Funções analíticas complexas

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1 Capítulo 5 Fuções aalíticas complexas 5 Itodução As fuções aalíticas são as fuções epesetáveis po séies de potêcias Até meados do séc XVII a oção de fução cofudia-se com a de fómula algébica com vaiáveis, evolvedo somas, difeeças, podutos, quocietes e aíes de odes abitáias A pati da descobeta de uma séie de potêcias paa o logaitmo em 668, idepedetemete po N Mecato e W Bouce, seguiu-se um peíodo em que foam descobetos muitos desevolvimetos em séies paa fuções, omeadamete po J Gegoy 3, I Newto, GW Leibi 4, ete outos, emboa a covegêcia de séies aida ão tivesse sido toada igoosa Gegoy sugee claamete em 668 a idetificação da ideia de fução com a de fómula que evolve expessões algébicas e séies destas expessões A obteção de desevolvimetos em séies de potêcias paa cetas fuções acioais e tigoométicas, e a descobeta po Gegoy em 67 das séies de Taylo 5 de fuções, levaam a que este peíodo a oção de fução se cofudisse com a de fução aalítica, mesmo sem se dispo de um esclaecimeto cabal da covegêcia de séies Em 748, após impotates cotibuições paa o cálculo de somas de cetas séies uméicas e do compotameto assimptótico de séies divegetes (em paticula a elação do logaitmo com a séie dos ecípocos dos úmeos atuais, cohecida po séie hamóica), L Eule publicou séies de potêcias paa, ete outas, as fuções Nicholas Mecato (6-687) William Bouce (6-684) 3 James Gegoy ( ) 4 Gottfied Wilhelm Leibi (646-76) 5 Boo Taylo (685-73) 65

2 66 Fuções aalíticas complexas expoecial, seo e coseo Em 755 Eule aplicou séies de Taylo paa desevolve o seu cálculo difeecial e utiliou as séies como istumeto uificado da teoia dos úmeos e da aálise, utiliado-as paa obte popiedades de úmeos, como foi o caso do estudo da distibuição dos úmeos pimos com base a fução eta que, paa um dado valo, dá a soma da séie dos ecípocos dos úmeos atuais elevados a esse valo Em 8, C Gauss estudou sistematicamete a covegêcia da séie hipegeomética e obteve séies paa uma ampla classe de fuções O coceito de covegêcia de sucessões e séies só foi igoosamete estabelecido em 8 po AL Cauchy o seu Cous d Aalyse Algébique da École Polytechique, ode também apaece de foma claa a defiição de fução dos ossos dias, como coespodêcia uívoca ete potos de dois cojutos sem efeêcia a expessões que as defiam Cauchy cosidea esta oção de fução a popósito da oção de cotiuidade, mas ão a exploa em elação a outos cotextos, como po exemplo o de itegal B Bolao 6 já tiha cosideado esta oção de fução em 87, também a popósito do estudo da cotiuidade, as suas lições sobe fuções a Uivesidade de Paga, as quais pemaeceam a foma de mauscito até 93, altua em que foam impessas e publicadas As cosequêcias desta defiição de fução paa a itegação apaecem claamete os tabalhos de PGL Diichlet 7 de 89 e os tabalhos de B Riema de 854, a popósito do seu coceito de itegal NH Abel 8 estabeleceu em 86 que toda a séie de potêcias complexa tem um aio de covegêcia o itevalo [,+], isto é, a séie é absolutamete covegete paa potos o iteio de um cículo com esse aio e ceto o poto ode a séie de potêcias está cetada, e divege o exteio desse cículo A fómula paa calcula o aio de covegêcia a pati dos coeficietes da séie apaeceu pela pimeia ve um tabalho de Cauchy de 8, emboa teha sido povada apeas em 89 a tese de doutoameto de J Hadamad 9 Em váias situações é ecessáio calcula itegais de fuções defiidas po séies, paa o que é coveiete pode itega séies temo a temo Em 884, a popósito de uma demostação de Cauchy publicada em 84 que itegava uma séie temo a temo sem justificação, P Tchébychev obsevou que tal só ea possível em casos paticulaes Em 848, GG Stoes e P Seidel, idepedetemete, itoduiam o coceito de covegêcia uifome paa assegua a possibilidade de itegação de séies temo a temo, o qual foi depois amplamete exploado po K Weiestass As fuções aalíticas são idefiidamete difeeciáveis (potato são cotíuas bem como as suas deivadas de qualque odem) e as suas deivadas de odem abitáia 6 Bead Bolao (78-848) 7 Pete Gustav Lejeue Diichlet (85-859) 8 Niels Hei Abel (8-89) 9 Jacques Hadamad ( ) Pafuti Tchebychev (8-894) Geoge Gabiel Stoes (89-93) Philip Seidel (8-896)

3 53 Sucessões e séies de fuções uifomemete covegetes 67 são também fuções aalíticas Além disso, as epesetações em séies de potêcias de uma fução são ecessaiamete as coespodetes séies de Taylo, cujo coeficiete de cada odem é a deivada dessa odem da fução o poto ode a séie de potêcias está cetada dividida pelo factoial da odem Neste capítulo são estabelecidos os factos acima efeidos e algumas cosequêcias impotates, ete as quais: o cojuto dos eos de uma fução aalítica uma egião ode ão é ideticamete eo é fiito ou ifiito umeável sem potos limite a egião; o Teoema de Liouville 3, povado em 844 po Cauchy o caso geal e um caso paticula po Liouville (fuções aalíticas limitadas em todo o plao complexo são ecessaiamete costates); o Teoema de Uicidade de Fuções Aalíticas (fuções aalíticas uma egião que coicidem um cojuto com um poto limite são ecessaiamete iguais), o Picípio do Módulo Máximo (o módulo de uma fução aalítica uma egião ão pode te máximos locais a ão se que seja costate) e o coespodete esultado paa míimos (o módulo de uma fução aalítica uma egião ode ão é costate só pode te míimos locais em potos ode se aule) Estes tês esultados apaeceam em 85 a tese de doutoameto de B Riema 5 Sucessões e séies de úmeos complexos Uma sucessão de úmeos complexos { } é uma fução de N {} em C, α Com ( x, y ), di-se que a sucessão { } é covegete se são covegetes as sucessões de úmeos eais { x } e { y } cujos temos são, espectivamete, as pates eais e imagiáias dos temos de { } Em caso de covegêcia, o limite da sucessão { } é o úmeo complexo cujas pates eal e imagiáia são, espectivamete, os limites das sucessões de úmeos eais { x } e { y } sulta destas defiições que as popiedades usuais dos limites de somas, podutos e quocietes de sucessões de úmeos eais também se veificam paa sucessões de úmeos complexos Di-se que uma sucessão de úmeos complexos { } é uma sucessão de Cauchy se qualque que seja ε > existe M N tal que +m < ε, paa todo,m N com > M Como paa (x, y ) se veifica + m x+ m x + y + m y, coclui-se que { } é uma sucessão complexa de Cauchy se e só se as sucessões eais das suas pates eal e imagiáia, { x } e { y }, são sucessões de Cauchy Em R todas as sucessões de Cauchy são covegetes paa úmeos eais, isto é, R é um espaço completo Coclui-se que também em C todas as sucessões de Cauchy são covegetes paa úmeos complexos e, potato, C é um espaço completo Di-se que uma séie de úmeos complexos, com ( x, y ), é covegete se as séies das suas pates eal e imagiáia, espectivamete x e y, são covegetes; caso cotáio di-se que a séie é divegete Em caso de covegêcia, chama-se limite ou soma da séie ao limite S da 3 Joseph Liouville (89-88)

4 68 Fuções aalíticas complexas sucessão das suas somas paciais S N e esceve-se S x + i y As sucessões de temos de séies de úmeos eais covegetes covegem ecessaiamete paa eo Potato, se a séie de úmeos complexos é covegete, temos x, y, e, em cosequêcia, N Di-se que uma séie de úmeos complexos, com ( x, y ), é absolutamete covegete se a séie eal dos valoes absolutos dos seus temos é covegete Tal como paa séies eais, a covegêcia absoluta de uma séie implica a sua covegêcia (simples) Na vedade, é x, y, pelo que a covegêcia da séie de úmeos eais implica a covegêcia absoluta das séies de úmeos eais x e y Como as séies de úmeos eais que são absolutamete covegetes são (simplesmete) covegetes, coclui-se que as duas últimas séies são covegetes e, potato, também é covegete 53 Sucessões e séies de fuções uifomemete covegetes Di-se que uma sucessão de fuções complexas { f } defiidas em cojutos U C é uma sucessão uifomemete covegete um cojuto U C se paa cada U a sucessão de úmeos complexos { f ()} é covegete e, desigado po f () o limite desta sucessão, veifica-se paa todo ε > que existe N N tal que U U e f ) f ( ) < ε, paa > N e U (ou seja, a desigualdade f ( ) f () < ε( pode se uifomemete asseguada paa todos os potos U, desde que > N ) Di-se que uma séie de fuções f ( ) é uma séie uifomemete covegete um cojuto U C se a sucessão das suas somas paciais, S ( ) f ( ), é uifomemete covegete em U { } f U C com f f uifomemete um cojuto U C, e um camiho fechado seccioalmete egula em U Etão f é cotíua em U e f f Dem Seja ε > abitáio Existe N N tal que U U e f ( ) f ( ) < ε paa todo > N, U Etão, paa > N e, U, veifica-se f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) + f ( ) f ( ) + f () f ( ) < ε + f () f ( ) + ε Como f é cotíua em U U, faedo e otado que ε > é abitáio, coclui-se que lim f ) f ( ) e, potato, f é cotíua em todo U ( Paa todo > N, U, desigado po L o compimeto do camiho, veifica-se Os limites de sucessões e séies uifomemete covegetes um cojuto U C cujos temos são fuções cotíuas em U são fuções cotíuas este cojuto e podem se itegadas sobe camihos seccioalmete egulaes o cojuto, temo a temo, como se estabelece os dois esultados seguites (5) Teoema: Seja uma sucessão de fuções cotíuas em cojutos abetos f ( f ( ) f ( ) ) d f ( ) f ( ) d ε L f ( ) d ( ) d Como ε > é abitáio, coclui-se que f QED f

5 53 Sucessões e séies de fuções uifomemete covegetes 69 (5) Teoema: Seja f ( ) f ( ) uma séie de fuções cotíuas uifomemete covegete um cojuto U C e um camiho seccioalmete egula em U Etão f é cotíua em U e f ( ) d f ( ) d Dem O esultado é cosequêcia imediata do teoema ateio, aplicado à sucessão cujos temos são as somas paciais da séie, S f, com U U QED 54 Séies de potêcias complexas As séies de potêcias complexas são da foma (53) c ( a), com, a, c C, paa N {} Os coeficietes da séie de potêcias são os úmeos c e di-se que se tata de uma séie de potêcias cetada o poto a Com os úmeos a e c, com N {}, fixos, se C C desiga o cojuto de potos paa os quais a séie (53) covege, a soma da séie defie uma fução S : C C, tal que S( ) c ( a) O esultado seguite estabelece que paa cada séie de potêcias complexa cetada um poto a existe um cículo abeto cetado este poto, B R com R >, em cujo iteio a séie covege e em cujo exteio divege, ou etão a séie covege em todo o plao complexo (desigado B + C, este caso temos covegêcia em B + ), ou covege paa a e divege em C \{ a} A covegêcia é uifome em cada cículo fechado cetado em a e cotido em B R (54) Poposição: Paa cada séie de potêcias complexa cetada um poto a C, da foma (53), com lim c fiito e R / lim c em que se cosidea R + se este limite é eo, veifica-se: ) A séie é uifomemete covegete em qualque cículo fechado B, com < R, ) A séie é absolutamete covegete paa todo B, 3) A séie é divegete paa todo C \ B R ( a) Dem O esultado baseia-se as ideias do teste da ai paa a covegêcia de séies, o qual, po seu lado, se baseia as popiedades de covegêcia de pogessões geométicas de úmeos eais, omeadamete a sua covegêcia quado a aão é ifeio a e divegêcia quado a aão é supeio a ) Seja ' um úmeo eal abitáio tal que < < ' < R Veifica-se ( / R ) < / ' e, como / R lim c, existe M N tal que > M implica c / < / ' Potato, paa B é a e c a ( / '), paa > M A séie ( / ' ) é uma pogessão geomética de aão / ' <, pelo que é covegete Em R

6 7 Fuções aalíticas complexas cosequêcia, a séie c ( ) é absolutamete covegete paa um úmeo que a desigamos po S() Com S ( ) N c ( a) e B, paa N > M veifica-se N ( / ') a N + S( ) S N () c ( a) c N + N + N + ' ( / ') O lado dieito da desigualdade ateio pode se feito abitaiamete pequeo tomado N suficietemete gade (idepedetemete de B ) Coclui-se que a séie c ( a) é uifomemete covegete em B, paa < R ) Ficou povada o cuso da demostação de ) 3) Se C \ B R é a > R Seja ρ um úmeo eal abitáio tal que R < ρ < a Veifica-se / ρ </ R e, como / R lim c, existem úmeos atuais c / > abitaiamete gades tais que / ρ Potato, c( a) > ( a / ρ) > paa um úmeo ifiito de temos, pelo que a sucessão de temos c ( a) ão covege paa eo e, em cosequêcia, a séie c ( a) é divegete QED Chama-se aio de covegêcia da séie de potêcias (53) a R / lim c, cosideado R + se o limite é eo e R se o limite é ifiito No caso em que lim c é ifiito, a séie divege em C \ { a} poque os potos deste cojuto os temos da séie ão covegem paa eo, e covege tivialmete em a paa eo pois os seus temos são, esse caso, ideticamete ulos Ao cículo B R chama-se cículo de covegêcia da séie Em potos da foteia deste cículo pode-se, em geal, te covegêcia ou divegêcia de acodo com a séie específica que se cosidee Veifica-se, também, que o aio de covegêcia da séie (53) satisfa R / lim c + / c, quado este limite existe Na vedade, se lim c + / c existe e tem + o valo L, etão lim c+ ( a) / c ( a) L a O teste da aão paa séies eais implica que a séie c ( ) a é covegete paa L a < e é divegete paa L a >, pelo que da poposição pecedete esulta lim c / c L / R A covegêcia uifome em cículos fechados B, com < < R e R igual ao aio de covegêcia de uma séie de potêcias cetada um poto a, estabelecida o teoema ateio, cojugada com o teoema (5) gaate que a soma da séie defie uma fução cotíua em B R cujos itegais em camihos seccioalmete egulaes em cículos B, com < < R, podem se calculados itegado a séie temo a temo, o que é usado mais abaixo paa pova que as fuções holomofas são sempe epesetáveis po séies de potêcias + 55 Fuções aalíticas Di-se que uma fução complexa f defiida um cojuto abeto Ω C é uma fução aalítica 4 em Ω se paa cada cículo abeto ( a) Ω (Figua 5) existe uma 4 Algus autoes pefeem defii fução aalítica como fução difeeciável, idetificado a pópia defiição as oções de aaliticidade e holomofia Pefeimos, cotudo, a defiição de aaliticidade pela existêcia de epesetações em séies de potêcias, seguido a opção de Kal Weiestass (85-897) e B

7 57 Fómula de Paseval paa séies de potêcias complexas e cosequêcias 7 séie de potêcias cetada em a, c ( ) a, cuja soma é f (), paa cada B Assim, as fuções aalíticas são as fuções epesetáveis po séies de potêcias a B Ω Figua 5: Aaliticidade de f em Ω : a séie de Taylo em a covege paa f em É clao que o cojuto das fuções aalíticas é um espaço liea complexo com a soma e a multiplicação po escalaes complexos usuais O esultado seguite dá uma classe de fuções aalíticas defiida po itegais que usaemos em váias situações No capítulo seguite estabelece-se que também são aalíticas as fuções obtidas po limites de sucessões e séies de fuções aalíticas uifomemete covegetes em subcojutos compactos do domíio da fução defiida pelo limite Como cosequêcia, obseva-se que este pocesso de passagem ao limite de sucessões e séies de fuções, que aplicado ao cojuto das fuções poliomiais o estede defiido o cojuto das fuções aalíticas, quado aplicado a este cojuto ão codu a uma ova extesão (55) Poposição: Seja Ω C um cojuto abeto, um camiho seccioalmete egula em C e g uma fução complexa defiida e absolutamete itegável sobe Etão a fução f defiida po w) f ( ) dw w é aalítica em Ω \ * e tem, em cada cículo abeto B ( a) Ω \ *, a epesetação em séie de potêcias + w) f ( ) dw ( a B ( w a) ), paa + Dem Cosidee-se um cículo abeto abitáio B ( a) Ω\ * Como ( a) /( w a) a / < paa B e w *, paa cada B fixo a séie geomética w α ( a) + ( w a) w covege uifomemete em * Fixa-se B S ( w ) /( w a) + e defie-se N ( a) e S( w) /( w ) Paa cada ε > existe M N tal que S N (w) S(w) < ε paa todo N > M, w *, e veifica-se S ( w) w) dw S(w) w) dw S ( w) S( w) w dt ε g N N ) Logo, + w) w) f ( ) dw dw ( a) w ( w a), B +, pelo que f é aalítica em B Potato f é aalítica em Ω \ * QED de Élie Cata (869-95) que se idetifica com a cosideação de fuções dadas po limites de sucessões de fuções poliomiais N B

8 7 Fuções aalíticas complexas O esultado seguite estabelece que as fuções aalíticas são idefiidamete difeeciáveis e que as suas deivadas são dadas pelas séies de potêcias que se obtêm deivado temo a temo a séie que dá a fução (56) Teoema: Se f é uma fução aalítica um cojuto abeto Ω C, etão f é ( ) idefiidamete difeeciável em Ω (em paticula f H (Ω) ) e as deivadas f, N, também são aalíticas em Ω Além disso, se (57) f ( ) c ( a), paa B Ω, etão (58) (59) f ( )! ( ) c ( a ( )! ) ( ) f ( a) c!, paa N, B, e Dem O aio de covegêcia da séie (57) é R / lim c e os aios de covegêcia das séies (58) são R / lim c!/( )! Como 5 lim! /( )!, os aios de covegêcia de todas as séies cosideadas o euciado são iguais, R paa N R Se povamos que a fução f é holomofa e a sua deivada é dada pelo caso paticula da fómula (58) paa, obtêm-se os esultados paa as deivadas de odem supeio po aplicação sucessiva do esultado paa a pimeia deivada A fómula (59) obtém-se diectamete de (58) tomado a Fixa-se BR ( a) e tal que < R Cosidea-se e w B ( a) \ ) defiida pela fómula (58) com, isto é, ) c ( a) Sem peda de geealidade, pode-se cosidea a (esta situação pode se sempe obtida po mudaça de vaiáveis ' a, w ' w a ) Obtém-se f ( w) f ( ) w ) c w w Paa a expessão ete paêteses esta fómula é eo Paa veifica-se 3 w ( w )( w + w + w + Κ + w + ) e, potato, w w w Po outo lado, ( w ) w w < {} w j ( j + ) w j j j w ( ) + w w 5 Veifica-se <!/( )! <, <!/( )! <, lim, lim i j i j w j j

9 57 Fómula de Paseval paa séies de potêcias complexas e cosequêcias 73 Cojugado estas fómulas, obtém-se f ( w) f ( ) ) w c w ( ) w w c w c Como < R e lim c ( ) / lim c, coclui-se que a séie o último temo da expessão ateio é covegete Faedo w, este temo covege paa eo, pelo que f () existe e f ( ) ) c ( a), o que coclui a demostação QED O teoema ateio estabelece que paa uma fução se epesetável po uma séie de potêcias cetada um poto a C tem de se idefiidamete difeeciável, e a séie que a epeseta é a sua séie de Taylo cetada o poto a, ( ) f ( a) ( a)! É possível te séies de Taylo de fuções eais idefiidamete difeeciáveis que ão covegem paa essas fuções, ou seja, há fuções eais idefiidamete difeeciáveis que ão são aalíticas Ve-se-á o capítulo seguite que tal ão pode acotece paa fuções complexas Paa estas fuções até basta existi a pimeia deivada um cojuto abeto paa que a fução seja idefiidamete difeeciável e aalítica esse cojuto 56 Zeos de fuções aalíticas complexas O esultado seguite estabelece que o cojuto Z( f ) dos eos de uma fução f aalítica uma egião que ão é ideticamete eo é um cojuto de potos isolados e cada eo tem uma odem ou multiplicidade, isto é, um úmeo m N que é o meo iteio positivo paa o qual a deivada de odem m da fução esse eo ão se aula (5) Teoema: Se f é uma fução aalítica uma egião Ω C ode ão é ideticamete eo, etão Z( f ) ão tem qualque poto limite em Ω, isto é, ão existe qualque sucessão { } de potos de Z ( f ) \ {} tal que Ω, Z( f ) K é fiito paa todo K Ω compacto, Z ( f ) é fiito ou ifiito umeável, e a cada a Z( f ) m coespode um úico m N tal que f () ( a) ), paa todo Ω, com g aalítica em Ω e g O úmeo m é a odem do eo a de f Dem Seja A o cojuto de todos os potos limite de Z( f ) em Ω Como f é cotíua em Ω, veifica-se A Z( f ), pelo que todos os potos limite de A lhe petecem e, potato, A é um cojuto fechado Tome-se a Z( f ) e > tal que B Ω Como f é aalítica em Ω, tem epesetação em séie de potêcias f ( ) c ( a), paa B Há etão duas possibilidades: (i) c paa todo N, ou (ii) existe um meo iteio m N tal que c No pimeio caso, ( a) A e a it A No segudo caso, defie-se m B

10 74 Fuções aalíticas complexas ( a) ) cm ( {}) m f ( ), se Ω \ {} a, se a É clao que g H Ω \ a e g ( ) c + ( ) m a, paa B Potato, g é aalítica em Ω e a) cm A cotiuidade de g gaate que existe uma viihaça de a ode g ão se aula Segue-se que a é um poto isolado de Z( f ), m pois f () ( a) ), paa Ω Coclui-se que se a A teá de se veifica o pimeio caso acima cosideado e, potato, A é um cojuto abeto Como, este caso, A é um cojuto abeto e fechado, com B Ω \ A tem se Ω A B, com A, B abetos e disjutos Como Ω é um cojuto coexo, tem de se A Ω ou A No pimeio destes casos f é ideticamete eo em Ω No segudo caso Z( f ) tem um úmeo fiito de potos em cada subcojuto compacto de Ω, dado que toda a sucessão de potos um cojuto compacto tem pelo meos um poto limite esse cojuto Como toda a egião Ω C é uma uião umeável de uma família expasiva de cojuto compactos 6 Ω K, K+ K paa N, coclui-se que ou Z( f ) é fiito ou é ifiito umeável m Pova-se po idução que as deivadas de qualque odem de f ( ) ( a) ) ( ) m m + satisfaem, paa N, m, f ( ) ( m!/( m )! )( a) ) + ( a) h ( ), ( ) ode as fuções h são aalíticas em Ω sulta que f ( a) paa < m e ( ) ( ) f m ( a) m! a) Potato, m é o meo N paa o qual f ( a) QED Uma cosequêcia imediata deste teoema é o esultado seguite estabelecido po Riema em 85 (5) Teoema de uicidade de fuções aalíticas: Se f, g são fuções aalíticas complexas uma egião Ω C e f g um cojuto com um poto limite em Ω, etão f g em Ω Dem Nas codições da hipótese f g é aalítica e Z( f g) tem um poto limite em Ω sulta do teoema ateio que Z( f g) Ω e, potato, f g em Ω QED O esultado ateio gaate que uma fução aalítica uma egião fica uivocamete detemiada pelos seus valoes em qualque cojuto que teha pelo meos um poto limite da sua egião de aaliticidade Tata-se de um impotate esultado de uicidade Uma cosequêcia é que duas fuções difeetes aalíticas uma egião Ω C só podem coicidi um úmeo fiito de potos em cada subcojuto compacto de Ω, e um cojuto umeável de potos de Ω Note-se que o esultado pode falha se o cojuto de aaliticidade cosideado ão é coexo 6 Ve os execícios do apêdice II

11 57 Fómula de Paseval paa séies de potêcias complexas e cosequêcias Fómula de Paseval paa séies de potêcias complexas e cosequêcias Nesta secção obtêm-se popiedades impotates de fuções aalíticas complexas que podem se povadas com base a Fómula de Paseval 7 paa séies de potêcias complexas 8, segudo a qual a média quadática da soma de uma séie de potêcias sobe uma cicufeêcia de aio ifeio ao aio de covegêcia da séie é igual à soma dos quadados dos módulos dos temos da séie um poto da cicufeêcia (5) Teoema (Fómula de Paseval paa séies de potêcias): Se f ( ) c ( a) paa B, ode R é o aio de covegêcia da séie, e < < R, etão π π π R f ( a + e ) dθ Dem Defie-se 9 ( ) ( + ) g θ f a e c e Paa < R fixo, esta séie é uifomemete covegete paa θ [ π, π ] Cosidea-se o poduto iteo paa fuções cotíuas em [ π, π ] defiido po π < ϕ, ψ > ( / π ) ϕ( θ ) ψ ( θ ) dθ Das popiedades do poduto iteo e da π possibilidade de itega temo a temo séies uifomemete covegetes (teoema (5)), obtém-se π m imθ f ( a + e ) dθ < g, g > < c e, cm e > π π c, m visto que π π imθ imθ < e, e > e e dθ e π π π π c m + m i( m) θ c < e, e dθ m imθ,, > se se c m m, QED É útil dispo de majoações simples paa as deivadas de qualque odem de fuções aalíticas, como as dadas pelo esultado seguite de Cauchy que é uma cosequêcia diecta da Fómula de Paseval paa séies de potêcias obtida o teoema ateio 7 Ma-Atoie Paseval ( ) 8 Tata-se de um caso paticula da Fómula de Paseval válida em espaços lieaes complexos com poduto iteo que estabelece a igualdade ete o quadado da oma de um vecto e a soma dos quadados dos valoes absolutos das compoetes do vecto um sistema otoomal, geealiado o Teoema 9 de Pitágoas paa tiâgulos É de ota que, com ( x, y ) c, esta séie é uma séie tigoomética complexa, cujas pate eal e imagiáia são séies tigoométicas eais: ( c e x cos θ y si θ ) + i ( x si θ + y cos θ ))

12 76 Fuções aalíticas complexas (53) Estimativas de Cauchy: Se f é uma fução aalítica um cículo abeto B R e f ( ) M paa BR, etão ( )! M f ( a), paa N R Dem Paa < < R, obtém-se da Fómula de Paseval paa séies de potêcias (5) π c f ( a + e ) d M θ π π Potato c M e c M / Como < R é abitáio, veifica-se c M / R Da fómula (58) estabelecida o teoema (54), obtém-se ( )! M f ( a)! c, paa N QED R Uma outa cosequêcia diecta da Fómula de Paseval paa séies de potêcias é que as fuções aalíticas em C limitadas são ecessaiamete costates (54) Teoema de Liouville: Uma fução aalítica em C limitada é costate Dem Supõe-se f ( ) M paa C Como f é aalítica em C, pode se epesetada em séie de potêcias po f ( ) c sulta da Fómula de Paseval paa séies de potêcias (5) que π c f ( a + e ) d M θ, paa todo > π π Tal só é possível se c paa todo N, ou seja se f é costate QED É também cosequêcia diecta da Fómula de Paseval paa séies de potêcias o esultado seguite que estabelece que o módulo de uma fução aalítica uma egião Ω C ão pode te máximos locais a ão se quado a fução é costate (Figua 5) Este esultado apaece pela pimeia ve povado a tese de doutoameto de B Riema, em 85, com uma demostação difeete da que se segue (55) Picípio do Módulo Máximo: Se f é uma fução aalítica uma egião Ω C, etão f ão tem máximos locais em Ω a ão se que seja costate em Ω Se K Ω é um cojuto limitado e fechado e f ão é costate este cojuto, etão o máximo de f em K é assumido em potos da foteia deste cojuto Dem Seja B um cículo fechado cotido em Ω tal que f ( a + e ) f ( a), paa todo θ [, π ] Como f é aalítica em Ω, pode se epesetada em séie de potêcias po f ( ) c ( a), paa B sulta da Fómula de Paseval paa séies de potêcias (5) que π c f ( a + e ) d f ( a) c θ π π Potato, c paa todo N, o que implica f ( ) co f ( a) paa B sulta do Teoema da Uicidade de fuções aalíticas (5) que f é costate em Ω

13 57 Fómula de Paseval paa séies de potêcias complexas e cosequêcias 77 A fução f é uma fução cotíua o cojuto compacto K, pelo que assume um valo máximo este cojuto Este valo ão pode ocoe em potos iteioes a K poque, etão, f teia máximos locais esses potos de Ω, o que ão pode acotece Potato, o valo máximo é assumido em pelo meos um poto da foteia de K QED É de ota que o Picípio do Módulo Máximo pode se diectamete demostado paa fuções holomofas uma egião Ω C com base a Popiedade de Valo Médio (43), a qual implica f ( a) ( /(π )) f ( a + e ) dθ desde que B Ω Na vedade, se f tem um máximo local em a Ω existe um cículo abeto B R ode f f Se existissem < < R e θ [, π ] tais que f ( a + e ) < f paa θ θ, po cotiuidade, esta desigualdade também se veificaia paa valoes de θ uma viihaça de θ pelo que a média de f a cicufeêcia de ceto a e aio seia meo do que o valo f, em cotadição com a Popiedade de Valo Médio Coclui-se que f f ( a) o cículo abeto B R Do teoema (3) esulta que f é costate em BR O esto pova-se como o fial da demostação ateio Po outo lado, o módulo de uma fução aalítica uma egião Ω C ode ão é costate só pode te míimos locais em potos ode se aule (Figua 5) f Ω Figua 5: Ilustação do Picípio do Módulo Máximo em egiões e do seu cooláio paa míimos (56) Cooláio: Se f é uma fução aalítica uma egião Ω C, etão f apeas tem míimos locais em potos de Ω ode se aula ou f é costate em Ω Se K Ω é um cojuto limitado e fechado e f ão é costate em tem eos este cojuto, etão o míimo de f em K é assumido em potos da foteia de K Dem Os potos ode f se aula são claamete míimos locais de f Do teoema (5) sabe-se que há duas situações possíveis paa o cojuto Z( f ) dos eos de f em Ω : (i) Z ( f ) Ω, ou (ii) Z( f ) ão tem potos limite em Ω Na pimeia situação, f tem míimo local igual a eo em todos os potos de Ω Na seguda situação, Z( f ) é um cojuto fechado e Ω ' Ω \ Z( f ) é um cojuto abeto Se A, B são cojutos disjutos fechados elativamete a Ω' tais que Ω ' A B, obtém-se que A Z( f ) e B são cojutos disjutos fechados elativamete a Ω e Ω ( A Z( f )) B Como Ω é um cojuto coexo, tem de se B ou B Ω Isto implica que Ω ' é um cojuto coexo que, como é abeto, é uma egião em C Como f ão se aula a egião Ω', o Picípio do Módulo Máximo (55) pode se aplicado a / f e obtém-se que / f ão

14 78 Fuções aalíticas complexas tem máximos locais (e equivaletemete f ão tem míimos locais) em Ω', a ão se que seja costate este cojuto A fução f > é uma fução cotíua o cojuto compacto K, pelo que assume um valo míimo este cojuto Este valo ão pode se assumido em potos iteioes a K poque, etão, f teia míimos locais difeetes de eo esses potos de Ω, o que ão pode acotece Potato, o valo míimo é assumido em pelo meos um poto da foteia de K QED Execícios 5 Pove: Uma fução f aalítica em C que satisfa f ( ) <, paa algum N e todo C tal que é suficietemete gade, é ecessaiamete poliomial 5 Desevolva /( + ) em séie de potêcias de ( a), com a R, e detemie os coespodetes aios de covegêcia 53 Seja f ( ) a, ode a séie tem aio de covegêcia R >, e S Pove ( ) a π θ que o míimo do desvio quadático médio (/ π ) f ( e ) P( e i ) dθ, ode P é um poliómio de gau N, é a+ e é assumido se e só se P S 54 Detemie todos os valoes de C paa os quais a séie dada é covegete: a) b) / c) / d) e) f) e + 55 Calcule o aio de covegêcia da séie dada, paa C e N:! (! ) a) ( / ) b) c) ( ) d) ( ) e) f) ( )! 3 56 Moste que se f é aalítica uma viihaça da oigem, etão existe N tal que f( / ) ( ) / 57 Pove: Se f e g são fuções aalíticas uma egião de C ode fg, etão pelo meos uma das fuções é eo a egião 58 Pove: Se f, g e f g são fuções aalíticas uma egião de C, etão f é costate ou g é eo a egião 59 Pove: Uma fução iteia tal que a sua epesetação em séie de potêcias cetada em qualque poto de C tem pelo meos um coeficiete igual a eo é ecessaiamete poliomial 5 Pove: Se f e g são fuções aalíticas um cículo abeto B e cotíuas o seu fecho que ão se aulam o iteio desse cículo e f g a cicufeêcia B, etão f λg em B paa algum λ C com λ 5 Pove: Se f é aalítica em B ( a) e f f ( a ) < f em B \{ a}, etão f é ijectiva em B ) Execícios com aplicações a hidodiâmica, electoestática e popagação de calo em equilíbio 5 Cosideam-se escoametos hidodiâmicos plaos estacioáios, soleoidais e iotacioais (execício 3) com potecial de campo de velocidades ϕ, fução de coete ψ e potecial complexo f ( ϕ, ψ ) Como obsevado o execício 3, todas estas situações de hidodiâmica coespodem a situações de electoestática Em paticula, as alíeas deste execício coespodem aos campos elécticos de: um filameto coduto cilídico caegado pepedicula ao plao a oigem, (b) um pa de filametos codutoes cilídicos caegados pepediculaes ao plao a oigem e siméticos, (c) um dipolo bifila eléctico pepedicula ao plao a oigem, (d) um filameto coduto cilídico caegado pepedicula a um semiplao limitado po um isolado eléctico pefeito plao, (e) um pa de filametos codutoes cilídicos pepediculaes ao plao a oigem com cagas iguais, sobeposto a um campo eléctico uifome ou, em alteativa, o esultado de um campo eléctico uifome o ifiito a peseça de um isolado eléctico pefeito cilídico pepedicula ao plao e com secção igual à oval de Raie, (f) um dipolo bifila eléctico pepedicula ao plao a oigem sobeposto a um campo eléctico uifome ou, em alteativa, o esultado de um campo eléctico uifome o ifiito a peseça de um isolado eléctico pefeito cilídico de evolução pepedicula ao plao, (g) uma coete eléctica costate um filameto ectilíeo pepedicula ao plao, (h) um cato defiido po dois semiplaos isoladoes elécticos pefeitos itesectado-se ao logo de uma ecta pepedicula ao plao a oigem Podem-se obte outas situações de electoestática tocado isoladoes com codutoes e fuções poteciais com fuções de coete Também se obtêm situações de popagação de calo em equilíbio, substituido o potecial da velocidade po tempeatua e as lihas de fluxo de fluido po lihas de fluxo de calo

15 57 Fómula de Paseval paa séies de potêcias complexas e cosequêcias 79 a) Fote ou sumidouo Uma fote, ou um sumidouo, é uma sigulaidade potual da qual adiam lihas de coete (ψ costate) e em too da qual as equipoteciais do campo de velocidades (ϕ costate) são ciculaes Moste que um potecial complexo paa uma fote de magitude Q e fluxo simético em elação à sigulaidade situada a oigem é (Figua 53) f ( ) ( Q/(π )) log b) Sobeposição de fote e sumidouo Moste que um potecial complexo de um fluxo esultate da sobeposição liea de uma fote e um semidouo de magitudes ±Q situados, espectivamete, os potos ± e, com,θ R, é (Figua 54) f () ( Q /(π )){lo e ) lo + e )} c) Dipolo Chama-se dipolo ao limite do pa fote-sumidouo da alíea ateio, quado e Q / π m é costate Moste que um potecial complexo é f ( ) m e / (Figua 55) θ θ Figua 53: Fote ou sumidouo Figua 54: Fote e sumidouo Figua 55: Dipolo (com ivesão de setido) d) Fote peto de paede Moste que um potecial complexo de um fluxo o semiplao complexo supeio esultate de uma fote de magitude Q situada o poto ia do eixo imagiáio (o eixo eal é uma paede, ie, a compoete da velocidade a diecção omal ao eixo eal é eo os potos deste eixo) é, paa x, y R, y > (Figua 56) x + ( ) f ( x + iy) ( Q /(4π )){lo y a )( x + ( y + a) ) + i (acta(( y a) / x) + acta(( y + a) / x)} (Sugestão: Cosidee o fluxo esultate da sobeposição liea da fote dada com uma fote auxiliaque é a sua imagem simética em elação ao eixo eal Este método é cohecido po método das images) e) Oval de Raie Cosidee um escoameto esultate da sobeposição liea de uma fote e um sumidouo potuais de magitudes ± Q situados os potos ± a do eixo eal, e um fluxo uifome (velocidade ectilíea costate) de magitude V a diecção e setido do eixo eal positivo Moste que um potecial complexo é (Figua 57) f ( x + iy) { Vx + ( Q /(4π ))log{(( x + a) + y ) /(( x a) + y )}} + i { V y ( Q /(π ))acta{ ay /( x + y a )} Moste que uma das lihas de coete é uma oval Obseve que o fluxo exteio à oval de Raie é o fluxo de uma coete de escoameto em too de um obstáculo cilídico com secção igual à oval de Raie, quado a velocidade o ifiito é costate a diecção e o setido do eixo eal positivo f) Escoameto em too de obstáculo cilídico de evolução com velocidade uifome o ifiito e ciculação ula em too do obstáculo Moste que o potecial complexo de um escoameto em too de um obstáculo cilídico de evolução de eixo a oigem e aio R >, com velocidade o ifiito costate a diecção e o setido do eixo eal positivo e ciculação em too do obstáculo ula, é f ( ) V ( R + / ) (Figua 58) (Sugestão: Cosidee a sobeposição de um fluxo uifome com um dipolo a oigem a diecção do eixo eal tal que a cicufeêcia de aio R com ceto a oigem seja uma liha de coete) Figua 56: Fote peto de paede Figua 57: Oval de Raie Figua 58: Obstáculo cilídico William Joh Raie (8-87)

16 8 Fuções aalíticas complexas g) Vótice potecial Um vótice potecial é uma sigulaidade potual em too da qual as lihas de coete são cicufeêcias cetadas a sigulaidade e as equipoteciais são semiectas com oigem a sigulaidade Moste que um potecial complexo é f ( ) i ( Γ /(π )) log, ode Γ /( π ) é a magitude do vótice (Figua 59) Figua 59: Vótice potecial h) Escoametos em catos Moste que um potecial complexo paa o escoameto um cato de amplitude agula < θ < π, com vétice a oigem e um dos lados ao logo do eixo eal é π /θ f ( ) V (Figua 5) (Sugestão: Aplique uma tasfomação cofome que tasfome o semiplao supeio o cato) Figua 5: Escoametos em catos 53 Cosidee dois cilidos codutoes paalelos de secções otogoais ciculaes de aios R > pepediculaes ao plao complexo com eixos sobe os potos do eixo eal ±b com poteciais elécticos ±V Moste que as lihas de fluxo e as lihas equipoteciais do campo eléctico são como idicado a Figua 5, e que a capacidade dos codutoes po uidade de compimeto é C πε /(cosh ( b / R)) faads/meto, ode ε é a costate dieléctica do meio (Sugestão: Na alíea e) do execício ateio, obteha equações catesiaas paa as equipoteciais, obseve que são cicufeêcias e elacioe a com b e R de foma às cicufeêcias de aio R com cetos em ± b seem equipoteciais, calcule a fução de fluxo Φ εψ Calcule a caga po uidade de compimeto itegado a fução de fluxo em too de um coduto Obteha a capacidade po uidade de compimeto, dividido a caga po uidade de compimeto pelo potecial V do coduto) -V R R -b b +V Figua 5: Campo eléctico de dois codutoes cilídicos paalelos otogoais ao plao complexo