3 Modelos de Apreçamento de Opções

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1 3 Modelos de Apreçameno de Opções Preços de fuuros na Bolsa de Valores, na práca, são defndos de forma lvre na BM&FBOVESPA a parr das relações apresenadas enre ofera e demanda. Para que a formação de as preços possa ser esabelecda de forma relavamene usa, é fundamenal que o mercado à vsa do avo sea compevo e lvre, sem conrole do governo sobre os preços e não permndo a deermnação de preços por pare de alguns ndvíduos ou grupos parcpanes das negocações. No enano, exsem falhas no apreçameno dos fuuros e agenes do mercado defndos como hedgers, especuladores e arbradores se movmenam de forma a aprovear as defcêncas. Duan (995) ulza a classe dos modelos GARCH no desenvolvmeno de um modelo de apreçameno de opções que sasfaz a chamada relação de apreçameno localmene neura ao rsco (LRNVR). No argo, afrma-se que devdo a naureza complexa do modelo GARCH, há a necessdade de uma versão generalzada da neuralzação ao rsco, nulada de LRNVR. Há demonsrações de que o processo GARCH, em geral, se maném naco com relação a neuralzação do rsco podendo ser usado para fns de apreçameno. No Brasl, é possível enconrar na leraura alguns modelos de apreçameno para o mercado de opções, em especal, para opções da elebrás, Perobras e Vale. Araúo e. al. (003) aplcam o modelo de Duan para apreçameno de opções de compra da elebrás. Na consrução do modelo foram ulzados os processos GARCH(,), ARCH(,) e EGARCH(,) comparados aos resulados obdos com o modelo de B&S. Em geral, as dferenças do modelo de B&S se mosraram quase sempre menores que as obdas com o modelo de Duan quando comparados ao mercado. Belramn (009) esabelece um modelo de apreçameno baseado na écnca de Suppor Vecor Regresson (SVR) com aplcação para o mercado de opções sobre ações da Perobras. A écnca se basea no aprendzado supervsonado esaísco para esabelecer uma função de apreçameno a parr do reconhecmeno de padrões e endêncas do mercado. Os resulados decorrenes do modelo SRV apresenaram-se superores em odas as comparações realzadas com o modelo de B&S.

2 3 3. O modelo de Black&Scholes (B&S) No ano de 973, Fscher Black, Myron Scholes e Rober Meron apresenaram um modelo para apreçameno de opções que mas adane esara enre os mas aplcados no mercado fnancero. O modelo ganhou mas presígo após os auores Scholes e Meron receberem o prêmo Nobel de Economa em 997. Aualmene, a fórmula é freqüenemene empregada por muos agenes do mercado de dervavos no mundo. Apesar de apresenar smplfcações quesonáves, a fórmula cona a seu favor, em especal, com sua facldade de aplcação. As prncpas crícas ao modelo esão relaconadas, especalmene, às premssas assumdas pelos auores. Hull (005) as desaca: ) Preços dos avos seguem processo esocásco com méda e volaldade consanes e dsrbução lognormal. ) Não há resrções para a venda a descobero dos íulos. ) Não há cusos ou axas de ransações. odos os íulos são perfeamene dvsíves. v) Não há pagameno de dvdendos durane a vda do dervavo. v) Não há oporundades de arbragem sem rsco. v) Negocações dos íulos são conínuas. v) A axa de uros lvre de rsco (r) é consane para odos os prazo de vencmeno. Ao assumr as premssas acma e por meo da formação de uma carera lvre de rsco, B&S mosra que o preço de uma opção européa de compra segue a segune equação dferencal esocásca C C C S rs 0 rc (3.) S S O preço da opção de venda, por sua vez, é obdo a parr do preço da opção de compra (C ) calculado. A solução da equação acma é o preço de uma opção de compra que não dsrbu dvdendo, sendo dada pela expressão:

3 3 C r S N d ) Ke N( ) (3.) ( d S ln r K d (3.3) d d (3.4) N(d ) e N(d ) se referem, respecvamene, a probabldade acumulada nos ponos d e d de uma dsrbução normal padronzada. Conforme a fórmula apresenada acma, verfca-se que o preço de uma opção européa de compra (C ) é obdo a parr do preço aual do avo-base (S ) unamene ao preço de exercíco da opção (K), da axa de uros lvre de rsco (r), do prazo de vencmeno da opção () e da volaldade do avo (σ). Para apreçameno de opções que dsrbuem dvdendos, Meron (973) apresenou uma exensão da versão do modelo de Black & Scholes a qual resula na subsução do valor de C e d, respecvamene, por: C q r S e N d ) Ke N( ) (3.5) ( d S ln r q K d (3.6) Nesse caso, a axa de dvdendos paga é represenada por q. Vale ressalar que esa úlma deve ser medda na mesma undade de empo que a axa de uros lvre de rsco e volaldade do avo. A expressão de d permanece gual à da eq. (3.4). Em maores dealhes, a prmera premssa do modelo de B&S esabelece que o preço do avo subacene a opção (S ) segue um Movmeno Geomérco Brownano (MGB), o que mplca em sasfazer a segune equação: S S, ~ N(0,) (3.7) S Na equação acma, uma versão dscrea do referdo processo esocásco, é referene à mudança no preço do avo num pequeno nervalo de empo

4 33. O reorno do avo esá represenado, dessa forma, por S. O parâmero S é a axa de reorno esperada do avo por undade de empo e a volaldade do preço do avo, ambos assumdos como consanes no modelo. E por fm, é defndo como uma varável aleaóra que possu dsrbução normal padronzada. Esa úlma premssa de normaldade mplca em reornos do avo subacene a opção segundo dsrbução normal de méda e desvo-padrão. Para processos do po da eq. (3.7) e reorno logarímcos num empo fuuro () [r =ln(s /S - )], é possível demonsrar, de acordo com o Lema de Iô, que os mesmos se dsrbuem normalmene com méda e desvo- padrão gual a. Denre as prncpas crícas do modelo B&S esara a premssa cada anerormene de reornos apresenando dsrbução normal bem como da volaldade consane no empo. as premssas não se mosram condzenes com as evdêncas empírcas 5 as quas aponam dsrbução dos reornos das ações apresenando caudas largas, assmera e varânca não consane ao longo do empo. Araúo e. al. (003) ndcam anda defcêncas do modelo B&S no resulado do apreçameno de opções as como: sub-apreçameno de opções fora-do-dnhero, de opções de ações com baxa volaldade ou anda de opções com curo empo para vencmeno. O modelo resula anda em dferenes volaldades mplícas para dsnas opções sob a mesma ação. Dessa forma, dversos auores buscam alernavas que vsam conornar as prncpas falhas do modelo de B&S apresenadas. as alernavas se enconram exposas mas a frene nesse capíulo. Denre elas esão o uso do modelo Bnomal, dos modelos GARCH, da Smulação de Mone Carlo enre ouros. 5 Para maores dealhes ver Franses & van Dk (000) e say (005).

5 34 3. Smulação de Mone Carlo Com o surgmeno do modelo de Black & Scholes (B&S), dversas proposas foram desenvolvdas no âmbo de apreçameno de opções. No enano, muas delas não fornecam uma solução analíca fechada como no caso dos dos auores. Cox & Ross (976), propuseram uma esruura alernava para apreçameno de opções ao assumrem que o preço dos avos subacenes a opção seguram um processo de dfusão com elascdade da varânca consane. Foram anda os que propuseram o uso de probabldades neuras ao rsco no apreçameno de opções. No enano, nesse caso, suas soluções devem ser obdas por negração o que resula, muas vezes, na necessdade de avalação por méodos numércos. A smulação de Mone Carlo se consu de um méodo numérco amplamene ulzado para fns de apreçameno de opções. Boyle (977) fo o ponero a aplcar o méodo para al fnaldade. Aé enão, segundo o auor, só exsam dos méodos numércos para avalação de preços de opções, sendo um deles específco para o apreçameno de opções de venda amercanas. A proposa do seu argo fo de apresenar a smulação de Mone Carlo como um ercero méodo para obenção de soluções numércas para problemas de apreçameno de opções. A écnca proposa era smples e flexível endo em vsa que podera ser adapada faclmene para dferenes processos assumdos para os reornos dos avos subacenes a opção. No argo são apresenadas aplcações do méodo para a obenção de esmavas de preços, nclusve de opções européas de compra que dsrbuem dvdendos. Ao consderar a condção de neuraldade ao rsco proposa por Cox e Ross (976), o reorno esperado de uma ação é dado por: E( S S ) exp r( ) (3.8) Assumndo anda que S S apresena dsrbução lognormal com méda gual à exp(r) e realzando algumas ransformações, obém-se a varável aleaóra lusrada na eq. (3.9). S S exp r ~ x (3.9)

6 35 Em que ~ x é uma varável aleaóra com dsrbução normal padrão. Adme-se anda que a undade do empo sea medda em rmesres e que S represene o preço da ação medaamene após o dvdendo rmesral D er sdo pago. Dessa forma, nca-se o méodo de smulação ao gerar o valor de S +. Caso o valor gerado sea maor que D + enão S + - D + é usado como valor ncal no começo do segundo período e o procedmeno prossegue aé a obenção do valor de S. Após a realzação de uma grande quandade de smulações, esma-se o valor esperado do Max[S -K;0] e descona-se desse valor a axa de uros lvre de rsco para a obenção do valor da opção em. Inervalos de confança podem anda ser consruídos 6. Vale ressalar ambém que o erro padrão de uma esmava de Mone Carlo é nversamene proporconal a raz quadrada do número de raeóras amosras smuladas. O méodo pode ser aplcado anda para dferenes dsrbuções de probabldade da varável aleaóra, para reornos gerados por msuras de processos esocáscos, para obenção dos preços de opções amercanas, enre ouros. O argo de Hull & Whe (987) apresena uma aplcação do méodo de smulação de Mone Carlo para a obenção do preço de opções sob avos com volaldade esocásca. Para sso, faz-se necessáro apenas o relaxameno de algumas premssas adoadas pelos auores. Duan (995) ambém ulza a smulação de Mone Carlo para o cálculo dos preços de opções va modelo GARCH bem como para obenção dos delas das opções (varação no preço da opção em relação a mudanças no preço do avo subacene). O méodo fo usado pelo auor por ser consderado convenene pelo fao da dsrbução dos reornos dos avos emporalmene agregados não poder ser dervada analcamene. 3.3 Modelos GARCH Em 987, Hull e Whe propuseram um modelo de apreçameno de opções que, dferenemene do modelo de B&S, assume um processo esocásco para a volaldade dos reornos dos avos. A parr daí, modelos de volaldade varane no empo vêm sendo ulzados para o apreçameno de opções. Denre eles esão os modelos GARCH. 6 Para maores dealhes ver Boyle (977).

7 36 Lehar, Schecher & Schenkopf (00) realzaram a comparação dos modelos GARCH, de volaldade esocásca e de Black & Scholes para apreçameno das opções do FS00 (índce das 00 maores empresas lsadas na London Sock Exchange). Os resulados obdos, referenes ao desempenho do apreçameno das opções fora da amosra, ndcaram que o modelo GARCH obeve desaque evdene quando comparado aos ouros dos modelos de benchmark. À luz do modelo ARCH desenvolvdo por Engle (98), surgram os modelos GARCH com o propóso de nclur ermos na varânca condconal dos reornos, não conemplados na proposa ncal do auor. Assm como nos modelos ARCH, assume-se que os choques dos reornos dos avos seam dependenes, mas não correlaconados seralmene. No enano, dferenemene do modelo orgnal, a dependênca dos choques sera descra não somene por funções quadrácas de seus valores defasados, como ambém das defasagens das varâncas dos reornos do avo de neresse. De acordo com say (005), modelos do po ARCH requerem muos parâmeros para descrever adequadamene o processo de volaldade do reorno de um avo. Dessa forma, Bollerslev em 986 propôs o modelo ARCH generalzado (GARCH) com a segune esruura: r (3.0) p q e (3.) 0 Em que Var r r ), r ( r, r,..., r, r ). Nas equações (3.0) e (3.), ( ~ ~ e, r represena os reornos dos avos ulzados, a volaldade desses reornos e é defndo como uma seqüênca de varáves aleaóras ndependenes com méda 0 e varânca. São mposas no modelo as segunes resrções: 0, 0, 0 e max( p, q) 0 ( ). As rês prmeras são necessáras para garanr a posvdade da varânca condconal dos reornos e a úlma para garanr varânca ncondconal dos reornos fna.

8 37 O modelo ARCH, por sua vez, pode ser obdo como um caso parcular da eq. (3.) nos casos em que q sea gual a zero. Os parâmeros e se referem, respecvamene, aos parâmeros ARCH e GARCH. A parr da proposa de Bollerslev, varações na esruura da volaldade foram exploradas por ouros auores. Nas seções abaxo são apresenadas as varações do modelo GARCH mas comumene adoadas na leraura para a volaldade dos reornos Alernavas para a especfcação da volaldade GARCH Exponencal (EGARCH) - Nelson (99). q ln( ) g( ) (3.) ( ) E se 0 g( ) E, g( ) (3.3) ( ) E se 0 Nesse caso, ε é uma seqüênca..d com dsrbução conínua cua méda é nula. Nelson (99) desenvolveu o modelo acma como forma de consderar as evdêncas empírcas de que os reornos das ações seam negavamene correlaconados com mudanças na volaldade dos reornos (efeo alavancagem). Isso mplca em afrmar que a volaldade dos reornos ende a aumenar em resposa a más noícas do mercado (excesso de reornos mas baxos que o esperado) e a car nos casos de boas noícas (excesso de reornos mas alos que o esperado). Dessa forma, seu modelo assume uma forma para a volaldade dos reornos que responde assmercamene a resíduos posvos e negavos. Dz-se que o efeo alavancagem é presene para valores posvos de. A forma proposa, ao ser consderada em função de ln, dspensa anda as resrções mposas nos parâmeros da varânca condconal como no modelo GARCH de Bollerslev (986), os quas garanram a não negavdade da mesma. O modelo é proposo anda para faclar a avalação da perssênca dos choques de volaldade, quando comparado ao modelo GARCH.

9 GJR GARCH - Glosen, Jagannahan and Runkle (993) 0 P Q e I e (3.4), e 0 I (3.5) 0, e 0 Q No modelo acma, I é uma varável dummy (ndcadora) que assume valor um para choques defasados negavos e valor zero caso conráro. A forma para a varânca condconal sugerda por GJR é uma adapação do modelo EGARCH com a alernava de ulzação de varáves ndcadoras para a ncorporação do efeo alavancagem presene nos reornos. Nesse caso, para valores posvos de, dz-se que o efeo alavancagem exse. Nesse caso, são admdas as mesmas resrções do modelo GARCH além da segune resrção para esaconaredade da varânca: P Q Q GARCH Não Lnear (NGARCH) - Engle and Ng (993) ( e ) (3.6) ambém conhecdo como GARCH assmérco não lnear, o modelo NGARCH acma mpõe um mínmo para a curva de mpaco das noícas (choques) do mercado. O parâmero cosuma ser posvo para as séres de reornos aponando a exsênca do efeo alavancagem. Ou sea, reornos negavos com maores mpacos na volaldade fuura quando comparados aos reornos posvos.

10 GARCH Inegrado (IGARCH) - Bollerslev (986) O modelo IGARCH concde com o GARCH. No enano, não consdera a condção de covarânca esaconára admda no modelo GARCH com a max( m, s) segune resrção: ( ). O modelo IGARCH adme a exsênca de raz unára (não esaconaredade) no processo da varânca ao assumr a max( p, q) resrção de que ( ). Dessa forma, choques exernos na volaldade são permanenes, o que não resula em volaldades com reversão a méda Esmação dos parâmeros Os parâmeros de neresse dos modelos GARCH e suas varações são comumene esmados por meo da maxmzação da função log-verossmlhança abaxo. L( ) ln f ( r,..., r ; ) ln f ( r r ; f ( r ; ) ~ (3.7) Dado que r sea o reorno das ações de neresse e supondo novações ( ) normalmene dsrbuídas com méda nula e varânca êm-se que r L( ) ln f ( r,..., r ; ) f ( r ; ) ln( ) ln( ) (3.8) Vale ressalar que ouras dsrbuções podem ser especfcadas para as como -Suden, GED, enre ouras. A esmava de máxma verossmlhança (EMV) do veor (px), denoada por ˆ MV é aquela que maxmza a função obevo explcada em (4.9) para oda a sére em quesão.

11 40 A esmava de máxma verossmlhança para deve aender as condções de ª e ª ordem. A prmera condção segue exposa na eq. (3.9) enquano a segunda, a qual garane que a solução sea um pono de máxmo, esabelece que a marz de segundas dervadas (Hessana) lusrada na eq. (3.0) sea negava defnda. 0 ) ( L (3.9) L H 4 ` ) ( (3.0) Para a obenção da esmava de máxma verossmlhança, é necessáro anda o cálculo de gradenes bem como da marz de nformação de Fsher. O cálculo da segunda dervada de com relação a na eq. (3.0) do Hessano pode não ser muo fácl. As dervadas de prmera ordem do logarmo da função de verossmlhança, ambém chamado de função score, no caso dos modelos GARCH são não lneares, não podendo serem resolvdas explcamene para a obenção das esmavas de MV. Dessa forma, alguns procedmenos numércos devem ser ulzados como forma de ober as soluções de neresse. Denre os algormos mas ulzados na esmação de modelos de volaldade: BFGS, Marquad, méodo Newon-Raphson, denre ouros. 3.4 O modelo GARCH de apreçameno va Smulação Hsórca Flrada (GARCH-SHF) Baron-Ades, Engle e Mancn (008) propuseram uma nova meodologa de apreçameno com resulados empírcos para as opções européas do índce S&P500 (índce das 500 ações mas mporanes do mercado). O méodo se basea na esmava de parâmeros de apreçameno de um modelo GJR GARCH calbrados dreamene nos preços de opções do mercado, demandando dese modo razoável esforço compuaconal para a sua mplemenação. Além dsso, dferenemene da grande pare dos modelos GARCH de apreçameno de opções, as smulações dos reornos de neresse são realzadas com base em

12 4 novações empírcas resulando em um méodo não paramérco de apreçameno, no que concerne a dsrbução das novações. A calbração do modelo é fea com o auxílo da função fmnsearch que, baseada no algormo de Nelder-Mead, o qual realza a busca pelo mínmo rresro de funções cuso não lneares. Nesse méodo, a mnmzação de sua função arbrára de n varáves é efeuada pela comparação dos valores da função em n+ vérces de um smplex. Denre suas vanagens esá o fao de não haver necessdade do cálculo de gradenes, resulando em esforços compuaconas mas baxos e, em alguns casos, esmavas semelhanes às obdas nos demas algormos de omzação para funções não-lneares. Para a calbração dos modelos fo ulzado o sofware R versão.. Para algumas análses descrvas ulzou-se anda o EVews versão 5. Nas próxmas seções serão apresenados os procedmenos realzados para a obenção das esmavas dos preços de opções sobre ações com base no modelo proposo pelos referdos auores Meodologa O processo de esmação dos preços das opções, com base no modelo proposo, se dá por uma sequênca de passos cuo propóso fnal é ober esmavas dos parâmeros de um modelo GJR GARCH que mnmzem a raz quadrada do erro quadráco médo (REQM) de apreçameno das opções, conforme eq. (3.). O modelo é calbrado de forma a ober esmavas dos parâmeros GARCH que resulem em preços esmados das opções mas condzenes com os verfcados no mercado. REQM N C C N SHF ; ( ) ~ (3.) C SHF; se refere ao preço resulane do modelo GARCH-SHF sob o veor de * * * * parâmeros ( [ ; ; ; ]) calbrado e C ao preço de mercado da opção ~ 0 negocada na daa. O preço dado pelo modelo C SHF; é obdo da segune forma:

13 4 C ( ) e E{ Max[( S ) K r SHF ; ~ ~ ;0]} (3.) Em que S é o veor (nx) dos preços smulados da ação na daa + de vencmeno da opção e K se refere ao preço de exercíco esabelecdo para a opção do po. Maores dealhes a respeo da obenção do preço da ação em + se enconram mas adane (3ª eapa). O oal de dferenes opções negocadas na daa é represenado por N. O exercíco de calbração do modelo fo feo uma vez por semana, a cada quara-fera do ano de 00. Opou-se pela quara-fera por se raar do da da semana em que fo verfcada maor lqudez méda nas negocações das opções em esudo, além de possur a menor quandade de ferados no ano em quesão. A função a ser mnmzada (REQM) na calbração dos parâmeros é não lnear e sem resrções. Para se garanr as resrções mposas pelo modelo GJR GARCH, a calbração é realzada com funções 7 dos seus parâmeros. Para se ober os preços esmados das opções (C SHF; ), conforme modelo aplcado, deverão ser segudas as segunes eapas. ª eapa: Esmação do modelo GJR GARCH Nessa eapa, esma-se um modelo GJR GARCH para uma sére de reornos logarímcos dáros com amanho prevamene deermnado. Opou-se pela ulzação dessa especfcação para a volaldade endo em vsa que a mesma consdera, de forma smplfcada, o efeo alavancagem, fao eslzado presene nas séres fnanceras. No rabalho em quesão, consderou-se uma sére de 800 reornos - aproxmadamene 4 anos de reornos, o que é práca no mercado - como sufcene para se ober esmavas mas precsas dos parâmeros de neresse. Segue a forma do modelo esmado sob medda físca P: r log ( S / S ) e (3.3) e I e (3.4) 0 7 Para maores dealhes consular o apêndce B.

14 43 Em que 0 0, 0, 0 e 0 Nas eqs. (3.3-4), os reornos dáros logarímcos são represenados por r e os preços de fechameno da ação na daa por S. O erro e = z, em que é a volaldade condconal dára do reorno e z é uma novação orgnára de uma dsrbução eórca cua méda é zero e varânca unára, z ~ f (0,). I é uma varável ndcadora que será gual a para odos e 0 e gual a ` zero caso conráro. Verfca-se anda que vara enre -800 e, cuo se refere a daa do apreçameno em quesão. A esmação dos parâmeros das eqs. (3.3-4) se dá por maxmzação da função de pseudo-verossmlhança, conforme Goureroux (984). O conuno de parâmeros esmados no modelo acma ; ; ; ] [ 0 será ulzado como valor ncal para os parâmeros GARCH-SHF de apreçameno sob medda neura ao rsco Q, a serem calbrados * * * * [ ; ; ; 0 ~ ]. as parâmeros serão ulzados para a smulação da varânca condconal dos reornos conforme eq. (3.5). e I e (3.5) * 0 * * * ª eapa: Esmação das volaldades de a. Com base nas novações esmadas ẑ resulanes da eq. (3.3) e nos * * * * parâmeros calbrados [ ; ; ; ] referenes à eq. (3.5), são smuladas realzações de varâncas dáras dos reornos no nervalo de a conforme marz abaxo. Em que se refere ao maor prazo de vencmeno observado denre as opções negocadas na daa.,, 0.000,,, 0.000, ,, 0.000, (3.6)

15 44 Para a smulação das varâncas condconas passos a frene, serão seleconadas novações, pelo procedmeno de boosrap, a parr das novações esmadas na eq. (3.3), que por sua vez almenarão os erros presenes na eq. (3.5). Ulza-se a varânca ˆ esmada na eq. (3.6) para ncalzar as volaldades a serem prevsas passos a frene, em que se refere ao prazo de vencmeno máxmo observado na quara-fera em quesão. 3ª eapa: Smulação dos preços da ação de + a. Os preços das ações são smulados passos à frene conforme equação 8 de um MGB (Movmeno Geomérco Brownano) neuro ao rsco, lusrada abaxo. S = S exp( r - ˆ + ẑ ˆ ) (3.7) Na eq. (3.7) r se refere a axa de uros dára lvre de rsco. Como aproxmação para a referda axa, opou-se por rabalhar com a axa DI para dferenes prazos dsponblzada no se da BM&FBovespa. A axa de dvdendos fo obda como uma méda das axas observadas nos úlmos 3 anos (008, 009 e 00). A marz de varâncas smuladas em (3.6) será ulzada na eq. (3.7) para obenção dos preços passos à frene resulando em uma marz de preços com dmensão x. Após a smulação dos preços da ação de + aé, são realzadas correções de marngale em as preços ao mulplcá-los por um faor de correção resulando nos segunes preços corrgdos: S S[, ] S[, ]* ~ 0 exp ( r S q) (3.8) 8 A axa de dvdendos fo desconsderada para a smulação dos preços das ações pela equação (3.8) pelo fao dos preços das opções dsponblzados na base de dados ulzada não esarem corrgdos para dvdendos.

16 45 em que S 0 é dado pelo preço da ação de neresse na daa de apreçameno, é obdo pela méda da -ésma coluna da marz de preços smulada anerormene e se refere ao prazo de vencmeno de neresse. A correção realzada anerormene conclu o processo desgnado por Smulação Empírca de Marngale defnda a parr de uma adapação do procedmeno de Smulação de Mone Carlo. Ese po de smulação se apresena mas adequada para o cálculo dos preços de dervavos a parr do momeno em que se mpõe a propredade de marngale nas raeóras das amosras smuladas para os preços da ação subacene. al mposção assegura que o preço esmado pela smulação sasfaz os lmes de apreçameno de uma opção raconal. Conforme Duan e Smonao (998), sso sera correspondene a garanr que C ) max( S Ke,0). De acordo com os auores, falhas na 0 ( 0 r f propredade de marngale podem levar anda a volações na pardade call-pu. Anda segundo os auores, o méodo reduz consderavelmene o erro nos preços esmados das ações, especalmene no caso das opções denro e no dnhero, podendo ser faclmene ulzado como um méodo de redução de varânca e, ao mesmo empo, obendo maor efcênca compuaconal. S 4ª eapa: Esmação dos preços das opções Por fm, os preços das opções de compra verfcados na daa de apreçameno, cuo prazo de vencmeno sea gual a, são obdos conforme eq. (3.9). C e ~ E [ Max( S K r SHF ; ;0)] (3.9) Dessa forma, supondo uma opção sobre ações da VALE5, cuo prazo de vencmeno sea de 5 das e preço de exercíco correspondene a R$45, o preço da opção por meo do modelo GARCH-SHF é dado por: 5 ~ ; r CSHF e E [ Max( S [,5] 45;0)] (3.30)