pseudoadom gaphs, Isael J. Math. 139 (004), ], que povaam que, paa p dado como acima, esse lema de imesão vale paa gafos, ode H é um gafo live de tiâgulos. Detemiamos assitoticamete os úmeos de Ramsey de odem dois e tês paa gafos bipatidos com lagua de bada pequea e gau máximo limitado. Mais especificamete, detemiamos assitoticamete o úmeo de Ramsey de odem dois paa gafos bipatidos com lagua de bada pequea e gau máximo limitado, e o úmeo de Ramsey de odem tês paa tais gafos, com a suposição adicioal de que ambas as classes do gafo bipatido têm apoximadamete o mesmo tamaho. Palavas-chave: Pseudoaleatoiedade, hipegafos, imesão, Ramsey, egulaidade. iii

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7 Abstact Mota, G. O. Two esults i mode combiatoics. Tese Istituto de Matemática e Estatística, Uivesidade de São Paulo, São Paulo, 013. Two combiatoial poblems ae studied: (i) detemiig the umbe of copies of a fixed hipegaph i uifom pseudoadom hypegaphs, ad (ii) estimatig the two ad thee colo Ramsey umbes fo gaphs with small badwidth ad bouded maximum degee. We give a coutig lemma fo the umbe of copies of liea k-uifom coecto-fee hypegaphs (coecto is a geealizatio of tiagle fo hypegaphs) that ae cotaied i some spase hypegaphs G. Let H be a liea k-uifom coecto-fee hypegaph ad let G be a k-uifom hypegaph with vetices. Set d H = max{δ(j): J H} ad D H = mi{kd H, (H)}. We poved that if the vetices of G do ot have lage degee, small families of (k 1)-elemet sets of V (G) do ot have lage commo eighbouhood ad most of the pais of sets i ( ) V (G) k 1 have the ight umbe of commo eighbous, the the umbe of embeddigs of H i G is (1 + o(1)) V (H) p E(H), give that p 1/D H ad E(G) = ( ) k p. This geealizes a esult by Kohayakawa, Rödl ad Sissokho [Embeddig gaphs with bouded degee i spase pseudoadom gaphs, Isael J. Math. 139 (004), ], who poved that, fo p as above, this esult holds fo gaphs, whee H is a tiagle-fee gaph. We detemie asymptotically the two ad thee Ramsey umbes fo bipatite gaphs with small badwidth ad bouded maximum degee. Moe geeally, we detemie asymptotically the two colo Ramsey umbe fo bipatite gaphs with small badwidth ad bouded maximum degee ad the thee colo Ramsey umbe fo such gaphs with the additioal assumptio that both classes of the bipatite gaph have almost the same size. Keywods: Pseudoadomess, hypegaphs, embeddig, Ramsey, egulaity. v

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9 Sumáio 1 Itodução 1 Pelimiaes 5.1 Gafos Hipegafos Lema de cotagem paa hipegafos pseudoaleatóios Lemas picipais Resultados auxiliaes Algus esultados combiatóios Geealizado as popiedades LMT e CG Lema de Extesão e cooláios Lema de Extesão Cooláios do Lema de Extesão Povas dos lemas picipais Pova do Lema CG t Pova do Lema de cotagem modificado Númeos de Ramsey paa gafos bipatidos Visão geal da pova do Teoema 3-Ramsey Resultados auxiliaes Método da Regulaidade Explosão egula de uma ávoe Itevalos balaceados Pova do Teoema 3-Ramsey Ideia da pova do Teoema -Ramsey Cosideações fiais 51 Refeêcias Bibliogáficas 53 vii

10 viii SUMÁRIO

11 Capítulo 1 Itodução Uma classe de poblemas paticulamete impotate em combiatóia diz espeito a detemia se existe uma cópia de um gafo fixo em gafos maioes. O clássico Lema de Regulaidade de Szemeédi [53] afima que, desde que um gafo seja suficietemete gade, seu cojuto de vétices pode se paticioado em o máximo um úmeo costate de classes com apoximadamete o mesmo tamaho, de modo que as aestas, a maioia dos gafos bipatidos iduzidos pelos vétices dessas classes e pelas aestas ete as classes, são bem distibuídas (uma patição satisfazedo essa popiedade é dita egula). Poém, dado um gafo G = (V, E) com vétices, a patição de V obtida pelo Lema de Regulaidade cotém uma quatidade quadática de paes ão egulaes, de modo que, se a quatidade de aestas do gafo em questão é o( ), elas podem esta quase totalmete cotidas somete os paes ão egulaes. Nesse caso, o subgafo de G iduzido pelos paes egulaes é muito espaso. Logo, o Lema de Regulaidade é útil somete paa gafos desos (gafos com Ω( ) aestas). Paa uma descição mais fomal do Lema de Regulaidade, veja a Seção Lemas de Imesão são esultados que gaatem a existêcia de cópias de gafos fixos H em gafos maioes, tipicamete em patições egulaes. Quado, em vez de gaati somete a existêcia, a quatidade de cópias de H é estimada, temos o que chamamos de Lemas de Cotagem. Assim, a combiação do Lema de Regulaidade com lemas de cotagem é muito útil a solução de poblemas que objetivam ecota cópias de um gafo H em gafos maioes. Paa uma discussão apofudada sobe egulaidade, lemas de cotagem paa gafos desos e aplicações, veja [40, 43]. O gafo aleatóio biomial de Edős e Réyi G G(, p) é um gafo com um cojuto de vétices, ode cada dois vétices são adjacetes com pobabilidade p e essas adjacêcias são idepedetes. Dado um gafo H, a -desidade de H é dada po d (H) = ( E(H) 1)/( V (H) ). Um gafo H é dito -balaceado se a -desidade de H é maio ou igual que a -desidade de qualque de seus subgafos que cotêm pelo meos tês vétices. Kohayakawa e Rödl itoduziam uma vesão do Lema de Regulaidade paa gafos espasos, i.e., gafos com uma quatidade subquadática de aestas (veja, e.g. [33, 36]). Todavia, duate muito tempo, ão se coheciam lemas de cotagem que fucioassem esse 1

12 INTRODUÇÃO 1.0 cotexto espaso. Kohayakawa, Łuczak e Rödl [35] cojectuaam um esultado de cotagem pobabilístico, cohecido como Cojectua KŁR, que, duate muito tempo foi sido povado apeas paa algumas classes paticulaes de gafos (veja [3, 5, 6, 34, 38]). Em 01, foi povada uma vesão da Cojectua KŁR paa subgafos de G(, p) [15], uma vesão paa gafos -balaceados [] e, fialmete, a cojectua foi povada em toda sua geealidade o tabalho de Saxto e Thomaso [5], atavés de uma técica de cotagem de cojutos idepedetes em hipegafos uifomes. Pelo que foi discutido os paágafos ateioes, já sabemos da utilidade de lemas de cotagem e sabemos também que os poblemas elacioados a esses lemas têm sido extesivamete estudados desde o sugimeto do Lema de Regulaidade. Em paticula, um poblema que tem chamado a ateção dos pesquisadoes é a obteção de lemas de cotagem de gafos fixos em gafos pseudoaleatóios, como pode se visto os tabalhos de Colo, Fox e Zhao [13], e Kohayakawa, Rödl, Schacht e Skoka [39]. Diate desses esultados evolvedo gafos, o iteesse a esolução de poblemas paa hipegafos cesceu de foma sigificativa (veja [14, 1, ]). Um dos poblemas em que estamos iteessados aqui é a ivestigação de lemas de cotagem de hipegafos fixos em hipegafos pseudoaleatóios. Existem, a liteatua, divesas oções bem cohecidas de pseudoaleatoiedade paa gafos (veja, e.g., [10, 9, 44, 54]). Algumas dessas oções são elacioadas com o gau e cogau dos vétices, e com a distibuição das aestas do gafo. Tais coceitos de pseudoaleatoiedade foam geealizados de algumas maeias difeetes paa hipegafos (veja [1, ]). Em [1], ituitivamete, um hipegafo uifome G é defiido como pseudoaleatóio se, (i) paa todo cojuto pequeo de vétices S, a quatidade de aestas que cotêm S é póxima da quatidade espeada em um hipegafo uifome aleatóio, e (ii) paa todo pa de cojutos pequeos de vétices S 1 e S, o cogau de S 1 e S, i.e., a quatidade de aestas de G que cotêm S 1 e S, ão é muito maio do que a quatidade espeada em um hipegafo uifome aleatóio. Em [], a oção de pseudoaleatoiedade cosideada é mais fote, o setido que é peciso te o cotole ão somete dos gaus e cogaus dos vétices, mas de algumas outas estutuas do hipegafo. No Capítulo 3 discutimos uma oção de pseudoaleatoiedade paa hipegafos, que se assemelha à oção utilizada em [1], e povamos um lema de cotagem em hipegafos suficietemete pseudoaleatóios. Dado um gafo H, defia d H = max{δ(j): J H} e D H = mi{d H, (H)}, ode δ(h) e (H) são, espectivamete, os gaus míimo e máximo de H. Em [37], Kohayakawa, Rödl e Sissokho povaam que, dado um gafo fixo H live de tiâgulos e p = o(1) com p 1/D H vale o seguite. Paa todo ε > 0, existem δ > 0 tal que se G é um gafo com vétices suficietemete gade, ode E G = ( ) p, a vizihaça comum de subcojutos pequeos de vétices de G ão é gade e, paa a maioia dos vétices v e paes de vétices {u, v} de G, o gau de v e o cogau de {u, v} é póximo do valo espeado em G(, p), etão o seguite vale: I(H, G) v(h) p e(h) < ε v(h) p e(h), ode I(H, G) é o cojuto de todas as imesões de H em G. O lema de cotagem apesetado o Capítulo 3 geealiza o esultado de Kohayakawa, Rödl e Sissokho paa hipegafos lieaes k-uifomes, ode estimamos a

13 1.0 3 quatidade de imesões de um hipegafo liea (duas aestas compatilham o máximo um vétice) k-uifome live de coectoes em hipegafos k-uifomes pseudoaleatóios, ode um coecto é uma aesta e E H tal que existem x V H \ {e} e k aestas e 1,..., e k que cotêm x, com e e i = 1 paa todo i = 1,..., k. Outo poblema ivestigado esta tese diz espeito à Teoia de Ramsey. Em 1930, Ramsey povou um impotate e clássico esultado, que é cohecido pelo ome de Teoema de Ramsey [48], dado oigem a uma áea de pesquisa que hoje é cohecida po Teoia de Ramsey. O teoema povado po Ramsey, que é uma geealização do picípio da casa dos pombos, diz que, paa todo pa de iteios {, s}, existe um iteio tal que todo gafo completo com pelo meos vétices, cujas aestas são coloidas com duas coes (digamos, azul e vemelho), possui uma cópia do gafo completo com vétices, ode todas as aestas são azuis, ou possui uma cópia do gafo completo com s vétices, ode todas as aestas são vemelhas. O meo desses iteios tal que vale a popiedade acima é chamado de úmeo de Ramsey e deotado po R(, s). Uma geealização atual dos úmeos de Ramsey suge quado, em vez de gafos completos com e s vétices, cosideamos gafos abitáios G 1 e G. Deotamos po R(G 1, G ) o meo iteio tal que todo gafo completo com pelo meos R(G 1, G ) vétices, cujas aestas são coloidas com as coes azul e vemelho, possui uma cópia azul de G 1 ou uma cópia vemelha de G. Dizemos que R(G 1, G ) é o úmeo de Ramsey de odem paa G 1 e G. Podemos geealiza também a oção de úmeos de Ramsey pemitido mais coes a coloação. Defiimos o úmeo de Ramsey de odem, deotado po R(G 1, G,..., G ), como o meo iteio positivo tal que, se as aestas de um gafo completo com vétices são paticioadas em classes de coes distitas, foecedo gafos H 1, H,..., H, etão, pelo meos um dos gafos H i (1 i ) cotém um subgafo isomofo a G i. Apesa dos muitos esfoços ao logo dos aos, o poblema de se detemia o valo dos úmeos de Ramsey está loge de se esolvido totalmete. Divesos esultados ecetes melhoaam os limitates cohecidos paa divesos úmeos de Ramsey de odem dois (veja, po exemplo, [11, 1, 16, 19, 0]). Seja P um camiho com vétices. Um esultado clássico de Geecsé e Gyáfás [4] afima que R(P, P ) = (3 )/. Paa algus gafos paticulaes, o valo do úmeo de Ramsey é cohecido de foma assitótica. Dada uma ávoe T, escevemos t 1 e t, com t t 1, paa os tamahos das classes de vétices de T, quado vista como um gafo bipatido. Uma costução simples mosta que R(T, T ) max{t 1 + t, t } 1. Haxell, Łuczak e Tigley [3] detemiaam assitoticamete o valo de R(T, T ) paa ávoes T com (T ) = o(t ), povado que R(T, T ) = (1 + o(1))(t 1 + t ) se t 1 R(T, T ) = (1 + o(1))t se t 1 < t. t, e Dizemos que um gafo H = (W, E H ) possui lagua de bada ( badwidth ) o máximo b, se existe uma otulação dos vétices de H com os úmeos 1,...,, de modo que, paa cada aesta ij E H, temos i j b. No Capítulo 4, apesetamos uma vesão do esultado de Haxell, Łuczak e Tigley paa gafos bipatidos com lagua de bada pequea e gau

14 4 INTRODUÇÃO 1.0 máximo limitado. Mostamos que, paa todo úmeo atual, existe uma costate β > 0 tal que, paa todo gafo bipatido H com vétices, lagua de bada o máximo β e gau máximo limitado supeiomete po, ode existe uma -coloação pópia χ : V H [], com t 1 = χ 1 (1), t = χ 1 () e t 1 t, temos R(H, H) = (1 + o(1)) max{t 1 + t, t }. Paa úmeos de Ramsey de odem tês, poucos esultados são cohecidos. Em [30], pova-se que, desde que seja suficietemete gade, R(P, P, P ) = 1 quado é ímpa, e R(P, P, P ) = quado é pa. Esse esultado também foi povado, de foma assitótica, em [18]. Apimoado técicas em [9], Beevides e Skoka [3] esolveam completamete o poblema paa cicuitos paes suficietemete gades, mostado que R(C, C, C ) = paa suficietemete gade. No Capítulo 4, estedemos assitoticamete esses esultados paa gafos bipatidos com lagua de bada pequea e gau máximo limitado, ode as classes do gafo possuem apoximadamete o mesmo tamaho (gafos satisfazedo essa codição são chamados de balaceados). Mostamos que paa todo úmeo atual, existe uma costate β > 0 tal que, paa todo gafo bipatido balaceado H com vétices, lagua de bada o máximo β e gau máximo limitado supeiomete po, temos R(H, H, H) = (+o(1)). Como cooláio de ossos esultados, detemiamos assitoticamete os úmeos de Ramsey de odem dois e tês paa gades. Ogaizamos os capítulos subsequetes como segue. No Capítulo, itoduzimos algus coceitos e fixamos a otação que seá utilizada ao logo deste tabalho. No Capítulo 3, discutimos e povamos o lema de imesão de hipegafos fixos em hipegafos pseudoaleatóios. Os esultados sobe úmeos de Ramsey são apesetados o Capítulo 4 e eceamos, o Capítulo 5, com algus cometáios fiais sobe os esultados obtidos.

15 Capítulo Pelimiaes Neste capítulo itoduzimos algus coceitos impotates e fixamos a otação básica que seá utilizada os capítulos subsequetes. Deotamos po [k] o cojuto {1,..., k}. Dadas fuções f, g : N R + e um atual, dizemos que f() = o(g()) se e somete se, paa todo ε > 0, existe 0 tal que, se 0, etão f() < εg(). Algumas vezes escevemos f() g() ao ivés de f() = o(g()). A segui itoduzimos, espectivamete, coceitos elacioados a gafos e hipegafos..1 Gafos Um gafo G é um pa de cojutos fiitos (V G, E G ), ode V G é chamado de cojuto de vétices de G, e E G, o cojuto de aestas de G, é um cojuto de paes ão odeados de elemetos distitos de V G. Escevemos e(g) e v(g), espectivamete, paa epeseta a cadialidade de E(G) e V (G). Escevemos, po simplicidade, vw (ou wv) paa deota a aesta {v, w} E G, e se vw / E G, etão vw é chamada de ão-aesta de G. Dizemos que vw icide em v e em w (ou é icidete a v e w), e v e w são as extemidades da aesta vw. Nesse caso, dizemos que os vétices v e w são vizihos. Se duas aestas possuem uma extemidade comum, etão dizemos que essas aestas são adjacetes. Dado um vétice v V G, defiimos o gau de v, deotado po d G (v), como a quatidade de vizihos de v, isto é, d G (v) = {w V G : vw E G }. Quado estive clao a que gafo G estamos os efeido, escevemos simplesmete d(v). Po fim, defiimos o gau máximo e o gau míimo de G, espectivamete, como (G) = max{d(v): v V G } e δ(g) = mi{d(v): v V G }. Dado um gafo G = (V G, E G ) com vétices e dois subcojutos de vétices A e B, ão vazios e disjutos, deotamos po E G (A, B) o subcojuto de aestas de E G que possuem uma extemidade em A e outa em B. Ademais, a cadialidade de E G (A, B) é deotada po e G (A, B). A desidade de G é dada po d G = e(g)/ ( ) e dizemos que d G (A, B) = e G(A, B) A B 5

16 6 PRELIMINARES. é a desidade de G ete A e B. Se G é um gafo tal que V G pode se dividido em dois subcojutos disjutos A e B e temos E G = E G (A, B), etão dizemos que G é um gafo bipatido e escevemos G = (A, B; E G ). Um gafo com vétices que possui todas as ( ) aestas possíveis é chamado de gafo completo ou clique e é deotado po K. Um gafo H é dito subgafo de um gafo G, e escevemos H G, se V H V G e E H E G. Ademais, se V H = V G, etão dizemos que H é um subgafo geado de G. Se um gafo G ão cotém ehum subgafo isomofo a H, dizemos que G é live de H. Dado um subcojuto de vétices W V G, deotamos po G[W ] o gafo com cojuto de vétices W tal que o cojuto de aestas de G[W ] é composto pelo subcojuto de aestas de G que possuem as duas extemidades em W. Dizemos que o gafo G[W ] é o subgafo de G iduzido po W. Um gafo P com cojuto de vétices V P = {v 1,..., v k } é chamado de camiho se E P = {v 1 v, v v 3,..., v k 1 v k }. Se um gafo P possui cojuto de vétices V P = {v 1,..., v k } e cojuto de aestas dado po E P {v k v 1 }, etão P é chamado de cicuito. Um gafo G é coexo se existe um camiho ete qualque pa de vétices {v, w}. Ademais, se T é um gafo coexo e ão possui cicuitos, etão dizemos que T é uma ávoe. Po fim, dado um gafo G, um empaelhameto M em G é um cojuto de aestas de G duas a duas ão adjacetes. Uma patição P = {V 1,..., V k } dos vétices de um gafo G é uma família de cojutos V i V G, paa 1 i k, tal que esses cojutos são disjutos dois a dois e V 1... V k = V G. Dizemos que cada V i é uma classe da patição P. Dado um gafo G, uma k-coloação dos vétices de G é uma fução χ V : V G {1,..., k}, isto é, uma fução que atibui uma co paa cada vétice de G, dete k coes dispoíveis. Aalogamete, uma k-coloação das aestas de G é uma fução χ E : E G {1,..., k}. Se χ V atibui coes distitas paa todo pa de vétices {v, w} tal que u é viziho de w, etão χ V é dita uma coloação pópia dos vétices de G. Aalogamete, se aestas adjacetes ecebem coes distitas da coloação χ E, etão χ E é dita uma coloação pópia das aestas de G. Se, dada uma coloação das aestas de um gafo G, todas as aestas de um subgafo H G possuem a mesma co, etão dizemos que H é moocomático.. Hipegafos Um hipegafo H é um pa de cojutos fiitos (V H, E H ), ode V H é o cojuto de vétices de H e o cojuto de hipeaestas E H é uma coleção de subcojutos de vétices. Po simplicidade, efeimo-os às hipeaestas simplesmete po aestas. Se todas as aestas de E H são subcojutos com k vétices, dizemos que H é um hipegafo k-uifome. Note que um gafo é um hipegafo -uifome. Um hipegafo H é dito liea se cada pa de aestas compatilha o máximo um vétice. Nesta seção itoduzimos algus coceitos que são utilizados o Capítulo 3. Deotamos po ( ) V H i o cojuto de todos os subcojutos de VH com tamaho i e de-

17 . HIPERGRAFOS 7 otamos po V i H o subcojuto de todas as sequêcias de V H com i elemetos, isto é, cada elemeto de V i H é composto po i vétices de H, de modo que a odem desses i vétices é elevate. As seguites defiições estão elacioadas com a oção de vizihaça em hipegafos k-uifomes. Paa 1 i k 1, dado {x 1,..., x i } ( ) V H i, defia N H (x 1,..., x i ) = { {x i+1,..., x k } ( } VH ): {x 1,..., x k } E H, k i i.e., N H (x 1,..., x i ) é o cojuto de elemetos de ( ) V H k i que, jutamete com {x1,..., x i }, fomam uma aesta de H. Defia d H (x 1,..., x i ) = N H (x 1,..., x i ) como sedo o gau de {x 1,..., x i }. Em paticula, se x V H, etão N H (x) = { {x 1,..., x k 1 } ( } VH ): {x, x 1,..., x k 1 } E H. k 1 Ademais, seja NH co (x) = { y : {x 1,..., x k 1 } N H (x) com y {x 1,..., x k 1 } } o cojuto dos vétices de H que petecem a alguma aesta que cotém x. Dada uma coleção X ( ) V H k 1 de cojutos com k 1 vétices, defia N H (X) = { x: x N H (x 1,..., x k 1 ) paa todo {x 1,..., x k 1 } X }, i.e., N H (X) é a vizihaça comum dos elemetos de X. Fializado, uma imesão de um hipegafo H em um hipegafo G é um mapeameto ijetivo φ: V H V G tal que φ(v 1 ),..., φ(v k ) E G sempe que v 1,..., v k E H.

18 8 PRELIMINARES.

19 Capítulo 3 Lema de cotagem paa hipegafos pseudoaleatóios Existem váias oções de pseudoaleatoiedade paa hipegafos -uifomes (gafos) a liteatua. Algumas tatam da uifomidade a distibuição das aestas do gafo e outas, po exemplo, são baseadas o valo do segudo maio autovalo (em valo absoluto) da matiz de adjacêcias do gafo. Uma oção também impotate de pseudoaleatoiedade em gafos é elacioada com a quatidade de cicuitos de tamaho 4 que o gafo possui (veja [10, 9, 8, 44, 54]). Os coceitos de pseudoaleatoiedade citados o paágafo ateio levam em cota caacteísticas globais do gafo. No etato, algumas oções possuem um caáte mais local, sedo elacioadas ao gau dos vétices e ao cogau dos paes de vétices. Em [], esse coceito é geealizado paa hipegafos uifomes. Po simplicidade, cosideemos, po oa, apeas hipegafos 3-uifomes. Sejam v 1,..., v t vétices de um hipegafo 3-uifome G e seja J um gafo com cojuto de vétices [t]. Deotamos po d J,G (v 1,..., v t ) a quatidade de vétices x G tais que {v i, v j, x} E(G) paa toda aesta {i, j} E(J). Em [], uma oção de pseudoaleatoiedade é dada pela defiição abaixo. Defiição 3.1. Um hipegafo 3-uifome G é dito (ε, p)-uifome se, paa todo gafo auxilia J com t 7 vétices e s 6 aestas, e paa toda escolha de vétices distitos v 1,..., v t V G temos d J,G (v 1,..., v t ) p s εp s. A codição apesetada a defiição acima é um pouco fote. De fato, o mesmo tabalho em que a codição acima é apesetada (veja []), uma defiição de pseudoaleatoiedade ecessita do cotole de somete 5 gafos auxiliaes, a sabe: J 1 : gafo com dois vétices e uma aesta; J : gafo com quato vétices e duas aestas ão adjacetes; J 3 : gafo com tês vétices e duas aestas; 9

20 10 LEMA DE CONTAGEM PARA HIPERGRAFOS PSEUDOALEATÓRIOS 3.0 J 4 : gafo com quato vétices e tês aestas fomado um camiho; J 5 : gafo com sete vétices e seis aestas fomado dois camihos de mesmo tamaho que se iteceptam em exatamete um vétice iteo de cada camiho. Assim, cosideemos a seguite defiição de hipegafos (ε, p)-uifomes utilizada em []. Defiição 3.. Um hipegafo 3-uifome G é dito (ε, p)-uifome se paa i = 1,..., 5, e paa toda escolha de vétices distitos v 1,..., v V (Ji ) V G temos d J,G (v 1,..., v V (Ji ) ) p E(J i) εp E(J i ). Defiimos agoa algumas popiedades de hipegafos que dizem espeito à vizihaça comum de algus subcojutos de vétices. Com essas popiedades, vamos defii o coceito de pseudoaleatoiedade que iemos cosidea este capítulo. No que segue, tome k. Popiedade 3.3 (LMT Popiedade do limitate). Defiimos LMT k (C, t) como a família de hipegafos k-uifomes G com V G = e p = E(G) / ( ) k tais que, paa todo 1 t e todos subcojutos distitos S 1,..., S ( ) V G k 1, temos N G (S 1 )... N G (S ) Cp. Popiedade 3.4 (CG Popiedade do cogau). Defiimos CG k ε(t) como a família de hipegafos k-uifomes G com V G = e p = E(G) / ( ) k tal que, paa todo 1 t, temos que N G (S 1 )... N G (S ) p < εp k 1) paa mais que (1 ε) ( ( ) famílias {S1,..., S } de subcojutos distitos de ( ) V G. Se um hipegafo k-uifome G petece a LMT k (C, t 1 ) e CG k ε(t ), dizemos que G é um hipegafo (C, t 1, t, ε)-pseudoaleatóio. O lema de cotagem que seá apesetado esta seção diz espeito à imesão de hipegafos k-uifomes em hipegafos G que cotêm popiedades pseudoaleatóias mais facas que as apesetadas a Defiição 3., a sabe, cosideamos hipegafos G que são (C, t,, δ)-pseudoaleatóios. Po exemplo, paa hipegafos 3-uifomes (C, t,, δ)-pseudoaleatóios, pecisamos te cotole total somete sobe os gafos auxiliaes J 1, J e J 3. Ademais, esse cotole ão pecisa se paa toda escolha de paes de vétices distitos em G, e sim paa a maioia dos paes, como pode se visto a defiição da popiedade CG k ε(). Uma oção de pseudoaleatoiedade semelhate à que cosideamos este capítulo é utilizada em [1]. Dado um hipegafo liea k-uifome H, um coecto é uma aesta e E H tal que existem x V H \ {e} e k aestas e 1,..., e k que cotêm x, ode e e i = 1 paa todo i = 1,..., k. Dizemos que um hipegafo H é live de coectoes se ão possui coectoes. Ademais, ote que os gafos (hipegafos -uifomes) lives de coectoes são os gafos lives k 1

21 3.1 LEMAS PRINCIPAIS 11 de tiâgulos. Defia d H = max{δ(j): J H} e D H = mi{kd H, (H)}, ode δ(h) e (H) são, espectivamete, os gaus míimo e máximo de H. Kohayakawa, Rödl e Sissokho [37] povaam que, dado um gafo fixo H live de tiâgulos e p 1/D H com p = o(1), paa todo ε > 0, existem δ > 0 e um atual 0 tal que, se 0 e G é um gafo com vétices, ode E(G) = ( ) p, G LMT (C, D H ) paa algum C > 1 e G CG δ(), etão I(H, G) v(h) p e(h) < ε v(h) p e(h), ode I(H, G) é o cojuto de todas as imesões de H em G. O esultado picipal deste capítulo, Teoema 3.5, estede esse esultado paa hipegafos lieaes k-uifomes live de coectoes. Teoema 3.5. Sejam C > 1, m 4 iteios e cosidee um hipegafo liea k-uifome H com m vétices e live de coectoes. Se p = p() = o(1) tal que p 1/D H, etão, paa todo ε > 0, existe δ > 0 e um iteio 0 > 0 tal que o seguite vale. Se uma sequêcia de hipegafos k-uifomes {G } =1 com V (G ) = é tal que, paa todo, o hipegafo G é (C, D H,, δ)-pseudoaleatóio e p = p() = e(g )/ ( ) k, etão, paa todo 0, I(H, G ) m p e(h) < ε m p e(h). Na Seção 3.1 euciamos dois lemas que, jutos, compõem a pova do Teoema 3.5. A Seção 3. cotém algus esultados que são ecessáios paa a pova do Lema 3.6, apesetado a Seção 3.1. Na Seção 3.3 apesetamos o Lema de Extesão, um impotate esultado, útil paa a pova do outo lema (Lema 3.7) apesetado a Seção 3.1. Fialmete, a Seção 3.4, povamos os Lemas 3.6 e Lemas picipais Os póximos dois lemas, jutos, compõem a pova do Teoema 3.5. Lema 3.6 (Lema CG t ). Sejam t e C > 1. Supoha que p = p() satisfaz p 1/t. Seja {G } =1 uma sequêcia de hipegafos k-uifomes com G LMT k (C, ) e E(G ) = ( ) k p paa todo. Etão, temos o seguite: Paa todo δ 1 > 0, existem δ > 0 e 1 > 0 tais que, se 1 e G CG k δ (), etão G CG k δ 1 (t). O póximo esultado é muito simila ao Teoema 3.5. Tocamos apeas a popiedade CG k δ() po CG k δ(d H ). Lema 3.7 (Lema de cotagem modificado). Sejam C > 1, m 4 e cosidee um hipegafo liea k-uifome H com m vétices e live de coectoes. Se p = p() = o(1) tal que p 1/D H, etão paa todo ε > 0 existe δ > 0 e um iteio > 0 tal que o seguite vale:

22 1 LEMA DE CONTAGEM PARA HIPERGRAFOS PSEUDOALEATÓRIOS 3. Se uma sequêcia de hipegafos k-uifomes {G } =1 com V (G ) = é tal que, paa todo, o hipegafo G é (C, D H, d H, δ)-pseudoaleatóio e p = p() = e(g )/ ( ) k, etão, paa todo, I(H, G ) m p e(h) < ε m p e(h). Apesetamos agoa a pova do Teoema 3.5, utilizado os Lemas 3.6 e 3.7, que são povados a Seção 3.4. Pova do Teoema 3.5. Fixe C > 1 e m 4. Seja H um hipegafo liea k-uifome live de coectoes com V H = m. Tome p = p() = o(1) tal que p 1/D H e fixe ε > 0. Agoa fazemos uso dos Lemas 3.6 e 3.7. Uma aplicação do Lema 3.7 com paâmetos m, ε e C os etoa uma costate δ 1 > 0 e um iteio > 0. Aplicado o Lema 3.6 com paâmetos t = d H, C e δ 1, ecebemos uma costate δ > 0 e um iteio 1 > 0. Tome 0 = max{ 1, } e cosidee 0. Seja G um hipegafo k-uifome G com vétices e E(G ) = ( k) p. Supoha que G é (C, D H,, δ )-pseudoaleatóio, i.e., G LMT k (C, D H ) e G CG k δ (). Note que, desta foma, também temos que G LMT k (C, ). Ademais, p 1/D H Lema 3.6 gaate que G CG k δ 1 (d H ). Potato, pelo Lema 3.7, cocluímos que I(H, G ) v(h) p e(h) < ε v(h) p e(h). 1/d H. Assim, o 3. Resultados auxiliaes Nesta seção apesetamos algus esultados que são ecessáios paa pova o Lema 3.6. Na Seção 3..1, itoduzimos algumas desigualdades combiatóias e, a Seção 3.., geealizamos as popiedades LMT e CG paa vétices, em vez de cojutos de vétices de tamaho k Algus esultados combiatóios Pimeiamete, itoduzimos o seguite lema, cuja pova pode se vista em [37]. Lema 3.8. Paa todo δ > 0, existe γ > 0 tal que, se uma família de úmeos eais a i 0, paa 1 i N, satisfaz as codições (i) N i=1 a i (1 γ)na, (ii) N i=1 a i (1 + γ)na, etão {i: a i a < δa} > (1 δ)n.

23 3. RESULTADOS AUXILIARES 13 Os seguites lemas apesetam algumas desigualdades combiatóias que seão utilizadas com fequêcia. Lema 3.9. Paa todos ε > 0, 1 e 0 < α < 1, existe 0 tal que, se 0, etão ( ) ( ) α (1 ε)α. Demostação. Fixe ε > 0, 1 e 0 < α < 1. Tome δ = 1 (1 ε) 1/ e cosidee 0, ode 0 = ( 1)(1 + (1 α)/αδ). Note que, paa todo 0 k 1, as escolhas de 0 e δ implicam que α k = ( 1 ) (1 α)k ( k)α (1 δ)( k)α = (1 ε) 1/ ( k)α. α( k) Potato, ( ) α = 1 k=0 α k k (1 ε)α 1 k=0 k k = (1 ε)α ( ). Lema Paa todos ε > 0, 1 e b > 0, existe 0 tal que, se 0, etão ( ) ( ) b (1 + ε)b. Demostação. Fixe ε > 0, 1 e b > 0. Agoa fixe δ = (1 + ε) 1/ 1 e cosidee 0, ode 0 = ( 1)(1 + (b 1)/bδ). Note que, paa todo 0 k 1, se b 1, temos b k (1 + ε) 1/ ( k)b. Po outo lado, se b > 1, as escolhas de 0 e δ implicam que b k = ( 1 + ) (b 1)k ( k)b (1 + δ)( k)b = (1 + ε) 1/ ( k)b. b( k) Potato, ( ) b 1 b k = k=0 k (1 + ε)b 1 k=0 k k = (1 + ε)b ( ). 3.. Geealizado as popiedades LMT e CG Cosidee costates C > 1 e β > 0. Supoha que um hipegafo k-uifome G com vétices é (C,,, β)-pseudoaleatóio. Paa efeêcias futuas, euciamos abaixo as cosequêcias desse fato.

24 14 LEMA DE CONTAGEM PARA HIPERGRAFOS PSEUDOALEATÓRIOS 3. Paa todo S ( ) V G k 1 : N(S) Cp; (3.1) Paa todos cojutos distitos S 1, S ( ) V G k 1 : N(S 1 ) N(S ) Cp ; (3.) Paa mais que (1 β) ( ) ( ) k 1 cojutos S VG k 1 : N(S) p < βp; (3.3) k 1) Paa mais que (1 β) ( ( ) cojutos distitos S1, S ( ) V G : k 1 N(S 1 ) N(S ) p < βp ; (3.4) Se um hipegafo k-uifome G com vétices petece a LMT k (C, ), etão ão existe um cojuto com k 1 vétices que possui vizihaça gade, e paes de cojutos distitos com k 1 vétices também ão possuem vizihaça comum gade. O póximo esultado afima que, se G petece a LMT k (C, ), etão isto é vedade ão somete paa cojutos de k 1 vétices, mas paa qualque cojuto com i vétices, ode 1 i k 1. Paticulamete, o caso i = 1 é impotate paa ossa pova. Isso pode se visto como uma vesão de LMT k (C, ) paa vétices, em vez de cojutos com k 1 vétices. Lema Seja G um hipegafo k-uifome com vétices. Se G satisfaz LMT k (C, ), etão, paa cada 1 i k 1, vale N(S 1 ) C k i p e N(S 1 ) N(S ) C k i p paa todos os subcojutos distitos S 1, S ( ) V G i. Em paticula, (i) d(u) C k 1 p, paa todo u V G, (ii) N(u) N(v) C k 1 p, paa todos {u, v} ( V G Demostação. Seja G um hipegafo k-uifome com vétices e supoha G LMT k (C, ). A pova segue po idução em i. Pela defiição de LMT k (C, ), o esultado é válido paa i = k 1. Agoa assuma que as codições (i) e (ii) são válidas paa 1 < i < k 1. Vamos mosta que o esultado é válido paa i 1. Fixe cojutos distitos S 1, S ( ) V G i 1. Começamos povado que N(S1 ) C k (i 1) p. Sabemos que N(S 1 ) = u V G \S 1 N(S 1 u). Potato, utilizado a hipótese idutiva, temos que N(S 1 ) (C k i p) = C k (i 1) p. Paa veifica a outa codição, utilizamos a mesma ideia. Como N(S 1 ) N(S ) = u V G \(S 1 S ) N(S 1 u) N(S u), a hipótese idutiva gaate que N(S 1 ) N(S ) (C k i p ) = C k (i 1) p. ).

25 3. RESULTADOS AUXILIARES 15 O póximo lema afima que, se G é um hipegafo (C,,, β)-pseudoaleatóio k-uifome com vétices, etão a maioia dos vétices de G possui gau póximo de p, e paa a maioia dos paes de vétices de G, a quatidade de vizihos em comum é póxima de p. Isso pode se visto como uma vesão de CG k β() paa vétices, em vez de cojutos com k 1 vétices. Lema 3.1. Seja C > 1 uma costate fixa e supoha que p = p() satisfaz p (k 1)/. Se {G } =1 é uma sequêcia de hipegafos k-uifomes com G LMT k (C, ) paa todo, ode E(G ) = ( ) k p, etão o seguite é válido paa {G } =1: Paa todo δ > 0, existem β > 0 e 0 > 0 tais que, se 0 e G CG k β(), etão (i) ( ) ( ) d(u) k 1 p < δ k 1 p paa mais que (1 δ) vétices u VG ; (ii) ( ) ( ) N(u) N(v) k 1 p < δ k 1 p paa mais que (1 δ) ( ( ) ) paes {u, v} VG. Demostação. As povas dos ites (i) e (ii) são similaes, mas, po completude, apesetamos as duas povas. Fixe C > 1 e supoha que p (k 1)/. Fixe δ > 0 e seja γ > 0 obtido po uma aplicação do Lema 3.8 com paâmeto δ > 0. Tome β = mi { 1 (1 γ) 1/4, (1 + γ/) 1/3 1, γ/(1 + C ) }. Pela suposição sobe p, sabemos que, paa suficietemete gade, temos p ( β 1 (1 + β)c (k 1) k 1) (k 1)/. No que segue supomos 0, ode 0 é uma costate suficietemete gade, de modo que a desigualdade acima é satisfeita. Cosidee um hipegafo k-uifome G = G com vétices e E(G ) = ( ) k p. Supoha que G LMT k (C, ) e G CG k β(). Começamos povado o item (i). Vamos mosta que as duas codições do Lema 3.8 são satisfeitas. As equações (3.5) e (3.10) a segui podem se vistas como as codições equeidas pelo Lema 3.8. Pimeiamete, ote que u V G d(u) = S ( V G k 1) N(S) S ( V G k 1): N(S) (1 β)p ) ( (1 β) p k 1 ( ) (1 γ) p. k 1 N(S) (3.5) ode a pimeia desigualdade é tivial, a seguda segue de (3.3) e a última é cosequêcia da escolha de β. Assim, a pimeia codição do Lema 3.8 é satisfeita. Paa a seguda, obseve

26 16 LEMA DE CONTAGEM PARA HIPERGRAFOS PSEUDOALEATÓRIOS 3. que u V G d(u) = = S 1,S ( V G k 1) {S 1,S } ( ( V G k 1) ) N(S 1 ) N(S ) N(S 1 ) N(S ) + Limitaemos os dois temos da igualdade acima. Po (3.1), temos S ( V G k 1) N(S) ( ) Cp. k 1 S ( V G k 1) N(S). (3.6) Como p ((k 1) k 1 C/β) (k 1), podemos coclui que C β ( ) k 1 p. Potato, S ( V G k 1) N(S) β (( ) p). (3.7) k 1 Agoa defiimos A = { {S 1, S } ( ( V ) G k 1) : N(S1 ) N(S ) (1 + β)p } e, po fim, B = { {S 1, S } ( ( V ) G k 1) : N(S1 ) N(S ) > (1 + β)p }. Note que {S 1,S } ( ( V G k 1) ) Mas, claamete, N(S 1 ) N(S ) = {S 1,S } A N(S 1 ) N(S ) + {S 1,S } B N(S 1 ) N(S ) {S 1,S } A N(S 1 ) N(S ) (( ) (1 + β) p). (3.8) k 1 Po (3.) e (3.4), N(S 1 ) N(S ) βc (( ) p) {S 1,S. (3.9) k 1 } B Substituido (3.7), (3.8) e (3.9) em (3.6), obtemos (( ) ) d(u) (β + (1 + β) + βc) p u V G k 1 (( ) (1 + γ) p), k 1 (3.10) ode a última desigualdade segue de β γ/( + C).

27 3. RESULTADOS AUXILIARES 17 Assim, pelo Lema 3.8, cocluímos que, paa mais de (1 δ) vétices u V G, temos como queíamos. ( ) ( ) d(u) p k 1 < δ p, k 1 Paa coclui a pova pecisamos veifica o item (ii). A estatégia é a mesma que utilizamos a veificação do item (i). {u,v} ( V G ) N(u) N(v) = S ( V G k 1) ( ) N(S) S ( V G k 1): N(S) (1 β)p ( ( ) N(S) )( ) (1 β)p (1 β) k 1 ( )( ) (1 β) 4 p k 1 ( )( ) (1 γ) p. k 1 (3.11) ode a pimeia desigualdade é tivial e a seguda segue de (3.3). Na teceia, aplicamos o Lema 3.9 com paâmetos ε = β, = e α = (1 β)p, e a última desigualdade segue de β 1 (1 γ) 1/4. Povaemos uma desigualdade que, jutamete com (3.11), os pemite faze uso do Lema 3.8. {u,v} ( V G ) N(u) N(v) = = S 1,S ( V G k 1) {S 1,S } ( ( V G k 1) ) ( ) N(S1 ) N(S ) Limitaemos os dois temos da igualdade acima. Po (3.1), ( ) N(S1 ) S 1 ( V G k 1) ( ) N(S1 ) N(S ) + ( k 1 )( ) Cp. S 1 ( V G k 1) Uma aplicação do Lema 3.10 com paâmetos ε = β, = e b = Cp implica que ( )( ) Cp k 1 (1 + β)c ( )( ) p. k 1 ( ) N(S1 ). (3.1) Como p ((1 + β)c (k 1) k 1 /β) 1/ (k 1)/, cocluímos que (1 + β)c β ( ) k 1 p.

28 18 LEMA DE CONTAGEM PARA HIPERGRAFOS PSEUDOALEATÓRIOS 3. Potato, S 1 ( V G k 1) ( ) N(S1 ) β Paa limita o temo emaescete, defia e também defia ( ) (( ) ) p. (3.13) k 1 A = { (( ) VG ) {S 1, S } k 1 : N(S 1 ) N(S ) (1 + β)p }, B = { (( ) VG ) {S 1, S } k 1 : N(S 1 ) N(S ) > (1 + β)p }. Note que ( ) N(S1 ) N(S ) = {S 1,S } ( ( V G k 1) ) {S 1,S } A + {S 1,S } B ( ) N(S1 ) N(S ) ( ) N(S1 ) N(S ). Aplicado o Lema 3.10 com paâmetos ε = β, = e b = (1 + β)p, obtemos {S 1,S } A ( ) N(S1 ) N(S ) 1 ( ) ( (1 + β)p ) k 1 ( ) (( ) ) (1 + β)3 p. k 1 (3.14) Po (3.), (3.4) e pelo Lema 3.10 aplicado com paâmetos ε = β, = e b = Cp, S 1,S B ( ) N(S1 ) N(S ) β ( k 1 β(1 + β)c ) ( Cp ) ( ) (( k 1 ) p ). (3.15) Substituido (3.13), (3.14) e (3.15) em (3.1), obtemos {u,v} ( V G ) N(u) N(v) ( ( ) (( ) β + (1 + β) 3 + β(1 + β)c ) )p k 1 ( ) (( ) ) (1 + γ) p, k 1 (3.16) ode a última desigualdade segue da escolha de β. Equações (3.11) e (3.16) podem se vistas como as codições equeidas pelo Lema 3.8.

29 3.3 LEMA DE EXTENSÃO E COROLÁRIOS 19 Assim, cocluímos que, paa mais de (1 δ) ( ( ) ) paes de vétices {u, v} VG, temos ( ) ( ) N(u) N(v) p < δ p. k 1 k Lema de Extesão e cooláios Nesta seção, euciamos e povamos um esultado que chamamos de Lema de Extesão. Desse lema, deivamos dois cooláios, esseciais paa a pova do Lema Lema de Extesão Pimeiamete, defiimos algus coceitos e euciamos o lema. Feito isso, povamos dois esultados que, jutos, compõem a pova do Lema de Extesão, que é apesetada o fial desta subseção. Cosidee hipegafos k-uifomes G e H. Dadas sequêcias F = (f 1,..., f l ) V H l e X = (x 1,..., x l ) V G l, defia I(H, G, F, X) como o cojuto das imesões f I(H, G) tais que f(f i ) = x i paa todo 1 i l. Ademais, escevemos Y co = {y 1,..., y l } paa o cojuto dos vétices que fazem pate da sequêcia Y = (y 1,..., y l ). Dizemos que um subcojuto V V H é estável se ão existe aesta de H completamete cotida em V, i.e., E(H[V ]) =. Seja H um hipegafo com m vétices. Uma odeação de V H é simplesmete uma sequêcia (v 1,..., v m ) V m H. Dizemos que H é d-degeeado se existe uma odeação (v 1,..., v m ) de seus vétices de modo que d Hi (v i ) d paa todo 1 i m, ode H i = H[{v 1,..., v i }]. Nesse caso, dizemos que (v 1,..., v m ) é uma odeação d-degeeada dos vétices de H. Dada uma sequêcia F V l H, deotamos po ω(h, F ) a quatidade de aestas de H que ão estão cotidas em F co, isto é, ω(h, F ) = E H E(H[F co ]). Lema 3.13 (Lema de Extesão). Sejam G e H hipegafos k-uifomes, ode H é liea, V H = m, V G = e p = p() = e(g)/ ( ) k. Supoha que 0 l max{k, dh }, e sejam F V l H e X V l G fixos. Cosidee uma costate C > 1 e supoha que G LMT k (C, D H ). Etão I(H, G, F, X) C m l m l p ω(h,f ). Em paticula, se F co V H é estável, etão I(H, G, F, X) C m l m l p e(h). As seguites duas afimativas compõem a pova do Lema O Lema 3.14 é semelhate ao Lema 3.13, com a suposição adicioal de que existe uma odeação D H -degeeada (v 1,..., v m ) de V H tal que F co = {v 1,..., v l }. Já o Lema 3.15 cofima que tal odeação existe.

30 0 LEMA DE CONTAGEM PARA HIPERGRAFOS PSEUDOALEATÓRIOS 3.3 Lema Sejam G e H hipegafos k-uifomes, ode H é liea, com V H = m, V G = e p = p() = e(g)/ ( ) k. Supoha que 0 l max{k, dh }, e sejam F V l l H e X V G fixos. Cosidee uma costate C > 1 e supoha que G LMT k (C, D H ). Se existe uma odeação D H -degeeada v 1,..., v m de V H tal que F co = {v 1,..., v l }, etão I(H, G, F, X) C m l m l p ω(h,f ). Visão geal da demostação. Utilizamos idução em h, com l h m, paa pova que I(H h, G, F, X) C m l m l p ω(h,f ), ode H h = H[{v 1,..., v h }], de acodo com uma odeação D H -degeeada {v 1,..., v m }. Assim, como d Hh (v h ) D H, podemos usa o fato de G LMT k (C, D H ) paa limita a quatidade de imesões I(H h, G, F, X) obtidas pela extesão de imesões em I(H h 1, G, F, X), que sabemos ão se um cojuto muito gade, po cota da hipótese idutiva. Demostação. Cosidee hipegafos k-uifomes G e H, ode V H = m e H é liea, V G = e p = p() = e(g)/ ( ) k. Fixe 0 l max{k, dh }, F V l H e X V l G. Cosidee uma costate fixa C > 1 e supoha que G LMT k (C, D H ). Supoha que existe uma odeação D H -degeeada L = (v 1,..., v m ) de V H tal que F co = {v 1,..., v l }. Vamos pova po idução em h que, paa todo l h m, temos I(H h, G, F, X) C h l h l p ω(h h,f ), (3.17) ode H h = H[{v 1,..., v h }]. Se h = l, o esultado é tivial. Supoha que l < h m e que (3.17) é vedade paa valoes meoes de h. Note que d Hh (v h ) D H, dado que L é D H -degeeada. Mas sabedo que G LMT k (C, D H ), qualque imesão de a H h 1 pode se estedida paa uma imesão de H h de, o máximo, Cp d H h (v h ) maeias difeetes. Como ω(h h, F ) = ω(h h 1, F ) + d Hh (v h ), aplicado a hipótese idutiva, cocluímos que I(H h, G, F, X) Cp d H h (v h ) I(H h 1, G, F, X) Tomado h = m, a pova está temiada. Cp d H h (v h ) C h 1 l h 1 l p ω(h h 1,F ) = C h l h l p ω(h h,f ). Seja H um hipegafo liea k-uifome com m vétices e cosidee uma odeação L = (v 1,..., v m ) dos vétices de H. Dado um cojuto W V H, escevemos L \ W paa a odeação de V H \ W obtida de L após a emoção dos vétices de W. Po exemplo, se W = {v 1, v 3, v m }, etão L \ W = (v, v 4, v 5,..., v m 1 ). Dada uma sequêcia de vétices Y = (v i1,..., v il ) V l H, escevemos a sequêcia L = (v i1 v i.....v il.{l \ Y co }) paa deota a odeação L de V H obtida quado emovemos Y e a colocamos ates dos elemetos de L.

31 3.3 LEMA DE EXTENSÃO E COROLÁRIOS 1 Lema Seja H um hipegafo liea k-uifome tal que existe uma odeação d H - degeeada dos vétices de H. Supoha que 0 l max{k, d H }. Se F V H l, etão existe uma odeação D H -degeeada (v 1,..., v VH ) com F co = {v 1,..., v l }. Demostação. Po simplicidade, defia d = d H. Se D H = (H), etão qualque odeação dos vétices de H é D H -degeeada. Assim, supoha que D H = kd. Note que o esultado é tivial se F =. Desta foma, assumimos que 1 F = l max{k, d}. Seja L uma odeação d H -degeeada de V H. Tome L = (F.{L\F co }). Dado um vétice x de H, defiimos o gau à esqueda de x em L como a quatidade de aestas tal que x é o elemeto mais à dieita da aesta, levado em cota a odeação L. Deste modo, ote que o gau à esqueda de cada vétice de H em L é o máximo F + d, pois L é uma odeação d-degeeada e, pela lieaidade de H, tal vétice pode esta pesete em o máximo F aestas que cotêm vétices de F. Supoha que d > k. Assim, F d e o gau à esqueda de qualque vétice de H em L é o máximo d kd = D H, pois F d. Assim, L é uma odeação D H -degeeada de V H. Supoha que d k. Logo, F k. Potato, o gau à esqueda de cada vétice de H em L é o máximo k+d kd = D H, pois k. Assim, L é uma odeação D H -degeeada de V H. Po fim, seja d = 1. Aqui, temos F k. Note que a úica possibilidade de algum vétice x te gau à esqueda maio que kd = k em L é se x petece a uma aesta que cotém um vétice f, paa cada vétice f F, ode F = k e f é o elemeto que está mais à dieita a aesta. Mas assim, só pode existi um vétice x com essa caacteística, dado que d = 1. Etão, cosidee a odeação L = (F.x.{L \ {F co {x}}). Assim, é clao que todo vétice de H possui gau à esqueda o máximo = kd = D H. Pova do Lema de Extesão (Lema 3.13). Sejam G e H hipegafos k-uifomes ode H é liea, com V (H) = m, V (G) = e p = p() = e(g)/ ( ) k. Supoha 0 l max{k, dh }, e tome F V (H) l e X V (G) l fixos. Seja C > 1 uma costate e supoha que G LMT k (C, D H ). É fácil ve que existe uma odeação d H -degeeada L dos vétices de H. Assim, pelo Lema 3.15, sabemos que existe uma odeação D H -degeeada L = v 1,..., v m de V (H) com F co = {v 1,..., v l }. Etão, podemos aplica Lema 3.14 paa coclui que I(H, G, F, X) C m l m l p ω(h,f ) Cooláios do Lema de Extesão Dados hipegafos k-uifomes G e H, escevemos I i (H, G) paa o cojuto de imesões ão iduzidas de I(H, G). Ademais, deotamos po I id (H, G) o cojuto de imesões iduzidas

32 LEMA DE CONTAGEM PARA HIPERGRAFOS PSEUDOALEATÓRIOS 3.3 de I(H, G). O seguite cooláio limita supeiomete a cadialidade de I i (H, G), quado H é liea e G possui algumas popiedades. Cooláio Paa todos C 1, m 1, k, η > 0 e p = p() = o(1), existe 0 > 0 tal que, paa todos os hipegafos k-uifomes G e H, ode V G = e H é liea com V H = m, se G LMT k (C, D H ), E(G) k p e 0, etão I i (H, G) < η m p e(h). Visão geal da demostação do Cooláio Sabemos que qualque imesão ão iduzida mapeia pelo meos uma ão-aesta de H em uma aesta de G. Assim, aplicamos o Lema 3.13, podo F como sedo uma odeação de uma ão-aesta de H, e podo X como sedo uma odeação de uma aesta de G. Paa fializa a pova, cotamos de quatas maeias podemos escolhe tal ão-aesta de H e tal aesta de G. Demostação. Fixe C 1, m 1, k, η > 0 e tome p = p() = o(1). Sejam hipegafos k-uifomes G e H, ode V G = e H é liea com V H = m e seja 0 um iteio positivo tal que se 0 etão p() < η ( (k!) C m k( )) m 1. k Supoha que 0 e G LMT k (C, D H ) com E(G) k p. Se k > m, o esultado segue tivialmete, dado que este caso o cojuto de aestas de H é vazio. Potato, assumimos k m. Fixe uma aesta {x 1,..., x k } E(G) e uma ão-aesta {v 1,..., v k } ( ) V H k de H. Aplicamos o Lema 3.13 podo F = (v1,..., v k ) e G = (x 1,..., x k ), obtedo que o úmeo de imesões f de V H em V G tais que f(v i ) = x i paa 1 i k é limitado po cima po C m k m k p E H. Mas ote que existem o máximo k p escolhas paa {x 1,..., x k } em E(G) e o máximo ( ) m k escolhas paa {v1,..., v k } em ( ) V H k. Assim, podemos escolhe (x 1,..., x k ) e (v 1,..., v k ), espectivamete, de k! k p e k! ( ) m k maeias. Potato, I i (H, G) ( k! k p ) ( ( )) m k! C m k m k p e(h) k ( ) ) = (k!) C m k ( m k < η m p e(h), ode a última desigualdade segue da escolha de 0. p m p e(h) Sejam G e H hipegafos k-uifomes e cosidee X ( ) V H k 1. Se f é uma imesão de H em G, deotamos po f k 1 (X) a família de cojutos {f(x 1 ),..., f(x k 1 )}, paa todo {x 1,..., x k 1 } X. Paa 1 k, dado X = {X 1,..., X }, ode X i = {x i,1,..., x i,k 1 } ( ) V H k 1, paa 1 i, defiimos X co = {x 1,1,..., x 1,k 1,..., x,1,..., x,k 1 }.

33 3.3 LEMA DE EXTENSÃO E COROLÁRIOS 3 Seja G um hipegafo k-uifome com vétices. Paa 1 e δ > 0, defia (( ) VG ) B(δ, ) = X k 1 : NG (X) p δp, Em outas palavas, B(δ, ) é composto po famílias X com membos de ( ) V G k 1 tais que a quatidade de vizihos comus dos membos de X ão é póxima de p. Dizemos que X ( ) ( V G k 1) é δ-uim se X Best (δ, ), ode B est (δ, ) = {X B(δ, ): X co é estável em G }. Seja H um hipegafo com m vétices e seja (v 1,..., v m ) uma odeação d H -degeeada de V H. Defia H i = H[v 1,..., v i ]. Dizemos que uma imesão f : V (H h 1 ) V (G ) é δ-limpa se o cojuto f k 1 (N Hh (v h )) ão é δ-uim. Isto é, f k 1 (N Hh (v h )) / B est (δ, d Hh (v h )). Se f : V (H h 1 ) V (G ) ão é δ-limpa, dizemos que f é δ-poluída. Deotamos o cojuto das imesões f I(H h 1, G ) tais que f é δ-poluída po I δ pol (H h 1, G ). Similamete, deotamos po I δ limpa (H h 1, G ) o cojuto das imesões f I(H h 1, G ) tais que f é δ-limpa. Cooláio Sejam δ > 0, C > 1 e m 4 costates fixas. Cosidee um hipegafo liea k-uifome H live de coectoes com m vétices e seja (v 1,..., v m ) uma odeação d H -degeeada de V H. Supoha que 1 < h m e defia = d Hh (v h ). Se G é (C, D H, d H, δ)- pseudoaleatóio, etão I δ pol (H h 1, G ) δ (!((k 1)!) C h 1 (k 1)) h 1 p e(h h 1), ode p = e(g )/ ( ) k. Visão geal da demostação do Cooláio Se uma imesão f I(H h 1, G ) é δ- poluída, etão f k 1 (N Hh (v h )) é δ-uim. Mas podemos limita a quatidade de cojutos δ-uis utilizado a popiedade CG k δ(d H ). Desta foma, fializamos a pova utilizado o Lema 3.13, ão esquecedo que H é liea e live de coectoes, paa estima de quatas maeias podemos ealiza a imesão da vizihaça de v H em cojutos δ-uis de G. Demostação. Fixe costates δ > 0, C > 1 e m 4. Seja H um hipegafo liea k-uifome live de coectoes com m vétices e cosidee uma odeação d H -degeeada (v 1,..., v m ) de V H. Cosidee 1 < h m e defia = d Hh (v h ). Supoha que G CG k δ(d H ) e G LMT k (C, D H ). Sabemos que uma imesão f : V (H h 1 ) V (G ) é δ-poluída se f k 1 (N Hh (v h )) B est (δ, ). Fixe uma sequêcia F = (T 1,..., T ) composta de cojutos de k 1 vétices de H tal que {T 1,..., T } = N Hh (v h ) e seja F od = (u 1,1,..., u 1,k 1, u,1,..., u,k 1,..., u,1..., u,k 1 ) uma odeação de tais vétices tal que T i = {u i,1,..., u i,k 1 } paa todo 1 i. Potato, I δ pol (H h 1, G ) = X I(H h 1, G, F od, X od ), Xod