Prof. Daniel I. De Souza, Jr., Ph.D.

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1 CONAMET/SAM 26 TESTE DE VIDA SEQÜENCIAL APLICADO A UM TESTE DE VIDA ACELERADO COM UMA DISTRIBUIÇÃO DE AMOSTRAGEM WEIBULL DE TRÊS PARÂMETROS - UMA ABORDAGEM UTILIZANDO-SE O MÉTODO DO MAXIMUM LIKELIHOOD Pof. Daiel I. De Souza, J., Ph.D. Uivesidade Fedeal Flumiese, Dept. de Eg. Civil, Pogama de Pós-Gaduação, Niteói, RJ, Basil Uivesidade Estadual do Note Flumiese, Depatameto de Eg. de Podução, Campos, RJ, Basil. RESUMO O mecaismo de teste de vida seqüecial costitui-se em uma alteativa iteessate ao d um teste de hipótese com tamaho de amosta fixo devido ao pequeo úmeo de obsevações ecessáias paa o seu empego, picipalmete quado a distibuição de amostagem é o modelo Weibull de tês paâmetos. Acotece poém que em algumas ocasiões, mesmo com o empego de um teste de vida seqüecial, o úmeo de ites ecessáio paa se chega a uma decisão de se aceita ou ejeita uma hipótese ula podeá se muito elevado (De Souza, 2[]). Desse modo, um mecaismo de tucagem paa essa situação de teste de vida foi desevolvido po De Souza [2] e uma aplicação pática desse mecaismo foi apesetada po De Souza [3]. Mesmo com a aplicação desse mecaismo de tucagem, em algumas ocasiões o tempo dispoível paa se ealiza um teste de vida podeá se cosideavelmete meo do que a vida espeada de um detemiado compoete ou poduto. Paa supea esse poblema existe uma alteativa de teste de vida aceleado diecioado a foça o apaecimeto de falhas em compoetes, ou seja, testado-os em codições muito mais seveas do que as ecotadas duate a utilização omal desses compoetes. Paa se taduzi o valo da taxa de falhas obtido em uma codição mais sevea de uso da que o compoete deveá ecota quado em utilização omal paa um valo de taxa de falhas obtido em uma codição de uso omal desse compoete, ecessitaemos de uma modelagem estatística adicioal. Esses modelos são cohecidos como modelos aceleados. Uma possível maeia de se taduzi os esultados de teste obtidos sob codições aceleadas de uso paa codições omais de uso podeá se atavés da aplicação da cohecida Maxwell Distibuto Law. Nesse tabalho iemos desevolve um teste de vida paa um ovo poduto idustial. Paa estimamos os tês paâmetos do modelo Weibull, utilizaemos o método do Maximum Likelihood em uma situação de tucagem do teste po úmeo de falhas, pois o teste de teste de vida iá temia o mometo em que o poto de tucagem fo alcaçado. Assumiemos uma situação de aceleação liea. Paa avaliamos a pecisão (sigificâcia) dos valoes obtidos em uma codição omal de uso paa os tês paâmetos do modelo Weibull, aplicaemos aos tempos omais de falhas espeados um teste de vida seqüecial com um mecaismo de tucagem desevolvido po De Souza [2]. Um exemplo iá ilusta a aplicação desse pocedimeto. Palavas Chaves: Modelos Aceleados, Teste de Vida Seqüecial, Mecaismo de Tucagem, Maxwell Distibutio Law, Teste de Hipóteses, Compoete Metalúgico, Método do Maximum Likelihood, Aceleação Liea.

2 . INTRODUÇÃO Quado apeas a tesão témica se costitui em um fato de aceleação, um modelo empíico, cohecido como o modelo de Aheius, tem sido utilizado com elativo sucesso como um modelo de aceleação. O modelo de Aheius está dado pela equação () abaixo: R ate E KT C e () Nessa equação, R ate epeseta a taxa de eação, E epeseta a eegia de ativação da eação, K é a costate de gás (,986 caloias po mol), T é a tempeatua em gaus Kelvi (273,6 mais o gau Cetígado coespodete) em codições omais de uso, e C epeseta uma costate. O fato de aceleação AF 2/ (ou a azão das taxas específicas de eação R 2 /R ), obtidas em duas distitas tempeatuas de aceleação T 2 e T, seá dado po: AF 2 / AF 2 / R E KT2 C 2 e R E KT C e E, ) exp * - (2) K T T 2 ( Aplicado-se o logaitmo atual a ambos os lados dessa equação e após alguma maipulação matemática, obteemos: l ( AF 2 / ) R 2 E l R K T T 2 (3) A peguta que se faz é a de que como uma equação como a equação (3) acima foi desevolvida? Talvez ela possa se elacioada com a cohecida Maxwell Distibutio Law. Essa lei, a qual expessa a distibuição de eegias ciéticas de moléculas, é dada pela seguite equação: M TE M tot E KT e (4) Aqui, M TE epeseta o úmeo de moléculas existetes em uma detemiada tempeatua absoluta Kelvi T, a qual passa uma eegia ciética maio do que E ete o úmeo total de moléculas pesete, M tot.; E é a eegia de ativação da eação e K epeseta a costate de gás (,986 caloias po mol). A equação (4) expime a pobabilidade de uma molécula de gás possui uma eegia maio do que E. A pecetagem do úmeo de moléculas possuido eegia E em duas difeetes tempeatuas seá dada po: M (2) E KT TE e 2. MTE () E KT e Aplicado-se o logaitmo atual a ambos os lados dessa equação e após alguma maipulação M (2) matemática, obteemos: l TE MTE () E K, a qual é muito paecida com a T T 2 equação (3). Atavés dessa equação (3) podeemos estima o temo E/K testado o poduto ou compoete em duas tempeatuas aceleadas distitas e calculado o fato de aceleação em elação às distibuições petietes. Etão; E l ( AF ) 2 / (5) K T T2 O fato de aceleação AF 2/ seá dado pela elação θ /θ 2, com θ i epesetado um paâmeto de escala ou aida um pecetual elativo a uma tempeatua de tesão T i. Logo que o temo E/K fo calculado, o fato de aceleação AF 2/ a se aplicado em uma tempeatua de tesão omal podeá se obtido da equação (2) atavés da substituição da tempeatua de tesão T pela tempeatua de tesão omal de uso T. Logo: AF 2 / E, ) exp * - (6) K T T 2 ( 2. A CONDIÇÃO DE ACELERAÇÃO De Souza [4] mostou que sob uma codição de aceleação liea, se uma distibuição de vida em um detemiado ível de tesão é epesetada po um modelo Weibull Ivetido de tês paâmetos, a distibuição de vida em qualque outo ível de tesão seá também epesetada po um modelo Weibull Ivetido de tês paâmetos. O mesmo aciocio se aplica a um modelo Weibull de tês paâmetos. Assumiemos esse estudo uma codição de aceleação liea. Gealmete, os paâmetos de escala e de vida míima podeão se estimados pelo uso de dois íveis difeetes de tesão (tempeatua ou ciclos ou milhas, etc.), e suas taxas (elações) foeceão os valoes desejados paa os fatoes de aceleação AF θ e AF ϕ. Logo, teemos: AF θ (7) a AF ϕ a (8) Novamete, baseado o tabalho de De Souza [4], paa o modelo Weibull a fução cumulativa em uma situação de teste de vida sob codições

3 omais de uso F (t ϕ ) em elação a um detemiado peíodo de tempo t t, seá dada po: t ( F ( t ) F AF a AF,. ) a * t / F ( t ) exp / * AF (9) * -a AF ( A equação (9) os ifoma que, sob uma codição de aceleação liea, se a distibuição de vida em um detemiado ível de tesão é epesetada po um modelo Weibull de tês paâmetos, a distibuição de vida em qualque outo ível de tesão seá também epesetada po um modelo Weibull de tês paâmetos. O paâmeto de foma pemaece o mesmo, equato que o paâmeto de escala aceleado e o paâmeto de vida míima aceleado seão multiplicados pelo fato de aceleação. A pemaêcia do mesmo paâmeto de foma é uma coseqüêcia matemática ecessáia das duas outas afimações; ou seja, assumido-se um modelo de aceleação liea e uma distibuição de amostagem Weibull de tês paâmetos. Agoa, caso difeetes íveis de tesão foeçam amostas com paâmetos de foma muito difeetes ete si, etão, ou a distibuição Weibull de tês paâmetos ão é o modelo adequado paa os dados aalisados, ou etão ão temos uma codição de aceleação liea. Agoa, como R (t ϕ ) F (t ϕ ), teemos: t - * l R ( t ) (, /. ) AF () 3. ESTIMADOR MAXIMUM LIKELIHOOD PARA O MODELO WEIBULL DE TRÊS PARÂMETROS EM UMA CONDIÇÃO DE TRUNCAGEM POR FALHAS (TIPO II) O método de estimação padão do Maximum Likelihood quado utilizado a estimação dos paâmetos do modelo Weibull de tês paâmetos podeá apeseta poblemas, devido ao fato de que as codições de egulaidade ão seem obtidas: (veja Muthy, et al. [5], Blischke [6] e Zaakis Kypaisis [7]). Paa se esolve esse poblema de falta de egulaidade, utilizaemos uma modificação poposta po Cohe, et al., [8]. De Souza [4] apeseta uma discussão completa sobe esse assuto quado a distibuição de amostagem é o modelo Weibull Ivetido de tês paâmetos. O mesmo aciocio se aplica a um modelo Weibull de tês paâmetos. A fução likelihood paa os paâmetos de foma, escala e de vida míima de uma distibuição de amostagem Weibull, em uma codição de tucagem po falhas (Tipo II), seá dado po: t i L ( ;; ) k f ( ) [ F( )] t i L ( ;; ) k f ( ) [ R( )] Com f ( t i ) ( t ) i R ( t ) ( t e ) ( ;; ) L k t t, obteemos: ( *( t i )) ; t > () ( t ) e i e com ( t ) i ( e ( t e * )) A fução log likelihood L [ L( ;; )] etão dada po: L l ( k) l( ) l( ) ( ) ( t l i * ) ( t i ) l seá ( ) t * ) ( Paa ecotamos os valoes de θ, β e de ϕ que maximizem a fução log-likelihood, obteemos as deivadas de θ, β e de ϕ e as faemos iguais a zeo. Etão, aplicado alguma álgeba, teemos: dl d dl d t i ( ) ( )( t ) l( ) ( ) t i t i ) ( l ( ) dl d ( ) ), i ( (2) ( t l i * ) t * ) t ) ( l (3) ( ( t ) i ( t *) ( )( t *) (4)

4 Da equação (2), teemos: * ti ) ( ) θ ( ) ( )( t ) () (5) f ( t) ( t * ), t /. ) exp / * ; t - ( As situações de teste de hipótese foam dadas po Kapu ad Lambeso [9], e De Souza [].. Paa o paâmeto de escala θ: Note que quado β, a equação (5) se eduziá ao estimado Maximum Likelihood paa a distibuição expoecial de dois paâmetos. Substituido agoa a equação (5) θ as equações (3) e (4) e aplicado alguma álgeba, as equações (3) e (4) se tasfomam em: ( t i ) * ( () l ( t ) ( ) ( )( ) i l ti t l( t ) ( t ) i ( )( t ) ) t ( * i ( β ( ) ti ( ) ( )( t ( ) * ( ( ))( * i ( ( )( t ( ) ( ) (6) t )( (7) Paa se esolve esse poblema de falta de egulaidade, um dos métodos popostos po Cohe et al. [8] é o de se substitui a equação (7) pela equação E ( ) t ( (8) Na equação (8) t epeseta a pimeia odem estatística de uma amosta de tamaho. Na esolução das equações esultates da aplicação do método Maximum Likelihood, iemos utiliza esse método poposto po Cohe et. al [8]. A deivação da equação (8) podeá se ecotada em De Souza [2-3]. 4. O TESTE DE VIDA SEQÜENCIAL H : θ θ ; H : θ < θ A pobabilidade de se aceita a hipótese ula H seá dada po ( α) o caso de θ θ. Agoa, se θ θ ode θ < θ, etão a pobabilidade de se aceita H seá fixada em um ível ifeio γ. 2. Paa o paâmeto de foma β: H : β β ; H : β < β A pobabilidade de se aceita a hipótese ula H seá também dada po ( α) caso de β β. Agoa, o caso de β β ode β < β, etão a pobabilidade de aceitamos H seá também fixada em um ível ifeio γ. 3. Paa o paâmeto de localização ϕ: H : ϕ ϕ ; H : ϕ < ϕ Novamete, a pobabilidade de se aceita a hipótese ula H seá dada po at (-α) o caso de ϕ ϕ. Agoa, o caso de ϕ ϕ ode ϕ < ϕ, etão a pobabilidade de aceitamos H seá também fixada em um ível ifeio γ. A elação pobabilística seqüecial (RPS) seá dada po RPS L,,, / L,,,. De acodo com De Souza [2], paa o modelo Weibull de tês paâmetos, teemos: ( ( ) () l ) l < X i < ( ( < ( ) () l ) l (9) ( ( ) ( ) ( t * t * X i i i ) ) l ( t ) ( i ) l ( t ) (2) i ( ) A fução desidade da distibuição Weibull de tês paâmetos é dada po

5 5. TAMANHO ESPERADO DA AMOSTRA DE UM TESTE DE VIDA SEQÜENCIAL PARA O PROPÓSITO DE TRUNCAGEM De acodo com Mood ad Gaybill [], uma expessão apoximada paa o tamaho espeado da amosta de um teste de vida seqüecial E() seá dado po: E ( ) (,) l A [ P(, )] E( w) P l B De acodo com De Souza [2], paa o modelo Weibull de tês paâmetos, teemos: ( w) E ( ( ) l ( ) E l( t ) ( ) ( ) l t ( ( t ( ) ) E A ( ) E ( ( t ( ) ) E (2) ( ) ; B A solução de cada compoete da equação (2) podeá se ecotada em De Souza {2-3}. 6. EXEMPLO Estamos tetado detemia os valoes dos paâmetos de foma, escala e vida míima de um modelo de amostagem Weibull, epesetado o ciclo de vida de um ovo compoete metalúgico. Uma vez que se detemie a cuva de vida paa esse compoete, teemos codição de veifica se ovas uidades poduzidas teão as caacteísticas ecessáias equeidas atavés de um teste de vida seqüecial. Acotece que o tempo dispoível paa se ealiza esse teste de vida é cosideavelmete meo do que a vida espeada do compoete. Etão, teemos de depede de um mecaismo de teste de vida aceleado paa podemos obte tempos de falhas, os quais seão utilizados o pocesso de estimação dos tês paâmetos. Esse compoete metalúgico possui uma tempeatua omal de opeação de 295 K (ceca de 22 gaus Cetígados). Sob uma tempeatua de tesão aceleada de 45 K, 2 uidades desse compoete metalúgico foam colocadas em teste, com o teste sedo tucado o mometo de ocoêcia da oa falha. A Tabela I apeseta esses tempos de falhas (em hoas). Agoa, sob uma tempeatua de tesão aceleada de 48 K, 2 uidades desse compoete foam ovamete colocadas em teste, com o mesmo sedo tucado po ocasião da ocoêcia da oa falha. A Tabela II mosta esses tempos de falhas (em hoas). Tabela I. Tempo de Falhas (hoas) dos compoetes metalúgicos testados sob uma tempeatua de tesão aceleada de 45 K. 77,3 75,5 59,6 86,3 677,6 73, 667,8 775,3 638, Tabela II. Tempo de Falhas (hoas) dos compoetes metalúgicos testados sob uma tempeatua de tesão aceleada de 48 K. 493,2 595,4 559,6 46,3 55,3 478,5 597,7 53,2 56, Utilizado-se o método de estimação do maximum likelihood paa os paâmetos de foma β, de escala θ e vida míima ϕ do modelo Weibull em uma situação de tucagem po falhas (Tipo II), obtivemos os seguites valoes paa esses tês paâmetos em codições de teste aceleadas. Com tempeatua de 45 K. β β β 9,2; θ 629,7 hoas; ϕ 9,89 hoas Com tempeatua de 48 K. β 2 β β 9,98 9,2 θ 2 495, hoas; ϕ 2 86,4 hoas O paâmeto de foma ão se alteou com β 9,2 O fato de aceleação paa o paâmeto de escala AFθ 2/ seá dado po AF 2 629, , Utilizado-se a equação (5), podeemos estima o temo E/K. Logo: E l ( AF ) K 2 / T2 T ( 629,7 495,) l ,48 Empegado-se agoa a equação (6), o fato de aceleação paa o paâmeto de escala a se aplicado a tempeatua de tesão omal AFθ 2/ seá dado po: AF 2 / E, ) exp * - K T T 2 (, ) AF 2 / exp.73,48* - 9, ( Desse modo, o valo estimado do paâmeto de escala do compoete quado opeado a tempeatua de tesão omal seá dado po:

6 AF 2 / θ 2 9,64 495, 4.754,9 hoas O fato de aceleação paa o paâmeto de vida míima AFφ 2/ seá igual à: AF 2 9, , 4 Empegado-se ovamete a equação (5), podeemos mais uma vez estima o temo E/K. Etão: E l ( AF ) ( 86,4) 2 / l 9,89.73,54 K T T Novamete utilizado-se a equação (6), podeemos calcula o fato de aceleação paa a vida míima AFφ 2/ a se aplicado a tempeatua de tesão omal. Desse modo, teemos: AF 2 / E, ) exp * - K T T 2 (, ) AF 2 / exp.73,54* - 9, ( Como espeávamos, AF θ AF ϕ AF 9,64 Fialmete, o valo estimado do paâmeto de vida míima do compoete quado opeado a tempeatua de tesão omal seá dado po: AF 2 / φ 2 9,65 86,4 829,8 hoas Desse modo, a vida do compoete metalúgico quado utilizado em uma situação omal de opeação, podeá se epesetada po um modelo Weibull de tês paâmetos possuido um paâmeto de foma β de 9.2; um paâmeto de escala θ de 4,754.9 hoas e um paâmeto de vida míima φ igual à hoas. Paa avaliamos a pecisão (sigificâcia) dos valoes obtidos em uma codição omal de uso paa os tês paâmetos do modelo Weibull aplicaemos aos tempos omais de falhas espeados um teste de vida seqüecial com um mecaismo de tucagem desevolvido po De Souza [2]. Esses tempos espeados de falhas sob uma codição omal de uso seão geados atavés da multiplicação dos ove tempos de falhas obtidos sob uma codição de teste aceleado a tempeatuas de 48 K, dados pela Tabela (2), pelo fato de aceleação AF de 9,6. Paa esse teste de vida seqüecial, decidiu-se que α seia de,5 e que γ seia de,. Nesse exemplo, escolheu-se os seguites valoes paa os paâmetos das hipóteses alteativa e ula: paâmeto de escala alteativo θ 4.2 hoas, paâmeto de foma alteativo β 8,8 e paâmeto de vida míima alteativo ϕ 8 hoas; paâmeto de escala ulo θ hoas, paâmeto de foma ulo β 9,2 e paâmeto de vida míima ulo ϕ 83 hoas. Fazedo agoa P(θ,β,ϕ) se igual a,, podeemos etão calcula o tamaho espeado da amosta com popósito de tucagem E() paa esse teste de vida seqüecial. Utilizado-se a equação (2) e a expessão paa E(), teemos: E ( w) ( ( ) l ( ) E l( t ) ( ) ( ) l t ( E ( ( ) ) ) E t ( ( ) E t ( Resolvedo-se a equação acima, obteemos: E ( w) 4,434 7,8 7, ,2 7,372 2,928,,758 ( ) ) ( Agoa, com P (,,),, l ( B) l (.) l 2,89 e também com.5 ). l ( A) l l 2,253, (. 5 teemos: (,) l( A) [ P(, )] l( B) P, 2,253,99 2, 894 2,839 Logo: E ( ) E ( ) 2,839,758 (,) l A [ P(, )] E( w) P 3,745 4 ites l B Desse modo, podeíamos toma a decisão de se aceita ou se ejeita a hipótese ula H após a aálise da obsevação de úmeo 4. Utilizado-se as equações (9) e (2) e multiplicado-se os ove tempos de falhas obtidos sob uma codição de teste de vida aceleado a uma tempeatua de 48 K dados pela Tabela II, pelo fato de aceleação AF de 9,6, podeemos etão calcula os limites paa o teste de vida seqüecial. A Figua seguite apeseta o teste de vida seqüecial paa o modelo Weibull de tês paâmetos.

7 V A L O R E S D E X PONTO DE TRUNCAGEM ACEITE Ho REJEITE Ho NÚMERO DE ITENS Figua. Teste de vida seqüecial paa o modelo Weibull de tês paâmetos De acodo com Kapu e Lambeso [9], quado o poto de tucagem é alcaçado, taça-se uma liha dividido o gáfico seqüecial, cofome apesetado a Figua acima. Essa liha seá taçada passado pela oigem do gáfico e paalela às lihas de aceitação e de ejeição. A decisão de se aceita ou de se ejeita a hipótese ula H depedeá apeas do lado dessa liha o qual a última obsevação se ecota. Obviamete esse pocedimeto iá altea os íveis α e γ do teste de vida oigial; etetato, aida de acodo com Kapu e Lambeso [9], essa mudaça seá isigificate se o poto de tucagem ão fo muito pequeo (< 3 obsevações). Como podemos ota a Figua, a hipótese ula H deveá se aceita pois a última obsevação (obsevação úmeo 4) se ecota o lado da liha divisóia elacioada com a aceitação de H. 7. CONCLUSÃO Existem duas impotates limitações ao uso da equação de Aheius: iicialmete, paa todo a faixa de tempeatua utilizada o teste toa-se ecessáia a obteção de taxas lieaes específicas de vaiação. Isso acaeta a ecessidade de que a taxa de eação, idifeetemete se a mesma é medida ou epesetada, pemaeça costate duate o peíodo de tempo o qual o pocesso de evelhecimeto é avaliado. Agoa, se a taxa espeada de eação vie a vaia duate a ealização do teste de vida, etão ão seá possível se idetifica uma taxa específica que seja efeida a uma tempeatua específica. Se o mecaismo de eação fo difeete em tempeatuas mais elevadas ou meos elevadas, isso também deveá altea o valo do paâmeto de foma da distibuição de vida do compoete sedo testado. Em Segudo luga, toa-se ecessáio que a eegia de ativação seja idepedete da tempeatua, ou seja, pemaeça costate em todo o itevalo das tempeatuas utilizadas duate o teste. Acotece que, de acodo com Choet e Roy [], a apaete eegia de ativação ão é sempe costate, especialmete quado existe mais de um pocesso se desevolvedo duate o teste de vida. Cometáios adicioais sobe as limitações do uso da equação de Aheius podeão se ecotados em Felle [2]. Nesse tabalho ealizamos um teste de vida com um ovo poduto idustial, utilizado um mecaismo de aceleação. Paa estimamos os tês paâmetos do modelo Weibull, empegamos o método do Maximum Likelihood em uma situação de tucagem do teste po úmeo de falhas, pois o teste de teste de vida se eceou o mometo em que o poto de tucagem fo alcaçado. Assumimos uma situação de aceleação liea. O paâmeto de foma pemaece o mesmo, equato que o paâmeto de escala aceleado e o paâmeto de vida míima aceleado seão multiplicados pelo fato de aceleação. A pemaêcia do mesmo paâmeto de foma é uma coseqüêcia matemática ecessáia das duas outas afimações; ou seja, assumido-se um modelo de aceleação liea e uma distibuição de amostagem Weibull de tês paâmetos. Agoa, caso difeetes íveis de tesão foeçam amostas com paâmetos de foma muito difeetes ete si, etão, ou a distibuição Weibull de tês paâmetos ão é o modelo adequado paa os dados aalisados, ou etão ão temos uma codição de aceleação liea. Paa podemos taduzi os esultados do teste de vida obtidos em uma codição de aceleação paa uma codição de uso omal, seguimos a lógica foecida pela lei de Maxwell, cohecida como The Maxwell Distibutio Law. Paa avaliamos a pecisão (sigificâcia) dos valoes obtidos em uma codição omal de uso paa os tês paâmetos do modelo Weibull, aplicamos aos tempos omais de falhas espeados um teste de vida seqüecial com um mecaismo de tucagem desevolvido po De Souza [2]. Esses tempos espeados de falhas sob uma codição omal de uso foam geados atavés da multiplicação dos ove tempos de falhas obtidos sob uma codição de teste aceleado a tempeatuas de 48 K, dados pela Tabela II, pelo fato de aceleação AF de 9,6. Como vimos a Figua, aceitaemos a hipótese ula de que a vida do compoete metalúgico quado utilizado em uma codição omal de uso, podeá se epesetado po um modelo Weibull de tês paâmetos, possuido um paâmeto de foma β de 9,2; um paâmeto de escala θ de 4.754,9 hoas e um paâmeto de vida míima φ de hoas. 8. REFERÊNCIAS. De Souza, Daiel I. Futhe Thoughts o a Sequetial Life Testig Appoach Usig a Weibull Model, Foesight ad Pecautio, ESREL 2 Cogess, Cottam, Havey, Pape Tait (eds), Edibugh; Scotlad; 4 7 May 2; Vol 2, pp , Rottedam,: Balkema.

8 2. De Souza, Daiel I, Sequetial Life Testig with a Tucatio Mechaism fo a Udelyig Thee-Paamete Weibull Model, ICHEAP-6, Chemical Egieeig Tasactios, 23, Vol 3, pp , Sauo Pieucci (ed), Pisa, Italy. 3. De Souza, Daiel I., Applicatio of a Sequetial Life Testig with a Tucatio Mechaism fo a Udelyig Thee-Paamete Weibull Model, ESREL 24 PSAM 7 Cofeece, Spitze, Schmoke ad Dag (eds.), Beli, Gemay, 4-8 Jue 24, Vol 3; pp , Spige-Velag publishes. 4. De Souza, Daiel I., A Maximum Likelihood Appoach Applied to a Acceleated LifeTestig with a Udelyig Thee- Paamete Ivese Weibull Model, COMADEM 25 Cofeece, Mba ad Rao (eds.), Cafield, UK, August 3-Septembe 7 25, Vol, pp , Cafield Uivesity Pess publishe. 5. Muthy, D. N. P.; Xie, M. ad Hag, R., Weibull Models, Wiley Seies i Pobability ad Statistics, 24, Joh Wiley Sos, Ic., New Jesey, USA. 6. Blischke, W. R., O o-egula estimatio II. Estimatio of the Locatio Paamete of the Gamma ad Weibull Distibutios, Commuicatios i Statistics, 974, No 3, pp Zaakis, S. H. ad Kypaisis, J., A Review of Maximum Likelihood Estimatio Methods fo the Thee Paamete Weibull Distibutio, Joual of Statistical Computatio ad Simulatio, 986, No 25, pp Cohe, A. C.; Whitte, B. J. ad Dig, Y, Modified Momet Estimatio fo the Thee- Paamete Weibull Distibutio, Joual of Quality Techology, 984, 6, pp Kapu, Kailash ad Lambeso, Leoad R., Reliability i Egieeig Desig. New Yok: 977, Joh Willey Sos, Ic.. Mood, A. M. ad Gaybill, F. A., Itoductio to the Theoy of Statistics, Secod Editio, New Yok: 963, McGaw-Hill.. Choet ad Roy, Compesatio of Tempeatue o Peoxide Iitiated Coss likig of Polypopylee, Euopea Polyme Joual, 98, 2, pp Felle, Robet L., Acceleated Agig, Photochemical ad Themal Aspects, The Getty Cosevatio Istitute. Pite: Edwads Boss., 994, A Habo, Michiga, USA.

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