Universidade de São Paulo Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz

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1 Unversdade de São Paulo Escola Superor de Agrculura Luz de Queroz O modelo de regressão odd log-logísca gama generalzada com aplcações em análse de sobrevvênca Fábo Praavera Dsseração apresenada para obenção do íulo de Mesre em Cêncas. Área de concenração: Esaísca e Expermenação Agronômca Praccaba 2017

2 Fábo Praavera Bacharel em Esaísca O modelo de regressão odd log-logísca gama generalzada com aplcações em análse de sobrevvênca versão revsada de acordo com a resolução CoPGr 6018 de 2011 Orenador: Prof. Dr. EDWIN MOISES MARCOS ORTEGA Dsseração apresenada para obenção do íulo de Mesre em Cêncas. Área de concenração: Esaísca e Expermenação Agronômca Praccaba 2017

3 2 Dados Inernaconas de Caalogação na Publcação DIVISÃO DE BIBLIOTECA - DIBD/ESALQ/USP Praavera, Fábo O modelo de regressão odd log-logísca gama generalzada com aplcações em análse de sobrevvênca / Fábo Praavera. versão revsada de acordo com a resolução CoPGr 6018 de Praccaba, p. Dsseração (Mesrado) de Queroz. USP / Escola Superor de Agrculura Luz 1. Análse de sobrevvênca 2. Censura aleaóra 3. Dsrbução odd loglogísca gama generalzada 4. Dsrbução gama generalzada 5. Smulação 6. Modelo de regressão log-odd log-logísca gama generalzada I. Tíulo.

4 3 DEDICATÓRIA Aos meus pas, João Basa Praavera e Zlda Aparecda Tolon Praavera, por odo o amor, o carnho, a pacênca e o apoo dedcados a mm. Ao meu rmão, Marcelo Henrque Praavera, pela amzade, rsadas, pacênca e pela confança em mm. Ao meu o, Glbero Aparecdo Praavera pela amzade, pelos ensnamenos e por odo apoo dedcados a mm. A eles, dedco ese rabalho.

5 4 AGRADECIMENTOS À Deus, pela força, para que eu pudesse prossegur os meus esudos com perseverança e sabedora. Ao meu orenador Prof. Dr. Edwn Moses Marcos Orega, pela compreensão e pela orenação no desenvolvmeno dese rabalho. À mnha Professora de graduação da UFSCar, Teresa Crsna Marns Das, pela orenação, pelos conselhos e ncenvo. Aos Professores Prof. Dr. Gauss Cordero, Prof. Dr. Adrano Kammura Suzuk e Prof. Dr. Alemr da Slva Braga por oda conrbução no desenvolvmeno dese rabalho. À CAPES - pela bolsa de mesrado concedda. À odos os professores do curso de Pós-graduação em Esaísca e Expermenação Agronômca, pelos ensnamenos e possbldades que conrbuíram para mnha formação acadêmca e em especal, aos professores, Profa. Sôna Mara De Sefano Pedade, Profa. Rosel Aparecda Leandro e Prof. Carlos Tadeu Dos Sanos Das. Às secreáras do Deparameno de Cêncas Exaas, Lucane Brajão e Solange de Asss Paes Sabadn e aos écncos de nformáca, Eduardo Bonlha e Jorge Alexandre Wendl, pela ajuda e boa vonade de vocês. À odos os amgos dos cursos de mesrado e douorado do Programa de Pósgraduação em Esaísca e Expermenação Agronômca, pelos momenos de esudos, desconração, a aenção e amzade. Enfm, a odos que me ajudaram de forma drea ou ndrea para o desenvolvmeno dese rabalho.

6 5 SUMÁRIO RESUMO ABSTRACT LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABELAS INTRODUÇÃO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Conceos báscos em análse de sobrevvênca Censura Gráfco TTT-plo A função de verossmlhança em análse de sobrevvênca Dsrbução gama generalzada Propredades e meddas de neresse Modelo de regressão Modelo de regressão locação-escala Inferênca esaísca Méodo de máxma verossmlhança Esaíscas AIC, BIC e CAIC DISTRIBUIÇÃO ODD LOG-LOGÍSTICA GAMA GENERALIZADA Inrodução Dsrbução odd log-logísca gama generalzada Represenação lnear para a dsrbução OLLGG Propredades maemácas Esmação va méodo de máxma verossmlhança com dados censurados Esudo va smulação Esudo va smulação sem censura Esudo va smulação consderando censura aleaóra Aplcações Aplcação Aplcação Conclusões DISTRIBUIÇÃO LOG-ODD LOG-LOGÍSTICA GAMA GENERALIZADA Inrodução Dsrbução odd log-logísca gama generalzada esendda Exensões úes e propredades esruuras Momenos ordnáros Momenos ncompleos Função geradora de momenos

7 Desvos médos Dsrbução log-odd log-logísca gama generalzada Modelo de regressão log-odd log-logísca gama generalzada Esmação va méodo de máxma verossmlhança com dados censurados Esudo va smulação Análse de resíduos Esudo va smulação Aplcação Conclusões Consderações fnas Pesqusas fuuras REFERÊNCIAS APÊNDICES

8 7 RESUMO O modelo de regressão odd log-logísca gama generalzada com aplcações em análse de sobrevvênca Propor uma famíla de dsrbução de probabldade mas ampla e flexível é de grande mporânca em esudos esaíscos. Nese rabalho é ulzado um novo méodo de adconar um parâmero para uma dsrbução conínua. A dsrbução gama generalzada, que em como casos especas a dsrbução Webull, exponencal, gama, qu-quadrado, é usada como dsrbução base. O novo modelo obdo em quaro parâmeros e é chamado odd log-logísca gama generalzada (OLLGG). Uma das caraceríscas neressane do modelo OLLGG é o fao de apresenar bmodaldade. Oura proposa dese rabalho é nroduzr um modelo de regressão chamado log-odd log-logísca gama generalzada (LOLLGG) com base na GG (Sacy e Mhram, 1965). Ese modelo pode ser muo úl, quando por exemplo, os dados amosrados possuem uma msura de duas populações esaíscas. Oura vanagem da dsrbução OLLGG consse na capacdade de apresenar váras formas para a função de rsco, crescene, decrescene, na forma de U e bmodal enre ouras. Desa forma, são apresenadas em ambos os casos as expressões explícas para os momenos, função geradora e desvos médos. Consderando dados nãocensurados e censurados de forma aleaóra, as esmavas para os parâmeros de neresse, foram obdas va méodo da máxma verossmlhança. Esudos de smulação, consderando dferenes valores para os parâmeros, porcenagens de censura e amanhos amosras foram conduzdos com o objevo de verfcar a flexbldade da dsrbução e a adequabldade dos resíduos no modelo de regressão. Para lusrar, são realzadas aplcações em conjunos de dados reas. Palavras-chave: Análse de sobrevvênca; Censura aleaóra; Dsrbução odd loglogísca gama generalzada; Dsrbução gama generalzada; Smulação; Modelo de regressão log-odd log-logísca gama generalzada

9 8 ABSTRACT The regresson model odd log-logscs generalzed gamma wh applcaons n survval analyss Provdng a wder and more flexble probably dsrbuon famly s of grea mporance n sascal sudes. In hs work a new mehod of addng a parameer o a connuous dsrbuon s used. In hs sudy he generalzed gamma dsrbuon (GG) s used as base dsrbuon. The GG dsrbuon has, as especal cases, Webull dsrbuon, exponenal, gamma, ch-square, among ohers. For hs move, s consdered a flexble dsrbuon n daa modelng procedures. The new model obaned wh four parameers s called log-odd log-logsc generalzed gamma (OLLGG). One of he neresng characerscs of he OLLGG model s he fac ha presens bmodaly. In addon, a regresson model regresson model called log-odd log-logsc generalzed gamma (LOLLGG) based by GG (Sacy e Mhram, 1965) s nroduced. Ths model can be very useful when, he sampled daa has a mxure of wo sascal populaons. Anoher advanage of he OLLGG dsrbuon s he ably o presen varous forms for he falng rae, as ncreasng, as decreasng, and he shapes of bahub or U. Explcy expressons for he momens, generang funcons, mean devaons are obaned. Consderng non-censored and randomly censored daa, he esmaes for he parameers of neres were obaned usng he maxmum lkelhood mehod. Smulaon sudes, consderng dfferen values for he parameers, percenages of censorng and sample szes were done n order o verfy he dsrbuon flexbly, and he resdues dsrbuuon n he regresson model. To llusrae, some applcaons usng real daa ses are carred ou. Keywords: Survval analyss; Random censorng; Odd log-logsc generalzed gamma dsrbuon; Generalzed gamma dsrbuon; Smulaon; Log-odd log-logsc generalzed gamma regresson model

10 9 LISTA DE FIGURAS 2.1 Gráfco lusravo de algumas curvas TTT-plo Gráfcos da dsrbução GG para dferenes valores dos parâmeros. (a) Função de densdade de probabldade. (b) Função de sobrevvênca. (c) Função de rsco Gráfcos da fdp OLLGG para dferenes valores dos parâmeros. (a) Fxando λ = 1. (b) Fxando = 2, τ = 3 e k = 10. (c) Fxando = 2, τ = 5 e λ = 0, Gráfcos da função de rsco OLLGG para dferenes valores dos parâmeros. (a) Função de rsco com forma de banhera (ou U). (b) Função de rsco unmodal. (c) Função de rsco crescene, decrescene, consane e ouras Assmera e curose para a dsrbução OLLGG em função de λ para alguns valores de k com = 2 e τ = Assmera e curose para a dsrbução OLLGG em função de τ para alguns valores de λ com = 2 e k = Comporameno da fdp OLLGG real e esmada. (a) n = 50. (b) n = 150. (c) n = Comporameno da fdp OLLGG real e esmada. (a) n = 50. (b) n = 150. (c) n = Comporameno da fdp OLLGG real e esmada consderando 0%, 10% e 30% de censura para os amanhos de amosras n =50, 150 e (a) Funções de densdade esmadas para os modelos OLLGG, GG e Webull para os dados de emperaura. (b) Funções de dsrbução esmadas para os modelos OLLGG, GG e Webull e dsrbução empírca para os dados de emperaura Curva TTT-plo para os dados de Ads Função de sobrevvênca esmada com ajuse da dsrbução OLLGG e alguns ouros modelos e sobrevvênca empírca para os dados de Ads. (a) OLLGG vs KGG e GG. (b) OLLGG vs BW, EGG e Webull Função de rsco esmada com ajuse da dsrbução OLLGG e alguns ouros modelos e rsco empírco para os dados de Ads. (a) OLLGG vs KGG e GG. (b) OLLGG vs BW, EGG e Webull Gráfcos da pdf OLLGG consderando dferenes valores dos parâmeros. (a) Para alguns valores de τ < 0 e = 1 fxo. (b) Para alguns valores de τ > 0 e = 1 fxo. (c) Para alguns valores de τ < 0 e τ > 0, = 2 e λ = 0, 15 fxos. 52

11 Gráfcos da função de rsco para a dsrbução OLLGG consderando dferenes valores dos parâmeros. (a) Para alguns valores de τ > 0, fxando = 1. (b) Para alguns valores de τ > 0. (c) Para alguns valores de τ < 0 e τ > 0. (d) Para alguns valores de τ < 0 fxando = 1 e λ = 0, 15. (e) Para alguns valores de τ < 0 e τ > 0 fxando = 2 e λ = 0, Gráfcos da fdp LOLLGG para alguns valores dos parâmeros. (a) Para alguns valores de q < 0 e µ = 2, σ = 1 e λ = 0, 25 fxos. (b) Para q = 0 fxo µ = 0, σ = 1, 5 e alguns valores de λ. (c) Para alguns valores de q > 0 e µ = 2, σ = 1 e λ = 0, 25 fxos Gráfcos normal probablísco para os resíduos r D para o cenáro 1. (a) Amosra de amanho n=50. (b) Amosra de amanho n= 150. (c) Amosra de amanho n = 350. Para porcenagens de censuras de 0%, 10% e 30% Gráfcos normal probablísco para os resíduos r D para o cenáro 2. (a) Amosra de amanho n=50. (b) Amosra de amanho n= 150. (c) Amosra de amanho n = 350. Para porcenagens de censuras de 0%, 10% e 30% Curva TTT-plo para os dados de níves de ensão Gráfco da função de sobrevvênca esmada com ajuse da dsrbução OLLGG e alguns ouros modelos e a sobrevvênca empírca para os dados de níves de ensão. (a) OLLGG, OLLW e OLLE. (b) OLLGG, GG e Webull Gráfco da função de rsco esmada com ajuse da dsrbução OLLGG e alguns ouros modelos e o rsco empírco para os dados de níves de ensão. (a) OLLGG, OLLW e OLLE. (b) OLLGG, GG e Webull (a) Função de sobrevvênca esmada consderando o modelo de regressão LOLLGG para os dados de níves de ensão. (b) Gráfco normal probablísco para os resíduos devance com envelope

12 11 LISTA DE TABELAS 2.1 Casos parculares da dsrbução GG EMs, desvos padrão e erros quadrácos médo (EQM) para os parâmeros da dsrbução OLLGG EMs e erros quadrácos médo (EQM) para os parâmeros da dsrbução OLLGG EMVs para os parâmeros dos modelos OLLGG, KumGG, EGG, GG, Webull e BW para os dados de emperaura, correspondenes erros padrão (enre pareneses) e os valores das esaíscas AIC, CAIC e BIC TRV para os dados de emperaura EMVs dos parâmeros dos modelos OLLGG, KumGG, EGG, GG, Webull e BW para os dados de Ads, correspondenes erros padrão (enre pareneses) e valores das esaíscas AIC, BIC e CAIC TRV para os dados de Ads Alguns submodelos para τ > Alguns submodelos para τ < EMs e (EQMs) para os parâmeros da dsrbução LOLLGG EMVs para os parâmeros do modelo para os dados de níves de ensão, os correnpondenes EPs (dados em parêneses) e as esaíscas AIC, CAIC e BIC TRV para os dados de níves de ensão EMVs, EPs e p-valor para o modelo de regressão LOLLGG ajusado para os dados de níves de ensão

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14 13 1 INTRODUÇÃO Esaísca é uma cênca que esuda problemas que envolvem conhecmeno de dversas áreas, meodologas e écncas como: probabldade, análse mulvarada, écncas de amosragem, análse de sobrevvênca e ouras. Enre esas, a análse de sobrevvênca é uma das áreas de grande neresse de esudo e pesqusa. Como exemplo, a aplcação de al meodologa, pode ser o esudo do empo de vda de pacenes com deermnada doença e o esudo do empo de falha de um componene elerônco. O esudo de empos é denomnado análse de sobrevvênca na área médca e análse de confabldade na área ndusral. Os dados de sobrevvênca apresenam caraceríscas que os dferencam de ouros procedmenos de análse. A prmera é que essa varável possu supore R +, porano, não é razoável assumr que em dsrbução normal e geralmene, apresena dsrbução assmérca posva. A segunda caracerísca muo frequene em dados de sobrevvênca é a presença de observações censuradas, so é, para alguns elemenos em esudo não se conhece o empo de neresse exao, mas apenas que ocorre à drea ou à esquerda de um cero valor. Usualmene, dados censurados ocorrem, pos nem sempre é possível esperar que o eveno de neresse ocorra para odos os elemenos em esudo. As observações censuradas devem ser nroduzdas na análse esaísca por duas razões (Colosmo e Golo, 2006): () mesmo sendo ncompleas, elas fornecem nformações sobre o empo de vda de pacenes e () a omssão das censuras no cálculo das esaíscas de neresse pode acarrear conclusões vcadas. Exsem dversos pos de censura, nese rabalho consderou-se censura à drea sob o mecansmo aleaóro e não nformava. Além dsso, nos esudos de dados relaconados a sobrevvênca, na maora das vezes a varável de neresse, o empo, é nfluencado por uma ou váras covaráves que apresenam caraceríscas dos ndvíduos em esudo. Desa forma, a nclusão de covaráves em um modelo de regressão é uma manera de explcar a heerogenedade ou a varabldade presene nos empos de falha. Desa forma, sob o enfoque de modelos de regressão paramércos em análse de sobrevvênca algumas dsrbuções clásscas assocadas à varável resposa podem ser consderadas: dsrbução Webull, dsrbução exponencal e dsrbução log-normal (Lawless, 2003). Porém, em algumas suações prácas as dsrbuções não possuem flexbldade para modelar algumas formas que a função de rsco pode assumr, como por exemplo, a forma U e bmodal. Isso em levado a generalzações e modfcações de dsrbuções conínuas com a fnaldade de ober maor flexbldade nas formas da função de rsco. No conexo de novos modelo de probabldade, Mudholkar e al. (1995) apresenaram uma exensão da dsrbução Webull, a chamada dsrbução Webull expo-

15 14 nencada, que possu uma classe mas ampla de funções de rsco nas formas unmodal e U. A flexbldade desa dsrbução fo lusrada por meo de aplcações em cnco conjunos de dados clásscos com censura. Eugene e al. (2002) apresenaram a classe bea generalzada (Bea-G) de dsrbuções ulzando a dsrbução bea-normal, baseada na composção da dsrbução bea e da dsrbução normal. Ouras generalzações podem ser vsas em Mudholkar e al. (1996) e Marshall e Olkn (1997). Carrasco e al. (2008) propuseram a dsrbução Webull modfcada generalzada, uma dsrbução com quaro parâmeros, capaz de modelar as formas unmodas e de U da função de rsco, e possu como casos parculares as dsrbuções exponencal exponencada, a Webull exponencada e a Raylegh generalzada. Pascoa e al. (2011) nroduzem e esudam a dsrbução Kumaraswamy gama generalzada (KumGG) com cnco parâmeros. Sua mporânca resde na sua capacdade de modelar funções de rsco monóona e não-monóona que são basane comuns em dados de análse de sobrevvênca e confabldade, e possu alguns submodelos especas como, a gama generalzada exponencada, a Webull exponencada, a sem normal exponencada e a sem normal generalzada, enre ouros. Ouros rabalhos realzados recenemene neses emas são, Cordero e al. (2011), Cordero e al. (2013a), Cordero e al. (2013b) e Cruz e al. (2016). O objevo dese rabalho é propor o esudo de uma nova dsrbução. Esa nova dsrbução é obda, modfcando-se uma dsrbução de base conínua pela adção de um parâmero de forma por meo da écnca de Gleaon e Lynch (2006). Desa manera, é apresenado a modfcação da dsrbução gama generalzada (Sacy, 1962). Esa nova dsrbução denomnada por dsrbução odd log-logísca gama generalzada (OLLGG) em como vanagens a modelagem de dados com bmodaldade, assm como, a obenção de funções de rscos crescene, decrescene, unmodas, em forma de U enre ouras. Também fo consderada oura nova dsrbução denomnada log-odd log-logísca gama generalzada (LOLLGG) que é baseada na dsrbução gama generalzada (Sacy e Mhram, 1965). Algumas propredades das dsrbuções proposas são apresenadas. Em parcular para o modelo LOLLGG consderou-se o modelo de regressão na forma locação-escala. O rabalho esá organzado da segune manera. No Capíulo 2 são apresenados alguns conceos báscos em análse de sobrevvênca, complemenado por um breve esudo da dsrbução gama generalzada. No Capíulo 3 a dsrbução odd log-logísca gama generalzada é obda a parr da dsrbução gama generalzada. Algumas caraceríscas e propredades desa dsrbução são apresenadas. Um esudo de smulação é realzado para verfcar as propredades assnócas do novo modelo. Duas aplcações são realzadas para lusrar a flexbldade do modelo proposo. No Capíulo 4 o novo modelo chamado modelo de regressão log-odd log-logísca gama generalzada é obdo a parr da ransformação logarímca. Sob a abordagem de modelos de regressão locação-escala

16 15 um esudo de smulação é realzado para avalar os resíduos do novo modelo. Uma aplcação com dados censurados é realzada para lusrar a aplcabldade do modelo. Por fm, no Capíulo 5, são apresenadas as consderações fnas e as perspecvas para rabalhos fuuros.

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18 17 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Nese capíulo são apresenados alguns conceos báscos para o desenvolvmeno de esudos em análse de sobrevvênca. 2.1 Conceos báscos em análse de sobrevvênca Em análse de sobrevvênca as observações (ou resposas) são caracerzadas pelos empos de falhas, ou ambém pela presença de censura. Tal meodologa é ulzada quando se deseja analsar dados correspondenes ao empo de ocorrênca de um eveno de neresse. Desa forma, seja T uma varável aleaóra (v.a) não-negava e conínua que represena o empo de sobrevvênca de um ndvíduo (ou um em) e pode ser expressa por funções maemácas. Na sequênca, são defndas as funções de densdade de probabldade (fdp), f(), a de dsrbução acumulada (fda), F (), a de sobrevvênca, S() e de rsco ou axa de falha, h(). A fdp de uma v.a T posva, com probabldade de um ndvíduo sofrer o eveno de neresse no empo, é dada por P ( T < + ) f() = lm. 0 A função de sobrevvênca é defnda como a probabldade de um ndvíduo não falhar (ou sobrevver) a parr de um empo de orgem para algum empo além de, é dada por S() = P (T > ) = 1 P (T ) = 1 0 f(u)du = 1 F (), em que F () é a probabldade de um ndvíduo sofrer o eveno de neresse aé o empo. A função de rsco é a probabldade de falha nsanânea de um ndvíduo dado que o mesmo sobrevveu aé o empo. A função de rsco é defnda por P ( T < + T ) h() = lm. 0 A parr das funções defndas anerormene, podemos ober algumas relações mporanes, como e no qual h() = f() S() ou h() = d {log S()}, d S() = exp [ H()], H() = 0 h(u)du é a função de rsco acumulado. Além dsso, o conhecmeno de uma função, por exemplo f(), mplca no conhecmeno das ouras funções, F (), S(), h() e H().

19 Censura As razões da ocorrênca de dados com censura são váras, como por exemplo, a falha dos ndvíduos por razões dferenes daquelas de neresse; planejameno do esudo; perda de regsros, denre ouras. Enreano, em uma análse, é mporane consderar odas as nformações a respeo da varável de neresse, nclusve os regsros de nformações censuradas. A omssão de as observações podem nos levar à conclusões endencosas ou vcadas ao calcular esaíscas de neresse. Para o caso em que odos os ndvíduos sob esudo falharam, o empo aé a ocorrênca da falha de cada ndvíduo é conhecdo. Ese caso é chamado de dados compleos. Os dados de sobrevvênca podem ser represenados pelo par (, δ ), em que = 1,..., n, sendo o empo de falha ou de censura do -ésmo ndvíduo e δ a função ndcadora de censura, dada por { 1, se é uma observação complea, δ = 0, se é uma observação censurada. No âmbo de esudos que envolvem dados censurados exsem dversos mecansmos de censuras para realzar as análses esaíscas: Censura po I: o esudo é ermnado após um período pré-esabelecdo de empo, sendo que alguns ndvíduos não sofreram o eveno de neresse, ou seja, não falharam. Desa manera, o empo de falha de odos os ndvíduos que não puderam ser observados compleamene, passam a ser consderados como censura. Censura po II: anes do níco do expermeno é pré-esabelecda uma quandade r de ndvíduos (ou ens) e o esudo é ermnado após r ocorrênca do eveno de neresse. Assm, para um esudo com n ndvíduos ao fnal eremos n r observações censuradas. Censura aleaóra: caracerzada pela perda de acompanhameno do ndvíduo no decorrer do esudo sem ese er apresenado o eveno de neresse (falha). Na práca, ese é o po de censura que mas aparece, sendo represenado por meo de duas v.a ndependenes T e C, em que a v.a T represena o empo de falha do - ésmo ndvíduo e a v.a C represena o empo de censura assocado a ese ndvíduo. Nese caso, o empo da -ésma observação é dado por = mn(t, C ). Censura nervalar: é conhecdo que o eveno de neresse ocorreu em um cero nervalo de empo. Ou seja, o empo de falha não é conhecdo exaamene, mas perence ao nervalo de empo (L, U]. Ouros mecansmos de censura, como por exemplo, à esquerda e à drea podem ser enconrados em Meeker e Escobar (1998) e Colosmo e Golo (2006).

20 Gráfco TTT-plo Barlow e Campo (1975) propuseram uma écnca gráfca para verfcar o comporameno da função de rsco, chamado de TTT-plo (empo oal em ese). A curva TTT é obda consrundo um gráfco de ( r G = n) r =1 T :n + (n r)t r:n r =1 T :n em função de r n, em que n é o amanho da amosra, r = 1,..., n e T :n, = 1,..., n são esaíscas de ordem da amosra. Ulzando-se a curva TTT pode-se deecar o po de função de rsco que os dados de empos de vda em esudo possuem. Na Fgura 2.1 é apresenado o comporameno da função de rsco ulzando-se o TTT-plo. Fgura 2.1. Gráfco lusravo de algumas curvas TTT-plo. Da Fgura 2.1 podemos observar os segunes padrões de curvas: função de rsco consane (rea A); curva convexa se a função de rsco é decrescene (curva B); curva côncava se a função de rsco é crescene (curva C); curvaura convexa e depos côncava função de rsco em forma de U (curva D); curvaura côncava e depos convexa função de rsco unmodal (curva E). Em suações em que a curva apresena váras regões côncavas e depos convexas ese comporameno drecona para o ajuse de uma função de rsco mulnomal. Essas curvas podem ser ajusadas aravés da dsrbução de múlplos rscos (Louzada-Neo e de Bragança Perera, 2000).

21 A função de verossmlhança em análse de sobrevvênca Aravés do méodo de máxma verossmlhança é possível ncorporar as censuras presenes em muos dados de empo de vda. Seja uma amosra de v.a s ndependenes T 1, T 2,..., T n de empos de sobrevvênca. Supondo que os dados conssem em n pares observados ( 1, δ 1 ), ( 2, δ 2 ),..., ( n, δ n ) em que é o empo de sobrevvênca ou censura, δ é o ndcador de censura. Nese caso, a função de verossmlhança consderando censura não nformava é dada por L(θ) = n [f( ; θ)] δ [S( ; θ)] 1 δ, =1 em que θ é o veor de parâmeros desconhecdos, f( ) e S( ) são as funções de densdade de probabldade e de sobrevvênca para cada v.a T, respecvamene. Observa-se que a conrbução de cada observação não censurada é a sua função de densdade e que cada observação censurada conrbu com a função de sobrevvênca. 2.2 Dsrbução gama generalzada Em uma forma mas geral, a dsrbução gama possu rês parâmeros, e é conhecda como gama generalzada (GG). A dsrbução GG nroduzda por Sacy (1962) é um modelo basane ulzado para analsar dados assmércos. Esa dsrbução, possu como casos parculares, além da dsrbução gama, ouras dsrbuções mporanes, como a exponencal, Webull, Raylegh e qu-quadrado. A dsrbução GG acomoda dferenes formas para a função de rsco, como crescene, decrescene, unmodal e de U. Seja T uma varável aleaóra conínua, que assume valores não-negavos. Temse que T segue uma dsrbução de probabldade gama generalzada, se sua fdp é dada por g(;, τ, k) = τ ( ) τk 1 { ( ) τ } exp, (2.1) Γ(k) com > 0, > 0 é o parâmero de escala, τ > 0 e k > 0 são os parâmeros de forma e Γ(k) é a função gama defnda por Γ(k) = 0 w k 1 e w dw. A função GG defnda pela equação (2.1) esá mplemenada no sofware R (R Developmen Core Team, 2014) no pacoe flexsurv ulzando a função dgengamma.org, que represena a orgnal paramerzação de Sacy (1962). Desa forma, é possível ulzá-la em procedmenos compuaconas como, smulações de valores e consrução de gráfcos como os apresenados na Subseção

22 Propredades e meddas de neresse Alguns auores esudaram as propredades da dsrbução GG. Denre eles Sacy e Mhram (1965), Prence (1974) e Lawless (2003). A esperança e a varânca da dsrbução GG são dadas por e E[T ] = Γ ( ) τk+1 τ Γ(k) [ ( ) V [T ] = 2 τk + 2 Γ Γ(k) τ [ ( Γ τk+1 τ Γ(k) )] 2 ]. A fda G(;, τ, k), a função de sobrevvênca S(;, τ, k) e a função de rsco h(;, τ, k) são expressas, respecvamene, por ( ) τ ) G(;, τ, k) = γ 1 (k, = γ(k, (/)τ ) Γ(k) ( ) τ ) S(;, τ, k) = 1 G(;, τ, k) = 1 γ 1 (k, h(;, τ, k) = f(;, τ, k) S(;, τ, k) = ( ) τ ) = γ 1 (k,, > 0, (2.2) { τk 1 exp ( )τ} w τk 1 exp { ( w)τ} dw, em que γ (k, x) = x 0 wk 1 e w dw é a função gama ncomplea. Ouras propredades de neresse são os momenos e a função geradora de momenos. O j-ésmo momeno da varável aleaóra T com dsrbução GG é dada por e µ j = j Γ (k + j/τ), Γ(k) j/τ > k. A função geradora de momenos da dsrbução GG é dado por M T (r) = 1 Γ(k) m=0 Γ (k + m/τ) (r)m. m! Um fao neressane da dsrbução GG é que esa possu como casos parculares dsrbuções conhecdas na leraura. Na Tabela 2.1 são lsadas algumas desas dsrbuções. O comporameno da dsrbução GG é apresenado na Fgura 2.2 consderando dferenes valores dos parâmeros para as funções fdp (a), sobrevvênca (b) e de rsco (c). Esa fgura mosra o quano a dsrbução GG é flexível como, por exemplo, Fgura 2.2c as formas que a função de rsco pode assumr, como unmodal e em forma de U.

23 22 Tabela 2.1. Casos parculares da dsrbução GG. Dsrbução τ k Gama 1 k Webull τ 1 Exponencal 1 1 n Qu-Quadrado Qu 2 2 n 2 Qu-escala 2σ 2 n 2 Raylegh Maxwell 2 2 Normal dupla Normal crcular Normal esférca Sem Normal Generalzada 2 1 2γ θ 2γ 1 2 Sem Normal θ 2 2 (a) (b) (c) g() =1,50;τ=1,00;k=1,50 =6,00;τ=4,00;k=5,00 =2,00;τ=1,00;k=1,00 =2,00;τ=1,50;k=8,00 =3,50;τ=5,50;k=0,45 S() =1,50;τ=1,00;k=1,50 =6,00;τ=4,00;k=5,00 =2,00;τ=1,00;k=1,00 =2,00;τ=1,50;k=8,00 =3,50;τ=5,50;k=0,45 h() =1,50;τ=1,00;k=1,50 =6,00;τ=4,00;k=5,00 =2,00;τ=1,00;k=1,00 =2,00;τ=1,50;k=8,00 =3,50;τ=5,50;k=0, Fgura 2.2. Gráfcos da dsrbução GG para dferenes valores dos parâmeros. (a) Função de densdade de probabldade. (b) Função de sobrevvênca. (c) Função de rsco. 2.3 Modelo de regressão Na práca, é comum a ocorrênca de suações em que uma ou mas covaráves esão relaconadas aos empos de sobrevvênca, so é, os empos de falha são nfluencados por covaráves. Na área bomédcas, por exemplo, podem ser a dade, a alura, um po de umor cancerígeno, a quandade de hemoglobna no sangue, ec. Tas covaráves explcam pare da heerogenedade do empo aé a ocorrênca do eveno de neresse. Consdere T uma v.a e seja x = (x 1, x 2,..., x p ) um veor com p covaráves. Uma manera de esabelecer relação enre T e x é por meo da ulzação de modelos de regressão.

24 23 O modelo de regressão paramérco é uma manera de esudar o efeo que as covaráves causam no empo de resposa. Na leraura esses modelos são conhecdos como modelos de empo de vda acelerados ou ambém locação e escala. Muos rabalhos sobre dversos pos de modelos de regressão podem ser enconrados em Cox (1972), Cox e Oakes (1984), Kalbflesch e Prence (2002), Lawless (2003) e Nelson (2009), enre ouros Modelo de regressão locação-escala A classe de modelos de locação e escala consse em ulzar a ransformação logarímca dos empos, Y = log(t ), de al forma que para um veor de covaráves, o logarmo do empo possu uma dsrbução com um parâmero de locação, µ ( < µ < ) que depende das varáves regressoras (covaráves), e um parâmero de escala, σ (σ > 0). As dsrbuções que perencem a essa famíla êm fdp dada por f(y; µ, σ) = 1 ( ) y µ σ g, < y <, σ e pode-se escrever o modelo log-lnear da segune forma Y = µ(x) + σz, em que Y perence a famíla de dsrbuções locação e escala, Z é o erro aleaóro e x é o veor de covaráves. Uma mporane caracerísca dese modelo é que as varáves regressoras possuem efeo mulplcavo sobre T, so é, T = exp[µ(x)] exp[σz]. Assm, o parâmero de locação µ escro em ermos das covaráves é dado por µ(x) = x β, em que β = (β 1, β 2,..., β p ) é o veor de parâmeros desconhecdos. Ese modelo possu ) efeo lnear em Y e a função de sobrevvênca de Y dado x é da forma G, em que G(z) é a função de sobrevvênca de Z e z = ( y µ(x) σ ). ( y µ(x) σ 2.4 Inferênca esaísca Assumndo que o modelo de regressão ulzado é adequado para análse dos dados, a próxma eapa é ulzar um méodo de esmação para os parâmeros e realzar o processo de nferênca. Para esmação dos parâmeros do modelo de regressão, váras abordagens podem ser ulzadas, as como o méodo de máxma verossmlhança, o méodo de Jackknfe, a análse bayesana, enre ouros. Nese rabalho, é consderado o processo de esmação va méodo de máxma verossmlhança.

25 Méodo de máxma verossmlhança Sejam (y 1, x 1, δ 1 ),..., (y n, x n, δ n ), n observações ndependenes em que y = log( ), represena o logarmo do empo de falha ou censura, x = (x 1,..., x p ) T é o veor de covaráves e δ é o ndcador de censura, para = 1,..., n. Desa manera, o logarmo da função de verossmlhança para o veor de parâmeros θ = (θ 1,..., θ p ) T dado por l(θ) = F log [f(y )] C log [S(y )], em que f(y) e S(y) são as funções densdade de probabldade e sobrevvênca da v.a Y e F e C denoam o conjuno de observações não censuradas e censuradas, respecvamene. As propredades assnócas dos esmadores de máxma verossmlhança são necessáras para consrução de nervalos de confança e eses de hpóeses sobre os parâmeros do modelo. Sob ceras condções de regulardade ˆθ em assnocamene uma dsrbução normal mulvarada com méda θ e marz de varânca e covarânca ] dada pelo nverso da marz de nformação de Fsher (I(θ) 1 ), em que I(θ) = E [ L(θ), al { } que, L(θ) = 2 l(θ). θ θ T Como o cálculo da marz de nformação I(θ) é complcado, devdo às observações censuradas, pode-se usar a marz Hessana, L(θ), avalada em θ = ˆθ, que é um esmador conssene para I(θ). Porano, a dsrbução para ˆθ é especfcada por ˆθ T N (d) ( θ T, L(θ) 1 ), em que L(θ) é a marz de nformação observada, denoada nese rabalho por J(θ) ou K(θ) e d é o número de parâmeros do modelo. Além dsso, pode-se ober os nervalos de confança aproxmados para os parâmeros ndvdualmene e ambém a realzação de eses de hpóeses na dscrmnação do modelo proposo em relação aos modelos encaxados. é 2.5 Esaíscas AIC, BIC e CAIC Alguns créros comuns na leraura podem ser ulzados para seleção de modelos. Esses créros levam em consderação a complexdade do modelo no créro de seleção. São créros que penalzam a verossmlhança, ulzando o número de parâmeros a serem esmados e o amanho da amosra. Enre os créros de seleção de modelos, os ulzados nese esudo são: AIC - Créro de nformação de Akake (Akake, 1974), dado por AIC = 2l(θ) + 2d. CAIC - Créro de nformação de Akake corrgdo (Bozdogan, 1987), dado por CAIC = AIC + 2d(d + 1) n d 1,

26 25 BIC - Créro de nformação bayesano (Schwarz e al., 1978), dado por BIC = 2l(θ) + d log(n). em que l(θ) é o logarmo da função de verossmlhança, d o número de parâmeros do modelo e n o amanho da amosra em esudo.

27 26

28 27 3 DISTRIBUIÇÃO ODD LOG-LOGÍSTICA GAMA GENERALIZADA 3.1 Inrodução A leraura esaísca é preenchda com cenenas de dsrbuções unvaradas conínuas. Desenvolvmenos recenes concenram-se em novas écncas para a consrução de modelos sgnfcavos e muos méodos em sdo proposos para nroduzr-se um ou mas parâmeros para gerar novas dsrbuções. Enre eses méodos, a composção de algumas dsnas e mporanes dsrbuções para o empo de vda em sdo a vanguarda da modelagem em esudos de análse de sobrevvênca e váras famílas de dsrbuções foram nvesgadas. A dsrbução log-logísca (LL) com um parâmero de forma λ > 0 é um modelo úl para a análse de sobrevvênca e é uma alernava à dsrbução log-normal. Ao conráro da dsrbução de Webull mas comumene ulzada, a dsrbução LL em uma função de rsco não-monoônca, que a orna adequada para a modelagem em sobrevvênca para alguns pos de dados relaconados ao esudo de câncer. Para λ > 1, a função axa de rsco é unmodal e quando λ = 1, o rsco dmnu monooncamene. O fao de sua fda er uma expressão analíca em ermos de funções conhecdas é parcularmene úl para a análse de dados de sobrevvênca com censura. Uma generalzação da LL é a famíla de dsrbuções odd log-logísca (OLL) proposa por Gleaon e Lynch (2006). Os auores chamam esa famíla de famíla loglogísca generalzada (GLL). Recenemene, Cruz e al. (2016) propuseram a odd loglogísca Webull; da Slva Braga e al. (2016) esudaram a dsrbução odd log-logísca normal e Cordero e al. (2016) propuseram a famíla bea odd log-logísca generalzada. Nese sendo, é desenvolvdo uma meodologa semelhane para propor um novo modelo baseado na dsrbução gama generalzada (GG). A dsrbução GG desempenha um papel muo mporane em problemas de nferênca esaísca pela flexbldade e por er modelos conhecdos como caso parcular o que perme esar a qualdade de ajuse com as modelos. Ao modelar a funções de rsco monóonas, a dsrbução Webull pode ser uma alernava ncal devdo suas formas de densdade negava e posvamene nclnada. No enano, a dsrbução não apresena um ajuse paramérco razoável para fenômeno de modelagem com rscos não monóonos, como a forma de banhera e unmodal, que são comuns em esudos bológcos e de confabldade. Ouras exensões da dsrbução GG foram desenvolvdos para modelagem de dados de sobrevvênca. Por exemplo, Cordero e al. (2011) defnram a gama generalzada exponencada, Pascoa e al. (2011) nroduzram a dsrbução Kumaraswamy gama generalzada, Orega e al. (2011) propuseram a gama generalzada geomérca, Cordero e al. (2013b) esudaram a dsrbução bea gama generalzada, Lucena e al.

29 28 (2015) defnram a dsrbução gama generalzada ransmuada e Slva e al. (2016) propuseram a dsrbução sére de poênca gama generalzada. Dada uma fda conínua de base G(; ξ), com um veor de parâmeros ξ, a fda da dsrbução odd log-logsc-g ( OLL-G ), com um parâmero de forma adconal λ > 0, é defnda por F () = G(;ξ)/ Ḡ(;ξ) O parâmero λ pode ser escro como 0 λ x λ 1 (1 + x λ ) dx = G(; ξ) λ. (3.1) 2 G(; ξ) λ + Ḡ(; ξ)λ λ = log [ F ()/ F () ] [ e Ḡ(; ξ) = 1 G(; ξ) log G()/Ḡ()] e λ represena o quocene do logarmo da razão enre as dsrbuções gerada, F () e de base, G(; ξ). Noa-se que não há uma função complcada na equação (3.1) em comparação com a famíla bea generalzada (Eugene e al., 2002), a qual nclu dos parâmeros exras e ambém envolve a função bea ncomplea. A dsrbução de base G(; ξ) é um caso especal de (3.1) quando λ = 1. Se G(; ξ) = /(1 + ), esa reduz-se a dsrbução LL. A parr da equação (3.1) é possível gerar váras dsrbuções. Por exemplo, as dsrbuções odd log-logísca Fréche e a odd log-logísca gama são obdas omando G(; ξ) como sendo a fda Fréche e gama, respecvamene. A fdp da nova dsrbução é dada por f() = λg(; ξ) {G(; ξ)[1 G(; ξ)]}λ 1 {G(; ξ) λ + [1 G(; ξ)] λ} 2. (3.2) A famíla OLL-G de densdades (3.2) perme uma maor flexbldade de suas caudas e pode ser amplamene aplcada em muas áreas da engenhara e bologa. Algumas de suas propredades maemácas podem ser esudadas, pos é possível a exensão para váras dsrbuções bem conhecdas. A pare nferencal dese modelo é realzada ulzando a dsrbução assnóca dos esmadores de máxma verossmlhança. Porém, nas suações em que o amanho da amosra é pequeno ou moderado, os resulados da nferênca em relação aos parâmeros do modelo podem ser runs va esudos de smulações. A sequênca do capíulo esá organzado da segune forma: na Seção 3.2, é apresenado a defnção da dsrbução odd log-logísca gama generalzada (OLLGG). Na Seção 3.3, uma represenação lnear para a dsrbução OLLGG é apresenado. Algumas propredades maemáca são desenvolvdas na Seção 3.4. Assumndo dados censurados, é realzado uma análse clássca va méodo de máxma verossmlhança para os parâmeros do modelo na Seção 3.5. Na Seção 3.6 são apresenados os resulados va esudo de smulação. Duas aplcações para conjunos de dados reas são realzadas na Seção 3.7. Conclusões são apresenadas na Seção 3.8.

30 Dsrbução odd log-logísca gama generalzada A fdp e a fda da dsrbução OLLGG (para > 0) são defndas subsundo (2.2) e (2.1) nas equações (3.1) e (3.2), respecvamene. Assm, a fdp da OLLGG é dada por f() = λ τ (/)τ k 1 exp[ (/) τ ]{γ 1 (k, (/) τ )[1 γ 1 (k, (/) τ )]} λ 1 Γ(k) {γ λ 1 (k, (/) τ ) + [1 γ 1 (k, (/) τ )] λ } 2, > 0, (3.3) em que > 0 é o parâmero de escala e os ouros parâmeros posvos τ, k e λ são de forma. A vanagem de (3.3) é a sua capacdade de ajusar dados assmércos e bmodas devdo a nclusão do parâmero λ. As dsrbuções Webull e GG são os mas mporanes submodelos de (3.3) para λ = k = 1 e λ = 1, respecvamene. A dsrbução OLLGG se aproxma da dsrbução log-normal (LN), quando λ = 1 e k. Ouros submodelos podem ser medaamene obdos a parr da Tabela 2.1: OLL - Gamma, OLL - Qu - Quadrado, OLL - Qu, OLL - Qu-Escalar, OLL - exponencal, OLL - Webull, OLL - Raylegh, OLL - Maxwell e OLL - Normal dupla, OLL - Normal Crcular, OLL - Normal esférca, OLL - Sem normal generalzada e OLL - Sem normal. Se T é uma v.a com fdp (3.3), pode-se denoar T OLLGG(, τ, k, λ). funções de sobrevvênca e rsco correspondenes a (3.3) são e S() = 1 F () = [1 γ 1 (k, (/) τ )] λ γ λ 1 (k, (/) τ ) + [1 γ 1 (k, (/) τ )] λ (3.4) h() = λ τ (/)τ k 1 exp[ (/) τ ]γ1 λ 1 (k, (/) τ ){γ1 λ(k, (/)τ ) + [1 γ 1 (k, (/) τ )] λ } Γ(k) {γ1 λ(k, (/)τ ) + [1 γ 1 (k, (/) τ )] λ } 2 [1 γ 1 (k, (/) τ, (3.5) )] respecvamene. A represenação gráfca da fdp OLLGG para alguns valores dos parâmeros seleconados são apresenados na Fgura 3.1. Nesa fgura, é verfcado que a forma bmodal é obda para valores de λ < 1. A função de rsco (3.5) é basane flexível para modelar os dados de sobrevvênca como apresenadas na Fgura 3.2 para dferenes valores dos parâmeros. A parr de esudos numércos para város valores de parâmeros é mosrado na Fgura 3.2c uma nova foma para a função de rsco. A OLLGG pode ser smulada nverendo a equação (3.1) e assumndo como função de base a GG, assm = Q GG ( u 1/λ (1 u) 1/λ + u As ),, τ, k, (3.6) 1/λ em que u em dsrbução unforme U(0, 1) e Q GG ( ) = G 1 ( ) é a função quanílca da GG. Algumas propredades da dsrbução OLLGG são: Se T OLLGG(, τ, k, λ) enão bt OLLGG(b, τ, k, λ), b > 0. Se T OLLGG(, τ, k, λ) enão T m OLLGG( m, τ/m, k, λ), m 0.

31 30 (a) (b) (c) f() =2,00;τ=1,00;k=1,00 =3,50;τ=2,70;k=1,00 =2,00;τ=1,00;k=1,50 =1,50;τ=1,00;k=2,50 =1,80;τ=2,00;k=1,00 f() λ=0,15 λ=0,25 λ=0,30 λ=0,35 λ=0,45 f() k=10,00 k=15,00 k=20,00 k=25,00 k=30, Fgura 3.1. Gráfcos da fdp OLLGG para dferenes valores dos parâmeros. (a) Fxando λ = 1. (b) Fxando = 2, τ = 3 e k = 10. (c) Fxando = 2, τ = 5 e λ = 0, 15. (a) (b) (c) h() =0,35;τ=1,50;k=0,15;λ=0,15 =0,45;τ=2,00;k=0,20;λ=0,20 =0,55;τ=2,50;k=0,25;λ=0,25 =0,60;τ=3,00;k=0,30;λ=0,30 =0,65;τ=3,50;k=0,35;λ=0,35 h() =0,20;τ=0,55;k=2,35;λ=1,20 =0,25;τ=0,60;k=2,40;λ=1,25 =0,30;τ=0,65;k=2,45;λ=1,50 =0,35;τ=0,70;k=2,00;λ=1,10 =0,40;τ=0,75;k=2,00;λ=1,35 h() =0,25;τ=3,00;k=8,00;λ=0,10 =0,50;τ=3,50;k=8,00;λ=0,15 =1,00;τ=1,00;k=1,00;λ=1,00 =0,35;τ=0,70;k=2,30;λ=1,10 =1,55;τ=1,25;k=0,55;λ=1, Fgura 3.2. Gráfcos da função de rsco OLLGG para dferenes valores dos parâmeros. (a) Função de rsco com forma de banhera (ou U). (b) Função de rsco unmodal. (c) Função de rsco crescene, decrescene, consane e ouras. 3.3 Represenação lnear para a dsrbução OLLGG Prmero, defn-se a dsrbução gama generalzada exponencada ( Exp-GG ), denoada por W Exp c (GG) com parâmero de poênca c > 0, se W em fda e fdp dadas por H c () = G(;, τ, k) c e h c () = c τ Γ(k) ( ) τ k 1 [ ( ) τ ] exp G(;, τ, k) c 1, respecvamene. Em um conexo geral, as propredades das dsrbuções exponencada- G (Exp-G) foram esudadas por város auores para alguns modelos de base G, ver

32 31 Mudholkar e al. (1995) e Mudholkar e al. (1996) para Webull exponencada, Nadarajah (2006) para Gumbel exponencada, Kakde e Shrke (2006) para log-normal exponencada e Nadarajah e Gupa (2007) para dsrbuções gama exponencada. Veja, ambém, Nadarajah e Koz (2006), enre ouros. A segur, é obdo uma expansão para F (;, τ, k, λ) usando a sére de poênca para G(;, τ, k) λ (λ > 0 real) G(;, τ, k) λ = a j G(;, τ, k) j, (3.7) j=0 em que a j = a j (λ) = ( ) ( ) λ u ( 1) j+u. u j u=j Para qualquer real λ > 0, é consderado a expansão bnomal generalzada dada por [1 G(;, τ, k)] λ = Subsundo (3.7) e (3.8) na equação (3.1), obém-se j=0 F (;, τ, k, λ) = a j G(;, τ, k) j j=0 b j G(;, τ, k), j ( ) λ ( 1) j G(;, τ, k) j. (3.8) j j=0 em que b j = a j + ( 1) j ( λ j) para j 0. A razão enre duas séres de poênca pode ser expressa como F (;, τ, k, λ) = c j G(;, τ, k) j, (3.9) j=0 em que c 0 = a 0 /b 0 e os coefcenes c j s (para j 1) são deermnados pela equação de recorrênca c j = b 1 0 ( a j A fdp para T é obda dervando (3.9) como ) j b r c j r. r=1 f(;, τ, k, λ) = c j+1 h j+1 (), (3.10) j=0 em que h j+1 () = (j + 1)τ Γ(k) ( ) τ k 1 [ ( ) τ ] exp G(;, τ, k) j é a função densdade Exp-GG com parâmero de poênca j + 1.

33 32 Para j 0, pode-se escrever [ ( ) τ ] (j + 1)τ h j+1 () = Γ(k) (/)τ k 1 exp γ 1 (k, (/) τ ) j, (3.11) em que γ 1 (k, (/) τ ) = γ(k, (/) τ )/Γ(k). A poênca de uma sére de poênca pode ser escra para qualquer j posvo (Gradsheyn e Ryzhk, 2000) como ( ) j a x = =0 d j, x, (3.12) em que o coefcene d j, (para = 1, 2,...) sasfaz a relação de recorrênca d j, = (a 0 ) 1 =0 [j(p + 1) ] a p d j, p (3.13) p=1 e d j,0 = a j 0. O coefcene d j, pode ser expresso explcamene a parr de d j,0,..., d j, 1 e para a 0,..., a. Além dsso, usando a equação (3.12), pode-se escrever (para j 1) γ 1 (k, (/) τ ) j = (/)jkτ Γ(k) j d j, (/) τ, (3.14) em que os coefcenes d j, (para 1) são deermnados por (3.13) com a p = ( 1) p /[(k + p)p!]. Com base na equação (3.14) pode-se escrever a função de densdade Exp-GG (para j 1) (3.11) como [ ( ) τ ] (j + 1)τ ( [+(j+1)k]τ 1 h j+1 () = exp d Γ(k) j+1 j,. ) =0 A úlma densdade pode ser expressa em ermos da função de densdade GG. Pela forma de (3.11), é escra (para j 1) como h j+1 () = =0 e j, g(;, τ, + (j + 1)k), (3.15) =0 em que g(;, τ, + (j + 1)k) é a fdp GG com parâmeros, τ e + (j + 1)k e e j, = (j + 1) Γ( + (j + 1)k) Γ(k) j+1 d j,. (3.16) τ Para j = 0, é obdo de (3.11) que h 1 () = Γ(k) (/)τ k 1 exp [ ( τ ] ) = g(;, τ, k). Combnando o resulado (3.15) (para j 1) com o de j = 0, pode-se escrever f() = f(;, τ, k, λ) em (3.10) como f() = c 1 g(;, τ, k) + j=1 e j, c j+1 g(;, τ, + (j + 1)k). (3.17) =0

34 33 A equação (3.17) é o resulado prncpal dessa seção e revela que a função de densdade OLLGG é uma combnação lnear de densdades Exp-GG. Assm, algumas propredades maemácas da dsrbução OLLGG podem segur dreamene das propredades da dsrbução GG. Por exemplo, os momenos e a função geradora de momenos (fmg) da dsrbução proposa podem ser obdos a parr da mesma combnação lnear nfna ponderada das quandades correspondenes para a dsrbução GG. 3.4 Propredades maemácas Algumas das caraceríscas mas mporanes de uma dsrbução podem ser esudadas aravés de momenos (por exemplo, endênca, dspersão, assmera e curose). Nesa seção, são apresenadas duas expansões dferenes para calcular os momenos da dsrbução EGG. Prmero, é obdo uma represenação de soma nfna do r-ésmo momeno ordnáro µ r para a dsrbução EGG com base na equação (3.17). O r-ésmo momeno para a dsrbução GG(, τ, k) é dado por Desa forma, pela equação (3.17) em-se µ r = c 1 r Γ(k + r/τ) Γ(k) µ r,gg = r Γ(k + r/τ), r/τ > k. Γ(k) + r Γ(k) j=1 e j, c j+1 Γ( + (j + 1)k + r/τ). (3.18) =0 A equação (3.18) revela que o momeno µ r depende das quandades e j, dadas por (3.16). Oura represenação de soma nfna para µ r calculando o r-ésmo momeno dreamene sem requerer as quandades e j,. É obdo µ r = λτr 1 Γ(k) 0 ( [ τk+r 1 ( ] τ [ ( τ ] exp {γ 1 k, ) ) ) } λ 1 d e com a mudança de varável x = (/) τ pode ser escra como µ r = λr Γ(k) λ 0 x k+r/τ 1 e x γ(k, x) λ 1 dx. Usando a expressão (3.14) para γ(k, x) em-se γ(k, x) λ 1 = j=0 m=0 j ( )( ) λ 1 j ( 1) j+m γ(k, x) m. j m Inserndo a úlma equação na expressão para µ r e rocando os ermos, é obdo µ r = λr Γ(k) λ j=0 m=0 j ( )( ) λ 1 j ( 1) j+m I(k, r/τ, m), (3.19) j m

35 34 em que I(k, r/τ, m) = 0 x k+r/τ 1 e x γ(k, x) m dx. Com a expansão em sére dada pela equação (3.14) a negral pode ser escra como I(k, r/τ, m) = 0 x k+r/τ 1 e x { x k p=0 } ( x) p m dx. (k + p)p! Esa negral pode ser obda a parr das equações (24) e (25) de Nadarajah (2008) em ermos da função de Laurcella do po A (Aars, 2000) defndo por F (n) A (a; b 1,..., b n ; c 1,..., c n ; x 1,..., x n ) = (a) m1 + +m n (b 1 ) m1 (b n ) mn x m1 1 x m n n (c 1 ) m1 (c n ) mn m 1! m n!, m 1 =0 m n=0 em que (a) é um faoral ascendene defndo por (com a convenção que (a) 0 = 1) (a) = a(a + 1) (a + 1). Ronas numércas para o cálculo dreo da função Laurcella do po A esão dsponíves, veja Exon (1978) e Mahemaca (Tro, 2006). Assm I(k, r/τ, m) = k m Γ(r/τ + k(m + 1)) F (m) A (r/τ + k(m + 1); k,..., k; k + 1,..., k + 1; 1,..., 1). (3.20) Porano, como uma forma alernava para a equação (3.18), o r-ésmo momeno da dsrbução EGG segue de ambas as fórmulas (3.19) e (3.20) como uma soma ponderada nfna das funções de Laurcella do po A. Nas Fguras 3.3 e 3.4, são apresenados os os gráfcos da assmera e curose da dsrbução OLLGG para alguns valores dos parâmeros. Como os momenos não exsem explcamene são ulzadas as meddas de assmera e curose raáves compuaconalmene ulzando a função quanl (3.6). Assm, podemos esudar os efeos dos parâmeros de forma e bmodaldade na assmera e curose. A assmera de Bowley apresenada por Kenney e Keepng (1962) é dada por B = Q(3/4) + Q(1/4) 2Q(2/4). Q(3/4) Q(1/4) A curose de Moors apresenada por Moors (1988) é dada por M = Q(7/8) Q(5/8) + Q(3/8) Q(1/8), Q(6/8) Q(2/8) em que Q( ) nese caso é a função quanl defnda em (3.6). As meddas apresenadas são menos sensíves na presença de observações dscrepanes e exsem para dsrbuções na qual não é possível ober os momenos. Para a

36 35 (a) (b) assmera k=0,15 k=0,20 k=0,25 k=0,30 curose k=0,15 k=0,20 k=0,25 k=0, λ λ Fgura 3.3. Assmera e curose para a dsrbução OLLGG em função de λ para alguns valores de k com = 2 e τ = 1. (a) (b) assmera λ=0,35 λ=0,95 λ=1,85 λ=5,00 curose λ=0,35 λ=0,95 λ=1,85 λ=5, τ τ Fgura 3.4. Assmera e curose para a dsrbução OLLGG em função de τ para alguns valores de λ com = 2 e k = 1. dsrbução normal padrão, essas meddas são zero (Bowley) e 1,2331 (Moors) (Alexander e al., 2012).

37 Esmação va méodo de máxma verossmlhança com dados censurados Seja T uma v.a com dsrbução OLLGG (3.3) com veor de parâmeros θ = (, τ, k, λ) T. Consderando que os dados conssem de n observações ndependenes = mn(t, C ) para = 1,..., n. Assm, o logarmo da função de verossmlhança, consderando a dsrbução OLLGG é dado por [ ] λτ l(θ) = r log ( ) τ + (τk 1) ( ) log + Γ(k) F F (λ 1) F λ C log(u ) + (λ 1) F log (ū ) C log (ū ) 2 F log[u λ + ū λ ] + log[u λ + ū λ ], (3.21) em que u = γ 1 ( k, ( ) τ ), ū = 1 u, r é o número de falhas, F e C denoam os dados não censurados e censurados, respecvamene. Os componenes do veor score (cujos elemenos são as dervadas de prmera ordem) correspondenes aos parâmeros em θ são U (θ) = r τ k + τ ( ) τ + (λ 1) 2λ F F F [ u ] [u λ 1 ū λ 1 ] [u λ + ūλ ] λ C [ u ] u [ u ] ū (λ 1) [ u ] ū F λ [ u ] [u λ 1 ū λ 1 ] [u λ C + ūλ ], U τ (θ) = r τ F 2λ F ( ) τ log ( ) + k log F [ u ] τ [u λ 1 ū λ 1 ] [u λ + ūλ ] λ C ( ) { [ u ] τ + (λ 1) u F [ u ] τ ū λ C F [ u ] τ [u λ 1 ū λ 1 ] [u λ + ūλ ], [ u ] τ ū } e em que U k (θ) = rψ(k) + τ ( ) log + (λ 1) [ u ] k (λ 1) [ u ] k u ū F F F 2λ [ u ] k [u λ 1 ū λ 1 ] [u λ F + ūλ ] λ [ u ] k λ [ u ] k [u λ 1 ū λ 1 ] ū [u λ C C + ūλ ], U λ (θ) = r λ + log(u ) + log(ū ) 2 u λ log(u ) + ū λ log(ū ) [u λ F F F + ūλ ] + log(ū ) u λ log(u ) + ū λ log(ū ) [u λ C C + ūλ ], [ u ] = γ ( ( 1 k, ) τ ), [ u ] τ = γ ( ( 1 k, τ ) τ ), [ u ] k = γ ( ( 1 k, k ) τ ),