Sistemas e Sinais 2009/2010

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1 istemas Lieaes e Ivaiates o Tempo (Tasf. Laplace e Aálise Tempoal) istemas e iais 9/ LITs aálise tempoal istemas: defiições e popiedades LITs causais Resposta atual e foçada Tasfomada de Laplace uilateal istemas descitos po equações difeeciais Aálise de cicuitos elécticos o domíio s Fução de tasfeêcia Pólos e zeos estabilidade Resposta ao degau de sistemas de ª e ª odem Efeito dos zeos a esposta ao degau Resposta de sistemas de odem supeio pólos domiates i

2 istemas e iais Modelos abstactos da ealidade Pemitem estuda pocessos, feómeos, etc., atavés das elações ete as gadezas evolvidas iais Etada istema aída Opeação que pemite detemia a saída cohecedo a etada i 3 Exemplos i v( t) Ri( t) Resistêcia v v i( t) v( t) R Resistêcia i i dv( t) i ( t ) dt C v Codesado ( t) ( t T ) istema de comuicação Ideal! aceleado tavão caixa diecção Cao velocidade oietação posição teclado imagem moito Computado i 4

3 istemas (popiedades) Com memóia Há istate(s) paa o qual(is) o valo da saída depede da etada outo(s) istate(s) Causal O valo da saída em cada istate ão depede de valoes da etada em istates posteioes Ivaiâcia A saída coespodete a uma etada deslocada obtém-se deslocado a saída coespodete à etada oigial Lieaidade A saída coespodete a uma combiação liea de etada é a mesma combiação liea das saídas coespodetes a cada uma das etadas Estabilidade A saída coespodete a uma etada limitada é também limitada i 5 istemas Lieaes e Ivaiates o Tempo Lieaidade e ivaiâica i α ( t t ) α ( t t ) i i i i i i i Caacteizados pela esposta impulsioal h(t) caacteização IMPLE Relação etada-saída defiida po itegal de covolução ( t) h( t)* ( t) h( t τ) ( τ) dτ i 6 3

4 LITs causais Em cada istate, o valo da saída apeas depede de valoes da etada em istates ateioes. A esposta impulsioal satisfaz h( t), t < h( t τ ), t < τ podedo esceve-se ( t) h( t τ) ( τ) dτ h( t τ) ( τ) dτ t ou aida ( t) h( t τ) ( τ) dτ + h( t τ) ( τ) dτ t esposta a esposta a ( t) L ( t ) t t + R ( t ) t i 7 LITs causais ( t) h( t τ) ( τ) dτ + h( t τ) ( τ) dτ t útil paa detemia a esposta do sistema a uma etada aplicada o istate zeo esposta quato a etada é ula paa t> esposta atual esposta quado a etada ula paa t< esposta foçada i 8 4

5 Tasfomada de Laplace uilateal Dado o sial x(t), defie-se po st L[ x( t)] x( t) e dt Útil paa a detemiação da esposta de sistemas com codições iiciais ão ulas. No que se segue iemos sempe epeseta a tasfomada de Laplace uilateal simplesmete po L[ ] A itegação iicia-se em - de foma a cosidea evetuais impulsos em t i 9 Tasfomada de Laplace uilateal A RC (egião de covegêcia) é sempe uma faixa do plao s que se estede de um dado valo de Re(s) até + (iclusivé) σt x( t) e dt < Im t t, σ σ e σ e σ t σt x( t) e dt <, σ σ σ Re A tasfomada de Laplace uilateal de um sial é completamete caacteizada pela sua expessão Esta bem defiida desde que o cescimeto de x(t) com t seja majoado po uma fução expoecial i 5

6 T. Laplace: popiedades Lieaidade: x ( t) X ( s) x ( t) X ( s) a x ( t) + a x ( t) a X ( s) + a X ( s) + ( + ) st st + L[ a x ( t) a x ( t)] a x ( t) a x ( t) e dt a x ( t) e dt a x ( t) e dt al[ x ( t)] + al[ x ( t)] st i T. Laplace: popiedades Taslação: x( t) X ( s) x( t ) t st ( ) ( ) ( ) x t t u t t e X s L[ x( t t )] x( t t ) u( t t ) e dt st x( t t) e dt t st s( τ+ t ) x( τ) e dτ sτ e x( τ) e dτ st τ t t i 6

7 T. Laplace: popiedades Mudaça de escala: x( t) X ( s) s x( at) X a > a a L[ x( at)] x( at) e dt st sτ/ a x( τ) e dτ / a s τ x( τ) e a dτ a τ at a>: compessão da escala tempoal dilatação da escala das fequêcias a<: dilatação da escala tempoal compessão da escala das fequêcias i 3 T. Laplace: popiedades Covolução: x ( t) X ( s) x ( t) X ( s) x ( t) x ( t), t < x ( t)* x ( t) X ( s) X ( s) ( t) x ( t)* x ( t) x ( τ) x ( t τ) dτ x ( τ) x ( t τ) dτ + t st x ( ) x ( t τ st ) e dtd s( τ+α) x ( ) x ( ) e d d sτ sα x ( ) e d x( ) e d st L[ ( t)] ( t) e dt x ( τ) x ( t τ) e dτdt τ τ τ τ α α τ τ τ α α + t α t τ τ x ( τ ), τ < x ( t τ ), τ > t t i 4 7

8 T. Laplace: popiedades Modulação: x( t) X ( s) s t e x( t) X ( s s ) st st st L[ e x( t)] x( t) e e dt x( t) e X ( s s ) ( ss ) t dt i 5 T. Laplace: popiedades Deivação em s: x( t) X ( s) dx ( s) t x( t) ds d d st L[ x( t)] x( t) e dt ds ds d x st ( t ) e dt ds tx( t) e L[ tx( t)] st dt i 6 8

9 T. Laplace: popiedades Deivação em t: x( t) X ( s) dx( t) sx ( s) x( ) dt st L[ xɺ ( t)] xɺ ( t) e dt lim xɺ ( t) e dt L L L st st lim e x( t) + s x( t) e dt L x( ) + x( t) e dt st L st Aplicado epetidamete obtém-se: ɺɺ x( t) s X ( s) sx( ) xɺ ( ) 3 ɺɺɺ x ( t) s X ( s) s x( ) sxɺ ( ) ɺɺ x( )... i 7 T. Laplace: popiedades Itegação em t: x( t) X ( s) t x( τ) dτ X ( s) s t d( t) ( t) x( τ) dτ x( t) dt L[ x( t)] sl[ ( t)] ( ) sl[ ( t)] ( ) x( τ) dτ i 8 9

10 T. Laplace: popiedades Valo iicial: x( t) X ( s) lim + t x( t) existe lim x( t) lim sx ( s) + t s Valo fial: x( t) X ( s) lim t x( t) existe lim x( t) lim sx ( s) t s Estes teoemas só se podem aplica caso os limites lim x( t) + t existam, espectivamete. e lim x( t) t i 9 Algus paes sial tasfomada δ( t) u( t) s t u( t)! s + e at u( t) s + a t at e u( t)! ( s + a) + s cos( ω t) u( t) + ω s ω si( ω ) ( ) + ω e t u t s at s + a cos( ωt) u( t) ( s + a) + ω e at ω si( ω ) ( ) + + ω t u t ( s a) Em todos estes casos, e em muitos outos de iteesse pático, a tasfomada de Laplace de um sial é um quociete de poliómios em s i

11 Decomposição em facções simples P( s) ( s ρ ) ( s ρ ) ( s ρ ) σ σ σ facção pópia de dois poliómios deomiado com aízes ρ, ρ, ρ distitas de multiplicidades, espectivamete, σ, σ, σ Pode se escita como uma soma de facções simples σi Ai, k k i k ( s ρi ) A A A s ρ s ρ s ρ,,, σ σ ( ) ( ) A A A s ρ s ρ s ρ,,, σ σ ( ) ( ) + + A, A, A, σ s ρ σ ( ) ( ) s ρ s ρ ode os umeadoes são dados po σi k d σ A, ( ) i i k s ρi ( )! i k i k σ σ ds sρi i Eq. difeeciais e codições iiciais m d ( t) d ( t) d ( t) + a ( ) m ( ) + + a t b + + b t m dt dt dt Em muitas situações apeas se cohece ( t), t e os valoes (), '(), ''(),... codições iiciais Nestes casos a tasfomada de Laplace pode se aplicada com vatagem! Tasfoma a equação difeecial uma equação algébica! i

12 Aálise de cicuitos o domíio s Elemetos picipais Resistêcia i( t), I R + v( t), V Bobia i( t), I L + v( t), V v( t) Ri( t) V ( s) RI ( s) di( t) v( t) L dt V ( s) sl I ( s) Codesado i( t), I C + v( t), V dv( t) i( t) C dt I ( s) sc V ( s) i 3 Impedâcia e admitâcia Impedâcia esistêcia Z ( s) R + I V ( s) V Z Z( s) bobia Z( s) sl I ( s) codesado Z ( s) sc Admitâcia I ( s) Y ( s) Z( s) V ( s) esistêcia bobia Y ( s) Y ( s) codesado Y ( s) R sl sc i 4

13 Leis de Kichhoff Lei das tesões v ( t) + v ( t) + + v ( t) V ( s) + V ( s) + + V ( s) Associação séie I ( s) V( s) Z ( s) Z ( s ) I ( s) Zk ( s) Zeq ( s ) V ( s) Z ( s) Z ( s) + Z ( s) + + Z ( s) eq k i 5 Leis de Kichhoff Lei das coetes i ( t) + i ( t) + + i ( t) I ( s) + I ( s) + + I ( s) Associação paalelo Z ( s) I ( s ) I ( s) Z ( s) Zeq ( s ) V ( s) Zk ( s) V ( s) Z ( s) Z ( s) Z ( s) Z ( s) eq k i 6 3

14 Fução de tasfeêcia Paa um sistema causal com codições iiciais ulas tem-se ( t) g( t)* ( t) Y ( s) G( ) R( ) ( t), t < g( t) esposta impulsioal Y ( s) L [ ( t)] R( s) L[ ( t)] Y ( s) R( s) L[ g( t)] Fução de tasfeêcia pemite detemia a saída a pati da etada [ ] ( t) L L ( t) i 7 Equação difeecial FT Uma classe impotate é a dos sistemas descitos po eq. difeeciais lieaes de coeficietes costates m m d ( t) d ( t) d( t) d ( t) d ( t) d( t) a a a ( t) bm bm b b( t) dt m m dt + dt dt + dt + + dt + aplicado a T. Laplace (com codições iiciais ulas) m m ( ) ( m + m ) s a s a s a s a Y ( s) b s b s b s b R( s) obtém-se a fução de tasfeêcia m m bm s + bms + + b s + b Y ( s) R( s) s a s a s a s a que é uma fução acioal (quociete de poliómios) i 8 4

15 FT acioais Uma FT acioal pode se escita como N( s) D( s) ode N(s) e D(s) são os poliómios umeado e deomiado. m m m N( s) b s + b s + + b s + b m D( s) s + a s + a s + + a s + a poliómio caacteístico A fução de tasfeêcia é Pópia se m Estitamete pópia se > m i 9 Pólos e Zeos λ C lim O úmeo diz-se zeo de G(s) se s λ O úmeo λ C diz-se pólo de G(s) se lim s λ N( s) com N(s) e D(s) sem aízes comus: D( s) Os zeos de G(s) são as aízes de N(s) Mapa de pólos e zeos pólo zeo Im Os pólos de G(s) são as aízes de D(s) Re i 3 5

16 FT acioais epesetações alteativas Fução de tasfeêcia de odem, pópia e iedutível m m m bms + b s + + b s + b, a, m a s + a s + + a s + a Foma factoizada ( s + z )( s + z ) ( s + zm ) ( + )( + ) ( + ) K s p s p s p Foma das costates de tempo q ( + )( + ) ( + m q ) ( + τ )( + τ ) ( + τ p ) s st st st K s s s s p z i zeos p i pólos b K a m Ti, zi zi τ i, pi p i zz zm K K, zi, pi p p p i 3 FT acioais estabilidade Fução de tasfeêcia acioal N( s) ( s p ) ( s p ) ( s p ) σ σ σ N( s) poliómio umeado p i pólo de multiplicidade σ i σi Ai, k k i k ( s pi ) Resposta impulsioal decomposta em facções simples σ i Ai, k k g( t) t e ( k )! i k pit istema estável: g( t) dt < k pit t e dt < { } Re p < Im i pólos da FT com pate eal egativa pólos da FT o iteio do PE Re i 3 6

17 Resposta a siais padão Resposta ao impulso (uitáio) ( t) δ( t) [ G s ] ( t) L ( ) Resposta ao degau (uitáio) ( t) u( t) ( t) L s Resposta à ampa (uitáia) ( t) t u( t) ( t) L s i 33 Resposta ao degau Caacteísticas picipais da esposta Valo fial Valo iicial ( ) lim ( t) + t ( ) lim ( t) + t Valo iicial da + '( ) lim '( t) deivada + t ( t) u( t) R( s) s ( t) L s Teoemas do valo fial e do valo iicial (q do aplicáveis!) ( ) lim sy ( s) lim s R( s) s s lim s + ( ) lim sy ( s) lim s R( s) s s ( ) ( ) '( ) lim s sy ( s) ( ) lim s s R( s) ( ) s s lim s + ( ) lim s ( ) s i 34 7

18 Resposta ao degau Gaho estático (ou de egime pemaete) ( ) lim s Nota: e o sistema fo estável (só pólos com pate eal < ) este limite existe! ( t) u( t) ( t) L s ( s + z )( s + z ) ( s + zm ) K s + p s + p s + p ( )( ) ( ) Valo iicial + ( ) lim s Notas: se > m ( t) cotíua K se m ( t) descotíua i 35 Resposta ao degau m ( i i i i ) K z p m + '( ) K m + > m + Valo iicial da deivada ( t) u( t) ( t) L s ( s + z )( s + z ) ( s + zm ) '( + ) lim s K ( sy ( s) ( + )) lim s( ( + )) s s ( s + p )( s + p ) ( s + p ) i 36 8

19 istema de ª odem sem zeos Fução de tasfeêcia de gaho estático k ka k s + a + sτ τ a, a > costate de tempo Im Pólos: p a a Re Equação difeecial: ɺ ( t) + a( t) k a ( t) τ ɺ ( t) + ( t) k ( t) i 37 istema de ª odem sem zeos Resposta ao degau k ( t) L s L s + sτ t ( t) k e τ u( t) k kτ L s + sτ ka k s + a + sτ τ a, a > Picipais caacteísticas.9.8 ( + ).7.6 ( ) k k '( + ) τ fial (t)/k t/τ i 38 9

20 ª odem sem zeo esposta ao degau ( τ ).63 fial ( τ ).865 (3 τ ).95 fial fial (t)/k t/τ Tempo de estabelecimeto a 5% ts : t ts,.95 fial < ( t) <.5fial t τ l(.5).996τ 3τ s i 39 ª odem sem zeo esposta ao degau ka k s + a + sτ τ a, a > t ( t) k e τ u( t) esposta tato mais ápida quato mais afastado o pólo está do eixo imagiáio (t) τ aumeta a dimiui Im t a Re i 4

21 istema de ª odem com zeo Fuções de tasfeêcia de gaho estático k s/ zeo ka s + a ɺ ( t) + a( t) ka( t) Im b a Re c/ zeo z b ( ) ka s + b G s b s + a ka b ( a, b > ) ɺ ( t) + a ( t) ɺ ( t) + ka( t) ( ) s + b ( ) ( ) s G s G s G s + G ( s b b ) d( t) ( t) ( t) + b dt i 4 istema de ª odem com zeo Resposta ao degau s/ zeo ka s + a at ( ) ( t) k e, t Im c/ zeo ( ) ka s + b s + b G s G ( s b s + a b ) b a Re ( ) ( t) d t + ( t) b dt ( ) a b at ( ) ka at t k + e t + e, t b b paa a fixo, a alteação da esposta é meos sigificativa se b fo gade i 4

22 ª odem com zeo esposta ao degau Valoes caacteísticos da esposta ( ) k fial ka a ( + ) b b + k( b a) '( ) ab fial Ifluêcia do zeo é tato maio quado maio fo o quociete a/b (t)/k a.5 b a b Quato mais paa a esqueda do pólo estive o zeo, meo é a sua ifluêcia! t/τ i 43 istema de ª odem sem zeos Fução de tasfeêcia de gaho estático k ka s + bs + a ( t) u( t) ( t) L s s kω + ζω s + ω ζ coeficiete de amotecimeto ω fequêcia atual ão amotecida Pólos:, p ζω ± ω ζ Valoes da esposta ao degau (idepedetemete da localização dos pólos) ( + ) ( ) k '( + ) fial Y ( s) s s kω + ζω s + ω Teoemas dos valoes iicial e fial i 44

23 istema de ª odem: localização dos pólos ζ < pólos complexos cojugados p, j ζω ± ω ζ sistema subamotecido Im θ ω jω d θ accos ζ ζω jω d Re ω ω ζ fequêcia atual amotecida d i 45 istema de ª odem: localização dos pólos ζ Im pólo eal duplo p, ζω ω sistema citicamete amotecido ω Re ζ > Im pólos eais distitos, p ζω ± ω ζ sistema sobeamotecido p p Re i 46 3

24 ª odem sem zeos esposta ao degau Caso geal pólos difeetes kaa ( s + a )( s + a ) aa ω a + a ζω ka ka ka a k a a a a Y ( s) + + s s( s + a )( s + a ) s s + a s + a at at ( ) ( t) k + e e u( t) a a i 47 ª odem sem zeos esposta ao degau istema subamotecido ζ < ( ) ζω ( t) k e t si ω ζ t + accos ζ u( t) ζ i 48 4

25 ª odem sem zeos esposta ao degau istema subamotecido ζ <.6.4 T d.9..8 ±5% t t p i 49 ª odem sem zeos esposta ao degau istema subamotecido ζ < Tempo de pico t p ω π ζ obeelogação max fial fial e πζ ζ Peíodo da oscilação T d π π ωd ω ζ Tempo de estabelecimeto a 5% ts 3 ζω Tempo de subida.8 t ω i 5 5

26 ª odem sem zeos esposta ao degau istema subamotecido ζ <.8.6 ζ. ζ..4. ζ.4 ζ.7 (t)/k t ω i 5 ª odem sem zeos esposta ao degau istema citicamete amotecido ζ kω ( s + ω ) ω ( t) k ( + ω ) t e t u( t) i 5 6

27 ª odem sem zeos esposta ao degau istema sobeamotecido ζ > kω + ζω s + ω ka ( ) a G s s ( s + a )( s + a ) (.9.8 a a t a a ( ) t t k e e u( t) a a a a ) ( ) a ζ ζ ω a ζ + ζ ω.7.6 Im a a Re i 53 ª odem sem zeos esposta ao degau istema sobeamotecido ζ >.8 a 4a a a a.a kω ( ) kaa G s s + ζω ( s a)( s a) s + ω + + ( ) ( ) a ζ ζ ω a ζ + ζ ω Im a a (t)/k.6.4 a a Re. -e -a t À medida que os pólos se afastam, a esposta apoxima-se da esposta de um sistema de odem, com pólo igual ao pólo mais póximo do eixo a t imagiáio a >> a a é pólo domiate i 54 7

28 ª odem com um zeo pólo eal duplo fução de tasfeêcia kω ( s + b) G ( s) b( s + ω) s kω + b ( s + ω ) d( t) ( t) ( t) + b dt ω ( ) esposta ao degau ( ) / ω b ω t k t e t + u( t) b 3.5 b.ω Efeito do zeo é tato maio quato maio fo ω b.5 b.5ω bω Zeo o PD causa subelevação (udeshoot) (t)/k.5 Zeo o PE causa sobeelevação se b < ω -(+ω t)e -ω t b-ω -.5 b-.5ω ω t i 55 ª odem com um zeo pólos complexos fução de tasfeêcia esposta ao degau kω ( s + b) G ( s) b( s + ζω s + ω) d( t) ( t) ( t) + b dt s kω + b s + ζω s + ω b. ω b.5 ω exemplo paa ζ.5 Efeito do zeo é tato maio quato maio fo ω b.5 bω bω Zeo o PD causa subelevação (udeshoot) (t)/k.5 Zeo o PE causa aumeto da sobeelevação.5 b-ω esposta sem zeo ω t i 56 8

29 istemas de odem supeio fução de tasfeêcia N( s) s p s p σ ( + ) σ ( + ) esposta ao degau N( s) k R R, σ ( t) L - σ ( σ L s s p ) ( s p) s s + p σ + + ( s + p ) pt pt αt α ( ) t t k + Re + Rte + + e si( ω t + φ ) + te si( ω t + φ ) + pólos eais pólos complexos Efeito de cada pólo esíduo detemia amplitude da esposta pate eal detemia a costate de tempo i 57 istemas de odem supeio Estudo sistemático da esposta de um sistema de odem pode se complexo! Pode apoxima-se o sistema po outo de odem mais baixa, mais simples de aalisa! Pólos domiates os que detemiam mais sigificativamete a foma da esposta Pates eais mais pequeas costates de tempo mais letas Resíduos elevados Pólos ão domiates os que meos iflueciam a esposta do sistema (podem se despezados sem gade pejuízo de aálise) Pates eais elevadas Rega pática: pelo meos vezes maio que a dos pólos domiates Resíduos pequeos Nomalmete esultam de quase cacelametos pólozeo, isto é, zeos muito póximos de pólos Ao despeza pólos ão domiates (e evetualmete zeos) é impotate gaati que o sistema apoximado matém o mesmo gaho estático! i 58 9

30 istemas de odem supeio exemplo 36.36( s +.) ( s + )( s + )[( s + ) + 3 ]. Im + j3 Re j ( s +.) Y( s) s( s + )( s + )[( s + ) + 3 ] o o j5 j e.593e + + s s + s + s + + j3 s + j3 pólos ão domiates t t t o ( t).4e.353e.9e si(3t + 45 ), t i 59 istemas de odem supeio exemplo 36.36( s +.) ( s + )( s + )[( s + ) + 3 ] s ( ) ( + s )( + s)[( s + ) + 3 ] pólo ápido pólo e zeo póximos Im + j3. Re j3 Y ( s) 3 ( s + ) + 3 apox 3 s[( s + ) + 3 ] apox apox t ( t).e si(3t ), t o (t) (t) apox t t t o ( t).4e.353e.9e si(3t + 45 ), t i 6 3