Cinemática e Dinâmica

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1 nemáca e Dnâmca Resão de colsões: Nas colsões ene paículas a quandade de momeno ncal P (ou momeno lnea ncal) do conjuno das paículas é SEMPRE gual a quandade de momeno nal P (ou momeno lnea nal) do conjuno das paículas: P m = quandade de momeno Se emos apenas duas paícula, po exemplo: paícula e paícula : P p p Usando a conseação da quandade de momeno: P P p p p p A expessão acma é a equação básca paa a conseação da quandade de momeno. omo o momeno lnea é um eo, eemos equações de conseação paa as suas componenes x e y : Anes da colsão p y p Depos da colsão y p p x x (p ) x + (p ) x = (p ) x + (p ) x (p ) y + (p ) y = (p ) y + (p ) y Resão de aação gaaconal: m m Duas paícula de massas m e m especamene, sepaadas po uma dsânca se aaem muuamene com uma oça: m m F G G onde G é a consane de gaação unesal, e ale: G = 6,67x0 - N m / kg UFPB/98. Um copo desloca-se numa ajeóa elínea. Às 0 hoas e 30 mnuos, sua elocdade é de 40 km/h num deemnado sendo e, às 0 hoas e 45 mnuos, é de 60 km/h no sendo oposo ao aneo. O módulo da aceleação méda do copo nese nealo de empo, em km/h, é a) 0 d) 40 b) 80 e) 400 c) 00 e- mal : omeo@sca.upb.b 8

2 Dados: = 0 h 30 mn = 0,50 h = 40 km/h = 0 h 45 mn = 0,75 h = - 60 km/h a ( 60) (40) 00 0,750,50 0,5 400 Resposa: em e a 400km/h UFPB/98. Uma moo, pando do epouso, pecoe uma psa ccula cujo ao é 36m. O gáco de sua elocdade, em unção do empo, é dado ao lado. onsdeando = 3, deemne a) o empo que a moo gasa paa aze as ês pmeas olas na psa ccula. b) o módulo da aceleação cenípea da moo, no nsane em que ela complea a 3 a ola. Dado: = 36 m a)omo o gáco de a esus é uma ea que passa pela ogem, emos que = a. Essa é a equação paa a elocdade no momeno elíneo e unomemene aado (MRUV), logo: 40 0 a a 4m/s 0 0 onsdeando n o númeo de olas, emos que no MRUV a dsânca pecoda d em a oma: a d n( ) ou seja: b) (=8s) = 4.8 = 7 m/s n(4 ) a a (7) 36 3(4.3.36) 4 8s 44m / s e- mal : omeo@sca.upb.b 9

3 UFPB/98 3. Uma bola A, com elocdade de 0m/s, ncde sobe uma bola B, em epouso. A massa de B é a meade da massa de A. Após o choque, as bolas A e B deslocam-se com elocdades V A e V B, especamene, que omam os ângulos e com a deção ncal do momeno da bola A, conome ndcado na gua ao lado. Deemne V A e V B, sabendo que sen = cos = 0,6 e que sen = cos = 0,8. Nese poblema, uma das paículas encona-se ncalmene em epouso: p (p ) x = m A A (p ) y = 0 (p ) x = 0 (p ) y = 0 p Depos da colsão, emos que: (p ) x = m A V A cos e (p ) y = m A V A sen (p ) x = m B V B cos e (p ) y = - m B V B sen Ao longo do exo x emos a equação: m A A = m A V A cos + m B V B cos () E ao longo do exo y emos a equação: 0 = m A V A sen - m B V B sen () p p (p ) y y omo nese poblema m A = m B as equações () e () omam a oma: x (p ) x A = V A cos + V B cos ( ) 0 = V A sen - V B sen ( ) As ncógnas do ssema de equações ( ) e ( ) acma são V A e V B. Resolendo ese ssema, enconamos: sen VA A 8m / s cos sen sen cos sen VA A m / s cos sen sen cos UFPB/98 4. Um saéle acal descee uma óba ccula em ono da ea. alcule a massa da ea, sabendo que o peíodo de eolução do saéle é x0 4 s e que o ao de sua óba é x0 7 m. onsdee = 3 e a consane de gaação unesal G = 6x0 - N. m /kg. e- mal : omeo@sca.upb.b 0

4 A oça de aação ene o saéle e a ea é: m M S F G G Essa oça coesponde a uma oça cenípea senda pelo saéle, que o maném em óba: Logo: F m S m S msm G 4 ms 4 ms F G = F M 4 G 3 6x0 4 kg UFPB/97 5. Um auomóel pecoe uma psa elínea com aceleação consane. Num d e- emnado nsane, sua elocdade é de 36 km/h e 0 segundos depos, 44 km/h. A aceleação do auomóel, em m/s, é: a) b) 3 c) 4 d) 9,8 e) 0,8 Dados = 36 km/h = 0 m/s = 44 km/h = 40 m/s = 0 s Resposa: em b = + a a = 3 m/s a UFPB/97 6. Uma paícula descee um momeno elíneo sob a ação de uma oça F, cuja aação com o empo esá epesenada no gáco ao lado F A elocdade desa paícula, em unção do empo, pode se epesenada po: e- mal : omeo@sca.upb.b

5 a) d) b) e) c) A Segunda le de Newon dz que F ma, a oça esulane que aua em uma paícula é gual ao poduo da massa pela aceleação desa paícula. Poano: ) F = 0 paa 0 logo a = 0 = consane. ) F = consane > 0, paa, logo a = consane > 0 = + a ou seja: a cua que dene a elocdade no gáco x é uma ea. ) F = 0 paa logo a = 0 = consane Resposa: em d UFPB/97 7. Duas pequenas eseas e de mesma massa esão ncalmene em epouso, pesas po os de massa despezíel e de mesmo compmeno, conome a gua. Solando-se a esea, esa se choca com a e ambas passam a moe-se junas. A alua máxma h angda pelo ssema omado pelas duas eseas ale: a) h/8 d) h/ b) h/4 e) h h e- mal : omeo@sca.upb.b

6 c) h/3 No nsane da colsão a esea em uma elocdade. alculamos usando a conseação da enega mecânca: m mgh Logo depos da colsão, eemos o conjuno das duas eseas se moendo com a mesma elocdade V. Enconamos V usando a conseação da quandade de momeno (ou momeno lnea), ou seja: a quandade de momeno anes da colsão P é gual a quandade de momeno após a colsão P. gh gh P P m (m m)v V Usando a conseação da enega mecânca, a alua h alcançada seá: V (m m) (m m)gh' Resposa: em b V h' g g gh h 4 UFPB/97 8. Dos saéles acas pecoem óbas cculaes em ono da ea. Um deles em elocdade e pecoe uma óba de ao gual a duas ezes o ao da ea. Sabendo-se que a elocdade do ouo é /, qual a azão ene sua dsânca à supeíce da ea e o ao da ea? Dados = = R = / A oça de aação gaaconal ene a ea e um dos saéles é dada po: mm F G G omo o momeno do saéle é ccula com elocdade, podemos assoca à oça gaaconal uma oça cenípea dada po: m F ma Paa o copo emos: m mm GM G GM De modo equalene paa a paícula, obemos: Ddndo uma equação pela oua, enconamos: GM R GM 8 R d 8, mas d = R = 7 R 7 R R e- mal : omeo@sca.upb.b 3

7 UFPB/97 9. Dos blocos e de massas 0,5 kg e 0,8 kg, especamene, esão ncalmene em epouso sobe uma supeíce hozonal e lsa, amaados po um codão e compmndo uma mola. oa-se o codão, e o bloco passa a se moe com elocdade de m/s. Deemne o momeno lnea adqudo pelo bloco. Dados: m = 0,5 kg m = 0,8 kg = m/s onsdeando-se a conseação do momeno lnea, emos que o momeno lnea P anes da colsão é gual ao momeno lnea P após a colsão. omo os copos esão ncalmene em epouso P = 0. P m m P = m m =0 = 7,7 m/s 0 m m UFPB/96 0. A elocdade escala de uma paícula em momeno ccula de ao R = 5m é dada pela equação () = + 3, onde as gandezas esão expessas em undades do Ssema Inenaconal. alcule: a) o módulo da aceleação cenípea no nsane 3,0s. b) o módulo da aceleação escala no nsane 3,0s. c) o módulo da aceleação esulane no nsane 3,0s. a) (=3s) = = 0 m/s a ( 3) d b) a an gencal 3 a = 3 m/s d 3 0 R 5 a 4m / s c) a R a a 4 3 a R = 5 m/s UFPB/96. Um pêndulo smples é consuído po um o de compmeno L =,0m e uma paícula de massa m = 50g pesa na sua exemdade. O pêndulo oscla, de modo que, quando o o az um ângulo de 60º com a deção ecal, a elocdade angula da paícula ale ad/s. Usando g = 0 m/s, sen 60º = 0,87 e cos 60º = 0,50, deemne: a) o módulo da oça cenípea que aua sobe a paícula nesse pono. b) o módulo da ensão do o nesse pono. = 60 0 m = 50g = e- mal : omeo@sca.upb.b 4

8 0,05kg Dados: w = ad/s L = m a) omo = w m F mw L 0,Newons L b) Num momeno ccula podemos enende a oça cenípea como a esulane das oças ao longo da deção adal: F = P cos = F + P cos P = 0,45 Newons UFPB/96. Uma bola, de massa m = 0,0kg e com elocdade de 6m/s, ncde sobe oua, dênca, em epouso, sobe uma mesa hozonal lsa. Após o choque, ambas as bolas deslocam-se com elocdades que omam um ângulo de 30º com a deção ncal do momeno da bola ncdene (eja gua abaxo). Deemne: a)a peda de enega cnéca deda ao choque. b)o ângulo que as elocdades de ambas as bolas, após o choque, deeam aze com a deção ncal do momeno da bola ncdene, paa que o choque osse elásco. Dados: sen30º = cos60º = /; sen45º = cos45º = ; sen60º = cos30º = 3 onsdeando-se a conseação do momeno lnea, emos que o momeno lnea anes da colsão é gual ao momeno lnea P após a colsão: P P P m P mv mv P Vamos consdea o exo x como sendo aquele do sendo da elocdade ncal. Fazendo assm, segundo o exo x emos a equação: m = m V cos m V cos30 0 () e segundo o exo y que é a deção pependcula ao exo x emos a equação: 0 = m V sen m V sen30 0 () A pa das equações acma, emos o ssema abaxo: e- mal : omeo@sca.upb.b 5

9 Resolendo, enconamos que: 3 V V 0 V V 3 V = V e 3V V 3 m / s Seja K a enega cnéca ncal do conjuno e K a enega cnéca nal: K m K mv mv m 3 K K K K K m 3 0, m Peda = 33,4 % b) Se as paículas zessem um ângulo genéco com o exo hozonal, eíamos, a pa das equações () e () : m = m V cos + m V cos 0 = m V sen - m V sen ou seja: = ( V + V ) cos V = V Resolendo ese ssema, enconamos que: V V cos As enegas cnécas ncal e nal, eão a oma: K K m m mv mv 4 cos mv K K m 4 cos m cos Paa que o choque osse elásco: K = K, logo: cos 0 45 UFPB/95 e- mal : omeo@sca.upb.b 6

10 3. Uma elocdade cujo alo é 90 km/h pode, ambém, se expessa po a) 5 cm/s c) 500 cm/s e) cm/s b) 50 cm/s d) cm/s = 90 km/h = 5 0 cm s = 500 cm/s Resposa: em c UFPB/95 4. Sobe o momeno desco pelo gáco posção empo, a segu I ene s e 5 s o copo esá paado. II ene 9 s e 0 s a elocdade do copo esá dmnundo. III no nsane = 7 s a paícula em elocdade nula. Das amaas aneoes, a) odas são edadeas. d) apenas I e III são edadeas. b) apenas I e II são edadeas. e) nenhuma é edadea. c) apenas II e III são edadeas. Sabemos que a elocdade é a deada da posção x em elação ao empo, ou seja: dx d I - Vedadea, pos x = consane = 3m no nealo de empo consdeado. II - Falsa, pos como a cua x esus, no nealo de empo consdeado, é uma ea, a elocdade é consane. III - Vedadea, pos como a deada de x no pono = 7s é nula, emos que = 0 nese nsane. Resposa: em d UFPB/95 e- mal : omeo@sca.upb.b 7

11 5. Dos copos A (m A = 0,50 kg) e B (m B = 0,30 kg) deslocam-se, hozonalmene, sem ao sobe uma mesa, sob a ação de uma oça F de nensdade gual a 4N, como mosa a gua abaxo. Despezando-se a massa do o que lga A a B, a ação que ele exece sobe B ale: a),5 N b),0 N c),5 N d) 3,0 N e) 4,0 N F Se consdeamos os dos copos como um conjuno, a oça esulane que aua nese conjuno é F. Usando a segunda le de Newon: F = ( m A + m B ) a F a m A m B a = 5 m/s Se analsamos apenas o copo B, a oça F AB que o copo A exece nele é a esulane de oças. omo os copos A e B moem-se em conjuno, êm a mesma aceleação, logo: F AB = m B a Resposa: em a F AB = 0,30 x 5 =,5 N UFPB/95 6. Um móel gasa 3s paa pecoe, em momeno unome, uma ajeóa ccula de m de ao. Deemne sua aceleação cenípea. onsdee = 3. a a 4m / s 8m / s UFPB/95 7. Dos blocos e deslocam-se na hozonal, em sendos oposos, com elocdades 3m/s e m/s, especamene, ndo um de encono ao ouo. Após se chocaem, os blocos passam a desloca-se com elocdades m/s (bloco ) e m/s (bloco ), ambos no sendo do momeno ncal do bloco. Sendo 0,3J a enega cnéca do ssema omado po e, após a colsão, deemne: a) as massas dos blocos; b) a peda de enega cnéca deda à colsão. e- mal : omeo@sca.upb.b 8

12 = 3 m/s V = m/s Dados: = - m/s V = m/s K = 0,3 Joules a) Usando a le de conseação do momeno lnea: P m P m mv mv m m = m V + m V Usando os aloes das elocdades na equação acma, emos: ou seja: 3 m m = m + m m = m () K m V m V Usando os aloes das elocdades, enconamos: K = 3 m = 0,3 Joules () Usando as equações () e (), enconamos que: m = 0, kg m = 0, kg b) K m m K =, Joules K K 0,77 K Peda = 7,7 % UFPB/94 8. Uma ganada, ao explod, desnega-se em dos agmenos de massas m = 0,0 kg e m = 0,5 kg. Se a ganada esaa em epouso quando explodu e o agmeno de mao massa adque elocdade de m/s, qual o módulo da elocdade do ouo agmeno medaamene após a explosão? Dados: m = 0,0 kg = = 0 m = 0,5 kg V = m/s Usando a le de conseação do momeno lnea: P m P m mv mv 0 = - m V + m V e- mal : omeo@sca.upb.b 9

13 mv V m V = 3 m/s UFPB/94 9. Deemne, a pa da aplcação da a le de Newon, a aceleação ( módulo, deção e sendo ) de uma paícula que se desloca lemene, sem ao, sobe um plano nclnado que az um ângulo de 30 0 com a hozonal. onsdee g = 0 m/s. Dado: = 30 0 N A esulane R das oças que aua no copo é: R N P Ao longo do exo y a esulane é nula, P R y = 0 = N P cos e ao logo do exo x R x = m a x = P sen omo P = mg, emos: a x = g sen Usando os aloes de g e, enconamos que: a x = 5 m/s x y UFPB/94 0. alcule a poênca méda onecda po uma locomoa que desloca uma composção execendo sobe a mesma uma oça de,0 x 0 5 N. Sabe-se que essa composção pecoe 54 km em uma hoa. Dados: F = 0 5 Newons d = 54 km = m = h = 3600 s abalho Poênca empo P W 5 F.d P =,5 x 0 6 Was UFPB/94. Deemne a quandade de enega mecânca pedda em uma colsão hozonal undmensonal, peeamene nelásca, ene uma paícula, de massa m = 30 g e elocdade = m/s, e oua, de massa m = 0 g e elocdade = m/s com sendo oposo ao de. e- mal : omeo@sca.upb.b 0

14 Dados: m = 30 g = 0,03 kg = m/s m = 0 g = 0,0 kg = m/s Na colsão peeamene nelásca os copos pemanecem junos após a colsão: V = V = V Usando a le de conseação do momeno lnea, enconamos: P P m m m V m V m m = ( m + m ) V m m V m m Usando os aloes onecdos, obemos: V = 0,8 m/s K = K K K m m 0,070Joules K m m V 0,06Joules K = 0,054 Joules e- mal : omeo@sca.upb.b