ANÁLISE DINÂMICA BIDIMENSIONAL NÃO-LINEAR FÍSICA E GEOMÉTRICA DE TRELIÇAS DE AÇO E PÓRTICOS DE CONCRETO ARMADO

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1 ANÁISE DINÂMICA BIDIMENSIONA NÃO-INEAR FÍSICA E GEOMÉTRICA DE TREIÇAS DE AÇO E PÓRTICOS DE CONCRETO ARMADO Rogéio de Oliveia Rodigues & Wilso Segio Vetuii Resuo Este tabalho tata da aálise diâica bidiesioal de teliças de aço e póticos de coceto aado, ode estuda-se os efeitos da ão-lieaidade física desses ateiais e os efeitos da ão-lieaidade geoética de tais estutuas. Neste cotexto, defie-se a equação geal que desceve o copotaeto de estutuas discetizadas po eleetos fiitos, utilizado-se o Picípio dos Tabalhos Vituais paa estutuas e ovieto. Paa a itegação tepoal dessa equação, utiliza-se u étodo iplícito de itegação uéica, ode adota-se u pocesso peviso-coeto co auxílio das equações geealizadas de Newak. Na aálise da ão-lieaidade geoética, defie-se o capo de defoações atavés de ua fução quadática dos deslocaetos, que ocoe ao logo de cada eleeto fiito, sedo que paa teliças plaas cosidea-se todas as pacelas poveietes de tal elação e paa póticos plaos despeza-se os teos que coté podutos de pacelas de ode supeio. Paa desceve a posição de equilíbio do sistea estutual ao logo do pocesso de itegação uéica, utiliza-se a foulação agageaa atualizada que esulta a dedução das atizes de igidez iceetais secate e tagete. Co elação à ãolieaidade física do aço, elaboa-se ua odelage uéica atavés da utilização de u diagaa tesão x defoação biliea, destacado-se os odelos cieático, isotópico e idepedete. Já paa a ão-lieaidade física do coceto aado, elaboa-se ua odelage uéica atavés da utilização do odelo poposto pelo CEB, ode coige-se o valo do oeto de iécia e fução do gau de fissuação do eleeto. Esta odelage cotepla, tabé, o copotaeto paa caegaeto cíclico e sua ivesão. Paa fializa, apeseta-se exeplos uéicos co posteio aálises qualitativa e quatitativa dos esultados. Palavas-chave: Diâica estutual; copotaeto ão-liea. Douto e Egehaia de Estutuas - EESC-USP, o@dec.feis.uesp.b Pofesso do Depataeto de Egehaia de Estutuas da EESC-USP, vetui@sc.usp.b Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

2 6 Rogéio de Oliveia Rodigues & Wilso Segio Vetuii INTRODUÇÃO A aálise ealista do copotaeto estático e diâico de sisteas estutuais é, se dúvida, u dos picipais objetivos alejados pelo Egeheio de Estutuas as últias quato décadas. Co a disseiação da ifoática ocoida ao fial da década de oiteta, e picipalete e fução do aueto vetigioso da capacidade de aazeaeto, geeciaeto e pocessaeto de dados aduzido pelos coputadoes de pequeo pote, o Egeheio de Estutuas passa a te acesso a equipaetos e pogaas coputacioais que possibilita ua aálise estutual baseada e odelos ais efiados, popocioado u aueto da seguaça e diiuição de custos dos pojetos e das costuções. Atualete, e fução do avaço cietífico e tecológico, a ealização de aálises diâicas ão-lieaes se toa cada vez ais peete, tedo e vista a ecessidade de se siula, da foa ais ealista possível, o copotaeto estutual de edificações e equipaetos existetes, tais coo fudações apoticadas de áquias, potes odoviáias e feoviáias sujeitas à gades deslocaetos, edifícios altos subetidos à ação do veto e estutuas e geal sujeitas à vibações iduzidas po abalos sísicos. Neste cotexto, o pesete tabalho te po objetivo picipal aalisa o copotaeto diâico de teliças plaas de aço e póticos plaos de coceto aado, cosideado-se as ão-lieaidades física e geoética, atavés da ipleetação, de foa apioada, da foulação agageaa atualizada paa desceve a posição de equilíbio de tais estutuas. Paa a cosideação da ãolieaidade física dos ateiais, utiliza-se ua elação tesão x defoação biliea paa elaboa os odelos físicos cieático, isotópico e idepedete paa o aço e ua elação oeto x cuvatua poposta pelo CEB paa o coceto aado. EQUAÇÃO DO MOVIMENTO PARA UM SISTEMA ESTRUTURA DISCRETO A equação do equilíbio que govea a esposta diâica de u sistea estutual disceto pode se obtida utilizado-se o Picípio dos Tabalhos Vituais paa estutuas e ovieto, HENRYCH(99), atavés da aplicação de u deslocaeto vitual ifiitesial e cieaticaete copatível co o sistea aalisado. Relacioado-se os deslocaetos geéicos dos potos situados sobe o eixo de cada eleeto co os seus espectivos deslocaetos odais, atavés de fuções de foa apopiadas, associado-se a defoação logitudial co tais deslocaetos e utilizado-se o pocesso de expasão e acuulação paa todo o sistea estutual disceto, obté-se, fialete, a equação geal do ovieto dada pelo sistea de equações foecido pela equação (), ARGYRIS et al.(99). D+ D+ R M C F D F = E( t ) () Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

3 Aálise diâica bidiesioal ão-liea física e geoética de teliças de aço e póticos ode F são os esfoços exteos depedetes apeas do tepo; F são as foças E estauadoas depedetes dos deslocaetos globais D e da elação tesão x defoação; equato que M é a atiz de assas cosistete e C é a atiz de aotecieto do tipo Rayleigh. R 3 INTEGRAÇÃO DA EQUAÇÃO GERA DO MOVIMENTO Paa a itegação tepoal da equação () pode-se utiliza o étodo iplícito de Newak, ode a idéia básica do étodo é dada pela pevisão do valo das aceleações ao fial do itevalo de tepo que se deseja cohece. Co isso, aplicado-se as equações geealizadas de Newak, pode-se peve, tabé, o valo dos deslocaetos e das aceleações ao fial do eso itevalo de tepo. Na seqüêcia, utiliza-se u pocesso iteativo ode, ao fial de cada iteação, faz-se ua coeção os valoes dos deslocaetos e suas deivadas tepoais, e fução da últia esposta ecotada. Quado fo atigida ua deteiada toleâcia paa o esíduo das foças diâicas, assue-se que os últios valoes obtidos estão coetos e iicia-se ovaete o pocesso de itegação paa o póxio itevalo de tepo. Tal pocedieto é ilustado pela figua, ode pode-se visualiza de foa global todos os passos descitos ateioete. Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

4 64 Rogéio de Oliveia Rodigues & Wilso Segio Vetuii foece p / t = D e D D = M FE( ) C D FR D k = o passos ; = k ; t = t k = Dk = D+ γ t D+ γ t Dk k = + t + β t + t β k D D ; ( ) D D D D D R D = F ( t) M D C D F D k E k k R k M k ε E ( t ) R D F γ C β t + β t + F D Dk F R k D = R D k k V D D D = + ; k k k γ Dk = Dk + Dk β t ; D = D + D β t k k k Figua - Diagaa de blocos do étodo de Newak. 4 NÃO-INEARIDADE GEOMÉTRICA PARA TREIÇAS PANAS Dado u sistea estutual disceto e equilíbio estático, foado po u cojuto de eleetos cotidos o plao (X,Y), as foças estauadoas de tal sistea e suas espectivas deivadas são obtidas, espectivaete, atavés da pieia e seguda deivações da eegia de defoação e elação aos deslocaetos odais, cofoe osta as equações () e (3). FR D = U () D j FR D U = (3) Di Di Dj Neste tabalho, optou-se pela escolha da foulação agageaa atualizada paa desceve a posição de equilíbio do sistea estutual ao logo do pocesso de esolução uéica. Tal foulação pecoiza que ao fial de cada iceeto de Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

5 Aálise diâica bidiesioal ão-liea física e geoética de teliças de aço e póticos caegaeto deva se feita ua atualização das coodeadas do sistea, atavés de ua sucessão de posições de equilíbio cofoe ilusta a figua, peitido-se que o eso veha a te gades deslocaetos. Iceeto y, x, u v B O θ Iceeto O y, v x, u B A Cof. equilíbio = A B A θ O y, v x, u Cof. equilíbio = A B A B Cof. equilíbio Figua - Atualização de coodeadas paa u eleeto geéico. Dessa foa, a eegia de defoação de cada eleeto, cosideado-se o poblea coo sedo iceetal, é dada pela equação (4). Ue= E + ( ) d V Ve ε (4) e x ode + ε x é a defoação total do eleeto ocoida até a cofiguação de equilíbio +. Expessado-se a vaiação da defoação que ocoe duate o iceeto, te-se que: ε = + x ε x ε (5) x ode ε x é a defoação total do eleeto ocoida até a cofiguação de equilíbio. Substituido-se a equação (5) a equação (4) e efetuado-se as opeações ateáticas, obté-se: e ( U = E x + x x+ x ) d V Ve e ε ε ε ε (6) Coo ε x ão depede dos deslocaetos ocoidos duate o iceeto, qualque deivação e elação à esses deslocaetos se aula. Paa iceetos suficieteete pequeos vale as siplificações ipostas pela adoção de pequeas otações, co isso pode-se eesceve a expessão da eegia de defoação e fução das pacelas que cotibue a igidez, CORRÊA(99), coo osta a equação (7): Ue = E x dve x E x d V ε + ε Ve e V ε (7) e ode a pieia pacela foeceá o acéscio de eegia ocoido duate cada iceeto e a seguda pacela foeceá a eegia acuulada até a cofiguação de equilíbio, valedo a elação =+. Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

6 66 Rogéio de Oliveia Rodigues & Wilso Segio Vetuii Co o objetivo de ilusta tal pocedieto, apeseta-se a dedução das atizes de igidez paa u eleeto de baa siples, cujo capo de defoações é foecido pela equação (8). ε = x u u u u + Substituido-se a equação (8) e (7) e efetuado-se o desevolvieto ateático da esa, obté-se a eegia de defoação de cada eleeto e fução da soa de cico pacelas. Substituido-se o esultado a equação (), deivado-se cada ua das pacelas obtidas e elação aos deslocaetos odais após a itegação das esas e ogaizado-se o esultado a foa aticial, obté-se a equação de equilíbio do sistea dada po: 3 3 E A E A 3 3 E A (9) N u N f E u + = + N Dessa foa, a atiz de igidez secate de cada eleeto fica defiida pela equação (), sedo que cada pacela coespode aos teos que apaece ete as duas pieias chaves da equação (9). ks= k+ k+ k+ kg () 3 De foa aáloga, a atiz de igidez tagete é dada pela seguite equação: kt= k+ k+ k + kg () sedo que k, k, k e k G são as esas atizes dadas e (9), ou seja: 3 3 E A E A 3 3 E A N k T = () Cové essalta que este pocedieto a soa ete as atizes de igidez elástica k e geoética k G peaece costate duate todas as iteações ecessáias paa a obteção do equilíbio, visto que as esas só depede de paâetos elativos à cofiguação de equilíbio ateio. Já as atizes de igidez iceetais são atualizadas a cada iteação pelos acéscios de deslocaetos que ocoe duate a aplicação do iceeto de caegaeto, cofoe ilusta a figua 3. Cabe essalta que este ecaiso tabé é válido paa o cálculo da atiz de igidez secate. (8) Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

7 Aálise diâica bidiesioal ão-liea física e geoética de teliças de aço e póticos * KT= K+ KG= K Iteação * T= + K K K Iteação u iceetais y, v B x, u A θ Cof. equilíbio Cof. iteediáia A θ B θ u v v y, v Iceeto A B x, u Cof. equilíbio Figua 3 - Atualização da atiz de igidez tagete paa u eleeto geéico. Efetuado-se o eso pocedieto paa o eleeto de teliça plaa, te-se que o capo de defoações é dado pela equação (3). v' u' ε x = u' + + (3), ode u u ( ) u' = = ; v'= θ =...(4) Substituido-se a equação (3) a equação (7) e poovedo-se o desevolvieto ateático da esa, obté-se a eegia de defoação de cada eleeto e fução da soa de ove pacelas. Deivado-se cada ua das pacelas obtidas e elação aos deslocaetos odais após a itegação das esas, substituido-se o esultado a equação () após a igualdade ete as foças estauadoas e as foças exteas e ogaizado-se o esultado a foa aticial, a atiz de igidez secate de cada eleeto fica defiida pela equação (5). ode S= SN+ G 3 k k k k k k v v (5) Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

8 68 Rogéio de Oliveia Rodigues & Wilso Segio Vetuii k k k E A = 3 θ 3 θ E A = θ θ 3 θ 3 θ θ θ θ 3 E A = θ θ θ θ E A = k SN θ θ N k G = θ θ θ θ θ θ θ θ θ...(6) De foa aáloga, a atiz de igidez tagete é dada pela seguite equação: kt= k+ k+ k + ktn+ kg (7) sedo que k, k, k e k G atiz k é dada po: TN k TN θ θ E A θ θ = θ θ θ θ θ são as esas atizes dadas e (6) e a Aalogaete paa o eleeto de pótico plao, te-se que o capo de defoações é dado pela equação (9). θ θ θ (8) Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

9 Aálise diâica bidiesioal ão-liea física e geoética de teliças de aço e póticos v' u' ε x = u' + y v + y u dx '' ' v '' (9), ode u u u' = = ; v ' = d + e x + 3f x ; v '' = e + 6 f x...(), sedo θ θ θ θ θ θ ( ) d = ; e = θ ; f = ; = θ...() Substituido-se a equação (9) a equação (7) e poovedo-se o desevolvieto ateático da esa, obté-se a eegia de defoação de cada eleeto e fução da soa de vite pacelas. Deivado-se cada ua das pacelas obtidas e elação aos deslocaetos odais após a itegação das esas, substituido-se o esultado a equação () após a igualdade ete as foças estauadoas e as foças exteas e ogaizado-se o esultado a foa aticial, a atiz de igidez secate de cada eleeto fica defiida pela equação (). ode S= SN+ SF+ G 3 k k k k k k k k EA = si. EA EI 6EI EI 6EI 3 3 4EI 6EI EI EA EI 6EI 3 4EI v v () k = E A E I si. si (3a) Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

10 7 Rogéio de Oliveia Rodigues & Wilso Segio Vetuii 3 = E A k 3 si k SN = E A si k SF E I = si G = N si. k (3b) sedo Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

11 Aálise diâica bidiesioal ão-liea física e geoética de teliças de aço e póticos... 7 = = θ + θ θ = 4 3 θ θ 3 θ = 4 θ + 4 θ 3 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ( ) = θ + 54 θ = = = = = θ θ + θ = θ θ + θ 3 3 = θ θ + θ ( ) θ θ θ θ θ θ θ = ( ) θ θ θ θ θ θ θ θ θ ( ) θ θ θ θ θ θ θ θ θ 8 ( θ θ θ ) θ θ θ θ θ θ ( ) θ θ θ θ θ θ θ θ θ 5 3 θ 4 = + 4 = + θ θ 3 θ θ θ...(4) De foa aáloga, a atiz de igidez tagete é dada pela seguite equação: kt= k+ k+ k + ktn+ ktf+ kg (5) sedo que k, k, k e k G são as esas atizes dadas e (3) e as atizes k TN e k TF são dadas po: 4 k TN = E A si Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

12 7 Rogéio de Oliveia Rodigues & Wilso Segio Vetuii k TF E I = si (6) 5 MODEO FÍSICO NÃO-INEAR PARA O AÇO Paa itoduzi a ão-lieaidade física a aálise de estutuas teliçadas de aço sujeitas à ações diâicas, faz-se ecessáio a ipleetação uéica de odelos co eduecieto liea paa caegaetos cíclicos, tais coo os odelos cieático, isotópico e idepedete, atavés do desevolvieto de equações ateáticas que siule o copotaeto estutual do aço e da ciação de u algoito coputacioal adequado que aazee toda a históia ateio da elação tesão x defoação dos eleetos estutuais. Paa o desevolvieto de tais equações adite-se que u eleeto seja solicitado po u acéscio de tesão σ, de tal foa que haja ua alteação o copotaeto estutual defiida pela passage do egie de tabalho elástico paa o egie de tabalho plástico. A figua 4 ilusta tal pocedieto atavés do gáfico tesão x defoação, ode a tesão atuate a iteação ultapassa a tesão de escoaeto σ y - da iteação ateio -. σ σ E A σ E R σ E E T (-R) σ E σ σ σ y - σ - O E ε - ε y - B C ε ε ε Figua 4 - Vaiação iceetal da tesão e defoação paa o caso uidiesioal. Da figua 4 obté-se dietaete as seguites elações: ε ε ε - σe E ε σe σ σ σ σ σ = (7) = (8) - = + (9) E - = + (3) Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

13 Aálise diâica bidiesioal ão-liea física e geoética de teliças de aço e póticos ode ε é a vaiação da defoação ocoida duate a iteação ; ε é a defoação fial da iteação ; ε - é a defoação fial da iteação - ; σ E é a vaiação da tesão elástica ocoida duate a iteação ; σ E é a tesão elástica fial da iteação ; σ - é a tesão fial da iteação - ; σ é a tesão fial da iteação ; σ é a vaiação da tesão ocoida duate a iteação. Calculado-se o valo de σ, te-se: ( ) ( ) σ σ σ σ σ = + y y (3) ou, siplesete, σ ( ) = σ σ - y + ( R) σ E (3) Aplicado-se a lei de Hooke a equação (3), obté-se: = - + RE (33) ( y ) E ( ) T σ ε ε ε Po seelhaça de tiâgulos, te-se: ou, siplesete, ε σ E = ε εy R σ - E ε ε = ε - y R (35) Substituido-se a equação (35) a equação (33), obté-se: σ = RE ε + ( R) E ε T (36) Potato, paa a obteção da tesão σ substitui-se a equação (36) a equação (3), esultado: σ = σ - + ( E E R+ E R) ε T (37) Calculado-se, agoa, a vaiação da defoação plástica ε P ocoida duate a iteação, te-se: = (38) ε ε ε P Aplicado-se a lei de Hooke a equação (38), obté-se: ε σ P = ε (39) E Substituido-se a equação (36) e (39) e eauado-se os teos, ecotase: P R E E ε T = ε (4) E Resta, agoa, defii o valo do fato de edução R, que é dado pela elação ete a eta A-B e a eta B-C da figua 4, logo: σ R AB E y = = (4) BC σe Na seqüêcia, destaca-se os dois casos paticulaes que pode ocoe e fução dos valoes da tesão fial σ - e do acéscio de tesão σ. O pieio caso paticula é ostado pela figua 5, ode a tesão σ ão ultapassou a tesão de escoaeto. σ E - (34) Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

14 74 Rogéio de Oliveia Rodigues & Wilso Segio Vetuii σ σ y - E T σ σ σ - O E ε - ε ε y - ε ε Figua 5 - Vaiação iceetal da tesão o egie elástico. Neste caso, a tesão "σ " é dada pela equação (4): σ σ ε - = +E (4) sedo que a vaiação da defoação plástica ε P é ula. Cabe essalta que fazedose R= e substituido-se as equações (37) e (4), ecota-se o eso esultado já obtido. O segudo caso paticula é ostado pela figua 6, ode a tesão σ - já ultapassou a tesão de escoaeto. σ σ σ σ - σ y - E T E ε O ε y - ε - ε Figua 6 - Vaiação iceetal da tesão o egie plástico. Neste caso, a tesão σ é dada po: - σ = σ + E T ε (43) Já a vaiação da defoação plástica ε P é dada pela equação(39), logo, calculado-se o valo de σ, te-se: σ = E T ε (44) Substituido-se a equação (44) e (39) e eauado-se os teos, obté-se: E E T εp = ε (45) E Aalogaete ao pieio caso, fazedo-se R= e substituido-se as equações (37) e (4), ecota-se as equações (43) e (45), espectivaete. ε Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

15 Aálise diâica bidiesioal ão-liea física e geoética de teliças de aço e póticos Ua vez equacioado todo o poblea e aditido-se que seja cohecidos o valo da tesão e o valo da defoação ao fial da iteação -, petede-se calcula o valo da tesão ao fial da iteação e, se houve, a espectiva vaiação da defoação plástica. Calculado-se iicialete o valo da defoação ao fial da iteação, obté-se a vaiação da defoação ocoida duate a iteação e o valo dos deais paâetos atavés das equações já descitas ateioete. Assi, co o valo de ε, pode-se obte o valo de σ e co isso calcula a foça oal atuate o eleeto e fução da sua defoação. A deteiação da vaiação da defoação plástica é ecessáia paa que se possa coigi o valo do ódulo de defoação logitudial o tascoe do pocesso iceetal, ua vez que paa vaiação ão ula utiliza-se o ódulo tagete. Neste cotexto, desevolveu-se ua otia de cálculo que é apesetada a figua 7 de aeia esqueática, ode é ostada a seqüêcia de cálculos a see executados paa a obteção dos paâetos já ecioados. Paa a utilização da otia de cálculo cotida a figua 7 deve-se, a iicialização do pocesso de cálculo, zea o valo de ε - e de σ - e, a seqüêcia, atibui à tesão de escoaeto áxia σ S - o valo de σ y e à tesão de escoaeto íia σ I - o valo de σ y co sial egativo. A pati deste poto, atavés da itodução do valo atualizado da defoação, calcula-se o valo de σ e de ε P paa o eleeto e questão e, paa fializa, poove-se a atualização da defoação. Deve-se leba que todos os valoes já ecioados são específicos paa cada u dos eleetos petecetes ao sistea estutual. Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

16 76 Rogéio de Oliveia Rodigues & Wilso Segio Vetuii ε ε ε σe = E ε σ = σ + σ = - E - E alogaeto V ε F ecutaeto σ σ σ σ F S V F I V σ σ σ σ - - R = F E S V F E I V R = σ σ - E S R = R = R = R = σe σ σ - E I σe ( E ER R) σ σ ε E = T paa alogaeto co R : paa ecutaeto co R : σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ S = I = I = S y p / ed. ci. S = I + y σ I = σ ax, I p / ed. id. σs = σ ax, S σ σ σ σ I = S p / ed. isot. S = I p / ed. ci. p / ed. id. p / ed. isot. ε P E = E ε E T ε - R = Figua 7 - Rotia de cálculo paa ão-lieaidade física do aço. Cabe essalta que esta otia é feita a sepaação do cálculo paa os casos de alogaeto e ecutaeto, tedo e vista a atualização das tesões de escoaeto coespodetes à cada odelo de eduecieto e à utilização coeta da equação que calcula o valo do fato de edução R. ε 6 MODEO FÍSICO NÃO-INEAR PARA O CONCRETO ARMADO O odelo poposto pelo CEB(985) cosiste o cálculo de ua cuvatua édia dada pela seguite equação: ( ) = + + ξ ξ (46) N ode / é a cuvatua édia paa flexão cobiada co foça axial; / é a cuvatua total o Estádio I a paa flexão siples; / é a cuvatua total o Estádio II Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

17 Aálise diâica bidiesioal ão-liea física e geoética de teliças de aço e póticos paa flexão siples; / N é a cuvatua devida ao efeito do oeto fleto causado pela foça oal atuado o ceto geoético da seção total o Estádio I a e ξ é o coeficiete de distibuição. Dessa foa, ua vez calculada a cuvatua édia, pode-se calcula o oeto de iécia édio I M atavés da seguite equação: I M = M E Aditido-se que seja cohecidos o valo da foça oal e o valo do oeto fleto que atua e u eleeto fiito qualque, be coo as suas caacteísticas geoéticas, calcula-se o ovo valo do oeto de iécia que seá utilizado o cálculo das foças estauadoas, e fução da fissuação do coceto que ocoe o eso, atavés do algoito ostado pela figua 8, sedo que tal algoito cotepla o pocesso de caegaeto e de descaegaeto. CM (47) CACUAR x, x, I, I, A CACUAR M, M, ξ V V M áx = F ξ = V F M>M áx F I=I Descaegaeto Descaegaeto CACUAR /, /, / N, / CACUAR I M I= I M Figua 8 - Diagaa de blocos paa o odelo físico do CEB. 7 ANÁISE NUMÉRICA 7. Exeplo T A estutua teliçada deste exeplo é coposta po apeas u eleeto biapoiado, solicitada po ua foça costate F co o tepo, cofoe ilusta a figua 9. Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

18 78 Rogéio de Oliveia Rodigues & Wilso Segio Vetuii F=, kn ω =4478,4793 ad/s A=, c E=, kn/c E T =, kn/c γ=7,7. -5 kn/c 3 σ ESC =5, kn/c Y X, c F Figua 9 - Teliça costituída po apeas u eleeto fiito. Efetuado-se ua aálise diâica atavés da cosideação da ão-lieaidade física do ateial, o copotaeto estutual é ilustado pelas figuas e. F ax =5, F (kn) F=5,35 t=.,5. -4 s 8 Figua - Gáfico tepo x foça do eleeto co t =,5. -4 s. D (c) D ax =,38 D=,89 t=.,5. -4 s 8 Figua - Gáfico tepo x deslocaeto do ó co t =,5. -4 s. A figua osta que o eleeto coeça a tabalha o egie elástico até atigi a tesão de escoaeto. Neste istate, tal eleeto passa a tabalha o egie Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

19 Aálise diâica bidiesioal ão-liea física e geoética de teliças de aço e póticos plástico pefeito, pois E T =, kn/c, até o iício do pocesso de descaegaeto. A pati deste poto, o eleeto volta a tabalha o egie elástico de foa peaete. A figua osta ua alteação do copotaeto da estutua após a plastificação, pois a esa ão cosegue etoa à sua posição de equilíbio iicial, ua vez que a defoação plástica acuulada duate o pocesso de plastificação do eleeto é ievesível. Cabe essalta que este esultado coicide co a esposta aalítica obtida po CASTIGIONI(978), ostado a eficácia do odelo ão-liea físico elaboado. 7. Exeplo T A estutua teliçada deste exeplo é coposta po dois eleetos, solicitada po ua foça costate F co o tepo, aplicada o ó de uião ete os eleetos, cofoe ilusta a figua. 7, c Y F F=3, kn ω =75,745 ad/s A=6,456 c E=684,7 kn/c E T =5, kn/c γ=7,7. -5 kn/c 3 σ ESC =4, kn/c X 3 9,97456 c Figua - Teliça costituída po dois eleetos fiitos. Efetuado-se ua aálise diâica atavés da cosideação das ão-lieaidade física e geoética, o copotaeto estutual é ilustado pelas figuas 3 e 4. F (kn) 9,97456 c F=484,7539 F=43,754 7 F=59,43 F=74,498 F=5,5697 t=.,. -4 s Figua 3 - Gáfico tepo x foça do eleeto. D=5,694 D=5,34 Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

20 8 Rogéio de Oliveia Rodigues & Wilso Segio Vetuii D (c) D=4,999 t=.,. -4 s 34 Figua 4 - Gáfico tepo x deslocaeto do ó. 8 6 Aalisado-se o gáfico tepo x foça da figua 3, pecebe-se que ocoeu a plastificação do ateial os itevalos de tepo =7 e =46, ua vez que houve ua alteação da cuva duate o caegaeto e o descaegaeto iicial. Na fase de caegaeto o ateial plastificou co ua vaiação de tesão igual ao valo da tesão de escoaeto, sedo que a fase de descaegaeto o ateial plastificou co ua vaiação de tesão igual ao dobo do valo da esa tesão. Isto ocoeu e vitude da utilização do odelo físico cieático, ilustado o efeito Bauschige de tal odelo a aálise estutual diâica. O gáfico tepo x deslocaeto da figua 4 tabé osta tal efeito, ua vez que a estutua ão cosegue etoa à sua posição iicial e, da esa foa, ão cosegue atigi o deslocaeto áxio que ocoeu o itevalo de tepo =34. Ua vez cessada as pedas po plastificação, o ateial volta a tabalha o egie elástico de foa peaete. 7.3 Exeplo T3 Este exeplo é coposto po ua teliça de bazos paalelos que epoduz a estutua da viga picipal de ua pote etálica, cujos apoios estão situados as exteidades do bazo ifeio, cofoe ilusta a figua 5, sedo as caacteísticas físicas e geoéticas de todos os eleetos dadas po: A=, c ; E=, kn/c ; E T =5, kn/c ; γ=7,7. -5 kn/c 3 ; σ ESC =4, kn/c. Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

21 Aálise diâica bidiesioal ão-liea física e geoética de teliças de aço e póticos Y X 6 9 3, c x,=8, c Figua 5 - Viga picipal de ua pote etálica teliçada. O caegaeto desta estutua é coposto po ua foça F co valo igual a, kn, poduzida po u apaelho hipotético que se ovieta ao logo do tabuleio que está situado o ível do bazo ifeio da pote. Coo o tabuleio é coposto po vigas siples que se apoia e tasvesias situadas os ós,, 3, 4 e 5, as foças aplicadas e cada u desses ós são dadas pelas espectivas eações de apoio de cada tasvesia, cujos valoes seão alteados a cada iceeto de tepo t, cofoe te-tipo ostado a figua 6. Movieto ealizado a cada iceeto de tepo, kn 4, kn 6, kn 4, kn, kn, c, c Figua 6 - Caegaeto da viga picipal da pote teliçada. Paa a ealização de ua aálise diâica co aotecieto, deve-se, iicialete, obte as feqüêcias atuais e os odos de vibação de tal estutua, sedo que a figua 7 apeseta os dois pieios odos de vibação co os espectivos valoes das feqüêcias atuais. Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

22 8 Rogéio de Oliveia Rodigues & Wilso Segio Vetuii ω =48,8398 ad/s ω =96,359 ad/s Figua 7 - Pieio e segudo odo de vibação da estutua. Co o valo calculado das duas pieias feqüêcias atuais do sistea estutual, pode-se obte as costates de aotecieto do tipo Rayleigh paa duas difeetes fações do aotecieto cítico, dadas pelas elações (48). 5 λk = 39,. s o p / ξ = ξ = o λ = 6, 48 s (48) 4 λk = 39,. s o p / ξ = ξ = o λ = 64, 8 s Estes valoes peite a ealização de ua aálise copleta do copotaeto estutual da pote, cofoe esultados apesetados a tabela. Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

23 Aálise diâica bidiesioal ão-liea física e geoética de teliças de aço e póticos Tabela - Deslocaetos áxios obtidos o ó 3, a dieção global Y, e c. DESOC.: NÓ 3 ξ i DIREÇÃO: Y GOBA ξ =ξ =% ξ =ξ =% ξ =ξ =% -,99] - - ANÁISE NG -,9 - - ESTÁTICA NF -6,6 - - DN -6, ,6857 +,94 +,749-3,64 -,9763 -, NG +3,6774 +,9377 +,74 ANÁISE -3,679 -,9943 -,35 DINÂMICA NF +,57 +,53 +,333-4,939-4,759-3,473 DN +,58 +,53 +,333-4,9354-4,789-3,486 Obs: - copotaeto liea; NG - copotaeto ão-liea geoético; NF - copotaeto ão-liea físico; DN - copotaeto duplaete ão-liea; Copaado-se os esultados obtidos via copotaeto liea e ão-liea geoético, pecebe-se que os deslocaetos áxios da aálise diâica são supeioes aos deslocaetos áxios da aálise estática. Já quado se itoduz o copotaeto ão-liea físico ocoe feôeo oposto ao ecioado ateioete. Eboa ão se teha u padão defiido, deve-se essalta que a aálise diâica te-se ivesão de deslocaetos, co coseqüete ivesão de esfoços os eleetos estutuais, logo, é idispesável este tipo de aálise e pobleas que teha o caegaeto vaiado co o tepo. Passado-se, agoa, paa a aálise dos esultados coo u todo, pecebe-se que o efeito a ão-lieaidade geoética é despezível e que o efeito da ão-lieaidade física é sigificativo, paa o poblea e questão. Coo ão se pode peve quado tais efeitos seja elevates, é ecessáio que se pocesse todas as alteativas de aálise, paa que se possa avalia o copotaeto da estutua de foa coeta. A tabela apeseta, tabé, os valoes dos deslocaetos áxios do ó 3 quado se cosidea as duas fações de aotecieto já descitas ateioete, co isso pecebe-se que quato aio foe os valoes das fações do aotecieto cítico, eo seão os deslocaetos obtidos. Paa visualiza tal efeito, a figua 8 ilusta o copotaeto da estutua cosideado-se dupla ão-lieaidade e taxa de aotecieto igual a ξ =ξ =%. Aalisado-se tal gáfico, pecebe-se que a taxa de aotecieto é be elevada, pois a estutua paticaete paa de se ovieta e u peíodo uito cuto de tepo. Fializado-se, deve-se essalta que o poto de estabilização da estutua se altea co o valo da taxa de aotecieto utilizada, pois co ξ =ξ =% obté-se d ESTÁVE =-,47 c e co ξ =ξ =% obté-se d ESTÁVE = -,37 c, ecotados via aálise diâica co copotaeto ão-liea. Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

24 84 Rogéio de Oliveia Rodigues & Wilso Segio Vetuii t=.,. -4 s 8 6 D ESTÁVE =,37 D (c) D=3,486 Figua 8 - Gáfico tepo x deslocaeto do ó Exeplo P Este exeplo é coposto po ua viga e balaço discetizada po dez eleetos solicitada po ua foça F aplicada a exteidade live, cofoe ilusta a figua 9. As caacteísticas físicas e geoéticas de todos os eleetos são dadas po: b=733,34849 c ; h=, c ; E C =, kn/c Efetuado-se ua aálise estática de tal foa que a foça seja aplicada iceetalete e 8 passos iguais, obté-se a esposta da estutua cofoe ilusta a figua. O gáfico cotido e tal figua osta a ifluêcia da ãolieaidade geoética o copotaeto da estutua, ua vez que o deslocaeto áxio obtido o ó é da esa ode de gadeza que o seu copieto. Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

25 Aálise diâica bidiesioal ão-liea física e geoética de teliças de aço e póticos F=, kn Y F X x5,4=54, c Figua 9 - Viga e balaço costituída po dez eleetos.,4448,8896,3344,779 F (kn). -3 D=78,474 D=3,4 D=78,445 D (c) D=6,5 Figua - Gáfico foça x deslocaeto do ó. Tal esposta coicide co os esultados obtidos po ORAN et al.(976) via foulação iceetal Euleiaa, copovado a eficácia do pocedieto iceetal adotado paa o eleeto de pótico plao. U fato ipotate deve se essaltado quado se copaa estes esultados co os obtidos via copotaeto liea, pois quado se ealiza este tipo de aálise Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

26 86 Rogéio de Oliveia Rodigues & Wilso Segio Vetuii ecota-se u valo de deslocaeto áxio (d =338,6667 c) uito aio que o valo ecotado (d NG =78,445 c). 7.5 Exeplo P A estutua apoticada deste exeplo é coposta po ua viga biegastada discetizada po seis eleetos fiitos, solicitada po ua foça costate F co o tepo, aplicada o ó cetal, sedo que este eso poto te-se u peso P fixo, cofoe ilusta a figua. As caacteísticas físicas e geoéticas de todos os eleetos são dadas po: b=,54 c ; h=,58 c ; γ=. -5 kn/c 3 ; E S =, kn/c ; E C =6894,757 kn/c F=,84686 kn P=7,4. -4 kn ω =69,56 ad/s Y F X 6 P 4 7 6x8,4667=5,8 c Figua - Viga biegastada discetizada po eleetos fiitos. Efetuado-se ua aálise diâica co ão-lieaidade geoética, obté-se a esposta da estutua cofoe ilusta a figua. t=.,5. -4 s Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

27 Aálise diâica bidiesioal ão-liea física e geoética de teliças de aço e póticos D=-,347 D (c) D=,538 Figua - Gáfico tepo x deslocaeto do ó 4. O gáfico tepo x deslocaeto cotido a figua osta o copotaeto de ua viga biegastada que possui u peso fixado o eio do vão, sedo que tal esultado é paticaete exato e pode se copovado atavés da cofotação co os esultados obtidos po ORAN et al.(976). Efetuado-se o eso tipo de copaação feita ao fial do exeplo 7.4, te-se que o deslocaeto obtido utilizado-se copotaeto liea (d =,383 c) é be aio que o valo obtido a aálise que foi ealizada (d N =,538 c), copovado, ais ua vez, a ecessidade de se efetua ua aálise ais ealista. 7.6 Exeplo P3 Este exeplo é coposto po u pótico biegastado de coceto aado, discetizado po doze eleetos fiitos, cofoe ilusta a figua 3, ode as caacteísticas físicas de todos os eleetos são dadas po: f CK =,6 kn/c ; f CTK =,68 kn/c ; E S =, kn/c ; E C =35, kn/c ; γ=,5. -5 kn/c 3. Seção tasvesal dos eleetos,5 c F , c φ6, 4x5,=, c φ6, 4x5,=, c,5 c Y 5, c X Figua 3 - Pótico siples biegastado discetizado po eleetos fiitos. 3 Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

28 88 Rogéio de Oliveia Rodigues & Wilso Segio Vetuii O caegaeto da estutua é coposto po ua úica foça cocetada F, ve figua 3, cujo ódulo cesce lieaete até t=,6s, diiui lieaete até t=,3s e peaece igual a zeo paa t>,3s. Efetuado-se ua aálise estática e diâica cosideado-se valoes distitos paa a foça aplicada, obté-se os esultados apesetados as tabelas, 3 e 4, ilustados pelas figuas 4 e 5. Tabela - Deslocaetos áxios obtidos o ó 5, a dieção global X, e c, paa t, s. DESOC.: NÓ 5 p (kn) DIREÇÃO: X p=8, p=6, p=4, GOBA ANÁISE +,377 +,754 +,3 ESTÁTICA DN +,3 +,656 +,9 +,539 +,78 +,67 ANÁISE -,347 -,694 -,4 DINÂMICA DN +,45 +,94 +,58 -,6 -,339 -,369 ANÁISE +,397 +,794 +,9 DINÂMICA -,8 -,6 -,43 COM DN +,33 +,67 +,79 AMORTEC. -,6 -,89 -,33 Obs: - copotaeto liea; DN - copotaeto duplaete ão-liea. Tabela 3 - Deslocaetos áxios obtidos o ó 5, a dieção global X, e c, paa t,3 s. DESOC.: NÓ 5 p (kn) DIREÇÃO: X GOBA p=8, p=6, p=4, +,346] +,693 +,4 (+,) (+,) (+,) ANÁISE -,347 -,694 -,4 DINÂMICA +,6] +,55 +,43 DN (+,) (+,5) (+,337) -,6 -,339 -,369 Obs: - copotaeto liea; DN - copotaeto duplaete ão-liea; ( o ) - valo édio do deslocaeto; Tabela 4 - Deslocaetos fiais obtidos o ó 5, a dieção global X, e c, paa t= s. DESOC.: NÓ 5 p (kn) DIREÇÃO: X GOBA p=8, p=6, p=4, ANÁISE +, +, +, DINÂMICA COM AMORTEC. DN +, +,3 +,55 Obs: - copotaeto liea; DN - copotaeto duplaete ão-liea. Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

29 Aálise diâica bidiesioal ão-liea física e geoética de teliças de aço e póticos Aalisado-se os esultados obtidos pelos tês tipos de aálise, cofoe osta a tabela, pecebe-se u aueto o valo dos deslocaetos quado se ealiza a aálise diâica se aotecieto e ua diiuição de tal valo quado se ealiza a esa aálise co aotecieto, caacteizado o efeito do aotecieto do tipo Rayleigh utilizado este tabalho. Já a copaação ete os esultados obtidos pelos dois tipos de copotaeto fica u pouco se efeito e fução de se te epegado valoes difeetes paa o oeto de iécia, pois paa copotaeto liea utiliza-se o oeto de iécia da seção buta e paa copotaeto ão-liea físico utiliza-se o oeto de iécia da seção hoogeeizada. Na cotiuidade da apesetação dos esultados, a tabela 3 osta os deslocaetos áxios do ó 5 obtidos após a etiada total do caegaeto exteo. Aalisado-se os dados cotidos e tal tabela, pecebe-se que os valoes édios ecotados via copotaeto liea são iguais a zeo, idicado que a estutua fica oscilado e too da sua posição de equilíbio iicial. Quado se cosidea dupla ão-lieaidade, pecebe-se que tal fato tabé ocoe paa p=8, kn, pois este caso ehu eleeto fissuou. Já o eso ão acotece paa p=6, kn e p=4, kn, pois devido à fissuação de algus eleetos de discetização a estutua fica oscilado e too de ua posição de equilíbio deslocada, cofoe ilusta a figua 4. O fato descito ateioete tabé pode se costatado quado se itoduz o aotecieto a esolução da estutua, cofoe esultados cotidos a tabela 4, pois este caso a estutua apeseta u deslocaeto fial difeete de zeo soete os casos e que ocoe a fissuação de algus desses eleetos. A figua 5 ilusta o copotaeto da estutua quado se efetua este tipo de aálise. Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

30 9 Rogéio de Oliveia Rodigues & Wilso Segio Vetuii D (c) D=,58 D=,43 D=-,369 D MÉDIO =,337 t=.,4. -3 s 8 6 Figua 4 - Gáfico tepo x deslocaeto do ó 5, se aotecieto, paa p=4, kn. Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

31 Aálise diâica bidiesioal ão-liea física e geoética de teliças de aço e póticos... 9 D (c) D=,79 D=,55 D=-,33 t=.,4. -3 s 8 6 Figua 5 - Gáfico tepo x deslocaeto do ó 5, co aotecieto, paa p=4, kn. 8 CONCUSÕES No pesete tabalho, pocuou-se ipleeta as ão-lieaidades física e geoética a aálise diâica de estutuas eticuladas plaas atavés da utilização de u pocedieto iceetal / iteativo. Ua vez estabelecida toda a teoia efeete ao assuto e questão, desevolve-se pogaas coputacioais que peite a ealização de váios tipos de aálise uéica, possibilitado a visualização do copotaeto estutual de tais sisteas de ua foa ais ealista. Neste cotexto, os pobleas que foa esolvidos o ite 7 ostaa, po exeplo, que os deslocaetos obtidos via copotaeto liea e sepe são eoes que os deslocaetos obtidos via copotaeto ão-liea e que as foças atuates os eleetos estutuais pode uda de setido quado se ealiza ua aálise diâica. Dessa foa, se a aálise estutual fo feita de foa iadvetida, os esultados obtidos pode coduzi o calculista de estutuas ao eo, pois o eso estaá pojetado outo tipo de estutua e ão aquela idealizada iicialete. Ua vez que fo feita a opção po ua aálise ais efiada, o calculista de estutuas deve esta habilitado a foece os dados da estutua de foa coeete e deve sabe itepeta os esultados obtidos de acodo co a teoia utilizada a aálise escolhida. Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

32 9 Rogéio de Oliveia Rodigues & Wilso Segio Vetuii A pieia dificuldade ecotada o foecieto de dados paa a ealização de ua aálise diâica ão-liea é dada pela escolha coveiete do valo do itevalo de tepo t, pois a seleção iadequada de tal valo podeá ocasioa pobleas de istabilidade uéica. Neste setido, o auto deste tabalho ecoeda que ua pieia avaliação seja feita toado-se u valo paa t cotido o seguite itevalo T/ t T/3. A seguda dificuldade ecotada está elacioada co o valo do iceeto de caegaeto que deve se aplicado o sistea estutual, pois a escolha de u valo uito gade podeá povoca a violação de alguas peissas evolvidas a elaboação da teoia, podedo-se cita, coo exeplo, as siplificações decoetes da adissão de pequeas otações paa o eleeto fiito. Paa isso, ecoeda-se a utilização de pequeos iceetos de caegaeto, que pode se obtidos atavés de sucessivas tetativas. Outo fato ipotate está elacioado co o valo escolhido paa a toleâcia do eo de cálculo ε, que é o fato esposável pela veificação do equilíbio do sistea, pois u valo uito elevado povoca ipecisão a esposta e u valo uito pequeo ão poduz o equilíbio alejado. Neste tabalho, o auto utilizou u valo paa tal toleâcia cotido o seguite itevalo. -6 ε. -3, se pejuízo a obteção dos esultados ecotados, essaltado-se que tais valoes são aioes que a pecisão uéica das vaiáveis epegadas os pogaas elaboados. Ua vez saada alguas dúvidas quato ao foecieto de dados da estutua, é fudaetal que o calculista se iteie da teoia evolvida a elaboação de pogaas coputacioais usuais, paa que o eso possa aalisa de foa coeta os esultados foecidos po tais pogaas. Neste setido, os exeplos cotidos o ite 7 pocuaa, a edida do possível, elacioa as espostas obtidas paa algus tipos de estutuas co os odelos físicos apesetados os ites ateioes. Cové salieta, que tais exeplos sevia, tabé, paa valida tais odelos e o pocedieto uéico que foi adotado este tabalho. 9 REFERÊNCIAS BIBIOGRÁFICAS ARGYRIS, J. H.; MEJNEK, H. P. (99). Dyaics of stuctues. Nethelads, Elsevie Sciece. v.5. CASTIGIONI, A. (978). Itoduzioe alla diaica delle stuttue: apputi pe le lezioi del coso di diaica delle costuzioi. Milao: Masso Italia Editoi. 373p. COMITÉ EURO-INTERNATIONA DU BÉTON. (985). Maual o cackig ad defoatios. Bulleti D Ifoatio, ausae..58-e. CORRÊA, M. R. S. (99). Apefeiçoaeto de odelos usualete epegados o pojeto de sisteas estutuais de edifícios. São Calos. Tese (Doutoado) - Escola de Egehaia de São Calos - Uivesidade de São Paulo. HENRYCH, J. (99). Fiite odels ad ethods of dyaics i stuctues. Czechoslovakia: Elsevie Sciece. 54p. Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

33 Aálise diâica bidiesioal ão-liea física e geoética de teliças de aço e póticos ORAN, C.; KASSIMAI, A. (976). age defoatios of faed stuctues ude static ad dyaic loads. Coputes & stuctues, v.6, p RODRIGUES. R. O. (99). Autoatização do pojeto estutual de pilaes de coceto aado. São Calos. Dissetação (Mestado) - Escola de Egehaia de São Calos - Uivesidade de São Paulo. RODRIGUES. R. O. (997). Aalise diâica bidiesioal ão-liea física e geoética de teliças de aço e póticos de coceto aado. São Calos. Tese (Doutoado) - Escola de Egehaia de São Calos - Uivesidade de São Paulo. Cadeos de Egehaia de Estutuas, São Calos, v. 7,. 3, p. 6-93, 5

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