ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A. Tarefa nº 7 do plano de trabalho nº 1

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A Taefa º 7 do plao de tabalho º. Comece po esolve o execício 3 da págia 0.. Muitas das geealizações feitas as divesas ciêcias, em paticula em ciêcias expeimetais, são feitas a pati da obsevação expeimetal de cetas egulaidades, tal como fizemos este exemplo, que depois de igoosamete demostadas são cosideadas leis. A históia da Matemática está cheia de exemplos de matemáticos que citicam esultados dos seus pecedetes ou cotempoâeos po discodaem do igo das demostações apesetadas ou po detectaem falhas em casos paticulaes. É este setido que a seguaça da aplicação de detemiado esultado depede da aceitação ou ão da demostação do mesmo. O Método de Idução Matemática é uma podeosa feameta que pemite tia coclusões sobe uma ifiidade de situações, ecoedo apeas a duas povas. Método de Idução Matemática Se petedemos pova que uma popiedade A() é vedadeia paa todos os úmeos atuais devemos pova que:. A() se veifica paa o pimeio elemeto do cojuto;. Supodo-se a popiedade A() veificada pelo úmeo atual k, abitáio, etão a popiedade A() também é veificada pelo úmeo k+, (ou seja, A(k+) é vedadeia), o que se expime dizedo que a popiedade A() é heeditáia. A ( k) A( k + ) Etão podemos coclui que A (), é vedadeia o cojuto dos úmeos atuais... Pove, ecoedo ao método de idução matemática, que o úmeo de diagoais de qualque polígoo de lados é dado pela fómula D A Toe de Haói é, a sua vesão clássica, o jogo de uma base com tês vaetas, uma das quais se isee um ceto úmeo de discos de difeetes tamahos, odeados do maio paa o meo. O Jogo cosiste em move os discos de uma vaeta a outa cumpido as seguites egas: Em cada movimeto só pode desloca um disco. Não pode move um disco paa uma vaeta ode exista um disco de meo tamaho. Paa um úmeo pequeo de discos, o jogo esulta sumamete fácil. Mas à medida que se vai icemetado o úmeo de discos, cesce também o úmeo de movimetos que devem ealiza-se paa esolvê-lo e com isso, a complexidade do jogo. No caso de um disco um movimeto é suficiete. PROFESSORA: Rosa Caelas 005/006

2 No caso de dois discos, a solução passa pelas seguites fases: Passa o disco pequeo da vaeta a à vaeta b. Passa o disco gade da vaeta a à vaeta c. Passa o disco pequeo da vaeta b à vaeta c. No total 3 movimetos No caso de tês discos, a solução passa pelas seguites fases: Passa o disco pequeo da vaeta a à vaeta c. Passa o disco médio da vaeta a à vaeta b. Passa o disco pequeo da vaeta c à vaeta b. Passa o disco gade da vaeta a à vaeta c. Passa o disco pequeo da vaeta b à vaeta a. Passa o disco médio da vaeta b à vaeta c. Passa o disco pequeo da vaeta a à vaeta c. No total 7 movimetos Obsevado cuidadosamete o pocesso costatamos que o pocesso se divide em tês fases. Pimeio tasfee-se uma toe de dois discos, com o úmeo míimo de movimetos, da vaeta a paa a vaeta b, Em seguida passa-se o disco gade da vaeta a paa a vaeta c. Fialmete passa-se, com o úmeo míimo de movimetos, os dois discos que estão em b paa c. As pimeia e teceia fases são possíveis poque o disco gade ão impede ehum movimeto pelo que tudo fucioa como se a vaeta c estivesse vazia. O úmeo de passos é po isso Estededo este aciocíio paa 4, 5, 6, discos, podemos chega à coclusão de que o úmeo de movimetos paa passa discos da vaeta a paa a c é dado po: M ( ). 3.. Pove, usado o método de idução matemática, que M ( ) epeseta o úmeo míimo de movimetos ecessáios a tasfei discos da vaeta a paa a vaeta c um jogo de Toe de Haói. 4. Pove, usado o método de idução matemática, que a soma de temos de uma pogessão geomética ( u ), de azão difeete de um, é dada po S u. PROFESSORA: Rosa Caelas 005/006

3 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A Taefa º 7 do plao de tabalho º poposta de esolução. Comecemos po esolve o execício 3 da págia 0. Cosideemos a sequêcia de polígoos covexos da qual estão epesetados os quato pimeios e taçadas as espectivas diagoais. a. Se obsevamos os polígoos veificamos que cada vétice se liga po uma diagoal a todos os vétices do polígoo meos 3 (ele pópio e os dois que com ele defiem lados do polígoo). Veificamos aida que cada uma dessas ligações se epete duas vezes pois uma diagoal AB é a mesma que a diagoal BA. Etão podemos dize que o úmeo D() de diagoais de um polígoo de lados é dado po: D() 3. Completemos etão a seguite tabela: Nº de lados do polígoo Nº de diagoais b. Paa sabemos se existe um polígoo que teha 405 diagoais vamos esolve a equação: ( ) 3 3 ± D( ) ± Cocluímos existi um polígoo com 405 diagoais que é um polígoo com 30 lados. Paa sabemos se existe um polígoo que teha 750 diagoais vamos esolve a equação: ( ) 3 3 ± D( ) PROFESSORA: Rosa Caelas 3 005/006

4 ± , equação impossível em IN. Cocluímos ão existi ehum polígoo com 750 diagoais. c. A sucessão que os dá o úmeo de diagoais de um polígoo de lados é um ifiitamete gade positivo poque: Qualque que seja M, eal positivo e tão gade quato se queia, existe uma odem p depois da qual todos os temos da sucessão são maioes que M. 3 > M 3> M 3 M> 0, paa esolve a iequação vamos calcula 3± 9+ 8M os zeos do poliómio: 3 M 0 e tedo em cota que a paábola que epeseta a fução defiida pelo poliómio tem a cocavidade voltada paa cima podemos dize que M 3 M> 0 > cocluido que depois de uma odem + + p > 3 9 8M os temos da sucessão são maioes que M. 3 d. Resolvedo a iequação: > > > 0 73 paa esolve a iequação calculámos os zeos do poliómio: 3 ± e tedo em cota que a paábola que epeseta a fução defiida pelo poliómio tem a cocavidade voltada paa cima podemos dize que > 0 73 Ou utilizado a tabela a calculadoa: Etão é depois da odem 7 que os temos da sucessão são maioes que Muitas das geealizações feitas as divesas ciêcias, em paticula em ciêcias expeimetais, são feitas a pati da obsevação expeimetal de cetas egulaidades, tal como fizemos este exemplo, que depois de igoosamete demostadas são cosideadas leis. A históia da Matemática está cheia de exemplos de matemáticos que citicam esultados dos seus pecedetes ou cotempoâeos po discodaem do igo das demostações apesetadas ou po detectaem falhas em casos paticulaes. É este setido que a seguaça da aplicação de detemiado esultado depede da aceitação ou ão da demostação do mesmo. O Método de Idução Matemática é uma podeosa PROFESSORA: Rosa Caelas 4 005/006

5 feameta que pemite tia coclusões sobe uma ifiidade de situações, ecoedo apeas a duas povas. Método de Idução Matemática Se petedemos pova que uma popiedade A() é vedadeia paa todos os úmeos atuais devemos pova que:. A() se veifica paa o pimeio elemeto do cojuto;. Supodo-se a popiedade A() veificada pelo úmeo atual k, abitáio, etão a popiedade A() também é veificada pelo úmeo k+, (ou seja, A(k+) é vedadeia), o que se expime dizedo que a popiedade A() é heeditáia. A ( k) A( k + ) Etão podemos coclui que A (), é vedadeia o cojuto dos úmeos atuais... Pove, ecoedo ao método de idução matemática, que o úmeo de diagoais de qualque polígoo de lados é dado pela fómula D Comecemos po veifica a popiedade D qual tem sigificado: 3. 3 paa 3 meo úmeo atual paa o 33 3 D3 ( ) D3 ( ) 0 e veifica que de facto o tiâgulo ão tem diagoais. Supodo-se a popiedade D 3 popiedade também é veificada pelo úmeo k+, (ou seja, veificada pelo úmeo atual k, abitáio, etão a D k+ ( k + )( k + 3) vedadeia), o que se expime dizedo que a popiedade é heeditáia e se taduz po: ( ) ( )( ) k k 3 k + k Dk ( ) Dk ( + ) 3 3 (a hipótese de idução implica a tese) Paa veificamos a heeditaiedade temos de pecebe como se passa do úmeo de diagoais de um polígoo de k lados paa o úmeo de diagoais de um polígoo de k + lados. é PROFESSORA: Rosa Caelas 5 005/006

6 Se compaamos as duas figuas veificamos que ao acesceta um ovo vétice ele se vai liga fomado uma diagoal a todos os k vétices já existetes meos e que gahámos uma diagoal que esultou do facto de um dos lados se te tasfomado uma diagoal. Etão ( ) k k 3 (*) k 3k + k D(k+ ) D(k) + k + Dk+ ( ) + k Dk+ ( ) k k Dk+ ( ) (*) Note que utilizámos a hipótese de idução paa pova a tese. Usado a ega de Ruffii, Cocluímos que Dk+ ( ) Dk+ ( ) A popiedade D ( + ) k k k k 3 úmeo atual maio ou igual a tês. é válida paa 3 e é heeditáia pelo que é vedadeia paa qualque 3. A Toe de Haói é, a sua vesão clássica, o jogo de uma base com tês vaetas, uma das quais se isee um ceto úmeo de discos de difeetes tamahos, odeados do maio paa o meo. O Jogo cosiste em move os discos de uma vaeta a outa cumpido as seguites egas: Em cada movimeto só pode desloca um disco. Não pode move um disco paa uma vaeta ode exista um disco de meo tamaho. Paa um úmeo pequeo de discos, o jogo esulta sumamete fácil. Mas à medida que se vai icemetado o úmeo de discos, cesce também o úmeo de movimetos que devem ealiza-se paa esolvê-lo e com isso, a complexidade do jogo. PROFESSORA: Rosa Caelas 6 005/006

7 No caso de um disco um movimeto é suficiete. No caso de dois discos, faemos um total de 3 movimetos No caso de tês discos, faemos um total de 7 movimetos Obsevado cuidadosamete o pocesso costatamos que o pocesso se divide em tês fases. Pimeio tasfee-se uma toe de dois discos, com o úmeo míimo de movimetos, da vaeta a paa a vaeta b, Em seguida passa-se o disco gade da vaeta a paa a vaeta c. Fialmete passa-se, com o úmeo míimo de movimetos, os dois discos que estão em b paa c. As pimeia e teceia fases são possíveis poque o disco gade ão impede ehum movimeto pelo que tudo fucioa como se a vaeta c estivesse vazia. O úmeo de passos é po isso Estededo este aciocíio paa 4, 5, 6, discos, podemos chega à coclusão de que o úmeo de movimetos paa passa discos da vaeta a paa a c é dado po: M ( ). 3.. Povemos, usado o método de idução matemática, que M ( ) epeseta o úmeo míimo de movimetos ecessáios a tasfei discos da vaeta a paa a vaeta c um jogo de Toe de Haói. Comecemos po veifica a popiedade M ( ) paa. ( ) ( ) M M e veifica que de facto com um úico disco apeas teemos de efectua um movimeto. Supodo-se a popiedade M ( ) veificada pelo úmeo atual k, abitáio, etão a popiedade também é veificada pelo úmeo k+, (ou seja, ( ) + o que se expime dizedo que a popiedade é heeditáia e se taduz po: ( ) ( ) + k k Mk Mk+ (a hipótese de idução implica a tese) k Mk+ é vedadeia), Obsevado cuidadosamete as egas veificamos que, paa efectua o movimeto de k + peças pecisamos de efectua o úmeo de movimetos que fizemos paa movimeta k discos, mais um movimeto paa muda a peça maio, e em seguida, ovamete o úmeo de movimetos que tíhamos feito paa movimeta as k discos paa as volta a coloca em cima do disco maio. k k k k+ Assim M(k + ) M(k) + + M(k) + + A popiedade M ( ) é válida paa e é heeditáia pelo que é vedadeia paa qualque úmeo atual. 4. Povemos, usado o método de idução matemática, que a soma de temos de uma pogessão geomética ( u ), de azão difeete de um, é dada po S u. PROFESSORA: Rosa Caelas 7 005/006

8 Comecemos po veifica a popiedade S u é válida paa S u S u e veifica que de facto a soma de um só temo da pogessão aitmética de temo geal u é o pimeio temo. Supodo-se a popiedade S u é veificada pelo úmeo atual k, abitáio, etão a k+ popiedade também é veificada pelo úmeo k+, (ou seja, Sk+ u é vedadeia), o que se expime dizedo que a popiedade é heeditáia e se taduz po: k k+ Sk u Sk+ u.(a hipótese de idução implica a tese) Mas sabemos que paa passamos de um temo ao seguite temos de multiplica o ateio po. Sabemos também que a soma de k+ temos cosecutivos de uma pogessão é a soma dos k pimeios temos com o temo de odem k +. Etão k k k k Sk+ Sku+ uk+ Sk+ u + u Sk+ u + k k k+ k+ + k+ k+ S u S u A popiedade S u é válida paa e é heeditáia pelo que é vedadeia paa qualque úmeo atual. PROFESSORA: Rosa Caelas 8 005/006