Números Complexos (Parte II) 1 Plano de Argand-Gauss. 2 Módulo de um número complexo. Prof. Gustavo Adolfo Soares

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1 Númeos Complexos (Pate II) 1 Plao de Agad-Gauss Das defiições de que um úmeo complexo é um pa odeado de úmeos eais x e y e que C = R R, temos que: A cada úmeo complexo coespode um úico poto do plao catesiao, e a cada poto coespode um úico úmeo complexo. Figua : Jea Robet Agad A icopoação defiitiva da epesetação gáfica à Matemática só se deu quado da divulgação dos tabalhos de Cal Fiedich Gauss ( ), duate a seguda década do século XIX. O poto P é chamado de afixo ou de imagem geomética do úmeo complexo. A epesetação gáfica dos úmeos complexos foi itoduida atavés de estudos de Caspa Wessel ( ), publicados em 1798 a Revista da Academia Diamaquesa. Figua 3: Cal Fiedich Gauss Po essa aão, quado o plao catesiao é utiliado paa epeseta úmeos complexos, é costume chamá-lo de Plao de Agad-Gauss. Obsevações: Todos os úmeos eais têm seus afixos o eixo das abscissas e, po essa aão, o eixo das abscissas é chamado de eixo eal. Todos os úmeos imagiáios puos têm seus afixos o eixo das odeadas e, po essa aão, o eixo das odeadas é chamado de eixo imagiáio. Figua 1: Caspa vo Wessel No etato, a ideia só começou a se cohecida em 1806, quado Jea Robet Agad ( ) publicou sua exposição. Módulo de um úmeo complexo Dado um úmeo complexo = x+yi, o seu módulo ( ) é a distâcia (ρ) do seu afixo P (x; y) à oigem O(0; 0).

2 3 Agumeto de um úmeo complexo O agumeto picipal de um úmeo complexo = x + yi é a medida θ do âgulo fomado pelo semi-eixo positivo das abscissas e pelo segmeto OP (tomado o setido ati-hoáio), ode O(0; 0) e P é o afixo de. Pelo Teoema de Pitágoas, podemos afima que: ρ = x + y ρ = x + y 1 a questão: Calcule o módulo de cada um dos úmeos complexos abaixo: (a) 1 = 3 + i (b) = i 3 (c) 3 = i (d) = i a questão: Se + 1 = 1, calcule. 3 a questão: (ITA) A soma de todas as soluções da equação, em C, + + i 1 = 0 é igual a: (A) (B) 1 (C) 0 (D) 1.1 Popiedades do módulo Dados, w C, temos que: (P1) = (P) w = w (P3) = w w. Desigualdade tiagula Dados, w C, temos que: w + w + w (E) i a questão: (IBMEC) Sejam e w úmeos complexos tais que = 3 e w =. podemos coclui que: (A) 1 < + w < 7 (B) 1 + w 7 (C) 0 < + w < 5 (D) 0 + w 5 (E) + w = 1 Deotamos o agumeto picipal de po: ag() = θ 5 a questão: (FATEC/SP) Sejam os úmeos complexos 1 = 1 +i e = 1 1 i. O agumeto picipal de 1 é: (A) 3π (B) 5π (C) 7π (D) π (E) π 8 Obsevações: 0 ag() < π Damos o ome de agumeto picipal a θ pelo fato de também seem cosideados como agumetos do úmeo complexo = x + yi todos os acos coguetes de θ, ou seja, os âgulos de medidas: θ k = θ + π k (k Z) Foma tigoomética Todo úmeo complexo ão ulo = x + yi pode se escito a foma = ρ(cos θ + i si θ), ode ρ é a medida de seu módulo e θ é o seu agumeto picipal. Vejamos o poquê.

3 θ o 1 o quadate. { x = ρ cos θ y = ρ si θ Aalogamete, coclui-se que = ρ(cos θ + i si θ). Os casos em que θ está o 3 o e o quadates deixaei a cago do leito. Esta foma pela qual escevemos o úmeo complexo é chamada de Foma Tigoomética e é bastate útil paa calcula potêcias e adicais de úmeos complexos. Temos que: cos θ = x ρ si θ = y ρ { x = ρ cos θ y = ρ si θ 6 a questão: (UNESP) Seja o úmeo complexo = i, o qual i = 1. A foma tigoomética que epesetam este úmeo é: ( (A) 10 cos π + i si π ) ( (B) 10 cos π + i si π ) (C) 10 ( 10 cos π 6 + i si π ) 6 (D) 10 ( cos π + i si π ) (E) 10 ( cos π + i si π ) = x + yi = ρ cos θ + ρ si θ i = ρ(cos θ + i si θ) θ o o quadate. Obseve a figua abaixo: 7 a questão: (IME) Sabe-se que 1 = 3 e = 0, sedo 1,, 3 e úmeos complexos difeetes de eo. Pove que 1 e são otogoais. Obs.: úmeos complexos otogoais são aqueles cujas epesetações gáficas são pepediculaes ete si e é o úmeo complexo cojugado de. 5 Opeações a foma tigoomética 5.1 Multiplicação Sejam os úmeos complexo ão-ulos: Etão, = ρ(cos α + i si α) w = (cos β + i si β) Como θ = π α, temos que cos θ = cos α e si θ = si α. Além disso, cos α = x ρ si α = y ρ { x = ρ ( cos α) y = ρ si α w = [ρ(cos α + i si α)] [(cos β + i si β)] Potato, = ρ (cos α cos β + i si β cos α + i si α cos β + i si α si β) cos(α+β) {}}{ = ρ [ (cos α cos β si α si β) + i (si α cos β + si β cos α) ] }{{} si(α+β) w = ρ[cos(α + β) + i si(α + β)]

4 5. Divisão Temos que: w 1 1 = (cos β + i si β) = 1 1 (cos β i si β) (cos β + i si β) (cos β i si β) = 1 (cos β i si β) (cos β i si β) = 1 (cos β i si β) (cos β + si β) }{{} =1 w = w 1 Potato, = 1 (cos β i si β) = 1 [cos( β) + i si( β)] = ρ(cos α + i si α) 1 [cos( β) + i si( β)] = ρ [cos(α + ( β)) + i si(α + ( β))] 5.3 Poteciação w = ρ [cos(α β) + i si(α β)] Apesetaei agoa uma fómula utiliada paa o cálculo de potêcias de um úmeo complexo cohecida como fómula de De Moive em homeagem a Abaham De Moive ( ). Paa positivo, temos que: = ρ(cos θ + i si θ)... ρ(cos θ + i si θ) = ρ (cos(θ θ) + i si(θ θ)) = ρ (cos(θ) + i si(θ)) Paa o caso em que é egativo, seja m = > 0. Etão, = m = 1 m 1 = ρ m (cos(mθ) + i si(mθ)) = 1 (cos 0 + i si 0) ρ m (cos(mθ) + i si(mθ)) = ρ m (cos(0 mθ) + i si(0 mθ)) = ρ (cos(θ) + i si(θ)) Potato, dado um úmeo complexo ão-ulo = ρ(cos θ+ i si θ) e um úmeo iteio, etão: = ρ (cos(θ) + i si(θ)) 8 a questão: Calcule (1 + i 3) Radiciação Vamos agoa calcula aíes de um úmeo complexo = ρ(cos θ + i si θ). Seja w C tal que w = (cos α + i si α) =. = w ρ(cos θ + i si θ) = [(cos α + i si α)] ρ(cos θ + i si θ) = (cos(α) + i si(α)) { ρ = θ α = ρ α = Potato, { = ρ α = θ + π k, (k Z) (θ + π k), (k Z) Figua : Abaham De Moive Vamos calcula a potêcia de um úmeo complexo ãoulo = ρ(cos θ + i si θ): [ = ρ cos ( (θ + π k) ) + i si ( (θ + π k) )], (k Z) 9 a questão: (UFF) Cosidee o poliômio P (x) = x 3 1. Ecote, em C, todos os valoes de x tais que P (x) = 0.

5 6 Execícios 1) (FEI) O módulo do úmeo complexo = 1 + i 3 i, ode i = 1, é: (A) 1 5 (B) 5 (C) 5 5 (D) 5 (E) 1 3 ) (UNESP) Cosidee os úmeos complexos w = +i e = 3a+ai, ode a é um úmeo eal positivo e i idica a uidade imagiáia. Se, em cetímetos, a altua de um tiâgulo é e a base é a pate eal de w, detemie a de modo que a áea do tiâgulo seja 90 cm. 3) (MACKENZIE) Paa os complexos = x + yi tais que = 1 e = i, é coeto afima que x y vale: (A) 1 (B) 1 (C) 1 (D) 1 (E) 1 ) (ITA) Seja C com = 1. Etão, a expessão 1 w w assume valo: (A) maio do que 1, paa todo w com w > 1. (B) meo do que 1, paa todo w com w < 1. (C) maio do que 1, paa todo w com w. (D) igual a 1, idepedete de w com w. (E) cescete paa w cescete, com w <. 5) (ITA) Se paa todo x C, f() = e f() 1 = 1, etão, paa todo x C, f(1)f() + f(1)f() é igual a: (A) 1 (B) (C) Re() (D) Im() (E) 6) (FGV) Tês úmeos complexos estão epesetados o plao de Agad-Gauss po 3 potos que dividem a cicufeêcia de ceto a oigem (0; 0) em pates iguais. Um desses úmeos é igual a 1. Detemie outos dois úmeos. 7) (FGV) Admita que o ceto do plao complexo Agad- Gauss coicida com o ceto de um elógio de poteios, como idica a figua: Se o poteio dos miutos tem uidades de compimeto, às 11h 55 mi sua pota estaá sobe o úmeo complexo: (A) 1 + 3i (B) 1 + 3i (C) 1 3i (D) 3 i (E) 3 + i 8) (ITA) Se = cos t+i si t, 0 < t < π, etão podemos afima que w = 1 + é dado po: 1 (A) i cot t (B) i ta t (C) i cot t (D) i ta t (E) ehuma das espostas ateioes. 9) (ITA) Os agumetos picipais das soluções da equação em, i ( + ) i = 0, petecem a: ] π (A), 3π [ ] 3π (B), 5π [ ] 5π (C), 3π [ ] π (D), π [ ] 3π, 7π [ ] (E) 0, π [ ] [ 7π, π 10) (IME) Seja um úmeo complexo. Moste que + 1 é um úmeo eal se, e somete se, é um úmeo eal ou = 1. 11) (UFMT) Dados os úmeos complexos ão-ulos = a + bi e w = i. Sedo α e β os agumetos, espectivamete, de e w, com 0 α π e 0 β π, pode-se afima que β α é igual a: (A) π (B) π (C) π (D) 3π (E) 3π

6 1) (PUC/RS) Seja o cojugado do complexo 1 i. A potêcia de 1 é igual a: (A) 6 i (B) 6 + i (C) 3 i (D) 3 + i (E) 6 13) (UFPR) Cosidee os úmeos complexos = cos π 18 + i si π ( 18 e w = cos π 9 + i si π ). 9 (a) Moste que o poduto w é igual a 3 + i. (b) Moste que 18 é igual a 1. 1) (FUVEST) Moste que o úmeo complexo = cos 8 + i si 8 é ai da equação = 0. 15) (IME) Seja um úmeo complexo de módulo uitáio que satisfa a codição 1, ode é um úmeo iteio positivo. Demoste que é um úmeo eal. 1 + [ 16) (UECE) O valo de a, o itevalo 0, π ], paa o qual o úmeo complexo = cos a + i si a é tal que x = i, satisfa: (A) π 3 < a < π [] Elo Lages Lima, Paulo Céa Pito Cavalho, Augusto Césa Mogado, Eduado Wage; A matemática do Esio Médio, vol Coleção do Pofesso de Matemática - SBM [3] Aef Ata Neto, Nilto Lapa, José Lui Peeia Sampaio, Sidey Lui Cavallatte; Númeos Complexos, Poliômios e Equações Algébicas; Coleção Noções de Matemática, vol Vestselle [] Macelo Rufio de Oliveia; Númeos Complexos, Poliômios e Geometia Aalítica; Coleção Elemetos da Matemática, vol. 0 - Vestselle (B) π 6 < a < π 3 (C) π 6 < a < π (D) π 10 < a < π 5 17) (UFPB) Ecote os úmeos complexos, de módulo 1, tais que 3 = i, ode i = 1 e é o cojugado de. 18) (IME) Seja F = 15 8i. Calcule F, escevedo a esposta sob a foma a + bi, com a e b iteios. 19) (IME) Resolva a equação 5 =, ode é o cojugado do úmeo complexo. 0) (ITA) Cosidee a equação, em C, ( 5 + 3i) = 1. Se 0 é a solução que apeseta o meo agumeto picipal dete as quato soluções, etão o valo de 0 é: (A) 9 (B) 1 (C) 3 5 (D) 3 (E) 3 6 Refeêcias [1] Mafedo Pedigão do Camo, Augusto Césa Mogado, Eduado Wage; Tigoometia e Númeos Complexos - Coleção do Pofesso de Matemática - SBM