PARALELIZAÇÃO DA RESOLUÇÃO DE EDPs PELO MÉTODO HOPSCOTCH UTILIZANDO REFINAMENTO ADAPTATIVO E BALANCEAMENTO DINÂMICO DE CARGA

Transcrição

1 Unversdade Federal Flmnense MAURICIO JOSÉ MACHADO GUEDES PARALELIZAÇÃO DA RESOLUÇÃO DE EDPs PELO MÉTODO HOPSCOTCH UTILIZANDO REFINAMENTO ADAPTATIVO E BALANCEAMENTO DINÂMICO DE CARGA Neró 009

2 MAURICIO JOSÉ MACHADO GUEDES PARALELIZAÇÃO DA RESOLUÇÃO DE EDPs PELO MÉTODO HOPSCOTCH UTILIZANDO REFINAMENTO ADAPTATIVO E BALANCEAMENTO DINÂMICO DE CARGA Tese de Doorado sbmeda ao Programa de Pós- Gradação em Compação da Unversdade Federal Flmnense como reqso parcal para a obenção do ílo de Door. Área de concenração: Modelagem Compaconal Orenador: Marco Kschnhevsky Unversdade Federal Flmnense NITERÓI 009

3 PARALELIZAÇÃO DA RESOLUÇÃO DE EDPs PELO MÉTODO HOPSCOTCH UTILIZANDO REFINAMENTO ADAPTATIVO E BALANCEAMENTO DINÂMICO DE CARGA Marco José Machado Gedes Tese de Doorado sbmeda ao Programa de Pós- Gradação em Compação da Unversdade Federal Flmnense como reqso parcal para a obenção do ílo de Door. Aprovada por: Prof. Marco Kschnhevsky D.Sc / IC-UFF (Presdene) Profa. Regna Céla Pala Leal Toledo D.Sc. / IC-UFF Prof. Lz Nélo Henderson Gedes de Olvera D.Sc. / IPRJ-UERJ Capão-de-Fragaa Dlson Godo Espench D.Sc. / CASNAV - Comando da Marnha Prof. José Henrqe Carnero de Araúo D.Sc. / IC-UFF Neró 8 de mao de 009

4 Agradecmenos Prmero a mes pas qe ornaram esse rabalho possível ao me proporconarem ma sólda base edcaconal e ranqüldade para me formar Engenhero Elercsa aq na UFF o prncpal degra para a realzação dese rabalho. Agradeço ao me orenador Prof. Marco Kschnhevsky pela orenação segra bom senso e prncpalmene por acredar em mm. Agradeço àqelas pessoas qe ornaram o desenvolvmeno dese rabalho mas fácl pela compeênca e amzade Jacqes Carlos e Rafael. Agradeço à Sandra pela amzade e pelo rabalho qe eve em formaar ese rabalho. À Marnha do Brasl e ao CASNAV pela concessão da dedcação eclsva ao Doorado o qe possblo o érmno dese rabalho. À Márca Débora e Danelle por serem fone de amenos pensamenos qando do pareca qe não a dar cero. v

5 Resmo Ese rabalho propõe esdar a resolção nmérca paralela efcene de Eqações Dferencas Parcas (EDPs) dscrezadas por dferenças fnas lzando o méodo Hopscoch. Apesar das váras mplemenações do méodo á realzadas algmas lzando processameno paralelo em nenhma delas fo sado m refnameno adapavo do domíno. Por ese movo ese rabalho desenvolve m resolor de EDPs pelo méodo Hopscoch dscrezadas sando dferenças fnas com refnameno adapavo do domíno com o conseqüene balanceameno dnâmco da carga. O domíno é sbdvddo em sbdomínos e esses sbdomínos são refnados e desrefnados drane a resolção. Os valores galho do processo de aleração do refnameno são nrodzdos pelo sáro. O sáro nrodz ambém os valores de galho de refnameno e desrefnameno. É proposo m méodo de parconameno qe não despenda empo procrando mnmzar o perímero dos sbdomínos bscando assm balancear a carga de modo rápdo sendo por sso ndcado para so em compadores paralelos e problemas com freqüenes mdanças das condções de refnameno. Teses são realzados com os rês pos de EDP parabólca elípca e hperbólca. Os eses ncam com a versão seqüencal connam com a versão paralela e clmnam com a versão paralela com balanceameno dnâmco de carga. Mércas são defndas em cada m desses eses para medr o desempenho do resolor desenvolvdo. v

6 Absrac In hs work effcen parallel nmercal solon of fne-dfference dscrezaons of paral dfferenal eqaons (PDEs) wh he Hopscoch mehod s sded. A new echnqe for adapve mesh refnemen and dynamc load balance s proposed and ess are presened on a dsrbed compng envronmen. Despe he many mplemenaons already presened for he mehod some of whch employ parallel processng none of hem has sed adapve mesh refnemen wh load balance. Ths n hs work a package s bl o solve PDEs dscrezed by fne dfferences wh adapve mesh refnemen and load balance. The doman s dvded n sbdomans ha are refned and coarsened drng he eecon. The process of sbdoman refnemen change can be chosen by he ser whch provdes he rgger vales. A paron mehod ha does no seek o mnmze he commncaons s proposed. Ths mehod acheves he balance qckly reslng n an easy-o-se echnqe for parallel compers and problems ha freqenly change he refnemen. Tess are performed sng hree PDE ypes ellpc parabolc and hyperbolc. The ess sar wh a seqenal verson proceed wh he parallel verson and end-p wh he load balanced parallel verson. Mercs are defned o evalae he package performance. v

7 Palavras-chave. Méodos Nmércos. Solção nmérca de EDPs 3. Méodo das Dferenças Fnas 4. Refnameno Adapavo de Malhas 5. Méodo Hopscoch 6. Processameno Paralelo 7. Balanceameno de carga v

8 GLOSSÁRIO ACO: AMR: DM: IMD: KL: LAM: MIMD: MPI: OEH: PC: RCB: RB: SA: SFC: SIMD: SM: An Colony Opmzaon (Adapave Mesh Refnemen) Refnameno Adapavo de Malhas Dsrbed Memory memóra dsrbída Índce Médo de Desbalanceameno Kernghan-Ln Local Area Mlcomper Mlple Insrcon Mlple Daa Message Passng Inerface proocolo de passagem de dados Odd-even Hopscoch hopscoch par-ímpar Personal Comper compador pessoal Recrsve Coordnaed Bsecon Recrsve Bsecon Smlaed Annealng Space-fllng Crve Sngle Insrcon Mlple Daa Shared Memory memóra comparlhada D: Bdmensonal : Varável dependene a : Coefcene de dfsão c: Velocdade da onda R: Regão do domíno R : Conorno do domíno n: Qandade de ponos em ma dmensão do domíno N: Qandade de ponos do domíno = n n m: Qandade de ponos em ma dmensão de m sbdomíno p: Qandade de processadores q: Qandade de processos v

9 SUMÁRIO CAPÍTULO INTRODUÇÃO MOTIVAÇÃO PARTICIONAMENTO DO DOMÍNIO... CAPÍTULO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS E O MÉTODO HOPSCOTCH EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS (EDPs) CONDIÇÕES DE CONTORNO MÉTODOS NUMÉRICOS MALHAS DE DISCRETIZAÇÃO MÉTRICAS Normas de Erro Tempo EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS FINITAS Dscrezação das eqações sadas como eemplo Eqação parabólca Formlação Eplíca Formlação Implíca Eqação elípca Formlação Eplíca Formlação Implíca Eqação hperbólca Formlação eplíca Formlação mplíca APLICAÇÃO DO MÉTODO ODD-EVEN HOPSCOTH (OEH) Conssênca Esabldade e Convergênca do Méodo CASOS TESTE Eqação Parabólca Eqação Elípca Eqação Hperbólca...3 CAPÍTULO 3 APLICAÇÕES PARALELAS MÉTRICAS Speedp Efcênca Escalabldade MONITORAMENTO CONCEITOS DE PARALELIZAÇÃO Paradgmas Granlardade SUPERCOMPUTADORES TOPOLOGIA DA REDE DE PROCESSADORES PARALELIZAÇÃO DO MÉTODO HOPSCOTCH Implemenação Tpos de Sbdomíno com Relação ao Conorno Comncação enre os Processadores O LAM/MPI Ronas Báscas Ronas de Bferzação...38

10 Ronas de Broadcas e Sncronzação CASOS TESTE Eqação Parabólca Eqação Elípca Eqação Hperbólca...44 CAPÍTULO 4 O REFINAMENTO ADAPTATIVO TIPOS DE REFINAMENTO Refnameno-h Refnameno-p Refnameno-r O REFINAMENTO-h UTILIZADO COMUNICAÇÃO ENTRE SUBDOMÍNIOS COM REFINAMENTOS DIFERENTES ROTINAS USADAS PARA O REFINAMENTO E O DESREFINAMENTO CONSIDERAÇÕES SOBRE A CONVERGÊNCIA...53 CAPÍTULO 5 PARTICIONAMENTO DO DOMÍNIO E BALANCEAMENTO DE CARGA PARTICIONAMENTO DE MALHAS IRREGULARES Méodos Geomércos Bsecção Recrsva Space-Fllng Crve (SFC) Méodo Mlnível Heríscas Kernghan-Ln (KL) Méodo Fddca-Maheyses Helpfl-ses Méodo Especral Meaheríscas Colôna de formgas (ACO An Colony Opmzaon)) Recozmeno smlado (SA -Smlaed annealng) Algormos genécos Pacoes Dsponíves PARTICIONAMENTO DE MALHAS REGULARES TIPOS DE BALANCEAMENTO IMPLEMENTAÇÃO DO REFINAMENTO ADAPTATIVO O Programa Balanceameno de Carga MÉTRICAS Índce de desbalanceameno (ID) Índce médo de desbalanceameno (IMD) Ganho obdo com o balanceameno O speedp e a efcênca da versão com balanceameno de carga...67 CAPÍTULO 6 BALANCEAMENTO PROPOSTO O PARTICIONADOR EXEMPLO Sbdvsão do Domíno Tráfego de Carga Sbdomínos Perencenes a Cada Processador TRÁFEGO DAS FRANJAS IMPLEMENTAÇÃO O PROGRAMA...74

11 6.6 - DESEMPENHO DO PARTICIONADOR PREPARA E SUA COMPARAÇÃO COM OUTROS PROGRAMAS Desempenho do parconador Prepara Comparação com oros Parconadores DESCRIÇÃO DAS ROTINAS QUE IMPLEMENTAM O BALANCEAMENTO DE CARGA Casos Tese Eqação Parabólca Eqação Elípca Eqação Hperbólca...95 CAPÍTULO 7 CONCLUSÕES Trabalhos Fros...0

12 LISTA DE FIGURAS Fgra - Dscrezação de m domíno coníno formando ma malha [3]...6 Fgra - Eemplo de malha esrrada...7 Fgra 3 - Eemplo de malha elípca [3]...7 Fgra 4 - Eemplo do grafo 4el com elemenos ranglares [95]...8 Fgra 5 - Posconameno das varáves....8 Fgra 6 - Molécla compaconal... Fgra 7 - Aplcação do OEH...6 Fgra 8 - Conssênca esabldade e convergênca para problemas lneares...8 Fgra 9 - Dscrezação...0 Fgra 0 - Crvas de nível da condção ncal...0 Fgra - Solções da eqação...0 Fgra - Gráfco da solção da eqação... Fgra 3 - Gráfco e crvas de nível da solção da eqação... Fgra 4 - Vsalzação da eqação da onda...4 Fgra 5 - Vsas de opo da evolção da onda conforme as erações avançam podendo-se observar a presença de dfsão nmérca...5 Fgra 6 - Algmas opologas sadas em m compador de memóra comparlhada...3 Fgra 7 - Topologa em hpercbos...3 Fgra 8 - Eemplo de ma fa-ree qaernára...33 Fgra 9 - Dvsão do domíno...34 Fgra 0 - Eemplo de parconameno...35 Fgra - Tpos de sbdomíno...35 Fgra - Tpos de sbdomíno em m domíno parconado em 36 sbdomínos...36 Fgra 3 - Posção relava dos sbdomínos...36 Fgra 4 - Sbdomíno com as franas envadas. Os ponos preos são ponos do sbdomíno e os ponos brancos são ponos das franas...37 Fgra 5 - Sbdomíno com as franas recebdas. Os ponos preos são ponos do sbdomíno e os ponos brancos são ponos das franas...37 Fgra 6 - Speedp da resolção da eqação parabólca...40 Fgra 7 - Efcênca da resolção da eqação parabólca...4 Fgra 8 - Escalabldade da resolção da eqação parabólca...4 Fgra 9 - Speedp da resolção da eqação elípca...43 Fgra 30 - Efcênca da resolção da eqação elípca...43 Fgra 3 - Escalabldade da resolção da eqação elípca...44 Fgra 3 - Speedp da resolção da eqação da onda...45 Fgra 33 - Efcênca da resolção da eqação da onda...46 Fgra 34 - Escalabldade da resolção da eqação da onda...46 Fgra 35 - Malha adapava de Berger e Olger [9]...48 Fgra 36 - Parconameno e refnameno de m domíno com refnameno ncal...49 Fgra 37 - Eemplo esqemáco de ma splne cúbca consrída nos nervalos [ - ] cada fnção S sendo ma cúbca [43]...50 Fgra 38 - Um domíno dvddo em 55 céllas represenado pelas lnhas grossas. Um faor de refnameno passa o domíno para 00 céllas. As céllas adconas foram cradas pela adção das lnhas fnas....5 Fgra 39 - Correspondênca enre os ponos da malhas refnada e da malha orgem...5 Fgra 40 - Processo de refnameno de m sbdomíno ponos alares...5

13 Fgra 4 - Processo de refnameno de m sbdomíno ponos refnados...5 Fgra 4 - Comncação enre franas com dferenes níves de refnameno...53 Fgra 43 - Planos de core (esq) a árvore de core assocada para bsecção recrsva. Ponos são os obeos a serem balanceados; os cores são mosrados com lnhas e nós na árvore...55 Fgra 44 - Parconameno SFC [67]...56 Fgra 45 - Méodo mlnível [78]...57 Fgra 46 - Cálclo da qandade de colnas qe fcam no processador...69 Fgra 47 - Eemplo de balanceameno de carga...70 Fgra 48 - Eemplo de sbdvsão do domíno...7 Fgra 49 - Eemplo de refnameno...7 Fgra 50 - Tráfego de carga...7 Fgra 5 - Sbdomínos perencenes a cada processador...7 Fgra 5 - Eemplo do ráfego de comncação das franas...73 Fgra 53 - Flograma de fnconameno do programa. A lnha ponlhada envolve os procedmenos do laço de resolção do méodo nmérco...75 Fgra 54 - Psedo-códgo da mplemenação do méodo nmérco...76 Fgra 55 - Desempenho do Parconador com relação à qandade de sbdomínos...77 Fgra 56 - Desempenho do parconador com relação à qandade de nós de m sbdomíno...78 Fgra 57 - Despacho das franas...8 Fgra 58 - Índces sados...8 Fgra 59 - Tráfego de dados...8 Fgra 60 - Armazenameno no processador p...83 Fgra 6 - Legenda para as fgras 6 67 e Fgra 6 - Evolção do refnameno drane a resolção...87 Fgra 63 - Speedp do programa com balanceameno de carga...89 Fgra 64 - Efcênca do programa com balanceameno de carga...89 Fgra 65 - Ganho do programa com balanceameno de carga qando comparado com a versão sem balanceameno de carga...90 Fgra 66 - Índce de desbalanceameno...9 Fgra 67 - Evolção do gra de refnameno drane a resolção da eqação...9 Fgra 68 - Speedp do programa com balanceameno de carga...93 Fgra 69 - Efcênca do programa com balanceameno de carga...94 Fgra 70 - Ganho do programa com balanceameno de carga qando comparado com a versão sem balanceameno de carga...94 Fgra 7 - Índce médo de desbalanceameno...95 Fgra 7 - Evolção do refnameno adapavo...96 Fgra 73 - Speedp do programa com balanceameno de carga...98 Fgra 74 - Efcênca do programa com balanceameno de carga...98 Fgra 75 - Ganho do programa com balanceameno de carga qando comparado com a versão sem balanceameno de carga...99 Fgra 76 - Índce médo de desbalanceameno...00

14 LISTA DE TABELAS Tabela - Tpos de EDPs...4 Tabela - Varação de K... Tabela 3 - Reslados da precsão e empo com K=0... Tabela 4 - Varação de K...3 Tabela 5 - Reslados da precsão e empo com K=5...3 Tabela 6 - Varação de K...5 Tabela 7 - Reslados da precsão e empo com K= Tabela 8 - Mércas da paralelzação do Hopscoch...39 Tabela 9 - Mércas da paralelzação do Hopscoch...4 Tabela 0 - Mércas da paralelzação do Hopscoch...44 Tabela - Créros de Classfcação...63 Tabela - Comparação enre os parconadores para nós...79 Tabela 3 - Marz enva do eemplo Tabela 4 - Erro e empo de eecção em fnção da freqüênca de verfcação...86 Tabela 5 - Speedp e efcênca do balanceameno de carga...88 Tabela 6 - Ganho para o balanceameno de carga...88 Tabela 7 - Speedp e efcênca do balanceameno de carga...9 Tabela 8 - Ganho para o balanceameno de carga...93 Tabela 9 - Speedp e efcênca do balanceameno de carga...97 Tabela 0 - Ganho para o balanceameno de carga...97 v

15 CAPÍTULO INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO Eqações Dferencas Parcas (EDPs) são lzadas para modelar ma vasa gama de evenos da nareza nas mas dversas áreas de aplcação. As EDPs são defndas em regões conínas o qe mplca sa valdade para nfnos ponos. Dese modo não podemos raálas compaconalmene anes de realzar o qe se chama de dscrezação do domíno com a cração de ma malha de ponos onde a eqação será calclada. As aplcações das EDPs são dversfcadas e denre oras podemos car a prevsão meeorológca o esdo da polção nos oceanos ros e na amosfera (por e efeos na camada de ozôno) aplcações na ermodnâmca eleromagnesmo aerodnâmca e na prospecção e eração de peróleo. Em sações reas a malha reslane da dscrezação do domíno coném mos ponos em número qe pode ser da ordem de mlhões e além dsso para esdar efeos de longo prazo as EDPs devem descrever longos nervalos de empo. Tas modelos reqerem ma qandade de memóra e ma velocdade de processameno qe recomendam a lzação de modernos spercompadores paralelos. Assm as pesqsas no campo de méodos nmércos efcenes de resolção das EDPs e da cênca da compação aparecem como ferramenas ndspensáves no raameno desses problemas.. - MOTIVAÇÃO Fo observado do esdo da lerara pernene qe apesar das váras mplemenações paralelas do Hopscoch realzadas nenhma delas faza so de refnameno adapavo da malha (AMR Adapave Mesh Refnemen) por blocos em m ambene de processameno paralelo com balanceameno de carga para omzar o desempenho da aplcação. O AMR por blocos fo prmero desenvolvdo por Berger e Olger [9] para eqações hperbólcas e esenddo por Berger e Colella para problemas de hdrodnâmca de choqes por Almgren e all para as eqações de Naver-Sokes e por Marn e Carwrgh [58] para resolver problemas elípcos. O rabalho desenvolvdo aq faz ma abordagem do AMR em blocos de ma manera m poco dferene para melhor adapá-lo ao méodo Hopscoch e ao balanceameno dnâmco de carga so é ese rabalho foca o emprego do méodo Hopscoch em m ambene paralelo com refnameno adapavo e dnâmco da malha lzando balanceameno de carga em problemas ocasonados por fenômenos dfsvos e convecvos qe afeam

16 deermnadas regões do domíno sendo esdado. Eemplos ípcos deses fenômenos são o esdo da polção em ros e mares casada por despeos de esgoo o qímcos o acdenes envolvendo prodos qímcos no solo ros o oceanos esdos de meeorologa ndúsra perolífera propagação eleromagnéca e acúsca denre oros.. - PARTICIONAMENTO DO DOMÍNIO Para qe sea mplemenado o processameno paralelo o domíno precsa ser dvddo em sbdomínos dealmene em anos sbdomínos qanos seam os processadores dsponíves. Para sso é necessáro m algormo qe meça a carga oal e a carga em cada processador para deecar qando m desbalanceameno de carga aconece e para calclar a qandade de carga qe precsa mgrar de m processador para oro. Apesar dos dversos parconadores dsponíves esenes (Chaco Mes Scoch enre oros) eles não são focados no parconameno de malhas reglares para lzação do méodo Hopscoch apesar de serem capazes de ldar com o problema. Por sso fo decddo consrr m balanceador dnâmco de carga de fnconameno smples e se aproveando da geomera de ma malha esrrada para aplcações reslanes de dscrezações por dferenças fnas da resolção pelo méodo Hopscoch.

17 CAPÍTULO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS E O MÉTODO HOPSCOTCH EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS E O MÉTODO HOPSCOTCH O méodo Hopscoch fo proposo por Gordon em 965 e dealhadamene analsado a parr de 970 por ma sére de argos de Gorlay [ ] e ses colaboradores. É ma écnca de cálclo mplíco de dferenças fnas qe alerna o emprego das formlações eplíca e mplíca perencene ao grpo dos splng mehods. O méodo consse em aplcar as eqações eplíca e mplíca para calclar o valor em cada pono do domíno em modo alernado daí o nome Hopscoch. Os valores de apromação nos ponos a erem se valor calclado pela eqação eplíca serão sempre obdos prmero. Assm qando os ponos a erem se valor calclado pelo méodo mplíco forem resolvdos odos os ponos adacenes necessáros para o cálclo á erão valor conhecdo. Dese modo não é necessáro resolver m ssema de eqações. Uma eapa adconal smerza o processo alernando os connos de ponos. O méodo Hopscoch cons m eemplo de méodo mplíco em qe os valores das apromações nmércas qe compõem a esmava em m novo nsane de empo são calcladas de modo eplíco vale dzer sem reqerer a resolção de ssemas de eqações lneares.. - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS (EDPs) Os problemas de engenhara normalmene envolvem a resolção de modelos maemácos dos fenômenos físcos e ma grande pare desses modelos é defnda por eqações dferencas em qe são conhecdas as condções de conorno e/o as condções ncas. As eqações dferencas são obdas aravés da aplcação das les e prncípos fndamenas da nareza para m ssema represenando o balanço de massa força e energa. Em m dado problema de engenhara ese a dvsão dos parâmeros em dos grpos qe deverão nflencar na forma como o ssema se compora. Eses parâmeros nclem as propredades as como o módlo de elascdade condvdade hdrálca e vscosdade [3]. Por oro lado esem os parâmeros qe prodzem ma perrbação em m ssema. Eemplos deses parâmeros nclem as forças eernas momenos dferença de carga hdrálca ao longo de m meo poroso e a dferença no flo do fldo. Uma EDP pode ser classfcada sob dferenes aspecos. A ordem de ma eqação dferencal parcal é a maor ordem de dervada parcal presene na eqação. Convencona-se 3

18 defnr a dmensonaldade da EDP como o número de dreções espacas qe nela aparecem. Por eemplo problemas evolvos bdmensonas possem além de ma coordenada emporal das coordenadas espacas. Consdere-se a eqação dferencal de segnda ordem em das varáves e y qe não necessaramene represenam coordenadas espacas: a b c d e f= g y y y Qando a b c d e f e g forem consanes o fnções de e y apenas a eqação acma é da lnear. Caso conráro é consderada não-lnear. Eqações não-lneares nas qas a dervada de maor ordem aparece lnearmene são denomnadas qase-lneares. Em fnção dos valores de a b e c podemos classfcar a eqação acma em: Tabela - Tpos de EDPs Dscrmnane Tpo Eemplo Eqação ac b > 0 elípca Eq. de Laplace = 0 ac b < 0 hperbólca Eq. da onda c ( ) yy = ac b = 0 parabólca Eq. do calor yy = yy As EDPs elípcas esão freqüenemene assocadas aos problemas de eqlíbro qe são aqeles nos qas a propredade de neresse não se alera com o passar do empo. As EDPs parabólcas esão assocadas a problemas evolvos de dfsão com presença do fenômeno dsspavo. As EDPs hperbólcas esão assocadas a problemas evolvos de vbração o de convecção.. - CONDIÇÕES DE CONTORNO Uma eqação dferencal pode er solção únca qando são especfcadas condções sobre a varável dependene na fronera R da regão R em qe se qer resolver o problema. De forma resmda êm-se os segnes pos báscos de condções de conorno [0]: a) = g (condção de Drchle valor esplado no conorno) b) = g n c) a b = g n (condção de Nemann flo esplado no conorno) (condção de Robn combnação das anerores) 4

19 onde é a solção g é ma fnção defnda em R / n é a dervada normal no conorno a e b são consanes dferenes de zero..3 - MÉTODOS NUMÉRICOS Esem váras lmações à lzação dos méodos analícos endo em vsa a grande varabldade dos parâmeros das propredades dos maeras das condções de conorno e de condções ncas dversfcadas. Méodos nmércos são sados qando não é possível ober ma solção analíca o a forma dela é ão complcada qe se so não é práco. Por sa vez méodos nmércos aproprados permem a solção das eqações dferencas em qalqer dsrbção espacal com propredades dos maeras basane varáves em qalqer geomera e varando com o empo o sea em condções evolvas. Nas modelagens nmércas a solção obda é defnda por m procedmeno apromado qe em mas sações se aproma de forma sgnfcava do reslado real esperado [74]. Para ma EDP ser resolvda nmercamene é necessáro dscrezar a eqação so é razê-la para m sbspaço fno de ponos. Iso pode feo por enre oras ma das rês écncas de dscrezação [3 60] a segr qe redzem o problema à solção de eqações algébrcas: a) Méodo dos elemenos fnos b) Méodo das dferenças fnas c) Méodo dos volmes fnos Uma das prncpas écncas dscrezação lzadas é o Méodo das Dferenças Fnas. No méodo das dferenças fnas as fnções são represenadas por ses valores nos ponos de ma malha e as dervadas são apromadas por dferenças deses valores. Esse méodo em m mporane papel na análse nmérca pos é ma das maneras mas smples de se dscrezar ma EDP sendo consderado o mas smples de aprender e de sar. O erro enre a solção apromada e a solção eaa é deermnado pelo erro qe é comedo qando se ransforma o operador dferencal em m operador de dferenças. Esse erro é chamado de erro de dscrezação o erro de rncameno á qe esse ermo reflee o fao de qe o operador de dferenças ser ma pare fna de ma sére de Taylor e porano rncado em sa capacdade de represenação do operador dferencal. Ademas os erros decorrenes das operações armécas em ma máqna com capacdade de represenação fna os erros de arredondameno são acrescdos aos de rncameno. 5

20 A resolção de ma EDP evolva sando o méodo das dferenças fnas em das formlações prncpas: a eplíca e a mplíca. Formlações eplícas calclam o esado adane do ssema a parr do esado aal do ssema enqano a formlação mplíca enconra o esado adane resolvendo m ssema de eqações envolvendo os esados adane e aal do ssema. Maemacamene se Y() é o esado aal do ssema e Y(? ) é o esado adane no empo enão pela formlação eplíca é necessáro resolver Y (? ) = F (Y ( )) enqano qe pela formlação mplíca é necessáro resolver G(Y ( )Y (? )) = 0 para enconrar Y (? ) [3 34]. As formlações mplícas reqerem mas esforço compaconal além de serem mas dfíces de mplemenar mas são freqüenemene ncondconalmene esáves. Para se lzarem écncas nmércas de solção não é possível raar a regão R como conína pos a solção é calclada somene para m conno dscreo de ponos do domíno dando orgem a ma malha de ponos nos qas o valor da solção apromada da EDP será calclado. Fgra - Dscrezação de m domíno coníno formando ma malha [3] Os domínos consderados nese rabalho erão no coneo da Fgra IM = JM = n so é serão domínos qadrados. A qandade de ponos em m domíno será n n = n = N..4 - MALHAS DE DISCRETIZAÇÃO O processo de dscrezação condz à cração de ma malha de ponos onde o valor de neresse será calclado. Uma malha é ma esrra geomérca formada por nós e arcos o aresas. Normalmene refnar nformemene malhas reglares demanda mas recrsos compaconas pos é necesssáro m grande número de ponos para fornecer ma precsão 6

21 aceável em odo o domíno. Técncas qe refnam so é amenam a qandade de ponos da malha somene nas regões onde ma maor precsão é reqerda egem menos recrsos compaconas. Assm o refnameno adapavo so é somene onde ele é necessáro é ma solção para raar problemas com geomera complea presença de fores gradenes e oras parclardades do problema. Para problemas qe evolem no empo o refnameno deve ser dnâmco para acompanhar as necessdades de precsão na solção amenando o dmnndo o refnameno conforme a necessdade. Esem malhas reglares rreglares esrradas e não-esrradas [46]. As malhas reglares são bascamene de dos pos as malhas baseadas no desenvolvmeno planar de m reânglo (malhas reanglares) e as malhas baseadas no desenvolvmeno planar de m rânglo (malhas ranglares). Todas as oras malhas reglares planares são dervações desas [46]. As malhas esrradas são aqelas qe êm odos os ses nós com a mesma qandade de vznhos [46]. Fgra - Eemplo de malha esrrada A segr esão apresenadas oras malhas qe commene aparecem em dscrezações do domíno. Essas malhas normalmene esão relaconadas ao méodo de elemenos fnos. Fgra 3 - Eemplo de malha elípca [3] Malhas rreglares são mas dfíces de parconar do qe malhas reglares. São enconradas pcamene na resolção de problemas lzando elemenos e volmes fnos. Malhas reglares são mo empregadas na resolção de problemas por dferenças fnas. 7

22 A malha consderada nese rabalho é a malha reglar D. Ela é ncalmene esrrada mas devdo ao refnameno desgal do domíno ela perde a esrração volando a ornar-se esrrada apenas qando o refnameno orna a fcar nforme. Uma malha pode ser represenada por m grafo formado por aresas e nós. Esem dsponíves arqvos de enrada de grafos com mas de m mlhão de nós sados na comparação de desempenho enre os város pacoes de parconameno dsponíves e por novas proposas de parconadores. Um eemplo desas malhas é dado no arqvo 4el qe coném ma malha sada para esdar o escoameno em orno de ma asa de qaro elemenos como mosrado na fgra 4 a segr. Fgra 4 - Eemplo do grafo 4el com elemenos ranglares [95] Já nas malhas saggered [85] em vez de posconar odas as varáves em m pono da malha dferenes varáves são colocadas em posções dferenes na malha qe são deslocadas mea célla. A fgra 5 a segr mosra o posconameno das varáves da eqação de conndade ρ = ρ consderada em das dmensões. A varável ρ esá cenrada no neror da célla e ρ y esão cenrados no cenro das aresas. ρ e Fgra 5 - Posconameno das varáves. 8

23 .5 - MÉTRICAS A segr esão defndas as mércas sadas para medr a precsão da resolção nmérca e o empo gaso para chegar à solção Normas de Erro O erro é a dferença enre o reslado em cada pono do domíno dscrezado consegdo pelo méodo nmérco e o reslado eao da EDP û. e = û Esem váras maneras de se calclar o erro e a escolha de qal méodo é o melhor va depender do problema sendo resolvdo. Denre esses dversos méodos os mas comns são [3]: Norma L : É a méda arméca percenal do erro. e L = m m ma = Norma L : É a méda qadráca do erro ambém chamada norma RMS. e L = m ma Norma L 8 : Também chamada de norma nfna é o maor erro percenal da solção. e = m = ma e e e L ma.5. - Tempo O empo de eecção ( elapsed me ) qe a aplcação reqer para resolver a EDP será calclado para cada processo pela fnção MPI_Wme chamada ma vez medaamene após a fnção MPI_In e ora vez medaamene anes da fnção MPI_Fnalze. O MPI é apresenado na seção EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS FINITAS Realzar ma apromação nmérca de ma EDP sgnfca ober valores em ma qandade lmada de ponos do domíno qe são relaconados por epressões algébrcas represenando apromações do operador dferencal. Os méodos de dferenças fnas [60] conssem em sbsr as dervadas parcas presenes na eqação dferencal por apromações por dferenças fnas co reslado fnal é ma eqação algébrca a eqação de dferenças fnas. 9

24 As apromações por dferenças fnas êm como base a epansão em sére de Taylor de ma fnção f. Spondo qe f sea conína no nervalo [ab] e qe possa dervadas aé a ordem N conínas nesse nervalo o Teorema de Taylor [30 3] nos perme escrever para odo perencene ao nervalo de neresse f ( ) = f ( ) ( ) 0 f em qe? = 0 e r é o reso defndo como 0 ( ) ( ) f ( ) N! 0 3! N f r N =?? [ab] N N! 3 3 f 3 0 r O erro local de rncameno (ELT) é o conno dos ermos da sére de ermos qe não são sados na apromação por dferenças fnas. Os ermos de m ( ) f ( ) 3 f ELT = L 3! 3! a apromação é de prmera ordem. Nese caso para serão represenados por O( ) o qe sgnfca qe sfcenemene peqeno o erro na apromação nmérca da dervada de f é redzdo de forma lnearmene proporconal ao espaçameno lzado. Para ma apromação de segnda ordem ndcada por O( ) o erro na apromação nmérca da dervada de f é redzdo de forma qadráca. Deve-se noar qe a ordem da apromação só ndca como o ELT vara com o refnameno da malha e não o valor do erro. Noação: f f ( ) f ( ) f f ( y) = = f ( y y ) f f Para as eqações sadas nos eses dese rabalho a dervada no empo será dscrezada em a ordem e as dervadas espacas em a ordem conforme a fgra 6 a segr. 0

25 Fgra 6 - Molécla compaconal Parndo das epansões de Taylor: ( ) ( ) ( ) ( ) 3! O f f f f = () ( ) ( ) ( ) ( ) 3! O f f f f = () Para obermos ma epressão para a dervada prmera por dferenças progressvas á qe ela será sada para dscrezar o empo sbraímos ( ) f de () e obemos: ( ) ( ) ( ) ( ) O f f f = ( ) O f f f = (3) Para obermos ma epressão por dferenças cenras na dscrezação do espaço para a dervada segnda somamos () e () e obemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 O f f f f = ( ) ( ) O f f f f = (4) qe é ma apromação de segnda ordem. f f - f f f - Dscrezação

26 .6. - Dscrezação das eqações sadas como eemplo A segr esão dscrezadas as eqações sadas como eemplo nese rabalho. Serão sadas ma eqação de cada po ma elípca ma parabólca e ma hperbólca Eqação parabólca Ese po de EDP descreve problemas qe evolem no empo e no espaço relaconados com processos de dfsão/dspersão. = y α Onde é a varável dependene eα é o coefcene de dfsão e será consderado gal a nese rabalho. Noação: ( ) y = ( ) y y = A eqação acma será dscrezada sando as formlações eplíca e mplíca. O méodo Hopscoch é ma combnação dessas das formlações Formlação Eplíca Na formlação eplíca as eqações são ndependenes permndo porano solção drea. Usando (3) e (4) vem: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ]. y O O O y = α e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = y y α α Fazendo? =? y = h e defnndo h K = α (5) vem: ( ) ( ) K k 4 =. (6) Formlação Implíca Na formlação mplíca as eqações reslanes são acopladas o qe ege a resolção de m ssema de eqações a cada passo de empo. Usando (3) e (4) vem: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ]. y O O O y = α e

27 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = y y α α. Fazendo? =? y = h e defnndo h? = a K vem: ( ) ( ) 4 = K k e ( ) ( ) 4 = K k. (7) Eqação elípca Ese po de EDP descreve problemas de eqlíbro por eemplo érmco. A dscrezação da eqação elípca se faz de forma semelhane à da eqação parabólca. O empo assocado ao méodo hopscoch nese caso é arfcalmene adconado sendo chamado de empo nmérco. 0 = y Onde é a varável dependene eα é o coefcene de dfsão e será consderado gal a nese rabalho. Noação: ( ) y = ( ) y y = A eqação acma será dscrezada sando as formlações eplíca e mplíca. O méodo Hopscoch é ma combnação dessas das formlações Formlação Eplíca Na formlação eplíca as eqações são ndependenes permndo porano solção drea. Usando (3) e (4) vem: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ]. y O O O y = α e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = y y α α Fazendo? =? y = h e defnndo h K = α (5)

28 4 vem: ( ) ( ) K k 4 =. (6) Formlação Implíca Na formlação mplíca as eqações reslanes são acopladas o qe ege a resolção de m ssema de eqações a cada passo de empo. Usando (3) e (4) vem: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ]. y O O O y = α e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = y y α α. Fazendo? =? y = h e defnndo h? = a K vem: ( ) ( ) 4 = K k e ( ) ( ) 4 = K k. (7) Eqação hperbólca Ese po de EDP descreve problemas qe envolvem propagação ranspore. Será agora dscrezada a eqação da onda lnear de prmera ordem bdmensonal. A eqação é da forma ( ) 0. = c onde ( ). c c c = Assm y c c = Formlação eplíca Usando (3) e (4) vem = y c c fazendo h y = = e c c c = = vem:

29 ( ) =. (8) h c Formlação mplíca Usando (3) e (4) vem: fazendo = c = y = h e c = c = c vem: c y ( ) = c (9) h.7 - APLICAÇÃO DO MÉTODO ODD-EVEN HOPSCOTH (OEH) O méodo é efcene e em boa precsão conforme [33 55]. As eqações eplícas e mplícas são aplcadas em qaro varredras. Consdere er como o número da eração. Prmero a eqação eplíca é aplcada qando er é par e a eqação mplíca é aplcada qando er é ímpar. Depos a eqação eplíca é aplcada qando er é ímpar e a eqação mplíca é aplcada qando er é par. Essas qaro varredras formam m passo do méodo Hopscoch. A fgra 7 a segr lsra a aplcação do méodo. Os valores apromados da solção nos ponos no nsane de empo esão lsrados com o so do preenchmeno em branco dos círclos qe envolvem os ponos da dscrezação na fgra 7a. Prmero aplca-se a eqação eplíca em ponos alernados começando no pono acma e à esqerda o qe provê apromações para os ponos da dscrezação denfcáves com o preenchmeno em cnza dos círclos à sa vola. Após a aplcação da eqação eplíca o domíno fca como na fgra 7b. Em segda endo em vsa qe os ponos envolos por círclos cnza correspondem a nformações no nsane de empo aalzado ½ pode-se aplcar a fórmla mplíca para ober apromações nese nsane de empo para os ponos qe anda não dspõem de apromação para ½ o sea aqeles envolos por círclos brancos (fgra 7c). Noe qe odos os ponos necessáros ao cálclo da eqação mplíca á esavam m nsane de empo à frene e assm o cálclo da eqação mplíca se orna eplíco dspensando a resolção de m ssema de eqações. Ao fnal desse procedmeno o empo será ½. Poserormene o passo se complea com a repeção do procedmeno nverendo a lzação da eqação lzada em cada pono do domíno. A cada meo-passo orna-se necessáro comncar Agora a eqação eplíca é aplcada aos ponos envolos por círclos com preenchmeno em 5

30 preo na fgra 7d e a aplcação da eqação mplíca ao resane dos ponos complea o passo (fgra 7e). ½ a b c d e Fgra 7 - Aplcação do OEH O reslado do esqema OEH é ma seqüênca de cálclos eplícos. Nas aalzações qe seram mplícas odos os valores vznhos envolvdos á esão conhecdos pela aplcação do méodo eplíco logo não ese a necessdade de resolção de ssemas lneares. O méodo em precsão de segnda ordem no espaço e é ncondconalmene esável para deermnados pos de problemas [93]. Sendo eplíco é rápdo por não er qe resolver ssemas de eqações e é adeqado a paralelzação porqe os cálclos são feos ndependenemene em cada regão. Para a eecção de odos os cálclos necessáros ao passo mosrado na fgra 7 é necessára ma sperposção de domíno de fleras. Iso é cada parção do domíno coném ma pare dos sbdomínos adacenes. Iso perme qe m meo-passo sea feo sem qe sea precso haver comncação enre os processadores. Nese rabalho m meo-passo corresponderá a ma eração. Iso é a egênca de comncação é baa em relação à qandade de cálclo realzada nos processadores. Mas a parcela O(N) do algormo pode ser fea oalmene em paralelo. A pare do algormo qe não é paralelzável é O(). Além dsso esse méodo perme m fácl parconameno do domíno. O sobrerabalho devdo à paralelzação é a arefa de organzar os dados a serem ransferdos as franas em áreas reservadas à comncação e a de copá-los após se recebmeno pelo processador desno da mensagem ransmda para a esrra local de dados (arefas denomnadas respecvamene empacoameno e desempacoameno). Nese rabalho em qe os sbdomínos são qadrados essa é ma arefa O( n ). Por esses movos o méodo Hopscoch é m algormo efcene para a solção de EDPs sando processameno paralelo. Em [ ] apresenam-se aplcações do méodo Hopscoch a dversos ramos da engenhara com bons reslados. Em [5] os aores resolvem nmercamene as eqações de ágas rasas sando o 6

31 méodo Hopscoch com processameno paralelo. Em [8] os aores empregam o méodo Hopscoch para resolver as EDPs qe modelam a ransferênca de íons em deermnados componenes qímcos. Em [7] o méodo Hopscoch é empregado na solção de eqações elípcas em ambene paralelo. Em [8] os aores aplcam o méodo Hopscoch ao problema de derremeno de gelo onde a fronera enre as pares líqda e sólda mda consanemene e precsa ser deermnada como pare da solção do problema. Em [33] os aores empregam o méodo Hopscoch para resolver o modelo de m bosensor ampermérco qe é m dsposvo capaz de deecar deermnados componenes qímcos. Em [54] o méodo Hopscoch é aplcado ao modelo de ondas vaanes de FsHgh-Nagomo qe é m modelo sado para smlar a propagação de ondas em meos ecáves as como o ecdo do coração e fbras nervosas. Em [55] os aores comparam dversos méodos nmércos de resolção das eqações de Schrödnger qe descreve como o esado qânco de m ssema físco evol no empo e em aplcações em dnâmca dos fldos físca de plasma e óca não-lnear. Em [77] os aores aplcam o méodo Hopscoch para resolver eqações de propagação laser em semcondores. Em [84] os aores lzam o méodo Hopscoch para resolver as eqações de Naver-Sokes. Em [86] os aores aplcam o méodo Hopscoch em ambene paralelo a problemas de hdrodnâmca de ranspore em ágas rasas para esdo de ambenes para a vda marnha. Em [87] os aores empregam o méodo Hopscoch em ambene paralelo como resolor das eqações qe modelam o ranspore de sbsâncas dssolvdas na ága para esdo de polção em ros Conssênca Esabldade e Convergênca do Méodo Se a solção apromada obda pelo méodo converge para a solção real qando o espaçameno da malha e o nervalo de empo endem a zero o méodo é convergene. Um méodo é esável se os erros provenenes da compação as como arredondameno e rncameno dmnem à medda qe as erações avançam. Um méodo é conssene se os erros de rncameno local obdos na dscrezação da sére de Taylor endem a zero qando h K e o nervalo de empo endem a zero. A fgra 8 a segr sneza essas consderações para problemas lneares. 7

32 EDP Dscrezação Conssênca Ss. de eqações algébrcas Esabldade Solção eaa Convergênca Solção apromada Dferença = erro Conssênca Esabldade Convergênca Fgra 8 - Conssênca esabldade e convergênca para problemas lneares Os procedmenos apresenados em [ ] dscem condções de esabldade do OEH para problemas de advecção-dfsão ndmensonas e mldmensonas. Fazendo so de analogas com o méodo leapfrog-d For-Frankel fo mosrado qe a esabldade do OEH não depende do coefcene de dfsão. Enreano ese ma lmação do nervalo de empo devdo à pare convecva..8 - CASOS TESTE Para a valdação da mplemenação compaconal do méodo Hopscoch serão resolvdas eqações de solção analíca conhecda para servr de padrão de comparação. Serão sadas rês eqações: ma elípca a eqação de Posson; ma parabólca a eqação do calor; e ma hperbólca a eqação da onda de prmera ordem D. Essas eqações serão sadas por conerem elemenos presenes em modelos de fenômenos dfsvos convecvos e de eqlíbro. A eqação de Posson é ma eqação de eqlíbro enqano as oras evolem no empo. Prmeramene essas eqações serão mplemenadas sando processameno seqüencal. Fo sada ma máqna do ambene compaconal descro no Apêndce D Eqação Parabólca Será lzada a eqação de dfsão parabólca = = 8

33 9 no qadrado náro [ ] [ ] 0 0 sea à condção ncal sn sn π π = = 0 0 e às condções de conorno de Robn: > = = = = sn e sn e π π π π π π e > = = = = sn e sn e π π π π π π A solção dese problema é dada por p sn sn = e π π Aplcação da Condções de Conorno: sn e π π π = sn e π π π = sn e π π π = ) ( sn e π π π = O mesmo procedmeno é aplcado às oras rês condções de conorno reslando em: ) sn ( e π π π = ) sn ( e y y π π π = ) sn ( e y y π π π = A fgra 9 a segr mosra a orenação da dscrezação.

34 -. - Fgra 9 - Dscrezação Na fgra 0 a segr esá apresenada a crva de nível da fnção no nsane ncal para ma dscrezação de Fgra 0 - Crvas de nível da condção ncal Na fgra a segr esão apresenados gráfcos da fnção nos nsanes = 00s (condção ncal) e = 00s. = 00s (Condções ncas ) = 00s Fgra - Solções da eqação 0

35 Com o no de pesqsar qal o melhor valor de K sar a abela fo consrída. Ela apresena reslados de erro mámo e empo de eecção para dferenes valores de K com a qandade de erações calclada pela fórmla qer = fnal ( n ) K onde fnal = 000 n= N é ma dmensão do domíno e qer é a qandade de erações. K (60 60) Qan. de erações Tabela - Varação de K Erro L Tempo (s) Pode-se ver qe o erro se orna mo grande mas de 0% para valores de K acma de 0. Pode-se ver ambém qe o erro se esablza para valores de K menores qe. Logo será sado m valor de K = 0 nos eses envolvendo essa eqação. A abela 3 a segr apresena o erro e o empo para cnco granlardades da malha para empo fnal de 0-4 e K = Eqação Elípca Tabela 3 - Reslados da precsão e empo com K=0 Refnameno Qan. de Erro L n n erações Tempo(s) Consdere agora o problema de Posson em = ( 0) = f R defndo por ( y) com condção de conorno de Drchle = 0 sobre R. O ermo fone é dado por

36 f ( y) = 90 y ( )( y) 0 y ( )( y) 90 y ( )( y) 0y ( ) 0 0 A solção analíca desse problema é dada por ( y) = y ( )( y) condção ncal ( y) = 0 em R e esá apresenada na fgra a segr. para a Fgra - Gráfco da solção da eqação A fgra 3 a segr apresena as crvas de nível da solção da eqação. Fgra 3 - Gráfco e crvas de nível da solção da eqação A abela 4 apresena reslados de erro mámo e empo de eecção para dferenes valores de K com a qandade de erações calclada pela fórmla qer = fnal ( n ) K onde fnal = 0 n= N é ma dmensão do domíno e qer é a qandade de erações. Devese lembrar qe nesse caso o fnal é m empo arfcal.

37 K (60 60) Qan. de erações Tabela 4 - Varação de K Erro L Tempo (s) Fo escolhdo m valor de K gal a 5 por ser nerno à regão de melhor precsão e á apresenar ma qeda acenada no empo de processameno. A abela 5 a segr apresena a precsão da solção e o empo de eecção para cnco granlardades da malha com a qandade de passos e o sendo escolhdos para ober m K de cerca de 5 Tabela 5 - Reslados da precsão e empo com K=5 Refnameno Qan. de Erro L n n erações Tempo (s) Eqação Hperbólca A eqação da onda de prmera ordem no caso bdmensonal é da forma.( c) = 0 onde c = ( c c ). Consdere ma onda camnhando ao longo de ma dreção não concdene com os eos coordenados. Em parclar consdere =( y) c com condção ncal ( y0) dada por Assm ( y0) = 6 ( 05) ( y 05) y c = [ ] ( y 0) = 0 se ( y 0) < 0 Consderando qe c = c = c a solção analíca desse problema é dada por [ ] ( y) = 6 ( ( c) 05) ( y ( c) 05) ( y0 ) = 0 se ( y0 ) < 0 para a condção ncal ( y) = 0 0 em R e esá apresenada na fgra 4 a segr. 3

38 A onda em a forma mosrada na fgra 4 a segr. Fgra 4 - Vsalzação da eqação da onda A fgra 5 a segr apresena ses foografas da evolção da onda à medda qe as erações avançam. = 00s = 050s = 075s = 00s 4

39 = 5s = 50s Fgra 5 - Vsas de opo da evolção da onda conforme as erações avançam podendo-se observar a presença de dfsão nmérca A abela 6 a segr apresena o erro e o empo para cnco granlardades da malha para K = 05. A qandade de repeções fo calclada pela fórmla ( n ) c fnal qer = K onde fnal = 05 c = 5 n= N é ma dmensão do domíno e qer é a qandade de erações. K (60 60) Qan. de erações Tabela 6 - Varação de K Erro L Tempo (s) A solção não converge para valores de K acma de 05. Fo escolhdo m valor de K gal a 05 por ser nerno à regão de esabldade e á apresenar ma qeda acenada no empo de processameno. A abela 7 a segr apresena a precsão da solção e o empo de eecção para cnco granlardades da malha com a qandade de passos e o? sendo escolhdos para ober m K de cerca de 05. 5

40 Tabela 7 - Reslados da precsão e empo com K=05 Refnameno Qan. de n n erações Erro L Tempo (s)

41 CAPÍTULO 3 APLICAÇÕES PARALELAS APLICAÇÕES PARALELAS Uma aplcação paralela em por obevo dmnr o empo de eecção de m rabalho pela sa dvsão em város pedaços o ndades de processameno chamadas de arefas. Esas são eecadas em város processadores rando proveo da maor capacdade de processameno e da maor qandade de memóra dsponível. Um ambene paralelo pode ser formado por m spercompador o por váras esações de rabalho o PCs qe compõem m clser. Uma das vanagens do clser é a possbldade de alocar város processadores a m cso mo menor qe o de m spercompador. A lgação de város clsers dspersos geografcamene é chamada de grd. A desvanagem é qe a comncação enre os processadores é dependene da laênca da rede sendo bem mas lena qe no caso de m spercompador cos processadores esão lgados a m barrameno de dados. Há ma endênca em chamar de processameno dsrbído o ambene formado por váras máqnas ndependenes lgadas em rede não necessaramene ocpando o mesmo local físco. Qando o ambene é composo de m spercompador paralelo o processameno é chamado de processameno paralelo. O empo de eecção é redzdo pela dsrbção da carga pelos dversos processadores dsponíves. Idealmene o empo de eecção de m códgo paralelo é proporconal a /N onde N é a qandade de processadores. No enano as comncações e o desbalanceameno da carga amenam o empo de processameno. Esse ameno esabelece ma perda de efcênca. Talvez a maor dferença para o programador em relação à aplcação seqüencal é a possbldade de perda do deermnsmo. Iso é ma aplcação paralela pode nem sempre se comporar de modo deermnísco. O comporameno da rede pode alerar a ordem de obenção de recrsos pelos processadores e condções de deadlock podem ocorrer alerando o comporameno do programa paralelo sem qe o códgo enha sdo alerado (o deadlock ocorre com m conno de processos e recrsos não-preempíves onde m o mas processos desse conno esá agardando a lberação de m recrso por m oro processo qe por sa vez agarda a lberação de oro recrso alocado o dependene do prmero processo). Iso é para a mesma enrada com mesmo programa e mesmos dados a mesma saída não é garandamene obda o qe caracerza m comporameno probablísco. Por sso o programador precsa omar cdados para garanr qe ese po de comporameno não ocorra. 7

42 3. - MÉTRICAS A segr serão defndas algmas mércas além daqelas á defndas em.5 qe são mporanes para qanfcar especfcamene o desempenho de ma aplcação paralela Speedp Fornece a medda de qano m programa rodando em paralelo é mas rápdo do qe esse mesmo programa rodando seqüencalmene. É defndo como ( p) S S = [45] onde p é a qandade de processadores é o empo de eecção do programa seqüencal e p é o empo de eecção do programa paralelo com p processadores. A le de Amdahl [3] esabelece m lme speror para o speedp qe é dependene da pare do programa qe não é paralelzável. Se P é a proporção do programa qe pode ser ornado paralelo e (-P) for a proporção qe não pode ser paralelzado enão o mámo speedp qe pode ser obdo sando p processadores é ( P) No lme qando p ende a nfno o speedp mámo ende para /( P) P p p. Por esa razão compação paralela orna-se mas vanaosa qando P orna-se maor. Para ma aplcação co P fosse (deal) o speedp por sar p processadores sera p chamado de speedp lnear. Enreano não é ncomm a obenção de speedp sperlnear qe é a obenção de m speedp speror a p em ma máqna com p processadores. Uma razão para sso é qe a memóra cache amena com o número de processadores ornando possível carregar maores qandades de dados em ma cache com amanho agregado maor evando assm operações de swappng redzndo com sso a qandade de acessos à memóra. Em [39] mosra-se qe a le de Amdahl não deve ser encarada como ma resrção ao so de processameno paralelo massvo Efcênca Para programas paralelos a efcênca é defnda como E( p) S = onde S é o empo p de eecção do programa seqüencal e p é o empo de eecção do programa paralelo sando p processadores. p 8

43 Escalabldade A escalabldade é a medda da capacdade de m ssema amenar o speedp em proporção lnear ao ameno do número de processadores. O conceo de escalabldade [57 76] em ssemas paralelos é qe dado m nível de desempenho em m deermnado problema maner esse nível de desempenho com m ameno de carga pode ser resolvdo com m ameno dos recrsos compaconas so é amenando-se a qandade de processadores MONITORAMENTO A depração de ma aplcação paralela é ma arefa dfícl e rabalhosa. Fo sada análse on-lne e off-lne para monorar o desempenho da aplcação. No monorameno on-lne as nformações são analsadas drane a eecção do programa. No monorameno off-lne são gravados arqvos m por processo para poseror análse. Como a aplcação dese rabalho é naralmene síncrona não hove necessdade de sncronzação dos relógos das máqnas. Em [9] os aores descrevem algns pos de erros relaconados com o desenvolvmeno de aplcações paralelas CONCEITOS DE PARALELIZAÇÃO A segr são apresenados mas algns conceos de paralelzação Paradgmas Esem dos paradgmas de programação segndo [40]: a) SPMD ( sngle program mlple daa ): ese apenas m códgo qe roda em odos os processadores; e b) MPMD ( mlple programs mlple daa ): ese mas de m códgo. O programa desenvolvdo aq sa o paradgma SPMD o sea ese apenas m códgo qe roda em odos os processadores Granlardade É a medda do amanho da arefa [76]. Grão compaconal é o amanho da arefa. No caso do méodo Hopscoch o grão compaconal é a qandade de operações armécas a serem realzadas em m sbdomíno em m meo-passo. A granlardade é ma medda da razão enre compação e comncação. Programas com granlardade fna mplcam em peqena qandade de compação enre comncações scessvas e são poco benefcados pela paralelzação enqano aqeles com granlardade grossa se benefcam desa [94]. 9