INTEGRAÇÃO TEMPORAL EXPLÍCITA DE ALTA ORDEM VIA TÉCNICAS DE MALHA INTERCALADA APLICADA A PROBLEMAS GERAIS DE PRIMEIRA ORDEM.

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1 INTEGRÇÃO TEMPORL EXPLÍCIT DE LT ORDEM VI TÉCNICS DE MLH INTERCLD PLICD PROBLEMS GERIS DE PRIMEIR ORDEM Fernanda Brenny Tese de Douorado apresenada ao Programa de Pós-Graduação em Engenhara Cvl COPPE da Unversdade Federal do Ro de Janero como pare dos requsos necessáros à obenção do íulo de Douor em Engenhara Cvl. Orenadores: Webe João Mansur Eduardo Gomes Dura do Carmo Ro de Janero brl de

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3 Brenny Fernanda Inegração Temporal Explíca de la Ordem va Técncas de Malha Inercalada plcada a Problemas Geras de Prmera Ordem Fernanda Brenny Ro de Janero:UFRJCOPPE XXII 95 p.:l.; 9.7cm. Orenadores: Webe João Mansur Eduardo Gomes Dura do Carmo Tese douorado UFRJ COPPE Programa de Engenhara Cvl. Referêncas Bblográfcas: p Inegração emporal de ala ordem.. Inegração emporal explíca. 3. Malha nercalada no empo. I. Mansur Webe e al. II. Unversdade Federal do Ro de Janero COPPE Programa de Engenhara Cvl. III. Tíulo.

4 v À mnha eerna avó Renée.

5 GRDECIMENTOS Em prmero lugar meus snceros agradecmenos aos orenadores e amgos Webe e Dudu pelo ncenvo conselhos e ensnamenos ao longo da elaboração dese rabalho. À amga Ivone por esar sempre presene e solíca odas as vezes que precse de ajuda. À mnha querda famíla: meu pa Indaléco mnha mãe Nede mnhas rmãs Glauca e Danella e a pequena Duda. Obrgada por er compreenddo odos os momenos em que precse esar ausene. Em especal aos meus pas que não me permram dessr! o meu mardo Rodrgo obrgado pela pacênca ao longo desses cnco anos. Sem o seu ncenvo e compreensão não enho dúvdas que esse rabalho não era se ornado real. v

6 Resumo da Tese apresenada à COPPEUFRJ como pare dos requsos necessáros para obenção do grau de Douor em Cêncas D.Sc. INTEGRÇÃO TEMPORL EXPLÍCIT DE LT ORDEM VI TÉCNICS DE MLH INTERCLD PLICD PROBLEMS GERIS DE PRIMEIR ORDEM Fernanda Brenny brl Orenadores: Webe João Mansur Eduardo Gomes Dura do Carmo Programa: Engenhara Cvl O presene rabalho propõe um esquema de marcha no empo explíco de ala ordem aplcado a problemas geras de prmera ordem. O esquema é baseado em écncas de dferenças fnas va malha nercalada e fo nsprado nos rabalhos clásscos desenvolvdos por Vreux. No esquema proposo a solução numérca é deermnada na ínegra para odos os nervalos de empo da análse dferenes dos méodos de malha nercalada no empo enconrados na leraura. O algormo possu a propredade de ser esável para ncremenos de empo relavamene grandes o que o orna vanajoso em análses de longa duração. Desa forma perme a escolha de nervalos emporas maores mesmo quando ulzado dscrezações espacas refnadas. São apresenados exemplos aplcados a problemas de propagação de onda elásca e fenômenos de ranspore convecvo de forma a valdar o esquema numérco proposo. s soluções obdas são comparadas com os esquemas de marcha no empo aravés de dferenças fnas. Denre as vanagens do méodo pode-se car a aplcabldade em problemas geras de prmera ordem e a fácl mplemenação compuaconal semelhane aos algormos radconas de Dferenças Fnas podendo ser mplemenado de forma geral para -ordem de aproxmação no empo. Esa úlma orna o méodo compevo e vável para ser aplcado em programas compuaconas volados para a ndúsra. v

7 bsrac of Thess presened o COPPEUFRJ as a paral fulfllmen of he requremens for he degree of Docor of Scence D.Sc HIGH ORDER STGGERED EXPLICIT TIME INTEGRTION FOR FIRST ORDER SYSTEMS Fernanda Brenny prl dvsors : Webe João Mansur Eduardo Gomes Dura do Carmo Deparmen : Cvl Engneerng The presen hess shows an explc hgh-order me negraon scheme appled o frs order equaons. The proposed scheme s based on fne dfference approach va saggered grd and s movaed by he deas from he classc Vreux scheme. The proposed scheme s appled o general frs order equaons. The numercal soluon s found for all me seps whch s no possble n he radonal me saggered schemes. In hose schemes par of he numercal soluon s found a he neger me dscree and he oher par s found na he nermedae me dscree. The algorhm s sable for large me seps so s very useful o fnd he soluon a lae me. Therefore s possble o have large me seps even for fne space dscrezaon. The hess also provdes examples appled n elasc wave propagaon problems and convecve ranspor phenomenon n order o valdae he proposed scheme. The numercal soluons are compared wh radonal fne dfference schemes. One of he advanages of he proposed scheme s he applcably n general frs order problems and he smple numercal mplemenaon of he algorhm. The mplemenon can be performed for general -order me approach and he compuaonal effor s smlar o radonal fne dfference schemes. v

8 INDICE INTRODUÇÃO.... Movação.... Revsão Bblográfca Objevos e Orgnaldade da Tese Esruura da Tese... 8 EQUÇÕES DIFERENCIS LINERES DE PRIMEIR ORDEM NO TEMPO Defnção Exemplos de Problemas Lneares de Prmera Ordem no Tempo... 3 LGORITMOS DE INTEGRÇÃO TEMPORL EXPLÍCITOS Inrodução lgormos de Inegração Temporal va Dferenças Fnas lgormos de Inegração Temporal com Malha Inercalada O MÉTODO FDS Inrodução Dferenças Fnas Inercalada de -ordem FDS Ordem de proxmação do Méodo Desenvolvmeno do algormo para ordem Equvalênca do Méodo com os Esquemas de Dferenças Fnas com Malha Inercalada Tradconas Desenvolvmeno do Méodo FDS e Galerkn Desconínuo no espaço EXEMPLOS NUMÉRICOS Inrodução Exemplo Equação da Elasodnâmca Exemplo Equação da Elasodnâmca - Bdmensonal Exemplo 3 Equação do Transpore Convecvo CONCLUSÕES Resulados da Tese v

9 6. Consderações Fnas Recomendações para Trabalhos Fuuros REFERÊNCIS PÊNDICE CÁLCULO DO VETOR RESÍDUO PÊNDICE B DISCRETIZÇÃO ESPCIL VI MLH INTERCLD 83 x

10 Inrodução Nese capíulo é apresenada a movação para o desenvolvmeno dese rabalho e a conexualzação do mesmo no campo da engenhara. É apresenada a revsão bblográfca pernene ao ema abordado. Por úlmo é apresenada a dscussão versando sobre a orgnaldade e objevos da ese bem como a esruura da mesma.. Movação De forma geral grande pare dos fenômenos físcos que regem os problemas de Engenhara são raduzdos em ssemas de equações dferencas parcas EDPs no empo e no espaço. Geralmene as EDPs resulanes de problemas complexos são de dfícl solução analíca e para enconrar uma solução que sasfaça o ssema é fundamenal a ulzação de méodos numércos aravés da modelagem compuaconal. Em muas aplcações de engenhara a nclusão do ermo dnâmco na modelagem compuaconal é essencal para um melhor enendmeno do fenômeno esudado. Uma das classes dos problemas dnâmcos são os problemas de propagação de ondas. Como exemplos podemos car: Vbração em esruuras propagação de calor prospecção de solos enre ouros. Grande pare dos algormos de solução de problemas de propagação de ondas são baseados em méodos sem-dscreos. Para as méodos a aplcação de elemenos fnos MEF para dscrezação espacal resula em um ssema de equações dferencas ordnáras no empo como mosra a equação a segur M U CU U F onde M C e são as marzes de massa amorecmeno e rgdez respecvamene U é o veor ncógna que corresponde aos deslocamenos nodas e F é o veor de forças nodas equvalenes.

11 equação ambém pode ser obda aravés da aplcação de ouros méodos numércos para dscrezação do domíno espacal as como: Méodo de Dferenças Fnas MDF ou Méodo dos Volumes Fnos MVF. Os méodos de negração emporal buscam soluções esáves acuradas e robusas para os ssemas de equações resulanes da negração espacal como mosrado na equação. Exse um grande número de rabalhos de pesqusa focados no aprmorameno da negração emporal. Como exemplo pode-se car os rabalhos recenes de IDESMN [] e MURI & OTO [3]. Uma solução aproxmada para a equação de equlíbro dnâmco pode ser obda aravés de negração passo a passo da equação dferencal do problema em quesão de forma desacoplada ou seja parndo da solução conhecda no empo ncal fornecda pelas condções ncas do problema pode-se ober a solução ao longo do empo aravés do equlíbro dnâmco da equação em nervalos de empo dscreos. De acordo com o processo de marcha no empo os esquemas são classfcados como explícos ou mplícos. Os algormos são chamados explícos quando a equação de equlíbro é expressa no nsane e sua solução é calculada no nsane onde corresponde a um ncremeno no empo. Os méodos explícos são compuaconalmene efcenes mas sua solução é condconalmene esável ou seja depende da escolha adequada do ncremeno no empo para que seja garanda a esabldade. Nos méodos mplícos a solução calculada no nsane é obda a parr da equação de equlíbro avalada no própro empo ou seja é necessáro a solução de um ssema de equações a cada passo de empo o que orna o algormo compuaconalmene mas caro. Sobre ceras condções esses méodos são ncondconalmene esáves so é a resrção quano ao amanho do ncremeno no empo fca condconada apenas a precsão da resposa. Os prncípos báscos dos esquemas de negração emporas mplícos e explícos podem ser enconrados com dealhes nos lvros clásscos de méodos numércos as como: HUGHES [4] BTHE [5] e ZIENIEWICZ & MORGN [6].

12 Os esquemas explícos são largamene ulzados nos problemas de propagação de ondas em engenhara que envolvem um grande número de equações devdo ao bom desempenho compuaconal um exemplo é descro no rabalho de IDESMN [7]. Tendo em vsa a vanagem de se ulzar os esquemas explícos buscou-se desenvolver nese rabalho um algormo esável e com elevada ordem de precsão no empo que fosse aplcado para ssemas geras de prmera ordem ornando vável a modelagem compuaconal de problemas dnâmcos de grande pore.. Revsão Bblográfca ualmene é possível denfcar na leraura um grande número de rabalhos dedcados a busca de algormos para negração numérca de problemas de propagação de ondas que forneçam resposas com elevado grau de precsão lvre de osclações espúras e que sejam compuaconalmene váves de forma a permr a análse de problemas de grande pore. Como exemplo podemos car alguns rabalhos recenes: IDESMN [78] e FUNG [9]. IDESMN e al. em [] apresena uma revsão dos prncpas conceos e obsáculos enconrados na modelagem de propagação de ondas em meos eláscos. Nese argo são apresenadas dversas referêncas sobre o ema. No que dz respeo à modelagem de propagação de ondas acúscas ou eláscas o méodo das dferenças fnas MDF é um dos mas ulzados. Um dos prncpas movos é a efcênca compuaconal do algormo explíco e consequenemene sua capacdade de raar malhas com grande número de graus de lberdade. Denre os fenômenos de propagação de ondas onde o MDF é ulzado desacam-se as áreas da sísmca geofísca acúsca ec. Exemplos da aplcação do MDF são enconrados nos argos MOCZO e al. [] MTTSON e al. [3] e GHIRIST [4]. Nos problemas de propagação de ondas eláscas o méodo das dferenças fnas pode ser aplcado ulzando um esquema de malha nercalada no espaço e no empo. Tal esquema é aplcado em casos parculares onde é possível realzar a negração emporal de forma explíca sendo pare do veor solução velocdade deermnada em um empo dscreo e a oura pare ensões em um nervalo de empo dscreo 3

13 subseqüene que corresponde à meade do nervalo de negração. Ou seja os esquemas não são aplcáves a ssemas geras de prmera ordem. déa da ulzação de malhas nercaladas fo nroduzda por YEE [6] orgnalmene para a resolução aproxmada de equações dferencas da elerodnâmca ulzando o méodo das dferenças fnas. Dversos rabalhos de pesqusa com a ulzação de malha nercalada são enconrados na leraura onde se comprovou que a ulzação de malhas nercaladas gera esquemas mas esáves quando comparados com os esquemas radconas com mesma ordem de acuráca como apresenado nos rabalhos de YEFET & PETOPOULOS [7] ZHONGQING e al. [8]. O esquema de malha nercalada é aplcado a problemas de propagação de ondas eláscas quando o ssema de equações de segunda ordem no empo é reduzdo para ssemas de equações de prmera ordem. Um dos prmeros rabalhos do gênero fo o proposo por MDRIG []. Baseado nas déas do rabalho de YEE [6] fo proposo por VIRIEUX em [3] um esquema de malha nercalada no empo e no espaço para a resolução do problema de propagação de ondas sísmcas aravés da ulzação de écncas de dferençacenral. No esquema de negração no empo são ulzadas funções de nerpolação lnear que fornecem soluções de segunda ordem no empo. O esquema de VIRIEUX em [3] é referênca para dversos rabalhos na área da geofísca que vsam a solução dos problemas de propagação de ondas eláscas sendo basane efcene para modelagem de meos onde exsem elevadas razões de Posson e modelagem de meos heerogêneos com dferenças bruscas do gradene da velocdade como por exemplo nerface águasolo. O rabalho de LEVNDER [4] apresena uma malha nercalada no empo dênca ao rabalho de VIRIEUX [3] mas com uma aproxmação de quara-ordem no espaço. ZNGH & VERSCHUR [5] e TDI [6] desenvolveram um algormo baseado em uma dscrezação espacal va Méodo dos volumes fnos e ulzam o mesmo esquema de malha nercalada no empo com segunda ordem de precsão proposo nos rabalhos de VIRIEUX [3]. Neses rabalhos a vanagem consse na ulzação de malhas genércas no espaço composas por elemenos rangulares e reangulares o que perme uma melhor represenação de meos não homogêneos com conornos rregulares. 4

14 O rabalho de GHIRIST e al. [9] ca as segunes vanagens da ulzação de malhas nercaladas em problemas de prmera ordem: Quano maor a ordem de aproxmação maor o aumeno da acuráca quando comparado com as malhas radconas não nercaladas; economa do armazenameno de dados uma vez que cada varável é represenada em nervalos de empos dferenes; as malhas nercaladas são menos sensíves a perurbações nos snas de enrada. lém dsso o rabalho de GHIRIST e al. [9] sugere a ulzação de malhas nercaladas no empo para ober uma melhor precsão e esabldade que os méodos explícos do po mulsep como por exemplo o méodo de Runge-ua que pode ser enconrado em HUGHES [4]. Nese argo é apresenado um exemplo onde para o mesmo cuso compuaconal a ulzação de malhas nercaladas no empo fornece resposas mas acuradas e mas esáves. Os algormos numércos com precsão de segunda ordem no empo são basane efcenes em smulações numércas onde o empo oal da negração numérca possu uma quandade pequena de períodos do fenômeno dnâmco que se deseja modelar. Quando as smulações se ornam mas longas as dspersões do méodo de negração emporal aplcado geram erros numércos que podem compromeer a solução do problema. Logo a ulzação de esquemas de ala ordem de precsão mnmza as dspersões do méodo numérco prncpalmene no que dz respeo a longas smulações. Segundo NNÉ e al. em [7] os esquemas radconas de dferenças fnas em geral se ornam nsáves para aproxmações de ordem elevada no empo quando se raa de problemas de propagação de ondas acúscas e eláscas. Desa forma para ober soluções numércas mas acuradas uma alernava sera aumenar a ordem de aproxmação no espaço manendo a ordem de precsão no empo o que aumena a complexdade do problema e aumena basane o número de equações do ssema a ser resolvdo. São apresenados nos rabalhos de BYLISS e al. [8] e COHEN & JOLY [93] um esquema de dferenças fnas com precsão de quara ordem no empo e no espaço para problemas de propagação de ondas eláscas e acúscas. 5

15 Por ouro lado o esquema conhecdo como Lax-Wendroff LX & WENDROFF [3] nos perme aumenar a ordem de precsão no empo e espaço. Tal esquema é enconrado no rabalho de GUSTFFSON & WHLUND [3] que mosram um esquema de precsão de quara ordem no empo e espaço para problemas de prmera ordem. O rabalho apresenado por MTSSON & NORDSTRON [3] apresena um esquema de dferenças fnas de ala ordem aplcado a problemas de propagação de ondas em meos desconínuos. Nese méodo a dscrezação espacal ambém é obda aravés do méodo de dferenças fnas o que orna a aplcação lmada a problemas com conornos regulares. O méodo de Runge-ua ambém é basane empregado para consruções de esquemas explícos e de ala-ordem no empo como enconrados nos rabalhos de VERWER [34] e NEVSY e al. [35] e anda com esquemas de malha nercalada no empo como apresenado nos rabalhos de MURI & OTO [3]. No enano cabe ressalar que os rabalhos enconrados durane a pesqusa bblográfca são basane eórcos e não foram enconradas aplcações relevanes em problemas aplcados na área de engenhara..3 Objevos e Orgnaldade da Tese Como apresenado na revsão bblográfca não exse na leraura muas referêncas de écncas de negração emporal explíca que forneçam resulados esáves e com precsão de ala ordem que sejam de fácl mplemenação as como os méodos baseados em esquemas de dferenças fnas. Cabe ressalar que mesmo com a grande varedade de esquemas de negração emporal de ala ordem exsenes na leraura como por exemplo os esquemas que ulzam écncas de elemenos fnos méodos especras méodos pseudoespecras enre ouros os esquemas explícos baseados em écncas de dferenças fnas connuam sendo basane vanajosos no que dz respeo ao desempenho compuaconal nos problemas de propagação de ondas. Por ese movo buscou-se nvesr na melhora deses pos de algormos. Um esudo sobre as vanagens 6

16 compuaconas da ulzação de esquemas de dferenças fnas pode ser enconrado na referênca GHIRIST [4]. Insprado nas déas proposas por VIRIEUX [3] e ZNGH & VERSCHURR [5] buscou-se generalzar os algormos de negração emporal com malha nercalada de forma a ober ala ordem de precsão e garanndo esabldade da solução numérca. déa para elaboração dese rabalho surgu a parr do desenvolvmeno do rabalho BRENNY [36] onde se verfcou a aplcabldade do esquema de negração emporal explíco com malha nercalada proposo por ZNGH & VERSCHURR [5] na modelagem de ondas eláscas. O esquema de negração emporal proposo nese rabalho possu a propredade de ser de fácl mplemenação e é apresenado de forma genérca para ordem ou seja pode-se consrur esquemas da ordem desejada dependendo apenas da escolha do polnômo de nerpolação no empo. Possu anda uma função de esablzação em sua formulação que perme a ulzação de ncremenos emporas relavamene elevados sem que a precsão da solução numérca seja compromeda. Como mosrado no desenvolvmeno dese rabalho o esquema de negração no empo proposo pode ser aplcado a qualquer ssema de equações dferencas resulanes de negrações espacas ou seja a modelagem de problemas com conornos rregulares e geomeras complexas podem ser efeuadas. Cabe ressalar que o esquema de malha nercalada no empo aplcado a equação da elasodnâmca proposo por VIRIEUX [3] e ZNGH & VERSCHURR [5] fornece o veor velocdade no empo dscreo e as ensões no empo dscreo. O algormo proposo fornece a velocdade e ensão nos empos dscreos e ou seja o veor solução é deermnado na ínegra para odos os nervalos de empo da análse. Do pono de vsa físco da propagação de onda sso corresponde a ober o efeo-causa do problema nos mesmos nsanes de empo. 7

17 .4 Esruura da Tese O capíulo apresena uma breve revsão dos ssemas de equações dferencas de prmera ordem no empo com ênfase na obenção das equações dferencas que servrão de base para o esquema numérco mplemenado nese rabalho. Uma nrodução aos algormos de negração emporal explícos com ênfase nos esquemas de Dferenças Fnas radconal e Dferenças Fnas com malha nercalada proposo por VIRIEUX [3] é apresenada no capíulo 3. Tas esquemas são a base para elaboração do esquema genérco proposo nesa ese. No capíulo 4 é consruído o desenvolvmeno do méodo proposo bem como uma análse da ordem de precsão e um exemplo do desenvolvmeno do mesmo para quara ordem de precsão. É apresenada ambém a equvalênca do mesmo quando ulzado segunda ordem de precsão no empo com os méodos radconas de malha nercalada proposo por VIRIEUX [3]. São desenvolvdos uma sére de exemplos que procuram demonsrar numercamene a efcênca precsão e esabldade do méodo. lém dsso são ulzados exemplos onde a resposa analíca é conhecda de forma a valdar a meodologa proposa. São apresenados exemplos para os problemas dnâmcos apresenados no Capíulo : Elasodnâmca e Fenômenos de Transpore de Massa. Os resulados enconram-se apresenados no Capíulo 5. Fnalmene no capíulo 6 são apresenadas as conclusões obdas durane a elaboração do rabalho vanagens e desvanagens bem como ouras aplcações do méodo proposo e recomendaçõessugesões para rabalhos fuuros. 8

18 Equações Dferencas Lneares de Prmera Ordem no Tempo Os ssemas de equações dferencas lneares de prmera ordem são enconrados na modelagem de dversos problemas as como geofísca análse dnâmca de esruuras análse dnâmca de fenômenos químcos fenômenos de ranspore enre ouras áreas da engenhara. Nese rabalho é apresenado um esquema numérco de negração emporal aplcado a ssemas de equações dferencas lneares de prmera ordem no empo. Para so apresenamos nesa seção a defnção maemáca do problema de prmera ordem no empo bem como dos exemplos de equações dferencas aplcadas ao algormo proposo nesa ese: modelagem de fenômenos de ranspore e modelagem de propagação de ondas eláscas. Uma defnção mas dealhada a respeo do assuno pode ser enconrada em BOYCE & D PRIM [37]. Defnção Sejam d um nero e T R e { a T R b } com T a < Tb. Consdere os usuas espaços de Hlber L T e H T como defndo em DMS [38] a T b e os segunes espaços de Hlber: a T b d L T a Tb { ϕ ϕ ϕ... ϕ ; ϕ L T atb e...d } d d H T a Tb { ϕ ϕ ϕ... ϕd ; ϕ H T atb e...d } Para um nervalo arbráro [ α β ] e m m consdera-se C [ α ] como defndo em DMS [38] e ambém o espaço-produo: C m d [ α ] { ϕ ϕ ϕ... ϕd ; ϕ C [ m α ]} 9

19 Para duas marzes v e w de ordem m x n m e n defne-se o produo nerno como m n v. w v j w e a norma Eucldana j j v. Um veor v R d é v v represenado enão por uma marz de ordem dx. Seja uma marz quadrada de ordem d com componenes j C [ α β ] para o nervalo ] e sasfazendo a segune hpóese: [ α β Hpóese : Exse uma consane real C > al que j τ j τ j τ Ume Ume < ma onde U me denoa a undade emporal da análse. ma [ C ] j e τ Dadas as defnções acma é consderado o ssema de equações dferencas lneares ordnáras de prmera ordem no empo defndo da segune forma: f para T Onde: Η T d R d d f f f f L T d a T b

20 . Exemplos de Problemas Lneares de Prmera Ordem no Tempo Equação do Fenômeno de Transpore de Massa Os fenômenos de ranspore as como condução de calor ransferênca de massa dspersão em fludos ec. são modelados de forma geral pela segune equação dferencal parcal: u vu - D u s 3 onde: u é o ermo ransene e represena fscamene o ganho ou perda de massa por undade de empo; vu é o ermo convecvo e v é o campo de velocdade; - D u é o ermo dfusvo onde D é um ensor de dfusão de a ordem; sé o ermo fone que pode varar ao longo do empo e espaço. Seja o campo de velocdade consderado ncompressível enão v e a segune dendade é válda: vu v u v u v u 4 Subsundo a dendade 4 na equação 3 emos: u v u - D u s 5 Consdere um fenômeno de ranspore puramene convecvo ou seja o ermo dfusvo é nulo D. Desa forma a equação 3 é smplfcada resulando na segune equação hperbólca:

21 u v u s 6 dreção e a velocdade do ranspore convecvo é dada pelo campo de velocdade vx. Smplfcando para o caso undmensonal a equação 6 é dada por: u u v s x 7 Um exemplo numérco de aplcação da equação de prmera ordem que modela o fenômeno do ranspore convecvo 7 é enconrado na seção 5.4. Uma abordagem dealhada sobre os fenômenos de ranspore podem ser enconrada na referênca BENNETT [4].

22 Equação da Elasodnâmca Lnear O ssema de equações que modela o fenômeno da propagação de ondas em meos eláscos usualmene é escro como sendo de segunda ordem no empo como mosra a equação. Nesa seção consa uma breve revsão dos aspecos geras do fenômeno de propagação de ondas eláscas lneares resros aos casos abordados nese rabalho segundo os conceos apresenados por GRFF [4]. Esse ssema pode ser escro como um ssema de equações hperbólco de prmera ordem expresso em ermos dos campos de velocdade e ensões. Consderando um sóldo consuído de um maeral lnearmene elásco homogêneo e sorópco e admndo um esado ncal neuro quando as ensões e as deformações são nulas em-se o segune ssema de equações como é apresenado na referênca VILLÇ e GRCI [4] v x τ ρ x xx τxy y v y τxy τ yy ρ x y τ τ xx yy λ µ λ µ v x x v y y f x f y v y λ y v x λ x 8 τ xy v µ y x v y x onde: v x u x e v y E µ ; ν u y ; 9 3

23 Eν λ ; ν ν νe são consanes eláscas do meo; ρ é a massa específca do meo; u x e uy são as componenes do veor deslocameno; f x e f y são as componenes do veor ndependene ; O ssema de equações 8 pode ser escro na segune forma marcal: M Θ f onde: Θ corresponde a um operador dferencal no espaço: Θ x λ x y λ y y x x y y x v v τ τ τ ; x y xx yy xy M corresponde a marz de massa; f corresponde ao veor ndependene. Um exemplo numérco da aplcação da equação da elasodnâmca lnear equação é enconrado nas seções 5. e

24 3 lgormos de Inegração Temporal Explícos 3. Inrodução Nesa seção são apresenados os prncpas conceos dos esquemas de negração emporal explícos que ulzam procedmenos de dferenças fnas radconas e com malha nercalada. Os prmeros algormos desenvolvdos para negração emporal de equações dferencas basearam-se no emprego de dferenças fnas obdas por expansões em sére de Taylor para expressar as dervadas emporas envolvdas nesas equações. Denre as aproxmações exsenes uma das mas dfunddas na leraura é aquela baseada em dferenças cenras. O méodo das Dferenças Cenras é basane aplcado em problemas de propagação de ondas que envolvem um grande número de equações. Tal esquema é condconalmene esável e possu precsão de segunda ordem no empo conforme apresenado em BTHE [5]. Uma breve descrção dos esquemas de dferenças fnas radconas é apresenada na seção 3.. Pode-se enconrar uma revsão complea sobre o méodo em MITCHELL [39]. NEWMR [43] ncorporou dos parâmeros de conrole nas aproxmações por dferenças fnas para as dervadas emporas da equação de equlíbro dnâmco. Dependendo da escolha de as parâmeros pode-se ober uma formulação explíca no empo com conrole de esabldade e precsão numérca. Segundo HUGHES [4] aravés da escolha adequada dos parâmeros de Newmark pode-se ober o méodo de dferença cenral. Uma classe parcular dos esquemas de Dferenças Cenras são os algormos que ulzam malha nercalada no empo como enconrado nos rabalhos de VIRIEUX [3] LEVNDER [4] ZHNG & VERSCHUR [5] TDI [6] e BRENNY [36]. Tas esquemas são aplcados a ssemas hperbólcos para problemas parculares como apresenado mas adane na seção

25 Em geral a esabldade dos esquemas explícos é condconada a relação enre a dscrezação espacal Couran como mosrado a segur: x e a dscrezação emporal dada pela relação de x m n C adm < onde C adm é uma consane que orna o lado esquerdo da desgualdade admensonal e depende das propredades físcas do problema e m e n são consanes que dependem da ordem do problema analsado. Por exemplo nos problemas hperbólcos onde a ordem da dervada espacal e emporal são guas em-se que a proporção enre a dscrezação espacal e emporal é manda ou seja pode-se ulzar uma dscrezação emporal da mesma ordem de grandeza da dscrezação espacal. Como exemplos de equações hperbólcas êm-se a equação da onda segunda dervada no empo e no espaço e a equação do ranspore convecvo prmera dervada no empo e no espaço. Nos casos onde a ordem da dervada espacal é maor que a da dervada emporal o que ocorre nos problemas parabólcos dervada de segunda ordem no espaço e dervada de prmera ordem no empo para se ober uma solução numérca esável no empo deve-se ulzar uma dscrezação emporal muo refnada em relação à dscrezação espacal adoada o que orna a ulzação dos esquemas explícos pouco vanajosa. condção de esabldade de couran é necessára mas não sufcene para garanr a esabldade dos esquemas explícos. 6

26 3. lgormos de Inegração Temporal va Dferenças Fnas O méodo de negração emporal por dferenças fnas ulza a aproxmação das dervadas emporas aravés de écncas de dferenças. aproxmação das dervadas de uma função pode ser obda aravés da expansão em séres de Taylor. Seja fx uma função sua aproxmação por séres de Taylor omando como base um pono a é dada pela equação 3: dfa d fa f x fa x a x a dx! d n d fa n x a ± erro n n! dx 3 Tomando-se a aproxmação da função fx para f x f x f f x h e f x f x f obém-se: a x e x x ou seja df h d f f f h ± erro dx! dx 4 Desprezando os ermos de ordem maor ou gual a h obém-se: df dx f f h 5 aproxmação obda para a dervada da função f na equação 5 ulza o valor da função no pono e por sso é conhecda como dferenças fnas regressvas. De forma smlar pode-se fazer uma expansão em sére de Taylor ao redor dos ponos - e - o que mplca na obenção das aproxmações de dferenças fnas regressvas e cenras respecvamene como mosram as equações 6 e 7: df f f 6 dx h 7

27 df dx f f 7 h equação quando resolvda aravés do méodo de dferenças fnas cenras no empo fornece a segune equação de equlíbro no pono : M CU f MU M CU 8 Para o caso parcular onde a marz de massa M é dagonal e a marz de amorecmeno C pode ser neglgencada a equação 8 é escra como: U f U M M M U 9 Logo o ssema de equações 9 pode ser resolvdo sem necessdade da faoração de marz ou seja a solução do ssema é obda apenas com operações de mulplcação de marz e veor. Nese caso o ssema de equações dferencas pode ser resolvdo por elemeno não sendo necessáro a monagem e o armazenameno compleo da marz de rgdez o que orna o desempenho compuaconal basane vanajoso. Uma descrção mas dealhada do méodo pode ser enconrada nas referencas HUGHES [4] BTHE [5] e ZIENIEWICZ & MORGN [6]. 3.3 lgormos de Inegração Temporal com Malha Inercalada Tradconalmene as malhas nercaladas no empo êm sdo ulzadas para solução de ssemas de equações hperbólcas de prmera ordem. Geralmene as algormos são baseados em esquemas de dferenças cenras como mosrado na equação 7. s malhas nercaladas são basane ulzadas nos problemas de Geofísca onde exse grande varação dos gradenes de velocdade no meo como mosra o rabalho de VIRIEUX [3]. 8

28 Grande pare dos esquemas de malha nercalada enconrados na leraura são obdos para um caso parcular da marz do ssema. Seja a marz de ordem d como apresenado na equação. Para que seja possível a ulzação de malhas nercaladas no empo a marz deve possur a segune propredade: se L e j L j j se > L e j < L L d Desa forma as ssemas de negração ulzam duas malhas no empo para calcular o veor solução sendo os nervalos de negração como mosrado a segur: I [ ] N I [ ] N onde N corresponde ao número de nervalos de empo da negração numérca. O nervalo Ié ulzado na negração das componenes aé L do veor solução enquano o nervalo I é ulzado na negração das componenes L aé d. Um pono negavo dos esquemas radconas de malha nercalada baseados em procedmenos de dferenças cenras é que pare do veor solução componenes de ordem aé L é obda no empo dscreo a parr das soluções nos empos dscreos e. oura pare componenes de ordem L aé d é obda no empo dscreo a parr das soluções nos empos dscreos e como mosra o esquema ndcado na Fgura : Fgura - Esquema da negração emporal aravés de esquemas de dferenças fnas ulzando malha nercalada. 9

29 onde para L... e para d... L De forma a exemplfcar os esquemas de malha nercalada no empo é apresenado a segur uma dscrezação numérca da equação 8 para um nervalo de empo : λ µ λ τ τ y x xx xx y v x v λ µ λ τ τ x y yy yy x v y v µ τ τ y x xy xy x v y v x xy xx x x f y x v v τ τ ρ y yy xy y y f y x v v τ τ ρ Cabe ressalar que cada equação apresenada no ssema de equações é dependene somene da solução no empo aneror das componenes de velocdade e ensão. Desa forma o ssema avança de forma explíca. convergênca do méodo é condconada a escolha do nervalo de empo adequado para o problema como apresenado em VIRIEUX [3].

30 4 O Méodo FDS 4. Inrodução O esquema de negração numérca proposo nessa ese fo desenvolvdo de forma a generalzar os esquemas de malha nercalada enconrados na leraura. Desa forma o mesmo pode ser aplcado para problemas geras de prmera ordem e o veor solução é obdo na ínegra para os empos dscreos e. Ou seja não é necessára que seja aendda a resrção apresenada na equação. O méodo é compaível com qualquer ssema de equações dferencas provenenes de dscrezações espacas va méodo dos elemenos fnos dferenças fnas volumes fnos enre ouros desde que o ssema seja escro como apresenado na equação. O esquema proposo é capaz de resolver os ssemas de equações de forma explíca no empo com soluções numércas de precsão elevada dependendo da escolha do grau do polnômo ulzado na nerpolação. Nas seções a segur é apresenado o desenvolvmeno do algormo numérco proposo bem como uma avalação da precsão do mesmo e anda um exemplo das equações obdas para uma aproxmação quadrácas ou seja de ordem Dferenças Fnas Inercalada de -ordem FDS Com o objevo de apresenar o méodo proposo nessa ese ncalmene são apresenadas algumas defnções: Seja T o empo oal da análse onde: T N 3 N correspondendo a um nero posvo e não nulo e um número posvo real que corresponde ao ncremeno de empo empregado na análse numérca.

31 Seja I um nervalo de empo onde: I α [ α β ] β > α [ β ] [ T ] 4 Seja a coordenada local [-] dada por: 5 β α β α 6 Consdera-se anda o espaço m P : P m I { η : I R} 7 onde η é um polnômo de grau menor ou gual a m na coordenada local. Consdera-se anda o espaço-produo: P m d m I { η η... d ; η P I;...d} 8 Sendo m um nero não nulo é defnda a segune função: m se consane L m 9 se consane onde corresponde a marz defnda na equação. Seja a função s denoada por: s m m L m 3

32 Para cada nervalo I ] e para cada {... d} é defndo uma função de esabldade denoada por: [ α β F dag < α β > exp [ ] I sab 3 onde exp denoa a função exponencal usual e o ermo < dag α β > é defndo como segue: < α >. dag α β β β dag d α 3 Por úlmo defnmos o grau do polnômo ulzado na nerpolação dos nervalos de empo dado por: k 33 s onde k é um nero posvo e não nulo. O prmero passo é defnr para cada {... d} e para cada nervalo uma α β quadraura baseada em ponos gualmene espaçados para negração exaa de polnômos de grau menor ou gual a - no nervalo [-]. Logo é defnda a medda posva de Lebesgue como segue: I I d µ F d 34 sab O grau do polnômo defne a parção dos nervalos I [ ] ou seja o nervalo será dvddo em subnervalos composo por - ponos de negração os lmes dos subnervalos são escros da segune forma: α β onde: n nβ α n α β α n

33 n n n Para o nervalo [-] é defnda a marz quadrada componenes mi Mj dados por: mi M de ordem - e mi mi 37 Mj Fsab j j... j... e m... d Os pesos mi W da quadraura são deermnados pela equação: j M mi j W mi j F mi sab j j d De forma a mnmzar os erros de arredondameno provenenes da solução da equação 38 é defndo uma marz quadrada auxlar componenes mi M j aux são dadas por: miaux M de ordem - onde as miaux Mj j... e j Baseado na marz defnda em 39 os pesos auxlares aravés da solução da equação 4: mi aux W são deermnados j M miaux j W miaux j I mi sab... 4 onde: I mi sab F mi sab d j j 4 4

34 5 se > < > < > <... I exp I dag mi sab dag dag mi sab β α β α β α Das equações 38 e 4 obemos o cálculo do peso:... j F W W j mi sab miaux j mi j 43 De forma convenene para desenvolvmeno do méodo o veor solução do ssema de equação de prmera ordem defndo pela equação é escro da segune forma: N... ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ h d h h d h h d h h h l h 44 sendo a norma do veor solução 44 dada como segue: h l l h h h l h ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 45

35 Ou seja o veor solução corresponde a k vezes o amanho do veor solução orgnal. Para cada nervalo I as marzes α β dag I dag I sab F e I W possuem componenes deermnadas da segune forma respecvamene: dag I j < dag j se j 46 α > β se j F dag I sabj F I sab α se β j se j 47 W l Il W j αβ se j se j 48 Os lmes dos nervalos e subnervalos da negração emporal são como mosrado na equação a segur respecvamene: I [ ]...N l l I l [ ]...N ; l De forma convenene ao desenvolvmeno do algormo proposo o ssema de equações lneares de prmera apresenado na seção. é escro de forma equvalene como apresenado a segur. 6

36 Problema Equvalene de Prmera Ordem no Tempo Para cada nervalo fxo conforme defndo em 49 o problema de prmera ordem exao I ml equvalene no empo consse em deermnar o veor H I que sasfaça o ssema de equações: ml F F dag I sab dag I sab m l m l f m l dag I ml exao Im l dag Im l exao Im l 5 exao I exao Im l se m l m exao I l m > l m se m 5 O méodo FDS propõe uma negração numérca para o ssema de equações equvalene apresenado na equação 5. Ou seja para o nervalo genérco I ml preende-se resolver a segune negral: Observação: No desenvolvmeno que segue o nervalo I é smplfcado como ml sendo I para faclar o enendmeno. b exao I dag I dag I exao I dag I exao I Fsab d a b a F dag I sab fd 5 onde: l a k l b k a m b m > e l {... k } 7

37 De forma convenene e sem modfcar a equação 5 o ermo dag dag dag I [ I I] F é adconado resulando em: sab fd dag dag [ I I] b exao I dag I dag I exao I dag I dag I exao I Fsab Fsab d a 53 b a F dag I sab onde I corresponde a marz dendade de ordem gual a. equação 53 é equvalenemene a segune equação: b exao I b dag I dag exao I dag I dag I exao I dag exaoi Fsab I d Fsab [ I ] d a b a F dag I sab fd a 54 Resolvendo a prmera negral da equação 54 obemos: exao b a F b F dag I sab dag I sab fd exao a b a F dag I sab [ dag I exao I dag I exao I ] d 55 equação 55 é resolvda ulzando a negração numérca defnda pela quadraura apresenada na equação 38 e corresponde a déa prncpal do algormo numérco proposo. O algormo é desenvolvdo como mosram os rês passos a segur: 8

38 Passo : O prmero passo corresponde ao pono de parda da negração emporal sendo hi deermnado o veor solução Ρ I onde I sasfazendo o ssema de equações varaconal como segue: I I hi hi γ η f η ηd Fa γ η η ηd Fa η Ρ I hi η 56 onde: Fa Sup se { se...d } j γ.5 57 O veor solução é deermnado para cada pono do subnervalo resulando no veor a segur: h h l h h hi hi l hi - hi 58 Para deermnar o veor apresenado na equação 58 pode ser ulzada uma subdvsão adequada do prmero nervalo de empo juno com um algormo explíco de dferença cenrada com segunda ordem de precsão de modo a se ober uma parda adequada do méodo FDS. Cabe ressalar que a escolha de um méodo adequado para obenção da resposa no passo nfluenca na solução numérca pelo méodo FDS ou seja se a resposa numérca obda no prmero passo de empo possur um erro elevado o mesmo será 9

39 carregado para os demas passos de empo pos cada passo de empo é calculado dependendo da resposa no passo de empo aneror. Pode-se anda ulzar esquemas mplícos de ala ordem junamene com solvers eravos para ober a solução no prmero passo. Tendo em vsa que o ssema de equações será resolvdo apenas uma vez o fao de se ulzar um esquema mplíco não afeará o cuso compuaconal da análse fnal. Passo : Nese passo são calculados os veores soluções para cada pono do subnervalo ou seja os veores h l d R para... N e l... sasfazendo a equação: F dag I sab l ** m l * l ** m h h m l ** h l l dag I Fsab l * m l l * l * m f d * h m * l * h m 59 onde: I l m * l dagi l dagi l * W Fsab * m l * l * m m l * l I l l dagi l dagi l W Fsab l l * l I l l m** dagi l dagi l ** W F ** m sab l m ** l m m * l m ** l m l m m { -} 3

40 l l b m a X m X se a > b ab Ν m Cabe ressalar que a negral do veor ndependene f mulplcada pela função de esablzação F sab pode ser obda aravés da mesma quadraura fornecda pela equação 38. Passo 3: Nese passo são calculados os veores soluções para cada pono do nervalo... N ou seja os veores h d R sasfazendo a equação: F dagi f sab h h * h m dagi m Fsab d 6 m onde: * m W m I m dagio dagi Fsab m m m m m { -} b m a X m X se a > b ab Ν m Da mesma forma que ocorre no Passo a negral do veor ndependene f mulplcada pela função de esablzação F sab pode ser obda aravés da mesma quadraura fornecda pela equação 38. 3

41 3 4.3 Ordem de proxmação do Méodo O ssema de equação defndo nos passos e 3 na seção 4. pode ser escro de forma análoga pelo ssema de equações 6: FDS h h h FDS * h h h FDS f M M 6 onde FDS M corresponde a uma marz rangular nferor e FDS * M a uma marz rangular superor como mosrado a segur: dag I sab * * * * dag I sab * dag I sab FDS F F F M d * * * d * * * d FDS * I I I M De forma drea podemos conclur que o ssema de equações algébrcas defndo em 6 possu uma únca solução pos de FDS M. Seja o veor exao a solução exaa para o problema defndo na seção.. O veor solução exaa para o ssema de equações 5 é escro como mosra o veor a segur:

42 exao exao l exao exao exao exao l exao - exao 6 exao O ssema de equações 5 pode ser escro para o veor solução exaa como mosra o ssema de equações a segur: M FDS exao exao exao M * FDS exao exao exao f FDS V FDS res 63 onde FDS V res corresponde a um veor resíduo. ordem de aproxmação do méodo FDS é proporconal a norma FDS V res. O veor resíduo é deermnado aravés da expansão em sére de Taylor da marz j aé ordem lk e do veor exao m de ordem k resulando no veor a segur: V FDS resm 4 m V l resm 4 Vresm m 4 Vresm m 64 Uma demonsração da obenção do veor resíduo FDS V res é enconrada no pêndce. ordem de aproxmação do méodo FDS é dada por: ρ ordem < 65 33

43 onde: k se Sup{ Eaylor j l ; j {...d } {...d }; } exao ρ < Inf { Eaylo m k ; m {...d }; } 66 lk k caso conráro 4.4 Desenvolvmeno do algormo para ordem 4 De forma a mosrar a aplcação do méodo FDS nesa seção é apresenado o desenvolvmeno do algormo numérco ulzando polnômos de nerpolação quadrácos Nese desenvolvmeno a marz quadrada de ordem d defnda na seção. é omada como sendo consane ao longo do empo ou seja: L m e m 4 s O fao da marz consane mplca na smplfcação da função de esabldade na função apresenada na equação 67: dag F exp sab...d 67 Ou seja para cada equação do ssema de equações ordnáras defndo na seção. haverá uma função de esabldade relaconada ao coefcene da dagonal da marz. Dado que 4 o nervalo de empo ulzado na análse é subdvddo em 4 parções. Para cada parção são defndos os segunes nervalos de negração: I [ ]... N 4 [ ]... N ; 4 4 I 34

44 4 [ ]... N ; 4 4 I [ ]... N ; 4 4 I onde N corresponde ao oal de passos no empo. fgura a segur lusra os nervalos de negração emporal:... I 3 N- I I 4... I 4 I 4 I 4 I 34 I 34 Fgura - Esquema dos Inervalos de negração Temporal para o méodo FDS 4. Noa-se que para o avanço de um passo de empo I é necessáro efeuar negração emporal de 3 subnervalos I 4 ;I 4 ; I 3 4. Para cada nervalo I são defndos 3 ponos de negração gualmene espaçados no nervalo: e. Cabe ressalar que a negração 3 numérca ulzando 3 ponos de negração resula em uma negração exaa para um polnômo quadráco. Os pesos da negração numérca W onde...d são deermnados aravés do ssema de equações mosrado a segur: 35

45 d F d F d F W W W F F F F F F F F F sab sab sab sab sab sab sab sab sab sab sab sab 68 Cabe ressalar que como a função de esablzação não vara com o empo os pesos da quadraura ambém não varam com o empo. Dessa forma é deermnada uma quadraura para cada equação do ssema que corresponde ao índce da equação 68. De forma a mnmzar os erros de arredondameno devdo ao runcameno do cálculo compuaconal é deermnado um peso auxlar aux W onde...d aravés da segune equação: sab sab sab aux aux aux I I I W W W onde: d F I sab sab sab dag dag sab I exp I sab dag dag sab I exp I 3 7 Por fm os pesos W onde...d são calculados pela relação 7: F W F W F W W W W sab aux sab aux sab aux

46 37 O passo defndo na seção 4. pode ser deermnado aravés de um méodo de negração emporal explíco de ala ordem. Nese passo é deermnado o veor escro a segur: [ ] h h h h 7 O passo defndo na seção 4. deermna os veores solução para os 3 subnervalos I ; ;I I como mosra as equações a segur onde N... : { } d W W W sab dag sab f F F { } d W W W sab dag sab f F F { } d W W W sab dag sab f F F 73 O passo 3 defndo na seção 4. deermna os veores solução para o nervalo I como mosra as equações a segur:

47 F sab W W } dag 4 { 3 Fsab W f d 74 Noa-se que o processo de marcha no empo obdo aravés das equações 73 e 74 é explíco ou seja o cálculo do veor solução nos passos de empo depende apenas dos veores prevamene calculados nos passos anerores -. O algormo pode ser consruído de forma efcene de manera equvalene aos esquemas de dferenças fnas radconas necessando apenas do armazenameno de 4 veores solução da ordem do ssema de equações a ser deermnado. O avanço no empo procede e os veores solução vão sendo aualzados com as resposas obdas nos passos de empo anerores não sendo necessára a solução de um ssema de equações a cada passo de empo. Desa forma o cuso compuaconal do algormo no que dz respeo a velocdade de processameno é basane vanajoso necessando apenas da solução de um únco ssema de equações para deermnar a resposa no prmero passo de empo. 4.5 Equvalênca do Méodo com os Esquemas de Dferenças Fnas com Malha Inercalada Tradconas. Nesa seção é feo um paralelo do méodo apresenado com os esquemas de malha nercalada radconas enconrados na leraura apresenados na seção 3.3. Os esquemas de dferenças fnas com malha nercalada radconas são equvalenes a ulzação de funções de nerpolação consanes. Como apresenado nesa seção o méodo FDS possu a mesma ordem de aproxmação para. Os nervalos de negração são: [ ]...N I 38

48 [ ]...N ; I Ou seja para cada nervalo de empo é defndo um pono de negração cenral de forma semelhane aos méodos de malha nercalada conforme apresenado na Fgura seção 3.3. Para os casos parculares onde a marz é defnda como mosra a equação como por exemplo nos problemas de elasodnâmca lnear defndos na seção. a dagonal da marz dag é nula o que mplca que a função de esabldade F sab é gual a. Logo a peso da negração numérca é consane e gual a para odas as equações do ssema. O algormo de marcha no empo é smplfcado como mosrado a segur: f d f d 75 De forma drea pode-se conclur que o algormo 75 é dênco ao algormo de malha nercalada apresenado na seção 3.3 exceo pelo fao que o veor solução para o méodo DFI não é calculado na ínegra para odos os nervalos de empo ou seja: para... L e para L... d Noa-se que o esforço compuaconal para o méodo FDS é maor do que no méodo DFI pos o ssema de equações a ser resolvdo possu o dobro de equações do que o ssema orgnal. No enano os resulados apresenados na seção 5 mosram que o ganho efevo na precsão do méodo é basane elevado o que orna o méodo basane compevo. 39

49 4.6 Desenvolvmeno do Méodo FDS e Galerkn Desconínuo no espaço. Nesa seção é apresenada uma formulação onde é aplcado o méodo de Galerkn desconínuo no espaço de ala ordem juno com o algormo de negração emporal proposo nesse rabalho. ulzação de méodos de ala ordem no espaço é mporane quando se ulza méodos de ala ordem no empo uma vez que o erro da solução numérca das equações dferencas as como as apresenadas na Seção é uma composção enre o erro da dscrezação espacal e o erro da dscrezação emporal. Quando é ulzado dscrezações de prmera ou segunda ordem no espaço ese erro é predomnane em relação ao erro resulane da dscrezação emporal de ala ordem ou seja o erro oal da solução numérca converge para o erro da solução espacal. O nuo dessa seção é mosrar que é possível ober um algormo explíco vanajoso ulzando dscrezações espacas de ala ordem em conjuno com o algormo proposo na presene ese. O algormo é apresenado para a equação do ranspore convecvo undmensonal defndo na seção. como mosrado a segur: U U B CU f em x xxl e x U x U U U x...u G x U x U NGL 76 onde NGL corresponde ao número de graus de lberdade do problema. 4

50 Seja uma malha espacal undmensonal com N elemenos e ponos nodas com coordenadas xx x... x N como mosrado na fgura a segur: e e en x x x 3 x N x N x L Fgura : Malha espacal Undmensonal Para a malha apresenada na Fgura a equação 76 é dada por: U U C U f...ngl 77 NGL NGL NGL j j j B j j x j j j j Os elemenos e da malha possuem npe ponos nodas e a numeração local do elemeno é dada como mosra o exemplo a segur para o elemeno e: e x 3 4 npe- npe x Fgura : Numeração local dos elemenos apresenada para o elemeno e. Para cada grau de lberdade e para cada elemeno o veor solução é dado por: U e x NPE l Û e η...ngl 78 l onde η corresponde as funções de forma lagrangeanas para o elemeno e. ordem de precsão da dscrezação espacal va Galerkn Desconínuo esá condconada a escolha dos ponos nernos do elemeno ou seja para npe4 é obdo uma negração espacal de ercera ordem pos as funções de nerpolação η correspondem a polnômos cúbcos. 4

51 equação 77 é enão negrada no espaço para odos os elemenos da malha espacal apresenada na Fgura. Incalmene a negração é fea para o elemeno e ou seja nas coordenadas x a x : x NGL x j x x onde: U NGL U NGL NPE j j [ B C U ] ηdx [ Û η x G ] f η dx j x j j j j l l j η l x 79 { x...ngl; j...ngl; x [x x ]} max j ; Subsundo o veor solução 78 na equação 79 obém-se a segune equação: x x NGL NPE NPE Û NPE ηl jl [ jû jl B j ηl C j ηl Û jl ] j l NPE l Û l η x l x l η x G η x j l x x f η dx l ηdx...ngl 8 Fazendo uma manpulação algébrca da equação 8 obém-se a segune equação: NPE NGL l j M j l k Û j l Q j l k Û j l T k NGL j T j k 8 onde: M j l k x x j η l Cjηlη kdx δjδk x Q j l k T x x B η η dx j G η x j k j k l l η l k x η x T k x x fη dx k 4

52 negração é agora fea para os elemenos cenras da malha ou seja e... N- ou seja nas coordenadas x e a x e : x x e e NGL j U NGL U NGL NGL j j xe [ j B j C j U j ] ηdx [ Û j Û xe ] ηe fη x xe j 8 j j Subsundo o veor solução 78 na equação 8 obém-se a segune equação: x x e e NGL NGL NPE NPE Û NPE ηl jl [ jû jl B jηl C jηlû jl ] NPE j l j l x Ûlηη l e Û xe ηe l x x e e x fηdx l ηdx 83 Fazendo uma manpulação algébrca da equação 83 obém-se a segune equação: NPE NGL l j M j e l k Û e j l Q j e l k Û e j l T e k NGL j T j e k e... N 84 onde: M j e l k Q x e xe j e l k j xe xe ηl x Cjηl ηkdx B η η dx j l k T j e k Û x e η x k e T e k xe xe fη dx k generalzação para n-dmensonal é apresenada para domíno Ω IR n n3 e conorno Γ. O problema do ranspore convecvo é enão defndo como mosrado a segur: NGL j NGL U NGL j j U j Bj Cj U j j j x U x U em x Ω e 85 43

53 NGL j nu G x em Γ j j para...n Onde j j [ U j j j N l... l j N j U x ] l j s condções de conorno são defndas como mosrado a segur: Γ n Ω n Γ Fgura 3: Domíno e conorno aplcados ao problema n-dmensonal. n Γ Γ Γ NGL NGL NGL Γ x Γ; j j α... NGL IR j NGL onde α > e n é o veor unáro normal ao conorno Γ orenado sando de Ω. ssumndo que: NGL α j j... IR NGL NGL em-se a garana de coercvdade da formulação varaconal ou seja ela é posva defnda. 44

54 { Ne h Seja η Ω Ω... Ω } uma parção do domíno Ω em elemenos fnos sasfazendo Ω e Ωe ' se e e' ; U Ne e Ωe Γe Ω Γ ao conorno de Ω e. onde Γ e corresponde Para cada elemeno Ωe são defndos: NGL n α ; NGL NGL e x Γe ; j j... NGL IR j Γ Γ e Γ e Γ e NGL P Ω o conjuno dos polnômos de grau k nas coordenadas locas ou Seja e normas do elemeno padrão assocados a defndo como: P Ω. O polnômo P Ω NPe Ω : Ω IR η e e e l l l e é onde: NPe é o número de ponos nodas de Ω e ; l são as usuas funções forma nas coordenadas locas ; η é uma função de em IR Seja: H hk H hk { η L Ω ; ηe P Ωe } NGL { η η η... η ; η H hk } NGL formulação de Galerkn desconínuo consse em enconrar sasfazendo: h U H hk NGL 45