Análise de Tensões em Placas Circulares Utilizando Elementos Finitos Axissimétricos

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1 UIVERSIDADE FEDERA DE ITAJUBÁ ISTITUTO DE EGEHARIA MECÂICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EGEHARIA MECÂICA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO Aálise de Tesões em Placas Ciculaes Utiliado Elemetos Fiitos Aissiméticos Auto: illiam Matis Vicete Oietado: Pof. D. lami Calos de Oliveia Itajubá, Feveeio de 9

2 UIVERSIDADE FEDERA DE ITAJUBÁ ISTITUTO DE EGEHARIA MECÂICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EGEHARIA MECÂICA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO Aálise de Tesões em Placas Ciculaes Utiliado Elemetos Fiitos Aissiméticos Auto: illiam Matis Vicete Oietado: Pof. D. lami Calos de Oliveia Cuso: Mestado em Egehaia Mecâica Áea de Cocetação: Pojeto e Fabicação Dissetação submetida ao Pogama de Pós-Gaduação em Egehaia Mecâica como pate dos equisitos paa obteção do Título de Meste em Egehaia Mecâica. Itajubá, Feveeio de 9 MG Basil

3 UIVERSIDADE FEDERA DE ITAJUBÁ ISTITUTO DE EGEHARIA MECÂICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EGEHARIA MECÂICA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO Aálise de Tesões em Placas Ciculaes Utiliado Elemetos Fiitos Aissiméticos Auto: illiam Matis Vicete Oietado: Pof. D. lami Calos de Oliveia Composição da Baca Eamiadoa: Pof. D. Reato Pavaello FEM/UICAMP Pof. D. Atoio Macos G. de ima IEM/UIFEI Pof. D. lami Calos de Oliveia, Pesidete IEM/UIFEI

4 Dedicatóia À miha mãe, Malee, ao meu pai, Atoio Calos e ao meu imão, Milto.

5 Agadecimetos Ao meu Oietado, Pof. D. lami Calos de Oliveia, pela dispoibilidade em ajuda, dedicação, paciêcia e amiade. Ao Pofesso da Uivesidade Fedeal de Itajubá, Vilma Athu Schwa pelo apoio, icetivo e amiade. Ao Istituto de Egehaia Mecâica da UIFEI, epesetado pelos seus dedicados pofessoes e fucioáios, pela opotuidade que me cocedeu a ealiação deste tabalho. Ao Coselho acioal de Desevolvimeto Cietífico e Tecológico - CPq pelo supote fiaceio. Aos meus pais, Malee e Atoio Calos, e a toda miha família que sempe me icetivaam e apoiaam essa camihada.

6 A maio ecompesa do osso tabalho ão é o que os pagam po ele, mas aquilo em que ele os tasfoma. (Joh Ruski)

7 Resumo VICETE,. M. (9), Aálise de Tesões em Placas Ciculaes Utiliado Elemetos Fiitos Aissiméticos, Itajubá, 8p. Dissetação (Mestado em Pojeto e Fabicação) Istituto de Egehaia Mecâica, Uivesidade Fedeal de Itajubá. O pesete tabalho efoca os pocedimetos de modelagem po elemetos fiitos de sistemas estutuais aissiméticos paa fis de aálise de tesões. Êfase é dada aos elemetos estutuais do tipo placas ciculaes e vasos de pessão. a modelagem uméica são cosideados tês elemetos fiitos aissiméticos: o elemeto SQ (iea Stai Quadilateal), o QSQ (Quadatic Stai Quadilateal), e o elemeto CSQ (Cubic Stai Quadilateal). São implemetados pocedimetos computacioais em liguagem FORTRA paa a fomulação isopaamética do método dos elemetos fiitos, os quais são validados atavés da compaação ete os esultados de poblemas aissiméticos obtidos via solução aalítica, com os espectivos obtidos atavés do empego da pesete metodologia. A pati dos modelos desevolvidos e implemetados em ambiete FORTRA, são ealiados váios testes de simulação uméica visado avalia o desempeho dos pocedimetos de modelagem e caacteiação das tesões de sistemas estutuais aissiméticos do tipo placas ciculaes. Além disso, são feitas compaações ete o desempeho dos elemetos implemetados e aálises da ifluêcia da vaiação da espessua da placa a distibuição das tesões. Os esultados obtidos pemitem compova a eficiêcia dos pocedimetos de modelagem desevolvidos paa a caacteiação da distibuição das tesões de sistemas estutuais aissiméticos. Palavas-chave Elemetos Fiitos Aissiméticos, Placas Ciculaes, Aálise de Tesões

8 Abstact VICETE,. M. (9), Aalsis of stesses distibutio i Cicula Plates b Aismmetic Fiite Elemets, Itajubá, 8p. MSc. Dissetatio Mechaical Egieeig Istitute, Fedeal Uivesit of Itajubá. This wok is devoted to fiite elemet-based pocedues fo the modelig of aismmetic stuctual elemets, fo the puposes of stesses chaacteiatio. Emphasis is placed o cicula plates ad pessue vessels stuctual sstems. I the umeical modelig thee aismmetic fiite elemets ae cosideed, as follows: the iea Stai Quadilateal- SQ elemet, the Quadatic Stai Quadilateal-QSQ, ad the Cubic Stai Quadilateal- CSQ elemet. Computatioal pocedues have bee developed ad implemeted i FORTRA TM laguage fo the isopaametic fomulatio, which ae validated though the compaiso betwee the esults of the aismmetic poblems obtaied b the aaltical solutio, with the coespodig obtaied b the fiite elemet. B usig the fiite elemet models developed ad implemeted, seveal umeical simulatios ae pefomed aimig at evaluatig the pefomace of the umeical modelig pocedues, ad the chaacteiatio of the stesses distibutio of aismmetic cicula plate sstems. Moeove, compaisos betwee the pefomace of the implemeted elemets ad aalses of the ifluece of the thickess vaiatio o the stess distibutio of the plate have bee ivestigated. The esults obtaied idicate the effectiveess of the modelig pocedues developed fo the chaacteiatio of the stess distibutio of aismmetic stuctual sstems. Kewods Aismmetic Fiite Elemets, Cicula Plates, Stesses Aalsis

9 i Sumáio SUMÁRIO I ISTA DE FIGURAS IV ISTA DE TABEAS VII SIMBOOGIA VIII ETRAS ATIAS VIII ETRAS GREGAS IX SOBRESCRITOS X SUBSCRITOS X ABREVIATURAS X SIGAS XI CAPÍTUO ITRODUÇÃO. Cosideações Iiciais Objetivos Descição do Tabalho CAPÍTUO REVISÃO BIBIOGRÁFICA. Históico do Método dos Elemetos Fiitos Estado da Ate

10 ii CAPÍTUO 9 EEMETOS FIITOS AXISSIMÉTRICOS 9. Defomações o Elemeto Veto de Tesões o Elemeto Elemeto Retagula Biliea Mati de Rigide de Elemetos Aissiméticos Foças de Supefície Fomulação Isopaamética paa Elemetos Aissiméticos Quadilateais da Família Seedipit CAPÍTUO 5 VASOS DE PRESSÃO CIÍDRICOS E PACAS FIAS 5. Vasos de Pessão Cilídicos Vasos de Pessão Cilídicos de Paede Espessa Vasos de Pessão sob Pessão Itea Vasos de Pessão sob Pessão Etea Teoia de Placas Fias Compotameto Geal de Placas Relações de Defomação Deslocametos Resultate das Tesões Vaiação de Tesão o Iteio da Placa Equação paa o Deslocameto Vetical de Placas Placas Fias Ciculaes Relações básicas em Coodeadas Polaes Fleão Aissimética Placas Ciculaes com Caegameto Uifomemete Distibuído Placas Ciculaes com Caegameto Cocetado CAPÍTUO 5 56

11 iii VAIDAÇÃO DO CÓDIGO COMPUTACIOA Validação paa Vasos De Pessão Validação paa Placas Fias CAPÍTUO 6 7 EXEMPOS UMÉRICOS 7 6. Caga Atuado o Ceto da Placa Caga Uifome Cicufeecial CAPÍTUO 7 9 COCUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS 9 7. Coclusões Sobe a Difeeça ete os Elemetos Sobe as Cagas Cocetadas Sobe as Placas com Difeetes Espessuas Pespectivas Futuas APÊDICE A 99 ITEGRAÇÃO UMÉRICA. QUADRATURA DE GAUSS 99 A. Itegação uméica Uidimesioal A. Itegação uméica em Duas Dimesões APÊDICE B 8 MÉTODO DE CHOESKY 8 REFERÊCIAS BIBIOGRÁFICAS

12 iv ista de Figuas Figua. Eemplos de Copos Aissiméticos Figua. Elemeto Quadilateal Aissimético Figua. Elemeto de Volume Figua. Tesões em Copos Aissiméticos Figua.5 Elemeto Retagula Biliea Figua.6 (a) Elemeto o Sistema Global; (b) Elemeto o Sistema ocal Figua.7 Fução de Foma paa o ó o Figua.8 (a) Elemeto o Sistema Global; (b) Elemeto o Sistema ocal Figua.9 Fução de Foma (a) paa o ó o. ; (b) paa o ó o Figua. (a) Elemeto o Sistema Global; (b) Elemeto o Sistema ocal Figua. Placa Fia com um Fuo Cicula Figua. Vaso de Pessão de Paede Espessa Figua. Deslocameto Vetical em uma Placa Fia Figua. Tesões em um Elemeto Ifiitesimal Figua.5 Elemeto de Placa sujeito a um Caegameto p Figua.6 Elemeto de Placa em Coodeadas Polaes Figua.7 Mometos e Foças Cisalhates em um Elemeto Ifiitesimal Figua.8 Placa Cicula Egastada sujeita a um Caegameto Distibuído Figua.9 Placa Cicula Simplesmete Apoiada sujeita a um Caegameto Distibuído -5

13 Figua. Placa Fia Cicula Egastada sujeita a um Caegameto Cocetado Figua. Placa Cicula Simplesmete Apoiada sujeita a um Caegameto Cocetado Figua 5. Vaso de Pessão Cilídico de Paede Espessa Figua 5. Deslocametos usado Elemetos SQ Figua 5. Deslocametos usado um Elemeto QSQ Figua 5. Deslocametos usado um Elemeto CSQ Figua 5.5 Tesão σ usado Elemetos SQ Figua 5.6 Tesão σ usado Elemetos QSQ Figua 5.7 Tesão σ usado um Elemeto CSQ Figua 5.8 Tesão σ usado Elemetos SQ Figua 5.9 Tesão σ usado Elemetos QSQ Figua 5. Tesão σ usado um Elemeto CSQ Figua 5. Placa Fia Cicula Egastada Figua 5. Deslocametos usado Elemetos SQ Figua 5. Deslocametos usado Elemetos QSQ Figua 5. Deslocametos usado Elemetos CSQ Figua 5.5 Tesão σ usado Elemetos SQ Figua 5.6 Tesão σ usado Elemetos QSQ Figua 5.7 Tesão σ usado Elemetos CSQ Figua 5.8 Tesão σ usado Elemetos SQ Figua 5.9 Tesão σ usado Elemetos QSQ Figua 5. Tesão σ usado Elemetos CSQ Figua 6. Placa Fia Cicula Simplesmete Apoiada sob uma Caga Cocetada Figua 6. Fato β paa a Detemiação da Tesão σ ' v

14 Figua 6. Fato β paa a Detemiação da Tesão σ Figua 6. Fato β paa a Detemiação da Tesão τ Figua 6.5 Fato β paa a Detemiação da Tesão σ ' Figua 6.6 Placa Fia Cicula Simplesmete Apoiada sujeita a um Caegameto Uifome Figua 6.7 Fato β paa a Detemiação da Tesão σ Figua 6.8 Fato β paa a Detemiação da Tesão σ Figua 6.9 Fato β paa a Detemiação da Tesão τ Figua 6. Fato β paa a Detemiação da Tesão σ Figua A. Um Poto de Gauss Figua A. Dois Potos de Gauss Figua A. Tês Potos de Gauss Figua A. Quato Potos de Gauss Figua A.5 Quato Potos de Gauss Figua A.6 ove Potos de Gauss Figua A.7 Deesseis Potos de Gauss vi

15 vii ista de Tabelas Tabela 5. Malhas Fomadas po Elemetos ieaes Tabela 5. Malhas Fomadas po Elemetos Quadáticos Tabela 5. Malhas Fomadas po Elemetos Cúbicos Tabela A. Potos de Itegação

16 viii Simbologia etas atias [ B ] mati das deivadas das fuções de itepolação d deivada total {} d veto dos deslocametos odais m D igide a fleão de placa m [ D ] mati de elasticidade do mateial Pa E módulo de elasticidade do mateial Pa f s, s f foças de supefície Pa { f s } veto das foças de supefície Pa F foça de campo po uidade de volume /m G módulo de elasticidade ao cisalhameto Pa [ J ] mati jacobiaa [ K ] mati de igide /m M mometo fleto po uidade de compimeto i [ ] fuções de itepolação mati das fuções de itepolação p pessão Pa

17 p o caegameto uifomemete distibuído /m i P caegameto cocetado Q foça cisalhate po uidade de compimeto /m aio do cilido ou da placa m t espessua da paede do cilido ou da placa m u, v deslocametos o plao m w deslocameto vetical m,, coodeadas catesiaas, coodeadas polaes etas Gegas,η υ coodeadas do sistema local coodeada pola coeficiete de Poisso σ tesão omal adial Pa σ tesão omal aial Pa σ tesão omal cicufeecial Pa σ tesão omal adial Pa τ tesão de cisalhameto Pa ε, ε, ε defomações específicas γ defomação de cisalhameto específica deivada pacial { σ } veto de tesões Pa

18 {} ε {} φ veto de defomações específicas veto campo de deslocameto opeado de aplace β fato de cocetação de tesão m - Sobescitos T tasposta de veto ou de mati Subscitos it. et. mí. má. h p e iteo eteo míimo máimo solução homogêea solução paticula efeete ao elemeto Abeviatuas cos si ta it. et. cosseo seo tagete iteo eteo

19 mí. má. míimo máimo i Siglas SQ QSQ CSQ MEF IEM iea Stai Quadilateal Quadatic Stai Quadilateal Cubic Stai Quadilateal Método dos Elemetos Fiitos Istituto de Egehaia Mecâica

20 Capítulo ITRODUÇÃO. COSIDERAÇÕES IICIAIS A aálise de tesões em copos de evolução submetidos a caegametos siméticos com elação ao mesmo eio de simetia do copo é chamada de aálise de tesões aissiméticas. Os elemetos utiliados esta aálise pelo método dos elemetos fiitos são chamados de elemetos aissiméticos. A aálise de tesões aissiméticas é de muito iteesse em váias áeas da egehaia, como a áea de fluidos, a áea de pojetos de fabicação, etc. A implemetação e testes de ovos elemetos o método de elemetos fiitos MEF cotiuam sedo alvo de muitas pesquisas em váias áeas da egehaia. Idepedetemete do assuto pesquisado, a eficiêcia do método está itimamete ligada ao tipo do elemeto implemetado. a fomulação isopaamética do MEF, utiliada este tabalho, as fuções de foma do elemeto são dadas o sistema local de coodeadas atuais e η. As maties dos elemetos aissiméticos são avaliadas usado o pocesso uméico da quadatua de Gauss. omalmete, ão se ecotam a liteatua muitos tabalhos voltados à aálise de tesões em egiões póimas às cagas cocetadas. este tabalho, é aalisada a distibuição

21 de tesões em egiões distates e também póimas a caegametos cocetados em copos de evolução. A aálise de tesões em copos aissiméticos é simila àquela do estado plao de tesões. a fomulação, as defomações do elemeto são obtidas cosideado as hipóteses simplificadoas da teoia da elasticidade liea a aálise plaa de tesões e defomações.. OBJETIVOS Os picipais objetivos desde tabalho são: O desevolvimeto de uma otia computacioal em liguagem FORTRA que seja capa de detemia as tesões e os deslocametos ao logo de copos de evolução evolvidos em poblemas aissiméticos; Compaa o desempeho dos elemetos aissiméticos implemetados, (liea, quadático, cúbico), a detemiação das tesões e deslocametos em vasos de pessão de paede espessa e placas fias ciculaes; Ivestiga o compotameto das tesões, omais e de cisalhameto, em egiões póimas ao poto de aplicação de cagas cocetadas em uma placa fia cicula; Veifica a ifluêcia da vaiação da espessua da placa o fato de cocetação de tesão paa placas ciculaes sujeitas a caegametos distibuídos em foma de cículo em sua supefície.. DESCRIÇÃO DO TRABAHO O pesete tabalho é composto po sete capítulos. este pimeio capítulo é apesetada a idéia geal do tabalho. o segudo capítulo é ealiada uma evisão bibliogáfica sobe o MEF e também sobe a ecete utiliação dos elemetos aissiméticos.

22 O teceio capítulo apeseta a teoia da fomulação isopaamética do MEF paa os elemetos aissiméticos, a implemetação da otia computacioal seá feita com base a teoia apesetada este capítulo. O quato capítulo mosta todo o desevolvimeto das equações paa o cálculo dos deslocametos e das tesões em vasos de pessão cilídicos de paede espessa, mosta também as equações paa placas fias ciculaes, com base as hipóteses simplificadoas de Kichhoff. O quito capítulo efee-se à validação do código computacioal implemetado. Essa validação é feita atavés da compaação dos esultados obtidos do código computacioal com os esultados das equações demostadas o capitulo ateio, paa poblemas que possuam solução aalítica. o seto capítulo são mostados dois eemplos uméicos de placas ciculaes, o pimeio eemplo epeseta uma placa fia cicula sujeita a um caegameto cocetado, o segudo eemplo mosta placas com difeetes espessuas sujeitas a um mesmo caegameto. o sétimo capítulo é feita uma coclusão sobe os esultados apesetados os capítulos ateioes e também são sugeidas algumas possibilidades paa tabalhos futuos.

23 Capítulo REVISÃO BIBIOGRÁFICA. HISTÓRICO DO MÉTODO DOS EEMETOS FIITOS O temo Elemetos Fiitos do método dos elemetos fiitos MEF foi usado pela pimeia ve a liteatua po Clough (96) em um atigo de egehaia sobe aplicações da elasticidade plaa. Poém, a idéia fudametal do método já viha sedo utiliada há algus aos po matemáticos, físicos e egeheios. Os pimeios tabalhos a áea da mecâica estutual que utiliaam a aálise po elemetos fiitos foam feitos po Heikoff (9) e McHe (9) que desevolveam uma aalogia ete elemetos discetos (e. baa e viga) e a coespodete poção de um sólido cotíuo. esses tabalhos foi usada a técica semi-aalítica que ea muito utiliada os aos pela idústia aeoáutica. Uma apoimação dieta baseada o picípio do tabalho vitual foi dada po Kelse (96) e Agis (96) em uma séie de atigos técicos. Tue et al. (956) apesetaam a mati de igide paa o elemeto tiagula e também um método de acoplameto das maties de igide dos elemetos. o iício dos aos sesseta, as bases matemáticas do MEF aida ão estavam completamete desevolvidas. Apesa disso, o método já ea usado po egeheios paa a solução de uma gade quatidade de poblemas estutuais (Davies, 986). A solução paa

24 poblemas tidimesioais ecessitaam apeas da epasão da teoia paa poblemas bidimesioais apesetada po Agis. 5 Os poblemas diâmicos começaam as se estudados a pati do tabalho de Ache (96) que itoduiu o coceito da mati de massa. A pati da itodução desse coceito, poblemas de vibação (Ziekiewic et al.,966) e poblemas tasietes (Koeig & Davids, 969) começaam a apaece a liteatua. o começo dos aos sesseta sugiam os pimeios tabalhos o campo da ão lieaidade. Tue et al. (96) apesetaam a técica do icemeto paa solucioa poblemas geometicamete ão lieaes. essa áea, Mati (965) aalisou poblemas de estabilidade. Gallaghe et al. (96) modelaam poblemas evolvedo mateial de compotameto ão liea. Ziekiewic et al. (968) aplicaam o método paa a solução de poblemas de visco-elasticidade. O teto de Ode (97) fe uma aálise detalhada da utiliação das aplicações do método aplicado a poblemas ão lieaes. O método começou a utilia o já cohecido método dos esíduos podeados (Sabo & ee, 969) toado assim possível a solução de poblemas paa os quais o picípio vaiacioal ão ofeecia solução ou as soluções eam muito compleas. Escoametos de fluidos viscosos (Coo & Bebbia, 976) e poblemas ão lieaes em eletomagetismo (Ziekiewic et al., 977) são eemplos desses poblemas. Simultaeamete ao desevolvimeto do método o campo da egehaia, váios tabalhos foam ealiados po gupos de matemáticos. Raamete esses gupos se iteagiam. O coteúdo desses tabalhos, omalmete, ão ea divulgado ete os gupos de difeetes áeas (Cook, 995). Couat (9) apesetou a solução paa poblemas evolvedo toção usado fuções de itepolação lieaes paa elemetos tiagulaes, tedo-se como base o picípio da eegia potecial míima. Atigos similaes foam apesetados po Pola (95) e eibege (956). O tabalho de Geestadt (959) cosideou um meio cotíuo com sedo um acoplameto de váios elemetos discetos e fe cosideações sobe as vaiáveis em cada egião. esse tabalho, foi utiliado, pela pimeia ve, o picípio vaiacioal. a áea da matemática, Bikhoff et al. (968) e Zlamal (968) publicaam a pova de covegêcia do MEF e eos de discetiação do cotoo do domíio de algus poblemas. Etetato, a pimeia pova da covegêcia do método a áea da egehaia foi

25 6 apesetada po Melosh (96) que utiliou o picípio da eegia potecial míima. O tabalho de Melosh foi complemetado po Joes (96) usado o picípio vaiacioal de Reisse. A pati da década de seteta, com o ápido desevolvimeto de computadoes mais potetes, a aplicação do MEF teve um impessioate cescimeto e uma eome divulgação o meio cietífico. Atualmete, o método epeseta uma podeosa feameta paa aálise uméica, utiliada a egehaia, a física e a matemática. Os tabalhos divulgados essas áeas cotibuíam sigificativamete paa o desevolvimeto e apefeiçoameto do MEF (Huebe et al., 995).. ESTADO DA ARTE Muitos tabalhos têm sido apesetados buscado a solução de poblemas aissiméticos atavés de métodos uméicos. Um dos pimeios tabalhos foi apesetado po Pe (96). esse tabalho foi desevolvida uma solução, atavés do método das difeeças fiitas, paa poblemas evolvedo simetia em cascas. Radkowski et al. (96) apesetaam um tabalho sobe a solução de poblemas aissiméticos aplicado o método das difeeças fiitas. Pec et al. (965) empegou o método dos elemetos fiitos paa detemia a solução de poblemas em copos de evolução sujeitos a cagas siméticas e assiméticas. Smith (966) apesetou o desevolvimeto de um pocedimeto paa a aálise estática aissimética atavés da simplificação das estutuas em uma séie de seções aulaes. Toda a pate de pogamação da teoia apesetada po Smith foi desevolvida e publicada posteiomete po Patick (966). Atualmete, paa a simplificação e esolução de poblemas evolvedo copos de evolução, a aálise aissimética tem sido empegada em divesas áeas da egehaia. Os tabalhos citados a segui são eemplos de ecetes aplicações da aálise aissimética a áea da mecâica estutual. Osadchuk & Shelestovs ka (999) desevolveam equações paa a detemiação das tesões esiduais em placas espessas. esse tabalho, foi utiliada a aálise aissimética de tesões paa a detemiação das equações de tesão. Os coeficietes das equações de tesão

26 foam obtidos atavés do ajuste de modelos com o auílio de ifomações epeimetais obtidas atavés de esaios ão destutivos de divesos mateiais. 7 Hogu & Jiaag () apesetaam o desevolvimeto de equações aalíticas paa o caso de placas espessas lamiadas sujeitas a cagas cocetadas. As equações mostadas este tabalho foam desevolvidas com base as equações fudametais da teoia da elasticidade e as equações de estado paa placas lamiadas tasvesalmete e de mateial isotópico. Smith & Fil (7) popuseam um modelo uméico aissimético de uma célula de efoço estutual em coluas de sustetação de baages. Uma compaação foi feita ete as aálises aissimética e tidimesioal paa o poblema. Os esultados mostaam uma boa cocodâcia ete os valoes obtidos atavés dos dois métodos de aálises e também os valoes epeimetais colhidos da estutua aalisada. Fo et al. (7) desevolveam um modelo aalítico paa detemiação do deslocameto vetical de placas ciculaes com atuadoes pieeléticos aissiméticos. As equações paa as foças de iteação do atuado com a placa foam esolvidas aaliticamete e também umeicamete atavés do MEF. A boa cocodâcia ete os valoes das soluções dos dois métodos sugee o modelo aalítico poposto como uma boa alteativa paa a aálise paa estudos de otimiação e pojetos de elemetos estutuais. Satos et al. (8) ealiaam uma aálise atavés do MEF de cascas lamiadas aissiméticas com sesoes e atuadoes pieeléticos. Foam aalisados os mometos de toção e os modos de viba das estutuas. As equações de movimeto tidimesioal da elasticidade foam eduidas a equações bidimesioais evolvedo um temo cicufeecial. a fomulação do MEF foi utiliada uma séie de Fouie tucada paa a epasão das vaiáveis depedetes, caegameto e o potecial elético. Mosta-se, esse tabalho, o acoplameto dos temos siméticos e assiméticos paa mateiais lamiados com pieeléticos. Os esultados tiveam boa cocodâcia com outas soluções obtidas po outas fomulações uméicas. Uma ova aplicação da fomulação aissimética foi apesetada po Smith (8) paa a aálise de estutuas de evolução tipo cascas e placas sujeitas a caegametos aissiméticos. esse tabalho, Smith popõe um ovo método de cálculo de tesões em poblemas aissiméticos que se baseia a divisão da estutua em váias seções aulaes

27 8 idepedetes. A solução apesetada po Smith é simplificada em elação à fomulação aissimética tadicioal. o etato, a solução se mostou muito eficiete o cálculo de deslocametos e tesões paa placas ciculaes sujeitas a caegametos uifomemete distibuídos.

28 Capítulo EEMETOS FIITOS AXISSIMÉTRICOS O estudo da distibuição de tesões em copos aissiméticos sob caegameto aissimético é de gade iteesse a egehaia. A aálise de tesões aissiméticas é cosideada se uma aálise de tesões em copos de evolução submetidos a caegametos siméticos com elação ao mesmo eio de simetia do copo. Os elemetos utiliados esta aálise pelo método dos fiitos são chamados de elemetos aissiméticos. Os elemetos aissiméticos são bidimesioais. A aálise de tesões aissiméticas é simila àquela do estado plao de tesões e defomações. A Fig.. mosta eemplos de copos aissiméticos. Figua. Eemplos de Copos Aissiméticos.

29 Devido à simetia, duas compoetes de deslocametos em qualque seção plaa do copo que cotém o eio de simetia defiem completamete o estado de defomações e, potato, o estado de tesões (Ziekiewic & Talo, 989). A Fig.. ilusta um toóide fomado pela evolução de um etâgulo em too do eio de simetia. O elemeto etagula que gea o ael está o plao do copo de evolução. Figua. Elemeto Quadilateal Aissimético.. DEFORMAÇÕES O EEMETO Qualque poto do elemeto é defiido pelas coodeadas, adial e aial. Os coespodetes deslocametos do poto são u e v, espectivamete, cujas fuções de itepolação são pecisamete as mesmas quado usadas paa o elemeto a aálise plaa de tesões e defomações. essa aálise pode se mostado que o tabalho iteo é associado com tês compoetes de defomações. a aálise de tesões em copos aissiméticos, qualque deslocameto adial povoca automaticamete uma defomação a dieção cicufeecial e a tesão essa dieção ão é ula. Esta quata compoete de defomações das tesões associadas, deve se cosideada. Os potos odais de um elemeto típico etagula aissimético descevem lihas cicufeeciais como mostado a Fig... Os deslocametos adiais desevolvem defomações cicufeeciais que povocam as tesões σ,, σ τ e σ idepedetes da coodeada.. Devido à simetia em elação ao eio, as tesões são

30 As Figs..a-b mostam um elemeto de volume de um elemeto aissimético e sua seção eta paa epeseta o estado geal de defomações paa um poblema aissimético. Figua. Elemeto de Volume Assim como a aálise o estado plao de tesões e defomações, as defomações o plao são u v ε, ε e u v γ (.) Aalisado a Fig..(b), pode se obsevado que ates da defomação o compimeto do aco AB é d e após a defomação, o aco AB passa a te compimeto ( u) d. Etão, a defomação tagecial é dada po ( u) d d u ε (.) d Potato, o veto de defomações do elemeto aissimético é u ε v ε {} ε (.) γ u v ε u

31 . VETOR DE TESÕES O EEMETO Po outo lado, as defomações o elemeto aissimético paa mateial liea, homogêeo e isotópico são (Bathe, 996) E E E νσ σ νσ ε (.a) E E E νσ νσ σ ε (.b) ( ) E τ ν γ (.c) E E E σ νσ νσ ε (.d) Usado as Eqs. (.), o veto de tesões pode se colocado em fução do veto de defomação como ( )( ) ε γ ε ε ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν σ τ σ σ E (.5) ou { } [ ]{} ε σ D (.6) Etão, a mati que elacioa as tesões com as defomações é [ ] ( )( ) ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ) ( E D (.7) A Fig.. mosta a epesetação das tesões em copos aissiméticos.

32 Figua. Tesões em Copos Aissiméticos.. EEMETO RETAGUAR BIIEAR A Fig..5 mosta um elemeto etagula biliea. Figua.5 Elemeto etagula biliea As fuções paa os deslocametos do elemeto etagula biliea o sistema global de coodeadas podem se obtidas faedo ( ) a b c d u, (.8a) ( ) e f g h v, (.8b) ode os coeficietes a, b, c, d, e, f, g e h das fuções são colocados em fução das coodeadas globais e dos deslocametos dos potos odais do elemeto assim com é feito a aálise o estado plao de tesões. Faedo i, j e k,, tem-se que Paa e > u ( ), u

33 Usado a Eq. (.8a), o deslocameto odal u pode se epesetado po d c b a u (.9a) Repetido este pocedimeto paa os deslocametos u, u e u, tem-se que d c b a u (.9b) d c b a u (.9c) d c b a u (.9c) As Eqs. (.9) podem se colocadas como d c b a u u u u (.) ou u u u u d c b a (.) cuja solução é da foma u a u a u a a u a (.a) u b u b u b b u b (.b) u c u c u c u c c (.c) u d u d u d u d d (.d) sedo que i a, i b, i c e i d são fuções das coodeadas globais i e i com ) (,..., i.

34 5 evado as Eqs. (.) a Eq. (.8a), vem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u d u d u d u d u c u c u c u c u b u b u b b u u a u a u a a u u, (.a) ou, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), u d c b a u d c b a u d c b a u d c b a u (.b) A Eq. (.b) pode se eescita como, ( ), u u u u u (.a) ou, ( ) [ ], u u u u u (.b) Compaado a Eq. (.b) com a Eq. (.a), as fuções de itepolação da vaiável física, que o caso é o deslocameto ( ) u, de um poto qualque do elemeto, são idetificadas po ( ) ( ) ( ) ( ) d c b a d c b a d c b a d c b a,,,, (.5) Tomado-se o mesmo pocedimeto paa ( ) v,, pode-se esceve que, ( ) [ ], v v v v v (.6)

35 6 ode,,, e são as mesmas fuções dadas pelas Eqs. (.5). ogo, as fuções ( ),,, i i são as fuções de itepolação paa as vaiáveis físicas ( ) u, e ( ) v,. As Eqs. (.b) e (.6) podem se eescitas a foma maticial como, v u v u v u v u v u (.7) ou simplesmete po {} [ ]{} e d φ (.8) ode {} φ é o veto campo de deslocametos, [ ] é a mati que iclui as fuções de itepolação e { } e d é o veto fomado pelos deslocametos odais do elemeto. Usado a Eq. (.), o veto de defomações de um poto de um elemeto aissimético é v u v u v u v u ε γ ε ε (.9) que a foma maticial compacta, este veto pode se eescito como {} [ ]{} e d B ε (.)

36 7 Usado as Eqs. (.5) e compaado a Eq. (.9) com a Eq. (.), a mati [B] é idetificada po [ ] (,7) (,5) (,) (,) B B B B c b d c c b d c c b d c c b d c d c d c d c d c c b c b c b c b B (.) sedo que d c b a B,) ( (.a) d c b a B,) ( (.b) d c b a B,5) ( (.c) d c b a B,7) ( (.d) ota que [ ] B é uma fução das coodeadas e. Potato, as defomações ão seão costates o iteio do elemeto. As tesões o elemeto são dadas po { } [ ][ ]{} e e e d B D σ σ τ σ σ (.) ode { } e d é o veto de deslocametos odais e [ ] D é dada pela Eq. (.7).

37 . MATRIZ DE RIGIDEZ DE EEMETOS AXISSIMÉTRICOS 8 A mati de igide de elemetos aissiméticos pode se computada de acodo com a epessão geal que é (Ziekiewic & Talo, 989) T [ ] e [ B] [ D][ B] V K dv (.) que itegada ao logo do cotoo cicufeecial esulta em T [ K] e π [ B] [ D][ B] d d (.5) A Como a mati [B], Eq. (.), é uma fução das coodeadas e, a mati [ K] e também é uma fução de e. A mati [ K] e da Eq. (.5) pode se avaliada usado itegação uméica po quadatua de Gauss, ou em algus casos po multiplicação eplícita e itegação temo a temo..5 FORÇAS DE SUPERFÍCIE O caegameto odal é f (.6) fs T s { f s} [ ] ds S ode f s e f s são pessões as dieções adial e aial, espectivamete..6 FORMUAÇÃO ISOPARAMÉTRICA PARA EEMETOS AXISSIMÉTRICOS QUADRIATERAIS DA FAMÍIA SEREDIPITY

38 9 esta seção é apesetada a aálise de tesões aissiméticas em copos de evolução utiliado elemetos quadilateais com fuções de itepolação da família Seedipit. É aplicada a fomulação isopaamética do método dos elemetos fiitos. esta fomulação, as fuções utiliadas paa itepola as vaiáveis físicas dos poblemas são as mesmas paa itepola a geometia do elemeto aissimético e são chamadas de fuções de foma. As vaiáveis cosideadas a aálise de tesões aissiméticas são os deslocametos, adial u e aial v, e são defiidas em fução dos deslocametos odais u i e v i do elemeto, como u i u i i e v i v i i (.7) As coodeadas e de um poto qualque do elemeto a fomulação isopaamética, são defiidas em fução das coodeadas odais i e i do elemeto, como i i i e i i i (.8) ode é o úmeo de potos odais do elemeto e i (i,..., ) são as fuções de foma do elemeto. As fuções de foma da família Seedipit são defiidas o sistema local de coodeadas atuais e η do elemeto. O elemeto quadilateal biliea de Taig ( ) é mostado a Fig..6. Figua.6 (a) Elemeto o Sistema Global; (b) Elemeto o Sistema ocal. As fuções de foma paa esse elemeto são

39 i (, η) ( )( η ) (.9a) sedo que i e ( i...,) η ηη i, (.9b) ode i e η i são as coodeadas dos potos odais do elemeto o sistema local. A Fig..7 ilusta a fução de foma paa o segudo poto odal do elemeto. Figua.7 Fução de Foma paa o ó o.. A Fig..8 mosta o elemeto quadilateal quadático ( 8). Figua.8 (a) Elemeto o Sistema Global; (b) Elemeto o Sistema ocal.

40 Usado as mesmas vaiáveis e η da Eq. (.9b), as fuções de foma da família Seedipit paa o elemeto quadilateal quadático são Paa os ós dos catos (i,, e ): i (, η) ( )( η )( η ) (.) Paa os ós do meio dos lados (i 5, 6, 7, 8): Em > paa (i 5, 7) i i (, η) ( )( η ) (.a) Em η > paa (i 6, 8) i i (, η) ( η )( ) (.b) A Fig..9(a) ilusta a fução de foma paa o segudo poto odal, equato a Fig..9(b) mosta a fução de foma paa o oitavo poto odal do elemeto. Figua.9 Fução de foma (a) paa o ó o. ; (b) paa o ó o. 8. A Fig.. mosta o elemeto quadilateal cúbico ( ).

41 Figua. (a) Elemeto o sistema global; (b) elemeto o sistema local. cujas fuções de foma da família Seedipit são Paa os ós dos vétices (i,,, ): i ( )( η)[ 9( η )] (.) Paa os ós do meio dos lados (i 5, 6, 7, 8, 9,,, ): Em ± com i η i ± > paa (i 7, 8,, ) 9 i ( )( η )( 9η ) (.) Em η ± com i i ± > paa (i 5, 6, 9, ) 9 i ( η )( )( 9 ) (.) Paa qualque elemeto com potos odais, a mati de igide de elemetos aissiméticos é avaliada pela Eq. (.5) como

42 [ ] [ ] [ ][ ] A T e d d B D B K π (.5) A mati [ ] D que elacioa as tesões com as defomações é a mesma dada pela Eq. (.7), ou seja [ ] ( )( ) ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ) ( E D (.6) A mati [B] que elacioa as defomações com os deslocametos odais do elemeto é [ ] B (.7) Assim como é feito a aálise o estado plao de tesões e defomações, os temos i e i que apaecem a mati [ ] B da Eq. (.7) são calculados po [ ] η i i i i J (.8) sedo que [ ] J é a mati jacobiaa que é calculada po

43 [ ] i i i i i i i i i i i i J η η (.9) Os temos i que costam a quata liha da mati [ ] B são detemiados usado a coodeada global da Eq. (.8). Etão )...,, ( i j j j i i (.) Como η d d J da d d ] det[ e j j j, a mati de igide de elemetos aissiméticos, Eq. (.5), pode se detemiada po [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] η η η η π d d J B D B K j j j T e, det,, (.) O caegameto odal devido às foças de supefície é { } ( ) [ ] S s s T e s ds f f f η, (.) Paa detemia as focas odais equivaletes em um ó k do elemeto, a mati ( ) [ ],η da Eq. (.) pode se substituída po [ ] [ ] ), ( ), ( ), ( ), ( η η η η k k T k k (.)

44 Capítulo VASOS DE PRESSÃO CIÍDRICOS E PACAS FIAS Este capítulo tem po objetivo mosta o desevolvimeto das equações paa cálculo de deslocametos e de tesões em vasos de pessão cilídicos e em placas fias. Os valoes dos deslocametos e das tesões seão compaados com os esultados obtidos atavés do código computacioal implemetado a fim de veifica a validade da metodologia empegada o código. O desevolvimeto das equações paa vasos de pessão é ealiado com base a teoia mostada po Ugual & Feste (995), equato que as equações da teoia de placas fias mostadas este tabalho são obtidas com auilio de Ugual (98).. VASOS DE PRESSÃO CIÍDRICOS Seja uma gade placa fia com um pequeo fuo o ceto sujeito a uma pessão uifome, Fig... As tesões seão siméticas em elação ao eio e as defomações também se mostam idepedetes da coodeada.

45 6 Figua. Placa fia com um fuo cicula. Como ão há caegameto aial, a tesão omal a dieção do eio é ula, σ. Devido à simetia, as tesões de cisalhameto o plao pepedicula ao eio também são ulas, τ τ. Sedo assim, as equações de equilíbio em coodeadas polaes se toam dσ d σ σ F (.) ode σ e σ epesetam as tesões omais tagecial (cicufeecial) e adial, espectivamete, que atuam o elemeto. F epeseta a foça de campo a dieção adial po uidade de volume. Como eemplo de foça de campo pode-se cita a foça de iécia associada à otação. a ausêcia das foças de campo, a dieção adial, a Eq. (.) se edu a dσ d σ σ (.) Os deslocametos adial e tagecial são deotados po u e v, espectivamete. Devido à simetia do copo pode ão have deslocameto tagecial, sedo assim v. Um poto epesetado pelo elemeto abcd a Fig.. pode-se move apeas adialmete como uma coseqüêcia do caegameto. Sedo assim, as defomações se toam ε du d, u ε, γ (.)

46 Substituido é etão detemiada como sedo u ε a pimeia epessão da Eq. (.), a equação de compatibilidade 7 ou du d d d ε ( ε ) ε dε ε ε (.) d A solução paa qualque poblema aissimético de vaso de pessão, dadas as devidas codições de cotoo, é obtida utiliado a equação de equilíbio, Eq. (.) ou (.), as elações paa defomações específicas ou a equação de compatibilidade, Eqs. (.) ou (.) jutamete com a ei de Hooke... Vasos de Pessão Cilídicos de Paede Espessa omalmete os vasos de pessão cilídicos utiliados a egehaia são divididos em duas categoias: vasos de pessão de paede fia e vasos de pessão de paede espessa. Vasos de pessão de paede fia são defiidos como aqueles em que a tesão tagecial pode, deto de cetos limites, se associada com o valo da espessua. Paa estes vasos, quado submetidos a uma pessão itea p, a tesão tagecial é σ p t ode é o aio do vaso e t a sua espessua. Se a espessua da paede do vaso de pessão cilídico fo maio do que % do valo do aio iteo, o vaso é omalmete classificado como de paede espessa. estes casos, a vaiação da tesão tagecial ão é mais popocioal ao aio. Paa cilidos de paede espessa sujeitos a uma pessão itea ou etea, a defomação é simética em elação ao eio. Po isso, as equações de equilíbio e de defomação específica ε, aplicam-se paa qualque poto em um cículo de compimeto uitáio do cilido, Fig. (.). Se as etemidades do cilido estiveem abetas e ão

47 egastadas, etão, σ. O cilido, estas codições, se ecotaá o estado plao de tesões e, de acodo com a ei de Hooke, as defomações são 8 du d u E E ( σ νσ ) ( σ νσ ) (.5) Potato, as tesões σ e σ são dadas po E σ ν E σ ν ( ε νε ) E du u ν ν d E u ( ε νε ) ν ν du d (.6) Figua. Vaso de pessão de paede espessa. Substituido as Eq. (.6) a Eq. (.), a equação paa o deslocameto adial esulta em d u d du d u (.7) que admite uma solução do tipo c c (a) u

48 As tesões, adial e tagecial, podem agoa se escitas em temos das costates de itegação c e c pela combiação das Eqs. (a) e (.6) 9 E ν σ c( ν ) c ν (b) E ν σ c( ν ) c ν (c) ode as costates c e c são detemiadas em fução das codições de cotoo. Aalisado as Eqs. (b) e (c) pecebe-se que a soma das tesões, adial e tagecial, é costate, ou seja, σ σ Ec ( ν ). A defomação específica logitudial é, potato, costate, sedo ε ν ( σ σ ) E costate Pode-se coclui, etão, que seções iicialmete plaas pemaecem plaas após o caegameto. Coseqüetemete, σ Eε costate c. Poém, se as etemidades do cilido estão abetas e lives de estições, tem-se que b ( b a ) σ π d π c a Como assumido peviamete, c σ. Paa um vaso de pessão cilídico submetido a pessões itea e etea, espectivamete, as codições de cotoo são ( σ ) a ( σ ) po b p i p i e p o, (d) ode o sial egativo idica tesão de compessão. Substituido as Eqs. (d) a Eq. (b), as costates c e c são detemiadas po

49 ( ) a b p p b a E c a b p b p a E c o i o i ν ν (e) Potato, as equações paa as tesões e paa o deslocameto u em vaso de pessão cilido de paede espessa são a b b a p p E a b p b p a E u a b b a p p a b p b p a a b b a p p a b p b p a o i o i o i o i o i o i ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( υ υ σ σ (.8) Estas epessões foam obtidas pela pimeia ve pelo Egeheio facês G. amé em 8. O máimo valo uméico de σ é ecotado em a que é i p, desde que i p seja maio do que o p. Se i o p p >, o máimo σ ocoe em b e é igual a o p. Etetato, o máimo valo de σ pode ocoe tato a paede itea quato a paede etea depededo da aão ete as pessões i p e o p. A máima tesão de cisalhameto é igual a metade da difeeça algébica ete a máima e a míima tesão picipal, ( ) ) ( ) ( a b b a p p o i má σ σ τ (.9) a supefície itea, a, ocoe o maio valo de. má τ. Uma edução do valo de o p acaeta um aumeto do valo de. má τ. Sedo assim, o maio valo de. má τ coespodeá a e o p, dado po a b p i b má τ (.)

50 âgulo de Como σ e σ são as tesões picipais, τ má. iá ocoe em um plao que fa um 5 com o plao ode atuam as tesões σ e σ, o que pode se cofimado pela costução do Cículo de Moh. A pessão p esc. que iiciaá o escoameto da paede itea do vaso de pessão pode se obtida faedo τ σ a Eq. (.), p esc. ( b a ) má. esc. σesc. (.) b.. Vasos de Pessão sob Pessão Itea Em um vaso de pessão cilídico, se somete houve pessão itea, as codições de cotoo passam a se ( σ ) pi e ( σ ) a b Sedo assim, as Eqs. (.8) se eduem paa a p i b σ (.) b a a p i b σ (.) b a a p i b u ( υ ) ( υ) (.) E ( b a ) Se b >, etão σ seá egativo (compessão). Se b etão σ. A máima tesão adial ocoe em a. A tesão σ é positiva (tação) paa todos os valoes de e também teá um máimo em a.

51 .. Vasos de Pessão sob Pessão Etea Se somete pessão etea estive atuado em um vaso de pessão cilídico etão as ovas codições de cotoo seão ( σ ) e ( σ ) po a b Usado estas codições, as Eqs. (.8) são eescitas como b p a σ (.5) b a b p a σ (.6) b a b p a u ( υ) ( υ) E ( b a ) (.7) A máima tesão adial, σ, ocoe em b e é de compessão paa todos os valoes de. O máimo valo de σ é ecotado em a e assim como σ, compessão paa qualque valo de. σ seá também de. TEORIA DE PACAS FIAS Placas podem se cosideadas como sedo elemetos estutuais iicialmete plaos paa os quais a espessua é muito meo do que as outas dimesões. Icluídos ete os muitos eemplos familiaes de placas estão tampas de mesa, tampões de bueio, lajes de costução civil, discos de tubias dete outos. Muitos poblemas páticos de egehaia ecaem as categoias de estudo sobe o compotameto de placas. Paa o cálculo de tesões, as placas são omalmete divididas em duas pates iguais a dieção da espessua t po um plao paalelo às suas faces. Este plao é chamado de plao médio da placa. A espessua da placa é medida a dieção omal a este plao. As

52 popiedades de fleão da placa depedem muito da espessua em compaação com as outas dimesões. O estudo de placas se divide em tês gupos: placas fias com pequeas defomações, placas fias com gades defomações e placas espessas. De acodo com o citéio feqüetemete aplicado paa defii placas fias com pequeas defomações, a aão ete a espessua e o meo compimeto da placa deve se meo do que e os deslocametos veticais devem se meoes do que 5 da espessua. este tabalho é assumido que o mateial das placas é homogêeo, liea e isotópico. As foças eteas atuado uma placa podem se classificadas como sedo foças de supefície ou foças de campo. O picipal objetivo é detemia as elações ete essas foças que atuam a placa, as defomações, tesões e deslocametos. As foças de supefície são distibuídas sobe uma áea fiita da placa equato que foças de campo agem em elemetos de volume da placa. Estas últimas são atibuídas às foças, gavitacioal, magética e em casos de movimeto de otação (foças de iécia)... Compotameto Geal de Placas Seja uma placa sem caegameto, Fig. (.-a), a qual o plao coicide com o seu plao médio e o deslocameto vetical w a dieção do eio é eo. As compoetes do deslocameto em um poto são descitas po u, v e w, as dieções, e, espectivamete. Ocoedo defomações devido a caegametos, um poto qualque de coodeadas ( a, a ) do plao médio apeseta um deslocameto vetical w, Fig. (.-b). As cosideações fudametais da teoia de pequeas defomações, ou também chamada teoia clássica, paa placas fias, homogêeas, isotópicas e elásticas estão baseadas a geometia da defomação. Essas cosideações são, (Ugual, 98): - O deslocameto vetical do plao médio é pequeo quado compaado à espessua da placa. A icliação da supefície defomada é muito pequea e o quadado da icliação é uma quatidade despeível em compaação com a uidade. - O plao médio da placa pemaece ietesível duate a fleão.

53 - As seções plaas iicialmete omais à supefície média pemaecem plaas e omais à supefície média depois da fleão. Isto sigifica que a defomação devida aos cisalhametos veticais γ e γ é despeada. Os deslocametos veticais da placa são, potato, associados picipalmete com a defomação devido à fleão. Po isso, é deduido etão que a defomação omal ε esultate do caegameto tasvesal pode se omitida. Isto sigifica die que ão há vaiação da espessua da placa. - A tesão omal ao plao médio, σ, é pequea quado compaada com as outas compoetes de tesão e po isso pode se despeada. Esta suposição ão é vedadeia as poimidades de cagas tasvesais cocetadas, cofome seá visto o decoe deste tabalho. Figua. Deslocameto vetical em uma placa fia. As cosideações feitas ateiomete são cohecidas com hipóteses de Kichhoff e são aálogas aquelas associadas com a teoia de fleão de vigas. a gade maioia das aplicações da egehaia, justificativas adequadas podem se ecotadas paa simplifica o

54 5 poblema com elação ao estado de tesões e defomações. Paa dimiui a compleidade, poblemas de placa tidimesioal podem, em algus casos, se eduidos a poblemas evolvedo duas dimesões. Coseqüetemete, as equações de placas podem se deivadas de maeia cocisa e dieta. Paa gades defomações, a fleão de placas é acompahada pela defomação o plao médio, e as duas pimeias cosideações ão podem se aplicadas. Em placas espessas, as tesões de cisalhameto são impotates, como o caso de vigas cutas. Sedo assim, a aálise desse tipo de placa se toa um pouco mais complea, uma ve que as duas últimas simplificações ão são mais válidas... Relações Defomação Deslocametos Paa que se possa estuda os poblemas de fleão em placas, algumas cosideações sobe a geometia das defomações devem se feitas. Como uma coseqüêcia das cosideações da seção ateio, as elações defomação deslocameto se eduem a u ε (.8a) v ε (.8b) u v γ (.8c) w ε (.8d) w u γ (.8e) w γ (.8f) ode γ γ ( i, j,, ). ij ji

55 Cosideado a geometia da defomação como sedo um poblema de causa e efeito, as epessões acima são efeidas como elações ciemáticas. Itegado ε da Eq. (.8d), pode se obte 6 w w (, ) (a) idicado que o deslocameto vetical ão vaia ao logo da espessua da placa. Da mesma maeia, itegado as epessões paa γ e γ das Eqs. (.8c) e (.8f) tem-se que w w u uo(, ) e v vo (, ) (b) sedo que u o (, ) e v o (, ) epesetam, espectivamete, os valoes de u e v o plao médio da placa. Com base a seguda cosideação feita a seção ateio, pode-se coclui que u v. Assim o o w u e w v (.9) A epessão paa u está epesetada a Fig. (.b) a seção m- passado po um poto A a, ). Uma ilustação simila pode se ecotada paa o deslocameto v o plao ( a. Substituido as Eqs. (.9) as Eqs. (.8a-c) têm-se que, as defomações em qualque poto da placa são dadas po w w ε, ε e w γ (.).. Resultate das Tesões o caso de um estado tidimesioal de tesões, tesões e defomações estão elacioadas pela lei de Hooke geealiada, válida paa mateial homogêeo e isotópico como

56 [ σ ν ( σ σ )] ε, E τ γ G 7 [ σ ν ( σ σ )] ε, E [ σ ν ( σ σ )] ε, E τ γ (a) G τ γ G ode γ γ ( i, j,, ). As costates E, ν e G epesetam o módulo de ij ji elasticidade, coeficiete de Poisso e módulo de elasticidade ao cisalhameto, espectivamete. A epessão paa G é E G (.) ( υ) Substituido ε γ γ as Eqs. (a) tem-se paa as elações de tesãodefomação paa placas fias, E σ ( ε νε ) ν E σ ( ε νε ) ν (.) τ Gγ Substituido as Eqs. (.) as Eqs. (.) temos, E w w σ ν ν E σ ν w w ν (.) τ E w ν

57 8 Obsevado as Eqs. (.) pecebe-se que as tesões se toam ulas o plao médio da placa e vaiam lieamete ao logo da espessua da placa. As tesões das Eqs. (.) poduem mometos, toção e foças de cisalhameto veticais. Estes mometos e foças po uidade de compimeto são também chamados de tesões esultates. Da Fig. (.) temos que Figua. Tesões em um Elemeto Ifiitesimal. t t σ dd d σ d M t t d potato, M t σ d t Similamete, t M M M σ σ d t τ (.a) ode M M, e Q Q t t τ τ d (.b) evado as tesões das Eqs. (.) a Eq. (.a) e pomovedo a itegação, pode-se obte as seguites epessões paa os mometos