Demonstrações Geométricas, Algébricas e Solução de Equações Discretas utilizando as Sequências de Números Figurados

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1 Demostações Geométicas, Algébicas e Solução de Equações Discetas utilizado as Sequêcias de Númeos Figuados José Atoio Salvado Depatameto de Matemática - CCET - Uivesidade Fedeal de São Calos , Via Washigto Luiz, km 35 São Calos, SP salvado@dmufscab Resumo: Os povos atigos como os babilôios, maias e outas cultuas atigas atibuíam aos úmeos sigificados místicos e divios No século VI a C os pitagóicos cosideaam as coisas da atueza divesas mas ogaizadas e elacioadas com os úmeos Itoduziam os úmeos figuados, expessos como euião de potos uma detemiada cofiguação geomética Neste tabalho popomos a utilização de sequêcias de úmeos figuados e de Fiboacci como atividades lúdicas estabelecedo um elo ete a geometia e a aitmética paa motiva e exploa coceitos matemáticos como os evolvidos a esolução de equações discetas Patimos de exemplos de costução de modelos matemáticos dos úmeos figuados ou de Fiboacci o ituito essalta a impotâcia da utilização de feametas matemáticas simples paa a ivestigação, geealização e demostação de esultados jutamete com os ecusos da visualização geomética e geometia diâmica Estudates de disciplias básicas do cuso de Liceciatua em que foam aplicadas estas atividades mostaam-se motivados e avaliaam positivamete a expeiêcia que também pode se aplicada em tumas do Esio Médio A costução geomética das sequêcias de úmeos figuados Começamos popodo aos estudates a ivestigação de modelagem de situações bem simples como fizeam os pitagóicos que costuíam epesetações geométicas paa sequêcias de úmeos figuados No caso dos úmeos ímpaes epesetados po potos fomado um âgulo eto com metade meos um a hoizotal e metade meos um a vetical, chamados de gomos pelos atigos gegos, cofome a Figua : Figua : Pimeios úmeos gomos Paa um gomo de odem,,, 3, temos G() potos, costuídos passo a passo, patido de um poto, G(), acescetamos mais dois potos, um de cada lado da figua e obtemos o gomo de odem, G() 3, até um gomo de odem -, que acescetado mais um poto de cada lado os dá o gomo de odem, G() Levamos os estudates a esceveem a sequêcia G : N N, defiida po G() -, paa N, N {,, 3,} G() é a sequêcia de úmeos ímpaes epesetada geometicamete pelos gomos De um modo geal, defiimos uma sequêcia eal como um fução s : N R Uma popiedade iteessate que podemos deduzi é a soma dos pimeios úmeos desta sequêcia Somado os úmeos gomos até o -, os pitagóicos obtiham os úmeos quadados ; + 3 4; ; de modo que ( -) 67

2 Pesado o gomo G() epesetado po um quadado degeeado a um poto, o G() com mais 3 potihos a foma de âgulo eto complemeta o gomo G() de modo a epeseta um quadado, ou seja, sempe que acescetamos o gomo seguite ao ateio obtemos o quadado seguite De fato, a soma dos temos da pogessão aitmética de pimeio temo G() e azão, é um quadado ( ) 3 5 ( ) ( ) Po sua vez, os úmeos quadados também são úmeos figuados De fato, obsevamos a Figua, eles são defiidos como o úmeo de elemetos de um cojuto de potos ecessáios paa foma uma sequêcia de quadados ecaixates, 4, 9, 6, etc Figua : Pimeios úmeos quadados Escevemos os úmeos quadados da sequêcia Q : N N defiida po Q() Ao costuimos os úmeos quadados exploamos o picípio da geealização, escevedo passo a passo: Q() ; Q() Q() + *-; Q(3) 9 Q() + 5 Q() + * 3 ; Q(4) 6 Q(3) + 7 Q(3) + * 4 Desse modo, paa todo maio ou igual a, obtemos a equação disceta de pimeia odem ão homogêea: Q ( ) Q( ) + Geometicamete obsevamos que todo úmeo quadado é igual à soma de dois úmeos tiagulaes sucessivos como a Figua 3: Figua 3: Númeo quadado Q(5) T(5) + T(4) Os úmeos tiagulaes, são defiidos como o úmeo de potos que são ecessáios paa foma uma sequêcia de tiâgulos:, 3, 6, 0, Um úmeo tiagula T() é igual à soma dos pimeios iteios positivos De fato; T() ; T() 3 + T() + ; T(3) 6 ( + ) + 3 T() + 3; T(4) 0 ( + + 3) + 4 T(3) + 4, etc Geealizado, obtemos a equação disceta de pimeia odem ão homogêea como Chicoello [] aplicou o Esio Médio: T ( ) T ( ) + cuja solução epeseta os úmeos tiagulaes Da mesma foma, um úmeo é a difeeça ete dois úmeos tiagulaes cosecutivos T () e T ( ) : T ( ) T ( ) Os estudates podem se levados a veifica que os úmeos tiagulaes estão dispostos a teceia diagoal do tiâgulo de Pascal e pova algebicamete que todo úmeo quadado é a soma de dois úmeos tiagulaes sucessivos 673

3 De fato, cosideado o -ésimo úmeo tiagula T , ele é escito como a soma da pogessão aitmética de pimeio temo a e a e azão igual a : + ( + ) T ( ) Po outo lado, cosideado o -ésimo úmeo quadado Q, podemos decompô-lo da seguite foma: + Q ( ) + ( ) T + T o que demosta a afimação Outos úmeos figuados iteessates são os oblogos que possuem um padão etagula Eles são epesetados pela sequêcia de potos, 6,, 0, 30, 4, 56, 7, 90, Geometicamete, dobado um úmeo tiagula obtemos um úmeo oblogo: Ob( ) Do mesmo modo, itoduzimos os úmeos figuados petagoais:, 5,,, 35, O pimeio úmeo petagoal também é eduzido à uidade, P() O segudo é o meo úmeo de potos com que podemos foma um petágoo, ou seja, P() P() + 4 Paa costui P() a pati de P() jutamos mais 4 potos Assim, acescetado potos de modo a foma um ovo petágoo cujos lados possuem tês potos O total de potos obtido é o teceio úmeo petagoal, cuja costução geomética passo a passo os dá: P(3) P() + 7 ( + 4) + 7 ; P(4) P(3) + 0 ( ) + 0 ; P(5) P(4) + 3 ( ) , Neste caso, estudates ecotam mais dificuldades de deseha maualmete, etão oietamos a utilização do softwae GeoGeba Ao passamos de um úmeo petagoal de odem -, P(-) ao seguite P(), pecisamos juta tês lados de compimeto igual a, descotado as duas sobeposições que apaecem os catos Este fato, os leva a equação disceta ou de ecoêcia de pimeia odem ão homogêea paa os úmeos petagoais: P ( ) P( ) + 3 Os úmeos petagoais estão elacioados com os tiagulaes, pois um úmeo petagoal de odem pode se decomposto em tês úmeos tiagulaes de odem - mais potos, cofome Figua 4, de modo que: P ( ) 3T ( ) + T Figua 4: Númeos petagoais e tiagulaes:, 5,,, Obsevamos que -ésimo úmeo petagoal, P() é dado pela soma de uma sequêcia de pimeio temo P azão 3 : (3 ) 3( ) 3 P (3 ) + 3T + Assim, decompomos o -ésimo úmeo petagoal P() como tês vezes o (-)-ésimo úmeo tiagula, T(-), mais 674

4 f Do mesmo modo, obtemos os outos úmeos figuados como os hexagoais, heptagoais, etc e as suas espectivas equações discetas A sequêcia de Fiboacci, com os dois pimeios temos F(), F() e cada um a pati do teceio igual à soma dos dois ateioes: F(+) F(+) + F(),,, 3, também é figuada como uma sequêcia de quadados com a caacol cofome Figua 5: 35 Fiboacci Figua5: a) Ilustação figuada da Sequêcia de Fiboacci e b) Numeicamete Os pimeios úmeos figuados e a sequêcia de Fiboacci são fáceis de seem obtidos, mas se quisemos o temo geal de odem, paa gade? Neste caso, se tivemos uma equação disceta ou de ecoêcia egedo um feômeo de modo que elacioa um temo de odem com o(s) ateio(es), a solução da mesma com as codições iiciais pode se obtida iteativamete ou ecotado uma expessão paa a sequêcia solução em fução de Equações discetas Quado tatamos de poblemas que evolvem vaiáveis iteias gealmete podemos obte uma ou mais equações discetas ou de ecoêcia Também é comum quado tabalhamos com modelagem matemática disceta ou esolvemos umeicamete poblemas de valoes iiciais e/ou de cotoo evolvedo equações difeeciais Paa defii uma equação disceta, cosideamos o cojuto dos úmeos atuais N e um subcojuto S do cojuto dos úmeos eais R Uma fução f : N S X, em que x f (, x ), N é uma equação disceta liea de pimeia odem, em que a icógita é uma fução iteia x() Comumete deotamos x() po x o seu -ésimo temo A solução da equação disceta com uma codição iicial x(0) x 0, é uma sequêcia {x } cujos elemetos são x 0, x f, ), x f, x ) f (, f (, )), ( x0 ( x0 Um exemplo da aplicação de uma equação disceta autôoma é a equação x qx, N, em que q é uma costate ão ula A solução desta equação com a codição iicial x 0, é uma sequêcia {x }, cohecida como P G (Pogessão Geomética) de azão q Paa obtemos uma solução desta equação liea em temos da codição iicial x 0 e, supomos que a mesma é do tipo potêcia: x λ, com λ 0 e N Assim, x λ, que substituídos a equação disceta os dá: λ qλ, ( λ q) λ 0 Segue que λ q Logo a solução é múltipla de q e com a codição iicial obtemos x x0q A epesetação da equação disceta em que a expessão do temo geal é escita dietamete em fução da vaiável : g( ), N é chamada equação disceta fucioal Assim, seus elemetos podem se obtidos dietamete, como x x Cetamete x0q se fossemos escevedo passo a passo, cada elemeto a pati do seu ateio: x 0, x q x 0, x q x q (q x 0 ) q x 0, x 3 q x q (q x 0 ) q 3 x 0, depois de algum tempo azoável também 00 chegaíamos em x 00 qx99 x0q 675

5 Quado a azão 0 < q <, temos modelos matemáticos de decaimetos geométicos como do tipo: decaimeto adioativo, de poluetes, de tempeatua, de dogas o ogaismo, etc e se q >, apaecem em poblemas de cescimetos geométicos como de bactéias, etc O método gáfico epeseta a fução disceta x um sistema de coodeadas catesiaas, escolhedo a vaiável o eixo hoizotal e a vaiável depedete x o eixo vetical como a Figua 5b Vejamos as equações discetas oiudas dos úmeos figuados 3 Equação disceta fucioal paa os úmeos figuados Paa esolve as equações discetas pelo método teóico devemos tasfomá-la uma equação fucioal, de modo a obte o temo geal em fução de Questioamos como esceve T da equação disceta ão homogêea T T +, N, epesetado os úmeos tiagulaes com a codição iicial T(), em fução de Pocuamos uma solução geal da equação ão homogêea, como o caso de equações h difeeciais lieaes, decomposta uma soma da solução da equação homogêea T mais uma p solução paticula T da equação ão homogêea h h A equação disceta liea homogêea associada T T tem solução do tipo h λ, com λ 0 T De fato, substituido-a a equação homogêea, obtemos λ λ, e o valo de λ Assim a solução da equação homogêea é costate, um múltiplo de p A solução paticula T da equação ão homogêea deveia se um poliômio de pimeio gau em, c + c, já que o temo ão homogêeo é deste tipo; Mas como já temos p uma costate como solução da equação homogêea, devemos escolhe T ( c + c) p Substituido a equação geal, obtemos os valoes c, c e T ( + ) Assim, a solução h p geal obtida T T + T c + ( + ) deve satisfaze T() Logo c 0, e potato + T ( ),,, 3, que coicide, evidetemete, com a obtida ao somamos os temos da Pogessão Aitmética T Do mesmo modo, ivestigamos o temo geal das equações discetas que epesetam os outos úmeos figuados esolvedo-as do mesmo modo Númeos Hexagoais:, 6, 5, 8, dados po H H + 4 3, que podem se vistos como combiação de úmeos tiagulaes H T + 3T dode H Númeos Heptagoais:, 7, 8, dados pela equação Hep T + 4T Númeos Octogoais:, 8, povidos da equação O T + 5T Geealizado, obtemos os úmeos K-goais, fomados po polígoos de k lados, de modo que obtemos K T + ( k 3) T Eles podem se vistos como uma combiação de úmeos tiagulaes e, epesetados po sequêcias polígoos de k lados, satisfazedo uma equação disceta liea que pode se esolvida algebicamete, obtedo uma sequêcia a foma de uma equação fucioal, ou seja em fução de (e de k) De modo geal, paa obte uma solução de uma equação disceta A k x +k + A k- x +k- + + A 0 x 0, N, obtemos a equação caacteística associada à equação disceta + k + k Ak λ + Ak λ + + A0λ 0 Supodo que esta equação caacteística possui aízes λ, λ,, λ com multiplicidade α, α,, α N espectivamete, etão as soluções são 676

6 sequêcias x da foma: x ( ) + p ( ) λ + + p λ p ( ) λ em que p i () são poliômios com gau gau( p i ( )) < α i, paa i Se λi é uma aiz simples da equação caacteística associada, etão o poliômio p i () se eduz a uma costate Vimos que a equação disceta homogêea de seguda odem com coeficietes costates, Fiboacci, F F F 0, paa 0, com F e F, os dá como + + solução os úmeos de Fiboacci:,,, 3, 5, Pocuamos a sua solução também supodo que F 0 λ, ( λ 0 ) que substituído a equação de Fiboacci, obtemos a equação caacteística associada + λ λ + λ 0 cujas aízes são λ e λ Assim a solução geal F c c ) ( ) + ( Com as codições iiciais, obtemos a solução: F ( ) ( ) 5 5 Iteessate faze os estudates obseva o fato de que a combiação de úmeos iacioais pode gea um úmeo atual como a solução F da equação de Fiboacci No espaço tidimesioal, como em Gullbeg [], podemos exploa os úmeos poliédicos como os Tetaédicos:, 4, 0, 0, obtidos passo a passo, epesetado o úmeo de potos ecessáios paa costui uma sequêcia de tetaedos, cujas bases da piâmide e seções paalelas são tiagulaes e, potato, costituídas po úmeos tiagulaes, ( + )( + ) satisfazedo Te( ) Ti, em que Te() é o -ésimo úmeo tetaédico e i 6 T o i-ésimo úmeo tiagula como a Figua 6 i Figua 6: Númeo tetaédico: Te(3) 0 Os úmeos tetaédicos também estão localizados a quata diagoal do tiâgulo de Pascal 4 Coclusão As atividades de exploação dos úmeos figuados foam avaliadas positivamete uma expeiêcia com estudates do cuso de Liceciatua em Matemática da UFSCa Exploamos também úmeos cúbicos, petatopes e supetetaedos paa icetiva os estudates e aguça a visualização geomética, exploa a costução (maual e computacioal) dos temos das sequêcias passo a passo, obteção do temo geal, demostações geométicas e algébicas bem como esolução de equações discetas, gealmete pouco abodadas As descobetas pelos estudates de elações evolvedo úmeos figuados, cotempla váios tópicos e demostaam iteessates e motivadoas cofome apotaam Refeêcias [] Chicoello, L A, "Númeos Figuados e as sequêcias ecusivas: uma atividade didática evolvedo úmeos tiagulaes e quadados", Dissetação de Mestado, UFSCa, 03 [] Gullbeg, J, Mathematics fom the bith of umbe, W W Noto & Compay, NY, (997) 677