MATEMÁTICA SUAS TECNOLOGIAS. 05. A função logarítmica RC = log é logarítmica crescente C8, 4 =

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1 RESOLUÇÃO E Resolva Eem I TEÁTI SUS TENOLOGIS III) No tiâgulo equiláteo JI: ai 60 ssim, sedo JÎH, devemos te: O obô pecoeá o peímeto de um polígoo egula de lados, cujo âgulo eteo seá: º 60 5 Logo, ele pecoeá 5 ( m) 60 m. 0. Os códigos que foecem os algaismos têm quato dígitos. Devemos, etão, agupa as baas de quato em quato. ssim, temos: R 05. fução logaítmica R log é logaítmica cescete R0 R (base 0 > ) e quado R R0, temos R log 0 log0 0, R 0 ou seja, seu gáfico passa o poto (R0, 0). Potato, o gáfico que melo epeseta a Reda ompaativa de um abitate desse país em fução de sua eda é o da alteativa (D) De acodo com a tabela, os códigos 00, 000, 00 e 00 coespodem, espectivamete, aos algaismos 6, 8,, 5. Potato, este código de baas coespode ao úmeo Escoledo-se as quato seleções que jogaão o Rio de Jaeio, as outas quato seleções que jogaão em São Paulo já estaão detemiadas. Daí, temos: I) Total de maeias de dividi as oito seleções: 8! ,!! II) osideado as tês seleções sul-ameicaas um mesmo gupo, basta escole a outa seleção paa completa a gupo. Daí, elas podeão fica jutas jogado o Rio ou em São Paulo de 5, + 5, maeias difeetes. Resposta coeta: Item 0. Nº de pizzas potuguesa Nº de pizzas mussaela Logo, o úmeo de maeias dessas seleções ão ficaem todas jutas seá: Sedo que os omes comeam + 0 pizzas e as mulees, pizzas J D 60º a 9m b F a D b E m 0º E I 08º H F G Obsevado que a + b 90, temos que os tiâgulos e FDE. Daí: m Logo, a fete total mede E m Resposta coeta: Item E Temos: I) No eágoo egula DEI: ai ( ) 80 (6 ) II) No petágoo egula EFGHI: ai ( ) 80 (5 ) Temos as seguites quatidades de maeias de se escole as duas questões com gabaito: 0! 5! 8! 6! 5 : 6,!! : 0, 8! 8 6!!! D:, 6!! : 8, E:, OSG.: 06/6

2 09. ssim, pelo picípio fudametal da cotagem, temos: maeias difeetes de distibui as alteativas coetas ( 00 folas espostas difeetes) odelo matemático O O R 60º 0 R 60º I) co (0 ) 60 II) O tiâgulo O é equiláteo. Daí, R 0. De acodo com a tabela, o úmeo de cadeos é tal que: X + + (X + ) 0Y (Y + ) 8Z (Z + ) omo X, Y e Z são úmeos iteios positivos, ( +) é múltiplo comum de: ssim, 07/set/05 caiá, a semaa, 6 dias após a seguda-feia, ou seja, caiá um domigo.. I) Na ifâcia, temos massa m e áea copoal I, tais que: l k m II) Na maioidade, temos massa (8m) e áea copoal, tais que: k (8m) k ( m) k () m k m (k m) Logo, a áea ficaá multiplicada po.. Na otação cietífica, o pimeio fato deve se maio ou igual a e meo que 0. Daí, devemos te: 0, kg 67, kg., kg omo kg 0 g, obtemos:, kg, g,67 0 g I 0 7 omo mmc(, 0, 8) 5 80, devemos te ( + ) igual a 80 ou igual a um múltiplo de 80, ou seja: + k 80, ode k é iteio 58º 58º 56º 56º Obseve que: < 00 + < 0 k 80 < 00 k < 6,6 Logo, o maio valo possível paa k é 6. Daí, o maio valo paa seá: , cuja soma dos algaismos é igual a: a c a//b//c b. Sedo o dia 07/set/05 (seguda-feia) o dia zeo, quado se passa uma quatidade de dias múltipla de 7, teemos ovamete o mesmo dia da semaa do dia zeo (seguda- feia). Seg Te Qua Qui Se Sab Dom omo a pati de 07/set/05 até 07/set/05 ião se passa dias. Dividido essa quatidade de dias po 7, obtemos quociete 5 e esto 6, ou seja: ZERO 5. Sedo o compimeto do Rio mazoas, de acodo com o euciado, devemos te: 7mm m m Obsevado agoa que: m bilioésimo de meto 0 9 m 7 mm 7 0 m, obtemos: 9 70 m 0 m m m 70 9 ( ) m 70 m 9 0 Logo, m OSG.: 06/6

3 6. Os piels são os quadadios e o total de quadadios que cabem a tela etagula é a áea do etâgulo. Daí, devemos te: Áea da tela etagula ( + 00) ssim, temos: ± 00 X 800 (ão covém) ou 600 Logo, as dimesões da tela são 600 piels e piels. 7. Paa aceta os espectivos elógios com a oa ceta, de acodo com os pesametos das espectivas doas: I) mada adiataá o seu elógio em 5 miutos, ficado, a ealidade miutos adiatados. II) eatiz atasaá o seu elógio em 5 miutos, ficado, a ealidade miutos atasados. III) amila adiataá o seu elógio em 5 miutos, ficado, a ealidade miutos adiatados. Potato, a odem de cegada seá: mada (5 miutos ates das 5 ); amila (0 miutos ates das 5 ) e eatiz (5 miutos após as 5 ). 8. Em um tiâgulo isósceles, os âgulos da base são iguais e em um tiâgulo qualque, um âgulo eteo é igual à soma dos iteos ão adjacetes. Daí, sedo Â, temos: D E I) No tiâgulo isósceles DE: DE ˆ + (âgulo eteo do DE) DE ˆ DE ˆ ( DE é isósceles) 9. Sedo eais o valo que a pessoa daá a mais paa facilita o toco, esse toco deveá se: Toco (00 + ) - (valo da compa) Toco Toco + omo o caia só tem otas de 0 eais, o toco deveá se 0 ou 0 ou 0 ou... (múltiplo de 0). ssim, o meo valo possível seá: + 0 (ão covém) ou + 0 (ão covém) ou Logo, o meo valo que o cliete deveá epassa ao caia é eais. 0. P 5 8 ( ) 6 P 5 8 P (5 8 8 ) 6 P Logo, P (0 dígitos). 8 zeos. Sedo a medida do aio, devemos te: m m II) No tiâgulo E: E ˆ + (âgulo eteo do E) E ˆ E ˆ ( E é isósceles) (diagoal do quadado de lado ) + Diagoal do quadado de lado m.( ) + E,8 + 5,6 6,8 5,6 0,8 m 8 cm III) No tiâgulo isósceles : ˆ ˆ e Sedo Repete se 0, uma dízima peiódica, ª semaa ª semaa ª semaa ª semaa as seas de Daiel ião se epeti de tês em tês semaas; e sedo π, um úmeo iacioal (apeseta ifiitas casas decimais, sem epetição peiódica), as seas de Rafael ão se epetião peiodicamete. OSG.: 06/6

4 . 0cm 0cm 0cm 0cm 0cm (odelo matemático dos peus) Sedo, usado o teoema de Pitágoas, temos: cm Resposta coeta: Item. posição do amáio de úmeo 0, po eemplo, é alteada apeas pelas pessoas cujos úmeos são divisoes de 0: (abe), (feca), 5 (abe) e 0 (feca). Obseve que, tedo 0 uma quatidade pa de divisoes positivos, o amáio de úmeo 0 temiaá fecado. Paa um amáio temia abeto, ele deveá te um úmeo ímpa de divisoes positivos, ou seja, deveá se um quadado pefeito. Somete quem tem uma quatidade ímpa de divisoes positivos são os quadados pefeitos. Veja: 50 5 Nº de divisoes positivo ( + ) ( + ) pa 6 Nº de divisoes positivo ( + ) ( + ) ímpa Obseve que um quadado pefeito apeseta, quado fatoado em fatoes pimos distitos, apeas epoetes paes e, com isso, pela ega dos epoetes, teemos: Nº de divisoes positivos (epoete + ) (epoete + )... (epoete + ) (ímpa).(ímpa)..... (ímpa) ímpa Logo, ficaão abetos os amáios cujos úmeos são quadados pefeitos. São eles: ; ; 9; 6; 5 5; 6 6; 7 9; 8 6; 9 8 e 0 00 Potato, 0 amáios ficaão com as potas abetas. Resposta coeta: Item E 5. É fácil ve que os úmeo do último quado são: ( 0 - ), 0 e ( 0 +). ssim, o poduto pocuado é: ( 0 ) ( 0 +) ( 0 ) Resposta coeta: Item E Sedo a o úmeo de pegadoes utilizados quado se tem leçóis em um vaal, temos a P de azão : (, 7, 0,..., a,...) Daí, obtemos: a 9 + (9 ) 8 e a + ( ) 0 omo , seão utilizados 9 vaais, cada vaal de 9 leçóis e mais vaal com leçóis. Potato, seão pegadoes. 7. Do gáfico, temos que (0) 6 e (50). Dete as fuções apesetadas as alteativas, a úica que satisfaz essas t 0 codições é t () 75 (Item ). Veja: ( 0) e ( 50). Resposta coeta: Item 8. Sedo d a distâcia ete dois potos destacados cosecutivos, temos: Y X+ 0d + d d 8 d ssim, obtemos: D X+ d D D D 0 0 aeia m 0 m Rio m m Teoema de Tales: metos s T 56 m 0. osidee o diagama seguite elativo à situação-poblema. 6% % % % % O total de adultos pesquisados coespode a 00%. ssim, devemos te: % + % + % + % + 00% 8% % T U OSG.: 06/6

5 Potato, 8% dos adultos pesquisados ão usam euma das tocas mecioadas, ou seja: 8 % Resposta coeta: Item E. Se queemos a maio potuação, devemos evita gupo com tês ficas de coes difeetes, pois sua potuação é etemamete baia. Sedo a, b, m, v e p ficas amaela, baca, maom, vede e peta, espectivamete, podemos te: vvv; aaa; bbv; vam (ão é a maio potuação). Uma possível distibuição com potuação máima (sem potuação míima ): vvv; aav; aap; bbm aã ( T) () + (T) ( T) ( T) ( T) 5 Tade ssim, de um total de 0 pessoas, 5 tabalam os dois tuos. Daí: Pobabilidade % De acodo com o euciado, temos: I) Despesa total igual a R$ 67,00: 5 + 5y y y II) 89 uidades de futas: 6 + y y Substituido (I) em (II): 6 + ( ) 6 Potato, foam compadas maçãs.. omo cada petabyte equivale a 0 gigabytes, etão petabytes equivalem a 0. Paa detemiamos úmeo () de DVDs devemos efetua a divisão 0, veja omo 9 8 e 0 8, etão 9 8 < 8 < < < 0. Resposta coeta: Item E 5. Sedo o úmeo de abelas o eame, devemos te: Logo, á 5 abelas o eame. 6. eta D é pepedicula ao plao (FE). ssim, a eta D foma 90 com qualque eta desse plao, iclusive com a eta F. 7. Sedo o úmeo de seoes que pagaam igesso, o úmeo de seoas seá (560 ). Daí, devemos te: ecadação + (560 ) (º de seoes) ssim, (º de seoas). Logo, seoes a mais que seoas. Resposta coeta: Item E 8. omo as velocidades dos avios são costates, se com meia oa eles pecoem y e quilômetos, com uma oa eles adaão o dobo, y e quilômetos. omo os tiâgulos são semelates, temos:.(5 km) 0 km. 9. y I) 8 y 8 05, 9 km 05, II) km ssim, o avio pecoe, em uma oa, km. Logo, a sua velocidade é de km/. 0. ciaça gaou dois picolés de cada sabo, que podem se epesetadas po:,,,,, Qualque pemutação desses seis elemetos com epetição de,, e, é uma maeia difeete de cosumi os seis picolés. Logo, o úmeo total de modos distitos de cosumi os picolés seá: (,, ) 6! P 6 90.!!! OSG.: 06/6

6 . Sedo o úmeo de vétices com aestas, temos: I) II) V + + V 6 + III) V + F + V + F Logo, 6 +.() + 8. Temos uma fução da foma Q(t) at + b, a qual temos: I) Paa t 0 (ao 00): Q(0) 9 a(0) + b 9 b 9 II) Paa t 0 ( ao 00): Q(0) 0a + 9 a 7. O volume da caia é dado po V ( 8 ) ( 0 ) V ( ) V Resposta coeta: Item 8. Sedo, y e z as medidas do compimeto, lagua e altua, o volume iicial é V.y.z. Paa doba esse volume, ou seja, paa obte v yz, basta doba uma das dimesões. Veja: V () yz (y) z y (z) 9. osidee o gáfico seguite elativo à situação-poblema, o qual é poto de laçameto. y 00 Logo, Qt () t Sedo f() e g() os volumes em litos os esevatóios e, espectivamete, após oas, temos: f() 70 0 g() 60 + X 0 ocoeá quado: f() g() Logo, 0 0 oas Resposta coeta: Item E. O tetaedo é o poliedo de quato faces, aquele que, a tabela, está associado ao fogo. Resposta coeta: Item 5. O octaedo egula (oito faces) está associado ao a. Ele apeseta, em too de um mesmo vétice, faces em foma de tiagulo equiláteo (veja figua dada). Daí, a soma pocuada seá: Soma (60 ) 0 6. O cubo tem 6 faces e 8 vétices. ssim, de acodo com o teto, o seu cojugado (ou dual) deveá te 6 vétices e 8 faces (octaedo). P Queemos calcula a altua f( 0). Paa isso, sabemos que f() a ( ) ( ), em que 0 e 0 são as aízes, ou seja f() a ( + 0 ) ( 0). Daí, temos: I) O gáfico passa o poto (0, 00): f(0) 00 a (0 + 0) (0 0) 00 00a 00 a / II) f() / ( + 0) ( 0) f(0) / (0) ( 0) f(0) 50 metos 50. base é um eágoo egula de m de lado e a altua mede 0 m. ssim, temos: Áea da base 6 m Volume 0 0 m Resposta coeta: Item E 5. osidee a figua seguite elativa ao poblema, em que 80 m e 60 m. D E Octaedo Resposta coeta: Item F OSG.: 06/6

7 Sedo D y e F, da semelaça dos tiâgulos e DE, obtemos: D DE 80 y y y Logo, a áea do teeo destiado à costução da casa seá: ( ) F D ( ) 80 ( ) + 80 Potato, a áea máima ocoeá quado fo a abscissa do vétice, ou seja: b a Daí, a áea máima seá: ( ) ( 0) m I) O gáfico de passa os potos (0, 00), (z, 75) e (t, 0): oeficiete agula 0 z 0 t t z II) O gáfico de passa pelos potos (0, 90), (z, 75) e (t +, 0): oeficiete agula z 0 t+ ( ) t 6z ssim, temos: 6z z z e t () oas. I) Vedadeia. fequêcia cadíaca, em segudos, é o iveso do peíodo:, (batimetos po segudos) π 8π Logo, em miuto (60 segudos), temos 60 (/) 80 batimetos po miuto. II) Vedadeia. Veja: 8π P( ) 00 0 cos cos π 00 0 cos + π mmHg π 5. Rol (,, 5, 5, 6, 0, 0, 0) édia itmética: oda: 5 e 0 (espaço bimodal) ediaa: 5, 5 Resposta coeta: Item 55. compae a figua abaio. 50 m 0 m 0,5 m 0 m 0, m 9 8, m Podemos estabelece, atavés da semelaça ete os tiâgulos, a seguite popoção: 50 cm 0 cm 6 m 0 m 56. De acodo com o teto a leitua: do mês ateio foi: 876 kw do mês atual: 5 kw ssim, o cosumo do mês foi: kw 57. omo o coe e o cilido têm a mesma capacidade, o volume da pate vazia do coe (V ) coespode ao volume da pate ceia do cilido; e o volume da pate ceia do coe (V ) coespode ao volume da pate vazia do cilido. Usado a semelaça do coe maio (fuil todo) com o coe meo (pate do fuil aida com óleo), devemos te: V + V V H H V V V + ( ) 8V V+ V V 7V ssim, a pate ceia do cilido (V ) seá 7 vezes a sua pate vazia (V ). Veja como fica o cilido: H Pate vazia: V Pate ceia: V III) Falsa. amplitude da fução é de 0 mmhg Resposta coeta: Item OSG.: 06/6

8 58. Devemos te po base as taas de apovação de cada fiscal, isto descata os ites e D. Pobabilidade de apovação com : 50% Pobabilidade de apovação com : 5% ( a tetativa) + 50% de 50% ( a tetativa com como fiscal defiitivo) 5% + 5% 70% Pobabilidade de apovação com : 60% ( a tetativa) + 50% de 0% ( a tetativa com como fiscal defiitivo) 5% + 5% 70% 59. Total de esultados possíveis paa 0 laçametos: Númeo de casos favoáveis: 0 vezes 8 caas e cooas: 9 caas e cooa: ou 0 caas: 0,0 0! !! 0, 8, 0! 9!! 0 0, 9, ssim, temos casos favoáveis, um total de 0 casos possíveis. Logo, a pobabilidade pedida seá: 56 7 pobabilidade Sejam u, c e I os custos espectivos dos passeios de ultaleve, cavalo e laca. ssim, podemos esceve o sistema: I u+ c+ l 58 { II u+ c+ 5l 5 Queemos detemia o valo de: u + c + 5l Se fizemos 5 I II, teemos: 5I 5u+ 0c+ 0l 790 { II u 9c 5l 675 u+ c+ 5l 5 Resposta coeta: Item E 6. Nota-se que cada soma é igual ao quadado do temo cetal (maio temo). ssim, N 05 e, potato, N (tês fatoes, divisoes, pimos positivos) 6. omo as estacas estão igualmete espaçadas, a distâcia, em metos, ete duas estacas cosecutivas deve se diviso comum de 5 e 7. ssim, o úmeo de estacas seá míimo quado a distâcia ete as estacas fo máima, ou seja, a distâcia ete duas estacas é o D(5, 7) metos. Daí, temos: Peímeto Nº deestacas distâcia ete as estacas ( )m 8 6 m Quatidade de fio 8 (peímeto) 8 (8 m) 70 m 6. osidee o diagama de Ve elativo ao euciado, em que é o valo pedido. y 0 w L Nesse diagama, temos que: I) y + z + w 9 II) (y + z + w) Resposta coeta: Item 6. tabela apeseta o tiâgulo de Pascal, cujo elemeto da lia de úmeo e colua de úmeo p é dado po p! p!( p)!. 5 5! 5 No caso, queemos 05!! 65. Paa o algaismo das uidades da sea de d algaismos temos 5 possibilidades (,, 5, 7 ou 9); e paa cada um dos outos (d ) algaismos temos 0 possibilidades. ssim, pelo picípio fudametal da cotagem, o úmeo total de seas é igual a: d ( d ) vezes Po outo lado, o guada gasta,5, seg 9000 seg paa digita todas as seas, sedo,8 seg paa cada sea. ssim, úmeo total de seas é igual a: 9000 seg , seg 8 Logo, devemos te: 0 d d d 0 5 d (quadado pefeito) Resposta coeta: Item 66. omo o valo da baa de cocolate é 50 cetavos, iicialmete pagávamos: 50 cetavos cetavos/gama 80 g Depois da edução o peso, passamos a paga: 50 cetavos 6, cetavos/gama 50 g 6, 06, 0 Logo, ouve um aumeto de + 0, 0% 00 Ou, usado ega de tês: etavos/g Pocetagem , , X Logo, ouve um aumeto eato de 0% 0 z P OSG.: 06/6

9 67. Temos que: I cm II. paela é um cilido de aio da base 0 cm e altua 0 cm. Logo, seu volume seá: V π V, 0 0 cm, 00 0 cm 560 cm omo cm ml e L 000 ml, obtemos: V 560 ml,56 L 68. Fiado os eecícios e as etemidades, qualque pemutação dos outos 8 elemetos,, com epetição de, e, é uma séie difeete desejada. P,, 8,, 8 Logo, são P! !!!!! Resposta coeta: Item E 69. Temos que a seguites possibilidades: Duas vemelas e uma azul: 9, Duas azuis e uma vemela: 9, Potato, o tempo total seá de segudos. omo cada miuto tem 60 segudos, dividido 50 po 60, obtemos quociete 8 e esto, ou seja, 50 segudos equivalem a 8 miutos e segudos. Daí, 8 e y. 70. Sedo o gáfico uma eta, a eceita é da foma R() a + b, ode R(0) b 0 e R(0) 0a ssim, a 000 e, potato, R() 000. Paa, temos: Receita: R() 000 eais usto: () 900() eais Logo, o luco seá: eais. ssim, a pocetagem do luco absoluto (50 eais), em elação à eceita é: Luco 50 5 % Receita Resposta coeta: Item 7. Sedo 0 < a <, tal que Daí, temos: a I. log 0 0 a II. a+ log ( ) 0 0 a+ Substituido, obtemos: a log 0, devemos te a+ log ( ) 0. Fazedo k 0, ficamos com: k + k k k ± 0 + k omo k 0 > 0, teemos: log0 log + + log + + Potato, log Resposta coeta: Item E 7. alculado as áeas de cada uma das pizzas, tem-se: Pizza boto iteia π 5 5π Pizza gigate itea π 0 00π Utilizado a ega de tês, pode-se esceve: 5π 7 00π Daí, 7 5π π 6 Logo, uma pizza gade iteia custa 8 eais e cada um de suas 0 fatias custaá 8:0,80 eais. 7. Água da pimeia mistua: 6% de 0 L 0,6 0 0, L Água da seguda mistua: % de (70 0) L 0 0, 00 Água da mistua fial: % de 70 L 0, 70, L Daí, temos que: 0, + 0,, 0,,7 7, Logo, a pocetagem pocuada é mais póima de % 7. Temos: Em : + z 0 Em : + y 0 Em : + y + z Devemos etão esolve o sistema: + z 0 () I S : + y 0 ( II) + y+ z ( III) De (I) meos (III), obtemos: y 0 y 6 (IV) De (II) mais (IV), obtemos: y e z Logo, o meo fluo é de y litos po miuto. OSG.: 06/6

10 75. Sedo etiadas de um copo, y etiadas de copos (y copos despediçados) e z etiadas de copos (z copos despediçados), devemos te: I. Total de copos: + y + z 00 II. opos despediçados: y + z 5% de 00 5 III. y y z y k k z { z k Daí, obtemos: y + z 5 k + k 5 k 5 { y 5 5 z 5 0 Daí, temos: + y + z Logo, são 0 etiadas de um copo. OSG.: 06/6