DECOMPOSIÇÃO DE BENDERS PARA PROGRAMAÇÃO MISTA E APLICAÇÕES AO PROBLEMA DE ESTOQUE E ROTEIRIZAÇÃO

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1 4 v. 0 n. 0 : pp ISSN D.O.I.: 0.895/S Revsa Gesão Indsal DECOMPOSIÇÃO DE BENDERS PARA PROGRAMAÇÃO MISTA E APLICAÇÕES AO PROBLEMA DE ESTOQUE E ROTEIRIZAÇÃO BENDERS DECOMPOSITION FOR INGEGER PROGRAMMING AND ITS APLICATIONS IN INVENTORY ROUTING PROBLEM Paíca Pado Belfoe; Oswaldo Lz do Valle Cosa; Lz Palo Lopes Fáveo Dooanda em Engenhaa de Podção POLI-USP Av. Pof. Lcano Galbeo 908 Sala G- - Cdade Unvesáa São Palo - SP paca.belfoe@pol.sp.b Pofesso Tla do Depaameno de Engenhaa Eléca POLI-USP Av. Pof. Lcano Galbeo av. n.58 C.P São Palo - SP oswaldo@lac.sp.b Dooando em Admnsação FEA-USP Av. Pof. Lcano Galbeo Sala G- Cdade Unvesáa CEP: São Palo SP São Palo-SP lpfaveo@sp.b Recebdo paa pblcação em:9/0/005 Aceo paa pblcação em: /08/005 Resmo Os modelos de pogamação nea msa de gande poe devdo ao gande númeo de vaáves neas são de dfícl esolção. Paa conona esa dfcldade ma alenava sea a mplemenação do méodo de decomposção de Bendes. Ese abalho em como objevo desceve o méodo de decomposção de Bendes paa pogamação msa e sas aplcações em Poblemas de Esoqe e Roezação. O algomo de Bendes decompõe o poblema pncpal em sbpoblemas faclando a esolção do poblema. Palavas-chave: Decomposção de Bendes Poblema de Esoqe e Roezação Pesqsa Opeaconal. Inodção À medda qe o númeo de vaáves neas cesce sgnfcavamene os modelos de pogamação nea msa de gande poe onam-se de dfícl solção. Qando o poblema é mo compleo pode se neessane sbdvdí-lo em sbpoblemas. Bendes (96) popôs m méodo de decomposção paa esolve poblemas de pogamação msa. Esa écnca decompõe o poblema pncpal em sbpoblemas. Revsa Gesão Indsal

2 Belfoe P. P. e al 5 No caso de poblemas de esoqe e oezação o poblema pncpal é decomposo em m sbpoblema de alocação de esoqes e m sbpoblema de oezação de veíclos. A apesenação do abalho seá dealhada a seg. No em seá desco o méodo de decomposção de Bendes paa pogamação msa. Já o em apesena o poblema de esoqes e oezação (nveno ong poblem IRP) e o em 4 as aplcações de decomposção de Bendes ao IRP. O em 5 mosa m eemplo do méodo de decomposção de Bendes e o em 6 o algomo de decomposção de Bendes. Fnalmene no em 7 enconam-se as conclsões e fas pesqsas.. Decomposção de Bendes paa pogamação msa Um dos pncpas conceos lzados na esolção do algomo de decomposção é o da Pojeção. O poblema pode se desco como em Geoffn (970): (.) ma f ( ) X ; Y g ( ) 0 qe envolve a omzação sobe o espaço conjno das vaáves e. Defne-se sa pojeção sobe o espaço apenas da vaável como: (.) ma Ma f ( ) X Y g ( ) 0 qe pode se esco como: (.) ma v( ) X onde: (.4) v( ) ma f ( ) Y g ( ) 0 O Poblema de das vaáves pode se esolvdo em dos eságos. Consdee agoa o segne poblema de pogamação msa: mn c' d ' (.5) A B b I 0 Revsa Gesão Indsal

3 6 onde I pode se po eemplo m conjno de númeos neos o m oo conjno de esções lneaes. Ulzando o conceo de pojeção sobe o poblema (.5) pode-se eescevê-lo como: mn c' Q( ) I (.6) Fando valoes de sobe o poblema (.5) o esane do modelo a se esolvdo é: _ Q( ) mn d ' B b A 0 O poblema compleo de mnmzação pode se esco da segne foma: (.7) (.8) mn c' mn d ' B b A 0 I Cabe aq elemba o Teoema da Daldade em pogamação lnea. Defne-se daldade aavés do pa de poblemas de PL abao: Pmal: mn c' Rn A b 0 Dal: ma ' b ' A c' 0 Tem-se o segne eoema (Wnson 995): Teoema da Daldade: Se m dos poblemas (pmal o dal) em ma solção óma fna enão o oo ambém em ma solção fna e os valoes coespondenes das fnções objevos são gas. Se m poblema é lmado o oo não em solção facível. Pelo Teoema da Daldade em-se qe: _ Q( ) mn d ' (.7) B b A 0 é semelhane a: Revsa Gesão Indsal

4 Belfoe P. P. e al 7 _ Q( ) ma ' (b A ) (.9) ' B d ' 0 Cabe agoa elemba algns faos báscos em pogamação lnea. Seja... k o conjno de ponos eemos e d... d l o conjno de deções eemas da egão de vabldade K de (.9) defnda como sege: K R m ; ' B d ' 0 _ Se (b A )' d j > 0 paa algm j... enão a solção do poblema é lmada (- ). Se _ (b A )' d j 0 paa odo j... enão ' (b A) ange se mínmo sobe K em m pono eemo de K. Poano pelo Teoema da Daldade o poblema (.7) somene é vável se o poblema (.9) em ma solção óma fna o seja se ese qe sasfaça a condção: (.0) (d j )' (b A) 0 j... l Dessa foma podemos eesceve o poblema (.6) como: mn c' ma ( j )' (b A) (.) j... k I (d j )' (b A) 0 j... l Dessa foma adconando e defnndo a vaável como a mao coa nfeo de Q() eesceve-se (.) como: (.) (.) (.4) mn c' I R (d j )' (b A) 0 j... l ( j )' (b A) j... k I O méodo de decomposção de Bendes basea-se na aplcação dos conceos de Daldade Pojeção e do elaameno das esções (.) e (.4) paa a esolção do poblema (.5). Com Revsa Gesão Indsal

5 8 base neses conceos o poblema (.5) é eesco na foma do poblema (.) com as esções (.) e (.4). Passo : Resolve-se o poblema (.) sem as esções (.) e (.4) caso esas esções anda não enham sdo acescenadas pelo passo enconando ma solção óma ( ). Caso a solção não seja enconada o poblema (.5) não em solção. Passo : Paa esa a vabldade da solção ( ) esolve-se o poblema lnea (.9). Se ende a nfno em (.9) adcona-se a esção M ao poblema (.9) onde M é ma consane posva de laga escala. Se o valo de Q() é meno o gal a enão a solção ( ) enconada é óma paa (.) a (.4) e é obdo po B b A emnando a omzação. Caso o valo Q() fo mao qe adcona-se ma esção do po (.4) ao poblema (.) com os valoes de ' enconados em (.9). Se o poblema (.9) com não poss solção óma fna o qe sgnfca qe (d j )' (b A) 0 enão com os valoes enconados em (.9) adcona-se ma esção do po (.) ao poblema (.) e eona-se ao passo. Teoema: O algomo de Bendes convege paa a solção óma do poblema (.5) em m númeo fno de eações (Geoffon 97).. Poblema de esoqe e oezação Incavas mpoanes vsando eleva os ganhos oas da cadea êm sgdo nas ndúsas com o ampao do Movmeno ECR Effcen Consme Response o Resposa Efcene ao Consmdo. Uma das écncas poposas pelo ECR é o VMI Vendo Managed Inveno Esoqe Geencado pelo Fonecedo qe em sdo mo dssemnada na ndúsa mndal. O VMI em como objevo a edção de csos aavés da negação dos componenes da cadea de abasecmeno. O pocesso de eposção aavés do VMI pode ocoe em qalqe elo da cadea de abasecmeno. O VMI é ma écnca no qal o fonecedo conola os níves de esoqe de ses clenes e decde qando e qano enega de mecadoa paa cada clene. Sendo assm os cálclos são ealzados po m algomo cadasado no fonecedo fomado po paâmeos pé-esabelecdos pelo vendedo e compado e baseado nas nfomações obdas do clene. Nesse modelo o clene é apenas nfomado da qandade qe seá envada. Desa manea ele faz m acompanhameno monoa mas não conola o pocesso (Klngenbeg e Annes 00). Revsa Gesão Indsal

6 Belfoe P. P. e al 9 Em mas aplcações o vendedo além de conola os esoqes dos clenes ambém admnsa ma foa de veíclos paa anspoa os podos aos clenes. Nese caso o objevo do vendedo é não só admnsa o eabasecmeno ómo dos esoqes como ambém a dsbção dos podos. Ese poblema é chamado Poblema de Esoqe e Roezação (IRP Inveno Rong Poblem). O IRP em como caaceísca a políca VMI e desenvolve meodologas paa solção dese poblema (Campbell e al.998).. Defnção do poblema O Poblema de Esoqe e Roezação (IRP) aa da dsbção de m únco podo a pa de m únco ceno de dsbção qe aende N clenes deno de m hozone de planejameno T possvelmene nfno. O clene consome o podo a ma aa e em ma capacdade de amazenagem C. O nível de esoqe do clene no nsane é I. A dsbção dos podos é fea aavés de M veíclos homogêneos e cada veíclo êm ma capacdade C v. A qandade enege ao clene pela oa no nsane é Q. O númeo oal de oas de enega é R. Defne-se c o cso de eeca a oa... R e ces o cso de amazenagem do clene. O objevo é mnmza o cso médo dáo de dsbção dane o hozone de planejameno de modo qe não haja fala de esoqes paa os clenes. Podem-se adcona ao modelo csos de esoqe e csos de fala de podos. A cada nsane são omadas decsões de oeameno de veíclos e eabasecmeno de esoqe dos clenes. O Poblema engloba ês fases:. Seleção das oas. Deemna a cada da qas oas ão ocoe e qano enega paa cada clene da oa dane cada vsa. Roezação de veíclos: qal o melho oeo. Modelagem Defnemos a seg m modelo de pogamação nea msa ml-peíodo baseado nas déas de Campbell e al.(999). Nese modelo as decsões sobe qas oas ão ocoe qano enega paa cada clene da oa e qal o melho oeo são omadas daamene. Revsa Gesão Indsal

7 0 Paâmeos: R oal de oas de enega c cso de eeca a oa... R c cso de amazenagem do clene (R$/em da) es N númeo de clenes M númeo de veíclos dsponíves T hozone de planejameno aa de consmo do clene... N C capacdade de amazenagem do clene... N C v capacdade do veíclo 0 I esoqe ncal do clene... N I nível de esoqe do clene no nsane... N... T T dação da oa (fação do da) empo oal dsponível po da T d Vaáves de decsão: Q volme oal enege ao clene da oa no da vaável bnáa ndca se a oa é eecada no da ( ) o não ( O nível de esoqe do clene no nsane pode se defndo como: 0) (.) I I Q R A qandade mínma a se enege ao clene no fnal do da é: (.) d ma(0 I ) A qandade máma a se enege ao clene no fnal do da é: 0 (.) D C I 0 O Poblema pode se fomlado da segne manea: (.4) mn d I Q s R C v Q s bna 0 Q c D c es... N... T... R... T mn( C I v C ). () () Revsa Gesão Indsal

8 Belfoe P. P. e al O objevo do modelo é mnmza os csos de anspoe e esoqe de modo qe a demanda de odos os clenes sejam aenddas. O modelo pode mnmza apenas os csos de dsbção desconsdeando os csos de esoqe sjeo às mesmas esções. A esção () gaane qe não haveá fala de esoqe paa o clene e qe a capacdade de amazenagem do clene não seá ecedda. A esção () gaane qe o volme oal enege aos clenes da oa não ecedeá a capacdade do veíclo. Caso o númeo de veíclos (M ) em cada peíodo seja lmado adcona-se a segne esção: R M... T () 4. Aplcações de decomposção de Bendes ao poblema de esoqe e oezação O objevo do modelo de pogamação nea em empo dsceo qe não consdea os csos de esoqe é: R T mn c Podemos defn as mazes A e B e m veo b de foma qe: A B b epesene o segne conjno de esções: d Qs D... N... T s R Q I R C v... R... T M... T bna 0 Q mn(c v C ). Logo o poblema de pogamação msa a se esolvdo é: Revsa Gesão Indsal

9 mn c' 0' A B b bnáo qe pode se esolvdo aplcando a decomposção de Bendes. O veo epesena as oas e o veo as qandades eneges. No caso do modelo qe consdea os csos de esoqe o objevo é: R T N T mn c ces I onde: R I I Q Defnem-se as mazes A e B e m veo b de foma qe: A B b epesene o mesmo conjno de esções do modelo aneo. O poblema de pogamação msa é: mn c' d ' A B b bnáo 5. Eemplo lzando algomo de decomposção de Bendes Consdeemos o segne poblema: mn 5 5 (5.) I 0 Reescevendo o poblema (5.) de acodo com a eqação (.7) emos qe Q() é: Revsa Gesão Indsal

10 Belfoe P. P. e al Revsa Gesão Indsal (5.) mn 5 I O dal de (5.) é: (5.) ) ma ( a s Abao seá especfcada cada passagem lzando o algomo de decomposção de Bendes. Passo a) Poblema pncpal: O pmeo passo é esolve o poblema (5.) sem as esções lzando o conceo de pojeção: (5.4) 0 mn I A solção é: Passo a) Sbpoblema: Vefca se a solção é óma. Sbsndo os valoes 0 0 na eqação (5.) emos: (5.5) ma 5 ) ( Q A solção é: 5 ) ( 0 e 0 5 Q.

11 4 O valo 0 é meno qe Q( ) 5 poano a solção não é óma. Com os valoes adcona-se ma esção do po ( )' (b A) o seja 5(5 ) ao poblema pncpal (5.4). Passo b) O poblema pncpal seá: mn (5.6) I 0 A solção é 0. Passo b) Vefca se a solção 0 é óma. Paa sso esolve-se o sbpoblema (5.) sbsndo os valoes de e enconados em (5.6): Q( ) ma 7 4 (5.7) 5 0 A solção óma é e Q( ) 0. A solção enconada no poblema (5.6) não é óma pos 0 < Q( ) 0. Sbsndo os valoes em '(b A) adcona-se a esção 5(4 ) ao poblema pncpal (5.6). Passo c) O poblema pncpal seá: mn I 0 (5.8) A solção é: 0 0. Passo c) Tesa a solção 0 0. Sbsndo eses valoes no sbpoblema (5.) emos: Revsa Gesão Indsal

12 Belfoe P. P. e al 5 Q( ) ma 8 (5.9) 5 0 A solção é: e Q( ) 0. O valo 0 é gal a Q(). Poano e 0 é a solção óma. Sbsndo e 0 em (5.) emos: mn (5.0) 0 A solção é com A solção óma 0 e Fobj. 6. Algomo de decomposção de Bendes O algomo de decomposção de Bendes esá desco abao: : = vaável nea : = eal posva : Q() : enqano Q() faze esolve o poblema pncpal mn c' coes I esolve sbpoblema ma ' (b A ) ' B d ' 0 se solção nfacível enão fa solção nfacível d e adcona esção d ' (b A) 0 ao poblema pncpal senão fa pono eemo e adcona esção ' (b A) ao poblema pncpal Revsa Gesão Indsal de (5.) é

13 6 Q( ) : ' (b A ) fm se fm enqano fm 7. Conclsões e fas pesqsas Ese abalho eve como objevo apesena o algomo de decomposção de Bendes e sas aplcações ao poblema de esoqe e oezação. Como os poblemas de pogamação msa são de dfícl solção ma alenava é decompo o poblema pncpal em sbpoblemas como ocoe no méodo de Bendes. Como fas pesqsas ese méodo pode se aplcado em oos pos de poblemas de pogamação msa e pode ambém se lzado smlaneamene com oos algomos. Absac The models of gea nege med pogammng de he gea nmbe of nege vaables ae of dffcl esolon. In ode o anspose hs dffcl an alenave wold be o mplemen he mehod of bendes decomposon. The am of hs wok s o descbe hs mehod fo med pogammng and how can be appled n Inveno Rong Poblems. The bendes algohm decomposes he man poblem no sb poblems makng hem ease o be solved. Ke wods: Bendes Decomposon Inveno Rong Poblem Opeaonal Reseach Refeêncas BENDERS J. F. Paonng pocedes fo solvng med-vaables pogammng poblems. Nmesche Mahemak n. 4 p CAMPBELL A.; CLARKE L.; KLEYWEGT A.; SAVELSBERGH M. W. P. The nveno ong poblem. In: GRAINIC T. G.; LAPORTE G. (Eds.). Flee managemen and logscs. [S. l.]: Klwe Academc Pblshes 998. p CAMPBELL A.; CLARKE L.; SAVELSBERGH M. An nveno ong poblem. [S. l.: s. n.] 999. GEOFFRION A. M. Elemens of lage-scale mahemacal pogammng. Managemen Scence v n. GEOFFRION A. M. Genealzed bendes decomposon. Jonal of Opmzaon Theo and Applcaons v. 0 n. 4 p KLINGENBERG C. O.; ANTUNES J. A. V. J. Consção de m modelo oenavo paa a mplanação do VMI em empesas da ndúsa spemecadsa baslea. In: ASSEMBLÉIA DO CONSELHO LATINO-AMERICANO DE ESCOLAS DE ADMINISTRAÇÃO Anas WINSTON W. L. Inodcon o mahemacal pogammng: applcaons and algohms.. ed. Belmon: Db Pess 995. O ECR no Basl-Scoecad. In: CONGRESSO ECR BRASIL. São Palo. Anas... São Palo 000. Revsa Gesão Indsal

14 Belfoe P. P. e al 7 Revsa Gesão Indsal