INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática Unesp/Bauru CAPÍTULO 2 ESPAÇOS VETORIAIS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática Unesp/Bauru CAPÍTULO 2 ESPAÇOS VETORIAIS"

Transcrição

1 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matemática Uesp/Bauu CAPÍTULO ESPAÇOS VETORIAIS 1 Históico Sabe-se que, até pelo meos o fial do século XIX, ão havia ehuma teoia ou cojuto de egas bem defiidas a que se pudesse da o ome de Álgeba Liea Havia apeas ceta ituição po pate de algus matemáticos, especialmete os séculos XVII e XVIII, que pecebeam que deveia existi alguma foma de coexão da Álgeba com a Geometia O sugimeto da Álgeba Liea, como é cohecida atualmete, teve gade cotibuição dos matemáticos Cal Fiedich Gauss ( ), William Rowa Hamilto ( ) e Athu Cayley ( ), que pecebeam que as opeações de adição (idicada po +) e de multiplicação (idicada po ), ditas usuais, quado aplicadas a detemiados cojutos uméicos, ão satisfaziam detemiadas popiedades Foi o cosequete estudo dessas opeações aplicadas aos vetoes que culmiou em uma séie de egas, que fomaam as bases da Aálise Vetoial, que, po sua vez, é a base do que atualmete se cohece como Álgeba Liea Copo Defiição: Um cojuto ão vazio K, muido das opeações de adição (idicada po +) e de multiplicação (idicada po ) é um copo em elação a estas opeações, se satisfaz os seguites axiomas: ( A ) em elação à adição: ( ) 1 A quaisque que sejam x e y em K, tem-se: x + y K ( ) (isto sigifica que o cojuto K é fechado em elação à opeação de adição) A quaisque que sejam x e y em K, tem-se: x + y y + x (popiedade comutativa) ( A 3) quaisque que sejam x, y e z em K, tem-se: x + ( y + z) ( x + y) + z (popiedade associativa) ( A 4) paa todo x em K, existe em K um elemeto (existêcia do elemeto euto) x tal que: x + x x + x x

2 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matemática Uesp/Bauu ( A 5) paa todo elemeto x em K, existe em K um elemeto x tal que (existêcia do elemeto oposto ou simético) ( M ) em elação à multiplicação: ( M 1) quaisque que sejam x e y em K, tem-se: ( ) x y K x + x x + x (isto sigifica que o cojuto K é fechado em elação à opeação de multiplicação) M quaisque que sejam x e y em K, tem-se: x y y x (popiedade comutativa) ( M 3) quaisque que sejam x, y e z em K, tem-se: x ( y z) ( x y) z (popiedade associativa) x ( ) 4 M paa todo x em K, existe em K um elemeto xˆ tal que: x xˆ xˆ x x (existêcia do elemeto euto) ( M 5) paa todo elemeto ão ulo x em K, existe em K um elemeto ~ x tal que ~ ~ x x x x xˆ (existêcia do elemeto iveso) ( D ) popiedades distibutivas da multiplicação em elação à adição: paa quaisque x, y e z em K, tem-se: x ( y + z) x y + x z e ( y z) x y x + z x + Obsevações: 1) Paa idica o copo K com as opeações ele defiidas, usa-se a otação: ( K,+, ) Po abuso de liguagem, é comum fala-se apeas em copo K ) É possível da-se uma defiição mais geal de copo, sem exigi que a multiplicação seja ecessaiamete comutativa Nesse caso, a defiição ateio dá o coceito de copo comutativo Exemplos: 1) São copos: (a) ( R +, ), : cojuto dos úmeos eais, com as opeações usuais de adição e multiplicação Paa demosta essa afimação, é peciso mosta que se veificam os axiomas da defiição de copo Tem-se:

3 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matemática Uesp/Bauu A em elação à adição: ( ) ( A 1) paa quaisque úmeos eais x e y que se cosidee, a soma x + y é aida um úmeo eal Logo, é satisfeito o axioma do fechameto em elação à opeação de adição, isto é: quaisque que sejam x e y em R, tem-se que ( ) x +y R ; A dados dois úmeos eais quaisque x e y, tem-se que x + y y + x e, potato, é satisfeito o axioma da comutatividade da opeação de adição de úmeos eais; ( A 3) tomado-se úmeos eais x, y e z quaisque, tem-se que x ( y + z) ( x + y) + z potato, a opeação de adição é associativa; + e, ( A 4) é peciso mosta que, cosideado-se qualque úmeo eal x, existe um úmeo eal x tal que úmeo eal 0, pois: x + x x + x x No caso da adição de úmeos eais, esse úmeo x é o x x x Assim, existe o elemeto euto paa a opeação de adição de úmeos eais e esse elemeto euto é o úmeo eal 0 ; ( A 5) paa demosta que esse axioma é vedadeio, deve-se ecota, paa todo úmeo eal x que se cosidee, um úmeo eal x tal que x + x x + x 0 (isto é, somado-se x com x, o esultado deve se igual a 0, que é o elemeto euto da adição) Dado um úmeo eal x, tem-se que: + ( x) ( x) + x 0 x, ou seja, paa cada elemeto x, existe seu elemeto oposto, que é x ; coclui-se, assim, que é vedadeio esse axioma; ( M ) em elação à multiplicação: ( M 1) paa quaisque úmeos eais x e y que se cosidee, o poduto x y é aida um úmeo eal Logo, é satisfeito o axioma do fechameto em elação à opeação de multiplicação, isto é: quaisque que sejam x e y em R, tem-se que ( ) x y R ; M dados dois úmeos eais quaisque x e y, tem-se que x y y x e, potato, é satisfeito o axioma da comutatividade da opeação de multiplicação de úmeos eais; ( M 3) tomado-se úmeos eais x, y e z quaisque, tem-se que x ( y z) ( x y) z opeação de adição é associativa; ; assim, a ( M 4) é peciso mosta que, cosideado-se qualque úmeo eal x, existe um úmeo eal xˆ tal que x xˆ xˆ x x No caso da multiplicação de úmeos eais, esse úmeo xˆ é o úmeo eal 1, pois: x 1 1 x x Assim, existe o elemeto euto paa a opeação de multiplicação de úmeos eais e esse elemeto euto é o úmeo eal 1 ; ( M 5) cosideado-se um úmeo eal ão ulo x, deve-se ecota um úmeo eal ~ x tal ~ ~ que x x x x 1 (isto é, multiplicado-se x po ~ x, o esultado deve se igual a 1, que é o elemeto euto da multiplicação) 1 1 Dado um úmeo eal x 0, tem-se que: x x 1, ou seja, paa cada elemeto ão x x

4 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matemática Uesp/Bauu ulo x, existe seu elemeto iveso, que é x 1 ; coclui-se, assim, que é vedadeio esse axioma Esse elemeto também pode se idicado po 1 x ; ( D ) cosideado-se úmeos eais quaisque x, y e z, tem-se: x ( y + z) x y + x z e ( y + z) x y x + z x Assim, valem as popiedades distibutivas da multiplicação em elação à adição de úmeos eais Logo, o cojuto dos úmeos eais, com as opeações usuais de adição e multiplicação, é um copo (b) ( C,+, ) : cojuto dos úmeos complexos, com as opeações usuais de adição e multiplicação (c) ( Q,+, ) : cojuto dos úmeos acioais, com as opeações usuais de adição e multiplicação Obsevação: com pocedimeto aálogo ao do item (a), é possível mosta que ( C,+, ) e ( Q,+, ) são copos ) Não são copos: (a) ( Ζ,+, ) : cojuto dos úmeos iteios, com as opeações usuais de adição e multiplicação De fato, sabe-se que o elemeto euto da multiplicação paa o cojuto Ζ é 1, pois, paa todo úmeo iteio z, tem-se: satisfeito o axioma ( ) 5 z 1 1 z z Obseve-se que, este cojuto, ão é M, pois, qualque que seja o úmeo iteio z, com z 0 e z 1, ão existe em Ζ um elemeto ~ ~ ~ z tal que z z z z 1, ou seja, ão existe o elemeto iveso de z (é evidete que, paa que este axioma fosse vedadeio, se deveia te z 1 1 z 1 z z ; etetato, qualque que seja z 0 1 e z 1, ão petece a Ζ ) z ~ 1 z, pois: z (b) ( Ν,+, ) : cojuto dos úmeos atuais, com as opeações usuais de adição e multiplicação De modo aálogo ao que se desceveu o item (a) deste exemplo, o axioma ( M 5) ão é satisfeito, pois, paa todo úmeo atual, sedo 0 e 1, ão existe em Ν um elemeto ~ ~ ~ tal que 1, ou seja, ão existe o elemeto iveso de (deve-se-ia te ~ 1, que ão petece ao cojuto Ν ) Da mesma foma, ão é vedadeio, paa a opeação de adição, o axioma ( A 5), pois, qualque que seja o úmeo atual ão ulo que

5 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matemática Uesp/Bauu se cosidee, ão existe em Ν um elemeto tal que + + 0, ode 0 é o elemeto euto da opeação de adição de úmeos atuais Isto sigifica que ão existe o elemeto oposto (ou simético) de (obseve-se que, paa que se some com e se ecote como esultado o elemeto euto 0, deve-se te, que ão petece ao cojuto dos úmeos atuais) 3 Espaço Vetoial Defiição: Um cojuto ão vazio V, muido das opeações de adição (idicada po +) e de multiplicação po escala (idicada po ) é um espaço vetoial sobe um copo K, se são satisfeitos os seguites axiomas: ( A ) em elação à adição: ( ) 1 A quaisque que sejam u e v em V, tem-se: u + v v + u (popiedade comutativa) ( A ) quaisque que sejam u, v e w em V, tem-se: u + ( v + w) ( u + v) + w (popiedade associativa) ( A 3) paa todo u em V, existe em V um elemeto u tal que: u + u u + u u (existêcia do elemeto euto) ( A 4) paa todo elemeto u em V, existe em V um elemeto u tal que (existêcia do elemeto oposto ou simético) ( M ) em elação à multiplicação po escala: u + u u + u ( M 1) quaisque que sejam α e β em K e qualque que seja u em V, tem-se: α ( β u) ( α β) u ( M ) quaisque que sejam u e v em V e qualque que seja α em K, tem-se: α ( u + v) α u + α v ( M 3) paa todo u em V e paa quaisque α e β em K, tem-se: ( α + β) u α u + β u ( ) 4 M paa todo elemeto u em V, tem-se: 1 u u u Obsevações: 1) Dize que o cojuto V é um espaço vetoial sobe um copo K sigifica que os escalaes

6 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matemática Uesp/Bauu são tomados em K ) Paa idica o espaço vetoial V sobe o copo K, com as opeações defiidas, usa-se a otação: ( V,+, ) 3) Quado o copo K sobe o qual se defie o espaço vetoial é o cojuto R dos úmeos eais, o espaço é chamado espaço vetoial eal; quado o copo cosideado é o cojuto C dos úmeos complexos, o espaço é chama espaço vetoial complexo Salvo efeêcia expessa em cotáio, seão cosideados, esse texto, espaços vetoiais eais 4) Os elemetos do espaço vetoial V são chamados vetoes, idepedetemete de sua atueza Pode paece estaho o fato de se chama de vetoes os úmeos, quado V fo um cojuto uméico, as matizes, quado V fo um cojuto de matizes, os poliômios, quado V fo um cojuto de poliômios e assim po diate A justificativa está o fato de que se efetuam as opeações de adição e multiplicação po escala com esses elemetos de atueza tão distita de foma aáloga à que se opea com vetoes do R (cojuto dos paes odeados de úmeos eais, cuja epesetação geomética é o plao de coodeadas catesiaas otogoais) ou do 3 R (cojuto das teas odeadas de úmeos eais, cuja epesetação geomética é o espaço tidimesioal de coodeadas catesiaas otogoais) É peciso lemba que, a todo poto do R, associa-se um veto, chamado veto-posição, com oigem o poto ( 0, 0) e extemidade o poto cosideado, cujas coodeadas são as mesmas do pópio poto Aalogamete, a todo poto 3 R, associa-se um veto, chamado vetoposição, com oigem o poto ( 0 0, 0) são as mesmas do pópio poto, e extemidade o poto cosideado, cujas coodeadas Exemplo: são espaços vetoiais: (a) ( ( R ), +, ) P : cojuto de todos os poliômios com coeficietes eais de gau meo ou igual a (icluido o poliômio ulo), com as opeações usuais de adição de poliômio e multiplicação po escala (b) ( ( R ), +, ) M mx : cojuto de todas as matizes de dimesão m, com elemetos eais, com as opeações usuais de adição de matizes e multiplicação po escala Se esceve-se: ( ( R ), +, ) M m, (c) ( F,+, ) : cojuto de todas as fuções eais de uma vaiável eal, com as opeações de adição e multiplicação po escala assim defiidas: ( f g)( x) f( x) + g( x) +, quaisque que sejam as fuções f e g em F (e paa todo x em R )

7 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matemática Uesp/Bauu α f x αf x, quaisque que sejam f em F e α em R (e paa todo x em R ) ( )( ) ( ) 31 Popiedades dos espaços vetoiais Seja V um espaço vetoial sobe um copo K É possível demosta as afimações que se seguem a) Existe um úico veto ulo em V, deotado po 0 (que é o elemeto euto da adição) b) Cada veto V v admite apeas um simético ( v) V c) Qualque que seja v V, tem-se: 0 v 0 Natualmete, o pimeio zeo que apaece essa expessão é o úmeo eal zeo e o segudo, é o veto ulo 0 V d) Qualque que seja α K, tem-se: α 0 0 Neste caso, o zeo do pimeio membo desta equação é o mesmo do segudo membo e é o veto ulo de V e) Paa quaisque u,v,w V, se u + w v + w, etão u v (esta é a chamada lei do cacelameto) f) Qualque que seja V g) Qualque que seja V v, tem-se: ( v ) v v, tem-se: ( ) 1 v v, isto é, o oposto de v é v h) α v 0 implica α 0 ou v 0 i) Se α v 0 e α 0, etão v 0 j) Quaisque que sejam v V e α R, tem-se: ( α ) v α ( v) ( α v) k) Quaisque que sejam u,v V, existe um, e somete um, Esse veto x seá epesetado po: x v u x V tal que: u x + v 3 O Espaço Vetoial R O cojuto de todas as -uplas de úmeos eais, isto é, o cojuto R {( x, x,, x )/ x, x, L, x R} 1 L 1, muido das opeações de adição vetoial e multiplicação po escala, defiidas po: adição vetoial: paa quaisque elemetos ( x1,x, L,x ) e ( y,y, L,y ) 1 em R, tem-se:

8 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matemática Uesp/Bauu x 1, x, L, x + y1,y, L,y x1 + y1, x + y, L, x + y ( ) ( ) ( ) multiplicação po escala: paa qualque ( x,x, L ) tem-se: α ( x, x,, x ) ( αx, αx, L, α ) 1 L 1 x, 1,x em é um espaço vetoial sobe o copo R dos úmeos eais É usual idetifica uma -upla de ( x, x, L, ) u 1 x R com um veto -dimesioal e esceve: R e qualque úmeo eal α, Exemplos: 1) No espaço vetoial paes odeados de úmeos eais: {(, x )/ x, x R} R x 1 1, que, comumete, é escito a foma R {( x,y) / x, y R} R cosideado acima, seja, isto é, cosidee-se o cojuto dos Mosta-se-á que este espaço, com as opeações: adição vetoial, ou seja, adição usual de paes odeados de úmeos eais, defiida po: ( x,y ) ( x,y ) ( x + x,y + ) y ; multiplicação po escala, defiida po: ( x,y) ( α x, α y) é um espaço vetoial sobe o copo R dos úmeos eais α, ode α R, É peciso mosta que são válidos os axiomas da defiição de espaço vetoial sobe um copo K Neste exemplo, tem-se que K R ( A ) Em elação à adição: ( A 1) tomado-se dois vetoes quaisque u 1 ( x1, y1) u 1 + u ( x1,y1) + ( x,y) ( x1 + x,y1 + y) ; y e u ( x, ) em R, tem-se: uma vez que os elemetos dos paes odeados são úmeos eais e a adição de úmeos eais é comutativa, segue-se que: ( x1 + x,y1 + y) ( x + x1,y + y1) ( x,y) + ( x1,y1) u + u1 Potato, u1 + u u + u1 e coclui-se que a opeação de adição satisfaz a popiedade comutativa; ( A ) sejam u 1 ( x1, y1), u ( x, y) e u 3 ( x3, y3) em R ; tem-se: u1 + ( u + u3) ( x1,y1) + ( x,y) + ( x3,y3) x1,y1 + x + x3,y + y3 ( x + ( x + x ),y + ( y + )) y3 [ ] ( ) ( ) Sedo a adição de úmeos eais associativa, pode-se esceve: ( x ( x + x ),y + ( y + y )) (( x + x ) + x,( y + y ) + ) y3 ( x1 + x,y1 + y) + ( x3,y3) [( x1,y1) + ( x,y) ] + ( x3,y3) ( u1 + u) + u3

9 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matemática Uesp/Bauu u1 + u + u3 u1 + u + u ; logo, a adição vetoial é associativa; u x,y um elemeto qualque de R É peciso mosta existe um elemeto Potato, ( ) ( ) 3 ( A 3) seja ( ) u ( x, y ) em R tal que u + u um elemeto euto paa a opeação de adição de vetoes u + u u, ou seja, é peciso mosta que existe em Uma vez que o úmeo eal 0 é o elemeto euto da adição de úmeos eais, é atual que o veto 0 ( 0, 0) seja o elemeto euto da adição vetoial De fato, tem-se: u + 0 x,y + 0, 0 x + 0,y + 0 x,y ( ) ( ) ( ) ( ) u e 0 + u 0, 0 + x,y 0+ x, 0+ y x,y ( ) ( ) ( ) ( ) u Logo, u u u e, potato, o veto ulo 0 ( 0, 0) ( A 4) seja u ( x,y) em R tal que um elemeto de + u u + u 0 u, ode 0 ( 0, 0) é o elemeto euto da adição vetoial; R R É peciso mosta existe um elemeto u ( x,y ) é o elemeto euto da adição de vetoes Uma vez que os elemetos x e y do pa odeado são úmeos eais, existem seus elemetos opostos x e y x, y, que seá idicado po u Assim, pode-se cosidea o veto ( ) Tem-se, etão: u + ( u) ( x,y) + ( x, y) ( x + ( x),y + ( y) ) ( 0, 0) 0 ; u + u 0 aalogamete, mosta-se que ( ) Potato, todo elemeto do ( M ) Em elação à multiplicação po escala: R admite um elemeto oposto ou simético ( M 1) cosideem-se dois úmeos eais α e β e um elemeto u ( x,y) α ( β u) α [ β ( x,y) ] α ( β x, β y) ( α ( β x), α ( β y) ) (( α β) x, ( α β) y) ( α β) ( x,y) ( α β) u ( M ) sejam u 1 ( x1, y1) e u ( x, y) α ( u1 + u) α ( x1,y1) + ( x,y) α α ( x + x ), α ( y + y ) α x + α em em R e um úmeo eal α ; tem-se: [ ] ( x1 + x,y + y) ( 1 1 ) ( 1 x, α y1 + α y) ( α x1, α y1) + ( α x, α y) α ( x1,y1) + α ( x,y) α u1 + α u α u ; 1 + u α u + α u Potato, ( ) 1 ( M 3) sejam u ( x,y) um elemeto de R e dois úmeos eais α e β Tem-se: ( α + β) u ( α + β) ( x,y) (( α + β) x, ( α + β) y) ( α x + β x, α y + β y) ( α x, α y) + ( β x, β y) α ( x,y) + β ( x,y) α u + β u α ; Potato, ( + β) u α u + β u ( M 4) cosidee-se um elemeto u ( x,y) do R Tem-se: R O úmeo eal 1 é o elemeto euto da

10 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matemática Uesp/Bauu multiplicação de úmeos eais e, potato, tem-se: 1 u 1 x,y 1 x, 1 y x,y v Logo, 1 u u ( ) ( ) ( ) u ) Cosidee-se ovamete o cojuto dos paes odeados de úmeos eais: R {( x,y) / x, y R} Cosideado-se as opeações e, defiidas po: v v u1 u u1 u ; ou seja, se u 1 ( x1, y1) e u ( x, y), etão: u 1 u ( x1,y1) ( x,y) ( x1,y1) ( x,y) ( x1 x,y1 y) ; v α u αu u x,y e α R, etão: ; ou seja, se ( ) α u αu α ( x,y) ( αx, αy) Mosta-se-á que este cojuto, com as opeações defiidas acima, ão é um espaço vetoial sobe R Paa isso, deve-se mosta que pelo meos um dos axiomas da defiição de espaço vetoial sobe um copo K ão é satisfeito Po exemplo, o axioma ( A 1) ão é satisfeito, isto é, a opeação ão é comutativa, pois, tomado-se dois elemetos quaisque u ( x, ) e u ( x, ) u v 1 1 y1 v y ( x,y ) ( x,y ) ( x,y ) ( x,y ) ( x x,y ) 1 u y em ; R, tem-se: po outo lado, tem-se: u u 1 ( x,y) ( x1,y1) ( x,y) ( x1,y1) ( x x1,y y1) Vê-se, assim que u1 u u u1 R,, ão é um espaço vetoial sobe o copo R dos úmeos eais Potato ( ) Obsevação: os exemplos ateioes evideciam que, paa afima que um detemiado cojuto V é um espaço vetoial sobe um copo K, é peciso que estejam bem defiidas em V as opeações de adição e multiplicação po escala 4 Subespaço Vetoial Defiição: Seja V um espaço vetoial sobe um copo K, com as opeações de adição e multiplicação po escala Um subcojuto W V é um subespaço vetoial de V se: (a) 0 W, ou seja, o elemeto ulo do espaço V petece a W; (b) paa quaisque elemetos w 1 e w em W, tem-se que em elação à opeação de adição; w 1 + w W, ou seja, W é fechado (c) paa qualque w em W e paa qualque escala α em K, tem-se que é fechado em elação à opeação de multiplicação po escala α w W, ou seja, W

11 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matemática Uesp/Bauu É clao que, se W é um subespaço vetoial de V, o qual, po sua vez, é um espaço vetoial sobe o copo K (com as opeações de adição e multiplicação po escala), etão o pópio W, po si só, é também um espaço vetoial sobe o copo K (com as mesmas opeações defiidas em V) Exemplos: 1) Seja V um espaço vetoial sobe um copo K São cosideados subespaços vetoiais tiviais de V: (a) W V, isto é, o espaço vetoial V é um subespaço vetoial de si pópio (b) { 0} W, ou seja, o espaço ulo, que cotém como úico elemeto o veto ulo, é um subespaço vetoial de V ) Mosta que o cojuto dos potos do ( 0, 0) é um subespaço vetoial do úmeos eais R que petecem a uma eta que passa pelo poto R, o qual é um espaço vetoial sobe o copo R dos Seja W o cojuto dos paes odeados que petecem a uma eta que passa pelo poto ( 0, 0), ou seja: {( x,y) R / y mx, com m R} W 0 Etão, todo veto de W se esceve a foma ( x,mx) Assim, pode-se esceve: {( x,mx), x R, comm R} W 0 Veifica-se-á se os axiomas da defiição de espaço vetoial são satisfeitos paa o cojuto W (a) O elemeto ulo do espaço vetoial R é o pa odeado ( 0,0) É clao que este também é um elemeto de W, pois este é o cojuto dos potos de uma eta que passa pela oigem Potato, ( 0) W 0, e o pimeio axioma está satisfeito (b) Cosideem-se dois elemetos w 1 e w em W; etão, tem-se: w ( x, ) e w ( x, ) 1 1 mx1 etão: mx ( x + x,mx + mx ) ( x + x,mx ( )) w + +, 1 w x de ode se segue que w 1 + w W, isto é, W é fechado em elação à opeação de adição (c) Sejam: w ( x,mx) um elemeto de W e α um úmeo eal Etão: ( αx, α( mx) ) ( αx,m( αx) ) α w e, potato, α w W po escala, o que mosta que W é fechado em elação à opeação de multiplicação Coclui-se, assim, que W é um subespaço vetoial do R

12 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matemática Uesp/Bauu 3) Mosta que o cojuto das teas odeadas de úmeos eais que petecem a um plao que cotém o poto ( 0,0,0) é um subespaço vetoial do 3 R Sabe-se que a equação geal do plao é dada po: ax + by + cz + d 0, ode os coeficietes a, b e c ão se aulam ao mesmo tempo Se o poto ( 0,0,0) petece ao plao, tem-se: a 0 + b 0 + c 0 + d 0 e, potato, d 0 Assim, a equação fica ax + by + cz 0 Seja W o cojuto das teas odeadas do 3 {( x,y,z) R / ax + by + 0 } W cz 3 R que petecem a este plao, ou seja: Supodo-se, po exemplo, que o coeficiete a é ão ulo e escevedo-se a coodeada x em fução das outas duas, tem-se: by + cz x ; a etão, todo veto de W pode se escito a foma: by + cz a,y, z Veifica-se-á se os axiomas da defiição de espaço vetoial são satisfeitos paa o cojuto W (a) O elemeto ulo do espaço vetoial 3 R é a tea odeada ( 0,0,0), que também é um elemeto de W, já que este é o cojuto dos potos do plao que passa pela oigem Potato, (, 0, 0) W 0 e o pimeio axioma está satisfeito (b) Sejam w 1 e w dois elemetos de W; etão, tem-se: by1 cz1 by cz w,y1, z1 e w,y, z a a e vem: by1 cz1 by cz w 1 + w +,y1 + y, z1 + z a a ( + y ) c( z + z ) by1 1,y1 + y, z1 + z, a de ode se segue que (c) Sejam: w1 + w W, isto é, W é fechado em elação à opeação de adição by + cz w,y, z um elemeto de W e α um úmeo eal Etão: a ( αy) c( αz) by + cz b + α w α, αy, αz, αy, αz a a e, potato, α w W po escala, o que mosta que W é fechado em elação à opeação de multiplicação Coclui-se, assim, que W é um subespaço vetoial do 4) Seja ( ( R ), +, ) R M o espaço vetoial eal das matizes quadadas de odem, com as opeações usuais de adição de matizes e multiplicação po escala Mosta que o subcojuto

13 S INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matemática Uesp/Bauu t A M ( R) / A A { } é um subespaço vetoial de ( R) M Mosta-se-á que os axiomas da defiição de espaço vetoial são satisfeitos paa o cojuto S (a) O elemeto ulo do espaço vetoial eal ( ( R ), +, ) L L L 0 M M M L M L 0 t Uma vez que 0 0 x M é a matiz ula de odem :, coclui-se que 0 S e o pimeio axioma está satisfeito (b) Deve-se mosta que S é fechado em elação à opeação de adição De fato, cosideadose dois elemetos A e B de S, tem-se: t t A S A A ; B S B B Po popiedade de matiz tasposta, tem-se: t t t ( A B) A + B + ; etão, vem: t t t t ( A + B) A + B A + B ( A + B) A + B e coclui-se que A+ B S Logo, S é fechado em elação à opeação de adição (c) É peciso mosta, agoa, que S é fechado em elação à opeação de multiplicação po escala, ou seja, é peciso mosta que, se A S e α R, etão α A S De fato, se A S, etão A t A Assim, usado ovamete uma das popiedades da matiz tasposta, vem: t t ( A) α ( A) α A α, ou seja, α A S Coclui-se, assim, que S é um subespaço vetoial do espaço vetoial ( ( R ), +, ) M 5) Seja ( F,+, ) o cojuto de todas as fuções eais de uma vaiável eal, com as opeações de adição e multiplicação po escala assim defiidas: ( f g)( x) f( x) + g( x) +, quaisque que sejam as fuções f e g em F (e paa todo x em R ) ( f)( x) αf( x) ( F,+, ) é um espaço vetoial sobe o copo R dos úmeos eais α, quaisque que sejam f em F e α em R (e paa todo x em R ) Seja S o subcojuto de F, dado po: { f : R R/ f( x ) [ f( x) ], R} S x Veifica se S é um subespaço vetoial de ( F,+, ) Deve-se veifica se os axiomas da defiição são satisfeitos (a) O elemeto euto de F é a fução ula: 0, ou seja, ( ) ( x ) 0 0 e [ ( x) ] x 0, x R Tem-se:

14 Logo, ( x ) 0( x) [ ], R 0 x, INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matemática Uesp/Bauu e, potato, o elemeto euto 0 S (b) Sejam dois elemetos f 1 e f de S Etão, paa todo f 1( x ) [ f1( x) ] e ( x ) f( x) Etão: [ ] f ( f )( x ) f ( x ) + f ( x ) f ( x) [ ] [ f ( )] f x Po outo lado, tem-se: [ f ( x) f ( x) ] [ f ( x) ] + f ( x) f ( x) + [ f ( )] x Logo, [ ] ( f f )( x ) f ( x) + f ( ) x, ou seja, ( f 1 + f ) S x R, tem-se: Uma vez que este axioma ão é satisfeito, coclui-se que S ão é um subespaço vetoial de F Poposição: Se W 1 e W são subespaços de um espaço vetoial V sobe um copo K, etão: (i) W 1 + W é subespaço vetoial de V (ii) W1 W é subespaço vetoial de V (iii) W1 W ão é subespaço vetoial de V Demostação: (i) O cojuto W 1 + W é dado po: { u w + w / w W ew } W1 + W W Paa mosta que W 1 + W é um subespaço vetoial de V, é peciso mosta que satisfaz os axiomas da defiição Tem-se: (a) 0 W 1 + W, pois, como W 1 é subespaço vetoial de V, etão 0 W1 ; da mesma foma, sedo W subespaço vetoial de V, etão 0 W Potato, o elemeto é um elemeto de W 1 + W, ou seja, o elemeto ulo de V petece a W 1 + W (b) Cosideem-se dois elemetos u e v de W 1 + W ; etão: u w 1 + w e v w 1 + w, ode w1,w1 W1 e w,w W Etão: ( w + w ) + ( w + w ) ( w + w ) + ( w + ) u + v w Uma vez que W 1 e W são subespaços vetoiais de V, segue-se que w1 + w1 W1 e w + w W, de ode se coclui que u + v W 1 + W, isto é, W 1 + W é fechado em elação à opeação de adição (c) Sejam u w 1 + w um elemeto de W 1 + W e α R Etão:

15 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matemática Uesp/Bauu α u α( w1 + w) αw1 + αw Como W 1 e W são subespaços vetoiais de V, tem-se que α w1 W1 e α w W e, potato, α u é um elemeto de W 1 + W, de ode se segue que W 1 + W é fechado em elação à opeação de multiplicação po escala De (a), (b) e (c), coclui-se que W 1 + W é um subespaço vetoial de V (ii) O cojuto W1 W é dado po: { u/ u W u } W1 W 1 e W Mosta-se-á que são satisfeitos os axiomas da defiição de subespaço vetoial (a) Como W 1 e W são subespaços vetoiais de V, etão 0 W1 e 0 W Potato, 0 W1 W (b) Sejam u e v dois elemetos de W1 W Etão, u W1 e u W, assim como v W1 e v W Sedo W 1 e W subespaços vetoiais de V, segue-se que u + v W1 e u + v W Potato, u + v W 1 W (c) Sejam u um elemeto de W1 W e α u W 1 e α u W Logo, α u W 1 W α R Etão, u W1 e u W e, potato, De (a), (b) e (c), coclui-se que W1 W é um subespaço vetoial de V (iii) O cojuto W1 W é dado po: { u/ u W u } W1 W 1 ou W Mosta-se-á que W1 W ão é subespaço vetoial de V exibido-se um cota-exemplo Cosidee-se o espaço vetoial {( x,y) R / y 0 } ( x, ) R e dois subcojutos deste espaço: { R / R} W1 0 x e {( x,y) R / x } (,y) { R / R} W 0 0 y A epesetação gáfica de W 1 é o eixo Ox do plao catesiao e de W, o eixo Oy Assim, W1 W é o cojuto dos paes odeados do Obseve-se que W 1 é subespaço vetoial de (a) o elemeto ulo ( ) R que petecem ao eixo Ox ou ao eixo Oy R, pois: 0,0 R petece a W 1, pois tem a seguda coodeada igual a zeo (b) cosideado-se dois elemetos ( x 1,0 ) e ( ),0 W, pois: ( x, ) ( x, 0) ( x + x 0) de , x de W 1, sua soma também é um elemeto (c) cosideado-se um elemeto ( x,0) de W 1 e um úmeo eal α,tem-se: ( x, 0 ) ( αx,0) α, que é um elemeto de W 1

16 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matemática Uesp/Bauu De modo aálogo, mosta-se que W é um subespaço vetoial de veá a segui, W1 W ão é um subespaço vetoial de R Etetato, como se R, pois ão é fechado em elação à opeação de adição Paa isso, cosideem-se os paes odeados ( 1,0) e (,1) elemetos de 1 W ( 1,0) ( 0,1) ( 1,1) +, W, pois ( 1, 0) W1 e ( 0 1) W, Etetato, tem-se: que ão é um elemeto de W 1, em de W e, potato, ão petece a W1 W assim, que W1 W ão é um subespaço vetoial do R 0, os quais são Coclui-se, Defiição: Sejam W 1 e W subespaços vetoiais de um espaço vetoial V Diz-se que o espaço V é soma dieta dos subespaços W 1 e W, e deota-se po V W 1 W, se: (i) V W 1 + W (ii) W W { 0} 1 Exemplos: 1) Mosta que o espaço vetoial W 1 {( x,y) R / y 0} com ( x,y) R é soma dieta dos subespaços vetoiais { R / 0} W x Cofome se viu o item (iii) da poposição ateio, W 1 e W são subespaços vetoiais de R, sedo sua epesetação gáfica os eixos Ox e Oy do plao catesiao, espectivamete (i) Mosta-se-á que R W 1 +W x,y R De fato, tomado-se um elemeto qualque ( ) ( x,y) ( x, 0 ) + ( 0,y), ou seja, todo elemeto do e, potato, tem-se que R W 1 +W, pode-se esceve: R é uma soma de um elemeto de W 1 com um elemeto de W (ii) É fácil ve que o úico pa odeado que petece simultaeamete a W 1 e a que é o elemeto euto de De (i) e (ii), segue-se que R W1 W R Assim, tem-se que W 1 W {( 0, 0) } W é (,0) 0, ) Mosta que toda fução eal de uma vaiável eal é soma dieta de uma fução pa com uma fução ímpa Cosideem-se os cojutos: F, das fuções eais de uma vaiável eal; F 1, das fuções eais de uma vaiável eal que são paes; F, das fuções eais de uma vaiável eal que são ímpaes Que-se mosta que F F 1 F Sabe-se que uma fução f é dita pa se satisfaz a elação f( x) f( x), paa todo poto x de

17 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matemática Uesp/Bauu f x f x, paa todo x do domíio de f, diz-se que f seu domíio Se fo satisfeita a elação ( ) ( ) é ímpa É clao que, paa que seja possível detemia se f é pa ou ímpa, deve-se te x petecete ao domíio da fução, paa todo x de seu domíio (i) Mosta-se-á que F F 1 + F De fato, seja f um elemeto de F; pode-se, a pati dela, obteem-se duas outas fuções f 1 e f, escevedo-se: f1 f ( ) ( x) + f( x) x e f ( x) ( x) f( x) f, paa todo x do domíio de f tal que x também peteça ao domíio de f Obseve-se que f 1 é pa, pois: ( x) + f( ( x) ) f( x) + f( x) f f1( x) f1( x) ; aalogamete, tem-se que f é ímpa: ( x) f( ( x) ) f( x) f( x) f( x) f( x) f f( x) f Potato, f1 F1 e f F Po outo lado, tem-se: f ( x) ou seja, ( x) + f( x) f( x) f( x) f +, ( x) f ( x) f ( x) f 1 +, de ode se coclui que F F 1 + F (ii) Po outo lado, a úica fução que é, ao mesmo tempo, pa e ímpa, é a fução ula 0, que, a cada x eal, associa o úmeo eal 0 Potato, F { 0} De (i) e (ii), segue-se que F F 1 F ( x) F 1 Execícios Popostos: 1) Seja V { v R/ v > 0}, com as opeações: Adição: v1 v v1 v, v1,v V Multiplicação po escala: α α v v, v V e α R Mosta que V, muido dessas opeações, é um espaço vetoial sobe o copo dos úmeos eais ) Mosta que o cojuto M ( R) de ( R) M a b W / a + b c d 0 é um subespaço vetoial c d

18 Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matemática Uesp/Bauu U pt ao + a1 t + at P R / ao a 1 0 é um subespaço { } 3) Mosta que o cojuto ( ) ( ) vetoial de ( R) P 4) Veifica quais dos cojutos são subespaços vetoiais do espaço vetoial { 1 R / x1 x} a) ( x, x,, x ) R W L R: ão { 1 R / x x1 + x} b) U ( x, x,, x ) L R: sim { 1 R / 1 0} L x R: ão c) X ( x, x,, x ) { } 5) Sejam: W ( x,y) R / y x 0 e ( x,y) R W1 W 1 { R / y + 0} W x Mosta que

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática Unesp/Bauru CAPÍTULO 2 ESPAÇOS VETORIAIS

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática Unesp/Bauru CAPÍTULO 2 ESPAÇOS VETORIAIS Luiz Facisco da Cuz Depatameto de Matática Uesp/Bauu CAPÍTULO ESPAÇOS VETORIAIS 1 Históico Sabe-se que, até pelo meos o fial do século XIX, ão havia ehuma teoia ou cojuto de egas b defiidas a que se pudesse

Leia mais

Números Complexos (Parte II) 1 Plano de Argand-Gauss. 2 Módulo de um número complexo. Prof. Gustavo Adolfo Soares

Números Complexos (Parte II) 1 Plano de Argand-Gauss. 2 Módulo de um número complexo. Prof. Gustavo Adolfo Soares Númeos Complexos (Pate II) 1 Plao de Agad-Gauss Das defiições de que um úmeo complexo é um pa odeado de úmeos eais x e y e que C = R R, temos que: A cada úmeo complexo coespode um úico poto do plao catesiao,

Leia mais

1 - CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES rxy

1 - CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES rxy 1 - CORRELAÇÃO LINEAR IMPLE Em pesquisas, feqüetemete, pocua-se veifica se existe elação ete duas ou mais vaiáveis, isto é, sabe se as alteações sofidas po uma das vaiáveis são acompahadas po alteações

Leia mais

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A. Tarefa nº 7 do plano de trabalho nº 1

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A. Tarefa nº 7 do plano de trabalho nº 1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A Taefa º 7 do plao de tabalho º. Comece po esolve o execício 3 da págia 0.. Muitas das geealizações feitas as divesas ciêcias,

Leia mais

AULA 23 FATORES DE FORMA DE RADIAÇÃO TÉRMICA

AULA 23 FATORES DE FORMA DE RADIAÇÃO TÉRMICA Notas de aula de PME 336 Pocessos de Tasfeêcia de Calo e Massa 98 AULA 3 ATORES DE ORMA DE RADIAÇÃO TÉRMICA Cosidee o caso de duas supefícies egas quaisque que tocam calo po adiação témica ete si. Supoha

Leia mais

4.4 Mais da geometria analítica de retas e planos

4.4 Mais da geometria analítica de retas e planos 07 4.4 Mais da geometia analítica de etas e planos Equações da eta na foma simética Lembemos que uma eta, no planos casos acima, a foma simética é um caso paticula da equação na eta na foma geal ou no

Leia mais

1. Revisão Matemática

1. Revisão Matemática Se x é um elemeto do cojuto Notação S: x S Especificação de um cojuto : S = xx satisfaz propriedadep Uião de dois cojutos S e T : S T Itersecção de dois cojutos S e T : S T existe ; para todo f : A B sigifica

Leia mais

Revisão Vetores em R n

Revisão Vetores em R n Revisão Vetoes em R Deiição O espaço vetoial R é o cojuto R : {( x1,, x) xi R, i 1,, } o qual deiimos as opeações: a) Se u ( x 1,, x ) e v ( y 1,, y ) estão em R temos que u + v ( x1 + y1,, x + y) ; b)

Leia mais

FORMULÁRIO ELABORAÇÃO ITENS/QUESTÕES

FORMULÁRIO ELABORAÇÃO ITENS/QUESTÕES CÓDIGOFO 7.5./0 REVISÃO 0 PÁGINA de CONCURSO DOCENTES EFETIVOS DO COLÉGIO PEDRO II DATA//0 CARGO/ARÉA MATEMÁTICÁ CONTEÚDO PROGRAMÁTICOSISTEMAS LINEARES/ VETORES NO R /GEOMETRIA ANALÍTICA EMR. NÍVEL DE

Leia mais

Sistemas e Sinais 2009/2010

Sistemas e Sinais 2009/2010 Aálise em espaço de estados Sistemas e Siais 009/010 Repesetação de Sistemas Sistemas descitos po equações difeeciais Sistemas descitos po sistemas de equações difeeciais Repesetação em espaço de estados

Leia mais

NÚMEROS IRRACIONAIS E TRANSCENDENTES

NÚMEROS IRRACIONAIS E TRANSCENDENTES UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA UNIVERSIDADE VIRTUAL DO MARANHÃO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM MATEMÁTICA NÚMEROS IRRACIONAIS E TRANSCENDENTES IMPERATRIZ 009 JULIMAR

Leia mais

CAPÍTULO 3 DEPENDÊNCIA LINEAR

CAPÍTULO 3 DEPENDÊNCIA LINEAR Luiz Fancisco da Cuz Depatamento de Matemática Unesp/Bauu CAPÍTULO 3 DEPENDÊNCIA LINEAR Combinação Linea 2 n Definição: Seja {,,..., } um conjunto com n etoes. Dizemos que um eto u é combinação linea desses

Leia mais

Estudo de um modelo do núcleo do deuterão

Estudo de um modelo do núcleo do deuterão Estudo de um modelo do úcleo do deuteão Goçalo Oliveia º 5789 Pedo Ricate º 578 Física Quâtica da Matéia Istituto Sueio Técico Maio, 8 Resumo Cosidea-se um modelo simles aa o úcleo do deuteão, ode a iteacção

Leia mais

AULA Matriz inversa Matriz inversa.

AULA Matriz inversa Matriz inversa. Note bem: a leitura destes apotametos ão dispesa de modo algum a leitura ateta da bibliografia pricipal da cadeira ÓPICOS Matriz iversa. U 6 Chama-se a ateção para a importâcia do trabalho pessoal a realizar

Leia mais

Campo Gravítico da Terra

Campo Gravítico da Terra 5. Campo Gavítico ómalo elação ete o potecial gavítico e o potecial omal é dada po: W ( x, y, z = U( x, y,z + ( x, y,z O campo gavítico aómalo ou petubado é etão defiido pela difeeça do campo gavítico

Leia mais

APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA (CÁLCULO DIFERENCIAL EM ) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Cálculo Dieecial em Cálculo dieecial em

Leia mais

ITA Destas, é (são) falsa(s) (A) Apenas I (B) apenas II (C) apenas III (D) apenas I e III (E) apenas nenhuma.

ITA Destas, é (são) falsa(s) (A) Apenas I (B) apenas II (C) apenas III (D) apenas I e III (E) apenas nenhuma. ITA 00. (ITA 00) Cosidere as afirmações abaixo relativas a cojutos A, B e C quaisquer: I. A egação de x A B é: x A ou x B. II. A (B C) = (A B) (A C) III. (A\B) (B\A) = (A B) \ (A B) Destas, é (são) falsa(s)

Leia mais

Universidade de São Paulo Instituto de Física. Física Moderna II. Profa. Márcia de Almeida Rizzutto 2 o Semestre de Física Moderna 2 Aula 20

Universidade de São Paulo Instituto de Física. Física Moderna II. Profa. Márcia de Almeida Rizzutto 2 o Semestre de Física Moderna 2 Aula 20 Uivesidade de São Paulo Istituto de Física Física Modea II Pofa. Mácia de Almeida Rizzutto o Semeste de 14 Física Modea 1 Todos os tipos de ligação molecula se devem ao fato de a eegia total da molécula

Leia mais

TÓPICOS. Matriz inversa. Método de condensação. Matriz ortogonal. Propriedades da álgebra matricial.

TÓPICOS. Matriz inversa. Método de condensação. Matriz ortogonal. Propriedades da álgebra matricial. Note bem: a leitura destes apotametos ão dispesa de modo algum a leitura ateta da bibliografia pricipal da cadeira ÓPICOS Matriz iversa. U 6 Chama-se a ateção para a importâcia do trabalho pessoal a realizar

Leia mais

Demonstrações Geométricas, Algébricas e Solução de Equações Discretas utilizando as Sequências de Números Figurados

Demonstrações Geométricas, Algébricas e Solução de Equações Discretas utilizando as Sequências de Números Figurados Demostações Geométicas, Algébicas e Solução de Equações Discetas utilizado as Sequêcias de Númeos Figuados José Atoio Salvado Depatameto de Matemática - CCET - Uivesidade Fedeal de São Calos 3565-905,

Leia mais

AULA Subespaço, Base e Dimensão Subespaço.

AULA Subespaço, Base e Dimensão Subespaço. Note bem: a leitura destes apotametos ão dispesa de modo algum a leitura ateta da bibliografia pricipal da cadeira TÓPICOS Subespaço. ALA Chama-se a ateção para a importâcia do trabalho pessoal a realizar

Leia mais

SISTEMA DE COORDENADAS

SISTEMA DE COORDENADAS ELETROMAGNETISMO I 1 0 ANÁLISE VETORIAL Este capítulo ofeece uma ecapitulação aos conhecimentos de álgeba vetoial, já vistos em outos cusos. Estando po isto numeado com o eo, não fa pate de fato dos nossos

Leia mais

Mecânica Técnica. Aula 4 Adição e Subtração de Vetores Cartesianos. Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Mecânica Técnica. Aula 4 Adição e Subtração de Vetores Cartesianos. Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Aula 4 Adição e Subtação de Vetoes Catesianos Pof. MSc. Luiz Eduado Mianda J. Rodigues Pof. MSc. Luiz Eduado Mianda J. Rodigues Tópicos Abodados Nesta Aula Opeações com Vetoes Catesianos. Veto Unitáio.

Leia mais

VETORES GRANDEZAS VETORIAIS

VETORES GRANDEZAS VETORIAIS VETORES GRANDEZAS VETORIAIS Gandezas físicas que não ficam totalmente deteminadas com um valo e uma unidade são denominadas gandezas vetoiais. As gandezas que ficam totalmente expessas po um valo e uma

Leia mais

Mecânica Técnica. Aula 5 Vetor Posição, Aplicações do Produto Escalar. Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Mecânica Técnica. Aula 5 Vetor Posição, Aplicações do Produto Escalar. Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues ula 5 Veto Posição, plicações do Poduto Escala Pof. MSc. Luiz Eduado Mianda J. Rodigues Pof. MSc. Luiz Eduado Mianda J. Rodigues Tópicos bodados Nesta ula Vetoes Posição. Veto Foça Oientado ao Longo de

Leia mais

1.4 Determinantes. determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

1.4 Determinantes. determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. 1.4 Determiates A teoria dos determiates surgiu quase simultaeamete a Alemaha e o Japão. Ela foi desevolvida por dois matemáticos, Gottfried Wilhelm Leibiz (1642-1716) e Seki Shisuke Kowa (1642-1708),

Leia mais

Módulo: Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal. Somas de elementos em Linhas, Colunas e Diagonais do Triângulo de Pascal. 2 ano do E.M.

Módulo: Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal. Somas de elementos em Linhas, Colunas e Diagonais do Triângulo de Pascal. 2 ano do E.M. Módulo: Bômo de Newto e o Tâgulo de Pascal Somas de elemetos em Lhas, Coluas e Dagoas do Tâgulo de Pascal ao do EM Módulo: Bômo de Newto e o Tâgulo de Pascal Somas de elemetos em Lhas, Coluas e Dagoas

Leia mais

Esquemas simétricos de cifra

Esquemas simétricos de cifra Esquemas siméticos de cifa Notas paa a UC de Seguaça Ifomática Iveo de 12/13 Pedo Félix (pedofelix em cc.isel.ipl.pt) Istituto Supeio de Egehaia de Lisboa Sumáio Pimitivas de cifa em bloco Pimitivas iteadas

Leia mais

Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Números reais

Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Números reais Fudametos de Aálise Matemática Profª Aa Paula Números reais 1,, 3, cojuto dos úmeros aturais 0,1,,3, cojuto dos úmeros iteiros p q /p e q cojuto dos úmeros racioais a, a 0 a 1 a a, a e a i 0, 1,, 3, 4,

Leia mais

( ) 10 2 = = 505. = n3 + n P1 - MA Questão 1. Considere a sequência (a n ) n 1 definida como indicado abaixo:

( ) 10 2 = = 505. = n3 + n P1 - MA Questão 1. Considere a sequência (a n ) n 1 definida como indicado abaixo: P1 - MA 1-011 Questão 1 Considee a sequência (a n ) n 1 definida como indicado abaixo: a 1 = 1 a = + 3 a 3 = + 5 + 6 a = 7 + 8 + 9 + 10 (05) (a) O temo a 10 é a soma de 10 inteios consecutivos Qual é o

Leia mais

Veremos neste capítulo as distribuições na variável discreta: Distribuição Binomial e Distribuição de Poisson.

Veremos neste capítulo as distribuições na variável discreta: Distribuição Binomial e Distribuição de Poisson. CAPÍTULO 5 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL E DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Veemos este capítulo as distibuições a vaiável disceta: Distibuição Biomial e Distibuição de Poisso. 1. Pobabilidade de Beoulli Seja um expeimeto

Leia mais

Preliminares 1. 1 lim sup, lim inf. Medida e Integração. Departamento de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales. 8 de março de 2009.

Preliminares 1. 1 lim sup, lim inf. Medida e Integração. Departamento de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales. 8 de março de 2009. Medida e Itegração. Departameto de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales 8 de março de 2009. 1 lim sup, lim if Prelimiares 1 Seja (x ), N, uma seqüêcia de úmeros reais, e l o limite desta

Leia mais

1- Resolução de Sistemas Lineares.

1- Resolução de Sistemas Lineares. MÉTODOS NUMÉRICOS PR EQUÇÕES DIFERENCIIS PRCIIS 1- Resolução de Sistemas Lieares. 1.1- Matrizes e Vetores. 1.2- Resolução de Sistemas Lieares de Equações lgébricas por Métodos Exatos (Diretos). 1.3- Resolução

Leia mais

Prova Escrita de Matemática A

Prova Escrita de Matemática A EXAME FINAL NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Pova Escita de Matemática A 12.º Ano de Escolaidade Deceto-Lei n.º 19/2012, de 5 de julho Pova 65/1.ª Fase Citéios de Classificação 11 Páginas 2016 Pova 65/1.ª

Leia mais

Grandezas vetoriais: Além do módulo, necessitam da direção e do sentido para serem compreendidas.

Grandezas vetoriais: Além do módulo, necessitam da direção e do sentido para serem compreendidas. NOME: Nº Ensino Médio TURMA: Data: / DISCIPLINA: Física PROF. : Glênon Duta ASSUNTO: Gandezas Vetoiais e Gandezas Escalaes Em nossas aulas anteioes vimos que gandeza é tudo aquilo que pode se medido. As

Leia mais

MATEMÁTICA 3 A SÉRIE - E. MÉDIO

MATEMÁTICA 3 A SÉRIE - E. MÉDIO 1 MTEMÁTIC 3 SÉRIE - E. MÉDIO Pof. Rogéio Rodigues ELEMENTOS PRIMITIVOS / ÂNGULOS NOME :... NÚMERO :... TURM :... 2 I) ELEMENTOS PRIMITIVOS ÂNGULOS Os elementos pimitivos da Geometia são O Ponto, eta e

Leia mais

Funções analíticas complexas

Funções analíticas complexas Capítulo 5 Fuções aalíticas complexas 5 Itodução As fuções aalíticas são as fuções epesetáveis po séies de potêcias Até meados do séc XVII a oção de fução cofudia-se com a de fómula algébica com vaiáveis,

Leia mais

Departamento de Física - ICE/UFJF Laboratório de Física II

Departamento de Física - ICE/UFJF Laboratório de Física II Depatameto de ísica - ICE/UJ Laboatóio de ísica II - Itodução Pática : Medida da Aceeação Gavitacioa A iteação avitacioa é uma das quato iteações fudametais que se ecotam a atueza e é a úica que afeta

Leia mais

MATEMÁTICA II. 01. Uma função f, de R em R, tal. , então podemos afirmar que a, b e c são números reais, tais. que. D) c =

MATEMÁTICA II. 01. Uma função f, de R em R, tal. , então podemos afirmar que a, b e c são números reais, tais. que. D) c = MATEMÁTCA 0. Uma fução f, de R em R, tal que f(x 5) f(x), f( x) f(x),f( ). Seja 9 a f( ), b f( ) e c f() f( 7), etão podemos afirmar que a, b e c são úmeros reais, tais que A) a b c B) b a c C) c a b ab

Leia mais

PROVA COMENTADA E RESOLVIDA PELOS PROFESSORES DO CURSO POSITIVO

PROVA COMENTADA E RESOLVIDA PELOS PROFESSORES DO CURSO POSITIVO Vestibula AFA 010 Pova de Matemática COMENTÁRIO GERAL DOS PROFESSORES DO CURSO POSITIVO A pova de Matemática da AFA em 010 apesentou-se excessivamente algébica. Paa o equílibio que se espea nesta seleção,

Leia mais

CAPÍTULO 04 CINEMÁTICA INVERSA DE POSIÇÃO

CAPÍTULO 04 CINEMÁTICA INVERSA DE POSIÇÃO Capítulo 4 - Cinemática Invesa de Posição 4 CAPÍTULO 04 CINEMÁTICA INVERSA DE POSIÇÃO 4.1 INTRODUÇÃO No capítulo anteio foi visto como detemina a posição e a oientação do ógão teminal em temos das vaiáveis

Leia mais

NOTAÇÕES. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

NOTAÇÕES. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares. R C : cojuto dos úmeros reais : cojuto dos úmeros complexos i : uidade imagiária: i2 = 1 z Re(z) Im(z) det A : módulo do úmero z E C : parte real do úmero z E C : parte imagiária do úmero z E C : determiate

Leia mais

Capítulo 4 Variáveis Aleatórias Discretas. Prof. Fabrício Maciel Gomes

Capítulo 4 Variáveis Aleatórias Discretas. Prof. Fabrício Maciel Gomes Capítulo 4 Vaiáveis Aleatóias Discetas Pof. Fabício Maciel Gomes Picipais Distibuições de Pobabilidade Discetas Equipovável Beoulli Biomial Poisso Geomética Pascal Hipegeomética Distibuição Equipovável

Leia mais

Departamento de Informática. Modelagem Analítica. Desempenho de Sistemas de Computação. Arranjos: Amostras Ordenadas. Exemplo

Departamento de Informática. Modelagem Analítica. Desempenho de Sistemas de Computação. Arranjos: Amostras Ordenadas. Exemplo Depatameto de Ifomática Disciplia: Modelagem Aalítica do Desempeho de Sistemas de Computação Elemetos de Aálise Combiatóia Pof. Ségio Colche colche@if.puc-io.b Teoema: Elemetos de Aálise Combiatóia Modelagem

Leia mais

Estudo da Função Exponencial e Função Logarítmica

Estudo da Função Exponencial e Função Logarítmica Istituto Muicipal de Esio Superior de Cataduva SP Curso de Liceciatura em Matemática 3º ao Prática de Esio da Matemática III Prof. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreira fabricio@fafica.br Estudo da Fução Expoecial

Leia mais

11. Para quais valores a desigualdade x + > x (ITA/2012) Sejam r 1. r D e m o n s t r a r q u e s e A, B, C R * + 02.

11. Para quais valores a desigualdade x + > x (ITA/2012) Sejam r 1. r D e m o n s t r a r q u e s e A, B, C R * + 02. Matemática Revisão de Álgebra Exercícios de Fixação 0. Ecotre os valores das raízes racioais a, b e c de x + ax + bx + c. 0. Se f(x)f(y) f(xy) = x + y, "x,y R, determie f(x). 0. Ecotre x real satisfazedo

Leia mais

CPV O cursinho que mais aprova na fgv

CPV O cursinho que mais aprova na fgv CPV O cursiho que mais aprova a fgv FGV ecoomia a Fase 0/dezembro/0 MATEMÁTICA 0. Chamaremos de S() a soma dos algarismos do úmero iteiro positivo, e de P() o produto dos algarismos de. Por exemplo, se

Leia mais

Cap03 - Estudo da força de interação entre corpos eletrizados

Cap03 - Estudo da força de interação entre corpos eletrizados ap03 - Estudo da foça de inteação ente copos eletizados 3.1 INTRODUÇÃO S.J.Toise omo foi dito na intodução, a Física utiliza como método de tabalho a medida das qandezas envolvidas em cada fenômeno que

Leia mais

Descontos desconto racional e desconto comercial

Descontos desconto racional e desconto comercial Descontos desconto acional e desconto comecial Uma opeação financeia ente dois agentes econômicos é nomalmente documentada po um título de cédito comecial, devendo esse título conte todos os elementos

Leia mais

Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Sequência Infinitas

Fundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Sequência Infinitas Fudametos de Aálise Matemática Profª Aa Paula Sequêcia Ifiitas Defiição 1: Uma sequêcia umérica a 1, a 2, a 3,,a,é uma fução, defiida o cojuto dos úmeros aturais : f : f a Notação: O úmero é chamado de

Leia mais

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 014.2

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 014.2 CÁLCULO IFERENCIAL E INTEGRAL II Obsevações: ) Todos os eecícios popostos devem se esolvidos e entegue no dia de feveeio de 5 Integais uplas Integais uplas Seja z f( uma função definida em uma egião do

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 3. MATEMÁTICA III 1 GEOM. ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 3. MATEMÁTICA III 1 GEOM. ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO INTRODUÇÃO... NOÇÕES BÁSICAS... POSIÇÃO DE UM PONTO EM RELAÇÃO AO SISTEMA...4 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS...6 RAZÃO DE SECÇÃO... 5 DIVISÃO DE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA... 6 PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO...

Leia mais

1. Revisão Matemática

1. Revisão Matemática Sequêcias de Escalares Uma sequêcia { } diz-se uma sequêcia de Cauchy se para qualquer (depedete de ε ) tal que : ε > 0 algum K m < ε para todo K e m K Uma sequêcia { } diz-se ser limitada superiormete

Leia mais

Definição 1: Sequência é uma lista infinita de números reais ordenados.

Definição 1: Sequência é uma lista infinita de números reais ordenados. Cálculo I Egeharia Mecâica. Sequêcias Defiição : Sequêcia é uma lista ifiita de úmeros reais ordeados. 2º termo º termo Nome (x ) = (x, x 2, x,..., x,...) º termo º termo N R x Observação: Podemos pesar

Leia mais

n n ...

n n ... 6. Álgebra Matricial Defiição : Um couto de ( m, ) úmeros (reais ou complexos) arraados em uma forma retagular de m lihas e coluas: a a a. a a a a. a..... a a a. a 2 3 2 22 23 2 m m2 m3 m é chamada de

Leia mais

Vetores Cartesianos. Marcio Varela

Vetores Cartesianos. Marcio Varela Vetoes Catesianos Macio Vaela Sistemas de Coodenadas Utilizando a Rega da Mão Dieita. Esse sistema seá usado paa desenvolve a teoia da álgeba vetoial. Componentes Retangulaes de um Veto Um veto pode te

Leia mais

ELETRICIDADE CAPÍTULO 3 LEIS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS

ELETRICIDADE CAPÍTULO 3 LEIS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS ELETICIDADE CAPÍTULO 3 LEIS DE CICUITOS ELÉTICOS - CONSIDEE A SEGUINTE ELAÇÃO: 3. LEI DE OHM - QUALQUE POCESSO DE CONVESÃO DE ENEGIA PODE SE ELACIONADO A ESTA EQUAÇÃO. - EM CICUITOS ELÉTICOS : - POTANTO,

Leia mais

NOTAÇÕES. denota o segmento que une os pontos A e B. In x denota o logarítmo natural de x. A t denota a matriz transposta da matriz A.

NOTAÇÕES. denota o segmento que une os pontos A e B. In x denota o logarítmo natural de x. A t denota a matriz transposta da matriz A. MATEMÁTICA NOTAÇÕES é o cojuto dos úmeros compleos. é o cojuto dos úmeros reais. = {,,, } i deota a uidade imagiária, ou seja, i =. Z é o cojugado do úmero compleo Z Se X é um cojuto, PX) deota o cojuto

Leia mais

ÁLGEBRA. Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores LEEC Ano lectivo de 2002/2003

ÁLGEBRA. Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores LEEC Ano lectivo de 2002/2003 ÁLGEBRA Liceciatura em Egeharia Electrotécica e de Computadores LEEC Ao lectivo de 00/003 Apotametos para a resolução dos exercícios da aula prática 5 MATRIZES ELIMINAÇÃO GAUSSIANA a) Até se obter a forma

Leia mais

2.2. Séries de potências

2.2. Séries de potências Capítulo 2 Séries de Potêcias 2.. Itrodução Série de potêcias é uma série ifiita de termos variáveis. Assim, a teoria desevolvida para séries ifiitas de termos costates pode ser estedida para a aálise

Leia mais

Cálculo II Sucessões de números reais revisões

Cálculo II Sucessões de números reais revisões Ídice 1 Defiição e exemplos Cálculo II Sucessões de úmeros reais revisões Mestrado Itegrado em Egeharia Aeroáutica Mestrado Itegrado em Egeharia Civil Atóio Beto beto@ubi.pt Departameto de Matemática Uiversidade

Leia mais

Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos

Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos. Análise de Algoritmos Aálise de Algoritmos Aálise de Algoritmos Prof Dr José Augusto Baraauskas DFM-FFCLRP-USP A Aálise de Algoritmos é um campo da Ciêcia da Computação que tem como objetivo o etedimeto da complexidade dos

Leia mais

CEDERJ - CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR A DISTÂNCIA DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

CEDERJ - CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR A DISTÂNCIA DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO CEDERJ - CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR A DISTÂNCIA DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO MATERIAL DIDÁTICO IMPRESSO CURSO: Física DISCIPLINA: Ifomática paa o Esio de Física CONTEUDISTA: Calos Eduado Aguia AULA 4 TÍTULO:

Leia mais

APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (IV ) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Ídice 4 4 Defiição e exemplos 4 Subespaços4 4 Cojutos

Leia mais

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONAL - PROFMAT

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONAL - PROFMAT UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONAL - PROFMAT JOSÉ ROBYSON AGGIO MOLINARI NÚMEROS PRIMOS E A CRIPTOGRAFIA

Leia mais

Eletromagnetismo Aplicado

Eletromagnetismo Aplicado Eletomagnetismo plicado Unidade 1 Pof. Macos V. T. Heckle 1 Conteúdo Intodução Revisão sobe álgeba vetoial Sistemas de coodenadas clássicos Cálculo Vetoial Intodução Todos os fenômenos eletomagnéticos

Leia mais

CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática Unesp/Bauru

CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática Unesp/Bauru Luiz Fancisco da Cuz Depatamento de Matemática Unesp/Bauu EXERCÍCIOS SOBRE CÁLCULO VETOTIL E GEOMETRI NLÍTIC 01) Demonste vetoialmente que o segmento que une os pontos médios dos lados não paalelos de

Leia mais

Matemática. Binômio de Newton. Professor Dudan.

Matemática. Binômio de Newton. Professor Dudan. Matemática Biômio de Newto Professor Duda www.acasadococurseiro.com.br Matemática BINÔMIO DE NEWTON Defiição O biômio de Newto é uma expressão que permite calcular o desevolvimeto de (a + b), sedo a +

Leia mais

Espaços Vetoriais. () Espaços Vetoriais 1 / 17

Espaços Vetoriais. () Espaços Vetoriais 1 / 17 Espaços Vetoriais () Espaços Vetoriais 1 / 17 Espaços Vetoriais Definição Seja um conjunto V, não vazio. i. Uma adição em V é uma operação que a cada par de elementos (u, v) V V associa um elemento u +

Leia mais

Seção 8: EDO s de 2 a ordem redutíveis à 1 a ordem

Seção 8: EDO s de 2 a ordem redutíveis à 1 a ordem Seção 8: EDO s de a odem edutíveis à a odem Caso : Equações Autônomas Definição Uma EDO s de a odem é dita autônoma se não envolve explicitamente a vaiável independente, isto é, se fo da foma F y, y, y

Leia mais

CÁLCULO DIFERENCIAL. Conceito de derivada. Interpretação geométrica

CÁLCULO DIFERENCIAL. Conceito de derivada. Interpretação geométrica CÁLCULO DIFERENCIAL Coceito de derivada Iterpretação geométrica A oção fudametal do Cálculo Diferecial a derivada parece ter sido pela primeira vez explicitada o século XVII, pelo matemático fracês Pierre

Leia mais

1.1. Ordem e Precedência dos Cálculos 1) = Capítulo 1

1.1. Ordem e Precedência dos Cálculos 1) = Capítulo 1 Capítulo. Aritmética e Expressões Algébricas O estudo de cálculo exige muito mais que o cohecimeto de limite, derivada e itegral. Para que o apredizado seja satisfatório o domíio de tópicos de aritmética

Leia mais

Capítulo I Erros e Aritmética Computacional

Capítulo I Erros e Aritmética Computacional C. Balsa e A. Satos Capítulo I Eos e Aitmética Computacioal. Itodução aos Métodos Numéicos O objectivo da disciplia de Métodos Numéicos é o estudo, desevolvimeto e avaliação de algoitmos computacioais

Leia mais

APÊNDICE. Revisão de Trigonometria

APÊNDICE. Revisão de Trigonometria E APÊNDICE Revisão de Tigonometia FUNÇÕES E IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS ÂNGULOS Os ângulos em um plano podem se geados pela otação de um aio (semi-eta) em tono de sua etemidade. A posição inicial do aio

Leia mais

CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática Unesp/Bauru CAPÍTULO 2 VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO

CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática Unesp/Bauru CAPÍTULO 2 VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO Lui Fancisco da Cu Depatamento de Matemática Unesp/Bauu CAPÍTULO VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO Vetoes no plano O plano geomético, também chamado de R, simbolicamente escevemos: R RR {(,), e R}, é o conunto

Leia mais

Matemática do Ensino Médio vol.2

Matemática do Ensino Médio vol.2 Matemática do Ensino Médio vol.2 Cap.11 Soluções 1) a) = 10 1, = 9m = 9000 litos. b) A áea do fundo é 10 = 0m 2 e a áea das paedes é (10 + + 10 + ) 1, = 51,2m 2. Como a áea que seá ladilhada é 0 + 51,2

Leia mais

CAPÍTULO 02 MOVIMENTOS DE CORPO RÍGIDO. TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS

CAPÍTULO 02 MOVIMENTOS DE CORPO RÍGIDO. TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS Caítulo 2 - Movimentos de Coo Rígido. Tansfomações Homogêneas 8 CAPÍTULO 02 MOVIMENTOS DE CORPO RÍGIDO. TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS 2. INTRODUÇÃO Paa o desenvolvimento das equações cinemáticas do maniulado

Leia mais

Transformação de similaridade

Transformação de similaridade Trasformação de similaridade Relembrado bases e represetações, ós dissemos que dada uma base {q, q,..., q} o espaço real - dimesioal, qualquer vetor deste espaço pode ser escrito como:. Ou a forma matricial

Leia mais

= o logaritmo natural de x.

= o logaritmo natural de x. VI OLIMPÍ IEROMERIN E MTEMÁTI UNIVERSITÁRI 8 E NOVEMRO E 00 PROLEM [5 potos] Seja f ( x) log x 0 = o logaritmo atural de x efia para todo 0 f+ ( x) = f() t dt = lim f() t dt x 0 ε 0 ε Prove que o limite

Leia mais

Esp. Vet. I. Espaços Vetoriais. Espaço Vetorial. Combinações Lineares. Espaços Vetoriais. Espaço Vetorial Combinações Lineares. Esp. Vet.

Esp. Vet. I. Espaços Vetoriais. Espaço Vetorial. Combinações Lineares. Espaços Vetoriais. Espaço Vetorial Combinações Lineares. Esp. Vet. Definição (R n 1 a Parte R n é o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais. (1,, R Paulo Goldfeld Marco Cabral (1, (, 1 R Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal do Rio de Janeiro

Leia mais

Séquências e Séries Infinitas de Termos Constantes

Séquências e Séries Infinitas de Termos Constantes Capítulo Séquêcias e Séries Ifiitas de Termos Costates.. Itrodução Neste capítulo estamos iteressados em aalisar as séries ifiitas de termos costates. Etretato, para eteder as séries ifiitas devemos ates

Leia mais

Matemática. B) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. C) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD.

Matemática. B) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. C) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD. Matemática 0. Um losago do plao cartesiao oxy tem vértices A(0,0), B(,0), C(,) e D(,). A) Determie a equação da reta que cotém a diagoal AC. B) Determie a equação da reta que cotém a diagoal BD. C) Ecotre

Leia mais

Carga Elétrica e Campo Elétrico

Carga Elétrica e Campo Elétrico Aula 1_ Caga lética e Campo lético Física Geal e peimental III Pof. Cláudio Gaça Capítulo 1 Pincípios fundamentais da letostática 1. Consevação da caga elética. Quantização da caga elética 3. Lei de Coulomb

Leia mais

Matemática 5 aula 11 ( ) ( ) COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS REVISÃO. 4a 12ab + 5b 2a 2(2a)(3b) + (3b) (2b)

Matemática 5 aula 11 ( ) ( ) COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS REVISÃO. 4a 12ab + 5b 2a 2(2a)(3b) + (3b) (2b) Matemática 5 aula 11 REVISÃO 1. Seja L a capacidade, em litros, do taque. Por regra de três simples, temos: I. Toreira 1: II. Toreira : 1 L 18 L x 1 x + xl ( x+ ) 1 = = L 1 18 xl ( x+ ) Sabedo que R 1

Leia mais

Figura 6.6. Superfícies fechadas de várias formas englobando uma carga q. O fluxo eléctrico resultante através de cada superfície é o mesmo.

Figura 6.6. Superfícies fechadas de várias formas englobando uma carga q. O fluxo eléctrico resultante através de cada superfície é o mesmo. foma dessa supefície. (Pode-se pova ue este é o caso poue E 1/ 2 ) De fato, o fluxo esultante atavés de ualue supefície fechada ue envolve uma caga pontual é dado po. Figua 6.6. Supefícies fechadas de

Leia mais

Generalidades sobres funções. ab, em que a pertence a A e b pertence a B.

Generalidades sobres funções. ab, em que a pertence a A e b pertence a B. mata1 unções Poduto catesiano de A po B Genealidades sobes unções,, conjunto dos paes odenados, A B a b a A b B Gáico de uma unção ab, em que a petence a A e b petence a B. G A B é um gáico de uma unção

Leia mais

Sobre a classe de diferenciabilidade de quocientes de polinômios homogêneos.

Sobre a classe de diferenciabilidade de quocientes de polinômios homogêneos. Uvesdade Regoal do Ca - URCA CADERNO DE CULTURA E CIÊNCIA VOLUME Nº - 008 IN 980-586 obe a classe de dfeecabldade de quocetes de polômos homogêeos About the Dffeetablty Class of the Quotet of Homogeeous

Leia mais

DERIVADAS DE FUNÇÕES11

DERIVADAS DE FUNÇÕES11 DERIVADAS DE FUNÇÕES11 Gil da Costa Marques Fudametos de Matemática I 11.1 O cálculo diferecial 11. Difereças 11.3 Taxa de variação média 11.4 Taxa de variação istatâea e potual 11.5 Primeiros exemplos

Leia mais

Séries e aplicações15

Séries e aplicações15 Séries e aplicações5 Gil da Costa Marques Fudametos de Matemática I 5. Sequêcias 5. Séries 5. Séries especiais 5.4 Arquimedes e a quadratura da parábola 5.5 Sobre a Covergêcia de séries 5.6 Séries de Taylor

Leia mais

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ Aotações sobre somatórios Rodrigo Carlos Silva de Lima Uiversidade Federal Flumiese - UFF-RJ rodrigouffmath@gmailcom Sumário Somatórios 3 Somatórios e úmeros complexos 3 O truque de Gauss para somatórios

Leia mais

Universidade Federal Fluminense - GAN

Universidade Federal Fluminense - GAN Solimá Gomes Pimentel Universidade Federal Fluminense IM - GAN Solimá Gomes Pimentel, ****- Matemática para Economia III/Solimá Gomes Pimentel 2pt, ; 31cm Inclui Bibliografia. 1. Matemática para Economia

Leia mais

Exame Final Nacional de Matemática A Prova 635 Época Especial Ensino Secundário º Ano de Escolaridade. Critérios de Classificação.

Exame Final Nacional de Matemática A Prova 635 Época Especial Ensino Secundário º Ano de Escolaridade. Critérios de Classificação. Exame Final Nacional de Matemática A Pova 635 Época Especial Ensino Secundáio 07.º Ano de Escolaidade Deceto-Lei n.º 39/0, de 5 de julho Citéios de Classificação 0 Páginas Pova 635/E. Especial CC Página

Leia mais

Cap. 4 - O Campo Elétrico

Cap. 4 - O Campo Elétrico ap. 4 - O ampo Elético 4.1 onceito de ampo hama-se ampo a toda egião do espaço que apesenta uma deteminada popiedade física. Esta popiedade pode se de qualque natueza, dando oigem a difeentes campos, escalaes

Leia mais

Elementos de Matemática

Elementos de Matemática Elemetos de Matemática Números Complexos e Biomiais: Exercícios - 2007 Versão compilada o dia de Outubro de 2007. Departameto de Matemática - UEL Prof. Ulysses Sodré: ulysses(auel(ptbr Matemática Essecial:

Leia mais

Sucessão ou Sequência. Sucessão ou seqüência é todo conjunto que consideramos os elementos dispostos em certa ordem. janeiro,fevereiro,...

Sucessão ou Sequência. Sucessão ou seqüência é todo conjunto que consideramos os elementos dispostos em certa ordem. janeiro,fevereiro,... Curso Metor www.cursometor.wordpress.com Sucessão ou Sequêcia Defiição Sucessão ou seqüêcia é todo cojuto que cosideramos os elemetos dispostos em certa ordem. jaeiro,fevereiro,...,dezembro Exemplo : Exemplo

Leia mais

BINÔMIO DE NEWTON. O desenvolvimento da expressão 2. a b é simples, pois exige somente quatro multiplicações e uma soma:

BINÔMIO DE NEWTON. O desenvolvimento da expressão 2. a b é simples, pois exige somente quatro multiplicações e uma soma: 07 BINÔMIO DE NEWTON O desevolvimeto da epressão a b é simples, pois eige somete quatro multiplicações e uma soma: a b a b a b a ab ba b a ab b O desevolvimeto de a b é uma tarefa um pouco mais trabalhosa,

Leia mais

Cálculo III - SMA 333. Notas de Aula

Cálculo III - SMA 333. Notas de Aula Cálculo III - SMA 333 Notas de Aula Sumário 1 Itrodução 2 2 Seqüêcias Numéricas 6 2.1 Defiição, Exemplos e Operações........................ 6 2.2 Seqüêcias Limitadas e Ilimitadas........................

Leia mais

Funções vetoriais. I) Funções vetoriais a valores reais:

Funções vetoriais. I) Funções vetoriais a valores reais: Funções vetoiais I) Funções vetoiais a valoes eais: f: I R R t a f(t) (f 1 n (t), f (t),..., f n (t)) I intevalo da eta eal denominada domínio da função vetoial f {conjunto de todos os valoes possíveis

Leia mais

Seção 24: Laplaciano em Coordenadas Esféricas

Seção 24: Laplaciano em Coordenadas Esféricas Seção 4: Laplaciano em Coodenadas Esféicas Paa o leito inteessado, na pimeia seção deduimos a expessão do laplaciano em coodenadas esféicas. O leito ue estive disposto a aceita sem demonstação pode dietamente

Leia mais

Capítulo VII: Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Ordinárias

Capítulo VII: Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Ordinárias Capítulo VII: Soluções Numéricas de Equações Difereciais Ordiárias 0. Itrodução Muitos feómeos as áreas das ciêcias egearias ecoomia etc. são modelados por equações difereciais. Supoa-se que se quer determiar

Leia mais