Capítulo 1 Introdução

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1 Capíulo Inrodução No mercado braslero de prevdênca complemenar abera e de seguro, regulado e fscalzado pela Supernendênca de Seguros Prvados SUSEP, os planos de prevdênca e de seguro de vda que possuam a coberura de sobrevvênca (aposenadora necessam de préva aprovação para serem comercalzados. As seguradoras e endades aberas de prevdênca complemenar - EAPC devem fxar as ábuas bomércas e as axas de juros que serão ulzados em seus planos no momeno dessa aprovação. Porano, as ábuas bomércas são váldas da enrada do prmero consumdor do plano aé a more da úlma pessoa em recebmeno de renda, um longo nervalo de empo. Um dos maores problemas enfrenados por esas companhas é decdr que ábua bomérca de moraldade será ulzada na coberura de sobrevvênca de seus planos, pos esa deverá ser sempre usada para cálculos das conrbuções, nos planos de prevdênca, e dos prêmos, nos planos de seguro, bem como no cálculo dos valores das rendas e das provsões. Esse problema vem freqüenemene aumenando em função da endênca de redução da moraldade da população e da ulzação pelo mercado de ábuas de moraldade consruídas com experêncas de ouros países, em sua maora amercanas. A consução de provsões maemácas pelas companhas, que medem os compromssos fuuros desas, é realzada com base nos valores das anudades, como podemos verfcar no capíulo 6. Esas por sua vez são calculadas em função das probabldades de more consanes da ábua bomérca e da axa de juros fxadas no plano. Os valores das anudades, bem como das provsões maemácas, são nversamene proporconas à axa de juros e às probabldades de more. Assm, para evar a consução de provsões maemácas a menor que o necessáro e conseqüene nsolvênca da empresa, devdo à fala de conhecmeno sobre a moraldade da população exposa, os auáros das companhas esão dexando de lado a esaísca e a auára e se prevenndo de evenuas perdas com a fxação de axas de juros reduzdas, na sua maor pare gual a zero. Com sso, espera-se compensar fuuros prejuízos écncos pelo mau dmensonameno das ábuas bomércas de moraldade, ou seja, ulzação de probabldades de more superores à real moraldade da massa exposa na

2 coberura de sobrevvênca, com ganhos fnanceros decorrenes da garana de uma baxa axa de juros. Dessa forma, o mercado segurador esá se ornando cada da menos écnco. Para enar avalar a real moraldade do públco que compra planos de seguro e prevdênca no Brasl, a SUSEP, a parr de 998, vem solcando dados do mercado segurador e frmou um convêno com o Insuo Braslero de Geografa Esaísca IBGE para obenção de ábuas bomércas. A parr dos dados coleados, enre os anos de 998 e 200, remos ulzar a esaísca bayesana para obenção de ábuas bomércas de moraldade, para ambos os sexos, que reflam a real moraldade dos exposos ao rsco na coberura de sobrevvênca dos planos de seguro de vda e de prevdênca complemenar abera no Brasl. Para obenção das probabldades de mores consanes das ábuas de moraldade consruídas, será ulzado o processo de graduação bayesana, onde essas probabldades serão esmadas em função da dsrbução predva do número de mores, o qual é modelado como sendo Posson dsrbuído, consderando que odos os ndvíduos com a mesma dade morrem ndependenemene e com a mesma probabldade. A graduação é fundamenal para suavzar as axas bruas de moraldade, fazendo com que as probabldades de mores sejam crescenes em relação às dades. Vamos propor, nese rabalho, rês modelos paramércos e rês modelos não paramércos (em forma lvre de graduação bayesana. Com base nos modelos: paramérco e não paramérco que obenham, smulaneamene, melhor ajuse aos dados observados e melhor predção dos dados replcados, remos consrur as ábuas de moraldade por meo de modelos bayesanos esácos e dnâmcos. Após a comparação enre as ábuas de moraldade bayesanas consruídas, a mas adequada será confronada com conhecdas ábuas de moraldade, para verfcarmos se esas esão defasadas, ou seja, possuem probabldades de more superores à realdade da população em esudo. Demonsraremos, ambém, a mporânca da adequação da ábua bomérca de moraldade, ulzada na coberura de sobrevvênca, à realdade da massa exposa ao rsco para que a companha manenha-se solvene. Iso será feo pelo cálculo da provsão maemáca, comparando o méodo deermnísco, adoado pelo mercado 2

3 segurador, com o méodo bayesano proposo, onde ulzaremos conceos de análse de decsões: funções de perda e a classe de meddas de rsco denomnada valor em rsco (value a rsk - VaR. A mplemenação dos modelos bayesanos apresenados nese rabalho será realzada aravés de smulação esocásca va cadeas de Markov - MCMC, parcularmene o Amosrador de Gbbs, mplemenado aravés do pacoe compuaconal WnBUGS (versão.4, uma versão para wndows do pacoe BUGS (Bayesan nference Usng Gbbs Samplng. Esa ese é esruurada da segune forma: - no capíulo 2 é apresenada a análse dos dados ulzados; - no capíulo 3, apresenamos conceos de graduação de axas de moraldade e de graduação bayesana, bem como alguns conceos báscos de auára; - no capíulo 4 são descros ses modelos de graduação bayesana, sendo rês modelos não paramércos (em forma lvre e rês paramércos, e eses são comparados, após os eses de convergênca, para obenção de um modelo não paramérco e um paramérco de melhor ajuse; - no capíulo 5 são consruídas ábuas de moraldade bayesanas, para cada sexo, ulzando modelos esácos e dnâmcos endo como base os modelos de graduação bayesana mas adequados obdos no capíulo aneror. E, após a comparação enre os modelos proposos, a ábua de moraldade obda pelo melhor modelo é comparada com conhecdas ábuas de moraldade; - no capíulo 6 é demonsrada a mporânca da adequação de uma ábua bomérca à real moraldade da população exposa ao rsco para que a seguradora/eapc manenha-se solvene, aravés do cálculo da provsão maemáca, por meo de MCMC, fazendo uso dos conceos de funções de perda e valor em rsco (value a rsk - VaR; e - no capíulo 7, apresenamos algumas conclusões. 3

4 Capíulo 2 - Análse dos Dados Ese rabalho é realzado com os dados referenes aos segurados, parcpanes e asssdos dos planos de prevdênca complemenar abera e de seguro de vda ndvdual que possuam a coberura por sobrevvênca. Podemos defnr segurado como pessoa físca que conraa um plano de seguro, parcpane como pessoa físca que conraa um plano de prevdênca e asssdo como pessoa físca que eseja recebendo renda em um plano de seguro ou prevdênca, podendo ese er sdo, anes da concessão da renda, um segurado/parcpane ou benefcáro de algum segurado/parcpane. Os dados esudados foram coleados pela SUSEP de odas as empresas fscalzadas (seguradoras e endades aberas de prevdênca complemenar EAPC que operam em prevdênca complemenar abera e no ramo vda ndvdual. Como esamos somene consderando a coberura de sobrevvênca, levamos em cona apenas os dados de seguro referenes ao ramo de vda ndvdual, pos aé o úlmo ano analsado não hava plano de seguro de vda colevo com coberura de sobrevvênca, sendo ese comercalzado apenas com a cração do produo Vda Gerador de Benefícos Lvres - VGBL no ano Os dados referem-se aos anos de 998 a 200 e foram solcados aravés de regulação específca. A Crcular SUSEP n.º 63, de 9 de seembro de 998, requereu os dados de seguro de vda ndvdual e prevdênca complemenar abera dos anos de 998 e 999. Os dados do ano 2000, com a revogação daquela Crcular foram requsados por meo da Crcular SUSEP n.º 35, de 08 de agoso de Já os dados referenes ao ano de 200, foram requsados por força da Crcular SUSEP n.º 84, de 28 de março de Para cada ano foram solcados pelo órgão fscalzador quaro quadros específcos: - quadro : dados dos parcpanes ou segurados, ou seja, exposos ao rsco no ano de esudo. - quadro 2: dados dos parcpanes ou segurados que saíram dos planos e foram avsados à empresa no ano de esudo. - quadro 3: dados dos asssdos, ou seja, exposos ao rsco no ano de esudo. 4

5 - quadro 4: dados referenes aos asssdos que saíram dos planos e foram avsados à empresa no ano de esudo. O quadro enconra-se desagregado por: produo (vda ou prevdênca, coberura, daa de nascmeno, daa de ngresso no plano, sendo esa preenchda com se o segurado ou parcpane esver no plano desde o ano aneror e se o segurado ou parcpane esver no plano no fm do ano correne, e quandades de segurados/parcpanes por sexo. O quadro 2 enconra-se desagregado por: produo (vda ou prevdênca, coberura, daa de nascmeno, movo de saída, daa de ocorrênca do eveno gerador, daa do avso à empresa e quandades de segurados/parcpanes. O quadro 3 possu a mesma esruura do quadro, porém os produos são dvddos em renda de aposenadora, renda por nvaldez e renda por pensão. O quadro 4 dfere-se do quadro 2 somene no que dz respeo aos produos, que são classfcados da mesma manera do quadro 3. Como já menconado, nese rabalho serão esudadas as axas de moraldade relavas aos consumdores que possuam a coberura de sobrevvênca. Por sso, foram consderados, no quadro, os exposos ao rsco que possuíam essa coberura, no quadro 2, somene os que consavam a more como movo de saída do plano e que possuíam a coberura de sobrevvênca. Já no quadro 3, foram consderados os asssdos que esavam recebendo renda de aposenadora ou renda de pensão, dexando de lado os asssdos em gozo de renda por nvaldez, pos o rsco assumdo pela seguradora/eapc, nese caso, é a sobrevvênca do asssdo nváldo, sendo ese rsco não analsado nese rabalho. No quadro 4, foram consderados somene os asssdos que consavam como movo de saída a more e que esavam recebendo renda de aposenadora ou renda de pensão. Os dados dos anos analsados não esavam separados por pessoa físca, chaveados como por exemplo pelo CPF, e sm agrupados por quandades e sexo, essa solcação só fo adoada a parr de 200. Dessa forma, caso um consumdor possuísse mas de um plano, ese sera consderado mas de uma vez na base de dados, gerando mulplcdade de nformação, ano no número de exposos como no número de moros. 5

6 A parr do banco de dados orgnal, fornecdo pelo Cenro de Esaísca da SUSEP, os dados ulzados nesa ese (quandade cenral de exposos ao rsco e número de mores foram agrupados por ano de esudo, dade e sexo. 2. Deermnação da quandade cenral de exposos ao rsco Para deermnação da quandade cenral de exposos ao rsco de sobrevvênca em cada ano, dscrmnada por sexo, calculamos a méda de exposos enre o níco do ano e o fm do ano. Para oalzação da quandade cenral de exposos ao rsco por dade e sexo em cada ano somamos os exposos segurados/parcpanes e os exposos asssdos, como podemos verfcar na Tabelas 2.. Tabela 2.: Toalzação da quandade cenral de exposos ao rsco nos anos de 998 a 200, consderando o número de exposos no níco do ano e no fm do ano, para segurados/parcpanes e asssdos. níco do ano homens fm do ano quandade cenral de exposos níco do ano mulheres fm do ano quandade cenral de exposos ano de 998 segurados/parcpanes asssdos oal ano de 999 segurados/parcpanes asssdos oal ano de 2000 segurados/parcpanes asssdos oal ano de 200 segurados/parcpanes asssdos oal Com a análse da Tabela 2., podemos noar que a população em esudo do sexo femnno represena por vola de 50% da população do sexo masculno. Verfcamos, 6

7 anda, um grande aumeno do número de segurados/parcpanes no decorrer dos anos, so se deve prncpalmene ao crescmeno das vendas de prevdênca, alavancadas pelas vendas do produo Plano Gerador de Benefícos Lvres PGBL, e pela esabldade da economa. Ouro faor mporane para explcar o crescmeno do número de exposos enre os anos de 998 e 999, acma de 30%, fo que houve mua ressênca das empresas ao envo dos dados, no ano de 998, por raar-se do prmero ano e pelo fao de não possuírem ssemas específcos para raameno dos dados, problema que esá sendo resolvdo com o passar dos anos. Nos Gráfcos 2., 2.2, 2.3 e 2.4, apresenamos a dsrbução dos exposos ao rsco de sobrevvênca por sexo nos anos de 998, 999, 2000 e 200, respecvamene. Podemos observar que há uma concenração da população em orno das dades compreenddas enre 20 anos e 60 anos, sendo que esá faxa eára absorve em méda 95% da população masculna e 93% da população femnna quandade cenral de exposos ao rsco dade Gráfco 2.: Quandade de exposos ao rsco por dade e sexo no ano de 998, onde homens (lnha chea e mulheres (lnha racejada. 7

8 quandade cenral de exposos ao rsco dade Gráfco 2.2: Quandade de exposos ao rsco por dade e sexo no ano de 999, onde homens (lnha chea e mulheres (lnha racejada. quandade cenral de exposos ao rsco dade Gráfco 2.3: Quandade de exposos ao rsco por dade e sexo no ano de 2000, onde homens (lnha chea e mulheres (lnha racejada. 8

9 quandade cenral de exposos ao rsco dade Gráfco 2.4: Quandade de exposos ao rsco por dade e sexo no ano de 200, onde homens (lnha chea e mulheres (lnha racejada. Nos Gráfcos 2.5 e 2.6, podemos observar que o aumeno do número de exposos no decorrer do empo fo dsrbuído por odas as dades e ndependene do sexo. No enano, no ano de 200, houve um grande aumeno do número de exposos para baxas dades, fruo do crescmeno da campanha de vendas de planos de prevdênca para menores de dade por pare de algumas companhas. 9

10 quan. cenral de expos. ao rsco Idade 20 Gráfco 2.5: Quandade de exposos ao rsco do sexo masculno enre os anos de 998 e 200, onde 998 (rosa, 999 (azul, 2000 (vermelho e 200 (verde quan. cenral de expos. ao rsco Idade 20 Gráfco 2.6: Quandade de exposos ao rsco do sexo femnno enre os anos de 998 e 200, onde 998 (rosa, 999 (azul, 2000 (vermelho e 200 (verde. 0

11 Na obenção da quandade de exposos ao rsco de sobrevvênca observa-se dos pos de problema nos dados, ambém abordados por Belrão e Sugahara (2003, são eles:. problema de connudade da nformação: o número de segurados/parcpanes no fnal do ano aneror, para cada dade e sexo, devera ser gual ao número de segurados/parcpanes no níco do ano subseqüene. A mesma consderação é válda para o número de asssdos. 2. problema de balanço anual da nformação: o número de segurados/parcpanes no fm de cada ano, para cada dade e sexo, devera ser gual ao número ncal acrescdo da quandade de enradas e reduzdo da quandade de saídas no ano. A mesma consderação é válda para o número de asssdos. Com a análse da Tabela 2.2 verfcamos que com o passar dos anos o problema de connudade da nformação referene à coberura de sobrevvênca esá dmnundo. Sendo ese mas grave para os asssdos enre os anos de 998 e 999, mas devdo ao baxo número de asssdos, ese problema não em grande peso relavo na população esudada. Tabela 2.2: Dferença percenual enre exposos no níco do ano correne e no fm do ano aneror, para os sexos masculno e femnno, enre os anos de 998 e 200. % 98/99 % 99/00 % 00/0 segurados/parcpanes 8,22% sexo masculno -7,33% -4,75% asssdos 7,2% -2,0% 5,05% oal 8,44% -7,23% -4,57% sexo femnno segurados/parcpanes 3,57% -,09% -5,96% asssdos 58,43% -4,59% -,4% oal 5,4% -0,90% -5,85% Analsando, anda, problema de connudade da nformação por dade nos anos de esudo, consderando em conjuno o número de segurados/parcpanes e o número de asssdos, podemos noar, por meo da análse dos Gráfcos 2.7 e 2.8, que o grande problema enconra-se na população nferor a 20 anos e superor a 60 anos, e, anda, conforme comenado, que anualmene há uma redução gradual do problema.

12 500,00% 450,00% 400,00% 350,00% 300,00% percenual 250,00% 200,00% 50,00% 00,00% 50,00% 0,00% 0-50,00% ,00% dade Gráfco 2.7: Dferença percenual enre os exposos ao rsco do sexo masculno no níco do ano correne e no fm do ano aneror, onde % 98/99 (vermelho, % 99/00 (azul e % 00/0 (verde. 2

13 400,00% 350,00% 300,00% 250,00% 200,00% percenual 50,00% 00,00% 50,00% 0,00% -50,00% -00,00% dade Gráfco 2.8: Dferença percenual enre os exposos ao rsco do sexo femnno no níco do ano correne e no fm do ano aneror, onde % 98/99 (vermelho, % 99/00 (azul e % 00/0 (verde. Quano ao problema de balanço anual da nformação, na Tabela 2.3, calculamos a dferença percenual enre o número de exposos reporados no fm do ano e o número de exposos calculados de acordo com o número de exposos no níco do ano e a movmenação enre enradas e saídas de exposos, ou seja: exp _fm % =, onde: ( exp _n + en sa exp_fm: número de exposos reporados no fm do ano; exp_n: número de exposos reporados no níco do ano; en: enradas de exposos no decorrer do ano; e sa: saídas de exposos no decorrer do ano. Para conagem do número de exposos que saíram dos planos no decorrer de cada ano são consderados odos os movos de saída dsponíves no banco de dados: more, nvaldez, sobrevvênca (aposenadora e ouras saídas (resgae, 3

14 cancelameno,..., para os dados referenes aos segurados/parcpanes, e more e ouras saídas (érmno do prazo de recebmeno de renda, obenção da maordade - no caso de renda paga aos menores,..., para os dados referenes aos asssdos. Tabela 2.3: Dferença percenual enconrada no problema de balanço anual da nformação nos anos de 998 a 200, para ambos os sexos, consderando a segregação enre segurados/parcpanes e asssdos. homens exp_n en sa exp_fm % segurados/parcpanes ,06% asssdos ,50% oal ,06% mulheres exp_n en sa exp_fm % segurados/parcpanes ,02% asssdos ,88% oal ,6% homens exp_n en sa exp_fm % segurados/parcpanes ,3% asssdos ,05% oal ,% mulheres exp_n en sa exp_fm % segurados/parcpanes ,72% asssdos ,0% oal ,70% homens exp_n en sa exp_fm % segurados/parcpanes ,86% asssdos ,0% oal ,85% mulheres exp_n en sa exp_fm % segurados/parcpanes ,60% asssdos ,0% oal ,58% homens exp_n en sa exp_fm % segurados/parcpanes ,3% asssdos ,70% oal ,0% mulheres exp_n en sa exp_fm % segurados/parcpanes ,2% asssdos ,80% oal ,6% 4

15 Com a análse da Tabela 2.3, podemos conclur que o problema de balanço anual da nformação é menor do que o problema de connudade da nformação. Conudo, noamos um crescmeno daquele problema no ano de 200, se comparado com os demas anos. Os problemas relaados devem-se a fala de conrole na colea e no manuseo dos dados por pare de algumas seguradoras/eapc s, pos a obrgaoredade de envo de dados é recene no país. Esses problemas já foram prevamene reduzdos pelo Cenro de Esaísca da SUSEP, que dsponblza va nerne um ssema de críca de dados às companhas. 2.2 Deermnação do número de mores Para o cálculo das axas bruas de moraldade para coberura de sobrevvênca é necessára a apuração do número de mores, por sexo e dade, ocorrdos a cada ano com ndvíduos que possuíam a coberura de sobrevvênca. Conudo, pode ocorrer uma defasagem no avso de snsro por pare dos benefcáros à companha de seguros, ou seja, óbos ocorrdos em um deermnado ano podem ser reporados às empresas em anos subseqüenes. Os óbos ocorrdos em 998 e avsados nos anos de 999, 2000 e 200 foram somados aos óbos ocorrdos em 998 e avsados no mesmo ano, ano para os segurados/parcpanes como para os asssdos. Enão, como esá dsponível um banco de dados de quaro anos, nesse esudo consderamos um empo máxmo para avso de snsro de rês anos. Iso pode ser assumdo sem problemas, pos é sabdo, em prevdênca complemenar abera e seguro de vda ndvdual, que não exse um grande araso no avso de snsro de more por pare dos benefcáros, como podemos observar nas Tabelas 2.4 e 2.5. Sendo ese araso anda menor quando se raa de avso de óbo de asssdo, conforme dsposo nas Tabelas 2.6 e

16 Tabela 2.4: Óbos ocorrdos e avsados referenes aos segurados/parcpanes do sexo masculno, nos anos de 998 a 200. ano de avso ano de ocorrênca oal Tabela 2.5: Óbos ocorrdos e avsados referenes aos segurados/parcpanes do sexo femnno, nos anos de 998 a 200. ano de avso ano de ocorrênca oal Tabela 2.6: Óbos ocorrdos e avsados referenes aos asssdos do sexo masculno, nos anos de 998 a 200. ano de avso ano de ocorrênca oal Tabela 2.7: Óbos ocorrdos e avsados referenes aos asssdos do sexo femnno, nos anos de 998 a 200. ano de avso ano de ocorrênca oal

17 Para deermnação do número de óbos no ano de 999, somamos os óbos avsados em 999, 2000 e 200 e consderamos a possbldade de haver snsros ocorrdos em 999 e reporados à companha com rês anos de araso. O mesmo procedmeno é realzado para os anos de 2000 e 200, sendo esmada a possbldade de araso no avso de snsros de 2 e 3 anos para o ano de 2000 e de, 2 e 3 anos para o ano de 200. As esmavas de araso no avso de falecmeno são realzadas consderando as médas de arasos ocorrdos, separadas por sexo e por caegora, ou seja, segurados/parcpanes e asssdos. Esas esmavas são apresenados nas Tabelas 2.8 a 2.. Tabela 2.8: Percenual de óbos reporados com araso em relação aos óbos reporados no ano da ocorrênca, para segurados/parcpanes do sexo masculno, nos anos de 998 a 200. empo de araso para avsar (em anos ano de ocorrênca ,75% 0,62% 0,25% 999 7,90% 0,88% ,09% 200 méda 7,58% 0,75% 0,25% Tabela 2.9: Percenual de óbos reporados com araso em relação aos óbos reporados no ano da ocorrênca, para segurados/parcpanes do sexo femnno, nos anos de 998 a 200. empo de araso para avsar (em anos ano de ocorrênca ,93% 0,5% 0,5% 999 6,64% 0,83% 2000,49% 200 méda 7,69% 0,67% 0,5% 7

18 Tabela 2.0: Percenual de óbos reporados com araso em relação aos óbos reporados no ano da ocorrênca, para asssdos do sexo masculno, nos anos de 998 a 200. empo de araso para avsar (em anos ano de ocorrênca ,00% 0,00%,30% 999,43% 0,7% ,3% 200 méda 2,9% 0,36%,30% Tabela 2.: Percenual de óbos reporados com araso em relação aos óbos reporados no ano da ocorrênca, para asssdos do sexo femnno, nos anos de 998 a 200. empo de araso para avsar (em anos ano de ocorrênca ,00% 0,00% 0,00% 999 0,00%,5% ,98% 200 méda 0,33% 0,57% 0,00% Após esas esmavas, podemos realzar a devda correção no número de óbos ocorrdos, esmando o número de óbos ocorrdos e anda não avsados. Essa correção é realzada aplcando-se a méda para cada ano de araso (de a 3 anos sobre o número de mores ocorrdas no ano e avsadas no mesmo ano. Tomando como exemplo o cálculo do número de óbos dos segurados/parcpanes no ano de 200, para sabermos o número de snsros avsados com araso de ano para cada dade basa mulplcarmos 7,58% (ver Tabela 2.8 pelo número de mores de cada dade avsadas e ocorrdos no ano de 200, esse mesmo créro de cálculo será repedo para 2 e 3 anos de araso no avso, aplcando 0,75% e 0,25%, respecvamene. Para deermnação do número de falecmenos relavos à coberura de sobrevvênca, por dade e por ano de esudo, são somados os óbos dos segurados/parcpanes e dos asssdos. Nos Gráfcos 2.9, 2.0, 2. e 2.2 apresenamos a dsrbução de número de óbos por dade para os anos 998, 999, 8

19 2000 e 200, respecvamene. Podemos noar um número muo baxo de mores, para algumas dades aé guas a zero, para dades nferores a 25 anos e superores a 90 anos número de mores dade Gráfco 2.9: Número de mores por dade no ano de 998, onde homens (lnha chea e mulheres (lnha racejada. 9

20 números de mores dade Gráfco 2.0: Número de mores por dade no ano de 999, onde homens (lnha chea e mulheres (lnha racejada número de mores dade Gráfco 2.: Número de mores por dade no ano de 2000, onde homens (lnha chea e mulheres (lnha racejada. 20

21 número de mores dade Gráfco 2.2: Número de mores por dade no ano de 200, onde homens (lnha chea e mulheres (lnha racejada. Em função do araso na comuncação de falecmeno, a quandade cenral de exposos ao rsco ambém deverá sofrer uma pequena correção, pos os snsros avsados com araso connuaram sendo reporados como população ava. A quandade cenral de exposos ao rsco de sobrevvênca em cada ano, segregada por dade e sexo, enconra-se dsponível no Anexo I, e o número de mores relavo à coberura de sobrevvênca consderado nese rabalho, segregada por dade e sexo, enconra-se dsponível no Anexo II. Após a obenção dos dados ulzados nesa ese (quandade cenral de exposos e número de mores, podemos calcular as axas bruas de moraldade para a coberura de sobrevvênca. 2.3 Cálculo das axas bruas de moraldade Para o cálculo das axas bruas de moraldade no período gual a um ano, para cada dade e sexo, dvdmos o número de mores no ano pela quandade cenral de 2

22 exposos ao rsco no ano, consderando a correspondene dade e sexo, conforme dsposo a segur: r = x d e x x, onde: r x : axa brua de moraldade na dade x; d x : número de mores observadas na dade x; e e x : quandade cenral de exposos ao rsco de sobrevvênca observados na dade x. As axas bruas de moraldade para os anos de 998 a 200, para ambos os sexos, esão dsponíves no Anexo III. Nos Gráfcos 2.3, 2.4, 2.5 e 2.6, apresenamos as axas bruas de moraldade para ambos os sexos dos anos 998, 999, 2000 e 200, respecvamene. Podemos observar que as axas de moraldade bruas observadas possuem endênca de crescmeno a parr dos 25 anos de dade. Isso pode ser explcado pela maor ncdênca de mores acdenas nos ndvíduos mas jovens. Ademas, nos gráfcos percebemos a fala de nformação para dades nferores a 20 anos, para o sexo masculno, e nferores a 30 anos para o sexo femnno, bem como para dades superores a 90 anos, para ambos os sexos. Devemos noar que essa percepção é obda consderando que os gráfcos esão em escala logarímca, ou seja, axas de moraldade guas a zero não são represenadas nos gráfcos. 22

23 ,0000 0,000 axa brua - escala logarímca 0,000 0,000 0,000 0, dade Gráfco 2.3: Taxas bruas de moraldade por dade para a coberura de sobrevvênca no ano de 998, onde homens (lnha chea e mulheres (lnha racejada.,0000 0,000 axa brua - escala logarímca 0,000 0,000 0,000 0, dade Gráfco 2.4: Taxas bruas de moraldade por dade para a coberura de sobrevvênca no ano de 999, onde homens (lnha chea e mulheres (lnha racejada. 23

24 ,0000 0,000 axa brua - escala logarímca 0,000 0,000 0,000 0, dade Gráfco 2.5: Taxas bruas de moraldade por dade para a coberura de sobrevvênca no ano de 2000, onde homens (lnha chea e mulheres (lnha racejada.,0000 0,000 axa brua - escala logarímca 0,000 0,000 0,000 0, dade Gráfco 2.6: Taxas bruas de moraldade por dade para a coberura de sobrevvênca no ano de 200, onde homens (lnha chea e mulheres (lnha racejada. 24

25 Espera-se que a axa de moraldade de um ndvíduo mas velho seja superor a de um ndvíduo mas jovem. No enano, as axas bruas enconradas são muo rregulares em relação à dade, não sendo monooncamene crescenes com a dade, como observamos nos Gráfcos 2.3 a 2.6. Dessa forma, as axas deverão ser suavzadas para que possam ser ulzadas em planos de seguro de vda e de prevdênca. O processo de suavzação das axas bruas de moraldade é conhecdo por graduação e será apresenado no capíulo poseror. 25

26 Capíulo 3 - Graduação das Taxas Bruas de Moraldade Como dsposo no capíulo aneror, após a colea dos dados observados e obenção das axas bruas de moraldade, esperávamos que esas axas vessem uma relação monooncamene crescene em relação à dade. Como nos dados observados, essa relação não é enconrada, para regularzação das axas de moraldade em relação à dade, e conseqüene obenção da desejada ábua de moraldade, devemos realzar um processo de suavzação das axas bruas enconradas. Esse processo é conhecdo como graduação. A graduação é fundamenal para corrgr problemas nos dados e fala de nformação para deermnada dade esudada, subsundo uma sére rregular por uma sére suavzada, que segue uma endênca de crescmeno em função da dade, com o objevo fnal de se ober probabldades anuas de mores (q x monooncamene crescenes em relação às dades, sendo x a dades em anos. Não sera possível a ulzação de axas de moraldade em planos de prevdênca e de vda sem a devda graduação, pos como explcar a um segurado de um plano de seguro vda, com prêmos anuas calculados de acordo com a dade, a varabldade dos prêmos cobrados. Podemos graduar axas bruas de moraldade em função da força de moraldade (µ, usando no processo a quandade cenral de exposos ao rsco observados, ou em x função da probabldade de more (qx, usando a quandade ncal de exposos ao rsco observados. Consdera-se o número de mores (d x, no período de esudo e para cada dade x, modelado com sendo Posson dsrbuído com méda e - Posson( e.,. µ µ x x x x quando a graduação é realzada em relação à força de moraldade, e consdera-se d modelado com sendo Bnomal dsrbuído com méda e. q x x - Bnomal(ex, q x, quando o processo de graduação é realzado em função da probabldade de more (Haberman e Renshaw, 996, parndo do prncípo de que odos os ndvíduos com a mesma dade morrem ndependenemene e com a mesma probabldade, onde: d x : número de mores na dade x; x 26

27 função de função de qx; e x : quandade cenral de exposos ao rsco na dade x, para graduação em µ x, ou quandade ncal de exposos ao rsco na dade x, para graduação em q x : probabldade de um ndvíduo falecer enre as dades x e x +; e µ x : força de moraldade, mede a varação nsanânea da nensdade de more, sendo expressa na forma de axa anual. Como nesa ese esamos rabalhando com a quandade cenral de exposos ao rsco, graduaremos as axas bruas aravés da força de moraldade, com d x dsrbuído de acordo como a dsrbução Posson. Para esmar axas de moraldade suavzadas são sugerdos na leraura e ulzados na práca modelos de graduação paramércos e não paramércos (em forma lvre. Esa caegorzação de modelos de graduação é cada por Haberman e Renshaw (996. As graduações normalmene são realzadas aravés de modelos paramércos por adequação da probabldade de more ou da força de moraldade a algum modelo maemáco, ajusando as axas bruas de moraldade a uma função de sobrevvênca fundamenada em les de moraldade, as como as Les de Movre, Gomperz, Makeham e Webull (Bowers e al., 986. Não podemos dexar de car que uma ampla classe de modelos esaíscos para curva de crescmeno (parâmeros não negavos e crescenes é apresenada em Mgon e Gamerman (993. No Brasl, os rabalhos realzados sobre graduação de axa de moraldade com dados orgnáros do mercado segurador ulzam esaísca clássca e modelos paramércos não predvos e esácos, enre eles desaca-se Belrão e Sugahara (2003. Iremos a segur apresenar a graduação bayesana das axas bruas de moraldade e elencar os modelos que servram de referênca para consrução dos modelos de graduação bayesana proposos no próxmo capíulo. 27

28 3. Graduação bayesana A abordagem bayesana do processo de graduação raa-se de esmação esaísca de parâmeros desconhecdos, onde são agregados aos dados conhecmenos ncas sobre os parâmeros esudados. Alguns rabalhos já foram publcados sobre graduação bayesana, enre eles: Kmeldorf e Jones (967, Hckman e Mlller (977, Broff (988, Carln (992, Gordon (998 e Mendoza e al. (200. Os modelos não paramércos de graduação bayesana proposos no próxmo capíulo são baseados nos modelos descros em Broff (988 e Carln (992, já os modelos paramércos são baseados no modelo de graduação clássco apresenando por Haberman e Renshaw (996, adapado para um enfoque bayesano. Anes da apresenação dos modelos é mporane nroduzr alguns conceos báscos de auára, enre eles, função de sobrevvênca, probabldade de more e força de moraldade. 3.2 Conceos báscos de auára Para que os modelos de graduação sejam mas faclmene enenddos apresenaremos, no decorrer desa seção, alguns conceos báscos de auára. A função de sobrevvênca s(x é uma expressão maemáca decrescene que ena enconrar padrões de sobrevvênca nas vdas humanas. Podemos defnr s(x como a probabldade de um recém nascdo vver aé a dade X. Enão, seja X, dade de more do recém nascdo, uma varável aleaóra conínua (Bowers e al., 986, denoando por F(x a dsrbução acumulada de X, êm-se: F(x = P(X x, x 0, e s(x = F( x = P(X > x, logo s(0 = e s( xsup =, sendo x a úlma dade consderada na ábua bomérca. sup Seja q x, denomnada axa anual de more, a probabldade de um ndvíduo falecer enre as dade x e x + e seu complemenar, p x, a probabldade de um ndvíduo 28

29 de dade x sobrevver aé a dade x +, enão q x + p x =. É mporane ressalar que as ábuas bomércas de moraldade são consruídas em função de q x. Denoe por p0 a probabldade de um ndvíduo de dade gual a zero p 0 sobrevver aé a dade. Assm, gualá-se a s(. Parmos enão para as segunes relações: s( p0 = = - P(X, s(0 a dade x +. s( x =, sendo a probabldade de um ndvíduo de dade x sobrevver aé s( x + p x s( x + s( x px = = px = qx, enão: s( x + q x = = P( X x + X > x s( x Quano à força de moraldade ( µ, conforme descro em Jordan (99, esa x mede a varação nsanânea da nensdade de more, pos ela não é consane a cada momeno. Dessa forma, consderando a f(x a função de densdade de X, F (x = f(x, emos: F( x + x F( x f ( x. x µ x = P( x < X < x + x X > x =, enão: F( x F( x f ( x s'( x µ x = =, µ x > 0 e crescenes em relação às dades. F( x s( x A relação enre a probabldade de more e a força de moraldade (Jordan, 99 é expressa a segur: q = exp( µ d, n x x+ 0 sendo a probabldade de um ndvíduo falecer enre as dades x e x + n. n q x Assm, para n =, obemos: q = exp( µ x x+ 0 n d 29

30 Como smplfcado por Broff (988, podemos consderar µ x consanes nos nervalos de dade (, a parr de uma dade ncal x. Consderando os nervalos de dade =,..., k, emos: µ (y =, x + y x e + q + = exp x ( (3. Nos modelos desenvolvdos nese rabalho, remos esmar as probabldades de more consderando a smplfcação descra em (3.. 30

31 Capíulo 4 - Modelos de Graduação Bayesana Os modelos a serem apresenados nesse capíulo vsam a obenção de axas de moraldade suavzadas em função da dade, para cada ano de esudo e para cada sexo, com o objevo de verfcar que modelo paramérco e não paramérco, denre os proposos, são os mas adequados para serem ulzados, no próxmo capíulo, como referênca na consrução de modelos de graduação bayesana de axas de moraldade onde serão consderados os dados de odos os anos dsponíves em conjuno, ou seja, de modelos bayesanos para obenção de ábuas bomércas de moraldade que reflam a realdade do mercado de seguro e prevdênca no Brasl. Nos modelos, para graduação bayesana das axas bruas de moraldade referenes à coberura de sobrevvênca nos planos de seguro de vda e de prevdênca complemenar abera, será ulzada smulação esocásca va cadeas de Markov - MCMC, parcularmene o Amosrador de Gbbs, mplemenado aravés do pacoe compuaconal WnBUGS versão.4 (Spegelhaler e al., 2003, uma versão para wndows do pacoe BUGS (Bayesan nference Usng Gbbs Samplng. Ese é um programa de fácl ulzação e pode ser obdo sem cuso aravés do se É especalzado na mplemenação de MCMC, assumndo um modelo de probabldade compleo, no qual odos os parâmeros são raados como varáves aleaóras. Nesse capíulo, serão apresenados ses modelos: rês modelos de graduação não paramércos, baseados nos argos de Broff (988 e Carln (992 e rês modelos paramércos, com base em modelos lneares generalzados descro em Haberman e Renshaw (996, adapados para um enfoque bayesano. Broff (988 afrmou que as probabldades de more crescem com a dade a parr dos 30 anos. No enano, analsando as ábuas bomércas ulzadas pelo mercado segurador braslero para coberura de sobrevvênca, percebemos que as probabldades de more consanes dessas ábuas são crescenes a parr de em méda 8 anos de dade. Como esamos graduando as forças de moraldade, obemos as mesmas a parr das ábuas bomércas mas usuas, ulzando a smplfcação descra em (3.. Com 3

32 sso, concluímos que as forças de moraldade, orgnadas dessas ábuas, ambém são crescenes a parr de em méda 8 anos de dade. Na análse dos dados, observou-se, anda, que as axas de moraldade bruas observadas possuem endênca de crescmeno a parr dos 25 anos de dade e que há fala de nformações para dades nferores a 20 anos para o sexo masculno e nferores a 30 anos para o sexo femnno, bem como para dades superores a 90 anos, para ambos os sexos. Assm, serão esmadas, para odos os modelos, as axas de moraldade graduadas para dades enre 25 e 90 anos. Nos modelos bayesanos proposos, no processo de graduação, as forças de moraldade fuuras para os nervalos de dade (, sendo =,...66, serão esmadas em função da dsrbução predva do número de mores observadas ( ocorrendo com as probabldades de more fuuras (, o mesmo, conforme realzado em Mendoza e al. (200. A dsrbução predva do número de mores observadas é de fácl obenção no conexo do MCMC, basando replcar a função de verossmlhança. r r qx+ A parr das forças de moraldade fuuras esmadas, oberemos, por meo do pacoe esaísco em quesão (WnBUGS, ulzando o processo de smplfcação descro em (3., dsrbuções condconas compleas para as probabldades de more fuuras para cada dade, denoadas por q r d, para as dades x, x +,.., x + k -, com x = 25 anos e k = 66, sendo esas probabldades o objevo fnal do processo de graduação. r r r x, qx+ qx+ k,..., Assm, podemos ober dsrbuções predvas dos parâmeros de neresse proporconas à r d na dade x + (, consderando a quandade cenral de exposos ao rsco observados e consanes conhecdas, da segune forma: d r ~ Posson( e., defna: r r d = e e r r qx+ = exp(, para =,..., 66 e x = 25. (4. Ressalamos que como o veor sofre o processo de graduação, r r auomacamene os veores e q são graduados. 32

33 Serão desenvolvdos esmadores bayesanos para os parâmeros de neresse. Os esmadores bayesanos mas comuns são a méda, a moda e a medana. Nese rabalho, consderamos como esmadores bayesanos das probabldades de more as médas dos valores amosras predos. 4. Modelos não paramércos (em forma lvre Caegorzamos os modelos como não paramércos porque não há o ajuse das axas bruas de moraldade a uma função de sobrevvênca baseada em uma le de moraldade. Os modelos não paramércos de graduação bayesana proposos nese capíulo, conforme cado na seção 3., êm como referêncas os modelos descros em Broff (988 e Carln (992. Broff (988 para graduar as axas bruas de moraldade mpôs a resrção R = : 0 < <... < } ao veor de parâmeros. Esa resrção à dsrbução a I { k pror assegura que os esmadores bayesanos ambém esarão resros ao subconjuno R I. O auor assumu que o número de mores no nervalo de dade ( dsrbução Posson( e. l y, consderando e consanes conhecdas: ( o em e apresenou a segune função de verossmlhança, k d l( y exp( e., onde y o = (d,..., d k, sendo: o = d : o número de mores observadas na dade x + - e e : a quandade cenral de exposos ao rsco observados na dade x + -, para =,...,k e x = prmera dade esudada. d É naural supor prors Gamma para os parâmeros ' s, uma vez que eses só assumem valores reas posvos. Embora, prors Gammas conjuguem com a verossmlhança Posson, no modelo proposo esa facldade perde-se pela resrção mposa pelo subconjuno RI ao veor de parâmeros. Assm, segue a dsrbução a pror defnda em Broff (988: 33

34 ~ Gamma( α, β I, ( ( +, onde ressalamos que oda vez que a densdade de ver runcada pela presença da função I será nerpreada como condconal à e +. Assm, devdo às dfculdades compuaconas, à época, Broff (988 abandonou esa classe de pror e adoou uma reparamerzação do modelo. A reparamerzação fo realzada consderando que os ' s são crescenes e seus ncremenos posvos. Eses ncremenos foram denoados pelo veor k-dmensonal φ = φ,..., φ. Assm, ( k = + φ, =,...,k e 0 = Com os ncremenos devem ser posvos, o auor consderou-os ndependenes e dsrbuídos de acordo com um dsrbução Gamma( α, β, denoando a segune dsrbução a poseror: 0. p( φ α, β k = d exp( e k = φ α exp( β φ k = d φ α. exp( b. φ, φ > 0, =,..., k, onde = φ φ e b = β + e e Aravés da dsrbução a poseror apresenada e ulzando-se de negração numérca, Broff (988 obeve as modas a poseror dos esmadores para as forças de moraldade ( s. ' k φ ' s e a parr desas os O modelo de Carln (992 apresenou-se como faclador para obenção da graduação bayesana, pos com a ulzação de MCMC ornou-se vável compuaconalmene a especfcação da dsrbução a pror com a devda resrção para suavzação das axas bruas de moraldade, evando uma complexa negração numérca para esmação dos parâmeros de neresse. Carln (992 ulzou no processo de graduação o mesmo modelo descro em Broff (988, mas realzou pequenas alerações no subconjuno de resrções R I e na dsrbução a pror da força de moraldade:. acrescenou um lme máxmo para as forças de moraldade no subconjuno R I : R = { : 0 < <... < B} ; e I k < 2. consderou os parâmeros ' s ndependenes e dencamene dsrbuídos com dsrbução Gamma ( α, β resra ao subconjuno R I, assumndo α conhecdo e 34

35 consane e β como sendo um hperparâmero com dsrbução Gamma ( a, b, com a e b conhecdos. Foram ulzados os dados para obenção dos valores de α, a e b. Assm, dsrbução a pror é dada por: k p( α, β exp( β. I I R I = α ( =, se RI ; R I (, onde I R I ( = 0, caso conráro. Após especfcar a pror e a função de verossmlhança, Carln (992 apresenou a dsrbução conjuna dos parâmeros e dos dados para o modelo de graduação bayesana das axas bruas de moraldade: complea de d p( yo, α, β exp( e exp( β. I (, ( 66 = 66 = α + A parr desa dsrbução conjuna, a dsrbução a poseror condconal, consderando odos os demas parâmeros, fo descra como se segue: p( * * yo, α, β Gamma( α, β I (, (, =,..., k, onde + = α + α * d e β * = β + e. Após a obenção da dsrbução a poseror condconal, aravés de MCMC, Carln (992 obeve as médas a poseror dos s e as ulzou como esmadores das forças de moraldade nos nervalos de dade, para =,...,k. Após a apresenação dos modelos referencas, ressalamos que as prncpas conrbuções dos modelos não paramércos de graduação bayesana proposos, a segur, em relação aos modelos descros em Broff (988 e Carln (992, são:. a esmação de axas de moraldade graduadas por meo da dsrbução predva do número de óbos, conforme demonsrado em (4.; e 2. a ulzação de um pacoe compuaconal de fácl manuseo (WnBUGS. A segur, serão apresenados os rês modelos não paramércos proposos para graduação bayesana das axas bruas de moraldade: no modelo, ulzamos o modelo descro em Carln (992, porém sem consderar hperparâmero desconhecdo, devdo a uma resrção no pacoe esaísco ulzado; no modelo 2, com o objevo de não ulzar função ndcadora, aleramos a dsrbução a pror da força de moraldade; e no ' 35

36 modelo 3, realzamos a mesma reparamerzação ulzada por Broff (988, mplemenada no MCMC, evando o uso da função ndcadora. 4.. Modelo de Carln modfcado com β fxo (modelo Para suavzação das axas bruas de moraldade nese modelo mpomos a resrção R I = : 0 < <... < < } ao veor de parâmeros perencene ao { 66 B subconjuno Ω = { ;0 <, =,...,66} de espaço eucldano k-dmensonal, sendo B o lme máxmo para força de moraldade no nervalo de empo correspondene à dade de 90 anos. No modelo consderamos B gual a. Ulzamos função de verossmlhança, l y, obda por Broff (988, que ( o corresponde a assumr que d em uma dsrbução Posson ( e., consderando e consanes conhecdas, emos enão: d l( y exp( e., onde y o = (d,..., d 66, sendo: o 66 = d : o número de mores observadas na dade x + - e e : a quandade cenral de exposos ao rsco observados na dade x + -, para =,...,66 e x = 25. (4.2 Assummos ndependenes e dencamene dsrbuídos com dsrbução Gamma ( α, β não nformava e resra ao subconjuno R I, com α = 0,00 e β = 0,00. Não ulzamos hperparâmeros desconhecdos, dferene do realzado por Carln (992, devdo a uma lmação do pacoe esaísco, pos, de acordo com o dsposo em Spegelhaler e al. (996, a ulzação da função ndcadora deermnando lmes quando os hperparâmeros são desconhecdos é uma consrução naproprada no WnBUGS. Assm, a dsrbução a pror é dada por: 66 p( α, β exp( β. I = α R I (, onde RI = { : 0 < <... < 66 < } e 36

37 ;, ( I R R se I I = 0, ( = R I I caso conráro. A ulzação da função ndcadora faz com que seja obedecda a resrção mposa, pos o ssema somene consdera os valores amosrados que perençam aos nervalos deermnados. No modelo bayesano, a dsrbução conjuna dos parâmeros e dos dados é dada por: (, (. (,, ( β α β α I R o o I p y p y p =, onde ;, ( I R R se I I = 0, ( = R I I caso conráro. Smplfcando a expressão apresenada emos: (. exp( exp(,, (, ( d o I e y p β β α α + = = A dsrbução a poseror de e a dsrbução predva, são dadas, respecvamene, por: = = = β α β α β α β α β α β α β α d I p p(y I p p(y d p(y p(y y p p(y y p( I I R o R o o o o o o (, ( (, (,,,,, (,,,, d y p( p(y y p(y o r r 0 = Com a dsrbução a poseror condconal do parâmero de neresse sendo obda por: + + = o o o d I p p(y I p p(y y p( β α β α β α (, ( (, (,,, (, ( Assm, a dsrbução a poseror condconal complea de, consderando odos os demas parâmeros, como em Carln (992, é dada por:,...,66,, (, (,,, ( * * = + I Gamma y p( o β α β α onde e. d + = α α * e + = β β * Em resumo, o modelo bayesano fca descro por: 37

38 d ~ Posson ( e., e consanes conhecdas e =,...,66; α, β ~ Gamma ( α, β I (, ( +, com 0 = 0 e 67 = ; sendo α = 0,00e β = 0, 00; onde a predção é realzada aravés de ( Modelo ulzando a pror unforme (modelo 2 Para ese modelo fo realzada uma aleração no modelo, vsando a obenção de um modelo que não ulze a função ndcadora, mas que connue a respear a resrção mposa, R = : 0 < <... < }. I { 66 < No modelo não ulzamos runcameno na dsrbução a pror, mas para que o parâmero de neresse connue sendo crescene em função da dade dos ndvíduos, opamos por uma dsrbução a pror Unforme, a saber:, + ~ Unforme(, +, com 0 = 0, 67 = e =, p(, + =, para + + 0, c. c., para =,..., 66, sendo 0 = 0 e 67 =, com: + E(, + =. 2 Dessa forma, a dsrbução unforme defnda faz com que as axas bruas de moraldade sejam graduadas, pos < 2 < Κ < 66. Temos enão a segune dsrbução conjuna dos parâmeros e dos dados, consderando a mesma função de verossmlhança apresenada em (4.2: d exp( = = + p( y o, e Observamos que o processo de nferênca não é analcamene raável, ou seja, não adme conjugação, pos, a dsrbução a pror (Unforme não é conjugada com a função de verossmlhança (Posson. No enano, não há problemas na mplemenação 38

39 do modelo, pos esamos ulzando smulação esocásca va cadea de Markov, parcularmene o Amosrador de Gbbs, onde não é necessára a conjugação enre a pror e a verossmlhança. Em resumo, o modelo bayesano fca descro por: d ~ Posson ( e., e consanes conhecdas e =,...,66;, ~ Unforme(,, com 0 e ; = onde a predção é realzada aravés de ( = 4..3 Modelo com reparamerzação po Broff (modelo 3 Traa-se de uma reparamerzação do modelo, evando o uso da função ndcadora, endo como base a reparamerzação realzada por Broff (988, mas mplemenada no MCMC, e ulzando a mesma resrção ao veor de parâmeros R = { : 0 < <... < } mposa por ese auor. ( I 66 Para que seja obedecda à resrção, como realzado no modelo 2, não será usada a função ndcadora, mas a segune reparamerzação: = + φ, para =,...,66 e 0 0 = Para que seja garando a resrção de crescmeno dos ' s ao modelo, consderamos φ ndependenes e dsrbuídos de acordo com um dsrbução Gamma( α, β. Os parâmeros φ s são os ncremenos posvos dos correspondenes ' ' s. Porano, cada parâmero será formado pela soma do parâmero aneror ( com um ncremeno posvo ( φ gerado por meo da dsrbução Gamma. Com sso, o pacoe esaísco ulzado rá ober dsrbuções condconas compleas para as forças de moraldade. Temos enão a segune dsrbução conjuna (Broff, 998, consderando a mesma função de verossmlhança apresenada em (4.2: p( y o, φ α, β 66 = d exp( e 66 = φ α exp( β φ 66 = d φ α. exp( b. φ, 39

40 φ > 0, =,...,66, onde = φ φ e b = β + e e66. Para evar problemas na mplemenação do modelo, devemos consderar α >, para que a moda a poseror de φ não seja nferor a zero, devdo a caracerísca da dsrbução Gamma, mpossblando assm a geração de amosras no MCMC. Esse problema ocorre quando os ncremenos das axa bruas correspondenes aos φ ' s são negavos. A fm de corrgr ese problema fxamos o valor α gual ao próxmo número nero posvo, ou seja, α = 2, para odo. Quano ao hperparâmero β, consderamos eses ndependene e dencamene dsrbuídos por uma dsrbução Gamma não nformava: β ~ Gamma(0,, 0,. Em resumo, o modelo bayesano reparamerzado fca descro por: d ~ Posson ( e., e consanes conhecdas e =,...,66; φ α, β ~ Gamma( α, β, sendo α = 2, ; β c, d ~ Gamma( c, d, sendo c = 0, e d = 0,; = + φ, sendo 0 ; 0 = onde a predção é realzada aravés de ( Modelos paramércos Neses modelos, as axas bruas de moraldade são graduadas por meo da adequação da força de moraldade a uma função maemáca. Os modelos são calcados em modelos lneares generalzados bayesanos com base no modelo clássco não predvo descro em Haberman e Renshaw (996. Como nos modelos não paramércos apresenados, Haberman e Renshaw (996 consderaram o número de mores observadas por dade modelado como sendo Posson dsrbuído e a quandade cenral de exposos ao rsco observados como sendo consanes conhecdas. Enão, seja, mas uma vez, d o número de mores observadas na dade x + - e a quandade cenral de exposos ao rsco observados na dade x + - e, para =,...,66 e x =