Notas de Economia do Setor Público Aula 6: Tributação Ótima I. Carlos Eugênio da Costa Fundação Getulio Vargas - EPGE/FGV

Transcrição

1 Noas de Economa do Seor Públco Aula 6: Trbuação Óma I Carlos Eugêno da Cosa Fundação Geulo Vargas - EPGE/FGV Ro de Janero, Agoso-Dezembro de 2010

2 Coneúdo 1 A Abordagem de Ramsey Abordagens Prmal e Dual O Probelma de? Normalzações e Bens Não-rbuáves Trbuação somene de Transações A Regra do Inverso da Elascdade A regra de? Corle-Hague e Regressvdade Preços ao Produor Varáves Efcênca Produva Trbuação de Bens Inermedáros A abordagem prmal

3 Capíulo 1 A Abordagem de Ramsey O que orna o esudo do problema de rbuação óma ão neressane e, ao mesmo empo, complexo é o fao de que se raa modelo de prncpal e agene. O governo (o prncpal) quer escolher uma alocação óma para maxmzar o bem-esar socal. No enano, na busca de seus objevos esá sujeo não somene a uma resrção de recursos mas ambém esá lmado pelas ações do conrbune (o agene), que em lberdade para escolher aqulo que achar melhor para s. Essa suação fo reconhecda por?, que a ncorporou dreamene no problema de maxmzação do governo ao abordar a rbuação óma dos bens Abordagens Prmal e Dual. Em seu argo semnal,? resolveu o problema de rbuação óma usando uma abordagem prmal. Nela, os objeos de escolha são as quandades dos bens, ou seja, o governo escolhe dreamene x. A resrção relevane, necessára à mplemenação do problema e, por sso, chamada de resrção de mplemenação (1.1), é defnda pelas condções de prmera ordem do problema do consumdor. Em ouras palavras, como se sabe que o consumdor agrá de forma óma, o governo deverá levar sso em consderação no momeno de omar suas decsões. Lembrando que Ramsey rabalhou com um modelo de agene represenavo e resrngu o conjuno onde esão defndos os rbuos, T, a ser o conjuno dos rbuos lneares sobre o consumo, enão é fácl ver que o problema do governo passa a max x;g; U (x; g) s.a. F (x; g) 0; arg max e x 2 ~x U (~x; g) s.a. (@ x F (x; g) + ) ~x = 0 : (1.1) 2

4 CAPÍTULO 1. A ABORDAGEM DE RAMSEY 3 ou, usando as condções de prmera ordem do problema, max x;g U (x; g) s.a. F (x; g) 0; x U (x; g) x = 0: (1.2) A subsução da resrção (1.1) pelas condções de prmera ordem do problema do consumdor na resrção de recursos da economa, conforme (1.2), permem a oal elmnação dos preços no problema de maxmzação do governo. Os rbuos são defndos mplcamene pela comparação das axas margnas de subsução e das relações de preços ao produor. Uma mporane conrbução dos argos de? e? fo a adoção de uma abordagem dual para o problema de? 1. Em vez de elmnar os preços e rabalhar com as quandades, eles oparam por rabalhar dreamene com preços fazendo fore uso dos prncípos de dualdade. Noando que a solução do problema do consumdor esá represenada pela demanda marshallana e pela função uldade ndrea eles reescreveram o problema do governo como max v (p + ;y) s.a. x (p + ; y) pg: Essa abordagem smplfcou de al manera o problema de Ramsey que permu esendê-lo para múlplos agenes e ecnologas mas geras do que a econoga lnear que consderamos aé agora. Enreano, sso não sgnfca que a abordagem prmal fo abandonada.? reablaram essa abordagem ao ulzá-la na dscussão do problema de rbuação neremporal óma e rbuação ndrea óma. 1.1 O Probelma de? A prmera vez que o problema de rbuação óma fo proposo e formalmene resolvdo fo em 1927 em um rabalho vsonáro de Frank Ramsey. A versão que apresenaremos aqu segue a abordagem dual, que se deve prncpalmene às conrbuções de? e?, quase meo século depos da conrbução orgnal de Ramsey. Em seu rabalho orgnal, Ramsey usou uma abordagem prmal, que orna o problema bem menos raável, anda que se enha provado basane úl na dscussão da rbuação neremporal (ver?). O problema de Ramsey de acordo com a abordagem dual de Damond e Mrrlees é max q v (q; y) s.a. (q p) x (q; y) R ; 1 Esse aspeco da conrbução é normalmene neglgencado, já que duas ouras conrbuções semnas foram dervadas neles: a regra de Ramsey para agenes heerogêneos, e o eorema de efcênca produva.

5 CAPÍTULO 1. A ABORDAGEM DE RAMSEY 4 em que q é o veor de preços ao consumdor; p é o veor de preços ao produor; R é a necessdade de fnancameno do governo, e v (q; y) é a função uldade ndrea do agene represenavo. Para enconrarmos os rbuos ómos, escrevamos o lagrangnano assocado ao problema de Ramsey da segune forma: 2 3 L v (q; y) + 4 x (q; y) (q p ) {z } A condção de prmera ordem relava ao preço q j é j L j v (q; y) + = 0: Usando a dendade de Roy, e a equação de Slusky, x j (q; y) j v (q; y) y v (q; y) xj (q; y) ; j x (q; y) j x y xxj; para escrever o problema y v xj + xj + (@ y xxj) = 0; em ommos os argumenos das funções por brevdade. Isolando os ermos mulplcados por y v + y x! xj j : A expressão enre parêneses não depende de j; logo é consane aravés dos bens, de forma que podemos yv + y x: Temos, enão: xj j : Fnalmene, pela smera da marz de j j ;

6 CAPÍTULO 1. A ABORDAGEM DE RAMSEY 5 chegamos a uma expressão válda para qualquer x j : j : (1.3) xj O lado dreo da equação é o chamado índce de desencorajameno do consumo do bem j:no ómo ele deve ser consane para os bens. 2 Anda que 0 não seja dênco a, a prescrção de desencorajameno proporconal é exaamene aquela enconrada no problema de Ramsey Normalzações e Bens Não-rbuáves A prmera consderação mporane a fazer é que o problema é rval no caso em que odos os bens podem ser rbuados. De fao, a rbuação unforme, =q = produz, nesa crcunsânca j q qxj = x j q = 0; pela homogenedade de grau zero da demanda hcksana. Lembrando que P n =1 q x (q; y) = y, o que mplca em n q x = 1; y v + y xq = 1 yv yv + 1 =) Para enendermos o resulado, mulplquemos a resrção orçamenára do agene por : qx = y ) x = y: A expressão mosra que rbuar odos os bens à mesma proporção é equvalene à rbuação lump-sum. De fao, ao resolver o problema pela prmera vez, Ramsey supôs que pelo menos um dos bens não era rbuado, o que ornou o problema novamene nressane e permu a dervação de muos resulados hoje amplamene conhecdos. 2 Mas P adane defnremos o índce de desencorajameno de forma lgeramene dferene como hj: Nese caso, a regra de Ramsey recomenda desencorajameno proporconal.

7 CAPÍTULO 1. A ABORDAGEM DE RAMSEY Trbuação somene de Transações Uma manera elegane de ornar o problema de rbuação não rval é supor que o governo não em como axar as doações (ou os consumos), mas somene as ransações enre agenes. Na práca, sso corresponde a uma resrção dos bens rbuados, o que vmos ser necessáro para ornar o problema de Ramsey neressane. Iso ocorre porque as ransações líqudas somam 0 3. Para enendermos esse pono, suponha que o agene possu uma doação ncal de empo, L, que pode vender às frmas em roca de um saláro. Sua resrção orçamenára é x p (1 + ) (L l) w (1 ) ; em que é a alíquoa de mposo de renda; a alíquoa de mposo ad valorem sobre o bem. É fácl ver que o ssema de mposos assm defndo é equvalene a um ssema em que a renda não é rbuada, e a nova alíquoa de mposo ad valorem sobre o bem ; ^, é al que 1 + ^ = (1 + ) (1 ) : Basa noar que a nova resrção orçamenára é x p 1 + b (L l) w () (1 + ) x p (L l) w () 1 x p (1 + ) (L l) w (1 ) : Ou seja, é sempre possível normalzar um dos mposos para 0: A Regra do Inverso da Elascdade Supondo que pelo menos um dos bens não seja passível de ser rbuado, podemos reescrever (1.3) como j q x j q = j = x j q {z } {z} ^" j ^" j. 3 O argumeno orgnal é devdo a Sandmo (1974).

8 CAPÍTULO 1. A ABORDAGEM DE RAMSEY 7 Suponhamos, enão que ^" j = 0 sempre que 6= j (e.g., uldade separável e quase-lnear). Ou seja, as dervadas cruzadas são sempre guas a 0 4. Enão, = ^" : Essa regra prescreve que o governo deve mnmzar dsorções axando mas foremene os bens mas neláscos. Tal aude mplca regressvdade de axação A regra de? Um ouro resulado mporane, dervado pela prmera vez por?, ocorre quando há somene rês bens. O prmero, que não pode ser axado (para ornar o problema neressane) é lazer. Temos, enão, para os dos bens sujeos à rbuação, = x = x 2 : Mulplcando a prmera equação 1 2 =@ 1 1 e subrando da segunda equação e rearranjando, obemos: 2 (@ ) = (x 1 1 x 1 2 ) : Isso resula na axa: Sabemos que 2 = x 2@ 1 1 x : > 0; já que é o deermnane de uma marz de uma função côncava. Procedmeno análogo para 1 nos dá 1 = (x 1@ 2 2 x 2 1 ) : (1.5) Pela homogenedade da demanda 2 1 q q 0 1 q 0 ; (1.6) 1 2 q q 0 2 q 0 : (1.7) 4 Noe que sso só é possível para um subconjuno dos bens. Você sabe por quê?

9 CAPÍTULO 1. A ABORDAGEM DE RAMSEY 8 Subsundo (1.7) em 2 = [x 2@ 1 1 q 1 + x 1 (@ 2 2 q q 0 )] q 1 h q x 2 x x 1 + (@ 2 2 q 2 +@ 0 2 q 0 ) x 2 = emos; q 1 = x 2x 1 q (@ 2 2 q q 0 ) q 1 x 1 x 2 = x 2x 1 q 1 ("c 11 + " c 22 + " c 20) : Subsundo agora (1.6) em (1.5) emos, por procedmeno análogo, enconramos: 1 = x 2x 1 q 2 ("c 11 + " c 22 + " c 10) : Subrando uma da oura: 2 1 q 1 q 2 q 2 q 1 = x 2x 1 ("c 20 " c 10) : (1.8) A nerpreação da expressão é a segune: se os bens 1 e 2 são gualmene complemenares ao ercero bem, enão ambos devem ser axados gualmene. Se os bem são complemenares, porém dferenemene, devese axar mas aquele com menor complemenardade Corle-Hague e Regressvdade Não obsane a movação da seção 1.1.2, não há nada de especal no bem lazer que jusfque defnr uma regra em seus ermos. Uma melhor nerpreação para o resulado é a segune. Sabemos que o mposo lump-sum não causa dsorções. Se pudéssemos rbuar odos os bens, o ssema sera equvalene a um rbuo lump-sum, o que nos leva a crar a resrção de que um dos bens não seja passível de rbuação, para ornar o problema neressane. Nese caso, odo o objevo do ssema rbuáro é enar mar esse ssema. Assm, uma manera de rbuar ndreamene um bem é rbuar aqueles bens que lhe são complemenares e subsdar aqueles que lhe são subsuos. É essa a prescrção de Corle e Hague. O problema é que esse po de recomendação pode gerar prescrções de políca basane regressvas. Para ver esse úlmo pono, esudemos o caso de função uldade separável. Consdere, por exemplo, a segune uldade: U (x 0 ; x 1 ; x 2 ) u (x 0 ; (x 1 ; x 2 )) : O problema pode ser resolvdo em dos eságos. No prmero max x1 ;x 2 (x 1 ; x 2 ).q. q 1 x 1 + q 2 x 2 = y; (1.9)

10 CAPÍTULO 1. A ABORDAGEM DE RAMSEY 9 o que nos dá ^ (q 1 ; q 2 ; y) e ^x (q 1 ; q 2 ; y) ; = 1; 2: Já no segundo, mn y;x0 q 0 x 0 + y.q. u x 0 ; ^ (q 1 ; q 2 ; y) = u; (1.10) o que nos dá e (q 0 ; q 1 ; q 1 ; u) e (q 0 ; q 1 ; q 2 ; u), = 0; 1; 2: O mporane é noar que (q 0 ; q 1 ; q 2 ; u) = ^x (q 1 ; q 2 ; by (q 0 ; q 1 ; q 1 ; u)) = 1; 2: em que by (q 0 ; q 1 ; q 1 ; u) resolve (1.10). 0 y 0^y =) " c 0 = 0 ; sendo y ^x e 0 0^y. 5 Porano, a expressão (1.8) pode ser smplfcada para 2 1 _ 0 ( 1 2 ) : q 2 q 1 Para enendermos o resulado é basane noar que um aumeno do preço do bem 0 mplca que, condconal a manermos o agene em uma mesma curva de ndferença, o gaso no grupo (x 1 ; x 2 ) deve aumenar. A quesão é, enão, descobrr em qual bem se deve concenrar o aumeno do gaso? Obvamene naquele que ver uma maor elascdade renda da demanda. Ou seja, a elascdade cruzada compensada " c 0 é proporconal à elascdade renda da demanda. Com sso, a prescrção da regra passa a ser: rbuar o bem mas nferor. Ou seja, o rbuo é regressvo! É verdade que modelo de Ramsey não fo escro com o objevo de ldar com quesões dsrbuvas. Assm, no que se segue seremos explícos com relação às nossas preocupações com a eqüdade. Para ano, prmero consderaremos heerogenedade enre os ndvíduos e ulzaremos uma função que procure capar nosso senso de jusça socal. 5 Ao resolver é possível mosrar que max y;x0 u x 0; ^ (q 1; q 2; y) s.. p 0x 0 + y = I o que, fnalmene, perme-nos ver que x (p 0; p 1; p 2; I) = x (p 1; p 2; ~y (p 0; p 1; p 2; I = y :

11 CAPÍTULO 1. A ABORDAGEM DE RAMSEY Preços ao Produor Varáves Durane a maor pare desa dscussão esaremos manendo a hpóese de preços ao produor fxos. Mosraremos, a segur que essa resrção não é ão mporane quano pode parecer à prmera vsa. Generalzaremos agora a ecnologa de produção de forma que os preços ao produor não serão mas exógenos. Para ano, consderaremos um conjuno de possbldades de produção descro por meo de uma função de ransformação F (z) exbndo reornos consanes de escala. Ao conráro da hpóese de preços ao produor fxos, essa hpóese é mporane para que possamos desprezar os efeos dos preços ao produor sobre lucros, já que eses serão necessaramene guas a 0: Comecemos com o problema do agene que defne V (q; qx) max u (x) s.a. q (x x) 0 x Fnalmene, defnamos z (q) x (q; qx) x e V ~ (q) V (q; qx) Assm, consdere o problema de maxmzação do governo max q ~V (q).q. F (z (q) + g) 0: As condções de prmera ordem são j V z F (z (q) + j z (q) = 0: Pela dendade de Roy de novo h z j x F (x (q;y) + g) (@ j z j ) : y V (q; y) y ~x (q; y) : Pelas condções de prmera ordem da frma, e sob normalzação convenene 6, x F (x (q;y) + g) = p ; 8; enão emos z j Noando que j = j = h p (@ j z j ) = 0: j = 0 e (p q j = q = j ; 6 Com oura normalzação qualquer, a consane sera absorvda pelo mulplcador de Lagrange do problema de Ramsey.

12 CAPÍTULO 1. A ABORDAGEM DE RAMSEY 11 e p = (q p ) = 1 + Subsundo apropradamene, emos! + 1 z j = j ; que é a mesma fórmula de Ramsey Efcênca Produva O que queremos dzer com efcênca produva? A efcênca do equlíbro compevo pode ser decomposa em efcênca nas rocas, efcênca na escolha do que produzr e efcênca na escolha de como produzr. Reservamos o ermo efcênca produva para esa úlma. A quesão, é a segune. É possível aumenar a produção de algum bem sem reduzr a de ouro bem ou sem aumenar a quandade de nsumos? Se a resposa for sm, enão exse nefcênca produva. Noe que os rbuos geram sempre algum po de nefcênca. Por exemplo, ao dferencar preços ao produor de preços ao consumdor cra nefcênca na defnção de o que produzr. Iso porque a axa margnal de ransformação de um bem por ouro se orna dferene da axa margnal de subsução para os agenes. A nefcênca produva surge sempre que a axa margnal de subsução écnca enre dos nsumos quasquer na produção de duas frmas dsnas é dferene 7. Isso ocorre, por exemplo, quando nsumos são rbuados a axas dferenes em ndúsras dferenes (basa lembrar do rbuo K no problema de Harberger). Nese caso há uma ransferênca de nsumos enre as ndúsras capaz de elevar a produção em uma ndúsra sem reduzr a produção da oura. (Você consegue provar?) Para que possamos dscur se é ómo (ou não) a efcênca produva em um mundo em que ouras formas de nefcênca esão necessaramene presenes, é neressane ornar a dscussão um pouco mas absraa. A prmera cosa a fazer é supor que o governo só é capaz de rbuar as ransações enre os agenes e que oda a renda dos agenes é dada pela venda de pare de sua doação ncal. Ou seja, consderemos o caso em que as resrções orçamenáras dos agenes são dadas por qz h 0 onde z h x h x h é o veor de demandas líqudas do agene. Podemos, enão defnr seu problema de maxmzação como V h maxx U (q) h z h.q. qz h 0 7 Nauralmene a nefcênca nas rocas surge quando a axa margnal de subsução enre dos bens dfere para dos consumdores quasquer.

13 CAPÍTULO 1. A ABORDAGEM DE RAMSEY 12 Implíca na formulação do problema do consumdor esá a déa de que não há lucros a serem dsrbuídos 8. Iso pode ocorrer em função de a ecnologa exbr reornos consanes de escala, ou em função de o governo rbuar lucros a uma alíquoa de 100%. Há, anda, uma ercera manera de desprezar os efeos dos lucros: aquele pela qual o problema perme dos graus de lberdade quano à normalzação. Para enender sso basa ver que preços ao produor não enram na função demanda dos consumdores exceo por meo dos seus efeos nos lucros, e os preços ao consumdor não afeam as decsões de maxmzação de lucros, (p) max y2y py: Assm, se odos os preços forem passíves de rbuação, a dferença enre preços ao produor e ao consumdor pode ser fea ão grande quano se quera, o que, no lme, perme a rbuação em 100% dos lucros. Suporemos que o governo consuma um veor g 2 R n : Usando Y j para denoar o conjuno de possbldades de produção da frma j; o problema de maxmzação do governo será: 9 max W q.q. H V 1 (q) ; :::V H (q) h=1 zh (q) + g m j=1 yj em que y j 2 Y j ; 8j: O resulado de Damond-Mrrlees é apresenado a segur. Proposção 1 [?] Sendo o bem-esar socal crescene na uldade de odos os agenes (Pareano), se 1) para algum bem, x h 0 para odo h com xh < 0 para algum, ou; 2) para algum ndvíduo h com q h > 0 x h 0 para odo h com xh > 0 para algum ; enão, no ómo, a produção se dá na fronerda do conjuno de possbldades de produção. P Suponha que no ómo a produção seja nefcene. Ou seja, defnndo y = m j=1 yj e Y = P m j=1 Yj ; suponha que y 2 In (Y). Escolha um bem para o qual odos os consumdores possuam demanda líquda posva. Nese caso, sabemos que as uldades ndreas são decrescenes em q : Reduzndo o preço do bem, o governo pode aumenar o bem-esar dos agenes. Mas anda, sob algumas condções de regulardade, as demandas líqudas são conínuas em q : Como na suação ncal, esávamos no neror de Y, a reforma pode ser fea sem volação da resrção de recursos da economa. 8 Quando essas hpóeses são voladas, o eorema da efcênca produva dexa de valer, já que dsorções na produção podem ser usadas como forma de aproxmar a rbuação óma (ver Munk,1980). 9 Noe que esamos consderando a possbldade de heerogenedade enre os ndvíduos. Na próxma lção, dscuremos os argumenos que procuram jusfcar nosso procedmeno.

14 CAPÍTULO 1. A ABORDAGEM DE RAMSEY 13 Noe que esvemos supondo que o governo conrolava a produção para que procedesse a reforma proposa. Numa economa de mercado, esse não é, ceramene, o caso, porém, como no ómo y em que perencer à fronera de Y; e se p for um veor de preços (ao produor) normal à fronera, enão, para oda frma j, y j maxmza lucros aos preços p: INSERIR FIGURA Nada dssemos acerca da resrção orçamenára do governo. A razão para sso é que nada precsa ser do. De fao, consdere a resrção orçamenára do governo: pg = m j=1 j (p) + H h=1 zh (q) ; em que P m j=1 j (p) é o lucro oal das frmas rbuado pelo governo. Nesse caso pg= m = p j=1 pyj + (q p) H H j=1 yj h=1 zh (q) ; m o que é garando pela condção H h=1 zh (q) + g = m h=1 zh (q) j=1 yj : Quando a ecnologa exbe reornos decrescenes e nem odos os bens podem ser rbuados, a separação enre frmas e consumdores no problema do planejador dexa de ser válda. Iso porque o problema do consumdor passa a ser V h max x U h z h (q; ).q. qz h + P m j=1 h j j (p) 0; o que mplca que a demanda ndvdual dependa de ambos os veores de preços,.e., z h q; h (p). Munk (1978) e Munk (1980) são as prncpas referênca para ese caso. Munk mosra que, se odos os bens puderem ser rbuados, o governo pode, na práca, aumenar os preços ao consumdor nfnamene de forma a rbuar 100% dos lucros. Porém, se nem odos os bens puderem ser rbuados, essa esraéga já não é vável, e a rbuação de bens nermedáros (e a nefcênca produva) pode ser jusfcada. Além dsso, mesmo na ausênca de lucros, a ncapacdade do governo de rbuar alguns bens pode ornar óma a nefcênca produva. Há duas cosas neressanes a serem quesonadas quano à aplcabldade do eorema de efcênca produva. Em prmero lugar, será que a economa apresena lucro zero? Ora, sempre podemos redefnr os nsumos de forma a fazer com que os lucros sejam guas a zero. Nese caso, resa

15 ccarlos E da Cosa 14 pergunar se consegumos rbuar odos os nsumos defndos de forma a garanr que odos sejam rbuados. Caso conráro, o resulado ca novamene por erra. Em um rabalho recene, Renhorn (2005) mosra que o resulado de efcênca produva permanece váldo desde que a políca óma ncorpore a possbldade de jogar fora pare da produção ou dos nsumos (money burnng) Trbuação de Bens Inermedáros O Teorema de Damond-Mrrlees é muas vezes lembrado como a prescrção para a não rbuação de bens nermedáros. Mosraremos em seguda um exemplo basane smples para jusfcar a assocação. Exemplo 1 Consdere uma economa que produz dos bens fnas e Y: As ecnologas de produção são = f K ; L e Y = f Y Z; K Y ; onde Z é um bem nermedáro usado na produção de Y: A ecnologa para a produção de Z; que é basane smples é dada por Z = L Z : Suponha, enão, que o governo resolva rbuar o bem Z a uma axa z : Ora, sso é equvalene a rbuar o rabalho a axas dsnas nos dos seores. De fao, p z = w, o que mplca em que o problema de maxmzação da frma que produz Y seja, max Z;K p Y f Y (Z; K) q z Z rk: Em equlíbro Z f Y Z; K K f Y (Z; K Y ) = w (1 + z ) : r Noe porém, que se não houvesse a eapa nermedára predíamos defnr Y = ^f Y (L; K) = ^f Y (L; K) ; donde, na escolha óma da L ^f Y (L; K ^f Y (L; K) = w r Lf Y (L; K f Y (L; K) : ou L ^f Y (L; K ^f Y (L; K) Lf (L; K f (L; K) : O Teorema de efcênca produva de Damond e Mrrlees em sdo ulzado para jusfcar desde a adoção da regra de Fredman na condução da políca moneára (e.g.,?;?, e resenha por?) aé a não rbuação da renda do capal (Judd, 1985) e a declaração conjuna de mposo de renda por casas (Pggo e Whalley, 1996, Apps e Rees, 1997 e,1999) A abordagem prmal Vamos encerrar ese capíulo falando da abordagem prmal. Faremos sso esudando a dsrbução de rbuos ao longo do empo. Consdere uma economa doada de um agene represenavo que vve T períodos, em uldade medaa U(c; l) = u(c) + h(l), e preferêncas sobre sequênca de consumo e lazer represenáves por P [u(c ) + h(l )].

16 ccarlos E da Cosa 15 A ecnologa da economa é al que uma undade de rabalho é ransformada em uma undade de consumo ou de bem públcos na proporção de um para um. Não há ecnologa para ransferênca neremporal de recursos e ndvíduo em uma doação de uma undade de empo por período. Assm a resrção de recursos e ecnologa da economa são descros por 1 l + c + g 8: Além desse ndvíduo, um governo benevolene haba essa economa. O governo deve fnancar o fluxo de gasos exógenos g por meo de rbuação sobre a renda do rabalho. Sejam w o saláro do ndvíduo em e q o preço de recursos em : Dada a ecnologa, emos que w = (1 ); onde é o mposo de renda em. O problema do consumdor é porano, max [u(c ) + h(l )] q c q (1 l )(1 ): A resrção orçamenára do governo é p g [q p ] fc (1 l )(1 )g + p (1 l ); onde p é o preço dos recursos em anes dos mposos. Noe que a resrção acma pode ser reescra como p [g + c ] p (1 l )(1 ) + e, fnalmene, p [g + c + l 1] 0: p (1 l ); Ou seja, pela dendade de Walras, a sasfação das resrções de recurso e orçamenára do agene mplcam na sasfação da resrção orçamenára do governo. Para monar o problema de Ramsey dervamos as condções de prmera ordem do problema do consumdor. Elas são u 0 (c 0 ) = ; u 0 (c ) = q ; e h 0 (l ) = q (1 ): Podemos junar odas as condções de prmera ordem do problema do consumdor em uma únca equação, u 0 (c )c h 0 (l )(1 l );

17 ccarlos E da Cosa 16 em que subsumos cada uma das expessões de preços por axas margnas de subsução do agene. O Problema de Ramsey é, porano. max [u(c ) + h(l )] sujeo a e e 1 l + c + g u 0 (c )c As condções de prmera ordem são h 0 (l )(1 l ) u 0 (c ) + u 0 (c ) + u 00 (c )c = 8; h 0 (l ) + h 0 (l ) h 00 (l ) (1 l ) = 8: Mulplque o prmero ermo por c, o segundo por (1 l ) e some os dos [1 + ] u 0 (c )c h 0 (l )(1 l ) + u 00 (c )c 2 + h 00 (l )(1 l ) 2 = [c + l 1] Somando em, emos u 00 (c )c 2 + h 00 (l )(1 l ) 2 = g Donde, > 0: Reescrevamos, enão as condções de prmera ordem como e (1 + )u 0 (c ) = u 00 (c )c (1 + )h 0 (l ) = + h 00 (l ) (1 l ) Se dvdrmos () por () eremos Noe que h 0 (l ) u 0 (c ) = + h 00 (l ) (1 l ) u 00 (c )c < 1: h 0 (l ) u 0 (c ) = 1 : Ou seja, o mposo de renda em, ; é defndo pela expressão no lado dreo de (). Defna ^ = ; enão dos períodos as que ^ = ^ s serão as que o mesmo par consumo-lazer resolve () e (). Se para o mesmo g emos o mesmo ^ ; enão emos que períodos com o mesmo nível de choque nduzem a mesma rbuação.