UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS UFSCAR PROFMAT MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS UFSCAR PROFMAT MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CRIANDO MENSAGENS SECRETAS NA ESCOLA BÁSICA UTILIZANDO A CRIPTOGRAFIA RSA WALDIR CLAUDIO DE CASTRO JUNIOR SÃO CARLOS 205

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3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS UFSCAR PROFMAT MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CRIANDO MENSAGENS SECRETAS NA ESCOLA BÁSICA UTILIZANDO A CRIPTOGRAFIA RSA WALDIR CLAUDIO DE CASTRO JUNIOR Dissetação de mestado pofissioal apesetada ao Pogama de Mestado Pofissioal em Matemática em Rede Nacioal (PROFMAT) da Uivesidade Fedeal de São Calos, como pate dos equisitos paa obteção do título de Meste em Matemática Oietado: Pof D Pedo Luiz Apaecido Malagutti SÃO CARLOS 205

4 Ficha catalogáfica elaboada pelo DePT da Biblioteca Comuitáia da UFSCa C355cm Casto Juio, Waldi Claudio de Ciado mesages secetas a escola básica utilizado a ciptogafia RSA / Waldi Claudio de Casto Juio -- São Calos : UFSCa, f Dissetação (Mestado) -- Uivesidade Fedeal de São Calos, 205 Matemática - estudo e esio 2 Ciptogafia 3 Matemática aplicada I Título CDD: 507 (20 a )

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6 Dedico este tabalho aos meus familiaes, miha esposa e amigos, os quais sempe me apoiaam os mometos difíceis, dado a foça ecessáia paa segui em fete

7 Agadecimetos Agadeço em pimeio luga a Deus, Tudo posso aquele que me fotalece Agadeço à miha esposa Flávia, sempe disposta a ajuda em mometos complicados e de casaço po cota de tabalhos exaustivos Agadeço a meus familiaes, meu pai Waldi e miha mãe Solage, sem eles ada seia possível e às mihas imãs Fabiaa e Sylmaa que sempe aceditaam e se ogulhaam de meu tabalho Agadeço a todos os pofessoes e colegas que me ajudaam o Mestado Pofissioal - PROFMAT - a UFSCa, sou gato à paciêcia e dedicação de todos vocês Agadeço em especial ao pofesso e oietado Pedo Malagutti; sem sua disposição e paciêcia, talvez o camiho ão se toasse tão gatificate Muito obigado a todos, pela cofiaça

8 RESUMO A ciptogafia é um assuto fasciate do poto de vista pático; é útil paa acessa cotas bacáias, s e edes sociais Segudo esta pespectiva, esta dissetação baseou-se em mosta o quão simples pode se a utilização da ciptogafia No tabalho ealizado foi mostado que é possível, paa aluos do Esio Fudametal e Médio, codifica e decifa mesages utilizado a ciptogafia - RSA, a qual evolve o coceito da ciação de chaves públicas e chaves pivadas paa a codificação de mesages Uma atividade simples, poém impotate do poto de vista utilitáio, foi aplicada paa mosta aos aluos do 9º ao do Esio Fudametal, da ª e 2ª séies do Esio Médio de uma escola paticula do iteio paulista paa mosta o quão iteessate e pazeosa pode se a utilização da Matemática Tais atividades ão costam usualmete os mateiais didáticos tadicioais Nesta dissetação seá apesetado o feametal teóico, cotedo teoemas e cooláios, assim como suas demostações, os quais justificam, matematicamete, a validade das técicas e do algoitmo utilizados a ciptogafia RSA As atividades ão pessupõem péequisitos sofisticados, podedo se aplicadas em sala de aula, em situações eais, paa que os aluos apeciem a beleza da Matemática Palavas-chave: ciptogafia RSA; chaves públicas; chaves pivadas; aplicações da matemática o esio

9 ABSTRACT Cyptogaphy is a fasciatig topic, coceig the pactical poit of view, ad it is useful to access bak accouts, s ad social etwoks Accodig to this pespective, this study aimed to show how simple it may be to make use of cyptogaphy It was poved, though the wok pefomed, that it is possible fo studets fom elemetay ad high school to ecypt ad decypt messages usig RSA Cyptogaphy, which ivolves the cocept of ceatig public keys ad pivate keys fo the ecyptio of messages A simple but poweful activity o the utility view was assiged to show studets fom the 9 th gade of elemetay school ad fom the st ad 2 d yeas of high school fom a pivate school i São Paulo State how iteestig ad pleasuable the use of Mathematics ca be Such activities ae ot usually peset i the taditioal didactic mateials The theoetical tools, cotaiig theoem ad coollaies, as well as thei demostatios, which mathematically justify the validity of techiques ad the algoithm used o RSA Cyptogaphy will be peseted The activities do ot assume sophisticated peequisites ad ca be applied i the classoom, i eal situatios, so that the studets ca appeciate the beauty of Mathematics Key-wods: RSA Cyptogaphy; public keys; pivate keys, applicatios of Mathematics i teachig

10 LISTA DE FIGURAS Figua Exemplo de mdc 25 Figua 2 Cifáio de Césa 40 Figua 3 Atbash Hebaico 40 Figua 4 Tabela de Covesão 43 Figua 5 Fagmeto, gupo 49 Figua 6 Fagmeto, gupo 2 50 Figua 7 Fagmeto, gupo 3 50 Figua 8 Fagmeto 2, gupo 50 Figua 9 Fagmeto 2, gupo 2 50 Figua 0 Fagmeto 2, gupo 3 50 Figua Fagmeto 3, gupo 5 Figua 2 Fagmeto 3, gupo 2 5 Figua 3 Fagmeto 3, gupo 3 5 Figua 4 Fagmeto 4, gupo 5 Figua 5 Fagmeto 4, gupo 2 5 Figua 6 Fagmeto 4, gupo 3 52 Figua 7 Fagmeto 5, gupo 52 Figua 8 Fagmeto 5, gupo 2 53 Figua 9 Fagmeto 5, gupo 3 53 Figua 20 Fagmeto 6, gupo 53 Figua 2 Fagmeto 6, gupo 2 54 Figua 22 Fagmeto 6, gupo 3 54 Figua 23 Fagmeto 7, gupo 55 Figua 24 Fagmeto 7, gupo 2 57 Figua 25 Fagmeto 7, gupo 3 58

11 Figua 26 Fagmeto 8, gupo 59 Figua 27 Fagmeto 8, gupo 2 60 Figua 28 Fagmeto 8, gupo 3 6

12 SUMÁRIO INTRODUÇÃO 4 Beve elato da tajetóia pofissioal 4 2 Ogaização da dissetação 6 2 FERRAMENTAL TEÓRICO O ALGORITMO RSA 20 2 Itodução à ciptogafia RSA 2 22 Algumas Feametas da Teoia dos Númeos 22 Defiição 22 Poposição 22 Poposição 2 (Algoitmo de Euclides) 24 Cooláio 25 Poposição 3 27 Cooláio Como Cia Chaves Públicas e Pivadas 29 Poposição 4 30 Pequeo Teoema de Femat 34 Poposição Exemplo Complemeta 36 3 DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE E DO MATERIAL USADOS EM SALA DE AULA 38 3 Metodologia Empegada A Egehaia Didática Mateial Teóico paa os Aluos Como Ciptogafa 43 4 ATIVIDADES REALIZADAS PELOS ALUNOS 47 4 Aplicação da Teoia Aplicação de Pate Pática 49

13 5 CONCLUSÕES 62 6 ANEXOS 65 6 Slides Apesetados a Aula Teóica Fotos da Lousa Folhas com Atividades dos Aluos 77 7 REFERÊNCIAS 85

14 4 INTRODUÇÃO Beve elato da tajetóia pofissioal Desde muito pequeo me dou bem com os úmeos Não me lembo ao ceto com qual idade comecei a gosta efetivamete da Matemática, mas me lembo que a atiga 8ª séie (hoje 9º ao) do Esio Fudametal comecei a pecebe a lógica po detás dos úmeos Comecei a ota que ão se tatava apeas de fómulas e egas potas paa seem usadas, mas que, em muitas situações, havia uma lógica extemamete bem elaboada e bem ogaizada que pemitia costui o cohecimeto dedutivo, desde as cotas mais simples até os aciocíios mais complexos Naquela época, tive a opotuidade de faze um tabalho com poliedos de Platão; foam feitas plaificações po meio de dobaduas, com o cuidado de que, quado motadas, os sólidos fossem costuídos com pefeição Nesse etemeio, ealizei também pesquisas sobe a validade da fómula de Eulle, a qual aida ão havia sido apesetada po completo o Esio Fudametal Além disso, tabalhei com as áeas das figuas ciadas a pati das plaificações Essa atividade foi ciada paa uma oficia de geometia, ealizada duate uma feia aual de ciêcias, desevolvida pelo colégio ode estudava Nessa feia de ciêcias, os aluos de cada sala eam sepaados em gupos e cada gupo ea oietado po um pofesso Gealmete, os aluos eam escolhidos de acodo com as afiidades que tiham paa com as matéias que os pofessoes lecioavam Com isso, pude pecebe também que já ea visto como um bom aluo de matemática, já que fui selecioado juto com mais algus colegas, pela pofessoa de matemática E, com a oietação da pofessoa, desevolvemos todo o tabalho sobe os poliedos de Platão, mostado exemplos do mauseio da fómula de Eulle e da costução dos sólidos Quado atigimos ceta idade, começam as especulações sobe qual cuso devemos escolhe a faculdade, e aida, em qual faculdade devemos igessa Felizmete, a miha decisão já estava tomada Etetato, tatos outos amigos aida se debuçavam sobe os livos buscado um camiho coeto, que lhes popocioasse uma vida diga Optei pela gaduação em Matemática, já que, como citado acima, tal

15 5 disciplia já havia me despetado iteesse Muitos diziam que, pela facilidade com os úmeos, um cuso de egehaia seia mais vatajoso, ou taia um etoo fiaceio maio Poém, a decisão já havia sido tomada Não que eu já soubesse que me toaia pofesso, mas havia um iteesse maio em sabe um pouco mais sobe aqueles úmeos, os quais haviam me coquistado há algus aos Po meio do vestibula, tive o paze de se apovado em duas Uivesidades públicas e a escolha pela Uivesidade Fedeal de São Calos veio po cetas comodidades, tais como a peseça de outos amigos mudado paa a mesma cidade, o que facilitava muito a adaptação à vida uivesitáia, loge dos pais Cotastado com todas as opiiões, segui esse áduo camiho Foam cico aos de gaduação, batalhado muito com disciplias e tabalhos acadêmicos Cotudo, ao fial do cuso vi o quão gatificate a pofissão de pofesso pode se toa Comecei a lecioa aos 9 aos de idade, e ão demoei muito tempo a me apaixoa pela pofissão e pecebe que se pofesso ão é algo que se faz po obigação, mas é obigatóio que se faça com paze Pepaa aulas, coigi povas, tabalha com aluos e lida com a idisciplia ão são situações que se possa esolve po obigação pelo esto da vida Após dez aos de camihada, aida ão me casei de apede coisas ovas e de teta melhoa a cada dia, paa que meus aluos possam apede a matemática tão boita que me chamou a ateção quado adolescete Etede a lógica matemática é bem complicado, mas, assim como um dia pude ve a beleza dos úmeos, queo tasmiti essa beleza Po isso escolhi a pática docete Todavia, há mometos a vida em que ecessitamos de algo mais Pecebemos a otia em que os ecotamos e, com isso, suge a ecessidade de subi um degau a escada da apedizagem e de busca um difeecial, tato o cuículo, quato a pática docete Nossos aluos pecisam que estejamos sempe egajados o que estamos esiado, paa que possam seti-se ataídos pela matéia que lecioamos Com esse desejo em mete, comecei a pocua po pogamas de pósgaduação Cheguei a faze um cuso de especialização em gestão fiaceia, pois eu miistava aulas o cuso de admiistação e setia a ecessidade de esta iseido o uiveso admiistativo, paa que as aulas ão ficassem apeas as fómulas e aplicações matemáticas Eu pecisava mosta aos aluos que aquela matéia lhes seia útil em algum mometo Apesa de ão te cocluído o cuso, as aulas feqüetadas

16 6 pudeam me da uma base muito melho paa cotiua miistado as mihas disciplias A mesma ecessidade citada acima apaecia as aulas do Esio Fudametal e Médio Foi etão que me depaei com o pogama de pós-gaduação PROFMAT, que ofeecia a opotuidade desejada com a idéia mais voltada paa a sala de aula (exatamete o que supiia a miha ecessidade) O úico poblema ea vece o obstáculo das vagas, já que ão sou pofesso da ede pública, logo a cocoêcia seia mais ádua, já que a quatidade de vagas ea meo A pimeia tetativa foi paa o PROFMAT a cidade de Ubeaba, sediado pela Uivesidade Fedeal do Tiâgulo Mieio, UFTM, em 202 Poém, ão obtive sucesso paa a classificação em uma das quato vagas destiadas a demada social (paa pofessoes que ão fossem da ede pública de esio) Foi etão, o fial de 202, que esolvi pesta o pogama PROFMAT, dessa vez a Uivesidade Fedeal de São Calos, UFSCa, pois já cohecia a qualidade do depatameto de matemática e sabia da seiedade com que os pofessoes sempe se dedicavam à istituição Assim, em 203 comecei o pogama de pós-gaduação PROFMAT, que epesetou uma gade ascesão pofissioal e me abiu um leque de possibilidades docetes, além de me abi os olhos paa uma matemática mais apofudada 2 Ogaização da dissetação As pimeias técicas utilizadas paa o evio de mesages secetas eam baseadas a toca de chaves ete os iteessados em mate o sigilo de tais mesages Espiões, os tempos modeos chamados de hackes, ameaçavam o segedo dessas mesages, pois coseguiam, de alguma maeia, essas chaves, já que a mesma chave utilizada paa cifa a mesagem deveia se usada paa decifá-la O método de ciptogafia RSA baseia-se este sistema de chaves duplas e a impossibilidade pática de se obte a chave seceta a pati da chave pública Isto se deve ao fato de ão se cohece atualmete algoitmos paa decompo úmeos gades em fatoes pimos em um tempo azoável uma impossibilidade tecológica (BEZERRA; MALAGUTTI; RODRIGUES, 200, p 08)

17 7 Aida, segudo Bezea, Malagutti e Rodigues (200), a chave pública cosiste em um pocedimeto C utilizado po outas pessoas paa que eviem as mesages ciptogafadas Este tipo de pocedimeto é publicado em uma lista ou estão dispoíveis a iteet Cada ecebedo deve guada com muito sigilo um segudo pocedimeto D, sua seha seceta, paa decifa as mesages ecebidas O que acotece, exatamete, é o que pocedimeto D evete o pocedimeto C, tazedo de volta a mesagem oigial Pode-se ota que toda a ideia sobe a ciptogafia RSA é baseada a costução de uma fução bijetoa, sedo que, quato mais difícil fo ivete, ou ecota a fução ivesa, mais seguo seá o código A idéia é tasfoma letas em úmeos e costui uma fução bijetoa C defiida o cojuto uméico obtido paa usá-la a codificação de mesages A fução ivesa de C seá deotada po D e usada paa decifa as mesages ciptogafadas Qualque fução bijetoa seve paa este pocesso fucioa; etetato se fo fácil obte D a pati de C, seá também fácil queba o código, toado o sistema fágil O método RSA os foece uma maeia de se obte as fuções C e D com bastate seguaça (BEZERRA; MALAGUTTI; RODRIGUES, 200, p 08) Obsevado esta situação depaei-me com o tema desta dissetação: a ciptogafia RSA, a qual ecebe esse ome po cota dos sobeomes dos cietistas do MIT (Massachusetts Istitute of Techology), esposáveis pela ciação do método (Rivest, Shami e Adlema) Tata-se de uma feameta de gade pode, utilizada o tempo todo, como po exemplo, a Iteet, quado se ealizam tasfeêcias bacáias, evios de s, acessos às edes sociais, dete outos Sempe busquei algo a mais paa espode pegutas fequetemete fomuladas pelos aluos: Qual a utilidade da matemática?, ou etão evita cometáios como: Nuca vou usa isso a miha vida Etetato, a maioia das mihas buscas, me depaava com algum aciocíio muito complexo, difícil de se explicado a um aluo típico da escola básica Esta dissetação foi feita com o ituito de mosta aos aluos o quão simples e elegates podem se algumas teoias, com algumas aplicações que são utilizadas

18 8 diaiamete sem que seque tehamos cohecimeto de sua existêcia Essa dissetação defede o poto de vista de que os aluos podem etede muito bem o coceito da ciptogafia RSA sem uca teem estudado álgeba supeio ou teoia avaçada dos úmeos É evidete que as demostações sofisticadas são deixadas de lado, po cota da matuidade dos aluos, assim como ocoe com váias teoias esiadas egulamete o Esio Fudametal ou Médio Algus ajustes foam feitos a fim de ão toa a ideia muito teóica, e sim, bem pática Ao logo desta dissetação seão mostados os coceitos e teoemas de maeia mais apofudada, que foam utilizadas de maeia adaptada paa as aulas sobe a ciptogafia RSA Seão mostados também os aciocíios que os aluos tiveam duate o decoe das atividades, assim como as dúvidas e os poblemas que sugiam Apesa de se um estudo adaptado aos aluos, essa dissetação teta deixa clao coceito da ciptogafia RSA Tal adaptação seá feita atavés do uso de úmeos pimos pequeos (dois dígitos, o máximo) Etetato, paa gaati a seguaça do método, a ealidade, a ciptogafia RSA é feita com úmeos pimos bem maioes (mais de 00 dígitos) Esta dissetação mostaá pimeiamete todo o embasameto teóico paa ofeece uma compeesão sobe a ciptogafia RSA O objetivo é deixa claas as validades das fómulas e dos teoemas utilizados que pemitem o etedimeto da ciptogafia; potua seus picípios e, posteiomete, apesetá-la como uma atividade agadável e compatível com o cohecimeto dos aluos dos esios fudametal e médio Em um segudo mometo, esta dissetação deixaá clao como o expeimeto/atividade foi desevolvido pelos aluos Seá cometado como cada peguta e cada passo da atividade foam elaboados paa que os aluos se setissem iteessados e iteados ao assuto poposto Em seguida, seá mostado como os aluos foam sepaados em tês gupos e como coseguiam compeede o assuto poposto, esolvedo as atividades e se empehado em debate as situações ciadas pelos outos gupos Seão elatadas aida as dificuldades, facilidades e poblemas ecotados duate o pocesso de ciação e decodificação das mesages ciptogafadas

19 9 Po fim, busca-se-á espode a seguite peguta: É possível que os aluos joves sejam capazes de apede como a Matemática pode se usada paa fabica um sistema seguo e atual de toca de mesages secetas? O mais impotate é veifica que a matemática está em tudo o que vivemos, e que, ao cia situações didaticamete adaptadas, toa-se possível demosta o pode dos úmeos, sem que os aluos, ecessaiamete, teham que cusa gaduação em Matemática ou áeas afis Este ea um soho do matemático e educado alemão Felix Klei, do qual compatilhamos pleamete

20 20 2 FERRAMENTAL TEÓRICO O ALGORITMO RSA Este capítulo teá a peocupação de deixa clao o algoitmo paa a ciação das chaves pública e pivada, atifícios que oteiam a ciptogafia RSA, assim como mosta a utilização das chaves o pocesso de ciação das mesages cifadas e de decodificação das mesmas Algus teoemas seão ecessáios paa gaati o igo matemático po detás da ciptogafia RSA, bem como algus cooláios, poposições e defiições A fim de gaati uma maio elevâcia matemática, os teoemas, cooláios e poposições seão demostados este capítulo, possibilitado a busca de uma melho compeesão sobe as justificativas a utilização de algumas fómulas o desevolvimeto do algoitmo RSA Seá feita uma pequea itodução sobe o sugimeto da ciptogafia e sobe a ciação da ciptogafia RSA, assim como a utilidade do método do poto de vista pático e seguo Seá apesetado aida o método em si, fomalizado cada etapa do algoitmo Paa mosta como o algoitmo fucioa, um exemplo acompahaá cada etapa, paa que haja maio claeza o fucioameto pático da ciptogafia RSA É ecessáio lemba que o método é feito de maeia adequada, utilizado úmeos com uma quatidade de algaismos bem meo do que a quatidade cosideada segua paa a aplicação do método Essa adequação gaate o efeito didático da ciptogafia RSA, toado-a acessível aos aluos Ao fial deste capítulo, seá apesetada uma aplicação da ciptogafia RSA utilizado os úmeos e a data de validade de um catão de cédito Paa que o baco possa assegua os dados do catão do cliete, o exemplo, utiliza-se-ão úmeos bem maioes (aida que ão gades o suficiete), mostado a elevâcia do método Este capítulo é baseado o mateial escito po C Rousseau e Y Sait-Aubi, Mathematics ad Techology, 2008, fazedo efeêcias a algumas de suas passages e utilizado algus de seus exemplos

21 2 2 Itodução à ciptogafia RSA A ciptogafia é um assuto tão velho quado a pópia civilização O se humao sempe tetou iveta códigos paa tasmiti mesages que ão podeiam se etedidas po idivíduos idesejados Todavia, costui esses códigos sempe foa uma taefa ádua, já que estudiosos podeiam quebá-los, evetualmete Além disso, a pessoa que desejava evia o código e a pessoa que o ecebeia deveiam sabe como decifá-lo, o que deixava o código suscetível às iteceptações A ciptogafia RSA ecebeu este ome devido a seus ivetoes (Rivest, Shami e Adlema) e desceve um tipo de ciptogafia de chave pública O que chama a ateção esse algoitmo é o fato de ele aida ão te sido quebado, mesmo após mais de 30 aos de tetativas dos melhoes cietistas a áea O mais impessioate é sabe que todos os detalhes do sistema de ciptogafia RSA são completamete abetos ao público, havedo a ecessidade de sabe apeas a decomposição de um úmeo gade em fatoes pimos paa queba o sistema utilizado a ciptogafia RSA A impossibilidade pática de se obte tal decomposição é justamete o que ão pemite que supe computadoes e metes bilhates cosigam queba o código O algoitmo utilizado a ciptogafia RSA é baseado a teoia dos úmeos, evolvedo a aitmética de coguêcia módulo, e o pequeo teoema de Femat, geealizado po Eule Todo o sistema gia em too de tês popiedades: A dificuldade de um computado em fatoa úmeos gades A facilidade de um computado em cia úmeos pimos gades A facilidade de um computado em ecohece se um úmeo pimo é gade Existem muitos beefícios a utilização do sistema de ciptogafia de chave pública Na toca de mesages secetas, tato quem evia quato quem ecebe deve cohece os detalhes do sistema utilizado paa ciptogafa a mesagem E, justamete o compatilhameto desses detalhes, o peigo apaece Etetato, esse peigo ão existe com a ciptogafia RSA, dado que todo o sistema é divulgado a todos, é público

22 22 22 Algumas Feametas da Teoia dos Númeos Esta seção é destiada a desevolve algumas feametas de extema ecessidade paa o desevolvimeto do algoitmo utilizado paa a ciação e utilização das chaves pública e pivada Aida são demostadas algumas poposições e algus cooláios fudametais paa gaati a validade das etapas que seão desevolvidas o estudo da ciptogafia RSA Defiição i) Sejam a e b dois iteios Dizemos que a divide b se existi um iteio q tal que b aq Escevemos a b ii) O máximo diviso comum (mdc) de a e b, deotado po a, b, é defiido pelas seguites duas popiedades: a, b a e a, b b Se d a e b d etão d a, b iii) Dizemos que a é coguete a b módulo se a b palavas, se existe xz, tal que a b x a b mod, em outas Escevemos Poposição Cosidee a, b, c, d, x, y Z, etão segue que: Se a c mod e b d mod, etão a b cd mod ; Se a c mod e b d mod, etão ab cd mod ; Se a c mod e b d mod, etão ax by cx dy mod (em outas palavas, a coguêcia módulo é compatível com as opeações de adição e multiplicação de iteios)

23 23 Z tal que Demostação Como a c mod, temos que a c, etão há a existêcia de algum x a c x Do mesmo modo, como b d mod, temos que b d, etão existe y Z tal quem b d y Mosta que a b cd mod a b c d, assim: Potato, a b c d é equivalete a mosta que Mosta que ab cd mod a b c d a b c d a c b d x y x y é equivalete a mosta que ab cd, assim: ab cd ab ad ad cd ab d da c ay dx ay dx Potato, ab cd Mosta que ax by cx dy mod ax by cx dy, assim: é equivalete a mosta que ax by cx dy Potato, ax by cx dy ax cx by dy x a c yb d xx yy x O algoitmo de Euclides os pemite calcula o máximo diviso comum, a, b, de dois iteios a e b, usado-se o algoitmo da divisão A poposição abaixo mosta os detalhes do algoitmo; a oção de divisão dos iteios com esto é de suma impotâcia 2 y 2

24 24 Poposição 2 (Algoitmo de Euclides) Sejam a e b dois iteios positivos com a b, e seja i uma sequêcia de iteios costuída da seguite foma: divida a po b, chamemos q o quociete da divisão e o esto, tal que a b q, com 0 b Do mesmo modo, dividamos b po, tedo b q2 2, com 0 2 Repetido o pocesso, teemos i i qi i, com 0 i i A sequêcia i é estitamete decescete Assim, deve existi um iteio tal que 0 Etão, ( a, b) Demostação Comecemos mostado que a e b Como 0, a última equação pode se escita q, etão A peúltima equação é dada po 2 q, e como, etão q 2 Etão podemos epeti o pocesso, vedo que, paa todo i i Etão, q 2 2 b, e como b e, temos que b q a Logo a e b Po fim, devemos mosta que sedo um d diviso de a e b, d divide Façamos o camiho iveso, como d a e d b, etão d a b q Na seguda equação veificamos que, como assim, epetido o pocesso, vemos que d b e d, etão d 2 b q2 Sedo d i paa todo i, e em paticula d divide Potato, como divide a e b, e aida, escolhedo um diviso qualque de a e b, ele também divide, etão ( a, b) Paa exemplifica esta poposição pode-se obseva a seguite questão, bem como sua esolução, publicada a RPM 29, po Zelci Clase de Oliveia:

25 25 Um teeo etagula de 22 m po 7 m seá cecado Em toda a volta desse cecado, seão platadas ávoes igualmete espaçadas Qual o maio espaço possível? O pesameto geomético paa tal esolução pode se descito como abaixo: O valo 7 ão divide 22 Fazedo a difeeça 22 meos 7, ecotamos 04 Poém, 04 ão divide 7 Fazedo a difeeça 7 meos 04, ecotamos 3, que divide 04 e é a esposta do poblema Figua Exemplo de mdc A figua acima mosta como a esolução foi feita e epeseta uma esolução geomética utilizado o picípio das divisões sucessivas Cooláio Sejam a e b dois iteios e seja c a, b c ax by Demostação Como c a, b, etão existe x, y Z tal que, sabemos que c, isso é gaatido pela poposição 2, acima Temos que 2 q, etão podemos isola, coseguido a equação q () 2

26 26 Obsevado a equação 2 3 q e isolado, coseguimos a equação: 2 3 q (2) Substituido a equação (2) a equação (), teemos: ) ( q q q q q q q q q Obsevado a equação q e isolado 2, coseguimos a equação: q Agoa, substituido a equação (4) a equação (3), teemos: q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q Cotiuado o pocesso de iteação, chegaemos à equação ) (5 2 y x, ode, y x Z Aida vimos a poposição ateio que 2 2 q b, e isolado 2 temos a equação ) (6 2 2 q b, a qual substituido em (5), teemos: ) ( by y q x y q by x y q b x y x Fialmete, a poposição ateio tíhamos que bq a e também isolado temos a equação ) (8 bq a O que os leva ao esultado fial, substituido (8) em (7):

27 27 x q y by a bq x q y 2 ax a a q y x q y b q x q q y y a x b y by b q x b q q y 2 2 b y sedo x x q2 y e y q x q q2 y y Obsevação; Esta demostação, além de mosta que (a,b) é uma combiação liea com coeficietes iteios de a e b, também foece um método costutivo de se obte tal combiação Poposição 3 i) Seja c a, b Etão c é caacteizado pela seguite popiedade: c mi{ ax by x, y Z, ax by 0} ii) Cosidee,, iii) Cosidee a, b, m N Se a b m N, etão ma, mb ma, b c ab e c, b, etão c a iv) Se p é pimo e p ab, etão p a ou p b Demostação i) Defiimos E { ax by; x, yz, by 0} ii) cooláio, temos que ax e seja c a, b Pelo c E Vamos supo que exista d ax' by' E, com d 0 e d c Como c a e c b, etão c ax' by', assim c d Etetato, 0 d c, o que os leva a uma cotadição Logo c mi{ ax by x, y Z, ax by 0} Po i), como m N, temos que: ma mb mi m a x m b y ; x, y, m a x m b y 0 mmiax by ; x, y, ax by 0 ma, b iii) Como, b c, pelo cooláio, existem x, y Z tal que cx by Multiplicado os dois lados po a, obtemos que c acx e c aby, pois ab c Assim, c acx aby acx aby a Etão, temos Logo, c a

28 28 iv) Utilizado iii), com p podemos te p, b d c, Se, b pimo são e p, etão teemos d p p b p, etão p a Po outo lado, Como os úicos divisoes de um úmeo, ou seja, p b Cooláio 2 Sejam a e dois iteios, com a Se mdc a,, etão existe um úico x,2,, tal que ax mod Demostação Comecemos pela existêcia Como a, a, ax y mdc Assim, ax y mdc, etão existem x, y Z, tal que, ou seja, ax mod Agoa, povemos a uicidade Vamos supo que exista outa solução x ',2,,, com ax' mod Assim ax x' 0mod que ax x' Como a, mdc, etão x x' e etão, veificamos Mas, x' x,,, logo, x x' 0 x x' e daí segue a uicidade Muitos dos cooláios e poposições dados acima gaatem o cálculo evolvedo a coguêcia modulo sem a utilização de algum atifício computacioal elaboado Poém, vale a essalva de que a aplicação das atividades com os aluos, as cotas foam feitas com o auxílio de uma calculadoa cotedo a fução mod, a qual faz o cálculo da coguêcia módulo sem maioes poblemas, iclusive paa úmeos elativamete gades Algus outos teoemas e poposições aida estaão pesetes a póxima seção, a fim de fotalece e esclaece melho as passages que compõem o algoitmo RSA

29 29 23 Como Cia Chaves Públicas e Pivadas Nesta pate do tabalho seá apesetado o algoitmo paa a ciação e utilização das chaves pública e pivada evolvidas a ciptogafia RSA Todos os passos seão exemplificados com a utilização de úmeos pequeos paa uma melho compeesão Algumas outas feametas também seão euciadas e demostadas duate este pocesso, sedo, sempe que possível, seão acompahadas pelo exemplo geal que ajudaá a elucida os estudos pesetes esta uidade A chave pública é ciada pela pessoa que deseja ecebe as mesages de maeia segua, tal pessoa é esposável pelas escolhas a motagem da chave Po paticidade, as passages seão sepaadas po etapas Os esultados seão apesetados seguido de peto o tatameto dado po Rousseau e Sait-Aubi (Mathmetics ad Techology, 2008, p24) ª Etapa Faz-se a escolha de dois úmeos pimos gades (com mais de cem dígitos), omeado-os p e q E em seguida calcula-se p q Este úmeo é a chave pública e, caso a escolha dos úmeos pimos seja como equeida, teá mais de duzetos dígitos Dado, os computadoes atuais ão coseguem ecota os valoes de p e q em um tempo azoável Exemplo: Tome p 3 e q 7, dois úmeos pimos Calculado p q, obtém-se Este úmeo seá a chave pública utilizada em todo o pocesso de ciação de um sistema RSA simples

30 30 2ª Etapa Calcula-se, sedo a fução de Eule A fução de Eule,, dá a quatidade de úmeos iteios o cojuto,2,, que são pimos ete si com Po coveção, A poposição demostada abaixo mostaá que p q Note que a fómula depede dos valoes de p e q, o que apeseta mais uma dificuldade a queba do código Poposição 4 Sejam p e q dois úmeos pimos distitos Etão ( pq) p q Demostação Queemos cota quatos iteios temos o cojuto,2,3,, pq E que são pimos com pq Os úicos iteios que ão são pimos com pq são os múltiplos de p, ou seja, são os elemetos do cojuto P p, 2p,3p,, q p, o qual tem q elemetos, e os múltiplos de q, são os elemetos do cojuto Q q, 2q,3q,, p q, o qual tem p elemetos Lembemos que P Q 0, já que p e q são pimos, segudo hipótese Assim, dos pq elemetos de E, somete os q elemetos de P e os p elemetos de Q ão são pimos ete si com, deixado assim: pq p q pq p q pq q p q Potato, ( ) p q positivos e meoes do que é a quatidade de úmeos pimos com, que são

31 3 Exemplo: Calculado , tem-se 92 úmeos iteios pimos com 22, sedo eles todos os elemetos do cojuto,2,,220, exceto os múltiplos de 3 e 7, que são os seguites 28 úmeos: 3, 7, 26, 34, 39, 5, 52, 65, 68, 78, 85, 9, 02, 04, 7, 9, 30, 36, 43, 53, 56, 69, 70, 82, 87, 95, 204 e 208, ou seja, ª Etapa Escolhe-se um úmeo e,2,, elativamete pimo com Este úmeo e é a chave, jutamete com, utilizada paa ciptogafa a mesagem e seá pate da chave pública Exemplo: Como 22 92, dete estes 92 úmeos deve-se escolhe um úmeo e elativamete pimo com 92, po exemplo, 5 Pode-se veifica apidamete que, 5,92 6 e, pois 5 é um úmeo pimo e Logo, tem-se a chave pública paa codifica a mesagem, e 5 e = 22 4ª Etapa Existe um iteio d,2,,, tal que e d mod Sua existêcia foi gaatida pelo cooláio 2, euciado e demostado acima A maeia de calcula este úmeo d está cotida a demostação do cooláio 2, e deve faze uso do Algoitmo de Euclides (poposição 2) Este úmeo d é a chave, jutamete com, utilizada paa

32 32 decodifica a mesagem e é pivada, já que paa calculá-la é ecessáio o cohecimeto dos úmeos p e q (ao meos com a teoia até agoa existete) Paa o cálculo do úmeo d efetua-se a divisão de po e, obtedo um quociete q e um esto Efetua-se a divisão de e pelo, obtedo um ovo quociete q 2 e um ovo esto 2 Efetua-se a divisão de po 2, e assim sucessivamete até que o esto obtido seja umeicamete igual a Etão, isolado os estos, 2 até, e substituido em 2, 2 em 3, até i em, te-se-á uma equação da foma d e cohecidos, pode-se ecota o valo de d e, com os valoes de e e já Exemplo: Utilizado o Algoitmo de Euclides paa calcula d, pode-se veifica: ( I) ( II) Substituido ( I ) em ( II ), tem-se: , sedo 5 com a fómula d e paa decodifica a mesagem, d 77 e, 92 e compaado, pode-se extai o valo de d Logo, tem-se a chave 5ª Etapa Paa evia uma mesagem escita é ecessáio tasfoma cada leta em um úmeo coespodete, sedo a leta a coespodete ao úmeo ; b coespodete ao úmeo 2 e assim sucessivamete até a leta z coespodete ao úmeo 26 Seja m um desses úmeos Evia a mesagem ciptogafada cosiste em calcula o esto da divisão de e m po, ou seja, calculamos c m e mod, 0 < c < Nesta dissetação

33 33 esse cálculo seá efetuado com o auxílio de uma calculadoa, pesete em qualque computado Exemplo: Supohamos que mesagem a se ciptogafada seja a palava WALDIR Assim, pimeiamete faz-se a coespodêcia das letas paa tasfomá-las em úmeos, etão WALDIR é coespodete ao cojuto de úmeos: Cada um desses valoes seá colocado o luga de m paa calcula c m e mod, com e 5 e 22 c c c c c c mod mod mod mod mod mod 22 c 22 c2 22 c3 22 c4 22 c c Logo a mesagem ciptogafada fica epesetada pelo cojuto de úmeos: ª Etapa Com a mesagem ciptogafada em mãos, basta calcula m c d mod, paa obte o valo iicial m e etão volta à leta coespodete ao úmeo calculado paa decodifica a mesagem As poposições abaixo mostam que o calculo de chega exatamete o valo iicial m c d mod

34 34 m Pequeo Teoema de Femat Seja mod m, sedo m elativamete pimo com, etão é válida a equivalêcia Demostação, sedo m pimo Tome m,2,, e cosidee os podutos m, 2 m,, m I Mostaemos que quado divididos po, os estos k desses podutos k m k mod, ciam uma pemutação da sequecia, 2,, Iicialmete, o esto k da divisão de k m po uca seá zeo se é pimo e k, m, sedo k petecete a E Resta, etão, mosta que os estos são distitos Supoha que k m e k 2 m teham o mesmo esto a divisão po Sem peda de geealidade assuma que k k2 Etão, vemos que: obtemos: k m q, k2 m q2, e etão subtaido as duas equações k k m q q 2 2 Etão divide k k2 m Como é pimo, 0 k k2 e m, a úica possibilidade é que k k2 Tomado o poduto dos estos i módulo da sequecia ( I ), vemos que:! 23 2 m m2 m mod m! Reescevedo, temos: m! Como é pimo, sabemos que,! equivalete ao esultado m mod Etão m, que é

35 35 Poposição 5 O codificado e e decodificado d são ivesos a coguêcia módulo Ao se ciptogafa uma mesagem m como c, em que c m e mod, tem-se sempe a decodificação que leva c em m, ou seja, m c d mod Demostação Sedo c m e mod, etão: c d e d ed k k m m m m m m k m Pelo pequeo teoema de Femat, euciado e demostado acima, temos que: sedo p q, etão m p q p q m m, e como p é p pimo, temos m Logo, c d k k m m m m m mod d Potato m c mod Exemplo: Com a mesagem ciptogafada epesetada pelo cojuto de úmeos , sedo 77 mesagem oigial m 60 m m m m m mod mod mod 22 m 22 m2 22 m3 22 m m m 8 mod mod mod 6 d e calculado m c d mod 23 2, chega-se a

36 36 Logo, a mesagem decodificada é epesetada pelo cojuto de úmeos: , cuja coespodêcia com elação às letas do alfabeto evela a mesagem seceta WALDIR, como desejado 24 Exemplo Complemeta Este exemplo foi adaptado do livo de Rousseau e Sait-Aubi (Mathmetics ad Techology, 2008, p 27 e 28) Uma compahia que costui um sistema de compas olie Paa assegua a tasmissão das ifomações do catão de cédito do cliete, eles utilizam a ciptogafia RSA O catão de cédito possui dezesseis dígitos com mais quato dígitos ifomado a data de validade, totalizado vite dígitos A compahia escolhe dois úmeos pimos gades p e q Este exemplo costa de pimos com vite e cico dígitos, deixado p q com mais de ciqueta dígitos Etão, sedo p e q Como p q, etão Calculado p q, tem-se A compahia escolhe cooláio 2 paa calcula e de maeia que, d e e utiliza o É fácil pecebe que esses úmeos ão podem se obtidos po tetativa e eo, ecessitado de auxílio computacioal Cosideado um cliete com o catão de cédito com úmeo e data de validade 0/02 O cliete que evia de maeia segua a mesagem m , etão o computado calcula

37 37 c m e mod e evia paa a compahia Recebedo a mesagem a compahia calcula d m c m mod Vale lemba que, apesa de este exemplo cote úmeos pimos com uma quatidade gade de dígitos, estes úmeos aida ão são gades o suficiete paa gaati que um computado ão cosiga fatoa apidamete o úmeo Este exemplo seve paa mosta algo mais póximo da ealidade, deixado clao que ao tabalha com úmeos com muitos dígitos a queba do código acaba po se toa algo extemamete complicado até mesmo paa computadoes, uma falha itaspoível paa a atual tecologia

38 38 3 DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE E DO MATERIAL USADOS EM SALA DE AULA 3 Metodologia Empegada A Egehaia Didática A oção de egehaia didática clássica sugiu o iício dos aos 980 Os pimeios pesquisadoes a estuda as dietizes da egehaia didática foam Yves Chevallad e Guy Bousseau, seguidos po Michèle Atigue, mais ao fial dos aos 980 Essa metodologia apeseta capacidade de mosta os feômeos didáticos em codições que se apoximam da fucioalidade de uma sala de aula egula A metodologia de egehaia didática baseia-se a cocepção, ealização, obsevação e aálise de sequêcias de esio, cofotado aálise a pioi e aálises a posteioi Uma pesquisa, seguido os picípios de uma Egehaia Didática, deve segui algumas fases, as quais seão obsevadas as etapas dessa dissetação Essas etapas são, segudo Revemat, R Elet De Edu Matem, 2008, p 26 e 27: Aálises pelimiaes: cosideações sobe o quado teóico didático geal e os cohecimetos já adquiidos sobe o assuto em questão Ao obseva as idades dos aluos selecioados paa o estudo da ciptogafia RSA, pode-se ota que os equisitos ecessáios, tais como fatoação, divisão euclidiaa e esolução de equações po meio de substituições, são apedidos a pati do 8º ao do Esio Fudametal Logo, ao ealiza o estudo com aluos do 9º ao do Esio Fudametal até a 2ª séie do Esio Médio, ficou gaatida a compeesão do assuto em questão Cocepção e aálise a pioi das situações didáticas: o pesquisado, oietado pelas aálises pelimiaes, delimita ceto úmeo de vaiáveis petietes ao sistema sobe os quais o esio pode atua, chamadas de vaiáveis de comado Com as idades e íveis de apedizado adequados, a aálise a pioi asseguou aos aluos que o apedizado ficasse deto do espeado Além disso, os aluos foam,

39 39 até ceto poto, guiados duate o pocesso de ciação das chaves pública e pivada pela folha atividade dispoibilizada paa cada gupo Expeimetação: cosiste a aplicação da sequêcia didática, tedo como pessupostos apeseta os objetivos e codições da ealização da pesquisa, estabelece o cotato didático e egista as obsevações feitas duate a expeimetação Todos os objetivos foam colocados aos aluos de maeia claa, dado, assim, codições paa que eles fossem capazes de cia suas pópias chaves públicas e pivadas paa etão, ao fial da atividade, cosegui ciptogafa e decifa mesages O cotato didático também foi egociado com os aluos paa o desevolvimeto eficaz das atividades, tato teóicas, feitas o pimeio dia, quato páticas, feitas o segudo dia Além disso, a expeimetação foi egistada em uma folha atividade as quais seão descitas o póximo capítulo desta dissetação (a imagem da folha completa está os Aexos) Aálise a posteioi e validação: a aálise a posteioi cosiste em uma aálise de um cojuto de dados colhidos ao logo da expeimetação, como po exemplo, podução dos aluos, egistos de obsevadoes e egisto em vídeo Nessa aálise, se faz ecessáio sua cofotação com a aálise a pioi paa que seja feita a validação ou ão das hipóteses fomuladas a ivestigação Essa aálise a posteioi seá apesetada em gade pate a coclusão desta dissetação, mostado o cofoto ete a aálise feita a pioi e a coclusão das atividades, ode seá espodida a peguta cetal deste tabalho: É possível que os aluos joves sejam capazes de apede como a Matemática pode se usada paa fabica um sistema seguo e atual de toca de mesages secetas?

40 40 32 Mateial Teóico paa os Aluos Pimeiamete, um mateial teóico foi elaboado paa que os aluos ficassem ealmete iseidos o mudo da ciptogafia e paa que eles vissem a evolução da mesma, devido a ecessidade de mate-se segua; sem a possibilidade de queba em tempo hábil O iício da pate teóica cosistia em apeseta aos aluos um pouco sobe a ciptogafia pimitiva, que foi, basicamete, o pimeio tipo de ciptogafia que se utilizou, deixado clao seu valo paa os demais tipos de ciptogafia, poém, mostado também seus poblemas e fagilidades Os exemplos utilizados foam: Cifáio de Césa Ciptogafia baseada a posição das letas do alfabeto, apeas deslocado as letas tês posições à fete Figua 2 Cifáio de Césa Assim, a palava matemática seia tasfomada em pdwhpdwlfd (o aceto o segudo a foi omitido) Atbash Hebaico Ciptogafia baseada, também, a posição das letas, associado a pimeia leta com a última, a seguda com a peúltima e assim po diate Figua 3 Atbash Hebaico

41 4 Assim, a palava matemática seia tasfomada em zgvzgxz A pati daí, a ideia lógica de ciptogafia já estava ciada Etão, foi itoduzido um beve cotexto históico sobe a ciptogafia RSA, deixado clao que a pática de mesages secetas sempe foi utilizada e segue sedo utilizada até os dias atuais Mas, um método seguo, paa deixa essas mesages em segedo, até etão ão havia sido ciado, uma vez que os métodos de ciptogafia pimitivos podeiam se quebados, mesmo que com alguma dificuldade, po itemédio de tetativas e, mais atualmete, com o auxílio de computadoes Aida deto do cotexto históico, foi exposto que em 977, tês cietistas do MIT: Roald Rivest, Adi Shami e Leoad Adlema pateteaam, utilizado as iiciais de seus sobeomes, a cohecida ciptogafia RSA A pati desse cotexto históico se deu iício à poblemática da ciação de um código seguo Os pimeios métodos ciptogáficos eam chamados de sistemas ciptogáficos de chave simética, os quais cosistiam em evia uma mesagem à outa pessoa, utilizado um código (chave) paa toa essa mesagem seceta Assim, essa mesagem podeia se eviada e, a outa pessoa, assim que a ecebesse, podeia decodificá-la utilizado o mesmo código (chave) que foi utilizado paa ciptogafá-la O fato de a chave utilizada pelas duas pessoas se a mesma dá o ome de chave simética, já que, sem a chave coeta usada paa taca a mesagem, ão seia possível abila Veificou-se etão que havia poblemas com o método, como po exemplo, assegua o ecebimeto da chave sem que mais pessoas tivessem acesso a ela Etão, foi apesetada aos aluos a ciptogafia de chave assimética, a qual cosistia em evia uma mesagem ciptogafada com uma chave de tipo Quado o destiatáio ecebesse a mesagem, colocaia uma seguda chave paa ciptogafa a mesagem Assim, a mesagem seia eviada de volta paa a pimeia pessoa que decodificaia a mesagem com a sua chave do tipo e eeviaia a mesagem (que estaia tacada com a seguda chave) O destiatáio ecebeia a mesagem, agoa ciptogafada apeas com a sua chave, a qual seia decodificada Cotudo, algus poblemas também podeiam apaece, tais como a quatidade de pocessos ecessáios paa ciptogafa e decodifica uma úica mesagem Sedo

42 42 assim, o tempo toou-se um gade empecilho paa a paticidade desse método; apesa de se um método bem mais seguo do que o método empegado as chaves siméticas Foi etão que os tês cietistas começaam a pesa a possibilidade de cia um código o qual uma das chaves pudesse se cohecida (chave pública) ou utilizada po todos que quisessem mada uma mesagem Poém, somete a pessoa que ecebesse a mesagem podeia decodificá-la, utilizado a sua pópia chave (chave pivada) Método esse, que possui váios exemplos os dias atuais, tais como as ciptogafias utilizadas em bacos, já que todos podem evia diheio paa uma cota qualque, basta possui o úmeo (chave pública), mas somete a pessoa que possui a seha bacáia (chave pivada) pode saca o diheio Os aluos pudeam pecebe que, paa evia uma mesagem paa outa pessoa, bastava cohece a chave pública ciada po essa pessoa, paa que a mesagem pudesse se ciptogafada Depois da mesagem eviada, a pessoa que ecebesse podeia decodifica utilizado sua pópia chave pivada Um coceito simples de etede, mas ão tão simples de se executado Neste mometo, os aluos haviam etedido po completo o coceito básico de ciptogafia RSA Faltava mosta que cia tal código ea possível e que, paa úmeos pequeos, o etedimeto ea bem acessível Foi apesetado a eles, etão, que a ciptogafia RSA baseia-se a escolha de dois úmeos pimos gades e a chave pública é costuída como o esultado da multiplicação desses úmeos pimos Como ão existem fómulas paa pocua a decomposição de úmeos e fatoes pimos, mesmo gades computadoes demoaiam um tempo cosideável paa ecota esses dois úmeos pimos a pati do seu poduto, já que esse pocesso só pode se feito po meio de iteações

43 43 33 Como Ciptogafa Paa codifica uma mesagem utilizado a algoitmo da ciptogafia RSA, bastava que os aluos seguissem algus passos paa cia suas chaves públicas e pivadas Paa tato, desde o iício da ciação, foi utilizado um exemplo Pimeiamete, estipulou-se uma tabela paa coespodêcia ete as letas da mesagem e o cojuto de úmeos que epesetaiam a mesagem: Figua 4 Tabela de Covesão Assim, ea possível começa a cia as chaves ecessáias O pimeio passo foi escolhe dois úmeos pimos quaisque Paa essa atividade os úmeos escolhidos foam 7 e 4 Após a escolha, efetuou-se a multiplicação dos dois úmeos, defiido assim o úmeo, o pimeio úmeo da chave pública: Fez-se, etão, uso da fução de Eule: ( ) p ( q ) seguido é igual a: ( ), que o exemplo Paa calcula a seguda pate da chave pública escolheu-se um úmeo e sedo mdc( ( ), e), o caso do exemplo seguido a opção foi o úmeo 3, já que 640 e 3 são úmeos pimos ete si Assim, a chave pública foi ciada com os úmeos 697 e 3 Neste poto, já ea possível utiliza a coespodêcia ete letas e úmeos dada pela tabela acima paa ciptogafa a mesagem desejada Fazedo uso da coguêcia módulo, utilizou-se a fómula:

44 44 c m e mod, sedo c o úmeo ciptogafado, m o valo uméico da leta atibuído fazedo uso da tabela acima e e e os úmeos da chave pública Paa o exemplo utilizado, a fómula geal paa ciptogafa passou a se: 3 c m mod 697 Fazedo uso do computado, ciptogafamos a palava VERDAO, que possui sequêcia uméica: Leta Fómula Valo de c V 2^3 mod E 5^3 mod R 7^3 mod D 4^3 mod A ^3 mod 697 O 4^3 mod Assim, a palava VERDAO ciptogafada passou a se a sequêcia uméica: Paa decifa a mesagem é ecessáio que se teha também a chave pivada coespodete Ela é defiida, também, po dois úmeos: um desses úmeos é o pópio e o outo é epesetado po um úmeo d, iveso multiplicativo modula que vem da implicação abaixo: mdc( ( ), e) d e, sedo d o iveso modula de e Paa calcula o iveso multiplicativo modula, foi feito o uso do algoitmo de Euclides Potato, efetuou-se a divisão euclidiaa de () po e, dividido, etão, o

45 45 diviso pelo esto da divisão ateio, até que o esto seja umeicamete igual a No exemplo, pode-se veifica: 640 :3 49, com esto 3, isolado o esto: ( ) 3: 3 4, com esto, isolado o esto: ( 2) Substituido () em (2), tem-se: , que ao se compaado com a fómula do iveso modula d e ( ), pemite extai o valo uméico de Etão o úmeo d é igual a 97 Logo, a chave pivada é detemiada po = 697 e d = 97 Etão, paa decodifica a mesagem, utilizou-se a fómula m c d mod De maeia geal, a 97 fómula, já utilizado os valoes calculados paa e d, é dada po m c mod697 sedo m o valo uméico da leta a tabela iicial e c o valo ciptogafado da leta No exemplo que seguimos: ; Valo de c Fómula Valo de m ^97 mod ^97 mod ^97 mod ^97 mod ^97 mod ^97 mod Assim, os valoes , foam decodificados paa o código uméico ; e, ao busca cada valo coespodete a tabela de covesão leta-úmeo, foi possível detemia, ovamete, a palava VERDAO

46 46

47 47 4 ATIVIDADES REALIZADAS PELOS ALUNOS A aplicação do mateial foi feita em duas etapas, cada uma em um dia, e, em cada dia cotedo uma aula dupla, com duação de uma hoa e tita miutos, totalizado tês hoas de cuso os dois dias A pimeia etapa, o pimeio dia, focou apeas a pate teóica, mostado aos aluos o sigificado da ciptogafia, assim como, algus métodos simples paa que houvesse um etedimeto geal sobe o tema poposto Aida essa pimeia etapa, os aluos tiveam cotato com um exemplo completo sobe como ciptogafa e decodifica uma palava simples A seguda etapa, o segudo dia, foi iteiamete pática, os aluos foam divididos em tês gupos paa que pudessem calcula suas pópias chaves públicas e pivadas Cada gupo ciptogafou uma palava usado a chave pública do outo gupo, sedo que o gupo utilizou a chave pública do gupo 2, o gupo 2 utilizou a chave pública do gupo 3 e o gupo 3 utilizou a chave pública do gupo 4 Aplicação da Teoia Ao iicia a aplicação da pate teóica, já foi possível pecebe o iteesse dos aluos A apesetação de teoias simples, como a ciptogafia pimitiva, já evideciou a ecessidade de iteação paa que os aluos começassem a se seti mais à votade com a aula e pudessem pecebe um dos objetivos da atividade teta tasmiti efetivamete uma mesagem com algum tipo de código Utilizado-se ciptogafias pimitivas foi possível ciptogafa e decodifica algumas palavas paa compeesão do coceito Potamete, algus aluos pecebeam a existêcia de ceta dificuldade em descobi qual o citéio utilizado paa posicioa as letas e etão, ciptogafa Mas, ao mesmo tempo, pecebeam que, após algumas tetativas, seia possível descobi como fucioavam códigos mais simples Como esses códigos podeiam se quebados, iiciou-se um questioameto sobe como faze um código seguo, sem pesa em úmeos, apeas especulado-se

48 48 como tal pocedimeto podeia se feito e como o código podeia se tasmitido em seguaça Com o coceito de chave simética, veificou-se a possibilidade de cia algo mais elaboado paa que uma mesagem chegasse de maeia segua ao destiatáio, uma vez que esse tiha fácil decodificação Foi dito que os dois lados (emisso ecepto) deveiam sabe a chave paa podeem toca as ifomações Caso o destiatáio ão soubesse a chave coeta, a mesma deveia se eviada também Logo, os aluos questioaam como faze paa que essa chave chegasse de maeia segua ao outo lado Com as dificuldades que a chave simética impuha, foi itoduzido o coceito de chave assimética, que po sua vez, possuía uma idéia mais segua, mas aida apesetava algus poblemas, como po exemplo, a demoa paa o evio e eevio das mesages paa decodificação de cada uma das chaves Etetato, os aluos já paeciam mais covecidos de que o pocesso assimético ea bem mais seguo, mesmo com os poblemas citados Com a apaição da ciptogafia RSA e a utilização das chaves públicas e pivadas, a ideia da seguaça da ciptogafia sofeu um avaço Nesse poto, os aluos já estavam cuiosos paa ve e testa o fucioameto do método e começa a faze algus cálculos A demostação" da veacidade do algoitmo RSA foi feita com o uso de um exemplo; as demostações igoosas foam deixadas de lado paa da um efeito mais pático à aula, visto que, um dos objetivos da aula ea mosta o algoitmo em si e ão ateta aos detalhes que o cecam Ao fial do exemplo e da pate teóica, ficou fácil ota o iteesse dos aluos e eles pudeam pecebe que o método ão ea em um pouco difícil de aplica Toda a complexidade se dava pela pate das demostações e das validades das fómulas, mas as aplicações ão davam tabalho

49 49 42 Aplicação de Pate Pática Neste mometo, ao fim da teoia, ea hoa de coloca os aluos paa tabalha e costui os códigos A pati de etão, eles foam sepaados em tês gupos, sedo cada gupo composto pelos aluos de um mesmo ao, sedo assim o gupo foi fomado pelos aluos do 9º ao do Esio Fudametal (G), o gupo 2 foi fomado pelos aluos da ª séie do Esio Médio (G2) e o gupo 3 foi fomado pelos aluos da 2ª séie do Esio Médio (G3) Paa maio claeza de como foi ealizada a aplicação, em cada etapa seão apesetados, a segui, os dados feitos po cada um dos tês gupos Patido paa a aplicação da ciptogafia, a pimeia pate ea faze com que cada gupo ciasse sua pópia chave pública a pati de escolhas feitas po eles mesmos: Escolha dois úmeos pimos distitos, chamado um de p e o outo de q G: e 37 G2: 7 e 3 Figua 5 Fagmeto, gupo

50 50 G3: 23 e 3 Figua 6 Fagmeto, gupo 2 2 Calcule o valo de, p q G: Figua 7 Fagmeto, gupo 3 G2: Figua 8 Fagmeto 2, gupo G3: Figua 9 Fagmeto 2, gupo 2 Figua 0 Fagmeto 2, gupo 3 3 Ecote o valo de ( ) ( p )( q ) G: ( )(37 )

51 5 G2: ( 7 )(3 ) Figua Fagmeto 3, gupo G3: ( 23 )(3 ) Figua 2 Fagmeto 3, gupo 2 Figua 3 Fagmeto 3, gupo 3 4 Escolha um úmeo e pimo ete si com (), ou seja, ( ), e mdc G: e 7 G2: e 5 Figua 4 Fagmeto 4, gupo Figua 5 Fagmeto 4, gupo 2

52 52 G3: e 5 Figua 6 Fagmeto 4, gupo 3 Em seguida, cada gupo divulgou suas chaves públicas a lousa, o espaço esevado, paa que, posteiomete os outos aluos pudessem utilizá-las paa codifica a mesagem e evia de volta paa cada gupo Após as chaves públicas calculadas, ea hoa de os aluos calculaem as chaves pivadas, as quais seiam utilizadas paa decifa a mesagem eviada pelo outo gupo Faça a divisão de () po e, depois divida o (quociete) diviso da divisão pelo (diviso) esto, sucessivamete até que o esto da divisão seja G: Na divisão de 360 ( () ) po 7 (e) a equação ecotada foi Na divisão de 7 (diviso) po 3 (esto) a equação ecotada foi Figua 7 Fagmeto 5, gupo G2: Na divisão de 92 ( () ) po 5 (e) a equação ecotada foi Na divisão de 5 (diviso) po 2 (esto) a equação ecotada foi 5 2 2

53 53 Figua 8 Fagmeto 5, gupo 2 G3: Na divisão de 264 ( () ) po 5 (e) a equação ecotada foi Na divisão de 5 (diviso) po 4 (esto) a equação ecotada foi 5 4 Figua 9 Fagmeto 5, gupo 3 2 Isole os estos das divisões euclidiaas paa te uma equação da foma d e ( ), e extaia o valo de d G: (360 57) d 03 Figua 20 Fagmeto 6, gupo G2: (92 385) d 77

54 54 Figua 2 Fagmeto 6, gupo 2 G3: ( ) d 53 Figua 22 Fagmeto 6, gupo 3 Nessas duas últimas passages, os aluos tiveam um pouco mais de dificuldade, ecebedo um auxílio maio a execução das divisões, já que esse tipo de divisão euclidiaa, com o esto sedo isolado paa substitui em outa equação ão é de costume dos aluos Apesa de os aluos da seguda séie do esio médio já teem mais cotato com as divisões poliomiais; semelhates à escita acima utilizada, os aluos do 9º ao do esio fudametal e ª séie do esio médio ão estavam habituados a isola os estos paa deixa a equação o fomato ecessáio Cotudo, mesmo com as dificuldades, os aluos executaam essa pate da atividade de maeia azoável e pudeam cia suas chaves pivadas paa utiliza a decodificação das palavas Com as chaves públicas e pivadas a mão, os aluos passaam paa a última pate da atividade, que cosistia em escolhe uma palava de seis letas paa codifica, usado as chaves públicas calculadas pelo gupo seguite

55 55 Sedo assim, o gupo utilizou as chaves públicas do gupo 2 ( 22; e 5), o gupo 2 utilizou as chaves públicas do gupo 3 ( 299; e 5) e o gupo 3 utilizou as chaves públicas do gupo ( 407; e 7 ) paa ciptogafa a palava ciada e evia de volta, paa que o gupo decodificasse utilizado sua pópia chave pivada O gupo ciptogafou a palava ZEUGMA, que foi tocada pelos valoes da tabela iicial ficado , utilizado as chaves públicas do gupo 2 5 ( 22; e 5), tedo a fómula padão: c m mod 22, como base paa a motagem da tabela, utilizado a calculadoa do computado Z 23 5 mod E 5 5 mod 22 3 U 20 5 mod G 7 5 mod 22 M 2 5 mod A 5 mod 22 Figua 23 Fagmeto 7, gupo

56 56 O gupo cometeu um eo a liha da leta U, a qual teia como esultado ciptogafado o valo 4 O eo de cálculo levou-os ao valo 4, mas esse fato ão alteou o esultado da aplicação, já que as outas letas foam ciptogafadas de maeia coeta e foi possível deduzi a palava coeta o fial Etão o gupo etegou o código paa que o gupo 2 decodificasse utilizado suas chaves pivadas ( 22; d 77 ), tedo a 77 fómula padão: m c mod 22, como base paa a motagem da tabela mod Z 3 77 mod 22 5 E 77 mod U 77 mod 22 7 G mod 22 2 M 77 mod 22 A

57 57 Figua 24 Fagmeto 7, gupo 2 O gupo 2 ciptogafou a palava ROBSON que foi tocada pelos valoes da tabela iicial ficado , utilizado as chaves públicas do gupo 5 3 ( 299; e 5), tedo a fómula padão: c m mod 299, como base paa a motagem da tabela, utilizado a calculadoa do computado R 7 5 mod O 4 5 mod B 2 5 mod S 8 5 mod O 4 5 mod N 3 5 mod

58 58 Figua 25 Fagmeto 7, gupo 3 Etão o gupo 2 etegou o código paa que o gupo 3 decodificasse utilizado suas chaves pivadas ( 299; d 53), tedo a fómula padão: m c 53 mod 299, como base paa a motagem da tabela mod R mod O mod B mod S mod O mod N

59 59 Figua 26 Fagmeto 8, gupo O gupo 3 ciptogafou a palava MONGOL que foi tocada pelos valoes da tabela iicial ficado , utilizado as chaves públicas do gupo 7 ( 407; e 7), tedo a fómula padão: c m mod 407, como base paa a motagem da tabela, utilizado a calculadoa do computado M 2 7 mod O 4 7 mod N 3 7 mod G 7 7 mod O 4 7 mod L 7 mod 407

60 60 Figua 27 Fagmeto 8, gupo 2 Etão o gupo 3 etegou o código paa que o gupo 3 decodificasse utilizado suas chaves pivadas ( 407; d 03 ), tedo a fómula padão: m c 53 mod 299, como base paa a motagem da tabela mod M mod O mod N mod G mod O 03 mod 407 L

61 6 Figua 28 Fagmeto 8, gupo 3 E assim a atividade foi cocluída com sucesso pelos aluos, que aida baixaam emuladoes de calculadoas cietíficas os celulaes Dessa maeia, todos pudeam faze as cotas, icluido as cotas evolvedo a coguêcia módulo Nas fotos aexadas, é possível acompaha todo o desevolvimeto dos aluos; desde o começo até a colocação dos valoes calculados a lousa Uma das fotos aida costa um valo colocado de foma icoeta, já que os aluos do gupo 3 colocaam o valo de () ao ivés do valo de, o que foi otado e depois coigido, ão pejudicado os cálculos feitos pelo outo gupo

62 62 5 CONCLUSÕES Po meio dessa dissetação, pode-se pecebe o quato a adequação de algumas teoias, até ceto poto complexas, pode deixa o estudo bem mais agadável e pático Sedo possível mosta aos aluos um pouco da paticidade da matemática, sem que os pofessoes fiquem pesos aos livos didáticos, que, em sua maioia, são epetitivos e casativos; com poucas atividades páticas, deixado os aluos desiteessados e cada vez mais distates do mudo dos úmeos Essa dissetação ão possui o ituito de citica mateiais didáticos tadicioais, e sim, acesceta algo de valo, sabedo-se que ão é possível desvicula a teoia da pática A teoia dos úmeos é uma das mais belas áeas de estudo da Matemática; sempe peocupada em ecota padões e possibilita um etedimeto cada vez mais amplo o que diz espeito ao compotameto dos úmeos Esse compotameto dos úmeos é o que mais assusta os aluos, deixado uma falsa ideia de que a matemática é somete etatada atavés de fómulas e coceitos complicados Com uma pequea e, até ceto poto, simples atividade, como a descita esta dissetação, toa-se possível ão só evisa e esia detemiados coceitos, como também deixa clao paa o aluo que a matemática apedida as escolas é utilizada o mudo que os ceca, e eles ão se dão cota disso Com elemetos podeosos, do poto de vista matemático, a ciptogafia toouse uma feameta cada vez mais pesete e cada vez mais desevolvida, aida mais com a socialização da iteet, e a utilização de feametas ifomatizadas po paticamete toda a população A atividade foi poposta paa os aluos do 9º ao do esio fudametal à 2ª séie do esio médio, podedo se otado que as tês tumas temiaam as atividades basicamete ao mesmo tempo Veifica-se que essa atividade pode se aplicada até mesmo paa aluos do 8º ao do esio fudametal, já que os coceitos de fatoação em úmeos pimos, o coceito base da divisão euclidiaa e esolução de equações utilizado o método de substituição já são esiados essa idade Além disso, pode se pecebida uma maio ogaização a maeia de esceve dos aluos mais velhos; os

63 63 que fomaam o gupo tês, po cota da matuidade matemática já adquiida Cotudo, mesmo os mais ovos coseguiam executa as atividades de maeia satisfatóia, cocluido-as jutamete com os demais A pioi, esta dissetação objetivava apeas a oção da foça que a matemática pode apeseta em situações eais o mudo que ceca os aluos Esse objetivo foi atigido, visto que os aluos pudeam pecebe ode a teoia de ciptogafia RSA está pesete e, efetivamete, costui os códigos a pati do algoitmo ciado paa a execução da ciptogafia A motivação dos aluos quado soubeam do que se tatava a atividade e que seiam capazes de ciptogafa ou codifica uma mesagem é algo que meece ateção especial O fato de que os aluos dispoibilizaam tempo e disposição paa algo que ão acescetaia ota e que foi feito foa do hoáio egula de aula, ealizado as tades de duas sextas-feias, seve paa efoça aida mais o iteesse em atividades extacuiculaes Sedo assim, pode-se espode à peguta: É possível que os aluos joves sejam capazes de apede como a Matemática pode se usada paa fabica um sistema seguo e atual de toca de mesages secetas? A esposta afimativa é justificada po cada passagem dessa dissetação, visto que os aluos submetidos às atividades a cocluíam com sucesso e aida saíam extemamete satisfeitos em sabe uma aplicação ova da Matemática Pode-se coclui aida, que algus fudametos da Matemática são utilizados sem que se teha uma oção exata da utilidade A teoia dos úmeos, jutamete com o pequeo teoema de Femat e a utilização dos úmeos pimos ão foi estudada, o iício, paa que se pudessem ciptogafa mesages Etetato, como a teoia havia sido bem desevolvida pode-se toa uma feameta de extema valia o que diz espeito à ate de cia mesages secetas Ciptogafia, esta, tão utilizada os tempos modeos em que vivemos Vale essalta aida, que esta atividade foi aplicada paa aluos de gaduação em Liceciatua em Matemática, maticulados em uma faculdade paticula do iteio do estado de São Paulo Esses aluos cusavam o segudo ao e tiveam a opotuidade de assisti ao mii cuso sobe ciptogafia RSA em uma semaa de palestas e mii cusos

64 64 ofeecido aualmete pela coodeação do cuso em questão, jutamete com a coodeação do cuso de Pedagogia e do cuso de Letas Assim como os aluos do esio fudametal e médio, os aluos da gaduação também gostaam bastate da expeiêcia Muitos deles tiveam cotato com uma aplicação da matemática pela pimeia vez, o que fez com que gostassem aida mais do cuso em que estavam Efim, esta é apeas uma das atividades que pode se desevolvida com os aluos evetualmete, utilizado a desevoltua dos mesmos em pol de algo mais ciativo, desevolvedo aida mais o aciocíio lógico e a capacidade dedutiva paa solucioa poblemas Tais atividades são de suma impotâcia, pois além de acesceta pática às aulas, elas despetam um iteesse maio paa a matemática e popocioam uma maio autoomia aos aluos duate a execução dos execícios

65 65 6 ANEXOS 6 Slides Apesetados a Aula Teóica

66 66

67 67

68 68

69 69

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71 7

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76 62 Fotos da Lousa 76

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