Estudo da transferência de calor em fluidos nãonewtonianos. em dutos circulares e não-circulares

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1 WAGNE ANDÉ DOS SANOS CONCEIÇÃO Estudo da tasfeêcia de calo em fluidos ãoewtoiaos em dutos ciculaes e ão-ciculaes FLOIANÓPOLIS

2 UNIVESIDADE FEDEAL DE SANA CAAINA CENO ECNOLÓGICO DEPAAMENO DE ENGENHAIA QUÍMICA E ENGENHAIA DE ALIMENOS Estudo da tasfeêcia de calo em fluidos ãoewtoiaos em dutos ciculaes e ão-ciculaes Dissetação apesetada ao Cuso de Pós- Gaduação em Egehaia de Alimetos do Ceto ecológico da Uivesidade Fedeal de Sata Cataia, como equisito pacial à obteção do ítulo de Meste em Egehaia de Alimetos. Oietado : Pof. D. José Atoio ibeio Souza WAGNE ANDÉ DOS SANOS CONCEIÇÃO FLOIANÓPOLIS

3 AGADECIMENOS Ao pofesso D. José Atoio ibeio Souza, pela oietação e apoio a ealização deste tabalho. Ao pofesso D. Cid Macos Goçalves Adade do depatameto de egehaia química da Uivesidade Estadual de Maigá pelas sugestões sobe a tese. A Uivesidade Estadual de Maigá pelo mateial bibliogáfico cedido. Ao Daiel secetáio da pós-gaduação da egehaia de alimetos e à ogéia e ao Ildo, chefes de expediete do depatameto de egehaia química e egehaia de alimetos. Em especial aos amigos Jea Calos Uliao, Elizeu Maciel, oald Olavo Schwake, Guilheme Buss, Loia Livia Vicezi, izhá Lis Poto Datas, Citia Nagaya, Fedeic Dabbas, que mostam se vedadeios amigos as divesas ocasiões, demostado o seu gade compaheiismo e amizade. E a todas as pessoas que de alguma foma cotibuíam a ealização e coclusão deste tabalho.

4 Dedico A Môica, pelo caiho e compahia e aos meus pais e imãos po me apoiaem em todos os mometos da miha vida.

5 ESUMO Sistemas de tocas témicas são de gade impotâcia a idústia de alimetos. O objetivo picipal deste tabalho é faze uma evisão de coelações paa tasfeêcia de calo em fluidos ão-ewtoiaos em dutos ciculaes e ãociculaes, que são apesetadas em atigos, e aida ão foam divulgadas adequadamete, e também popo modificações em algumas coelações. As coelações foam compaadas, sempe que possível, com os dados expeimetais da liteatua paa codições de tempeatua de paede costate e fluxo de calo costate, e codições de escoameto lamia e tubuleto, cosideado-se as codições geométicas em dutos ciculaes e ão-ciculaes. Este tabalho apeseta modificações em coelações já existetes, como paa tasfeêcia de calo em dutos ciculaes com tempeatua de paede costate e temicamete desevolvido, e tasfeêcia de calo em dutos ãociculaes com tempeatua de paede costate e temicamete em desevolvimeto, e tasfeêcia de calo em dutos ão-ciculaes com fluxo de calo costate e temicamete em desevolvimeto, as modificações popostas este tabalho apesetam um bom desempeho compaadas com dados expeimetais e coelações mais atigas. Atavés da compaação ete as coelações apesetadas paa tasfeêcia de fluxo de calo costate e temicamete desevolvido em dutos ciculaes, com os dados expeimetais, demosta-se que paa este caso a depedêcia é exclusiva de um úico paâmeto, que é o ídice de compotameto do escoameto. A aálise das coelações paa tempeatua de paede costate e temicamete em desevolvimeto, com os dados expeimetais, demostam a impotâcia de se leva em cosideação o ídice de cosistêcia do fluido. A tasfeêcia de calo em dutos ão-ciculaes, mesmo sedo depedete de duas dimesões, apeseta coelações simples e as apoximações de coelações de dutos ciculaes, também apesetaam bos esultados. As coelações que pevêem o compotameto da tasfeêcia de calo em egime tubuleto são depedetes do úmeo de eyolds e Padlt geealizado, defiido paa fluidos ão-ewtoiaos, poém a sua defiição é abitáia e vaia de acodo com cada auto.

6 ABSAC hemal exchages systems ae vey impotat i the food idusty. he objective of this study is to do a eview of coelatios fo heat tasfe i o- Newtoia fluids i cicula ducts ad o-cicula, that ae peseted i aticles, ad still ot adequately divulged, ad also to coside modificatios i some coelatios. he coelatios had bee compaed, that always possible, with the expeimetal data of liteatue fo coditios of costat tempeatue of wall ad costat flow of heat, ad coditios of lamia ad tubulet daiig, cosideig the geometic coditios i cicula ad o-cicula ducts. his wok pesets modificatios i existig coelatios aleady, as fo heat tasfe i cicula ducts with costat tempeatue of wall ad temically developed, ad heat tasfe i o-cicula ducts with costat tempeatue of wall ad temically i developmet, ad tasfeece of heat i o-cicula ducts with costat flow of heat ad temically i developmet, modificatios poposals i this wok pesets a good pefomace compaed with expeimetal data ad olde coelatios. hough the compaiso betwee the coelatios peseted fo costat flow tasfe of heat ad temically developed i cicula ducts, with the expeimetal data, oe demostates that fo this i case that the depedece is exclusive of a oly paamete, that is the idex of behavio of the daiig. he aalysis of the coelatios fo tempeatue of costat wall ad temically i developmet, with the expeimetal data, demostates the impotace of takig i cosideatio the cosistecy idex of the fluid. he heat tasfe i o-cicula ducts, exactly beig depedet of two dimesios, pesets simple coelatios ad the appoaches of coelatios of cicula ducts, had also peseted good esults. he coelatios that foesee the behavio of the tasfeece of heat i tubulet egime ae depedets of the geealized Padlt ad eyolds umbe, defied fo o-newtoia fluids, howeve its defiitio is abitay ad vaies each autho i accodace with.

7 SIMBOLOGIA a a, a a * A A p b b * C p C o D D h Gz Gz m h k K L h L t Pe P P a P eff P g P q q etada-axial q etada-adial q p-adial q saída-axial metade da lagua do duto coeficietes do pefil de velocidade que depedem da geometia do duto costate geomética paa duto etagula vaiação de tempeatua com a distacia áea de tasfeêcia de calo da paede metade da altua do duto costate geomética paa duto etagula calo específico costate diâmeto diâmeto hidáulico úmeo de Gaetz úmeo de Gaetz baseado a vazão mássica coeficiete de tasfeêcia de calo codutividade témica ídice de cosistêcia do fluido compimeto da etada hidodiâmica compimeto da etada témico ídice de compotameto do escoameto úmeo de Peclet úmeo de Padlt úmeo de Padlt apaete úmeo de Padlt efetivo úmeo de Padlt geealizado úmeo de Padlt itoduzido po MEZNE fluxo témico fluxo témico a etada a posição axial fluxo témico de calo a etada a posição adial fluxo témico a paede a posição adial fluxo témico de calo a saída a posição axial

8 q saída-adial q total e e a e eff e g e e * o c p ū u o u c u max x th z Z * α α z γ p,av φ σ τ ο τ fluxo témico de calo a saída a posição adial taxa de fluxo de calo total posição adial aio do tubo úmeo de eyolds úmeo de eyolds apaete úmeo de eyolds efetivo úmeo de eyolds geealizado úmeo de eyolds itoduzido po MEZNE úmeo de eyolds geealizado po KOZICKI tempeatua tempeatua de etada tempeatua o ceto do duto tempeatua a paede tempeatua média do escoameto velocidade média da mistua velocidade de etada velocidade o ceto do duto velocidade máxima distâcia témica axial adimesioal posição axial coodeada adimesioal peiféica difusividade témica azão apaete espessua paa uma distacia adial do ceto vaiação do compimeto do tubo gadiete médio de velocidade etagula ou cicula a paede do duto pefil de velocidade adimesioal distâcia adimesioal a pati da paede tesão iicial de cisalhameto paa o plástico de Bigham tesão de cisalhameto

9 Θ tempeatua adimesioal µ viscosidade diâmica η viscosidade apaete ρ desidade p gadiete de pessão

10 . INODUÇÃO.... FLUIDOS NÃO-NEWONIANOS.... Lei da potêcia...4. Escoameto lamia Pefil temicamete em desevolvimeto Pefil temicamete desevolvido...6. Gupos adimesioais...6. FLUXO DE CALO CONSANE...8. egime lamia temicamete desevolvido Coelação de GIGULL Coelação de BID Coelação de MIZUSHINA..... Coelação de DAA...5. egime lamia temicamete em desevolvimeto Coelação de MASUSHISA-BID Coelação de MIZUSHINA Coelação de CHUCHILL-USAGI Coelação de CHUCHILL-OZOE Coelação de BASSE - WELY Coelação de BID.... Compaação ete as coelações....4 Discussão dos esultados EMPEAUA DE PAEDE CONSANE egime lamia temicamete desevolvido Coelação de BID Modificação de KAYS egime lamia temicamete em desevolvimeto Coelação de PIGFOD Coelação de BID Coelação de JOSHI- BEGLES Compaação ete as coelações Discussão dos esultados ANSFEÊNCIA DE CALO EM DUOS NÃO-CICULAES Codições limites Gupos adimesioais e soluções geealizadas Pefil de velocidade Fatoes de Coeção egime lamia e temicamete desevolvido egime lamia e temicamete em desevolvimeto Modificação de BID Compaação ete as coelações Discussão dos esultados ANSFEÊNCIA DE CALO EM EGIME UBULENO Fato de atito Fluxo de calo costate a paede e temicamete em desevolvimeto Coelação de MEZNE-FIEND Coelação de CLAPP Coelação de YOO Coelação de HANE e AO Compaação ete as coelações Discussão dos esultados CONCLUSÕES E SUGESÕES PAA ABALHOS FUUOS Coclusões Sugestões paa tabalhos futuos EFEÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS...6

11 Itodução. INODUÇÃO O estudo da tasfeêcia de calo em fluidos ão-ewtoiaos em dutos ciculaes e ão ciculaes tem como sua picipal aplicação, sistemas de toca témica. Fluidos como molho de tomate, leite codesado, soluções de açúca, puê de baaa, etc. são ão-ewtoiaos. A tasfeêcia de calo em fluidos ãoewtoiaos gealmete é aalisado, atavés de equações empíicas elacioadas com gupos adimesioais. Uma otável caacteística de muitos fluidos ão-ewtoiaos é que suas popiedades eológicas são muito sesíveis à tempeatua e à tasfeêcia de calo; po exemplo em um tubo aquecido, a viscosidade vaia fotemete com a posição axial. A diâmica de fluidos em tasfeêcia de calo em egime lamia ou tubuleto atavés de dutos ão ciculaes é de gade iteesse po causa de sua ampla aplicação, a obteção de tocadoes de calo mais compactos. A aálise hidodiâmica e de tasfeêcia de calo em dutos ão-ciculaes é gealmete mais complicado, que o caso de dutos ciculaes. Po exemplo, a detemiação do fato de atito e a tasfeêcia de calo totalmete desevolvida em dutos ão ciculaes eque uma aalise bidimesioal em cotaste com a uidimesioal dos dutos ciculaes (HANE, 989). O desevolvimeto de equipametos que evolvam tasfeêcia de calo em fluidos ão-ewtoiaos é de eome impotâcia, e sua eficiêcia depede acima de tudo da cofiaça das equações que explicam a tasfeêcia de calo (LUNA, 987). O objetivo geal do pesete tabalho é apeseta das coelações existetes a liteatua e também popo modificações em algumas coelações paa tasfeêcia de calo em dutos ciculaes e ão-ciculaes paa fluidos ãoewtoiaos, como também a compaação das divesas coelações e detemia suas faixas de uso, paa uma melho oietação o desevolvimeto de pojetos de toca témicas. Este tabalho é uma tetativa de compila coelações de fluidos ão-ewtoiaos, compaado com dados expeimetais da liteatua paa codições témicas, tempeatua de paede costate e fluxo de calo costate, e

12 Itodução codições de fluxo, lamia e tubuleto, como codições geométicas, dutos ciculaes e ão-ciculaes, sempe que possível. Há uma escassez de dados os livos textos. Existe pouca pecisão a apesetação das coelações.

13 Fluidos ão-ewtoiaos. FLUIDOS NÃO-NEWONIANOS A teoia clássica tata da mecâica dos fluidos e da tasfeêcia de calo em líquidos ewtoiaos. A expessão que elacioa a tesão de cisalhameto e a taxa de defomação paa fluidos ewtoiaos, apeseta um compotameto liea, e pode se epesetada da seguite foma du τ µ dy (.) ode a costate de popocioalidade µ é deomiada viscosidade diâmica ou, mais simplesmete, viscosidade do fluido. Ifelizmete, o compotameto da maioia dos líquidos usados as idústias químicas e de alimetos ão é descito adequadamete po este modelo. A maioia dos líquidos eais exibem o compotameto ão-ewtoiao, o que sigifica dize que a tesão de cisalhameto ão é lieamete popocioal ao gadiete de velocidade. MEZNE(965) apeseta uma classificação dos fluidos em tês gupos:. líquidos puamete viscosos. líquidos viscoelásticos. fluidos com µ depedete do tempo A elação ete a tesão de cisalhameto e a taxa de defomação em um fluido eal é pate da ciêcia eológica. A Figua. demosta algus exemplos do compotameto eológico dos fluidos. Um compotameto simples é mostado a cuva A, uma liha eta passado pela oigem. Fluidos que seguem este compotameto liea são deomiados ewtoiaos. Gases e muitos líquidos simples são fluidos ewtoiaos. As outas cuvas mostadas a Figua. epesetam o compotameto eológico dos líquidos deomiados ãoewtoiaos. Algus líquidos, apesetam uma esistêcia, até a etada em movimeto, de uma tesão de cisalhameto deomiada τ, alcaçado assim um fluxo liea com a taxa de defomação. A cuva B é um exemplo desta elação. Líquidos epesetados po este compotameto são deomiados plásticos de Bigham. A cuva C epeseta os pseudoplásticos; a cuva passa pela oigem, e apeseta uma foma côvexa paa baixas tesões, e toa-se póxima de uma eta em gades tesões. A cuva D epeseta o fluido dilatate. A cuva é côcava

14 Fluidos ão-ewtoiaos 4 paa baixo em baixas tesões e possui uma foma liea em gades tesões (McCABE, 99). τ Plástico de Bigham Pseudoplástico Newtoiao B C A Dilatate D τ du/dy Figua. - esão de cisalhameto po gadiete de velocidade. Lei da potêcia Fluidos ão-ewtoiaos podem se epesetados po uma equação simples du τ K dy (.) a equação., desevolvida po OSWALD-DE WAELE, atualmete cohecido como lei de potêcia, que é um modelo de dois paâmetos, K é chamado de ídice de cosistêcia do fluido e ídice de compotameto do escoameto. O modelo da lei de potêcia é mais fequetemete usado a mecâica dos fluidos e a tasfeêcia de calo em fluidos ão-ewtoiaos. Isto tem sido bem compovado em pedições paa um gade úmeo de pseudoplásticos e fluidos dilatates (KAKAÇ, 987). No caso do plástico de Bigham du τ µ dy τ (.)

15 Fluidos ão-ewtoiaos 5 a equação. é fequetemete empegado paa fluidos que exibem uma tesão iicial τ.. Escoameto lamia Quado um fluido escoa sobe a supefície de um copo sólido, a distibuição de velocidade e de tempeatua a vizihaça da supefície ifluêcia fotemete a tasfeêcia de calo. A etada de um fluido em um duto apeseta difeetes situações, mostadas a segui... Pefil temicamete em desevolvimeto Cosidee o escoameto de um fluido deto de um duto, como esta ilustado a Figua.. A tasfeêcia de calo paa o fluido começa após uma seção isotémica acalmate, a qual há uma seção isotémica paa pemiti o desevolvimeto da velocidade ates de o fluido peeta a zoa de tasfeêcia de calo. Nos fluidos que tem um úmeo de Padtl alto, como os óleos, o compimeto da etada hidodiâmica é muito pequeo em compaação com o compimeto da etada témica (ÖZIŞIK, 99). Secção isotémica Secção de tasfeêcia de calo u L h L t Figua. egime lamia temicamete em desevolvimeto L h Compimeto da etada hidodiâmica L t Compimeto da etada témica u velocidade de etada do fluido tempeatua de etada do fluido

16 Fluidos ão-ewtoiaos 6.. Pefil temicamete desevolvido Quado a tasfeêcia de calo se iicia imediatamete após a etada de um fluido em um duto, como está a Figua., tato a camada limite hidodiâmica como a camada limite témica começam a se desevolve imediatamete, e estas cicustâcias, a tasfeêcia de calo ete o fluido e as paedes, é muito mais elaboada, pois a distibuição de velocidades vaia a dieção axial e também a omal a essa dieção (ÖZIŞIK, 99). Secção de tasfeêcia de calo u L h L t Figua. egime lamia temicamete desevolvido. Gupos adimesioais Os gupos adimesioais são muito usados paa detemiação de tasfeêcia de calo em dutos. Os gupos adimesioais são abitaiamete defiidos po divesos Autoes, um exemplo disso é a vaiação de úmeos de eyolds ecotados a liteatua. As elações adimesioais abaixo são usadas paa dutos ciculaes ode tem-se ū velocidade média de mistua ρ - desidade c p capacidade caloifica D h Diâmeto hidáulico η - viscosidade apaete. Númeo de eyolds ρud e h (.4) η

17 Fluidos ão-ewtoiaos 7. Númeo de eyolds geealizado u Dh eg ρ (.5) K. Númeo de eyolds efetivo e 4. Númeo de eyolds apaete eff 8 e 4 g (.6) a 8 eg (.7) e 4 6. Númeo de eyolds itoduzido po MEZNE (959) ρu Dh e' (.8) K8 5. Númeo de Padlt ηc p P (.9) k 6. Númeo de Padlt geealizado Kc p u Pg k D h (.) 7. Númeo de Padlt efetivo Kc p 8u Peff k D h 8. Númeo de Padlt apaete 4 (.) P a Kc p 8u k D (.) h 4 9. Númeo de Padlt itoduzido po MEZNE (959) Kc p 8u P' k D (.) h A equação.5 é fequetemete ecotada paa escoameto sobe supefícies como placas e cilidos. A equação.4 é defiida paa caso de fluidos ewtoiaos.

18 Fluxo de calo costate 8. FLUXO DE CALO CONSANE. egime lamia temicamete desevolvido.. Coelação de GIGULL GIGULL(956) patiu da equação dada paa tasfeêcia de calo em egime desevolvido lamia um tubo com fluxo costate de calo: tempeatua α - difusividade témica u α z (.) Como codição de cotoo toma-se a fluxo témico costate, o tubo ode o fluido se desloca duate todo o aquecimeto. Deste modo esta codição equivale a uma lieaização da tempeatua de pocesso, cosideado um logo tempo em um compimeto z do tubo: z posição axial ( ) Az (.) d A - vaiação de tempeatua com a distâcia dz Assim sedo A se toa uma costate a equação., deste modo toa-se esta uma difeecial pacial odiáia com uma solução possível, ode se toa um fato idepedete de z, etão é uma tempeatua ifeio à média a coete de fluido que deve se cosideada também. A equação de velocidade é dada po: K u ( ) p (.) ( ) A velocidade máxima é dada o ceto do tubo (), etão: aio do tubo - posição adial p gadiete de pessão u K ( ) max p (.4)

19 Fluxo de calo costate 9 O pefil de velocidade pleamete desevolvido paa fluidos ão-ewtoiaos pode se: u( ) umax (.5) Substituido a equação. a equação. é possível chega a uma elação paa a distibuição adial da tempeatua que é demostada tomado a cosideação de uma tempeatua de etada fixa equato o eixo uma tempeatua fiita pevalece, deste modo: u ( ) ( ) max A 4 4 ( ) (.6) 4α É possível atavés das equação. e.6, e utilizado as pópias difeeças cetais dos valoes de tempeatua calculados a dieção da codutividade témica, detemia uma tempeatua média de mistua usado a seguite equação: π ( )u( )ρc π ρc u p p d (.7) O umeo de Nusselt pode se cosideado: d d Nu (.8) Calculado o úmeo de Nusselt cosideado um logo tempo escolhido. Etão a expessão de Nusselt fica da seguite foma: ( ) Nu 4 ( ) 5 5 ( ) 4 (.9).. Coelação de BID A equação de balaço paa tasfeêcia de calo é dada po BID (959) k ρ c p u( z ) (.) z com váias gadezas evolvidas o balaço de eegia em um duto cicula aquecido. É peciso pimeiamete defii as gadezas adimesioais como:

20 Fluxo de calo costate Etão a equação é Θ q k u max (.) u( ) φ (.) ξ (.) z ζ (.4) ρc pumax Pe (.5) k Θ Θ Pe φ ξ (.7) ζ ξ ξ ξ Com as seguites codições de cotoo ξ : Θ Fiito (.8) Θ ξ : ξ (.9) ou π πzq ρc ( ) uddθ p (.) ζ Θφξ dξ (.) Pe A ultima codição de cotoo é um balaço de eegia sobe a tubulação, estabelecedo que a difeeça ete a etada de calo seja de até z. Etão fazedo agoa o seguite apoximação Θ ( ξ, ζ ) Cζ Ψ ( ξ ) (.) Po meio do uso de uma costate C a expessão de balaço equação. assim eogaizado a equação difeecial em fução de Ψ(ξ) d dψ ξ C Peφ ξ dξ dξ (.)

21 Fluxo de calo costate Sedo que φ ξ s ; deste modo após duas itegações seguidas em elação a ξ esulta: s Ψ CPe ξ ξ C lξ C (.4) 4 (s ) Atavés das codições de cotoo, as costates podem se detemiadas: C (.5) s C (.6) Pe s po C (s ) 8 (.7) 4(s )(s )(s 5 ) Assim sedo fialmete a distibuição de tempeatua adimesioal é dada Θ s ζ s ξ s Pe s s 4ξ (s ) (s ) 8 (s ) (s 5 ) (.8) Com o auxilio da equação.8 de distibuição de tempeatua, usado também a equação de úmeo de Nusselt dado po GIGULL (956): q Nu α (.9) k k p Nu (.) Θ Θ p 8(s )(s )(s 5 ) Nu (.) s s 4s Sedo que s/, tem-se 8(5 )( ) Nu (.)

22 Fluxo de calo costate.. Coelação de MIZUSHINA Na codição de fluxo de calo costate a paede, o gadiete de tempeatua a dieção do escoameto, em qualque poto do fluido, é costate e igual ao gadiete axial da tempeatua média do fluído (KAYS, 955). Isto é, (, z ) d costate (.) z dz Este esultado implica em que, com o fluxo de calo costate a paede, a tempeatua média do escoameto (z), a egião temicamete desevolvida, cesce lieamete com a distâcia z ao logo do tubo. Na egião hidodiamicamete desevolvida, a equação de eegia, o escoameto lamia de um fluido icompessível, deto de um tubo cicula, com dissipação viscosa da eegia despezível, é dada po: u( ) α z z (.4) Quado a equação. fo itoduzida a equação.4, o temo / z se aula paa / z costate, e se obtém a seguite equação difeecial odiáia paa (): d ( z) u( ) α dz A tempeatua adimesioal e dada po p tempeatua a paede d d d d (.5) (,z) p( z ) Θ ( ) (.6) ( z ) ( z ) Esta equação esceve-se em temos da tempeatua adimesioal Θ(), defiida pela equação.5, como p d dθ ( ( z ) ( z )) d ( z) u( ) p (.7) α dz d d Ode o pefil de velocidades pleamete desevolvido paa fluidos ewtoiaos u() é dado po u ( ) umax (.8) A equação.7 e a equação.8 são combiadas e escitas como

23 Fluxo de calo costate d dθ A d d Ode a costate A é defiida po max [ ( z ) ( z) ] dz em < < (.9) u d ( z ) A costate (.4) α p As codições de cotoo paa equação.9 são dθ em (.4) d Θ em (.4) A pimeia codição de cotoo afima que Θ é simética em too do eixo do tubo, e a seguda esulta da defiição de Θ dada pela equação.6, pois Θ deve se zeo as paedes. A equação.9 é semelhate a equação de codução de calo estacioáio, em coodeadas cilídicas, e pode se itegada facilmete, sujeita às codições de cotoo, paa da: 4 Θ ( ) A (.4) A costate descohecida A que apaece esta equação pode se detemiada empegado-se a defiição de tempeatua média global do fluido. De acodo com a defiição da tempeatua média global do fluído, dada po u( ) Θ( )πd (.44) Θ umaxπ Combiado as equações.4 e.6 a equação.44 Θ A (.45) 96 Cosideado que Θ é igual a, etão 96 A (.46) Itoduzido este esultado de A a equação Θ ( ) (.47) 6 6 4

24 Fluxo de calo costate 4 A equação.47 é o pefil de tempeatua adimesioal, a covecção foçada, em um tubo cicula, a egião hidodiâmica e temicamete desevolvida, com a codição de cotoo de fluxo de calo costate a paede. Dado o pefil de tempeatua o fluido, o coeficiete de tasfeêcia de calo h é obtido dietamete de sua defiição k - codutividade témica Etão eaajado a foma de Nusselt dθ h k d (.48) 48 k h (.49) D hd Nu 4,64 (.5) k A sugestão de MISHUSHINA (967) é aplica um fato de coeção de LEVEQUE e PIGFOD (citados em CAIG e CHISIANSEN, 96) que leve em cosideação o ídice de compotameto de escoameto, paa melho detemia a tasfeêcia de calo em egime pleamete desevolvido em fluidos ãoewtoiaos Nu Nu ão ewtoiao ewtoiao fato (.5) Nu fato Nu 4 Etão, usado o fato de coeção a equação.5 tem-se (.5) Nu 4,64 4,64 (.5) 4 JOSHI e BEGLES (98b) idicam que paa, a, o eo obtido paa a equação.5 e de mais ou meos,%.

25 Fluxo de calo costate 5.. Coelação de DAA É a coelação mais ecete aida ão discutida a liteatua. DAA (999) desevolveu esta coelação aalítica paa sistemas de aquecimeto de alimetos em dutos ciculaes. Atavés de um pequeo tubo de compimeto z e espessua paa uma distacia adial do ceto de balaço de calo pode se expesso como: adial saída axial saída adial etada axial etada total q q q q q (.54) ou z k c u z P π ρ π z k c u z z P π ρ π (.55) A equação.55 ficaa do seguite modo ( ) ka q adial como aumeta com. k x c u x x x P ρ (.56) eaajado k z c u P ρ (.57) ou u z α (.58) Isto foi demostado po PASAD (987) que z é idepedete de paa um tocado de calo, excluido as egiões as egiões de etada e saída. Similamete, α pode se cosideado costate paa uma egião fiita de toca de calo. A velocidade lamia u pode se expessa paa fluidos ão-ewtoiaos como: c u u (.59) u c velocidade o ceto do duto

26 Fluxo de calo costate 6 A equação.58 pode se escita como c u z u x α α eaajado c B u z α c B l B 4 u z α (.6) Desde que seja fiito paa, B. Daí, c c 4 u z α (.6) e ( ) c c p 4 u z α (.6) c tempeatua o ceto do duto A tempeatua média de mistua de um tubo pode se obtida usado a seguite expessão (HOLMAN, 986): P P d uc d uc π ρ π ρ eogaizado ud ud (.6)

27 Fluxo de calo costate 7 d 4 u z u ud c c α d 4 u z c c α ( ) c c c 8 5 u z u α, (.64) u d u ud c c (.65) Substituido as expessões das equações.64 e.65 a equação.6 temse ( ) c c p 8 z u 5 α (.64) A toca de calo a paede, pode se escita p p p p ka ) ( ha q (.65) Nu p (.66) Etão ( ) ( ) c p z u α (.67) logo z u z u c c α α (.68) Combiado as equações.68 e.67 com a equação.66 tem-se

28 Fluxo de calo costate 8 Nu 4 ( ) 5 8 (.69). egime lamia temicamete em desevolvimeto.. Coelação de MASUSHISA-BID MASUSHISA e BID (965) desevolveam paa aquecimeto uifome de fluidos ão-ewtoiaos, a seguite solução aalítica ode o úmeo de Gaetz, é uma solução clássica da covecção lamia foçada, deto de um tubo cicula π D Gz ep (.7) 4 z Nu,4 Gz (.7) 4 BASSE e WELY (975) usaam esta coelação de MASUSHISA e BID paa seus expeimetos, e obtiveam um eo míimo quadático de até ± 8%... Coelação de MIZUSHINA MIZUSHINA(967) coduziu estudos expeimetais com fluidos ãoewtoiaos cosideado a egião temicamete em desevolvimeto. Os dados foam compaados com a seguite solução aalítica poposta pelo mesmo Nu,4 Gz (.7) 4 Esta coelação só é válida paa Gz>.

29 Fluxo de calo costate 9.. Coelação de CHUCHILL-USAGI Na fomulação das equações paa tasfeêcia de calo em dutos ciculaes, as seguites hipóteses foam admitidas: i. O fluxo é costate e assimético. ii. A codução axial é despezada. iii. As popiedades dos fluidos como K e ρ são depedetes da tempeatua, equato k, C p e são idepedetes da tempeatua. A equação de balaço de eegia é dado po u ρ u( z )c p ρu( )c p k η (.7) z As codições de cotoo paa este poblema são: Paa o pefil de velocidade u(z) u c Paa o pefil de tempeatua (.74) k q p (.75) p c A pati de todas estas ifomações CHUCHILL e USAGI (97) chegaam à seguite coelação Nu 4,6 4 π,76 Gz 6 6 (.76) Segudo JOSHI e BEGLES(98a) esta coelação paa,75 a,5 e Gz<785,4, apesetou um eo quadático de a %...4 Coelação de CHUCHILL-OZOE CHUCHILL e OZOE (97) desevolveam a seguite coelação aalítica paa fluxo lamia com covecção foçada paa placas ou tubos. Nu 4,6 4 π,8 Gz, 8 8 (.77)

30 Fluxo de calo costate..5 Coelação de BASSE - WELY BASSE e WELY (975) utilizaam como fluido uma solução de polióxido vaiado,6,,446 e,757, obtiveam a seguite coelação atavés de dados expeimetais ajustado a equação à melho cuva; (.78) 4 Nu,85Gz, (.79)..6 Coelação de BID BID (977) popôs uma solução paa tasfeêcia de calo com tempeatua costate em egime lamia e temicamete em desevolvimeto em dutos ciculaes. O balaço de eegia é dado pela seguite apoximação paa poblemas de tasfeêcia de calo em dutos ciculaes: s ρ cpumax k z (.8) z Cosideado o limite de z tês apoximações foam sugeidas: i. Os efeitos de cuvatua são um poblema igoado, cosideado assim a paede plaa; a distâcia a pati da paede seá cosideada como y-. ii. O fluido é cosideado um pologameto da supefície de tasfeêcia de calo, de y até y. iii. Um pefil de velocidade liea é admitido, como uma icliação cohecida detemiada atavés do gadiete de velocidade a paede. Cosequetemete, a pati das cosideações acima pode-se obte uma apoximação paa velocidade em fução de y uy u( y ) (.8) e u u (s ) u(s ) (.8) max Etão a equação.8 de balaço pode se escita como u y z α y (.8)

31 Fluxo de calo costate Codições de cotoo podem se sugeidas a pati de que, seja um temo fixo paa o fluxo de calo, isto facilita o tabalho atavés de uma equação difeecial q y -k(/y), obtedo a pati da divisão da equação.8 pela equação difeecial uma ova equação difeecial em elação a y que elacioa fluxo témico q y q y u α (.84) z y y y As elações adimesioais que facilitam a esolução q y ψ (.85) q y σ (.86) αz ζ (.87) u s (.88) Logo, a equação de balaço de eegia pode se descita a seguite foma adimesioal: são: ψ ψ (.89) ζ σ σ σ As codições de cotoo adimesioais paa a esolução da equação.89 ζ ψ (.9) σ ψ (.9) σ ψ (.9) Este poblema pode se esolvido usado o método de combiação de vaiáveis. Um postulado que ψ ψ(χ), ode a ova vaiável idepedete χ é: σ χ (.9) 9ζ Etão teemos a seguite equação difeecial d ψ dψ χ (χ ) (.94) dχ dχ Cohecedo as codições ψ() e ψ( ), a solução é:

32 Fluxo de calo costate χ χ χ χ χ χ χ Γ χ χ χ χ ψ d e d e d e (.95) O pefil de tempeatua pode se obtido pela seguite itegação dy q k d y y (.96) E sua foma adimesioal pode se dada po ( ) k q, ζ σ Θ (.97) ( ) χ χ ψ ζ ζ σ Θ d 9, (.98) ( ) χ χ χ χ χ χ Γ ζ ζ σ Θ d e e 9, (.99) Deste modo tem-se que o úmeo de Nusselt é ) (, ) ( y q k Nu ζ Θ (.) Substituido a equação.99 a equação. tem-se )u (s z 9 Nu α Γ Gz 4, Nu (.). Compaação ete as coelações CHO e HANE (98) ealizaam esaios expeimetais com soluções de ácido poliacilico (cabopol) um fluido puamete viscoso e com óxido de polietileo (polióxido) e poliacilamida (sepaa) que epesetam as soluções com compotameto viscoelástico, tedo como codição, fluxo uifome de calo. Os coeficietes de tasfeêcia de calo paa estas soluções de polímeos foam

33 Fluxo de calo costate medidos atavés de um sistema de dutos ciculaes com o diâmeto iteo de,98cm e,cm. As popiedades eológicas dos fluidos como os ídices e K, que são ecessáios paa detemiação dos úmeos de eyolds e Padtl, foam obtidos atavés das medidas em viscosímeto de tubo capila. O úmeo de Nusselt paa as soluções de cabopol, polióxido e sepaa são calculados como uma fução do úmeo de Gaetz. Os esultados foam paa úmeo de Gaetz meoes que, pois este é o limite teóico paa tasfeêcia de calo em fluxo lamia totalmete desevolvido. Os dados expeimetais foam extaídos do tabalho de CHO e HANE (98). Assim sedo, fazedo a compaação dos dados expeimetais com as coelações descitas este tabalho, temos as tabelas e as figuas abaixo. Nu(Exp) Dados expeimetais Nu () Coelação de BID - equação. Nu () Coelação de MIZUSHINA equação.5 Nu () Coelação de DAA equação.69 Nu (4) Coelação de GIGULL equação.9 abela. Compaação ete os dados expeimetais com as coelações paa fluxo lamia totalmete desevolvido, Cabopol,7, e a 4,6 e P a. Gz Nu (Exp) Nu () Nu () Nu() Nu (4),5-4,66 4,5 4,48 4,5 4,4 abela. Compaação ete os dados expeimetais com as coelações paa fluxo lamia totalmete desevolvido, Polióxido,764, e a 47,7 e P a 74,. Gz Nu (Exp) Nu () Nu () Nu() Nu (4) 4,5-4,59 4,49 4,47 4,49 4,6 abela. Compaação ete os dados expeimetais com as coelações paa fluxo lamia totalmete desevolvido, Sepaa,787, e a e P a 4,. Gz Nu (Exp) Nu () Nu () Nu() Nu (4),8-4,67 4,48 4,46 4,48 4,7 ambém foam obtidos dados a egião ode se tem um egime témico em desevolvimeto.

34 Fluxo de calo costate 4 9 Cabopol -,7 Nu Expeimetal Eq..7 Eq..7 Eq..79 Eq..76 Eq..77 Eq Gz Figua. - Compaação ete os dados expeimetais com as coelações paa fluxo lamia temicamete em desevolvimeto com fluxo de calo costate e Gz vaiado de 5 a, e a 4,6 e P a. Nu 8,5 8, 7,5 7, 6,5 6, 5,5 Expeimetal Eq..7 Eq..7 Eq..79 Eq..76 Eq..77 Eq.. Polioxido -,764 5, 4,5 4, Gz Figua. - Compaação ete os dados expeimetais com as coelações paa fluxo lamia temicamete em desevolvimeto com fluxo de calo costate e Gz vaiado de 5 a, e a 47 e P a 74,.

35 Fluxo de calo costate 5 9 Sepaa -,787 Nu Expeimetal Eq..7 Eq..7 Eq..79 Eq..76 Eq..77 Eq Gz Figua. - Compaação ete os dados expeimetais com as coelações paa fluxo lamia temicamete em desevolvimeto com fluxo de calo costate e Gz vaiado de 5 a, e a e P a 4,. 5,5 Cabopol -,7 Nu,5,5 9,5 Expeimetal Eq..7 Eq..7 Eq..79 Eq..76 Eq..77 Eq.. 7,5 5, Gz Figua.4 - Compaação ete os dados expeimetais com as coelações paa fluxo lamia temicamete em desevolvimeto com fluxo de calo costate e Gz vaiado de a 4, e a 4,6 e P a.

36 Fluxo de calo costate 6,5 Polioxido -,764 Nu 9,5 8,5 Expeimetal Eq..7 Eq..7 Eq..79 Eq..76 Eq..77 Eq.. 7,5 6,5 5, Gz Figua.5 - Compaação ete os dados expeimetais com as coelações paa fluxo lamia temicamete em desevolvimeto com fluxo de calo costate e Gz vaiado de a, e a 47 e P a 74,. 5,5 Sepaa -,787 Nu,5,5 9,5 Expeimetal Eq..7 Eq..7 Eq..79 Eq..76 Eq..77 Eq.. 7,5 5, Gz Figua.6 - Compaação ete os dados expeimetais com as coelações paa fluxo lamia temicamete em desevolvimeto com fluxo de calo costate e Gz vaiado de a 5, e a e P a 4,. BASSE e WELY (975) obtiveam dados expeimetais paa fluxo lamia foçado em um duto cicula com fluxo de calo costate. Paa ealiza este objetivo,

37 Fluxo de calo costate 7 os polímeos caboxi metil celulose sódica (CMC) e óxido de polietileo (polióxido) foam usados em vaias cocetações, pepaado soluções aquosas e obtedo uma séie de pseudoplásticos. As popiedades eológicas foam detemiadas usado um viscosímeto otacioal. As figuas abaixo apesetam estes dados. CMC 5,4% -,675 4 Nu Expeimetal Eq..7 Eq..7 Eq..79 Eq..76 Eq..77 Eq Gz Figua.7 - Compaação ete os dados expeimetais com as coelações paa fluxo lamia temicamete em desevolvimeto com fluxo de calo costate, tedo uma vazão mássica de,7kg/s e diâmeto iteo de,68cm. 4 CMC 5,4% -,595 Nu Expeimetal Eq..7 Eq..7 Eq..79 Eq..76 Eq..77 Eq Figua.8 - Compaação ete os dados expeimetais com as coelações paa fluxo lamia temicamete em desevolvimeto com fluxo de calo costate, tedo uma vazão mássica de,679kg/s e diâmeto iteo de,84cm. Gz

38 Fluxo de calo costate 8 Polióxido,4% -,6 45,5 9,,5 6, 9,5 Expeimetal Eq..7 Eq..7 Eq..79 Eq..76 Eq..77 Eq.. Nu, 6, Gz Figua.9 - Compaação ete os dados expeimetais com as coelações paa fluxo lamia temicamete em desevolvimeto com fluxo de calo costate, tedo uma vazão mássica de,5kg/s e diâmeto iteo de,68cm. 4 6 Polióxido,4% -,446 4 Nu 8 Expeimetal Eq..7 Eq..7 Eq..79 Eq..76 Eq..77 Eq Gz Figua. - Compaação ete os dados expeimetais com as coelações paa fluxo lamia temicamete em desevolvimeto com fluxo de calo costate, tedo uma vazão mássica de,84kg/s e diâmeto iteo de,84cm

39 Fluxo de calo costate 9.4 Discussão dos esultados Atavés das abelas.,. e. que são especificas paa tasfeêcia de calo em fluxo lamia totalmete desevolvido foi possível detemia os eos médios quadáticos. abela.4 Compaação ete as coelações e os dados expeimetais com úmeo de Gaetz vaiado de a. Coelação Eo médio quadático DAA eq..69,% 4,% BID eq..,% 4,% MIZUSHINA eq..5,5% 4,5% GIGULL eq..9 7,%,% A aalise feita paa tasfeêcia de calo em egime lamia e temicamete em desevolvimeto, foi feita atavés da Figua. a.. abela.5 Compaação ete as coelações e os dados expeimetais com úmeo de Gaetz vaiado de 5 a. Coelação Eo médio quadático BID-MASUSHISA eq..7,% % MIZUSHINA eq..7,4% % BASSE-WELY eq..79 9,9% 4,4% CHUCHILL-USAGI eq..76,8% 6,% BID eq.. 5,75%,88% CHUCHILL-OZOE eq..77,6% 8,% abela.6 Compaação ete as coelações e os dados expeimetais com úmeo de Gaetz vaiado de a 5. Coelação Eo médio quadático BID-MASUSHISA eq..7 4,87% 4,% MIZUSHINA eq..7 4,85%,75% BASSE-WELY eq..79,% 6,% CHUCHILL-USAGI eq..76 4,7% 4,5% BID eq.. 4,5% 7,7% CHUCHILL-OZOE eq..77,75%,%

40 Fluxo de calo costate abela.7 Compaação ete as coelações e os dados expeimetais com úmeo de Gaetz acima de 4. Coelação Eo médio quadático BID-MASUSHISA eq..7 7,5%,5% MIZUSHINA eq..7 7,6%,6% BASSE-WELY eq..79 8,9%,4% CHUCHILL-USAGI eq..76 7,5%,56% BID eq.. 4,6% 4,59% CHUCHILL-OZOE eq..77,% 4,% A coelação de GIGULL apeseta o maio eo devido a se a úica coelação paa tasfeêcia de calo em egime lamia e temicamete desevolvido que apeseta um pefil de tempeatua liea. As equações apesetam um bom desempeho mesmo só depededo de, o ídice de compotameto do escoameto. Fica demostado atavés das abelas.6 e.7 que quato maio fo o valo de Gaetz maio seá o eo obtido. No itevalo de úmeo de Gaetz de 5 a as melhoes coelações foam BID-MASUSHISA e MIZUSHINA, o itevalo de a 5, BID foi a melho e acima de 4 foam BID-MASUSHISA, MIZUSHINA e BASSE-WELY. As coelações de BID-MASUSHISA, MIZUSHINA e BID apesetam uma foma muito paecida ode o temo de Gaetz é elevado a um teço, equato as de CHUCHILL-USAGI e CHUCHILL-OZOE já apesetam uma ova foma de calcula os valoes de Nusselt o úmeo de Gaetz apaece coigido ão apeas po um teço, a coelação de BASSE WELY é uma apoximação de dados expeimetais. Atavés das abelas.5,.6 e.7, foi possível obseva que paa a coelação de BID-MASUSHISA o eo ficou póximo do descito po BASSE WELY que é um eo míimo quadático de até ± 8%, mas isto só e valido paa úmeo de Gaetz ifeio a 4. A coelação de CHUCHILL e USAGI (97) o itevalo do úmeo de Gaetz 5 a apeseta um eo póximo ao descito po JOSHI e BEGLES(98a), mas paa Gaetz acima o eo fica foa desta faixa, pois a equação apeseta a vedade é uma modificação da equação de MIZUSHINA paa egime lamia temicamete desevolvido.

41 Fluxo de calo costate Etão a pati das tabelas de compaação é possível detemia uma faixa de ação paa as melhoes coelações. Nu DAA BID BID- MASUSHISA MIZUSHINA CHUCHILL-OZOE BID 4 Gz BID-MASUSHISA MIZUSHINA BASSE-WELY CHUCHILL-USAGI Figua. Faixa de uso das coelações paa tasfeêcia de calo paa fluidos ão-ewtoiaos em dutos ciculaes

42 empeatua de paede costate 4. EMPEAUA DE PAEDE CONSANE 4. egime lamia temicamete desevolvido 4.. Coelação de BID A apoximação feita po BID (977) paa poblemas de tasfeêcia de calo em dutos ciculaes pode se dada pela seguite equação de balaço de eegia: s ρ cpumax k z z (4.) Assumido as seguites codições: fiito (4.) (4.) z - (4.4) z (4.5) Quado se tem um valo de elevado, uma apoximação paa codução adial pode se feita, e a velocidade axial pode-se detemiada como velocidade média de mistua u z, e como vaiação de tempeatua Itoduzido as seguites fomas dimesioais Θ (4.6) ξ (4.7) αz ζ (4.8) u ρc pu Pe (4.9) k s (4.) s ( ) s φ ξ (4.) s X s ξ (4.) s B β (4.) s

43 empeatua de paede costate Pode empega também um pefil de velocidade dimesioal como sedo: s ( ) φ ( ξ ) u s Q s ξ π (4.4) Etão a equação de balaço de eegia pode se descita a seguite foma dimesioal: Θ Θ Θ φ ( ξ) ξ (4.5) ζ ξ ξ ξ Pe ζ Como o úmeo de Peclet paa fluidos ão-ewtoiaos é auto, pois eles apesetam uma baixa codutividade témica, etão o temo devido a codução axial pode se igoado. Logo Θ Θ φ( ξ ) ξ (4.6) ζ ξ ξ ξ Aplicado o método de sepaação de vaiáveis: Θ ( ξ, ζ ) X( ξ )Z( ζ ) (4.7) E iseido este temo a equação difeecial 4.6. Dividido também po XZ: dz d dx ξ (4.8) Z dζ φxξ dξ dξ Ambos lados da equação são costates, que podem se deotados como -β. Daí tem-se duas equações difeeciais: dz β Z (4.9) dζ d dx ξ β φx (4.) ξ dξ dξ A seguda codição de cotoo é dada po: X () (4.) X () (4.) A equação X estabelece uma autofuções X i coespodete paa estabelece autovaloes β i. A solução completa deve se etão uma combiação liea do poduto fomado a equação 4.7: i β ζ i Θ ( ξ, ζ ) A X ( ξ ) e (4.) i i

44 empeatua de paede costate 4 Paa detemia o temo A i é ecessáio que Θ e ζ. Após o uso da codição em que ζ a equação 4., multiplica-se ambos os lados po X i (ξ)φ(ξ)ξdξ e itega-se de ξ a ξ. Etão, quado a fução poduz um fato X i (ξ) otogoais ete ξ e ξ a elação ifluêcia a fução φ(ξ)ξ pode se obtido fialmete: i i i d X d X A ξ φξ ξ φξ (4.4) As equação 4. e 4. costituem uma soluções fomais paa o poblema. No caso da equação do úmeo de Nusselt, pode se dada paa este caso como Θ ξ Θ ξ p ) k( k k h Nu (4.5) No, qual p e Θ ( )/ ( c ). A pati da equação 4. pode se detemiado () X A e i ' í i ζ β ξ ξ Θ (4.6) i i i d ) ( )X ( A e d ), ( ) ( d ) ( d ), ( ) ( ξ ξ ξ ξ φ ξ ξ ζ ξ Θ ξ φ ξ ξ ξ φ ξ ξ ζ ξ Θ ξ φ Θ ζ β ξ ξ ξ ξ β ζ β d d dx d d A e i i i i () X' e A d dx A e i i i i i i i i ζ β ζ β β ξ ξ β (4.7) Atavés das equações 4.6 e 4.7 o úmeo de Nusselt pode se descito como

45 empeatua de paede costate 5 β ζ A i ie X' i () i Nu (4.8) A β i ζ e i X' i () β i i A expessão do úmeo de Nusselt é válida paa todos os valoes de z. Etetato, a fim de usa este esultado, todos os autovaloes e autofuções devem se cohecidos. Paa valoes gades de z (ou ζ) a equação 4. pode se simplificada cosideavelmete, visto que somete o pimeio temo de cada somatóia é ecessáio: lim Nu β (4.9) ζ De acodo com este esultado ecessita-se calcula somete os pimeios autovaloes paa o poblema de valo de limite a equação 4.. Paa a solução deste poblema pode-se utiliza o pocedimeto desevolvido po HILDEBAND(96). d dy p( x ) ( x )y dx dx λ (4.) A detemiação de λ que pode se obtido devido à seguite apoximação b ( x )f ( x )y ( x )dx ( ) a λ b (4.) ( x ) dx a [ f ( x )] Deve-se detemia X(ξ), a equação 4. deve se eaajada d dx ξ ( ξ B dξ dξ Itegado a equação acima tem-se s s s )( ξ s 4 ) ξ (4.) ξ dx ξ ξ ξ C (4.) B dξ s s 4 Aplicado a codição de cotoo X () C (4.4) Logo

46 empeatua de paede costate 6 ξ dx ξ B dξ Itegado ovamete X B ξ 4 s ξ s s ξ (s ) s 4 ξ s 4 s 4 ξ (s 4 ) C (4.5) (4.6) Aplicado a seguite codição de cotoo X(), etão Substituido B e C a equação 4.6 C (4.7) 4 (s ) (s 4 ) X s s 4 s ξ ξ ξ β (4.8) s 4 (s ) (s 4 ) 4 (s ) (s 4 ) Cohecedo X(ξ), e possível aplica a solução de HILDEBAND (96) β s ξ( ξ s ξ( ξ s ) ( s 4 (s ) s ) ( s 4 (s ) (s 4 ) (s 4 ) ξ 4 ξ 4 s ξ (s ) s ξ (s ) esolvedo a equação ateio, tem-se o úmeo de Nusselt Nu β AB C D s A 6( 5s )(5 s )(7 s )(4 s )(s ) s 4 ξ )dξ (s 4 ) s 4 ξ ) dξ (s 4 ) (4.9) B (s 4 55s s 755s 67 ) C s s 764s 54465s 854s Sedo que s/. D 564s s s 4.. Modificação de KAYS Segudo KAYS (966) a egião hidodiâmica e temicamete desevolvida, pode se esolvida paa codição de tempeatua costate. Paa tempeatua costate a supefície o gadiete da tempeatua a iteface é c z dc dz (4.4)

47 empeatua de paede costate 7 E a taxa de desevolvimeto de tempeatua em elação a z é c z c d dz (4.4) No escoameto hidodiamicamete desevolvido, a equação de balaço eegia, o escoameto lamia de um fluido icompessível, deto de um tubo cicula, com dissipação viscosa da eegia despezível, é dada como: u( ) (4.4) α z z Aplicado as codições descitas as equações (4.4) e (4.4), cosideado também que pode se cosideado a codução elativa adial um fato de pouca impotâcia / z, tem-se a seguite foma difeecial u( ) c d ( z ) d d (4.4) α c dz d d Aplicado as seguites codições de cotoo c paa (4.44) d paa d (4.45) Um camiho paa esolve esta equação é o usa o método de sucessivas apoximações. Como uma pimeia apoximação deve-se peviamete deiva o pefil de tempeatua de uma solução de taxa costate de calo e substitui po ( c -)/ ( c - ). Visto que assim a solução é um poliômio em, a equação pode se logo itegada em elação a paa poduzi um ovo pefil de tempeatua. O ovo pefil é substituído de volta, e itegado ovamete e assim tem se outo pefil. Paa cada pefil uma tempeatua média de mistua pode se estimada pela itegação, e etão um valo do úmeo de Nusselt pode se estimado. O pocesso e epetido até que o valo do úmeo de Nusselt apoxime-se a um limite. Paa este caso é Nu,658 (4.46) Etão usado o fato de coeção já descito a equação.5 tem-se Nu,658,658 (4.47) 4

48 empeatua de paede costate 8 4. egime lamia temicamete em desevolvimeto 4.. Coelação de PIGFOD Se as popiedades k e C p são costates, se a eegia témica geada o fluido é sem impotâcia, e se a eegia de codução de calo e o fluxo do fluido são limitados as dieções axial e adial, espectivamete, etão a equação que desceve a tasfeêcia de calo paa escoameto de fluidos em estado estacioáio lamia em um tubo cicula é k ρ (4.48) z u c p A equação 4.48 é admissível paa esolução se as velocidades e as desidades são cohecidas ou se são detemiados as fuções adiais. Assumido que a desidade do fluido idepede do aio do tubo, desta maeia a solução deve se obtida em fução do úmeo de Gaetz paa um pefil paabólico de velocidade. A solução da equação 4.48 é obtida assumido uma tasfeêcia de calo cotolada em uma camada lamia póxima à paede do tubo e que a distibuição desevolvida pela velocidade seja liea esta camada. Estas estimativas foam usadas po LEVEQUE apud CHISIANSEN e CAIG (96) paa obteção de soluções paa isotemas de fluidos ewtoiaos e PIGFOD apud CHISIANSEN e CAIG(96) obteve uma solução paa isotemas de fluidos ão-ewtoiaos. LEVEQUE(98) Nu, 75Gz (4.49) PIGFOD(95) Nu, 75 Gz (4.5) 4 Segudo MEZNE(957) paa um itevalo do úmeo de Gaetz de a e vaiado de,8 a,7, o eo médio é de,5%. CHISIANSEN e CAIG (96) usaam a coelação de PIGFOD, e assim obtiveam esultados satisfatóios paa úmeo de Gaetz maio que e >,. LEVEQUE, M. A. Am. Mies,, p. -, 98. PIGFOD,. L. Noisothemal flow ad heat tasfe iside vetical tubes. Chem. Eg. Pog. Symp., seie 7,. 5, p , 955.

49 empeatua de paede costate 9 MEZNE(965) popôs a seguite coeção levado em cosideação o ídice de cosistêcia do fluido K, e o ídice de cosistêcia que sofe ação da paede do duto K p,4 K Nu, 75 Gz (4.5) 4 K p 4.. Coelação de BID BID (987) popôs a seguite solução paa tasfeêcia de calo com tempeatua costate em egime lamia e temicamete em desevolvimeto em dutos ciculaes. O balaço de eegia é dado pela seguite apoximação paa poblemas de tasfeecia de calo em dutos ciculaes: s ρ cpumax k z z (4.5) Assumido as seguites codições: fiito (4.5) (4.54) z - (4.55) z (4.56) Paa um valo de gade, uma apoximação da codução adial escala pode se feita, com a velocidade axial pode-se detemia a velocidade média de mistua u, e c c como vaiação de tempeatua Itoduzido as seguites fomas dimesioais Θ (4.57) c ξ (4.58) αz ζ (4.59) u ρc pu Pe (4.6) k s (4.6)

50 empeatua de paede costate 4 s ( ) s φ ξ (4.6) s Etão a equação de balaço de eegia pode se descita a seguite foma dimesioal: Θ Θ Θ φ( ξ ) ξ ζ ξ ξ ξ Pe (4.6) ζ Paa gades úmeos de Pe típico de polímeos, po causa de sua baixa codutividade témica, o temo de codução axial pode se egligeciado, e uma codição de cotoo a dieção z pode se excluída. As dimesões das codições de cotoo paa a esolução da equação 4.64 são: ζ Θ (4.64) ξ Θ (4.65) ξ Θfiito (4.66) Paa o limite de z tês apoximações podem se sugeidas: i. Os efeitos de cuvatua são um poblema igoado, cosideado a paede plaa; a distâcia a pati da paede seá cosideada como y-. ii. O fluido é cosideado um pologameto da supefície de tasfeêcia de iii. calo, de y até y. Um pefil de velocidade liea é admitido, com uma icliação cohecida detemiada atavés do gadiete de velocidade a paede. Sedo que a distâcia adimesioal da paede pode se expessa como σ y/ - ξ, assim sedo as tês codições cotoo se toam: dφ dσ σ Θ σ ζ Θ σ (4.67) ζ Θ (4.68) σ Θ (4.69) σ Θ (4.7) Paa fluidos ão-ewtoiaos a solução de (dφ/dσ) σ é exatamete (s), a pati da equação 4.6. Devido a difícil solução é postulado uma solução a foma ΘΘ(χ), ode χ e uma ova vaiável, poveiete de uma combiação de vaiáveis idepedetes:

51 empeatua de paede costate 4 χ σ ζ 9 s Etão a equação difeecial pode se descita como d Θ χ dχ dθ dχ (4.7) (4.7) Como Θ() e Θ( ). A solução é Θ 4 Γ χ e χ dχ (4.7) Este é o pefil de tempeatua a foma adimesioal. Paa o cálculo de tasfeêcia de calo em tubos é coveiete tabalha com o temo de coeficiete de tasfeêcia de calo local h, defiida po q h ( ) p adial p (4.74) Na qual q p-adial é o fluxo de calo adial, p é a tempeatua de paede e é a tempeatua média de mistua, defiida po π π u(,z )ddθ uddθ (4.75) Usado os coeficiete adimesioal de tasfeêcia de calo, o úmeo de Nusselt, Nuh/k, é eaajado. Paa este poblema e p, deste modo o úmeo de Nusselt é q p Nu k( ) k k y ( y ) Θ (4.76) σ σ Etão a equação 4.7 é substituída a equação 4.76 e tem-se dθ Nu dχ χ 4 Γ s 9 σ ζ χ,8 4 Gz (4.77)

52 empeatua de paede costate Coelação de JOSHI- BEGLES A solução geada foi obtida umeicamete paa um tubo cicula po JOSHI e BEGLES (98b) e compaada com seus expeimetos com fluidos ãoewtoiaos que tem ídice vaiado de,. Na sua solução uméica, cosidea como uma costate.,4 ( (,44Gz ) ) Nu,66 (4.78) 4 4. Compaação ete as coelações Compaado gaficamete as equações paa tasfeêcia de calo em egime lamia temicamete desevolvido e tempeatua da paede costate, com os dados de BID (977) calculados computacioalmete obtem-se as cuvas da Figua 4.. 6,5 6, 5,5 Eq Eq. 4.9 BID 5, 4,5 Nu 4,,5,,9,,, Figua 4. Compaação ete as coelações apesetadas e os dados apesetados po BID. CHISIANSEN e CAIG (96) ealizaam expeimetos em dutos de cobe de,,5 e polegadas, com solução de % de sódio caboxi metil celulose (CMC) com igual a,67. Foam os pimeios a tabalha com a azão ete cosistêcia o meio e a paede (K/K w ), poposta po MEZNE (965). As coelações 4.77 e 4.78 também ecebeam o fato de coeção poposto po MEZNE (965) a Figua 4..,4,5,6,8,,7,9

53 empeatua de paede costate 4 5,5, 8,5 5,,5 8, Expeimetal Eq Eq Eq. 4.5 CMC % -,67 Nu 4,5, 7, Gz Figua 4. asfeêcia de calo em egime lamia e temicamete em desevolvimeto com tempeatua de paede costate. 5,5 CMC % -,67 9,5,5 7,5 Expeimetal Eq Eq Eq. 4.5 Nu,5 5, Figua 4. asfeêcia de calo em egime lamia e temicamete em desevolvimeto com tempeatua de paede costate, despezado o ídice de cosistêcia. 4.4 Discussão dos esultados Gz Atavés da Figua 4. é possível veifica o compotameto das coelações paa tasfeêcia de calo em egime lamia e tempeatua de paede costate e temicamete desevolvido. 5

54 empeatua de paede costate 44 abela 4.- Compaação ete as coelações e os dados calculados computacioalmete. Coelação Eo médio quadático Modificação de KAYS eq. 4.47,4% BID eq. 4.9,7% A tasfeêcia de calo em egime lamia e temicamete em desevolvimeto com tempeatua de paede costate, aalisada atavés da Figua 4. e 4.. abela 4. Compaação ete as coelações e os dados expeimetais da Figua 4.. Coelação Eo médio quadático PIGFOD-MEZNE eq. 4.5,% BID eq ,% JOSHI- BEGLES eq. 4.78,65% abela 4. - Compaação ete as coelações e os dados expeimetais da Figua 4.. Coelação Eo médio quadático PIGFOD eq. 4.5,5% BID eq ,% JOSHI- BEGLES eq ,6% Não é possível detemia com ceteza a melho coelação paa tasfeêcia de calo com tempeatua de paede costate em egime totalmete desevolvido, mesmo com os esultados da equação modificada de KAYS (966) apesetado um esultado melho que a de BID (987); há escassez de dados paa uma afimativa desta. Atavés das abelas 4. e 4., demosta-se a impotâcia de leva em cosideação o ídice de cosistêcia do fluido, as coelações de tasfeêcia de calo.

55 asfeêcia de calo em dutos ão-ciculaes ANSFEÊNCIA DE CALO EM DUOS NÃO-CICULAES As medições de taxa de tasfeêcia de calo ão são paticáveis paa fluxo de fluidos ão-ewtoiaos em dutos ão-ciculaes (MEZNE, 965). As caacteísticas geométicas dos dutos afetam difeetemete a tasfeêcia de calo em fluidos ão-ewtoiaos (HANE e KOSIC, 989). No caso de fluidos ão-ewtoiaos, as pedições teóicas edem desvios muito gades paa tasfeêcia de calo em codições de fluxo lamia muito baixas. É fato que a avaliação expeimetal das medidas de tasfeêcia de calo além de baixas pedições pode efleti uma iadequação em um modelo aalítico (HANE e KOSIC, 989). 5. Codições limites Há um úmeo ifiito de possibilidades de codições de cotoo témicas que descevem a tempeatua e o fluxo de calo. Estas podem impo limites paa fluxo de fluidos em dutos ão-ciculaes. A tasfeêcia de calo é fotemete depedete das codições de cotoo témicas em um egime de fluxo lamia emboa em gade pate depededo meos do egime de fluxo tubuleto, paticulamete paa fluidos com úmeo de Padtl muito gade. Deste modo estige-se a tês classes picipais as codições de cotoo témicas: i. empeatua costate imposta sobe os limites do fluido, deomiada agoa como codição. ii. Fluxo de calo axial costate, com tempeatua de paede local peiféica costate impodo um limite paa o fluido, e a codição H. iii. Fluxo de calo costate impodo axialmete e peifeicamete a ambos um limite paa o fluido, a codição H. 5. Gupos adimesioais e soluções geealizadas Soluções atavés de equações difeeciais poduzem poblemas a seem gealmete apesetado em temos de gupos adimesioais, o qual pode se detemiado atavés de atibuições as equações goveametais e às coespodetes codições de cotoo adimesioais. Os picipais gupos adimesioais paa foça de atito e tasfeêcia de calo paa fluidos ewtoiaos e ão-ewtoiaos são agoa dados.