Modelagem e Simulação Numérica da Radiação Sonora de um Cilindro Infinito Pulsante

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1 CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS Dietoia de Pesquisa e Pós-Gaduação Pogama de Pós-Gaduação em Modelagem Matemática e Computacioal Modelagem e Simulação Numéica da Radiação Sooa de um Cilido Ifiito Pulsate Aluo: Emeso de Sousa Costa Oietadoa: Pofª. Da. Este Naves Machado Boges Co-Oietado: Pof. D. Mácio Matias Afoso Belo Hoizote, 9 de agosto de 8.

2 CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS Dietoia de Pesquisa e Pós-Gaduação Pogama de Pós-Gaduação em Modelagem Matemática e Computacioal Modelagem e Simulação Numéica da Radiação Sooa de um Cilido Ifiito Pulsate Dissetação de Mestado, submetida ao Pogama de Pós-Gaduação em Modelagem Matemática e Computacioal, como pate dos equisitos exigidos paa a obteção do título de Meste em Modelagem Matemática e Computacioal. Aluo: Emeso de Sousa Costa Oietadoa: Pofª. Da. Este Naves Machado Boges Co-Oietado: Pof. D. Mácio Matias Afoso Belo Hoizote, 9 de agosto de 8.

3 C837m Costa, Emeso de Sousa Modelagem e simulação uméica da adiação sooa de um cilido ifiito pulsate f. Oietadoa: Este Naves Machado Boges Dissetação (mestado) Ceto Fedeal de Educação Tecológica de Mias Geais.. Método matemático Teses.. Métodos de simulação I. Boges, Este Naves Machado. II. Ceto Fedeal de Educação Tecológica de Mias Geais. III. Título. CDD 59.6 Elaboação da ficha catalogáfica po Biblioteca-Campus II / CEFET-MG

4 Dedicatóia Paa meu pai (i memoia), todos meus familiaes e amigos. i

5 Agadecimetos Agadeço, pimeiamete, a Deus, po te me dado foça, paciêcia, pesistêcia, detemiação, cofoto e paz ecessáias à coclusão de mais uma etapa da miha fomação acadêmica. A pofessoa Este Naves Machado Boges pela oietação iestimável, pela amizade e cofiaça depositada em mim, além da paciêcia em todos os mometos de dúvidas. Ao pofesso Mácio Matias Afoso pela oietação sempe pesete, cíticas costutivas e valiosas cotibuições ao meu tabalho. Aos demais pofessoes pelo apoio a ealização deste tabalho e aos colegas de mestado pelo compaheiismo e amizade. À miha mãe, mihas imãs e imão pelo caiho e pelas palavas de icetivo que ão me deixaam desaima uca. A todos os colegas das escolas, que icetivaam e ajudaam o desevolvimeto deste tabalho. Em especial à Nedia, Macílio e Doizete que tiveam toleâcia e me apoiaam em todos os mometos. Po fim, aos ão meos impotates, demais amigos e familiaes pelo apoio. Agadeço de coação a todos vocês. ii

6 O cohecimeto é o pocesso de acumula dados; a sabedoia eside a sua simplificação." Mati H. Fische iii

7 Resumo Neste tabalho é obtida a solução da equação difeecial de oda acústica adiada po um cilido ifiito pulsate em um meio live e homogêeo. A solução aalítica é ecotada utilizado-se o Método de Sepaação de Vaiáveis e os esultados obtidos são compaados com os da liteatua. A fomulação e implemetação da equação de oda que é egida pelo opeado difeecial de Helmholtz, são obtidas utilizado-se o Método dos Elemetos de Cotoo (MEC). A tasfomação da equação de Helmholtz em Equação Itegal de Cotoo, bem como sua solução, é apesetada de foma detalhada o texto. O Método de Elemetos de Cotoo apeseta gade aplicação a solução de detemiados poblemas acústicos em campo abeto, em elação aos métodos difeeciais. Este método eduz a dimesão do poblema, simplificado com isso os dados de etada a seem tabalhados e eduzido o tempo computacioal utilizado. Palavas-chave: Radiação; Acústica; Elemetos de Cotoo; Modelagem. iv

8 Abstact This pape obtaied the solutio of diffeetial equatio of acoustic wave adiated by a ifiite cylide i a pulsatig half fee ad homogeeous. The aalytical solutio is foud usig the method of sepaatio of vaiables ad esults ae compaed with those of liteatue. The fomulatio ad implemetatio of the wave equatio that is goveed by the spead of Helmholtz, ae obtaied usig the Bouday Elemet method (BEM). The tasfomatio of the Helmholtz equatio i the Bouday Itegal equatio ad its solutio is peseted i detail i the text. The Bouday Elemet Method has a geat applicatio i the solutio of the poblem of acoustic adiatio i ope fields, whe compaed with the diffeetial methods. The BEM educes the size of the poblem because it simplifies the iput data to be woked ad educes the computatioal time used. Keywods: Radiatio; acoustics; Bouday Elemet; Modelig. v

9 Coteúdo INTRODUÇÃO. Cosideações Geais. Objetivos Objetivo Geal Objetivos Específicos 3.3 Ogaização do Tabalho 4 EQUAÇÃO DE HELMHOLTZ PARA MEIOS ACÚSTICOS 5. - Equação Liea da Oda Acústica Equação de Estado Equação de Cotiuidade Equação de Eule Equação Liea da Oda 9. Equação de Helmholtz.3 Solução Aalítica da Equação de Helmholtz.4 Sumáio TÉCNICAS NUMÉRICAS 3 3. Técicas Numéicas Difeeciais 3 3. Técicas Numéicas Itegais Sumáio 7 A EQUAÇÃO INTEGRAL DE CONTORNO 8 4. Itodução 8 4. Equação Itegal de Cotoo Equação Itegal o Cotoo O Coeficiete c, temo live do sial de itegação Tipos de Elemetos de Cotoo 36 vi

10 4.6 Discetização e Colocação Deivada da solução fudametal em elação a omal v Cálculo dos Elemetos ão Sigulaes das Matizes G e H Cálculo dos Elemetos Sigulaes das Matizes G e H Sumáio 5 RESULTADOS NUMÉRICOS E COMPARAÇÕES 5 5. Resultado Aalítico e Compaações 5 5. Resultado Numéico e Compaações Sumáio 6 CONCLUSÃO GERAL E PROPOSTA PARA TRABALHOS FUTUROS 6 6. Coclusão Geal 6 6. Popostas paa tabalhos futuos 63 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 64 ANEXO A 66 ANEXO B 69 ANEXO C 7 ANEXO D 7 Fução Delta de Diac e Solução Fudametal 7 ANEXO E 7 vii

11 Lista de Tabelas Tabela 5. Compaação de esultados 53 Tabela 5. Resultados paa discetização com 8 elemetos 55 Tabela 5.3 Resultados paa discetização com 6 elemetos 56 Tabela 5.4 Resultados paa discetização com 3 elemetos 57 Tabela 5.5 Resultados paa discetização com 64 elemetos 58 Tabela 5.6 Resultados paa discetização com 8 elemetos 59 Tabela 5.7 Resultados paa discetização com 56 elemetos 6 Tabela B Valoes de x i e w i paa itegação gaussiaa, utilizado-se potos de Gauss Tabela E. Nós e espectivos elemetos 7 69 viii

12 Lista de Figuas Figua. Cilido ifiito de aio = a 3 Figua. As coodeadas cilídicas (, ψ, z) 4 Figua 4. Repesetação do domíio e dos cotoos 3 Figua 4. Repesetação do domíio sobe um cotoo D 33 Figua 4.3 Malhas compostas de difeetes tipos de elemetos 38 Figua 4.4 Malhas com o mesmo úmeo de elemetos 38 Figua 4.5 Apoximação ealizada po elemetos cotíuos e descotíuos 39 Figua 4.6 (a) Elemetos de cotoo: elemetos costates 39 Figua 4.6 (b) Elemetos de cotoo: elemetos lieaes 39 Figua 4.6 (c) Elemetos de cotoo: elemetos quadáticos 4 Figua 4.7 Cotoo discetizado 4 Figua 4.8 Elemeto Liea 45 Figua 4.9 Sistema de coodeadas o elemeto 45 Figua 5. Compaação de esultados implemetados 53 Figua 5. Ilustação bidimesioal da discetização do cilido em elemetos 54 Figua 5.3 Repesetação gáfica dos esultados obtidos com a discetização com 8 elemetos 55 Figua 5.4 Repesetação gáfica dos esultados obtidos com a discetização com 6 elemetos 56 Figua 5.5 Repesetação gáfica dos esultados obtidos com a discetização com 3 elemetos 57 Figua 5.6 Repesetação gáfica dos esultados obtidos com a discetização com 64 elemetos 58 Figua 5.7 Repesetação gáfica dos esultados obtidos com a discetização com 8 elemetos 59 Figua 5.8 Repesetação gáfica dos esultados obtidos com a discetização com 56 elemetos 6 ix

13 Simbologia CARACTERES LATINOS Vaiável Descição Uidade s adesameto em um poto - R costate dos gases [J/kgK] F foça [N] β módulo adiabático (coeficiete de expasão volumética do fluido) - posição de equilíbio de uma patícula de fluido em (x, y, z) [m] p pessão acústica em um poto [Pa] P pessão de equilíbio o fluido [Pa] P pessão istatâea em um poto [Pa] aio do cilido [m] xˆ, yˆ, e zˆ epesetam vetoes uitáios as dieções x, y e z, espectivamete. [m] T tempeatua em gaus Celsius [ C] T tempeatua em Kelvi [K] K t tempo [s] u velocidade da patícula de fluido [m/s] c velocidade de fase da oda [m/s] x

14 CARACTERES GREGOS Vaiável Descição Dimesão ρ desidade de equilíbio do fluido [kg/m 3 ] ρ desidade istatâea em um poto [kg/m 3 ] ξ deslocameto da patícula de fluido em elação à posição de equilíbio [m] ω feqüêcia agula [ad/s] φ potecial de velocidade [m/s] OPERADORES Vaiável Descição / i deivada pacial (*) = div( *) divegete (*) = gad( *) gadiete (*) Laplaciao * oma de um veto ou matiz xi

15 RELAÇÕES ENTRE CARACTERES Vaiável Descição ρ ρ ρ s = adesameto em um poto ξ = ξ xˆ + ξ yˆ + ξ zˆ x y z deslocameto da patícula de fluido em elação à posição de equilíbio = xxˆ + yyˆ + zzˆ posição de equilíbio de uma patícula de fluido em (x, y, z) p = P pessão acústica em um poto P T = T k tempeatua em gaus Celsius ξ u = = u x xˆ + u y yˆ + u z z t velocidade de patícula LISTA DE ABREVIATURAS Abeviação Descição EI EIC MDF MEC MEF Equação Itegal Equações Itegais de Cotoo Método das Difeeças Fiitas Método dos Elemetos de Cotoo Método dos Elemetos Fiitos xii

16 Capítulo Itodução. Cosideações Geais O som pode se defiido como uma vaiação da pessão ambiete detectável pelo sistema auditivo e o uído como um som sem hamoia. Um mecaismo bastate comum paa gea sos cosiste em faze viba uma estutua. Estutuas vibates movimetam ciclicamete as moléculas do a ao seu edo, geado localmete egiões de cocetação e de aefação destas, o que povoca vaiações de pessão. A popagação sooa ao a live é omalmete estudada em temos de tês compoetes: a fote sooa, a tajetóia de tasmissão e o ecepto. Pimeiamete, a fote emite uma ceta potêcia sooa, geado um ível sooo que pode se medido as poximidades da fote. A pati daí, o ível sooo é ateuado à medida que o som se popaga, ete a fote e o ecepto, ao logo de detemiada tajetóia. A modelagem da adiação acústica é de fudametal impotâcia paa se compeede a popagação das odas acústicas e, coseqüetemete, desevolve mecaismos paa ateuação de uídos acústicos. Paa estimativas de íveis de pessão sooa, em cetas ocasiões, é peciso cohece os íveis de potêcia sooa das fotes em questão. É este o caso, po exemplo, quado se deseja detemia o ível de pessão sooa geado pelo maquiáio de um ambiete idustial e o ível de pessão sooa devido ao táfego de uma odovia, ete outos.

17 Odas acústicas em fluidos ão viscosos, como a e água, são odas logitudiais, isto é, as moléculas do fluido se movem paa fete e paa tás a dieção de popagação da oda, poduzido egiões adjacetes de compessão e de aefação. Na aálise que se segue, são feitas algumas suposições ecessáias paa o estudo da popagação do som em fluidos a sua foma mais simples. Dete elas, tem-se que os efeitos das foças gavitacioais são cosideados despezíveis; o fluido é homogêeo, isotópico e pefeitamete elástico e as odas são de amplitude elativamete pequea, de modo que as vaiações a desidade do meio são pequeas quado compaadas com seu valo de equilíbio. O temo patícula de fluido é utilizado paa idetifica um elemeto de volume, gade o suficiete, paa cote um úmeo muito gade de moléculas, de foma que este possa se cosideado como um meio cotíuo, cotudo pequeo o bastate paa que todas as vaiáveis acústicas possam se cosideadas costates ao logo deste elemeto de volume. Neste tabalho é mostada a solução aalítica da equação de oda paa um cilido ifiito que está vibado (expadido e cotaido) uifomemete a dieção adial com amplitude costate. Essa solução ecotada é etão compaada com a liteatua. Uma fomulação uméica paa este poblema também é apesetada, utilizado-se a foma dieta do Método dos Elemetos de Cotoo. Atualmete, o Método de Elemetos de Cotoo é um dos métodos mais avaçados e é utilizado especialmete paa o tatameto de poblemas evolvedo meios ifiitos e semiifiitos. Uma das gades vatages desse método é que ele pemite a edução da dimesão do poblema, dimiuido o úmeo de equações utilizadas, pemitido a solução apeas o cotoo, sem ecessidade de se aalisa todo o domíio.

18 . Objetivos.. - Objetivo Geal O objetivo deste tabalho é faze uma modelagem aalítica e uméica de um cilido ifiito pulsate que está vibado uifomemete a dieção adial com amplitude costate. A modelagem uméica deste poblema é feita a pati da fomulação dieta do Método dos Elemetos de Cotoo... - Objetivos Específicos Realiza um estudo teóico e uméico sobe a equação de oda adiada po um cilido ifiito pulsate. Compaa os esultados obtidos a implemetação, utilizado-se o Método de Elemetos de Cotoo, aos esultados de Yoo, (99) e Papii, (999). 3

19 .3 Ogaização do Tabalho A estutua do tabalho apeseta, iicialmete, o Capítulo, a fomulação aalítica da adiação acústica de um cilido ifiito pulsate. Logo após é descita a implemetação da fomulação aalítica. No Capítulo 3 é apesetada uma beve itodução dos métodos uméicos que são comumete utilizados. No Capítulo 4 são desevolvidos os coceitos básicos de Equações Itegais e do Método de Elemetos de Cotoo, empegados este tabalho. No Capítulo 5 são apesetados os esultados aalíticos e uméicos e estes são compaados com os esultados obtidos a liteatua. No Capítulo 6 são apesetadas a coclusão geal e pespectivas de futuos tabalhos. 4

20 Capítulo Equação de Helmholtz paa Meios Acústicos Neste capítulo é apesetada a dedução da Equação de Helmholtz paa o feômeo de adiação acústica. Esta equação seá obtida a pati da Equação Liea da Oda.. - Equação Liea da Oda Acústica A equação que desceve o feômeo da adiação acústica é obtida utilizado-se as equações de estado, de cosevação da massa e da cosevação da quatidade de movimeto, a peseça de um sial acústico, segudo Ziomek, (995). Paa obte a fomulação aalítica da adiação acústica, devem se feitas algumas suposições: Os efeitos das foças gavitacioais são despezíveis; O fluido é homogêeo, isotópico e pefeitamete elástico; Efeitos dissipativos devido à viscosidade ou codução de calo ão estão pesetes; A amplitude de oda sooa é elativamete pequea, de modo que as vaiações a desidade do meio são pequeas quado compaadas com seu valo de equilíbio. Estas suposições são ecessáias paa se estuda a popagação de som em fluidos a sua foma mais simples. Expeimetos mostam que uma aálise deste tipo desceve adequadamete os feômeos acústicos mais comus. 5

21 .. - Equação de Estado Paa meios fluidos, a equação de estado elacioa gadezas físicas que descevem o compotameto temodiâmico de um fluido. Po exemplo, paa um gás pefeito tem-se P = ρ T K, (.) que elacioa a pessão istatâea P (em Pascal-Pa), a desidade istatâea ρ (kg/m 3 ) e a tempeatua absoluta T K (Kelvi). A gadeza R = é a costate específica do gás e M depede da costate uivesal dos gases R e do seu peso molecula M. Paa o a, R 87 J/kg.K. Pocessos acústicos são apoximadamete isetópicos (adiabáticos e evesíveis). A codutividade témica do fluido e os gadietes de tempeatua da petubação (oda acústica) são pequeos de foma que a toca de eegia témica ete camadas adjacetes do fluido pode se despezada. Nessas codições, a etopia do fluido pemaece apoximadamete costate. O compotameto acústico de um gás sob essas codições é descito pela equação adiabática de estado descita po P P γ ρ = ρ, (.) ode γ é a azão ete os valoes específicos à pessão e volume costates. Paa que as petubações acústicas do fluido sejam cosideadas adiabáticas, ão pode have toca de eegia témica ete elemetos adjacetes do fluido. Isto sigifica que a codutividade témica do fluido e que os gadietes de tempeatua da petubação devem se pequeos o bastate paa que ão ocoa fluxo témico sigificate duate o tempo da petubação. Isso ocoe as feqüêcias e amplitudes de iteesse em acústica, Kisle et al., (98). Se o fluido ão se compota como um gás pefeito, a equação que desceve seu compotameto é mais complicada. Neste caso, a elação isetópica ete pessão e 6

22 desidade de flutuação é detemiada expeimetalmete. Esta elação pode se epesetada utilizado-se uma expasão em séie de Taylo P P P = P + ( ρ ρ ) + ( ) +... ρ ρ. (.3) ρ ρ ρ ρ Na expessão acima, as deivadas paciais são costates detemiadas paa compessão adiabática e paa a expasão do fluido em too de sua desidade de equilíbio. Se tais flutuações são pequeas, somete o temo de odem mais baixa em ( ρ ρ ) é cosideado. Assim, obtém-se uma elação liea ete a flutuação de pessão e vaiação de desidade ( ρ ρ ) P P = β, (.4) ρ ode β é o módulo adiabático ou coeficiete de expasão volumética do fluido, dado po P β = ρ ρ ρ. (.5) Pode-se defii o adesameto s em um poto, como a azão ete a vaiação de desidade e seu valo de equilíbio, ρ ρ ρ s = e a pessão acústica p como a vaiação da pessão em elação a seu valo de equilíbio, p = P P. Dessa maeia pode-se eesceve a equação (.4) em temos da pessão acústica p e do adesameto s, p β s. (.6) et al., (98). A estição essecial é que o adesameto s deve se muito pequea, s <<, Kisle 7

23 .. - Equação de Cotiuidade Paa elacioa o movimeto do fluido com sua compessão ou expasão, pecisa-se de uma fução que elacioe a velocidade u da patícula do fluido com sua desidade istatâea ρ. Cosidea-se um feômeo de taspote de massa atavés de um elemeto de volume ifiitesimal de fluido, fixo o espaço. A equação de cotiuidade elacioa a taxa de cescimeto ou decescimeto de massa o iteio desse elemeto de volume com o fluxo de massa atavés da supefície fechada que o evolve e tem a seguite expessão ρ +. = t ( ρ u). (.7) Como a desidade istatâea ρ pode se expessa em fução do adesameto ρ = ρ ( + s), pode-se usa o fato que ρ é costate o espaço e o tempo, e que s é muito pequea, isto é, s <<, paa expessa a equação acima da seguite maeia: s + u =, (.8) t que é a equação da cotiuidade lieaizada Equação de Eule Paa fluidos eais, a existêcia de viscosidade e o fato de que pocessos acústicos ão são pefeitamete adiabáticos itoduzem temos dissipativos. Etetato, uma vez que os efeitos da codutividade témica a equação de estado foam cosideados despezíveis, pode-se também igoa os efeitos da viscosidade e cosidea o fluido como sedo ão viscoso. 8

24 A equação da cosevação da taxa de vaiação de quatidade de movimeto elacioa a pessão acústica p com a velocidade u istatâea da patícula, paa um fluido adiabático e ão viscoso, isto é, os efeitos da viscosidade do fluido podem se despezados. Dessa maeia obtém-se a equação de Eule (equação de foça) que é a equação de movimeto paa fluidos ivíscidos: u ρ = p. (.9) t..4 - Equação Liea da Oda Aplicado-se o opeado divegete em ambos os lados da equação (.9), obtém-se u ρ = p, (.) t ode é o opeado Laplaciao. Deivado-se a equação (.8) em elação ao tempo e usado o fato de que v t ( u) v u =, (.-a) t obtém-se s u + =. (.) t t As equações (.) e (.) podem se combiadas uma úica equação: s t p = ρ. (.) 9

25 Usado-se a equação de estado (.6) paa elimia o adesameto s, obtém-se p p =, (.3) c t ode a costate c, defiida como β c =, (.4) ρ é deomiada velocidade de fase (popagação) da oda acústica o meio. A equação (.3) é a equação liea de oda paa a popagação sooa em meios homogêeos e sem pedas. Paa fluidos ão viscosos, a velocidade da patícula é iotacioal, u =. Isto sigifica que ela pode se expessa como o gadiete de uma fução escala φ, deomiada potecial de velocidade, u = φ. (.5) O sigificado físico deste impotate esultado é que a excitação acústica de um fluido ivíscido ão evolve fluxo otacioal: efeitos como tesões cisalhameto ou tubulêcia ão estão pesetes. Em fluidos eais, paa os quais a viscosidade é fiita, a velocidade de patícula ão é iotacioal em todos os potos do fluido. Na maioia dos pocessos acústicos, a peseça de pequeos efeitos otacioais limita-se à vizihaça ao edo dos cotoos e exece pouca ifluêcia sobe a popagação do som. Substituido-se a equação (.5) a equação (.9), obtém-se φ ρ + p =. (.6) t

26 Veifica-se que a expessão ete paêteses a equação (.6) pode se escolhida ula, caso ão haja excitação acústica, Kisle et al., (98). Dessa foma, tem-se que φ p = ρ. (.7) t Substituido-se a equação (.7) a equação (.), obtém-se a equação de oda lieaizada, expessa em temos do potecial de velocidade de oda acústica: = c t φ φ. (.8). Equação de Helmholtz Paa se obte a solução da equação (.8), supõe-se que o potecial de velocidade φ t v tem depedêcia hamôica o tempo e pode se escito da seguite foma (, ) φ =. (.9) iωt ( t, ) φ ( ) e f Na equação (.9), φ f epeseta a pate espacial do potecial de velocidade e ω epeseta a feqüêcia agula da petubação. Substituido-se a equação (.9) a equação (.8) obtém-se a Equação de Helmholtz liea, tidimesioal, homogêea, em coodeadas cilídicas, idepedete do tempo paa um meio sem pedas, expessa em temos do potecial de velocidade da oda acústica ( ) + κ φ ( ) = φ, (.) f f ode πf κ = c π =, (.) λ é o úmeo de oda e

27 c = fλ. (.) Paa meios homogêeos, o valo de c (velocidade de fase) é costate..3 Solução Aalítica da Equação de Helmholtz Neste tabalho, cosidea-se um cilido de aio = a cuja supefície está vibado uifomemete a dieção adial com uma amplitude de V o metos po segudo, uma feqüêcia de f Hetz, epesetado a Figua.. Figua. Cilido ifiito de aio = a Cosidea-se aida que o poblema obedece a codição de cotoo de Neuma φ = V v = u ( ), em = a. (.3) Na Equação de Helmholtz (.), utiliza-se o opeado Laplaciao em coodeadas φ é o potecial de cilídicas (, ψ, z), devido à simetia do poblema e dessa foma, ( ) velocidade o poto (, z),ψ. f

28 ψ Figua. As coodeadas cilídicas (, ψ, z) A solução da equação (.) é obtida utilizado-se o método de sepaação de vaiáveis, isto é, supodo-se que a solução pode se escita da seguite foma: φ f v ( ) = φ (, ψ, z) = R( ) Ψ( ψ ) Z( z) f. (.4) Substituido a equação (.4) a equação (.) obtém-se R ( ) d d R ( ) d d + R( ) + Ψ( ψ ) + k R d Ψ dψ ( ) ( ψ ) = Z ( z) d dz Z ( z). (.5) Como o lado esquedo da equação (.5) é fução de e ψ, e o lado dieito é fução de z, esta igualdade só se veifica se ambos os lados foem iguais a uma costate, isto é, d Z( z) = k ( ) z, (.6) Z z dz ode k z é chamada de costate de sepaação. A equação (.6) pode se eescita como d Z dz ( z) + kz Z( z) =, (.7) 3

29 que é uma equação difeecial odiáia de seguda odem, homogêea, que tem como solução exata Z + ikz z ikz z ( z) = AZ e BZe, (.8) ode A e Z B são costates em geal complexas, cujos valoes são detemiados a pati das Z codições de cotoo. Se k z é positivo o pimeio temo a equação acima epeseta uma oda plaa viajado o setido positivo de z, equato o segudo temo epeseta uma oda plaa viajado o setido egativo de z. igual a Retoado à equação (.5), obsevamos que o lado esquedo desta deve também se k z. Assim, R ( ) d d R ( ) d d + R( ) + Ψ ψ R d Ψ dψ ( ) ( ψ ) ( ) + k =. (.9) k z Multiplicado-se po ambos os lados da equação acima, obtém-se R ( ) d d R ( ) d d + R( ) + Ψ ψ R d Ψ dψ ( ) ( ψ ) ( ) + k =, (.3) k z ou R ( ) d d R ( ) R + R ( ) d d ( ) + ( k k ) d = Ψ( ψ ). (.3) z Ψ( ψ ) dψ Fazedo-se ( ) k k z = k ecota-se R ( ) d d R ( ) d d + R( ) + k R d ( ) = Ψ( ψ ). (.3) Ψ( ψ ) dψ 4

30 Como o lado esquedo da equação acima é fução somete de e o lado dieito é fução de ψ, esta igualdade só se veifica se ambos os lados foem iguais a uma costate, isto é, se Ψ ( ψ ) d Ψ dψ ( ψ ) =. (.33) Na equação acima é chamada de costate de sepaação. Multiplicado-se ambos os lados da equação (.33) po Ψ ( ψ ) obtém-se d Ψ dψ ( ψ ) + Ψ( ψ ) =, (.34) que é uma equação difeecial odiáia de seguda odem, homogêea, que tem como solução exata Ψ iψ iψ ( ψ ) = A ψ e + Bψ e, (.35) ou, utilizado-se a fómula de Eule, ( ψ ) B se( ψ ) Ψ( ψ ) = A ψ cos + ψ. (.36) Na equação (.36) A e ψ detemiados impodo-se as codições de cotoo. B são costates em geal complexas, cujos valoes são ψ Fialmete, o lado esquedo da equação (.3), deve se igual a. Com isso, R ( ) d d R ( ) d + R( ) + k =. (.37) R d ( ) Multiplicado ambos os lados da equação acima po R ( ) obtém-se 5

31 d d R d d ode k ( k ) ( ) + R( ) + k R( ) =, (.38) = k z. O póximo passo é tasfoma a equação (.38) em uma equação difeecial de Bessel, que tem solução exata cohecida. Seja R() uma fução ( k ) g tal que R ( ) = g( k ). (.39) Desta foma, d d R ( ) ( k ) dg =. (.4) d Fazedo-se k = u tem-se que d d du = d du d. Assim, d d R dg ( ) ( u) du =, (.4) du d ou d d R dg( k ) d dg( k ) ( ) = ( k ) = k. (.4) d( k ) d d( k ) Isto é, d d R ( ) ( k ) ( k ) dg = k, (.43) d e também 6

32 d d R ( ) R( ) ( u) d dg d dg d g( k) = k k k k ( ), = du d du du d k d d d dg = = k = d d d (.44) du ou d d R ( ) g( k ) ( k ) d = k. (.45) d Substituido-se a equação (.38) as equações (.43), (.44) e (.45) a equação (.38) obtém-se d g k dg k + + = k g. (.46) du du Dividido-se a equação acima po k obtém-se d du g dg + + = g. (.47) k du k Como u = k veifica-se que a equação (.47) é uma equação difeecial de Bessel d du g dg + + = g. (.48) u du u A solução exata da equação (.48), paa valoes abitáios de é dada po: g ( u) A J ( u) B Y ( u) =, (.49) + ou g () () ( u) A H ( u) + B H ( u) =, (.5) 7

33 ode J ( u) e Y ( u) são as fuções de Bessel da ª e ª espécies e de -ésima odem, e H ) ( u) ( e ( ( u) são as fuções de Hakel da ª e ª espécies e de -ésima odem, espectivamete, ) H também cohecidas como fuções de Bessel da 3ª espécie, e são dadas po () H ( u) = J ( u) + iy H () ( u) = J ( u) iy ( u) ( u), (.5). (.5) Utilizado-se as equações (.46) e (.5), pode-se fialmete esceve a solução exata da equação (.38) paa valoes abitáios de, ou R ( ) A J ( k ) B Y ( k ) =, (.53) + R () () ( ) A H ( k ) + B H ( k ) =. (.54) As costates A e B, em geal complexas, são detemiadas pelas codições de cotoo. Substituido-se as equações (.8), (.36) e (.54) a equação (.4) obtém-se f ik z z ik z z [ ][ A cos( ψ ) + B se( ψ )][ A e B e ] () () (, ψ, z) = A H ( k ) + B H ( k ) φ ψ ψ +. (.55) Z Z Na equação (.55), k e k são as compoetes do veto de popagação k e satisfazem a z elação k + k k. z = Substituido-se a equação (.55) a equação (.9) obtém-se a solução hamôica o tempo da equação de oda (.8). Se o fluido evolve todo o eixo z, isto é, se o fluido evolve todo o cilido, etão Ψ ( ψ ) deve se uma fução peiódica com peíodo igual a π, e tem-se 8

34 (, ψ, z) φ (, ψ π z) φ = +, (.56) f f, e os valoes de devem se iteios, isto é, =, ±, ±,... Se =, utilizado-se a equação (.36) tem-se ( ) =, = Ψ ψ. (.57) A ψ Como esultado, o potecial de velocidade (,ψ z) φ dado pela equação (.55) ão é fução f, do âgulo azimutal ψ. Este caso é chamado de axissimético. Paa potos o campo distate, ou seja, potos que satisfazem a elação k >>, (.58) podemos esceve as seguites apoximações paa as fuções de Hakel () π π H ( k ) exp + i k, π k 4 (.59) e () π π H ( k ) exp i k, π 4 (.6) k paa valoes abitáios de. Neste tabalho foi feita a suposição de que o potecial de velocidade é expesso a foma descita pela equação (.9) e dessa foma, as equações (.59) e (.6) epesetam odas que se popagam o setido de decescimeto e cescimeto da coodeada cilídica, espectivamete. 9

35 Como estamos buscado a solução paa uma supefície cilídica que está iadiado o espaço live, ão existem odas efletidas e potato devemos escolhe A = a equação (.55). Dessa maeia, paa um cilido pulsate, o potecial de velocidade é dado po φ ikzz ikzz [ ][ A e B e ] () (, ψ, z) = H ( k ) A cos( ψ ) + B se( ) + f, ψ Z Z. (.6) O subscito foi adicioado a (,ψ z) fução do úmeo iteio. φ paa efatiza que o potecial de velocidade é f, Como a soma das possíveis soluções também é uma solução, temos f = = (, ψ, z) φ (, ψ z) φ, (.6) f,, isto é, φ f ikzz ikzz [ ][ A e + B e ] () (, ψ, z) = H ( k ) A cos( ψ ) + B se( ψ ) = Z Z, (.63) ode k + k = k. z A equação (.63) epeseta a pate espacial do potecial de velocidade do campo acústico iadiado e os valoes das costates A, B, A e z B são detemiados pela z aplicação das codições de cotoo, equação.3, a supefície do cilido vibate. Fazedo-se a suposição de que a pate espacial do veto velocidade da supefície do cilido pulsate tem apeas compoete adial e que sua depedêcia o tempo é hamôica, pode-se esceve v ( t, a, ψ, z) v, ( a, ψ, z) exp( + i π f t) =, (.64) f

36 ode ( a, z) v f,, ψ é uma fução cohecida de ψ e z. Isto é equivalete a cohece a compoete adial da velocidade do fluido, Assim, u, a supefície do cilido, ou seja, em = a. u ψ. (.65) ( t, a,, z) = v ( t, a, ψ, z) = φ( t,, ψ, z) = a No pesete tabalho, assume-se que o aio do cilido é uitáio e que a velocidade do cilido vibate pode se escita da seguite foma v ( t, a, ψ, z) V exp( + i π f t) =, (.66) ode V =. Dessa foma, a codição de cotoo descita a equação (.3) pode se eescita: φ = V =, (.67) em = a =. É impotate lemba que a velocidade acústica do fluido pode se expessa da seguite foma u =, (.68) ( t, ) φ( t, ) e tem-se aida que u =. (.69) ( t, ) ˆ. u( t, ) = ˆ. φ( t, ) Potato em = a =, tem-se

37 u ψ. (.7) ( t,,, z) = v ( t,, ψ, z) = φ( t,, ψ, z) = A equação (.66) desceve o caso especial de adiação uifome, isto é, a supefície do cilido está vibado uifomemete a dieção adial com uma amplitude de V metos po segudo, uma feqüêcia de f Hetz. Este caso é também cohecido como modo moopolo de vibação. Substituido-se as equações (.9), (.55) e (.64) a equação (.7), obtém-se ( k) ( ka) () V H φ (, ψ, z) =, a, (.7) () k H que é a pate espacial da solução da equação de Helmholtz (.). É impotate essalta que essa solução também pode se aplicada com boa apoximação paa o campo acústico geado po um cilido de compimeto fiito, sempe que os efeitos da adiação de suas extemidades possam se despezados. Este é, po exemplo, o caso da adiação de um tasduto eletoacústico de foma cilídica e compimeto fiito, Ziomek, (994)..4 Sumáio Neste capítulo foi obtida a equação que govea o feômeo da adiação acústica, utilizado-se as equações de estado, de cosevação da massa, e da cosevação da quatidade de movimeto. Foam feitas algumas suposições ecessáias paa se estuda a popagação de odas sooas em fluidos a sua foma mais simples. A pati da equação de oda (.8) foi obtida a equação de Helmholtz (.), idepedete do tempo paa um meio sem pedas. Paa a solução desta equação, utilizou-se o método de sepaação de vaiáveis. A segui é apesetada uma beve descição das picipais técicas uméicas que podem se utilizadas a fim de detemia a solução uméica paa essa equação de Helmholtz.

38 Capítulo 3 Técicas Numéicas Este capítulo desceve algumas técicas uméicas utilizadas paa solucioa poblemas físicos. 3. Técicas Numéicas Difeeciais As técicas uméicas difeeciais, também cohecidas como métodos de domíio, são eficazes a solução de poblemas de cotoo em domíios fechados, peechidos po mateiais heteogêeos, ão-lieaes ou aisotópicos. Os Métodos de Difeeças Fiitas e Elemetos Fiitos costituem os maioes epesetates desta classe, Afoso,( 3). Método de Difeeças Fiitas O Método de Difeeças Fiitas - MDF - é uma técica de solução apoximada paa solucioa equações difeeciais paciais. O Método de Difeeças Fiitas é, talvez a mais atiga técica de solução uméica aplicada a esolução de equações difeeciais paciais, e devido à sua simplicidade, aida é muito utilizado atualmete. Baseia-se a substituição da opeação de difeeciação po uma simples opeação de subtação de potos cosideados. Dessa foma, é possível substitui uma equação cotíua, com ifiitos gaus de libedade, po uma equação discetizada, com úmeo fiito e egula de ós. Utilizado-se este pocesso, a equação difeecial pacial oigial é tasfomada em um cojuto de equações algébicas, e a solução simultâea desse sistema de equações foece a solução apoximada da equação oigial do poblema de cotoo, Afoso, (3). Icógitas. 3

39 O Método de Difeeças Fiitas é de simples implemetação computacioal. Além disso, é capaz de tata poblemas ão lieaes e aisotópicos. Etetato, este método possui duas limitações muito séias: i. a obigatoiedade de uma malha egula, o que ão pemite uma boa modelagem dos campos cujos gadietes são itesos ou a modelagem coeta de poblemas que possuem supefícies cuvas; ii. dificuldade em epeseta os campos a iteface ete meios difeetes. Devido a esses icoveietes, o método das difeeças fiitas ão foi escolhido paa solucioa os poblemas abodados este tabalho. Método de Elemetos Fiitos O Método de Elemetos Fiitos MEF é uma técica uméica de solução apoximada paa equações difeeciais. Este método começou a se utilizado paa solucioa poblemas da mecâica de estutuas e expadiu-se apidamete paa outas áeas. O picípio do Método de Elemetos Fiitos cosiste em dividi o domíio do poblema em pequeos subdomíios, com foma e compimetos abitáios, desigados po elemetos. Esse pocedimeto pemite que o MEF modele, pecisamete, objetos cuja foma geomética seja complexa. Além disso, a desidade de elemetos pode se ajustada de acodo com a ecessidade de cada poblema. No iteio de cada elemeto, a icógita é apoximada po uma fução de itepolação e, utilizado-se o método dos esíduos podeados ou método vaiacioal, a equação difeecial pacial é tasfomada em um sistema algébico de equações, o qual a matiz dos coeficietes é espasa e, em algus casos também é simética. A gade vatagem do MEF eside a sua flexibilidade. Em paticula, destacam-se sua capacidade em modela poblemas com geometias complexas e cujo domíio esteja peechido po difeetes mateiais, Afoso, (3). 4

40 3. Técicas Numéicas Itegais Método de Elemetos de Cotoo A edução das dimesões do poblema aalisado costitui uma das azões pela qual o Método de Elemetos de Cotoo é tão atativo: em poblemas bidimesioais, apeas o cotoo uidimesioal do domíio ecessita se discetizado em elemetos; em poblemas tidimesioais, apeas as supefícies do cotoo ecessitam se discetizadas. As soluções os potos iteos são calculadas após as icógitas de cotoo teem sido calculadas, de maeia semelhate a um pós-pocessameto. A desidade, distibuição e localização dos potos iteos ão itefeem a malha de cotoo, tampouco os valoes das icógitas de cotoo. Como outa caacteística do Método de Elemetos de Cotoo tem-se que as codições de cotoo paa domíios ifiitos e semi-ifiitos são satisfeitas automaticamete, o que elimia a ecessidade de discetização uméica em cotoos emotos. As oiges do método em discussão estão dietamete ligadas às equações itegais que duate os quize pimeios aos da sua aplicação modea, a pati de ceca de 96 até 975, utilizou-se a omeclatua "Equação Itegal" quase exclusivamete, ão impotado qual foma utilizada, dieta ou idieta. No caso do método idieto, as gadezas matemáticas utilizadas paa a fomulação do poblema ão são as vaiáveis físicas do poblema oigial. Po sua vez, o método dieto, as vaiáveis oigiais pesetes o cotoo do poblema físico são utilizadas a fomulação das EIC, Ciskowski, (99). Cosideado aida o peíodo de 96 a 975, o Método de Equações Itegais de Cotoo foi itesamete aplicado em duas gades aplicações da mecâica, quais sejam, a teoia do potecial utilizada picipalmete em pesquisas de fluidos pefeitos e pesquisas em acústica, especialmete em acústica submaia. É impotate costata que essas duas áeas apesetam dificuldades comus, pois ambas desevolvem aálises em domíios ifiitos, o 5

41 que paa os padões da época ea icompatível com as técicas uméicas de elemetos fiitos e difeeças fiitas. Em váias áeas de pesquisa os amos das egehaias, existe a demada de cohecimetos sobe o compotameto de popagação de odas em difeetes meios. Feômeos impotates de popagação de odas ocoem em domíio limitados e também em domíios ilimitados. As aálises de poblemas ealistas, que icluem domíios com geometias complexas e codições de cotoo abitáias, ão podem se ealizadas com uso do feametal aalítico que foece epostas matematicamete exatas. Estes poblemas mais complexos e ealistas exigem a aplicação de feametas uméicas de apoximação de sua solução. As feametas uméicas gahaam gade impulso a seguda metade do século passado com o adveto do computado digital. Segudo Ciskowski, (99) os poblemas que evolvem domíios ilimitados foam itesamete ivestigados o peíodo de 96 a 975, tedo em vista duas gades aplicações, quais sejam, a teoia potecial aplicada a fluidos pefeitos e os poblemas acústicos lieaes. O Método dos Elemetos de Cotoo teve sua oigem em pesquisas de poblemas de acústica, os tabalhos de Che e Schweiket, (963), Chetok, (964), Shaw e Fiedma, (96), Baaugh e Goldsmith, (963), e Sheck, (968). Estes tabalhos tatavam de poblemas de adiação e espalhameto de odas acústicas fazedo uso de Equações Itegais de Cotoo (EIC). Emboa o Método de Equações Itegais de Cotoo teha sido pate itegate o desevolvimeto do Método dos Elemetos de Cotoo (MEC), como pode se visto os atigos já citados, o peíodo de 96 até 975 usava-se quase que exclusivamete a omeclatua Equação Itegal (EI), sem distigui a foma dieta da idieta. Na vedade, a pimeia cofeêcia de iovação desses métodos, ogaizado, o Resselae Polytechic Istitute em juho de 975 po Tom Cuse e Fak Rizzo, (975), sob o patocíio da ASME, foi deomiada Bouday Itegal Equatio Method: Computatioal i Applied Mechaics. Dois aos mais tade foi publicado o texto de M.A. Jawso e G.T. Symm, (977) deomiado Itegal Equatio Methods i Potetial Theoy ad Elastostatics. Nehum desses tabalhos usava a fase Métodos de Elemetos de Cotoo. Nesse mesmo ao, outa cofeêcia tatado de métodos de iovações uméicas, foi ealizada em Pais. Nesta 6

42 cofeêcia uma pequea pate dos tabalhos, tatavam dos Métodos de Equações Itegais de Cotoo e a maio pate desses tabalhos, tatavam de aálises uméicas baseadas o Método dos Elemetos Fiitos e o Método das Difeeças Fiitas, Ciskowski, (99). Passado um ao, o ome Método de Elemetos de Cotoo foi usado a seguda cofeêcia dedicada a estes métodos, ogaizado po C.A. Bebbia, (978) em Southamptom, U.K. O pimeio texto itodutóio, como oposição à pesquisa moogáfica, foi também publicado po C.A. Bebbia em 978. Desde aquele tempo o método toou-se cohecido quase que exclusivamete como Método de Elemetos de Cotoo (MEC). A sítese das Equações Itegais de Cotoo paa poblemas de elastodiâmica teve o méito de apoxima a comuidade que atuava em mecâica dos sólidos, daquela que tabalhava com mecâica dos fluidos e poblemas poteciais. A pati desse poto houve um ápido aumeto as aplicações em estutuas mecâicas e sólidos, baseados estas fomulações de cotoo, mas agoa com o título Métodos de Elemetos de Cotoo. As equações itegais de cotoo (EICs), po sua vez foam utilizadas paa solucioa uma séie de poblemas de adiação e espalhameto de odas acústicas. Algus dos tabalhos mais sigificativos estão citados a segui. Che e Schweiket, (963) estudaam o poblema de adiação hamôica o tempo, seguido po Chetock, (964) aida tatado de poblemas de adiação do som. O poblema de adiação e espalhameto de odas acústicas com pequeo compimeto de oda foi tatado po Yoo, (99), estudado e implemetado po Papii, (999). Também o tabalho de Debai, et al., (4), é apesetada uma fomulação paa o espalhameto de odas. 3.3 Sumáio Neste capítulo, foi visto que o Método de Elemetos de Cotoo destaca-se ete as difeetes técicas uméicas paa solução uméica de poblemas de campo abeto a áea de Acústica. Foam apesetadas de maeia sucita as picipais técicas uméicas utilizadas paa solução de divesos feômeos físicos em geal. Uma beve históia das Equações Itegais de Cotoo aplicadas a poblemas de Acústica também foi apesetada. A fim de solucioa a equação de oda (.8), apesetada o capítulo, seá desevolvida, o póximo capítulo, a fomulação bidimesioal paa o poblema de adiação acústica. 7

43 Capítulo 4 A Equação Itegal de Cotoo Este capítulo desceve a tasfomação da equação difeecial de Helmholtz, deduzida o capítulo, em uma equação itegal de cotoo. 4. Itodução Poblemas de egehaia são feqüetemete descitos po leis físicas as quais são comumete expessas po equações difeeciais paciais. Em muitos casos, uma epesetação matemática alteativa e equivalete do poblema é ecotada em temos de Equações Itegais de Cotoo. Com o avaço as técicas de modelagem uméica e o icemeto a capacidade de pocessameto dos computadoes, métodos de modelagem baseados em equações itegais de cotoo podem se agoa usados paa a simulação de muitos poblemas páticos de egehaia. 4. Equação Itegal de Cotoo A equação de Helmholtz (.), equação difeecial clássica que desceve o poblema de adiação acústica de um cilido ifiito pulsate foi detemiada o capítulo. Paa que seja ecotada a solução uméica dessa equação, faz-se ecessáio ecota a Equação Itegal o Cotoo paa a mesma. Seja B um copo bidimesioal imeso em um domíio ifiito Ω, como epesetado a figua 4. a segui. 8

44 Figua 4. Repesetação do domíio e dos cotoos A equação de Helmholtz (.) é válida em todos os potos do domíio Ω. Paa tasfomá-la em uma equação itegal, faz-se a suposição que ela seja satisfeita em um cojuto limitado de potos do domíio. Em algus desses cojutos, a equação pode se ão ula, e paa esolve essa questão, cosidea-se que a equação de Helmholtz ão é mais ula em todo o domíio, geado assim um esíduo. Com isso ela pode se escita da seguite foma: φ. (4.) ( ) + k φ( ) =, Ω O esíduo da equação (4.) é avaliado em cada poto do domíio. Paa solução da mesma, utiliza-se o Método dos Resíduos Podeados. Este método é baseado a iseção de uma de podeação ula. Dessa maeia * u, que faz com que a soma dos esíduos em todo o domíio toe-se Ω u * dω =. (4.) Substituido-se a equação (4.) a equação (4.) obtém-se: ( + k φ) Ω * φ u dω =. (4.3) Paa obte-se a solução da equação acima, tem-se que faze uso de algumas idetidades vetoiais, mostadas o aexo C. 9

45 Fazedo-se algumas maipulações algébicas e usado algumas popiedades do gadiete veifica-se que * * ( u φ) u φ * u φ =. (4.4) Retoado a equação (4.3) e aplicado a popiedade distibutiva, obtém-se * ( u + uk φ) Ω φ dω =. (4.5) Sepaado a equação (4.5) como uma soma de itegais, tem-se Ω * u φ dω + uk φ dω =. (4.6) Ω Aplicado ovamete as idetidades vetoiais a equação (4.6) chega-se à seguite equação * * [ ( u ) u φ] Ω * φ dω + u k φ dω =. (4.7) Ω Aplicado algumas maipulações algébicas, temos Ω * * * ( u ) dω + ( u k φ u φ) φ dω =. (4.8) Ω Aplicado o teoema da divegêcia a equação (4.8) obtém-se: * φ * * u dγ + ( u k φ u φ) Γ Ω dω =. (4.9) Fazedo uso da idetidade vetoial C.5 a equação (4.9), tem-se * φ * * * u dγ + [ u k φ + φ u ( φ u )] Γ Ω dω =. (4.) 3

46 Sepaado a seguda itegal em duas pates obtém-se Γ u * φ dγ + * * * ( u k φ + φ u ) dω ( φ u ) Ω Ω dω =. (4.) Aplicado-se o teoema da divegêcia a equação (4.) ecota-se Γ u * φ dγ Γ * u φ dγ + φ Ω * * ( u + k u ) dω =. (4.) Utilizado-se a popiedade da fução delta de Diac (aexo D) a equação (4.) obtém-se: Γ u * φ dγ Γ * u φ dγ φ ( ) =. (4.3) A equação acima foi obtida paa potos de colocação petecetes ao domíio. Cosideado Y v = ' e X =, a pati da equação (4.3) obtém-se Γ ( X ) ( X ) Γ ( X,Y ) ( X ) * * φ u u ( X,Y ) dγ( X ) φ( X ) dγ( X ) = φ( Y ). (4.4) A equação acima mosta que é possível solucioa a equação itegal (4.3) em v qualque poto Y = ' iteio ao domíio, utilizado apeas itegais ao logo do cotoo. Paa isso, basta cohece as fuções φ e φ o cotoo, pois u * φ aalíticas cohecidas (fuções de Gee). Neste tabalho, tem-se que = pecisa-se detemia somete φ. e u * são fuções e com isso, A solução fudametal u * que epeseta a fução de Gee, paa a Equação de Helmholtz é apesetada paa o copo bidimesioal, Ciskowski et al., (99), como 3

47 u * i = H ( kr), (4.5) 4 e sua deivada po q * * u = ik = H 4 R ( kr), (4.6) ode R v é a distâcia ete o poto X e o poto de aplicação Y o domíio Ω. Paa esolve o poblema, é ecessáio discetiza o cotoo, dividido em elemetos que podem se lieaes, quadáticos, cúbicos, etc. 4.3 Equação Itegal o Cotoo A equação (4.4) é válida paa qualque poto Y petecete ao domíio Ω. No Método dos Elemetos de Cotoo, esta equação é aplicada o cotoo. Com isso, faz-se ecessáia a aálise do que acotece com a equação, quado o poto Y toa-se um poto petecete ao cotoo. Quado o poto de aplicação Y coicidi com o poto de colocação X, o valo de R seá zeo, causado um poblema de sigulaidade as equações (4.5) e (4.6). Paa esolve esta sigulaidade, pode-se evolve o poto Y po um pequeo cículo de aio ε, como mostado a figua 4., e examia a solução o limite quado o aio ε. Figua 4. Repesetação do domíio sobe um cotoo D 3

48 O poto Y é escolhido como o ceto deste cículo, sedo que o limite, o aio ε. Dessa maeia, o poto Y toa-se um poto de cotoo Γ, o que esulta uma expessão que é uma paticulaização da equação (4.4). Como este pocesso limite depede apeas da odem da sigulaidade do potecial de velocidade φ, que é a mesma paa os opeadoes de Helmholtz e Laplace, segudo Papii, (999), é ealizado um estudo das itegais de cotoo da equação (4.4) utilizado a solução fudametal paa a equação de Laplace o domíio Ω. A Equação de Laplace é dada po φ =. (4.7) (98), é A solução fudametal paa o caso isotópico bidimesioal, segudo Bebbia et al, u = * l R. (4.8) π Supoha que o cotoo é do tipo Γ e cosidee cada itegal de cotoo a equação (4.4) decomposta em duas pates, sedo a pimeia uma itegal ao logo de Γ e a ε seguda uma itegal ao logo de Γ, isto é, ε e Γ * φ * φ * φ u dγ = u dγ + u dγ, (4.9) Γ ε Γε Γ * u φ dγ = Γ ε * u φ dγ + Γε * u φ dγ. (4.) Cosideado a seguda pacela do segudo temo das equações (4.9) e (4.) e substituido * u e * u pelo valo de suas soluções fudametais, obtém-se Γε φ φ u * dγ = l dγ π ε, (4.) Γε 33

49 34 e Γ Γ Γ Γ = ε ε πε φ φ d d u *. (4.) Aplicado o limite as equações (4.) 3 (4.) tem-se l lim l lim lim * = = Γ = Γ Γ Γ ε π πε φ ε π φ φ ε ε ε ε ε d d u, (4.3) e ( ) Y d d u φ πε πε φ πε φ φ ε ε ε ε ε lim lim lim * = = Γ = Γ Γ Γ. (4.4) Note que como ε vai pa zeo o limite, o cotoo ε Γ ovamete pode se epesetado como Γ e quado se itega sobe a sigulaidade obtém-se ( ) Y φ. Com isso, quado o poto Y está sobe o cotoo, aplicam-se as equações (4.) e (4.) a equação (4.35), obtedo a seguite expessão ( ) Γ Γ Γ = Γ Y d u d u φ φ φ * *. (4.5) Esta equação é cohecida como Equação Itegal o Cotoo. Uma maeia mais geal de epesetá-la, a qual Y pode esta localizado o domíio, o cotoo ou foa do domíio, pode se fomulada utilizado-se um temo live ( ) Y c elacioado à posição de Y, ( ) ( ) Γ Γ Γ = Γ Y Y c d u d u φ φ φ * *. (4.6)

50 4.4 O Coeficiete c, temo live do sial de itegação O coeficiete c que apaece a equação (4.6), tem seu valo detemiado quado é cohecida a posição do poto fixo Y em elação à (Ω Γ). Assim o valo detemiado pela elação e θ c = π, (4.7) depede somete do âgulo com oigem o poto Y, Meoi, (4). Se o poto Y ão petece a Ω Γ, sempe vai existi ε >, que detemia um cículo de aio ε e ceto Y, tal que ehum dos potos deste cículo petecem a Ω Γ, isto e é, a egião agula é o âgulo exteo θ = π e que substituído a elação (4.7) detemia c =. Po outo lado, se o poto Y petece ao iteio de Ω, sempe vai existi ε >, de modo que o cículo de ceto Y e aio ε esteja cotido em Ω, detemiado um âgulo iteo i e θ = π, cosequetemete θ =, da elação (4.7) esulta c =. Cosideemos agoa, o poto Y sobe o cotoo Γ: a) se é possível taça uma eta tagete ao cotoo Γ, passado pelo poto Y, etão o âgulo exteo ao domíio Ω é e θ = poto Y petece à pate suave do cotoo Γ. π, e potato c =. Nesse caso dizemos que o b) O poto Y está sobe a pate ão suave do cotoo Γ, isto é, o poto Y está sobe um cato o cotoo. Nesse caso, o âgulo exteo deve se detemiado. Pode-se esumi essas possibilidades descitas acima da seguite maeia: 35

51 , se o poto ão petece ao domíio ;, se o poto Y, petece à pate suave do cotoo; c =, se o poto Y é um poto iteo ao domíio; e θ -, se o poto Y petece a pate ão suave do cotoo. π 4.5 Tipos de Elemetos de Cotoo O Método dos Elemetos de Cotoo pode se fomulado utilizado-se elemetos cotíuos ou descotíuos paa discetiza o cotoo de um objeto. Os elemetos descotíuos têm ós que estão localizados ete as extemidades dos elemetos. Logo, os elemetos ão dividem ós com elemetos adjacetes. Os elemetos cotíuos, po outo lado, têm ós em suas extemidades e dividem estes ós com elemetos adjacetes como a Figua 4.3. Pate da azão pela pefeêcia de usuáios e pesquisadoes quato ao uso de elemetos cotíuos justifica-se quado os dois tipos de elemetos são compaados em poblemas que usam o mesmo tipo de malha. Tais compaações mostam, como a Figua 4.4, que o modelo que utiliza elemetos descotíuos cotém 4 ós, já o modelo com elemetos cotíuos tem apeas ós. Como ea de se espea, o modelo com elemetos descotíuos eque mais tempo computacioal o pocedimeto paa a fomação das matizes. A pati da Figua 4.5 uma esposta hipotética (como tempeatua) é compaada com o tipo de esposta que pode se modelada ao utiliza-se os dois tipos de elemeto. Esta figua justifica o uso do ome descotíuo. Existem saltos ete as espostas dadas pelos ós das extemidades desses elemetos. Os elemetos descotíuos são idicados paa tata hipesigulaidades, segudo Papii, (999). Desta foma, utilizado-se elemetos cotíuos o cotoo do objeto pode se discetizado po elemetos isopaaméticos costates, lieaes ou de odem supeio, como os cúbicos e quadáticos, segudo a Figua 4.6. A defiição de elemetos isopaaméticos é dada paa aqueles elemetos cuja geometia é itepolada usado-se as mesmas fuções que são usadas paa itepola as espostas destes elemetos. 36

52 No caso paticula de elemetos costates os valoes de φ e φ são cosideados costates ao logo de cada elemeto e são iguais aos valoes do poto odal, o qual tem posição covecioada o ceto do elemeto. Os potos as extemidades do elemeto são usados apeas paa defii a geometia do cotoo de um objeto, que está iseido o domíio de iteesse. Assim, paa este tipo de elemeto o cotoo é sempe plao (ou liso), coseqüetemete o coeficiete de c(y) é sempe o cotoo, segudo Ciskowski et al., (99); Bebbia et al., (998). Figua 4.3 Malhas compostas de difeetes tipos de elemetos, Papii (999) 37

53 Figua 4.4 Malhas com o mesmo úmeo de elemetos, Papii (999) Figua 4.5 Apoximação ealizada po elemetos cotíuos e descotíuos, Papii (999) 38

54 Figua 4.6 (a) Elemetos de cotoo: elemetos costates, Ciskowski et al., (99) Figua 4.6 (b) Elemetos de cotoo: elemetos lieaes, Ciskowski et al., (99) Figua 4.6 (c) Elemetos de cotoo: elemetos quadáticos, Ciskowski et al., (99) 39

55 4.6 Discetização e Colocação A discetização do cotoo Γ cosiste a divisão do mesmo, em pates. O segmeto de eta que ue os extemos cosecutivos de cada uma destas pates, é deomiado de elemeto de cotoo. Desse modo, se Γ é o cotoo de um domíio discetizado em elemetos, temos que: Ω R, e Γ é Γ = U j= Γ j, (4.8) em que cada Γ j, é um elemeto de cotoo Γ, cofome pode se visto a figua 4.7. Figua 4.7 Cotoo discetizado A avaliação do cotoo po meio da Equação Itegal de Cotoo, segudo a equação difeecial que govea o poblema o meio, é detemiada pela cotibuição que cada elemeto exece sobe esse cotoo. Assim, faz-se ecessáio a caacteização de cada um dos elemetos o cotoo discetizado. Seja Γ um elemeto de Γ, ( x, ) e ( y ) j j y j x as coodeadas de seus extemos e L, j+ j+ se compimeto, defiido po: 4

56 L ( x x ) + ( y y ) = j j j+ j +. (4.9) O veto omal v, paa o elemeto Γ j, pode se calculado cosideado-se um veto v, omalizado e uitáio, costuído utilizado-se as coodeadas das extemidades do elemeto, e outo veto (,, ) v = otogoal a calculado pelo poduto vetoial ete v e v. v v. Assim, o veto omal ao elemeto é v v v = = ( x x ) ( y y ) j+ i j j+ L L j j k, (4.3) v y = j+ y L j x i, j+ x L j j,k. (4.3) j Caacteizado cada um dos elemetos Γ e y ( x, y ) colocação e i = um poto de Ω Γ i i Γ, cosidee x j ( x, y) j =, um ó do elemeto. É comum a liteatua deomia x i como poto de y j como poto de campo. A distâcia ete os potos x i e defiida como sedo a distâcia Euclidiaa dada po: y j, deotada po R v é v R = y j x i = ( x x ) i + ( y y ) j i i, (4.3) e v R ( x y) = ( x x ) + ( y y ), i i. (4.33) Paa a discetização das vaiáveis físicas e geométicas do poblema, assume-se uma distibuição costate das vaiáveis discetizado. * u e * u ao logo dos elemetos em que o cotoo foi 4