Matriz em banda. largura de banda superior: número de diagonais não nulas, acima da diagonal principal X 0 X X 0 X X 0 X X 0 0

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1 Matriz em bada X X X X X X X 0 X X X X X X X X X X X X 0 X X 0 X X X X X X X X 0 X X 0 X X 0 X X X X X X X X X X X X X 0 0 X X X X X X X X X X 0 X X X X 0 X X X X X X X X X X 0 X X X X largura de bada iferior: úmero de diagoais ão ulas abaio da diagoal pricipal largura de bada superior: úmero de diagoais ão ulas acima da diagoal pricipal largura de bada largura de bada superior + largura de bada iferior + 1 ou seja largura de bada é o umero total de diagoais ão ulas Matemática Computacioal MEMec LEN MEer

2 Método de Gauss escolha de Pivot Resolva pelo método de Gauss o sistema de equações i) Codesação b b m ? 0 m 10? (1) (1) (2) (2) 42 Troca de lihas (ou seja de equações) para que o pivot ão seja ulo b (2) (2) (2) (2) (3) (3) b b m Matemática Computacioal MEMec LEN MEer

3 Método de Gauss escolha de Pivot m 43 (3) (3) b (4) (4) b ii) Substituição ascedete ( ) ( 2 3 3) Em aritmética em poto flutuate devido aos arredodametos em geral a escolha de pivot é vatajosa mesmo quado o pivot ão é ulo Matemática Computacioal MEMec LEN MEer

4 Método de Gauss importâcia da escolha de Pivot Cosidere o sistema de equações Nota: solução eacta a) Resolva o sistema pelo método de Gauss utilizado uma matissa com 4 dígitos ou seja simulado os cálculos em FP(1042) b) Resolva agora efectuado escolha de pivot (a mesma com uma matissa com 4 dígitos) a) i) Codesação (1) ( 1) b m b (2) (2) 0 a22 b2 (2) (2) m (6) m a (2) (1) (1) 22 a22 m21 a b (2) (1) (1) 2 b2 m21 b Matemática Computacioal MEMec LEN MEer

5 (2) (2) b ii) Substituição ascedete Método de Gauss importâcia da escolha de Pivot (6) solução obtida é equato a solução eacta é Comparado com a solução eacta verifica-se que o valor obtido para 1 possui 33% de erro. Matemática Computacioal MEMec LEN MEer

6 Método de Gauss importâcia da escolha de Pivot b) Uma forma de miimizar os problemas uméricos é efectuar escolha de pivot i) Codesação (1) (1) b (1) (1) b m Troca de lihas (ou seja de equações) para que o pivot teha maior valor absoluto (1) (1) b b (2) (2) 0 a2 2 b2 (2) (2) m m21 (2) (1) (1) 4 a22 a22 m21 a b (2) b (1) m b (1) Matemática Computacioal MEMec LEN MEer

7 (2) (2) b ii) Substituição ascedete Método de Gauss importâcia da escolha de Pivot solução obtida é igual à solução eacta Matemática Computacioal MEMec LEN MEer

8 Tipos de pivot: - pivot parcial -pivot total - pivot diagoal Tipos de Pivot - pivot parcial com patamar ( k) a a a a a a 0 a a a a a 0 0 a a a a 0 0 a a a a 0 0 a a a a k k k k 0 0 a a a a ( k) ( k) 11 1 k 1 1 k 1 p 1 q 1 ( k) k 1 k 1 k 1 k k 1 p k 1 q k 1 k k k p k q k p k p p p q p q k q p q q q ( ) ( ) ( ) ( ) k p q submatriz activa Os cadidatos a pivot ecotram-se a submatriz activa Matemática Computacioal MEMec LEN MEer

9 ( k) Pivot parcial a a a a a a 0 a a a a a 0 0 a a a a 0 0 a a a a 0 0 a a a a k k k k 0 0 a a a a ( k) ( k) 11 1 k 1 1 k 1 p 1 q 1 ( k) k 1 k 1 k 1 k k 1 p k 1 q k 1 k k k p k q k pk pp pq p q k q p q q q ( ) ( ) ( ) ( ) k p q liha k liha p colua k pivot parcial os cadidatos a pivot são os elemetos da colua k da submatriz activa Escolher: ma a a i k ( k) ( k) ik pk Trocar liha p com liha k Matemática Computacioal MEMec LEN MEer

10 para k 1 até 1 lgoritmo pivot parcial # para todas as coluas a codesar # 1. escolher pivot # iicialização p k # liha pivot k pivot akk # escolha do elemeto pivot para i k+ 1 até # para todos as etradas abaio de akk se aik > pivot etão p i # liha pivot k pivot aik # troca de lihas se p k etão # se p k etão trocar liha p com a liha k para j k até # para todas as etradas ão ulas das lihas a trocar au akj akj apj apj au # 2. codesação para i k+ 1 até # para todas as lihas abaio da liha k m ik aik / akk # factor multiplicativo para j k+ 1 até # para todos as etradas ão ulas dessa liha aij aij mika kj Matemática Computacioal MEMec LEN MEer

11 ( k) Pivot total a a a a a a 0 a a a a a 0 0 a a a a 0 0 a a a a 0 0 a a a a k k k k 0 0 a a a a ( k) ( k) 11 1 k 1 1 k 1 p 1 q 1 ( k) k 1 k 1 k 1 k k 1 p k 1 q k 1 k k k p k q k pk pp pq p q k q p q q q ( ) ( ) ( ) ( ) k p q liha k liha p pivot total os cadidatos a pivot são todos os elemetos da submatriz activa Escolher: ma a a colua k ij k ( k) ( k) ik pq colua q Trocar liha p com liha k e trocar colua q com colua k Matemática Computacioal MEMec LEN MEer

12 ( k) Pivot diagoal a a a a a a 0 a a a a a 0 0 a a a a 0 0 a a a a 0 0 a a a a k k k k 0 0 a a a a ( k) ( k) 11 1 k 1 1 k 1 p 1 q 1 ( k) k 1 k 1 k 1 k k 1 p k 1 q k 1 k k k p k q k pk pp pq p q k q p q q q ( ) ( ) ( ) ( ) k p q Com pivot diagoal a simetria duma matriz simétrica é matida liha k liha q pivot diagoal os cadidatos a pivot são os elemetos da diagoal da submatriz activa Escolher: ma a a colua k i k ( k) ( k) ii qq colua q Trocar liha q com liha k e trocar colua q com colua k Matemática Computacioal MEMec LEN MEer

13 ( k) Pivot parcial com patamar a a a a a a 0 a a a a a 0 0 a a a a 0 0 a a a a 0 0 a a a a k k k k 0 0 a a a a ( k) ( k) 11 1 k 1 1 k 1 p 1 q 1 ( k) k 1 k 1 k 1 k k 1 p k 1 q k 1 k k k p k q k pk pp pq p q k q p q q q ( ) ( ) ( ) ( ) k p q Com patamar a troca só é efectuada se valer a pea i.e. se a pk for fracamete superior a a kk liha k liha p colua k pivot parcial os cadidatos a pivot são os elemetos da colua k da submatriz activa Escolher: ma a a ( k) ( k) i k ik pk ( k) ( k) Trocar liha p com liha k se: τ apk akk 0 τ 1 > τ é o valor do patamar Matemática Computacioal MEMec LEN MEer

14 Normas de matrizes Normas de vectores orma 1 ( 1 2 ) orma Euclideaa 2 ma i 1 i orma do máimo (ou do ifiito) Normas de matrizes (m) m ma 1 1 j i 1 ma 1 i m j 1 a a ij ij 1 2 m 2 ( a ) F ij orma de Frobeius i 1 j 1 Matemática Computacioal MEMec LEN MEer

15 Número de codição (de matrizes) dmitido que eistem perturbações os valores da matriz e do vector b etão resultam perturbações a solução do sistema [ ] { } { b} b ( ) ( ) b + δ + δ b+ δb (i) dmitir que apeas eistem perturbações o 2º membro (e cosequetemete a solução) ( δ ) + b+ δb + δ b+ δb b b b b δ δb (*) 1 δ δb δ δb δ 1 1 δb δb δ 1 δb Matemática Computacioal MEMec LEN MEer

16 Número de codição (de matrizes) Tedo em ateção (*) b δ 1 δb 1 δb b δ 1 cod δb b δ cod δb b O úmero de codição duma matriz traduz em termos relativos a relação etre as perturbações a solução easperturbações o segudo membro b. cod 1 Um úmero de codição elevado idica que as perturbações do segudo membro são ampliadas sobre a solução do sistema (ii) Perturbações a matriz (e cosequetemete a solução) alogamete se demostra que a relação etre as perturbações a solução e as perturbações da matriz também depedem do úmero de codição da matriz Matemática Computacioal MEMec LEN MEer

17 Efeito dos erros de arredodameto Na resolução dum sistema (de dimesão ) em poto flutuate devido aos arredodametos a factorização obtida ão é eactamete igual à matriz origial LU + E matriz dos erros Pode demostrar-se que os elemetos da matriz erro são majorados por: eij u γ α 1 u - costate da ordem da uidade de arredodameto α - maior elemeto (em módulo) de 1 γ - factor de crescimeto dos coef. de durate factorização ij (i) Pivot parcial em certos casos patológicos γ pode ser muito elevado podedo atigir o valor máimo de 2 1. Cotudo estes casos patológicos são raros e a prática a factorização com pivot parcial é em geral umericamete estável (ii) Pivot total o majorate de γ cresce letamete (com o aumeto da dimesão do sistema) ão se cohecedo casos para os quais seja superior a. Logo a utilização de pivot total é umericamete estável. Matemática Computacioal MEMec LEN MEer

18 Efeito dos erros de arredodameto Itroduzido o coceito de resíduo r b (de fácil cálculo após se obter ) ( ) r b δ 1 δ r 1 r δ δ r b tededo a que b b 1 δ r δ 1 r Etão Ou seja δ 1 r δ 1 r b δ cod r b δ 1 cod ode o úmero de codição surge ovamete como factor de ampliação r b Resumido o úmero de codição da matriz desempeha um papel fudametal os erros eistete a solução do sistema de equações Matemática Computacioal MEMec LEN MEer