Equações de Conservação

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1 Eqaçõs d Consação Toma d Tanspo d Rnolds Eqação d Consação d Massa (conndad) Eqação d Consação d Qandad d Momno Lna ( a L d Non) Eqação d Na-Soks Eqação d Enga Mcânca Eqação d Consação d Qandad d Momno Angla 1

2 Toma d Tanspo d Rnolds pm ansfoma as qaçõs paa ssma (massa fa) paa olms d conol (olm fo) aação oal aa d aação flo líqdo sando com o mpo d da ganda ganda spcífca d ma ganda spcífca no C aaés da SC d m ssma C ssma dm d 1 dm d SC φ ganda spcífca ; massa spcífca ; d olm nfnsmal d m massa nfnsmal ; d m d ; d Φ ganda no olm nfnsmal ; d Φ φ d m φ d

3 aa d acmlação d ma ganda spcífca C dm d φ dm C φ d C 1 SC qandad da ganda q ca a spfíc: φ d m φ da L φ da n d φ n da n d m da L da n d flo líqdo d massa cando a SC φ n d SC A n n dφ d ssma φ d C φ SC n d A 3

4 Eqação d Consação d Massa Ssma: ssma dm d d d d ssma d m 0 0 d olm d conol: d C nd A 0 SC A aação com o mpo da da massa do olm d conol B Flo líqdo d massa aaés da spfíc d conol 4

5 Aplcando o oma d Lbn b( ) a ( ) b( ) a( ) f ( ) d f ( ) d db d f ( b) da d f ( a) ao mo A, mos d. C. C d Aplcando o oma d dgênca d Gass ao mo B, mos n d A d ( ) d SC C Somando A com B d d ( ) C 0 Qmos q sá qação sa álda paa qalq olm, poano, ddndo po d aplcando o lm d nd a o, obmos a qação d consação d massa dfncal, álda paa qalq pono 5

6 d ( ) 0 ( I ) aação da massa com o mpo po ndad d olm Flo líqdo d massa po ndad d olm A qação acma pod s sca sabndo q como Dfndo o opado : dada maal, o oal o sbsana mos D D d ( ) () 0 D A D 0 ( II ) A A aação local aação mpoal conca

7 7 Coodnadas casanas: Coodnadas clínas: Coodnadas clíndcas: ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 Eqação d Consação d Massa o Conndad 0 ) ( d 0 ) ( d D D o 0 ) ( Casos aclas 1. Rgm mann:. Incompssíl: 0 ) ( d 0 ) ( d ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0

8 Eqação d Consação d Qandad d Momno Lna (a L d Non) F ma d f D D d f S fc D D foça d copo: f C foça olméca,: foça gaaconal f g g foça d spfíc: f S f p f 8

9 f p - foça d pssão: foça nomal compssa d ( ) dd (,, ) ( d) dd d df p, d d - ( d d / d d d) - / d f p, - / logo f p, - / f p, - / f p k d f p 9

10 f foça scosa: foça dfnda po m nso, m cada fac poss 3 componns, dos angncas m nomal Foça d spfíc scosa slan na dção connção n d d F d d d, F, f, n 10

11 11 ocdndo d foma análoga paa as oas dçõs f, f, f, f f f

12 1 Eqação dfncal d qandad d momno na foma oal coodnadas casanas g D D g g g

13 Casos aclas: Eqação d El (fldo pfo, não scoso) D g gad D Eqação da Hdosáca: g gad aa fldos scosos, pcsamos d ma nfomação adconal: lação n a nsão csalhan a aa d dfomação do lmno d fldo 13

14 pod-s dmonsa plo so da qação consação d qandad d momno angla q o nso é sméco Eqação Consa paa fldos Nonanos, 3, 3, 3 γ f T d dγ d [ gad ( gad ) ] d I 3 14

15 15 Eqação d Na-Soks: Eqação d consação d qandad d momno lna paa fldo Nonanos (coodnadas casanas) p g 3 p g 3 p g 3

16 16 A qação d Na-Soks smplfca bm s a massa spcífca a scosdad foam consan A maoa dos líqdos podm s consdados como fldos ncompssís A scosdad da maoa dos gass é apomadamn consan 0 μ g μ g μ g Na-Soks (popdads consans) μ g D D coodnadas casanas μ f

17 17 Na-Soks (popdads consans) m coodnadas clíndcas 1 μ g 1 μ g 1 μ g Dção adal Dção angla Dção aal

18 18 Eqação d Enga Mcânca A nga mcânca d m ssma não s consa, poém sa qação é mo úl m dsas saçõs. od s obda aaés do podo scala do o locdad com a qação d consação d qandad d momno lna [ ] g D D o ( ) D D 1 1 ( ) ( ) : ( ) D D conndad o ] ) ( [ Obs: (1) () Enão, opando o podo scala

19 19 kl k l kl k l l kl k σ σ δ δ σ σ : σ : odo scala d dos nsos (podo dplo): T : ] ) ( [ : 3 aa fldo Nonano k k δ Φ 3 : k k 3 Φ Φ é smp poso, é a fnção dsspação 3 1 k k Φ aa fldos Não-nonanos pod s ngao :

20 Eqação d Enga Cnéca 1 1 aa d flo amno d líqdo d nga nga cnéca cnéca g aa d abalho ddo a foça gaa conal ( ) aa d aa d abalho consão ddo a síl pssão a nga nna ( ) : aa d aa d abalho consão ddo a foças síl a scosas nga nna pod s poso o ngao, dpndndo s o fldo sá sofndo pansão o compssão. As mdanças d mpaa podm s gands m compssos, bnas o na psnça d ondas d choq. é smp poso paa fldos Nonanos. Es mo pod s sgnfcao m ssmas com scosdads gadns d locdads lados, como oco m lbfcação, são ápda ôos d ala locdad. : 0

21 Eqação d Enga Mcânca Tabalhando o mo g podmos sc a qação paa a soma da nga cnéca poncal, gando a qação d nga mcânca Inodndo a dfnção d nga poncal poncal po ndad d massa Ψ, dfnda com g Ψ, mos q g Ψ ( Ψ ) Ψ ( ) ( Ψ ) ( Ψ ) Ψ ( Ψ ) 1 Ψ 1 ( ) Ψ ) ( ) ( ) : 1

22 Eqação d Consação d Qandad d Momno Angla Esa qação pod s obda com o podo oal do o posção com a qação d consação d qandad d momno lna [ ] [ ] ( ) [ g ] ( ) g [ I] [ ] [ε : ] ε é o nso d 3ª. odm com componns ε k (símbolo d pmação) ε k 1 s k 13, 31 o 31 1 s k 31, 13 o 13 0 s qasq dos índcs fom dfns

23 odo oal d dos os: ε k k d odo oal d m o nso: ε k k l k l k S é sméco: [ε : ] 0 não s consão d momnm angla macoscópco m momnm angla nno,., as das fomas d momnm s consam spaadamn. 3

24 CONDIÇÕES DE CONTORNO Infac fldo-sóldo: a locdad do líqdo é gal a locdad do sóldo condção d não dslamno: locdads angncas gas condção d mpnabldad: locdads nomas gas Infac plana líqdo-líqdo: as locdads nsõs são conínas aaés da nfac Infac plana líqdo-gás: a nsão csalhan é nla na nfac, ma q os gadns do lado do gás são pqnos. Esa é ma boa apomação poq gass << lqdos. Qando as nfacs líqdo-lqdo o líqdo-gás são cas, a nsão nomal não é mas conína aaés da nfac, a nsão spfcal ona-s mpoan 4

25 ESCOAMENTOS EXTERNOS: m gal dsamos dmna as foças q aam no copo, so é, foça d aas ssnação. Rgão afada pla psnça do copo CAMADA LIMITE Foa da camada lm, o scoamno não é afado pla psnça do copo foças scosas não são mpoans Qando o scoamno na camada lm é dsaclado ddo a ma dfnça d pssão, pod oco ma são do scoamno a camada lm spaa-s da spfíc do copo, fomando a sa 5

26 ESCOAMENTOS EXTERNOS A locdad caacísca é a locdad d apomação do copo U A dmnsão caacísca é o compmno do copo na dção do scoamno, L U O númo d Rnolds R q caaca a ansção ns caso é R lamna R > blno L 6

27 ESCOAMENTOS INTERNOS: m gal dsamos bsca a lação n aão qda d pssão. Em m scoamno nno, long da gão d nada, obsa-s q o scoamno não apsna aaçõs na sa pópa dção, a pssão aa lnamn ao longo do scoamno. O scoamno é consdado como hdo dnâmcamn dsnoldo. O compoamno na gão d nada d ma blação apsna o msmo compoamno q o scoamno no. oano, sdamos scoamnos nos dpos aplcamos os slados obdos paa analsa a gão d nada d ma blação. 7

28 ESCOAMENTOS INTERNOS Consdando q o scoamno como hdodnâmcamn dsnoldo. A locdad caacísca é a locdad méda m R A dmnsão caacísca é o dâmo hdálco, D h m D h Q 1 da A A T 4 A m D h m T A é a áa anssal do scoamno m é o pímo molhado, o fao 4 é noddo po connênca. O númo d Rnolds q caaca a ansção ns caso é R 300 R > 300 lamna blno 8

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