CAPÍTULO 5 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA

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1 CAPÍTULO 5 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA 5.. INTRODUÇÃO AO PROBLEMA DE FECHAMENTO E A MODELAGEM DA TURBULÊNCIA Como fo comenado em ndades aneoes, ma das caaceíscas mas moanes de m escoameno bleno é a mllcdade de escalas qe o caaceza. Paa lsa esa afmação, mosa-se na Fga 5. o escoameno em ansção à sane de ma bolha qe sobe em m meo líqdo. Nesa fga obseva-se a fomação de das ecclações smécas de amanhos caaceíscos da odem do amanho caaceísco da bolha. Obsevase qe esas ecclações são ndamene comosas de nsabldades de Kelvn-Helmholz de commenos de onda menoes qe as ecclações á cadas. Se a foogafa aesenasse mao nível de dealhe ode-se-a deeca qe esas menoes nsabldades aesenaam snas de novas nsabldades sobe s mesmas, dando ma dea físca do ocesso de mllcdade de escalas. Fga 5.. Escoameno em ansção em ono de ma bolha (Fga eada de Code e al. 989).

2 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA 85 Esa mllcdade de escalas eesena ambém o númeo de gas de lbedade de m escoameno bleno, o qal a ode se esmado a a do númeo de Reynolds, aavés da eqação abao: L Ngl 3 Re l d 94 / L. (5.) Pecebe-se com esa eqação qe qano mao o númeo de Reynolds mao seá o númeo de gas de lbedade do escoameno. Na Fga 5. mosa-se m eseco de enega de m escoameno bleno a alo númeo de Reynolds obdo em m únel de veno. Fga 5.. Eseco de enega cnéca blena de m escoameno a alo númeo de Reynolds (eado de Lese, 994). Obseva-se qe ese eseco esá eesenado em escalas log-log e qe a sa laga é de cnco décadas aomadamene. Ese eslado é m dos esecos mas lagos obdos eemenalmene em únes de veno. Paa eemlfca o cálclo do Ngl de escoamenos blenos, dos casos eemos seão omados: m escoameno amosfécos e m escoameno à sane de ma gelha. O meo caso esá lsado na Fga 5.3, onde ma esa blhona amosféca ode se vsalzada. Paa o cálclo do Ngl dese escoameno, oma-se-á algns dados ícos: L 500 m (escala de commeno caaceísca) e l d mm (meno escala da blênca, escala dssava de Kolmogoov). Com esas das escalas calcla-se Ngl 0 6. Sabendo-se qe, a

3 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA 86 análse eóca de m oblema assa ela solção de ssemas lneaes, comosos o m númeo de eqações gal ao Ngl, vê-se qe a solção eóca o nméca do oblema acma esá foa das ossbldades aas, mesmo com os maoes secomadoes esenes. Fga 5.3. Tblhão amosféco (Fga eada de Lese, 994). Um oo eemlo ode se vsalzado na Fga 5.4 onde se mosa m escoameno bleno à sane de ma gelha. Vsalza-se as esas blhonaes caaceíscas. Paa o cálclo do Ngl, novamene oma-se algns dados ícos: L 4 mm (amanho dos assos da gelha); U 0 m/s (velocdade íca); 0-5 m /s (vscosdade cnemáca). Com esas nfomações em-se Re4.000, o qe fonece Ngl,30 8. Vefca-se qe, mesmo nese caso, a m modeso númeo de Reynolds, o cálclo elíco de odos os gas de lbedade não é ossível. Sea necessáo esolve ssemas lneaes de 0 8 eqações smlâneas. A mao ae dos oblemas ácos de engenhaa são caacezados o númeos de Reynolds qe se localzam nesa faa. Sge enão a qesão: como esolve esa classe de oblemas? Reynolds (894) nco ma efleão sobe ese assno e oôs m ocesso de decomosção das eqações govenanes, de al foma a se analsa o comoameno médo do escoameno e modela sas flações. Esa decomosção condz ao chamado oblema de fechameno da blênca e de ogem a m vaso domíno de esqsa, denomnado oblema de fechameno e modelagem da blênca. Em oa ndade ese oblema seá nvesgado e seão aesenadas das lnhas de modelagem: modelagem esaísca clássca (smlação nméca do comoameno médo dos escoamenos blenos) e modelagem

4 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA 87 sb-malha (smlação nméca de gandes escalas, onde as gandes esas são esolvdas elcamene e as menoes esas são modeladas). Fga 5.4. Escoameno bleno à sane de ma gelha (Fga eada de Lese, 994). 5.. EQUAÇÕES DA TURBULÊNCIA A chamada Smlação Nméca Dea sea aqela qe ema, dado m escoameno caacezado o m valo do númeo de Reynolds, esolve odos os gas de lbedade o odo o eseco de enega assocado ao escoameno. Com base nos dos eemlos colocados na seção ecedene, mesmo aa os escoamenos a baos númeos de Reynolds não é ossível aca SND, o sea, esolve deamene odos os gas de lbedade qe caacezam os escoamenos blenos. Com base nso sg a dea de seaação o decomosção das escalas da blênca Decomosção das escalas da Tblênca O ocesso de decomosção das escalas de ogem a dos gos de eqações aa a blênca: Eqações médas de Reynolds (884), aa as qas as escalas da blênca são seaadas nas escalas elavas ao comoameno médo e nas escalas elavas às flações em elação a esa méda;

5 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA 88 Eqações de Nave-Soes fladas (Smagonsy, 963), aa as qas as escalas da blênca são seaadas em dos gos, o sea, o go das gandes escalas e o go das eqenas escalas o escalas sb-malha. F() f, ( ) f : (, ) ae flada snal f( ) f( ) Fga 5.5. Snas eesenavos de ma fnção genéca f (, ), da sa méda f,. emoal f ( ), da sa ae flada f (, ) e da sa ae flane ( ) 5... Eqações médas de Reynolds Nese caso, confome á comenado, seaa-se m snal genéco f (, ) : méda f ( ), se a méda fo emoal, e na sa ae flane f (, ) na sa ae f,, (5.) (, ) f ( ) f ( ) confome lsado na Fga 5.5. Anes de alca o conceo de seaação de escalas às eqações de Nave-Soes, aesena-se as oedades assocadas ao ocesso de méda Poedades assocadas ao conceo de seaação de escalas o meo de médas Com base na eqação de decomosção acma em-se as segnes oedades: A méda de ma flação é nla f f (, ) f ( ) f (, ) f (, ) f (, ) f ( ) ( ) f ( ) f ( ) 0 (5.3)

6 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA 89 A méda do odo de ma vaável méda o ma flação de ma vaável é nla f f f f f. 0 0 (5.4) A méda do odo de das médas é gal ao odo das das médas f f f f. f f. (5.5) Obseva-se qe em odas as oedades descas, consdeo-se qe a méda de ma vaável é ma consane Eqações médas de Reynolds Consdea-se as eqações de consevação de massa, qandade de movmeno e enega, aa escoamenos ncomessíves e de fldos newonanos, escas em noação ensoal. Consevação da massa 0. (5.6) Alcando o oeado méda sobe esa eqação e lzando a oedade comava ene ese oeado e o oeado devada acal, em-se a consevação da massa aa as médas das comonenes da velocdade: 0 (5.7) Sbando-se ma eqação da oa, em-se a consevação da massa aa as flações das comonenes da velocdade: 0. (5.8)

7 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA 90 Eqação da consevação da qandade de movmeno ( ). (5.9) Alcando-se o oeado méda sobe esa eqação e lzando-se da oedade comava, em-se a segne eqação: ( ). (5.0) Obseva-se qe esa eqação não ode se esolvda como esá, ma vez qe no emo não lnea aaece a méda do odo de das vaáves desconhecdas. Nese ono a decomosção de escalas deve se alcada, na foma da segne galdade: l l l, (5.) e lzando-se das ês oedades á comenadas, em-se qe: ( ). (5.) Obseva-se qe a conseqênca medaa do ocesso de decomosção de escalas e da ansfomação das eqações ognas em eqações médas, é o aaecmeno de m enso adconal τ, conhecdo como enso de Reynolds. Ele ode se eesco na foma macal como abao: w w w w w w υ ϑ υ υ υ υ τ. (5.3) Vefca-se qe ese enso é sméco: τ τ. Ressala-se qe ese enso em naeza físca semelhane ao enso vscoso molecla, a esa de sa ogem, lgada ao

8 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA 9 emo não lnea. Desa foma é naal anso ese enso aa o segndo membo da eqação de consevação e agá-lo com o enso vscoso: ( ). (5.4) Logo, em-se ses ncógnas a mas, levando em cona a smea do enso de Reynolds. Faz-se necessáo modela ese enso. Taa-se de m momeno de Segnda odem, o qal aaece devdo aos ocessos de méda e de seaação de escalas lzados. É seme ossível gea ma eqação de ansoe aa ese momeno de Segnda odem, oém, ela mesma azão, á aaece m momeno de ecea odem a se modelado. Ese é o famoso oblema de fechameno da blênca. As solções váves aa se esolve ese oblema, aé os das aas, baseam-se na chamada modelagem da blênca, o qe seá vso em seções oseoes Eqações de Nave-Soes fladas Nese caso, confome á comenado, seaa-se m snal genéco f (, ) flada f ( ) e na sa ae flane ( f, ) : na sa ae f, (5.5) (,) f (,) f (,) E(f) Enega assocada à ae flada da velocdade, o sea, às gandes esas. Enega assocada às escalas sb-malha, o à ae flane f c f Fga 5.6. Eseco e dsbção de enega nas gandes escalas (maoes qe o amanho caaceísco do flo) e nas eqenas escalas (menoes qe o amanho caaceísco do flo).

9 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA 9 Aq, f (, ) é a ae flada da vaável f (, ), qe eesena fscamene as f, é a menoes feqêncas do escoameno o as maoes esas blhonaes; ( ) flação de f (, ), em elação à sa ae flada, qe eesena fscamene as maoes feqêncas do escoameno o as menoes esas blhonaes. Na Fga 5.5 lsa-se esas ês vaáves em fnção do emo. Na Fga 5.6 mosa-se a eação do eseco de enega em elação à feqênca o ao númeo de onda de coe, a qal o o qal são deemnados elo ocesso de flagem. Aesena-se aq as oedades assocadas ao ocesso de flagem, qe são dfeenes daqelas assocadas ao ocesso de méda Conceo de flos Qalqe dsbção de ma fnção no emo o no esaço odem se sbmedas a ocessos de flagem, sea o meo de m flo emoal, sea o meo de m flo esacal. No coneo da dedção das Eqações de Reynolds Fladas lza-se somene flos esacas, ma vez qe a solção das eqações fladas avança no emo de foma aabólca. Desa foma, lma-se-á a comena sobe flos esacas. y lc z Fga 5.7. Esqema lsando o volme de negação aa o ocesso de flagem. O ocesso de flagem ode se defndo como sendo a negal de convolção envolvendo a fnção a se flada e ma fnção flo aoada; como lsa a eqação abao.

10 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA 93 f, d. (5.6) ( ) G( ) f (, ) V A fnção G ode se ma fnção emoal o esacal. Na eqação acma aaece m flo esacal. Ela gada ambém as caaceísca do flo qe deemna a feqüênca de coe f c. São dados a seg dos eemlos de flos esacas. O meo deles é defndo como sege: G ( ) V 0 se se l c > l c. (5.7) O volme V é o volme de negação aa a flagem. O flo em m commeno caaceísco l c o qal deemna a feqüênca de coe qe deemna qas feqüêncas emanecem no snal flado e qas são elmnadas. Em oas alavas, qas feqüêncas seão calcladas e qas seão modeladas. A Fga 5.7 lsa as vaáves envolvdas nese eemlo. Alcando ese flo sobe ma fnção, em-se qe a fnção flada assme m valo médo no neo do volme de negação: f, V (, ) f ( ) V dv. (5.8) f Cva aomada aa os valoes flados O valo flado é ma méda sobe Fga 5.8. Pocesso de flagem esacal ndmensonal; o amanho caaceísco do flo é.

11 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA 94 Um segndo o de fnção flo G, como ma gasana, ondea a nflênca dos onos vznhos em fnção da dsânca ao ono em qesão. A qe aesenamos fo sgeda o Jc (996), a fnção Eqações (5.9)-(5.). D, chamada de fnção dsbção é dada elas D ( ) f [( ) / h ] f [( y h y ) / h], (5.9) f () f ( ) 0 f ( ) se se se < >, (5.0) f( ), (5.) 8 onde eesena ( ) h o ( y y ) h e h o asso esacal da malha na deção / / coesondene. Consdeando a fnção dsbção, ma vaável qalqe é flada com a segne eessão: X ( D l X l ) h. (5.) l X l são as vaáves coesondenes a cada ono vznho omado em cona Poedades assocadas ao conceo de seaação de escalas o meo de flagem das eqações Com base na eqação de decomosção em-se as segnes oedades: Uma flação flada não é nla f f (,) f ( ) f (,) f (,) f (,) f ( ) ( ) f ( ) f ( ) 0 (5.3) Esa oedade se deve ao fao qe ma vaável flada ela segnda vez não é, foçosamene, gal à mesma vaável flada ela mea vez, como lsa a Fga 5.9.

12 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA 95 O odo flado de ma vaável flada o sa flação é dfeene de zeo f f f f 0 (5.4) A odo de das vaáves fladas, flado novamene, é dfeene do odo das das vaáves fladas seaadamene: f f f f. (5.5) Fnção ognal f() Fnção flada ma vez Fnção flada das vezes Fga 5.9. Ilsação dos ocessos de flagem de ma fnção qalqe Eqações de Nave-Soes fladas Consdea-se as eqações de consevação de massa, qandade de movmeno e enega, aa escoamenos ncomessíves e de fldos newonanos, escas em noação ensoal. Consevação da massa 0. (5.6) Alcando o oeado flo sobe esa eqação e lzando a oedade comava ene ese oeado e o oeado devada acal, em-se a consevação da massa aa as comonenes da velocdade fladas:

13 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA (5.7) Sbando-se ma eqação da oa, em-se a consevação da massa aa as flações das comonenes da velocdade: 0. (5.8) Eqação da consevação da qandade de movmeno ( ). (5.9) Alcando-se o oeado flo sobe esa eqação e lzando-se da oedade comava, em-se a segne eqação: ( ). (5.30) Obseva-se qe esa eqação não é solúvel desa foma na qal ela esá esca. Taase de ma eqação de ansoe aa. No enano, no emo não lnea aaece o odo flado e não o odo das vaáves fladas como devea se. Assm, aa esolve ese oblema, lza-se a e aqação da decomosção: l l l, (5.3) aa gea o segne eslado: ( )( ). (5.3) Necessa-se anda da segne defnção: L. (5.33) Sbsndo-se eses dos eslados na eqação flada em-se:

14 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA 97 ( L ). (5.34) Novamene em-se m ssema de eqações com mas ncógnas qe eqações. A classfcação dos ensoes adconas qe aaecem nesa eqação seá dscda nma seção oseo. Paa esolve o oblema de fechameno seão dscdos os modelos de blênca MODELOS DE TURBULÊNCIA É sabdo qe as eqações de Nave-Soes são sfcenes aa modela escoamenos em qalqe egme e aa qalqe valo do númeo de Reynolds. O oblema esde no fao qe qano mao o númeo de Reynolds, mas lago se ona o eseco de enega assocado ao escoameno. Como as maoes esas são egladas ela geomea do oblema, so sgnfca qe gandes valoes de Re mlca em alas feqüêncas o esas vscosas mo eqenas. Paa calcla odas elas faz-se necessáa o so de malhas eemamene fnas, o qe mlca em csos comaconas mo elevados. Logo, Smlação Nméca Dea é lmada a baos númeos de Reynolds. É vedade qe os valoes de Reynolds cos escoamenos são solúves va SND se onam a cada ano mo maoes: em 99 o ecod mndal ea de Re600, o qe eg a solção de eqações smlâneas. Nos das aas (000) á esão sendo esolvdas de eqações smlâneas, o qe coesonde a Re.700. No enano eses valoes anda são mo modesos aa se esolve ma gande maoa dos oblemas qe são caacezados o elevados númeos de Reynolds. Como se v nas ndades ecedenes, a solção aleava qe vem sendo lzada com scesso assa ela noção de decomosção de escalas e dedção de eqações médas o, mas modeadamene, fladas. Fo vso qe so leva ao famoso oblema de fechameno da blênca. O fechameno assa o esabelece ma elação ene as ensões de Reynolds e o camo flado de velocdades: ( ) f,. (5.35) Bossnesq oôs fecha o ssema de eqações, modelando o enso de Reynolds com o conceo de vscosdade blena, o qe seá abodado a seg.

15 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA Conceo de vscosdade blena Bossnesq, em 877, oôs, esabelecendo ma analoga com o modelo de Soes aa as ensões vscosas moleclaes. O segne modelo de fechameno aa o enso de Reynolds, fo ooso: 3 δ, (5.36) onde ( ) ( ) w ϑ, (5.37) é a enega cnéca blena. O emo envolvendo o dela de Konece δ sge devdo à necessdade de comablza a defnção de acma com a soma do aço do enso de Reynolds modelado aavés da hóese de Bossnesq. De fao, fazendo em-se qe: ( ) 3 δ. (5.38) Ressala-se qe é a vscosdade blena, ma oedade do escoameno e não do fldo como a vscosdade molecla. Esa caaceísca mlca na dfcldade mao de avalação desa oedade ma vez qe ela deende da naeza do óo escoameno, consndo-se nma foe não lneadade na solção das eqações. Taa-se de ma oedade qe deende do esaço e do emo. A enega cnéca blena ambém aaece no modelo de fechameno ooso o Bossnesq. No enano, como ela deende aenas do aço do enso de Reynolds, ela em ma naeza semelhane à essão e ode se ncooada a ela, como seá elcado Eqações Médas de Reynolds Modeladas Resceve-se abao a eqação ensoal de Reynolds: ( ). (5.39)

16 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA 99 Sbsndo-se o modelo de Bossnesq nesa eqação, em-se o fechameno, va hóese de vscosdade blena: ( ) 3 δ. (5.40) Obseva-se qe o dvegene do emo envolvendo a enega cnéca blena e o dela de Konece esla no gadene da enega cnéca blena: 3 3 δ, (5.4) o qe eme ncooa ese emo ao emo da essão, geando ma essão modfcada na eqação modelada: ( ) ( ) *. (5.4) Obseva-se qe esa eqação de ansoe aa as comonenes médas da velocdade em ma naeza fechada, sendo comosa de m mesmo númeo de eqações qe de ncógnas. No enano esa anda o oblema mao da modelagem da blênca qe é o cálclo da vscosdade blena. Paa ecea o vedadeo camo de essão ona-se necessáo modela ambém a enega cnéca blena, o qe deve se feo smlaneamene com o cálclo da vscosdade blena. É moane enfaza qe, qando se esolve as eqações da blênca modeladas, o qe se chama de essão não é a essão emodnâmca e sm, ma essão modfcada ela enega cnéca blena: 3 *. (5.43) Resa anda o cálclo da vscosdade blena, o qe é o ael fndamenal dos chamados modelos de blênca. Paa ano, lança-se mão de ma analoga esea ene o qe se assa a nível de aícla de fldo e o qe se assa a nível de esas blenas, como esqemazado abao.

17 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA 00 Toca molecla de qandade de movmeno Toca blhona De qandade de movmeno (a) (b) Fga 5.0. Analoga ene o ocesso de dfsão blena e de dfsão molecla: (a) escoameno lamna; (b) escoameno bleno. Analoga ene o ocesso de dfsão blena e de dfsão molecla Pocesso de Dfsão Molecla Movmeno e colsões ene moléclas; Tansfeênca de qandade de movmeno ene aíclas de fldo se dá aavés de movmeno de moléclas ene as aíclas; Esa ansfeênca é modelada a nível de coníno va vscosdade molecla: Cζ C: Escala de velocdade molecla; ζ : Escala de commeno molecla; Pocesso de Dfsão Tblena Movmeno e colsão ene esas blhonaes; Tansfeênca de qandade de movmeno ene dfeenes síos do escoameno se dá aavés de movmeno de esas blhonaes; Esa ansfeênca ode se modelada, o analoga, com o conceo de vscosdade blena: UL U: Escala de velocdade de ansoe dos blhões; L: Escala de commeno dos blhões; A analoga aesenada na abela acma é a base do cálclo da vscosdade blena. Desaca-se, no enano, algmas defcêncas nesa analoga: Na eoa cnéca dos gases essões-se qe o amanho de ma aícla de fldo é mo seo ao lve camnho médo molecla. No enano, aa a blênca, ode-se e esas blhonaes mo maoes qe o commeno caaceísco L, nomalmene avalado aa cada escoameno;

18 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA 0 A vscosdade molecla é ma gandeza escala. No enano a blênca em como caaceísca alos níves de ansooa, sobedo aa as gandes escalas dos escoamenos. Iso dz qe oma a vscosdade blena como ma gandeza não ensoal ode se ma aomação comomeedoa; Aesa deses onos, o conceo de vscosdade blena em m enome avanço no camo da modelagem e da smlação de escoamenos blenos; Modenamene, novas flosofas de smlação, em emdo ona esa analoga mo mas ealsa: é o caso da Smlação de Gandes Escalas, ma vez qe flosofcamene, oca-se esolve as gandes escalas e modela aenas as menoes, onde a hóese de sooa se ona mo mas ealsa Classfcação dos Modelos de Tblênca Os modelos de blênca odem se classfcados segndo a deendênca o não do conceo de vscosdade blena. Em ambos os gos ona-se necessáo obe eqações de ansoe adconas aa o cálclo da vscosdade blena o aa o fechameno alenavo das eqações médas de Reynolds, sem assa elo conceo de vscosdade blena. Nese sendo em-se dos gandes gos de modelos: Go a: modelos qe deendem da vscosdade blena Modelos a zeo eqações de ansoe Taa-se de oda ma famíla de modelos baseados na hóese do commeno de msa de Pandl; A gande maoa dos modelos sb-malha, lzados aa Smlação de Gandes Escalas; Modelos a ma eqação: o eemlo, modelo -L : enega cnéca blena, co cálclo assa ela solção de ma eqação de ansoe adconal; L: Commeno caaceísco, esmado aa cada oblema em análse;

19 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA Modelos a das eqações São os modelos ε o os modelos ω, o eemlo. Das eqações de ansoe devem se dedzdas e esolvdas Go b: modelos qe não deendem da vscosdade blena Modelos a zeo eqações: as ensões blenas são elaconadas algebacamene com as comonenes médas de velocdade; Modelos a ses eqações: modelo das ensões de Reynolds com ses eqações de ansoe aa as ses comonenes do enso de Reynolds Modelos do commeno de msa de Pandl A vscosdade blena é calclada aavés de ma velocdade e de m commeno caaceíscos: Vˆ l m. (5.44) Paa escoamenos mas smles, do o camada de msa, aos e eseas, consdea-se qe o czalhameno médo ansvesal ao escoameno é edomnane sobe o czalhameno médo em elação às oas deções. Logo, (5.45) Vˆ l m. y Esa é a chamada hóese de Pandl, ma das meas enavas de se calcla a vscosdade blena. O commeno de msa emanece como ma ncógna. Tomando como eemlo ma camada de msa em desenvolvmeno esacal lsada na fga abao, ode-se esma o commeno de msa de Pandl. Analsando a Fga 5. obseva-se qe ese o de escoameno aesena m comoameno bem deemnando em emos do esaçameno cado ela dnâmca das esas coeenes. Claamene o commeno caaceísco dese escoameno é a esessa da camada de msa δ ( ). Logo,

20 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA 03 m ( ) l Cδ ( ) l δ. (5.46) m y δ () Fga 5.. Camada de msa em desenvolvmeno esacal; : dsbção de vscosdade blena; δ ( ) : esessa da camada de msa (commeno caaceísco). A consane C é emíca e dfeene aa cada o de escoameno consdeado, em fnção da sa naeza físca. Na abela abao mosa-se dfeenes valoes desa consane aa algns os mas clásscos de escoamenos. Escoameno l m δ Camada de msa Jao lano Jao edondo Esea lana 0,07 0,09 0,075 0,6 Esa abela é válda aa escoamenos em meos esagnados. Obseva-se qe a vscosdade blena assa a deende de e de y. como mosa a eqação abao. A fnção δ ( ) é emíca, dedzda a a de eemenos aa odos os os de escoamenos aesenados. ( ) l m. (5.47) y Paa escoamenos comleamene desenvolvdos em dos o canas, Nadse oôs a segne eessão aa o commeno caaceísco: lm R 0,4 0,08 y R 0,06 y R 4, (5.48)

21 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA 04 onde R é o ao aa dos cclaes e a mea laga aa canas lanos. A coodenada y eesena ano ma coodenada caesana qano ma coodenada clíndca. Pómo às aedes lza-se ma eqação aoada aa modela esa egão esecal do escoameno, o sea, a fnção de amoecmeno de Van Des: onde ( τ / ) / l κy e y w m, (5.49) A A6 : consane; κ 0,4 : é a consane de Von Kaman; τ w : ensão de czalhameno na aede; y τ w / y 40. Ese amoecmeno no à aede é necessáo ma vez qe os efeos vscosos são edomnanes sobe os efeos blenos. Paa escoamenos mas comleos o modelo do commeno de msa de Pandl ona-se não alcável devdo às dfcldades de se avala o commeno de msa. Além dso ese o de modelo se onaa oco eesenavo, mesmo qe o commeno de msa desse se avalado Modelo a ma eqação de ansoe No modelo a ma eqação de ansoe bsca-se o cálclo de ma das gandezas caaceíscas da blênca, lzadas aa o cálclo da vscosdade blena, o eemlo a enega cnéca blena, com a qal calcla-se a velocdade caaceísca: Vˆ, onde v w é a enega cnéca blena. Lembando qe L CVˆ, em-se qe: Cµ L, (5.50) sendo C µ ma consane. Esa elação fo oosa o Kolmogoov e Pandl. Eles sgeam ambém a dedção de ma eqação de ansoe aa. Paa ano eesceve-se as eqações de Nave-Soes e as eqações médas de Reynolds:

22 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA 05 ( ), (5.5) ( ). (5.5) Com esas das eqações ode-se dedz ma eqação aa a flação de velocdade, sbando-se ma da oa, obém-se a segne eqação: ( ) ( ) (5.53) a qal ode se esca como sege: ( ) ( ) (5.54) Mllcando-se esa eqação o, lzando-se a ega da cadea aa as devadas, fazendo-se a méda de oda a eqação chega-se à eqação de ansoe aa a enega cnéca blena: ( ) (5.55) Noa-se qe esa é ma eqação de ansoe, sendo a vaável ansoada a enega cnéca blena, com os dvesos emos qe se encaegam de eqlba o balanço desa qandade. É neessane esda cada m dos emos desa eqação. O lado esqedo eesena a devada sbsanva de, o sea, a aa de mdança de à medda qe se acomanha ma aícla de fldo no neo de m escoameno bleno; O meo emo do lado deo da eqação, qe é o odo do enso de Reynolds ela aa de defomação mosa elo escoameno flado o médo eesena a conhecda

23 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA 06 odção de qe sgnfca a aa de ansfeênca de enega do escoameno médo o flado aa a blênca; O segndo emo, é classcamene eesenado o ε. Ele eesena a aa de dssação de enega cnéca blena, sendo conveda em enega nena do escoameno, qe, no eqlíbo, deve se gal à aa de odção de ; O qao emo eesena a dfsão molecla de ; O lo odo de flações de velocdade o o momeno de ecea odem, qe aaece no úlmo aêneses, eesena o ocesso de ansoe bleno de, o sea, a aa de ansoe de aavés do fldo elas flações blenas; A coelação de flação de velocdade com a flação de essão eesena ma eséce de dfsão de, geada elas flações de essão. Obseva-se qe, ao se gea ma eqação de ansoe aa m momeno de Segnda odem,, aaeceam momenos de ecea odem, o qe faz ae do oblema de fechameno da blênca. Paa fecha esa eqação faz-se necessáo modela esas coelações de ecea odem. O meo a oo m modelo de fechameno aa esa eqação fo Pandl em 945. A endênca naal ndca qe, o analoga com o ocesso dfsvo molecla, qalqe coelação do o φ φ, onde φ eesena o camo médo da fnção φ, ca flação φ esá sendo ansoada. Na fala de eemenos em laboaóo, a Smlação Nméca Dea (Mans e al. 988, o eemlo) em ndcado qe o momeno qe envolve a flação de essão ambém ode se modelado de foma semelhane. Logo, a vasa leaa no assno aesena a segne oosa aa fecha a eqação de ansoe de. σ, (5.56) onde σ é ma consane a se asada, em fnção do méodo de solção das eqações e do o de escoameno a se smlado. O emo de dssação ε ambém deve se modelado. Noa-se, qe no odo, em-se anda das ncógnas, o aa de dssação ε e o commeno caaceísco l. Taylo (935)

24 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA 07, lzando-se de análse dmensonal amene, oôs a segne elação: 3 / ε CD. (5.57) l A consane C D deve se deemnada emcamene. Noa-se qe esa oosa essõe qe ε e l não deendem de qalqe oedade físca do fldo. Resa anda a deemnação do commeno caaceísco do escoameno. Uma longa dscssão sobe o assno é aesenada o Wlco (998). Reescevendo a eqação de ansoe aa, em-se qe: ( ) 3 / C D. (5.58) σ l O enso de Reynolds á esá modelado, a menos do cálclo de l. A vscosdade blena ode se esca, como sendo / l C / ε. D (5.59) Bobyleva, segndo déas de Von Kaman oôs o segne modelo aa o cálclo de l : ψ l ψ /, (5.60) y / ψ. (5.6) l Obseva-se qe fo nodzda ma nova vaável e mas ma eqação. Ese modelo eme avala a fnção ala ψ e o commeno l, desde qe sea conhecdo o camo de. Iso ode se feo de foma neava: dado, calcla-se ψ e l, ecalcla-se ela solção da sa eqação de ansoe. Pocede-se neações aé a convegênca. Uma longa dscssão sobe os valoes das consanes e sobe l odem ambém se enconados em Wlco (998).

25 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA 08 Obevando-se ma melho comeensão do odo á aesenado, faz-se m esmo e aesena-se ma scna seqüênca de assos aa a solção das eqações. SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAS QUE COMPÕEM O MODELO ( ) ( ) *, (5.6) ( ) l 3 / D C σ, (5.63) 0, (5.64) 3 δ. (5.65) SEQUÊNCIA DE CÁLCULO. Inca odas as vaáves;. Com do emo ecedene esolve-se as eqações aa as velocdades médas e aa a essão; 3. Anda com no emo ecedene esolve-se a eqação aa ; 4. Calcla-se l ; 5. Com e l ecalcla-se ; 6. Reona-se ao asso e ecalcla-se as velocdades e a essão; 7. Vefca-se a convegênca de odas as vaáves; 8. Incemena-se o emo. A esa dese modelo e sdo ma alavanca aa o ogesso da modelagem da blênca, ele anda aesena mas lmações em elação a smlação de escoamenos comleos. Daí a movação aa a oosção dos chamados modelos a das eqações.

26 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA Modelo a das eqações de ansoe Os modelos de blênca baseados em das eqações de ansoe sevam como a base de mas esqsas e desenvolvmenos nas das úlmas décadas. São modelos comosos de ma eqação de ansoe aa a enega cnéca blena e oa, sea aa o commeno caaceísco, sea aa a dssação da enega cnéca blena. Iso mlca qe os modelos desa classe são, em ese, sfcenes aa calcla dfeenes os de escoamenos sem a necessdade de se conhece a esa do escoameno à o. Iso sea vedadeo caso não se vesse a necessdade de se asa m númeo mo moane de consanes ad-hoc e qe, va de ega, são deendenes do o de escoameno consdeado. Os modelos a das eqações mas lzados nos úlmos emos são aqeles do o ω e aqeles do o ε. A mea eqação, á esabelecda, seve aa modela o ansoe da enega cnéca blena. A Segnda eqação, como sgedo o Kolmogoov, em 94, deve se ma eqação aa a aa esecífca de dssação ω, o aa a dssação ε, as qas odem se elacona com, l e das fomas segnes: l h / / ω ; ε ω e / ω. (5.66) Ulzando-se desas elações e de m ocedmeno semelhane ao qe fo adoado aa se dedz a eqação aa, ode-se dedz eqações smlaes aa ω e aa ε Modelo do o ω As eqações qe caacezam ese modelo são, confome aesenado o Wlco, as segnes: Vscosdade blena cnemáca ω (5.67) Enega cnéca blena * ( ) * ( σ ) β ω (5.68)

27 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA 0 Taa de dssação esecífca ( ) ( ) β ω ω σ ω α ω ω (5.69) Relações comlemenaes e consanes de fechameno 5 9 ; ; f ; f ; * * 0 * 0 * β σ σ β β β β α β β (5.70) ( ) 00 9 ; S ; f * * β ω β Ω Ω χ χ χ ω ω ω β (5.7) 3 ; 0 se se f > ω ω χ χ χ χ χ β. (5.7) Caso se necesse, ode-se avala a dssação vscosa e o commeno caaceísco: β * ω ε e ω / l. (5.73) Nas eqações acma aaecem os ensoes oação méda e aa de defomação méda, defndos abao: Ω e S. (5.74) Modelo do o ε As eqações qe caacezam ese modelo são, confome aesenado o Wlco, as segnes:

28 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA Vscosdade blena cnemáca C.. (5.75) ε µ Enega cnéca blena ( ) ε σ (5.76) Taa de dssação esecífca ε ε. (5.77) ε ( ) ε ε ε C C ε σ ε Relações comlemenaes e consanes de fechameno Cε,44; Cε,9; Cµ 0,09; σ,0; σ ε,3 (5.78) ε 3 / ω e l Cµ / ε C µ (5.79) Modelo do o ε RNG Ese modelo ooso o Yaho e Ozag (986), basea-se na eoa do go de enomalzação. Ele em eaamene a mesma fomlação do modelo ε clássco aesenado acma, eceo elo cálclo da consane C ε qe dea de se ma consane e assa a se ma fnção da aa de defomação méda, como desco abao: Cε ( λ / λ ) C C ~ 3 µ λ 0,4; C ; C ~ ε,68; C 0,085; ε σ 3 ε µ βλ 0, 7 (5.80) σ ε 0, 7; β 0,0; λ0 4,38; λ S S. ε (5.8)

29 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA Modelo a ses eqações o modelo das ensões de Reynolds o modelo R O modelo baseado nas ensões de Reynolds não assa ela hóese da vscosdade blena de Bossnesq. Nese abalho aesena-se aenas as déas báscas elavas ao mesmo. Obseva-se qe, nos ens aneoes, modelava-se as ensões de Reynolds, va vscosdade blena, e bscava-se calcla, de dfeenes fomas, as escalas da blênca, com as qas se deemna a óa vscosdade blena. O modelo das ensões de Reynolds esá fndamenado em dedz eqações de ansoe deamene aa cada comonene das ensões de Reynolds. Ulzando-se de m ocedmeno smla àqele lzado aa obe as eqações da enega cnéca blena e aa sa dssação vscosa, ode-se obe m conno de ses eqações aa as comonenes do enso de Reynolds. Em noação ensoal, elas são escas da segne foma: τ l ( τ ) TF l. (5.8) Obseva-se qe esa eqação é comosa de odos os emos clásscos de ma eqação de ansoe, onde o segndo membo eesena: emos de odção, de dfsão e de dssação da vaável consevada, qe são as comonenes do enso de Reynolds τ. Como á comenado, as comonenes do enso de Reynolds são momenos de segnda odem. Logo, no ocesso de geação das eqações de ansoe, ogna-se emos qe envolvem momenos de ecea odem. Po ano, faz-se necessáo m ocesso de fechameno do modelo, va elações comlemenaes de ooconaldade, as qas egem a deemnação de consanes ad-hoc. Ese o de modelo é mo mas geal qe os ecedenes. Iso sgnfca qe com m mesmo conno de consanes, ode-se smla escoamenos mas dvesfcados, com boa confabldade. No enano, obseva-se qe são ses eqações de ansoe adconas, o qe o ona mo mas cao comaconalmene. No qe sege, seá aesenada ma meodologa alenava, com a qal se bsca, ao mesmo emo, smlcdade, genealdade e confabldade. Bsca-se ambém ma feamena qe ema analsa escoamenos blenos fscamene. Iso sgnfca qe, enqano com os modelos clásscos, ona-se vável aenas a obenção de eslados médos dos escoamenos, oca-se alenavamene, modelos maemácos qe emam obe nfomações mas

30 FENOMENOLOGIA DO PROBLEMA DE FECHAMENTO DA TURBULÊNCIA 3 efnadas aa comeende fscamene a dnâmca da Tblênca nos Fldos. Iso ode se feo com Smlação Nméca Dea, oém com o gande lmane qe só é ossível aca-la em escoamenos a baos númeos de Reynolds. A meodologa de Smlação de Gandes Escalas se oscona de foma nemedáa, vablzando a smlação da naeza físca de escoamenos blenos, mesmo a alos númeos de Reynolds. Sa fndamenação e ncas caaceíscas são aesenadas no caílo segne.