Veremos neste capítulo as distribuições na variável discreta: Distribuição Binomial e Distribuição de Poisson.

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1 CAPÍTULO 5 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL E DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Veemos este capítulo as distibuições a vaiável disceta: Distibuição Biomial e Distibuição de Poisso. 1. Pobabilidade de Beoulli Seja um expeimeto aleatóio com apeas uma úica tetativa. Nessa tetativa podemos te sucesso, se ocoe o que se que ou facasso caso cotáio. Seja p a pobabilidade de sucesso e q a pobabilidade do facasso, de tal maeia que pq 1. Se X é uma vaiável aleatóia que assume só dois valoes X={0,1}, esse caso o valo 0 (zeo) coespode ao facasso q e o valo 1 coespode ao sucesso p. Assim podemos esceve: p( X 0) q e p( X 1) p. Distibuição biomial Situação-poblema: Uma ua cotém 0 bolas bacas e 10 bolas petas. Retiado-se 5 bolas, qual a pobabilidade de saíem bacas e petas? a) Sem eposição. b) Com eposição. Solução: 0 a) Sem eposição. Se adotamos como sucesso sai uma bola baca, etão p, e o facasso seá sai bola peta, etão q. Como são 5 as bolas a seem etiadas, devemos eseva 0 5 e usado a pobabilidade do poduto tem-se: lugaes paa as bacas, isto é, p(b P) b) Com eposição. As ifomações são as mesmas e como as bolas são devolvidas temos: p(b P) Obsevação1: A pobabilidade descita acima se deomia Pobabilidade Biomial. Mostemos que 1 a expessão 10. é um temo do biômio de Newto. Se o úmeo de bolas bacas () assumi os valoes de {0,1,,,4,5}, etão podemos esceve o desevolvimeto do biômio de Newto:

2 ou aida temos é a pobabilidade e, um de seus p(b P) , que coespode ao quato temo do desevolvimeto do biômio de Newto 0 daí o ome de pobabilidade Biomial. Obsevação : Se assumi todos os valoes {0,1,,,4,5}, a soma de todas as pobabilidades é igual a 1, isto é, p( 0) p( 1)... p( 5) 1= Fómula geal da pobabilidade Biomial. Geealizado devemos espode a peguta: Qual é a pobabilidade de obtemos sucessos em povas? Se estas povas obtemos sucessos, e em cosequêcia teemos - facassos. Supohamos que as povas teham uma odem pé-detemiada, po exemplo, as pimeias povas sejam sucessos e as demais facasso, etão, SSS... S FFF... F ppp... pqqq... q p q ( o mesmo ocoeu paa as bolas bacas o vezes vezes vezes vezes exemplo). Como queemos sucessos ete povas idepedetes, ecotamos a fómula geal: p() p q Exemplo 1: Uma moeda é laçada 8 vezes. Qual a pobabilidade de ocoe a) 5 caas? Escevemos 8 p 1/ q 1/ 8, logo p ( 5) =0,1875 b) pelo meos 1 caa? 89

3 8 = 0 p( 1) p( 1) p( )... p( 8) 1 p ( 0) c) o máximo caas? p( ) p( 0) p( 1) p( ) , = 0,1445 Exemplo : Se 5% dos cavalos de uma fazeda estão doetes, acha a pobabilidade que uma amosta de 4 cavalos escolhidas ao acaso, tehamos a) ehum doete (todos sadios)? p 5% 0,05, logo p ( 0) 0 0,05 0,95 0,8145 q 95% 0,95 b) pelo meos 1 doete? p( 1) p( 1) p( )... p( 4) 1 p ( 0) = ,05 0,95 1 0,8145 =0,1855 Execícios de aplicação 15: 1. A pobabilidade de um atiado aceta o alvo é 1/. Se ele atia 6 vezes, qual a pobabilidade de aceta a) tios? b) ea todos os tios? 90

4 . Um cao de coida tem pobabilidade 1/ de vece qualque coida de um toeio. Se o toeio cosiste de 5 povas, qual a pobabilidade de o cao vece a) exatamete povas? b) o míimo 80% das povas? c) ehuma pova?. Na Empesa ABC / das secetaias falam fluetemete a lígua iglesa. Escolhedo 5 secetáias ao acaso, qual a pobabilidade de que a) duas falem fluetemete a lígua iglesa? b) pelo meos 0% fale fluetemete a lígua iglesa? c) o máximo falem fluetemete a lígua iglesa? 4. Uma ua cotém 4 bolas petas, vemelhas e amaelas. Desta ua bolas são etiadas sucessivamete com eposição. Qual a pobabilidade de obtemos a) pelo meos uma vemelha? b) exatamete uma peta? 91

5 5. Uma ua cotém 4 bolas bacas, petas e 1 vemelha. Desta ua bolas são etiadas sucessivamete, com eposição. Qual a pobabilidade de obtemos a) o máximo vemelhas? b) alguma bola baca? 6. A pobabilidade de um aluo se apovado o vestibula paa o cuso de estatística é 1/. Em um gupo de 6 cadidatos. Qual a pobabilidade de seem apovados a) cadidatos? b) o máximo 4 cadidatos? Execícios de aplicação 16: 1. A pobabilidade de um aluo do Cuso de Estatística ea a detemiação das aízes de uma equação do segudo gau é de 0,4. Em um gupo de 6 equações, qual pobabilidade de ea questões?. A agêcia de um baco WPG tem po oma eova ceca de 60% dos empéstimos de cédito pessoal quado do vecimeto. Pedem eovação coetistas, qual a pobabilidade de que os tês pedidos sejam idefeidos? 9

6 . Um foguete tem pobabilidade 0, de aceta o alvo. Se ele dispaa 7 tios, qual a pobabilidade de a ceta o míimo vezes? 4. A pobabilidade de um aluo que igesse o cuso de Estatística e chegue a se foma sem ehuma depedêcia é 0,. Em um gupo de 8 igessates desse cuso, a pobabilidade de se foma tedo o máximo uma depedêcia é (A) 0,88. (B) 0,77. (C) 0,66. (D) 0,55. (E) 0, Se em uma pova com 6 questões e cico alteativas um aluo só esteja adivihado, etão a pobabilidade de aceta apeas 1 questão é (A) 0,9. (B) 0,6. (C) 0,01. (D) 0,41. (E) 0, O Depatameto de Tâsito de ceta cidade costatou que os edeeços de 0% dos popietáios de veículos estão icoetos. Se 8 popietáios foem soteados aleatoiamete, qual é a pobabilidade de que exatamete a metade dos edeeços esteja coeta? A)9,5% B) 4,6% C) 47,% D) 95,5% E) 64,6% 9

7 7. Em uma cidade, 40% dos táxis têm moto 1.0. Cosideado-se uma amosta de 10 veículos da cidade, qual é a pobabilidade de que 0% dos táxis sejam de cilidada difeete? A) 0,44 B) 0,54 C) 0,14 D) 0,4 E) 0,01 8. Uma pova é costituída de 0 questões, cada uma delas com 5 alteativas de esposta, das quais apeas uma é coeta. Se um aluo espode às questões ao acaso, a pobabilidade de que ele cosiga aceta exatamete 10 questões é: A)0,4% B) 0,% C) 0,% (D) 0,5% E) 0,1%. Distibuição de Poisso ou distibuição dos evetos aos No modelo pobabilístico a distibuição de Poisso é utilizada em um gade úmeo de poblemas, picipalmete quado a pobabilidade de ocoe um eveto é muito pequea e o úmeo de casos é muito gade. Essas situações se idetificam com a distibuição biomial. Podemos faze uma apoximação da biomial pela distibuição de Poisso da seguite maeia. Seja (>0) e p 0 p 0,1 p <10 e a vaiâcia po Va(X)=pq. Mostemos que lim p ( ) lim, defiimos a média po: e pq! Patido da biomial e tomado o limite o fial das opeações segue: p() p q =! pq ( )!! ( 1)( )...( 1)( )! p ( ) (1 p )!( )! ! = = ( 1)( )...( 1)( )! p (1 p)!( )! ( 1)( )...( 1) p (1 )! 94

8 1 1 = 1.(1 )(1 )...(1 ). 1. 1! Tomado o limite a expessão se eduz a e lim. 1. 1!! tede a e tede a 1. Potato a pobabilidade de Poisso é dada po: p () e! Exemplo : A pobabilidade de um idivíduo acusa eação egativa à ijeção de um detemiado soo é de 0,001. Detemia a pobabilidade de que em 000 idivíduos, a) exatamete acusem eação egativa? 000 p 000 0,001 p 0,001 b) o máximo acusem eação egativa? p( ) p( 0) p( 1) p( ) Exemplo 4: e, segue: p ( )! 0 e 0! 1 e 1! e! e 0,1804! 5e 0,6766 Na evisão tipogáfica de um livo achou-se em média 1,5 eos po págia. Das 600 págias do livo, estima quatas ão pecisam se modificadas po ão apesetaem eos? Solução: Nesse caso o valo da média é dado 1,5 e ão apeseta eo sigifica =0, pela fómula segue: e p ( 0)! 1,5 0 e 1,5 1,5 0! e 0,1 Como são 600 págias, tem-se 600 x 0,1=1,8 14págias. Exemplo 5: No tea da maca Luiza a fabicação de peças de detemiado tecido apaecem defeitos ao acaso, sedo um a cada 50 metos. Supodo-se que a distibuição paa os defeitos seja a de Poisso, qual a pobabilidade de que a podução de 1000 m a) ão haja defeito? p 1000x 4, segue: p 1/ e e 4 p ( 0) 0,01816! 0! 95

9 b) acoteça pelo meos defeitos? p( ) p( ) p( 4) p( 5)... p( 1000) 1 p( ) e 4 e 4 e 4 0! 1!! [ ] 11e 0, c) se a podução diáia desse tea é de 75 m, um peíodo de 80 dias de tabalho, em quatos dias podemos espea podução sem defeito? Dize que a podução é sem defeito é te podução com zeo defeito, logo 75 1 p 75x 1,5, segue: p 1/ e p ( 0)! 1,5 0 e e 1,5 1,5 0! 0,1 e, potato, 80x0,1=17,84 18 dias Execícios de aplicação 17: 1. Ceta máquia poduz 0,0% de egeages com defeito. Na fabicação de 1000 egeages, qual a pobabilidade de a) exatamete teem defeitos? b) o máximo teem defeitos? 96

10 . A podução diáia de pegos de uma fábica apeseta 0,005% de defeitos po kg. Em uma patida de kg de pegos, qual a pobabilidade de a) have o míimo kg com defeitos? b) em uma podução de 0 dias se espea que haja quatos dias de 1 kg com defeito?. A pobabilidade de se fabica uma calculadoa eletôica com defeito é 0,00. Em um lote de 4000 calculadoas, qual a pobabilidade de a) o míimo teem defeitos? b) exatamete 4 teem defeitos? c) o máximo teham defeitos? 97

11 4. Uma empesa taspotadoa é cotatada paa o taspote de sacas de café. A pobabilidade de uma saca se ompe é 0,0000. Qual a pobabilidade de o taspote de sacas a) o míimo sacas se ompeem? b) o máximo sacas se ompeem? 5. Uma fábica de automóveis veificou que ao testa seus caos a pista de povas, há em média um estouo de peu a cada 00 km. Supodo-se que a distibuição paa os estouos dos peus seja a de Poisso, qual a pobabilidade de que a) em um teste de 900 km haja o máximo um peu estouado? b) em um teste de 450 km ão haja ehum estouo de peu? 98

12 6. Um dado é fomado com chapas de plástico de 10x10 cm. Em média apaecem 50 defeitos a cada meto quadado de plástico, segudo a distibuição de Poisso. Qual a pobabilidade de a) uma detemiada face apeseta exatamete defeitos? b) o dado apeseta o míimo defeitos? 7) Uma cafeteia apeseta algum defeito em média defeitos po mês. Qual a pobabilidade que duate o póximo mês essa máquia veha apeseta a) exatamete dois defeitos? b) o máximo um defeito? 8. Em média o baco BWP tem cotas abetas po dia. Detemia a pobabilidade de que em um detemiado dia o úmeo de ovas cotas abetas veha a se a) exatamete. b) o máximo. 99