2 O Modelo Teórico O Modelo Básico

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1 O Modelo Teórco Nese capíulo serão apresenadas as dversas hpóeses e as abordagens eórcas a serem esudadas nese rabalho. Prmeramene, será apresenado o modelo básco, que supõe separabldade neremporal. m seguda, abandonarse-á esa hpóese, nclundo porano a exsênca de fenômenos como bens duráves e formação de hábo para que sejam analsados os efeos desa decsão sobre o formao da quação de uler. Por úlmo, serão apresenadas formaos dferenes das equações relevanes para o esudo da IS neremporal... O Modelo Básco A quação de uler para o consumo fo dervada e esmada pela prmera vez por ober. Hall para a economa nore-amercana. Nese rabalho, seu modelo supunha axas de juros reas conhecdas para odos os períodos, e sua esmação se resuma aos dados sobre consumo. O modelo básco refere-se ao problema de maxmzação neremporal de um agene que escolhe sua sequênca de consumo em cada período de modo a maxmzar sua uldade, e supõe que exse na economa um agene represenavo. se agene possu uma função de uldade côncava, crescene no consumo de cada período, com uldade margnal posva decrescene no consumo e produz um únco bem, apesar de consumr odos os bens produzdos na economa. se modelo usa uma função de uldade neremporalmene separável (hpóese fore que será suprmda poserormene, de modo a poder gerar o formao mas smples da quação de uler. Supõe-se que exsa na economa um avo B sem rsco que gere axa brua de reorno conhecda enre os períodos e, e que é a alernava dese agene ao consumo. A axa de nflação enre os períodos e,, não é conhecda em. A modelagem desa seção segue a Hall (

2 modelagem padrão presene na leraura. Desa manera, o problema do consumdor se orna: Max [ ( ( ] { } 0 U v Y T sujeo a: B Y B -, onde é a axa de descono neremporal do agene, Y represena a renda real provenene do rabalho dese agene, v ( Y a função de desuldade do rabalho. A resrção à qual esá sujeo o processo de decsão é a resrção orçamenára do agene, que deermna que o esoque do avo B em que ser gual ao esoque no período aneror somado a seu rendmeno real ( mas o monane da renda poupado pelo agene no período. Formando o Lagrangeano e omando as condções de prmera ordem do problema, obém-se: (: [ U ( ] λ 0 (B: λ λ 0 onde U ( represena a uldade margnal em relação ao consumo em. Uma ercera condção de prmera ordem, que envolve a escolha óma de Y, gerara a curva de ofera de rabalho do ndvíduo. nreano, como al curva esá dssocada da equação de uler e o formao da mesma não alera o problema da escolha neremporal de sua sequênca de consumo, a dervação da curva de ofera de rabalho será gnorada. Smplfcando as equações acma, chegamos enão na quação de uler: U '( U '( sa equação ndca a preferênca do consumdor pela suavzação de seu consumo. omo consderamos que o agene responsável pelo processo de maxmzação acma é uma agene represenavo de odos os consumdores na economa, a curva enconrada acma valerá para odos os consumdores ndvdualmene, e porano ao agregarmos o consumo de odos os agenes, e

3 supondo que há marke-clearng, ou seja, o consumo oal é gual ao produo exsene na economa a cada período, podemos subsur o consumo no período pela Demanda Agregada Y no mesmo período, de manera que passamos a er uma quação de uler Agregada. O próxmo passo do modelo básco será log-lnearzar a equação, supondo que as varáves esão próxmas de seus ponos de equlíbro. No pono em que Y Y n para odo n, ou seja, o nível de produo é consane no produo poencal, e onde a nflação de equlíbro é zero, ou seja, (e porano odos os preços relavos esão alnhados obém-se: Se Y for defndo como o produo poencal e se for fea a expansão de Talor de prmera ordem, obemos a segune expressão: Y Y Y ε ε Y Y Y O ermo ε represena a elascdade de U (Y em relação a Y. Smplfcando: ε ε r As varáves com ^ represenam a dferença enre os logs de cada varável e seu valor no equlíbro, de manera que as varáves ŷ, r e correspondem respecvamene a: lny lny, ln ln lny e lny e porano os ermos da equação lnearzada serão aproxmados por dferenças logarímcas. No caso das expecavas de nflação, so não será necessáro porque em o que aparece ao fnal é a própra axa de nflação, de manera que é desnecessáro fazer a ransformação para esa varável, já que é mas fácl usarmos dreamene o valor líqudo das expecavas. É basane comum se usar a hpóese adconal de que, de modo que ln 0. sa hpóese será ulzada nas dervações a serem feas na próxma seção.

4 .. Formação de Hábo versus Bens Duráves Nesa seção serão modelados dos fenômenos observados na realdade e que êm efeos sobre a decsão de consumo dos agenes e, porano sobre a Demanda Agregada, podendo, por consegune, alerar os resulados de qualquer políca moneára. Os fenômenos em quesão são a formação de hábo no consumo por pare dos agenes e o consumo de bens duráves. Ambos os conceos advêm da supressão da hpóese de separabldade neremporal da função de uldade, e defnem-se por preferêncas do consumdor que dependem não somene do consumo em cada período como ambém desa varável em períodos anerores. Desa manera, a sequênca de consumo dervada da maxmzação neremporal do consumdor deverá levar em cona o efeo que o consumo em cada período erá não só na uldade margnal do período segune (modelo básco como na uldade margnal em ouros períodos subseqüenes. A formação de hábo pode ser descra como a formação, ao longo do empo, de preferênca por pare do agene represenavo por um deermnado nível de consumo. Depreende-se, porano, que as cesas de consumo de períodos anerores devem aumenar a uldade margnal do consumo conemporâneo, à medda que esas cesas aumenam. Possíves modelagens para ese fenômeno são as fornecdas por Aanaso e Amao e Laubach (00. A modelagem de formação de hábo adoada por Amao e Laubach (00 dz respeo a uma função de uldade com dependênca na cesa de consumo do período aneror: U 0 h, (,, ξ exp( a' ξ h, com onde > 0 é o nverso da elascdade neremporal de subsução e ξ é um choque de preferêncas. Observe que a uldade margnal de é dada pela equação:

5 U (, ξ, ' U h( (,, ξ exp( a' ξ e porano quano maor -, maor é a uldade margnal, defnndo o caso de formação de hábo (desde que >. Dese modo, o problema de maxmzação do consumdor é: Sujeo a: T j Max [ U (, ξ ] j o j, j j B j Y j j j j B j Das condções de prmera ordem, obém-se a segune equação: h( ( h( exp( a' ξ h [ exp( a' ξ ] h( ( h( [ exp( a' ξ h exp( a' ξ ] Vale noar que no caso lme em que h0 no modelo acma, vola-se a er separabldade neremporal da função de uldade. Para o caso de bens duráves, ou o caso em que h < 0, a defnção é basane óbva: a compra de bens que duram por mas de um período e porano são demandados em períodos espaçados. Desa manera, a compra de um durável no período rá afear posvamene a uldade do consumdor nos períodos subseqüenes, enquano ese bem esver gerando servços para o agene. Porano, espera-se que quano maor for o consumo no período aneror, menor será a uldade margnal do consumo conemporâneo, pos além da uldade gerada pela cesa de consumo, o agene obém a uldade gerada pelos servços do bem durável. Para os fns a que ese rabalho se propõe, a esmação de uma IS neremporal que consga expressar sasfaoramene a dnâmca da Demanda Agregada no Brasl, é necessáro enconrar uma modelagem que nclua os fenômenos de formação de hábo e bens duráves (pos parece basane claro que eses fenômenos aconecem concomanemene na economa, e não são evenos excludenes. Iso poso, neressa buscar um formao eórco que nclua ao mesmo

6 empo ambos os fenômenos, e dexar que os dados escolham qual é o modelo mas adequado. A modelagem proposa por Amao e Laubach (00 parece preencher ese requso, ao propor um modelo que perme ano o aconecmeno de formação de hábo quano o de bens duráves, ransformando a dsnção enre um caso e ouro de uma dsnção de modelagem para uma dferença enre valores de um únco parâmero. Observe que nos casos lmes do modelo êm-se: h 0 Separabldade neremporal; vola-se ao modelo básco h Formação de hábo; Uldade depende nversamene de - h - Bens Duráves; Uldade depende dreamene de - aso a formação de hábo domne a exsênca de bens duráves, observaríamos um h posvo, enquano que o conráro ocorre se o efeo dos bens duráves domna a formação de hábo. Desa manera, adoar-se-á nese rabalho a abordagem descra acma para a modelagem das preferêncas do agene represenavo, abandonando, enreano, o formao específco dado por Amao e Laubach (00, no caso uma função A, por uma função genérca qualquer, que sasfaça os requsos de concavdade e dferencabldade proposos para o modelo básco. Iso será feo pos, como cada uma das equação de uler que serão dervadas nos problemas de maxmzação abaxo serão lnearzadas, as dferenças exsenes enre os varados pos de funções de uldade (lneardade, coefcene de aversão ao rsco e ec. desaparece à medda que al procedmeno é adoado. Também será abandonado o choque às preferêncas do modelo orgnal. Desa manera, os modelos a serem ulzados doravane, envolvem o segune problema de maxmzação: T Max [ U (, ] o Sujeo à:, B j Y j j j j B j

7 onde ( U represena uma função de uldade geral, conínua,,, que sasfaz os axomas de Von Neumann - Morgensern. Será esada se a melhor formulação envolve a dependênca do consumo de ou períodos... As quações elevanes Nesa seção serão dervadas e apresenadas as prncpas equações a serem esudadas e esmadas no rabalho, e que vão servr de base para as exensões da seção..... quações com dependênca neremporal Nesa seção serão dervadas as condções de prmera ordem e as respecvas curvas de uler log-lnearzadas referenes ao problema apresenado na seção aneror. m um prmero nsane, será dervado o modelo sob a hpóese de que a uldade depende do consumo conemporâneo e do consumo do período aneror, ou seja: T Max [ U (, ] o Sujeo à:, 0 B j Y j c j j j B j Das condções de prmera ordem e após log-lnearzação (ver Apêndce, chega-se à segune equação: [ ] [ ] [ ] (I Uma análse a respeo dos snas esperados dos coefcenes é apresenada em dealhe no Apêndce. Supondo que a dependênca neremporal é de dos períodos, reorna-se ao modelo mas geral apresenado anerormene:

8 Max ( [ ] T o U,, Sujeo à: B j Y j c j j j B j Segundo os mesmos passos ulzados para o modelo aneror (ver Apêndce, enconra-se a segune equação: (II [ ] [ ] [ ] [ ] A prncpal mporânca da remoção da hpóese de separabldade neremporal e a modelagem de formação de hábo/ bens duráves é o aparecmeno das defasagens do hao nas equações. Uma ndcação de qual é o efeo domnane (formação de hábo ou bens duráves só é possível quando a uldade depende somene do consumo do período aneror e do conemporâneo; se esa hpóese é abandonada, afrmações a respeo de qual é o fenômeno se ornam dfíces devdo à complexa composção dos coefcenes a serem esmados (ver Apêndce.... quações orrespondenes As equações I e II represenam as equações neressanes de serem esmadas e esudadas. nreano, as mesmas podem ser expanddas, aravés de erações para frene, de manera a nclur em seu formao expecavas de axas de juros, nflação e produo mas dsanes no fuuro do que as presenes no formao orgnal. Se erarmos a equação II para frene, subsundo as expecavas de hao fuuros, obém-se a equação (II : (II [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ξ 0 Onde: [ ] ( χ ψ

9 0 ( χ [ χ χ [ ] ψ ψχ ( ψ ( [ ( ( ] [ ( ] ψ ψ ψ ( ψ ψ ( ψ 0 ψ ( ψ Sendo que,,,, e são como os defndos para a equação (II. Da mesma manera, pode-se ulzar al procedmeno para o caso parcular em que só há dependênca emporal de um período (equação I, onde porano a equação I será a equação II descra acma exceo pelo fao de que: χ ψ ( [ ] ψ 0 ( ψ ψ ψ ( [ ( ( ] [ ( ] ψ 0 ψ ( ψ Subsuu-se prmeramene [ ] e depos de rearrumar os ermos subsuu-se [ ].

10 0 ψ ( ψ nreano, observe que as expecavas de hao mas próxmas do presene podem ser subsuídas por erações de manera que desaparecem: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ξ 0 Novamene percebe-se que mas erações na equação (II vão nserr na equação esperanças cada vez mas dsanes no fuuro ano das axas de juros reas quano do produo. A sére de axas de juros reas permanece complea na equação, enquano que as expecavas do hao fuuro de períodos mas próxmos de vão desaparecendo. Dese modo, a curva de juros aparece na equação à medda que as esperanças sobre produos fuuros esarão assocadas a períodos cada vez mas longe do nsane aual. Vão ser esmadas, no capíulo, ano a equação que nclu as expecavas de hao próxmos quano a equação que as exclu. Dado que as equações (I e (II são somene desdobramenos das equações (I e (II respecvamene, elas deveram ser equvalenes enre s. É neressane verfcar se ese fao eórco se verfca emprcamene, pos caso as equações (I e (I ou (II e (II não possuam resulados smlares, pode-se argumenar que os agenes, de alguma manera, ou são cegos em relação a ese fao e porano possuem alguma mopa na observação ou da curva de juros ou nas expecavas fuuras de produo ou enão conseguem ober mas nformação a respeo do fuuro aravés da observação da curva de juros do que aravés das ouras varáves presenes nas equações (I e (II. Observa-se que, erando as equações I e II, obém-se respecvamene as segunes equações: [ ] [ ] T T 0 φ [ ] [ ] T T 0 φ

11 sas equações são as equações I e II eradas aé o nsane T, que esá basane dsane no empo. Observe que os φ, ou seja, os coefcenes das expecavas de haos fuuros, ncas serão guas a zero. Uma manera alernava de esmar as equações I e II sera porano deermnar que T, e porano usar como prox para o ermo [ ] uma expecava da axa de juros de um ano menos a expecava de nflação para os próxmos doze meses acumulada. sa hpóese será esada, juno com as demas equações, no capíulo... O Problema das xpecavas Denro do arcabouço de expecavas raconas, a quação de uler depende, denre ouras varáves, das expecavas de nflação e produo fuuro, como fo demonsrado nas seções anerores. nreano, enquano a ncereza a respeo do produo fuuro não apresena efeos claros sobre a economa e seus efeos serão consderados (por hpóese pequenos em relação aos da ncereza nflaconára, espera-se um ouro resulado a parr do fao de ldarmos com a expecava da nflação: a ncereza em relação à nflação pode er efeos sobre as decsões de consumo dos agenes e conseqüenemene sobre o produo fuuro. A hpóese de que a varabldade da axa de nflação afea o produo é jusfcada aravés do efeo desa varabldade sobre a axa de juros real, que se orna mas ncera à medda que aumena a varabldade da nflação. sa ncereza acaba mnando os ncenvos ano dos consumdores quano dos produores de adar seus planos de consumo e nvesmeno, que é o prncpal efeo sobre o qual a políca moneára de basea. Os planos de consumo e nvesmeno para o fuuro passam a er um reorno real mas ncero, e porano há uma endênca de subsução deses bens pelos planos de consumo mas seguros do presene, crando uma expansão na Demanda Agregada correne. se efeo subsução da ncereza pode ou não ser elmnado pelo efeo renda que esa mesma ncereza gera: uma vez que os bens e planos de nvesmeno passam a ser mas arrscados, o reorno fuuro dos avos na economa passa ambém a ser mas varável, e como os agenes buscam suavzar

12 seu consumo ao longo do empo, endem a dmnur seu consumo e gasos correnes de manera a garanr seu poder de compra fuuro em caso de uma queda abrupa, e nese caso gera-se uma queda na Demanda Agregada correne, em benefíco da Demanda Agregada fuura. om as efeos em andameno a parr de um aumeno na ncereza da nflação, mesmo com a manuenção de sua esmava ponual, a políca moneára em de ser cada vez mas aperada para gerar o efeo desejado sobre a Demanda Agregada se o efeo subsução é fore: as axas nomnas de juros êm que ser mas alas, para o mesmo nível de demanda objevado, quano maor for a varabldade das expecavas da nflação fuura. Desa manera, as axas de juros reas se ornam mas alas à medda que se ornam mas arrscadas. Para represenar a ncereza das expecavas em relação à axa de nflação fuura, vamos consderar, na lnearzação da quação de uler, uma aproxmação à varânca da expecava da axa de nflação. sa nova varável, que não é comumene levada em consderação na leraura do ema (por ser uma leraura majoraramene provenene de países de axas de nflação muo baxas e esáves, comparavamene ao hsórco braslero, esará presene de modo a possblar a nvesgação de sua mporânca na dnâmca da Demanda Agregada braslera, hpóese relevane pelos movos apresenados acma. Podemos observar a parr da fgura abaxo que, apesar da axa de juros Selc apresenar uma grande varânca ao longo do empo devdo à amosra escolhda para ese rabalho (por movos a serem explcados à frene, em que se verfcou aumenos perssenes da mesma por pare do Banco enral na enava de esablzar a economa dane de choques exógenos, esa varável apresena ala perssênca na sére, não sendo porano uma fone de ncereza ão grande para os agenes da economa. A sére de produo ndusral ambém apresena grande perssênca, e sazonaldades fores. nreano a sére de IPA em um comporameno dsno das ouras varáves: além de er grandes pcos, parece ser mas volál que as ouras. Loo (00

13 , 0 0, 0 00 Taxa (%, 0 Índce 0 0, , jan/00 mar/00 ma/00 jul/00 se/00 nov/00 jan/0 mar/0 ma/0 jul/0 se/0 nov/0 jan/0 mar/0 ma/0 jul/0 se/0 nov/0 jan/0 mar/0 ma/0 jul/0 0 IPA Selc - Mea (mensal Prod.Ind. Fgura IPA, Taxa Selc e Índce de Produção Indusral.. xensões Nesa seção serão apresenadas as prncpas exensões a serem feas às equações relevanes da seção.. Prmeramene, será mosrada uma manera de se nserr nas curvas a varânca das expecavas de nflação, segundo o problema descro na seção.. m seguda, serão jusfcadas exensões que surgem no modelo de manera ad hoc, como as defasagens das axas de juros, ou que podem ser modeladas de manera alernava, como a nserção de uma axa de juros naural que vara no empo. Volando ao modelo básco, após a obenção da quação de uler, a mesma é lnearzada em orno de um pono de equlíbro. No caso da seção., a fo fea uma lnearzação de prmera ordem. nreano, se for fea uma expansão de Talor de segunda ordem, obém-se a segune expressão: Ver udebusch (00, Woodford e oemberg (, Fuhrer & udebusch (00

14 [ ] Y Y Y Y Y Y ν ε ε ( O ermo ε represena a elascdade de U (Y em relação a Y. Apesar de er sdo fea uma expansão de Talor de segunda ordem, o únco ermo de segunda ordem que aparecerá na versão fnal da quação de uler nese rabalho será o da nflação. Iso porque os efeos presumdos dos ermos de segunda ordem do hao sobre a economa serão omados como desprezíves, enquano que será nvesgada a hpóese de a ncereza nflaconára gerar as dsorções apresenadas na seção aneror. Desa manera pode-se descarar os ermos de segunda ordem em Y e, assm como seus ermos cruzados, sobrando somene o ermo que apresena alguma varabldade relevane. Defnndo ] [(, ou seja, omando o ermo como uma prox da varânca da nflação em cada período, obemos: r ν ε ε Desa manera, pode-se nclur no formao de odas as curvas dervadas anerormene, a varânca das expecavas de nflação, que aparece como consequênca da lnearzação de segunda ordem. A segunda exensão que deve ser esada é a da mporânca de defasagens da axa de juros na deermnação do hao do produo. sa hpóese fo esada por Fuhrer e udebusch (00 para a economa amercana e sua nserção na equação é baseada na suposção de que a políca moneára precsa de város períodos para surr seu efeo oal. Desa manera, a decsão de políca moneára no passado recene anda erá algum efeo sobre a deermnação do hao conemporâneo. No capíulo, será arbuída à políca moneára efeos de aé rês meses, de manera que as equações I e II enham os segunes formaos: quação I: [ ] [ ] [ ] [ ] quação II:

15 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 Uma ercera hpóese a ser esada é a da necessdade de se nclur uma medda de rsco-país às equações, que podera jusfcar a rajeóra ascendene da axa de juros no período. Para al procedmeno será nserdo nas equações, ambém de manera ad hoc, o MBI (mergng Markes Bond Index Plus Brasl, calculado pelo Banco J.P. Morgan. se índce apona o prêmo pago pela dívda exerna de países emergenes, como o Brasl. O que se buscará verfcar é se a nrodução desa sére de rsco se conegra com a sére da axa de juros de manera que o coefcene da úlma se orne sgnfcane. A quara exensão a ser fea ao modelo surge da observação de que a sére de axa de juros nomnas em ndícos de não esaconaredade, que desaparecem sob a rerada de uma endênca lnear, como será mosrado na seção.. Tal hpóese podera ser jusfcada eorcamene aravés da modfcação da axa de descono neremporal de descono de uma consane para uma axa dferene a cada período: Max ( T o U,, Sujeo à: B j Y j c j j j B j Das condções de prmera ordem e poseror lnearzação da equação de uler resulane das mesmas, chega-se a: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 As varáves que aparecem com ^ são, como em odas as equações anerores, a dferença enre os valores da varável e seu valor no equlíbro. As varáves de juros, nflação e axa de descono neremporal são apresenadas somene com os valores do log da varável pos o fo anulado (ver Apêndce, seção.. Observe que:

16 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 porano, no equlíbro em que o hao é zero para odos os períodos: [ ] [ ] 0 Ou seja, mesmo quando o hao do produo é zero, exse uma dferença enre a axa de juros e a nflação devdo à soma das axas de descono neremporas. Ao se supor que as axas de descono neremporas esão aumenando de manera lnear com o empo, ou seja, que esá dmnundo, observa-se enão uma endênca lnear na dferença enre a axa de juros e a nflação. Assm, a varável que surge da subração desa endênca da axa selc deve ser esada como varável de juros, pos com esa medda não só se elmna a não esaconaredade da sére Selc, como se usa um modelo mas flexível que o aneror. Além dsso, como se verá no capulo, a sére de hao será esaconára, e porano a não esaconaredade da sére da axa Selc, que possu uma endênca lnear, dfcula a esmação de correlação enre esas varáves.

17 Quadro Formaos das equações quação I: [ ] [ ] [ ] quação II: [ ] [ ] [ ] [ ] quação I : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 quação II : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 quação I com defasagens da axa de juros: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] quação II com defasagens da axa de juros: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 quação I com MBI Brasl: [ ] [ ] [ ] MBI quação II com MBI Brasl: [ ] [ ] [ ] [ ] MBI quação I com Selc sem endênca lnear: [ ] [ ] [ ] end quação II com Selc sem endênca lnear: [ ] [ ] [ ] [ ] end λ