ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL DE FLUIDO NÃO VISCOSO

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1 ESCOMENTO INCOMRESSÍEL DE FLUIDO NÃO ISCOSO Em divesas siações, como nos escoamenos de flidos de baixa viscosidade lone de aedes, as foças de cisalhameno odem se deseadas e a foça de sefície o nidade de áea aindo sobe cada face do volme de conole difeencial é ial a essão com sinal neaivo. Eqação de Ele: D D ad o ad ad

2 Eqação de Ele θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ Dieção adial Dieção anla Dieção axial w w y w v x w w y v w y v v x v v x w y v x y x coodenadas caesianas coodenadas cilíndicas

3 3 - Comonenes em coodenadas ao lono de ma linha de coene: v s e s Na dieção do escoameno - s: s s v v v s s s s s e k e s s s cos e s k d ds ds d cos sen s s s s s n R v n s Na dieção nomal ao escoameno - n: v s Na dieção do escoameno - s:

4 Ineação da Eqação de Ele ao Lono de Uma Linha de Coene: Eqação de Benolli ds s ds s ds s ds ds d consane Eqação de Benolli a consane de Benolli é única ao lono de ma mesma linha de coene 4

5 5 Escoameno incomessível, consane: consane ds Casos aiclaes: Reime emanene: consane d Reime emanene e incomessível: consane

6 Obs: aa escoamenos ioacionais ( ) ode-se demonsa qe a consane de Benolli em m único valo em odo o camo de escoameno (ve seção 6.6.) OBSERÇÃO: Um escoameno não viscoso sofe somene a ação de foça de coo (foça volméica) e da foça de sefície nomal, devido a essão. oano, é imossível indi ma oação em m escoameno não viscoso. Se o escoameno não viscoso fo ioacional, seá seme ioacional, se fo oacional, seá seme oacional. o oo lado, TODO ESCOMENTO ISCOSO É ROTCIONL. IRROTCIONL ROTCIONL 6

7 = essões Esáica, de Esanação e Dinâmica licando a eqação de Benolli na mesma coa de ala, emos o essão esáica o emodinâmica o = essão de esanação = essão dinâmica 7

8 Tbo de io: Medido de velocidade h * * H * * h H m h H m h ( m ) h 8

9 Exemlo 6.: Deemine a vaão volméica de a aavés do do de seção ansvesal L =, m e ala H =,3 m. Tomadas de essão são insaladas nma cva do do, cjo aio ineno é R =,5 m. difeença medida de essão ene as omadas é de 4 mm de áa [( - )=( HO - a ) h] Solção: s linhas de coene acomanham a cva, sendo a dieção nomal às mesmas a dieção adial. licando a Eq. de Ele na dieção nomal (adial) emos d d ln Q ( H L) ( H L) a ln( / ) 9

10 Execício 6.4: Deemine: (i)a velocidade da áa saindo como m jao live. (ii) a essão no ono Execício 6.5 e 4.6: Áa escoa sob ma comoa. Deemine a foça na comoa da fia. D =,5 m D =,563 m

11 F ex D =,5 m d nd C SC D D F Rx Wd ex D =,563 m / m Wd am D am D am D D W W ( D D ) D am am ( D D )

12 D =,5 m D =,563 m am D D Wd DW ( am D) W d D F Rx amwd W amwd W ex D D / am WD W D D am W ( D D ) D D F Rx W ex nd DW DW ( D D ) SC R x WD ( D D ) D D

13 Exemlo 6.9: (i) Deemine a velocidade da áa na saída da blação. Em ma imeia aoximação, desee o aio e considee eime emanene e D >> d h D b L d =? Eqação da coninidade: C d n d SC Hióeses: ) flido incomessível, ) volme indefomável n d SC d D mas dh, loo nível emanece consane, h h o =ce d 3

14 Eqação de Benolli: ds d ( ) ds ( ), = = am, =, h o, ; eime emanene ho h o 4

15 Exemlo 6.9: (ii) Deemine a vaiação com o emo da velocidade da áa na saída da blação, consideando qe inicialmene a blação encona-se fechada. Novamene, desee o aio e considee D >> d h D b L d =? Eqação da coninidade: C d n d SC Hióeses: ) flido incomessível, ) volme indefomável n d SC d ; D mas dh, loo nível emanece consane, h h o =ce d 5

16 6 Eqação de Benolli: ds d ( ) ds ) (, = = am, =, h o, ; eime ansiene h ds ds o ds b b b h L d d o =? h D d L b

17 d d ineando e h L o anh h L o h Noe qe qando (caso aneio) h o o / sq( ho) * sq( ho) /(L) 7

18 Exemlo 6.9: (iii) Deemine a vaiação com o emo da velocidade da áa na saída da blação, consideando qe inicialmene a blação encona-se fechada. Novamene, desee o aio e considee D d h D b L d =? Eqação da coninidade: C d n d SC Hióeses: ) flido incomessível, ) volme indefomável d n d ; D SC mas dh, loo nível não emanece consane, h ce d 8

19 Eqação de Benolli: ds d ( ) ds ( ), = = am, =, = h ; eime ansiene d d b ds ds h b b d ds ds d h d h L h d b d d d d h d L h d h L h d d 9

20 d dh L h h d d L h d h d h d h d condição inicial: ) =, h = h o, ) =, = aa esolve esas eqações difeenciais odináias, o MaLab ode se iliado. s eqações seão esolvidas elo méodo de Rne-Ka. aa ilia o méodo de Rne-Ka, deve-se esolve as das eqações de a. odem aa h e, em ve da eq. de a. odem aa h

21 Dois oamas com a eminação *.m devem se escios. No imeio, os aâmeos do oblema são esecificados, assim como a condição inicial. eaação dos áficos de saída ambém é feia nese oama. Ese imeio oama, chama o sendo oama, no qal as eqações difeenciais a seem esolvidas são aesenadas. Chamaemos, aa ese exemlo, o imeio oama de aqe.m e o sendo oama seá chamado de benolli.m. s lisaens dos oamas são aesenadas a sei. Dados: d = in =,54 m ; D = 5 in =,7 m; L = 5 m ; h o = 5 m i = s ; f = 8 s ; = 9,8 m/s d h d d D d d h d D d h D 4 L

22 qivo: anqe.m clc; clea; fim=; lobal L D d ; d=.54; D=.7; L=5; ho=5; o=; =9.8; i=; f=8; yo=[ho o]; eiodo=[i f]; [, y]=ode3('benoli', eiodo, yo); fie() lo(,y(:,)); ile('gafico de x '); xlabel(' (s)'); ylabel('elocidade na Saida do Tbo (m/s)'); fie() lo(,y(:,)); ile('gafico de h () x '); xlabel('emo (s)'); ylabel('la (m)'); end clea qivo: benoli.m fncion ydo = benoli(,y) lobal L D d ; dd = (d * d ) / (D * D) ; ydo() = - y() *dd; ydo() = inv(*(dd*y()+ L)) *(**y()+(dd^-)*y()^); ydo=[ydo() ydo()]'; d h d d d d D 4 d h D d h L D

23 Caso ii) D > > d d = in =,54 m i = s D = in = 8,33 f =,54 m f = 8 s L = 5 m = 9,8 m/s h o = 5 m Noe qe ao aini o eime emanene h 9, 9 m / s o 3

24 Caso iii) D d o anqe iá esvaia d = in =,54 m ; i = s D = 5 in =,7 m ; f = 8 s L = 5 m ; = 9,8 m/s h o = 5 m 4

25 Execício: Um escoameno de áa ( H = k/m 3 )é descio elo camo de velocidades x i y j, iso é, = x e v =- y ; onde = 3 s -, x e y são medidos em meos. Sabe-se qe k, onde = 9,8 m/s. i) Calcla a aceleação de ma aícla de flido no ono (x, y, ) = (, 5, ). a D D a i a j a k D D i Dv Dw D x y j k a D D x D a v w x x x y x v a v v v w v y x y y e w a w v w w w x y a x i y j enão a (, 5, ) 9 i 45 j 5

26 i) Calcla a aceleação de ma aícla de flido no ono (x, y, ) = (, 5, ). ii) i) valia valia o adiene de essão no no mesmo mesmo ono, ono, sabendo sabendo qe qe a viscosidade a viscosidade é deseível é deseível D Eqação de Ele : ad ad D D D ad x i y j k k ; x a x x, y a y y, ad xi y j k ad 9 x i 9 y j 98 k ad (,5,) 3(9i 45 j 9,8k) 6

27 iii) Deemine a vaiação de essão ene a oiem e o ono (, 5, ) i) Deemine a vaiação de essão ene a oiem e o ono (, 5, ) i) Deemine a vaiação de essão ene a oiem e o ono (, 5, ) x x x x f( y, ) x f( y, ) x y y y y x x y f y ( x, ) f ( x, ) C y y C f (x,y) 3 f3(x,y) 3 5 5, 5, 5 5,, , 37 a 9 5,, 98, 37 a 7

28 i) Se ese camo de velocidade fo ioacional a difeença de essão odeia e sido calclada com a alicação da eqação de Benolli = x ; v = - y aa escoameno lano o i j k k ; x y, v é ioacional x y Eqação de Benolli ( = módlo do veo velocidade) Oiem: (x, y, ) = (,, ) =, = ono : (x, y, ) = (, 5, ) x y x, y, - = - 3 (34 / + 9,8. ) = -,37. 5 a 8

29 Execício: Um escoameno de m jao cona ma aede aa se eesenado o x y v x, v y y x k x y enão consane ioacional onde v x y ; U licando ene m ono na aede e ao lone U L ao lono da aede y =, loo v x U 5 x 9

30 foça é L U F b dx ( 5 x ) b dx L L L F 3 L U b L b x U L 5 ( ) 5 ( b L) 3 3 L 3

31 Execício: Um vóice é definido elo seine camo de velocidade e, onde o comonene anla é K, sendo K a inensidade do vóice consane (K=- m /s). (i) Deemine se o escoameno é ioacional. (ii) Deemine a fnção de coene qe eesena o escoameno (iii) Deemine a difeença de essão ene os onos () e () e ene () e (3), sabendo qe o flido é a [=, K/m 3 ]. O ono () ossi coodenadas ( i = ; = ), enqano o ono () e (3) ossem coodenadas ( = ; = 9 ) e ( 3 = 4 ; 3 = 9 ) e K É ioacional:? = é ioacional. 3

32 É ioacional: (ii) Deemine a fnção? de coene = qe eesena o escoameno é ioacional. fnção de coene é definida como,, loo K K f () ; ln Ce ( = ; = ) ; ( = ; = 9 ) e ( 3 = 4 ; 3 = 9 ) Os onos () e () esão sob a mesma linha de coene, a qal é ial a = =,3 fnção de coene associada ao ono (3) é 3 =,6 eo 3

33 33 Como o escoameno é ioacional, loo odemos encona a difeença de essões ene qaisqe onos iliando a Eqação de Benolli consane 3 3 ; K K = eo K = -,85 a

34 a Qesão: Considee o escoameno de a de baixa velocidade ene dois discos aalelos confome mosado. dmia qe o escoameno é incomessível e não viscoso, e qe a velocidade é amene adial e nifome em qalqe seção. velocidade do escoameno é = 5 m/s em R = 75 mm. Esime a foça líqida de essão qe aa na laca seio ene = i e = R. Sabe-se qe i = R/3 34

35 a Qesão: disibição de velocidade nm escoameno bi-dimensional, emanene, não viscoso, no lano x-y, é 3 x 6 i 4 3 y j, aceleação da avidade é k, e a massa esecífica é 85 k/m 3. (i) Iso eesena m ossível escoameno incomessível? (ii) Deemine os onos de esanação do camo de escoameno. (iii) O escoameno é ioacional? valie a difeença de essão ene a oiem e o ono (x, y, ) =(,, ). 35