ANÁLISE DAS RELAÇÕES ENTRE A VOLATILIDADE HISTÓRICA E IMPLÍCITA E A VOLATILIDADE REALIZADA DO ÍNDICE PSI-20

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1 ANÁLISE DAS RELAÇÕES ENTRE A VOLATILIDADE HISTÓRICA E IMPLÍCITA E A VOLATILIDADE REALIZADA DO ÍNDICE PSI-20 Elsabee Fernanda Mendes Duare, Insuo Polécnco de Lera RESUMO A volaldade desempenha um papel mporane na avalação dos acvos fnanceros, daí que prolferem na leraura esudos com vsa à sua especfcação e medda. Um vaso conjuno de esudos conclu que a análse do melhor prevsor da volaldade deve ser efecuada aendendo às especfcdades do mercado fnancero onde se preende fazer a aplcação. O objecvo do presene rabalho é, aravés de uma smulação empírca deermnar qual dos méodos de modelação da volaldade, a volaldade hsórca e a volaldade mplíca, consu o melhor prevsor da volaldade do índce PSI-20. No que se refere à volaldade mplíca, de forma a evar alguns erros basane cados na leraura, a análse da volaldade mplíca é efecuada com dados sobreposos e não sobreposos. A análse da capacdade explcava das séres de volaldade hsórca e mplíca, efecuadas ao longo do presene rabalho, permram anever que nenhuma se apresena como um esmador efcene e não envesado da volaldade realzada. Não obsane, consaa-se que o poder explcavo da volaldade mplíca é superor ao da volaldade hsórca. Conraramene ao verfcado em esudos empírcos congéneres, verfca-se que os resulados obdos na modelação da volaldade mplíca com dados sobreposos são superores aos obdos com dados não sobreposos. PALAVRAS-CHAVE: Volaldade hsórca, volaldade mplíca. INTRODUÇÃO A relação rsco-renabldade serve de gua aos nvesdores, que apenas esarão dsposos a ncorrer num rsco superor se verem como conraparda um lucro gualmene superor. Baseando-se nesa relação para a omada de decsões de nvesmeno, o problema de medr e prever o rsco e a renabldade dos nvesmenos ornou-se num problema de mporânca crucal para os mercados fnanceros. Ese problema que se apresena como deveras mporane sob um pono de vsa práco, ornou-se ambém um desafo fundamenal para mundo académco: enconrar valores cada vez mas próxmos da realdade para eses dos parâmeros. A mporânca dada ao cálculo da volaldade resula do papel cenral que esa ocupa enquano medda da varação do preço de um acvo em orno da méda, para um nervalo fxo de empo. Assm, o parâmero da volaldade orna-se fundamenal para o esabelecmeno de esraégas de nvesmeno fdedgnas, nos mercados fnanceros. De enre os prncpas pos (no sendo de mas ulzados pelos nvesgadores e nvesdores dos mercados fnanceros) de modelação da volaldade podem selecconar-se a volaldade hsórca e a volaldade mplíca. A volaldade hsórca assume que no fuuro a volaldade permanecerá smlar aos valores que maneve no passado, pelo que o seu cálculo se orna relavamene smples. Embora possa ser levado a cabo de dferenes 928

2 formas, a ulzação dese po de abordagem da volaldade, usualmene pressupõe o cálculo do valor do desvopadrão das renabldades do acvo, num período hsórco aneror ao que se preende prever. Baseando-se no modelo de Black e Scholes, fo enconrada uma medda que é amplamene consderada como a volaldade fuura do acvo subjacene à opção para o período de empo remanescene aé à maurdade: a volaldade mplíca 1. Embora não eseja sena de erros, a volaldade mplíca é largamene ulzada pelos analsas dos mercados fnanceros como fone de prevsão da volaldade fuura. Admndo que o modelo de Black e Scholes de deermnação do valor das opções é usualmene ulzado no mercado em esudo, enão o valor obdo corresponderá à expecava que os nvesdores êm para a volaldade que rá vgorar durane o período de vgênca da opção. Assm sendo, ese parâmero adqure mporânca especal na medda em que perme auscular a opnão geral do mercado acerca da volaldade de um acvo em parcular. Dado que coném expecavas quano à volaldade fuura, adme-se pos, que ncorpora nformação que va para além da que é fornecda pela volaldade hsórca. Sabendo que a volaldade em omado um papel cada vez mas mporane na análse do rsco nerene aos mercados fnanceros, a leraura sobre o assuno não é, no enano, unânme na análse da qualdade relava dos valores prevsonas da volaldade dos acvos fnanceros fornecdos pelos dferenes modelos. No acual exo preende-se avalar o desempenho da volaldade hsórca e mplíca como esmadores da volaldade fuura endo como referênca a volaldade realzada para o mesmo período, para o índce PSI-20, o prncpal índce do mercado de acções poruguês. De faco, um conjuno sgnfcavo de esudos conclu que a modelação da volaldade a ulzar nos dferenes mercados fnanceros deve ser adapada às especfcdades de cada um. Assm, no pono 1. do presene argo, são desenvolvdas as formas de esmação da volaldade hsórca e volaldade mplíca. No pono 2. é modelada a volaldade prevsonal do índce PSI-20. No pono 2.1. é efecuada a esmação da volaldade hsórca e no pono 2.2. é efecuada a esmação da volaldade mplíca. Dado que exse na leraura evdênca de que os resulados da aplcação da modelação da volaldade mplíca dependem da ulzação de dados com e sem sobreposção, para garanr que os resulados obdos são os mas correcos são efecuadas smulações nos ponos e com e sem dados sobreposos. Os valores obdos nas duas esmações são poserormene comparados no pono O pono 3. apresena as conclusões. 1. VOLATILIDADE 1. VOLATILIDADE HISTÓRICA A forma mas smples de esmação da volaldade é aravés da ulzação da volaldade hsórca. Ese méodo de esmação, na sua formulação mas smples, consse em calcular o desvo-padrão do rendmeno peródco dos acvos, durane um período aneror aquele para o qual se preende prever a volaldade. Por norma, no cálculo da volaldade ulza-se um período hsórco medaamene aneror e com uma duração smlar ao período que esamos a analsar A volaldade, medda pelo desvo-padrão da renabldade do acvo com rsco, σ, é dada pela segune expressão: 1 Repare-se que o ermo volaldade mplíca se refere a uma forma de cálculo da volaldade em que, omando como base um modelo de avalação de opções, o parâmero é obdo gualando o valor eórco e o valor real da opção. O presene exo apenas se refere ao cálculo do valor eórco da opção obdo aravés do modelo de avalação de opções de Black e Scholes, pelo que a expressão volaldade mplíca empregue ao longo do exo deverá ser sempre enendda como al. 929

3 n ( y y) 2 = 1 σ = (1) n onde y represena a rendbldade do acvo no momeno e n o número de observações. O méodo mas smples de cálculo da volaldade hsórca passa pela nrodução dos preços de encerrameno dáros na fórmula da renabldade. Ese méodo leva à necessdade de obenção de uma observação dára da renabldade do acvo cuja volaldade se preende esudar. Noe-se que, consderando observações dáras da renabldade, vamos ober a volaldade dára, pelo que se orna necessáro anualzar ese valor. Para al ao valor anerormene obdo erá de ser mulplcado pelo valor da raz quadrada do número de das em que houve ransacções. Ulzar oda a amosra para o cálculo, uma vez que ese méodo pressupõe peso gual para odas as observações, não perme que as nformações recenes sejam realçadas. Paralelamene, é normal, com séres emporas, consderar que, quano mas recenes os dados, maor a sua vala e ambém que quano maor o número de observações, melhor será a qualdade da esmação. No caso da volaldade esas duas regras êm que ser encaradas com alguma reserva. Assm, dados muo dsanes podem, conrarando a regra geral, porar e não melhorar a esmação. Por ouro lado consderar apenas dados mas recenes será gnorar nformação hsórca que pode ser úl. A nexsênca de consenso e a verfcação das lmações dese méodo de esmação, levaram alguns auores a propor algumas varanes. Assm, Parknson (1980) propôs um méodo que consdera a osclação do preço do acvo denro do própro da. Adme-se que um maor volume de nformação conrbua para melhorar a esmava. Garman e Klass (1988) sugerram um esmador que além de consderar a mesma nformação do méodo sugerdo por Parknson, acrescena nformação relava às coações do acvo no seu valor de fecho dáro. Segundo Evnne (1988) ao nroduzr os valores exremos, junamene com os preços de encerrameno, o méodo de Garman e Klass para prevsão da volaldade, orna-se cerca de cnco vezes mas efcene do que uma esmava de volaldade que os não nclua. Tal afrmação basea-se no faco de que os valores exremos das séres coném sempre um conjuno de nformação sgnfcavo acerca da sére que preendem descrever. Numa enava de elmnar algumas lmações do desvo padrão hsórco, nomeadamene o faco de ponderar de gual forma as observações mas e menos recenes, fo defndo um méodo que omou o nome de Processo de Alsameno Exponencal. Nese modelo a volaldade vem expressa aravés de dos ermos: um prmero auoregressvo e o segundo que represena a renabldade no momeno hsórco medaamene aneror. O prmero dos ermos aproxma-se do própro desvo padrão hsórco, pelo que é o segundo elemeno que faz a dferença. Ese segundo ermo, o valor do quadrado dos rendmenos obdos, devdamene ponderado va algerar os choques aleaóros (os as valores exremos) que normalmene esão presenes em odas as séres emporas fnanceras. A grande objecção à ulzação da volaldade hsórca como prevsor da volaldade é a de que os valores hsórcos dfclmene se poderão reper. No enano a volaldade hsórca pode ambém ser relevane como prevsor dos seus valores fuuros, na medda em que conrbu para a formação de expecavas, vso que frequenemene se verfca emprcamene que as duas séres emporas esão correlaconadas. 930

4 1.2. VOLATILIDADE IMPLÍCITA Tal como arás fo referdo o ermo volaldade mplíca refere-se ao cálculo da volaldade aravés da gualdade enre o preço eórco e o preço real da opção. Nese rabalho escolheu-se modelo de avalação de opções de Black e Scholes para o cálculo do valor eórco da opção. A razão que presdu a esa escolha é o faco dese ser o modelo mas comummene ulzado nos mercados fnanceros para o cálculo da volaldade mplíca. A volaldade mplíca assena, pos, no modelo Black e Scholes e, se o mercado em causa for efcene, deverá consur uma prevsão da volaldade fuura, na medda em que coném em s oda a nformação de que o mercado dspõe. O prmero argo publcado acerca da esmação da volaldade mplíca fo o de Laané e Rendleman (1976), sendo, conudo, um domíno sobre o qual se debruçaram um conjuno muo vaso de auores. Schamalensee e Trpp (1978) al como ouros nvesgadores poserores esudaram a capacdade da volaldade mplíca das opções de compra, consur um bom prevsor da volaldade fuura. Os prmeros resulados foram anmadores: a volaldade mplíca é efecvamene melhor prevsor da volaldade fuura do que o smples desvo padrão das renabldades passadas. Exse, não obsane, um vaso conjuno de leraura dedcado ao esudo empírco da efcênca da volaldade mplíca como prevsor da volaldade fuura. Os resulados quano à efcênca da volaldade mplíca, como esmador da volaldade fuura, dvdem-se. Assm, Joron (1995) consaa que a volaldade mplíca é um esmador efcene, embora envesado da volaldade fuura para fuuros sobre dvsas; Day e Lews (1992) concluem que se raa de um esmador envesado e nefcene numa aplcação às opções sobre o índce S&P500 ( ) e a mesma conclusão é rerada por Lamoureux e Lasrapes (1993) para um conjuno de 10 acções ( ); Canna e Fglewsk (1993) são anda mas exremsas quando, numa aplcação às opções sobre o índce S&P100, concluem pela nexsênca de qualquer relação enre a volaldade mplíca e a volaldade fuura, conclundo mesmo que a volaldade mplíca não compora a nformação recenemene ncorporada nos mercados fnanceros. Eses resulados são foremene conesados por Chrsensen e Prabhala (1998) que, num ensao dencamene aplcado ao índce S&P 100, concluem que os desempenhos obdos pela volaldade mplíca ulrapassam largamene os obdos com a volaldade hsórca. Conrasando com as anerores enavas de explcação dos resulados de Canna e Fglewsk que aponavam como explcação um nefcene processameno da nformação sobre a volaldade pelos mercados de opções, ou a ncorreca aplcação do modelo de Black e Scholes aos mercados de opções sobre índces 2, eses auores explcam os resulados anerores pelo faco de a sére esada não ser sufcenemene longa, de er ulzado dados sobreposos e anda pelo faco de as observações ulzadas erem uma frequênca muo ala. Chrsensen e Prabhala (1998) consderam que os seus resulados dferem ano dos anerores porque veram mas cudado na selecção da amosra, ulzando séres emporas mas longas (Novembro de 1983 a Mao de 1995) e com dados não sobreposos 3. Maemacamene, é mpracável a nversão da fórmula de Black e Scholes, o que orna o cálculo da volaldade mplíca não lnear. Não exse, enão, uma forma fechada que perma a sua rápda obenção, pelo que enconrar o valor exaco passa por um processo de busca eravo. Para al êm-se em cona que o preço de uma opção de 2 Relaconados com os cusos de ransacção probvos assocados às posções de coberura de opções sobre índces. 3 Conraramene ao que aconece nos esudos de Day e Lews (1992), Lamoureux e Lasrapes (1993) e Canna e Fglewsk (1993), odos eles aplcados aos mercados de acvos fnanceros. 931

5 compra é função crescene da volaldade 4. De forma a ornar ese méodo operaconal, êm surgdo na leraura dversos procedmenos numércos sendo o mas conhecdo e ulzado o de Newon-Raphson. Uma vez que ese procedmeno se orna ano mas efcaz quano mas próxmo do valor exaco se enconra a esmava ncal, foram desenvolvdos alguns méodos de deermnação do valor ncal, sendo o mas conhecdo o algormo desenvolvdo por Manaser e Koehler (1982). Brenner e Subrahmanyam (1988) sugerram, gualmene, uma fórmula de esmar a volaldade mplíca. Os procedmenos que esabeleceram, muo mas smples do que os anerores dado que não recorrem a uma busca erava, proporconam esmavas muo razoáves da volaldade mplíca desde que as opções ulzadas esejam a-he-money. Os resulados ornam-se parcularmene bons se forem ulzadas opções de compra europeas que não gerem dvdendos. Brenner e Subrahmanyam argumenam que a fórmula que desenvolveram, embora enha algumas lmações que a leva a não ser exaca quando o preço da opção de afasa de near-hemoney, proporcona no enano um valor de parda mas próxmo da volaldade exaca do que o procedmeno de Manaser e Koehler. O valor fornecdo por esa fórmula pode, enão, ser ulzado como valor de parda para o procedmeno de Newon-Rapson, o que pode ser uma vanagem porque acelera a velocdade de convergênca. Bharada, Chrsofdes e Salkn (1995) e Corrade e Mller (1996) esenderam, anda, ese esudo, para aumenar a sua exacdão, a uma banda de opções moneyness 5. Um ouro méodo de ober a volaldade mplíca é o méodo bssecconal. Ese méodo requer duas esmavas da volaldade. Uma prmera, baxa, de volaldade mplíca σ L à qual corresponde um valor da opção C L., Uma segunda, ala, de volaldade mplíca o valor da opção esará enre por: ( C C ) σ σ C L e σ H, à qual corresponde um valor da opção C H. Nesas condções C H. A volaldade obda aravés da esmava bssecconal é dada enão H L σ + 1 = σ L + (2) M L CH CL Se C represenar o preço de mercado da opção e C C( σ ) ξ M preenddo, enão σ + 1 represena a volaldade mplíca. M +1, sendo ξ o grau de exacdão São muos os esudos que demonsram que o modelo clássco de Black e Scholes com volaldade consane, não descreve adequadamene a dnâmca dos preços dos acvos subjacenes às opções que o modelo preende avalar. No modelo de Black e Scholes assume-se que o processo esocásco segudo pelo acvo subjacene em volaldade consane. Nessas crcunsâncas, odas as opções sobre esse acvo, para um dado prazo, deveram er a mesma volaldade mplíca. Ora são dversos os esudos empírcos que comprovam exacamene o 4 Bergman, Grundy e Wener (1996) concluem, sob a forma de eorema, que os preços das opções são posvamene correlaconados com a volaldade do acvo subjacene. Noe-se que, apesar de ser geralmene acee, dado que muos esudos realzados sobre a volaldade mplíca parecem confrmar ese eorema, exsem esudos empírcos que rejeam ese eorema, quer parcal, quer oalmene, um exemplo é o esudo, arás cado, de Canna e Fglewsk (1993). 5 Refere-se a uma medda da profunddade com que as opções esão n ou ou-of-he-money. Usualmene dvde-se o preço correne do acvo subjacene pelo respecvo preço de exercíco acualzado. O grau de moneyness será menor quano mas pero da undade for o valor obdo (o preço de exercíco é gual ao preço do acvo subjacene) e o acvo esará mas deep-n-he-money quano maor for o valor e esará mas deep-ou-of-he-money quano menor for o valor. 932

6 conráro, ou seja, que a volaldade mplíca de opções com a mesma daa de expração e preços de exercíco dferenes, é ala para opções ou-of-he-money e n-he-money e baxa para opções a-he-money. Ou seja, a volaldade mplíca baseada nese modelo exbe dependênca do moneyness. Ese efeo é vulgarmene conhecdo como o efeo sorrso da volaldade. A exsênca dese efeo leva a que, os valores da volaldade mplíca esejam ssemacamene correlaconados com os preços de exercíco. As nvesgações levadas a cabo em orno desa emáca êm demonsrado que os valores obdos esão ano mas próxmos dos reas quano mas os preços das opções esão a-he-money. Esa suação é frequenemene explcada pelo faco de serem, usualmene, as opções mas ransacconadas e ambém por serem as que menos reflecem erros advndos do spread bd-ask ou dervados de os preços ulzados esarem desfasados no empo quando deveram ser smulâneos. Paralelamene exse a necessdade de evar o uso de opções com dferenes maurdades uma vez que raduzem dferenes expecavas quano ao comporameno da volaldade de curo, médo e longo prazo, o que resula numa esruura de prazo das volaldades. Na leraura empírca sobre o ema, observa-se que as volaldades mplícas das opções com maurdades maores são, usualmene, superores às volaldades mplícas das opções com maurdades mas curas. Apesar de odas as lmações arás referdas a volaldade mplíca connua a ser uma das aplcações mas frequenes do modelo de Black e Scholes. A volaldade mplíca em sdo ulzada para esar a própra valdade do modelo em que se basea e ambém para ober esmavas de volaldade para os mercados. Tornase parcularmene mporane na medda em que perme auscular a opnão geral do mercado acerca da volaldade de um acvo em parcular permndo, assm, delnear esraégas de comercalzação. Noe-se que a esmava da volaldade fuura proporconada pela volaldade mplíca esará ano mas próxma da realdade quano mas efcene for o mercado, dado que, num mercado efcene a volaldade mplíca coném oda a nformação que esá ncorporada nas varáves de nformação do mercado. O faco de se oberem váras volaldades sobre um mesmo acvo, e para o mesmo prazo, é normalmene conornado ulzando-se dversos esquemas de ponderação. 2.MODELAÇÃO DA VOLATILIDADE DO INDÍCE PSI-20 Nese pono do rabalho preende-se esar os dos modelos de volaldade deermnísca (volaldade hsórca e volaldade mplíca), com o objecvo de verfcar o que melhor se adapa ao caso do índce PSI-20. Devdo ao faco de se usarem méodos de esmação dferenes exse necessdade de ulzar duas séres de dados. A prmera esmação ulza as séres dáras da renabldade do índce PSI-20 e a segunda as séres de dados dáras/mansas 6 das opções sobre o PSI-20. Dado que o objecvo da análse é enconrar um bom prevsor da volaldade da renabldade dára do índce PSI-20, é sobre esa úlma sére que reca a breve análse que se segue. A sére emporal ulzada na esmação da volaldade é o índce PSI-20 com os dados obdos desde 19 de Março de 1999 aé ao fnal de Março de A escolha do período de smulação surge devdo à necessdade de ulzação dos dados das opções sobre o PSI-20. Assm, a escolha do acual período de smulação basea-se nas daas em que exsram opções sobre o PSI-20, negocadas na bolsa poruguesa. O níco da negocação de opções sobre o PSI-20 ocorreu em 19 de Março de 1999 e, a parr de Abrl de 2002, apesar de connuarem 6 A sére de dados dára é ulzada para a modelação com dados sobreposos e a sére mensal para a modelação com dados não sobreposos. 933

7 lsadas, as opções dexaram de ser negocadas, pelo que dexou de exsr processo de formação de preços. Foram ulzados os dados de fecho dáros e a renabldade nsanânea do índce. A análse da volaldade realzada do PSI-20 7 em conjunção com a análse do crescmeno das coações para odo o período perme denfcar dos sub períodos com comporameno basane dsnos: a Período de volaldade méda-ala com subda das coações a Período de volaldade méda-ala com descda das coações. A denfcação deses dos sub períodos perme esudar com mas pormenor o seu comporameno, dado que os níves de volaldade não se aleram muo ao longo de odo o período mas o crescmeno das coações em um comporameno compleamene nverso. O período de a é sem dúvda, denro do lapso de empo consderado, o período em que o PSI- 20 eve um comporameno de molde a arar os nvesdores. Nese período exsu um crescmeno das coações, apesar do nível de volaldade não ser muo baxo. A parr de Abrl de 2000 o mercado poruguês ncou um processo de queda gradual das coações. Maném-se os elevados níves de volaldade mas agora com queda das coações. O período à vola do 11 de Seembro de 2001 merece uma referênca parcular dado que há uma queda muo brusca das coações paralelamene com uma elevação da volaldade. No enano ese processo é momenâneo, volando o mercado, muo rapdamene, para os níves ncas. A análse das renabldades e volaldades para o período, na sua globaldade e exclundo os dez das poserores ao 11 de Seembro, para cada um dos subperíodos denfcados, é apresenada no quadro 1 e perme analsar com mas rgor esas suações. Quadro 1 Renabldade e volaldade do índce PSI-20 para os dferenes períodos Períodos Valor médo Renabldade Méda (%) Volaldade Anual a ,45 0,15 17, a ,94-0,13 19, a ,12-0,04 18, a (a) 10209,56-0,02 18,23 (a) mesmo período mas exclundo os 10 das poserores ao 11 de Seembro A análse do quadro 1 perme verfcar que no segundo período denfcado, o nível de volaldade é superor em cerca de dos ponos percenuas, com uma méda nferor em cerca de 984 ponos índce. Consaa-se, gualmene, que o nível de renabldade méda dára em um comporameno precsamene oposo, apresenando um valor de cerca de 0,15% para o prmero e de -0,13% para o segundo período. O segundo período analsado apresena-se como muo conurbado para as bolsas em geral, e no caso poruguês, agravado pelo esgoameno das prvazações. Quadro 2 Esaíscas descrvas da sére do PSI-20 para os dferenes períodos a a a Méda dára (%) -0, , , Máxmo (%) 4, , , Mínmo (%) -4, , , Desvo-Padrão (%) 1, , , Assmera -0, , , Curose 1, , , Jarque-Bera (prob) 5610,85 (0,000) 7 Ao longo de odo o exo va ulzar-se o ermo volaldade realzada para referr a volaldade efecva no período, calculada ex-pos. 934

8 A análse do quadro 2 perme verfcar que a renabldade méda dára apresena comporamenos muo dferenes nos dos sub períodos denfcados, um faco mporane que pode ser mascarado quando se consdera o comporameno da renabldade na globaldade do período. O comporameno dos valores máxmos e mínmos da renabldade dára levam a consaar o porquê da volaldade no segundo sub período ser mas elevada. Uma maor osclação das coações a par com uma renabldade méda negava, são as caraceríscas que mas se desacam no comporameno da renabldade no período de a APLICAÇÃO EMPÍRICA 2.1. VOLATILIDADE HISTÓRICA PROCEDIMENTO AMOSTRAL A ulzação da volaldade hsórca, como prevsor da volaldade fuura, nos mercados fnanceros é muo frequene. A ulzação dese po de modelação da volaldade resula sobreudo da sua smplcdade. Embora exsam dversas formas de modelação da volaldade hsórca, nese po de esmação não há garanas, nem supore eórco, de os valores obdos esejam próxmos dos efecvamene verfcados. Assm sendo, opou-se por ulzar nas esmações que se seguem, o méodo mas smples de esmação da volaldade hsórca. Ulzou-se, pos, o desvo padrão do rendmeno dáro dos acvos, devdamene anualzado, durane o período medaamene aneror, e com a mesma duração (um ano), do período em análse. Para a avalação da volaldade hsórca foram feas comparações enre a sére obda e a volaldade realzada calculada ex-pos, para os mesmos períodos de empo. A avalação comparava das séres é ncada com uma análse comparava das esaíscas descrvas das duas séres. É usual fazer a análse da efcênca de um esmador da volaldade recorrendo a uma análse convenconal da esmação, aravés do méodo dos mínmos quadrados ordnáros, da capacdade explcava desse esmador em relação à volaldade realzada. Assm, opou-se por esmar o modelo: σ = 0 + H + e (3) onde h σ é a volaldade realzada calculada ex-pos para o período e níco do período. Três hpóeses podem aqu ser esadas: H represena a volaldade hsórca no Se a volaldade hsórca coném alguma nformação acerca da volaldade realzada, nesse caso: 0. Se a volaldade hsórca é uma esmava não envesada da volaldade realzada, nesse caso: = 0 0 e = 1. h Se a volaldade hsórca é um prevsor efcene da volaldade realzada, nesse caso e deverá ser um ruído branco, não correlaconado com qualquer varável do conjuno de nformação de mercado. h RESULTADOS O cálculo da volaldade hsórca, para o período em apreço, perme ober os valores para a sére de volaldade hsórca que são comparados com a volaldade realzada, calculada ex-pos para o mesmo período. A comparação das esaíscas descrvas das duas séres permu ober o quadro segune. 935

9 Quadro 3 Esaíscas descrvas das séres de Vol. Realzada e Vol. Hsórca Vol. Realzada Vol. Hsórca Méda 0,1872 0,2040 Desvo Padrão 0,0146 0,0340 Máxmo 0,2168 0,2907 Mínmo 0,1643 0,1643 Assmera 0,5044 1,2107 Curose -1,1118 0,4080 A análse das esaíscas relavas aos prmeros quaro momenos da dsrbução das duas séres, serve para conclur que exse uma grande dferença enre as duas, que acaba por se raduzr em valores muos dspares de qualquer um dos prmeros quaro momenos da dsrbução. A sére de volaldade realzada apresena uma menor assmera, embora ambas as séres apresenem assmera posva. Ao nível da curose verfca-se um comporameno oposo enre a volaldade realzada e a volaldade hsórca. A esmação da regressão descra na fórmula (3), perme avalar a nformação conda na volaldade hsórca, acerca da volaldade realzada. A aplcação da fórmula leva à obenção dos segunes resulados: Quadro 4 Informação conda na volaldade hsórca 0 0,1597 0,134 (0,003087) (0,014886) (enre parêness é apresenado o desvo padrão) h 2 R Dw 0,0976 0,0046 O faco de h apresenar um valor dferene de zero sgnfca que a volaldade hsórca coném alguma nformação acerca da volaldade realzada. Não obsane, h aproxma-se mas de zero do que da undade. Dado que 0 é dferene de zero e h dferene da undade, pode afrmar-se que a volaldade hsórca é um esmador envesado da volaldade realzada. Uma análse comparava com os resulados de Chrsensen e Prabhala (1998), para o mercado de opções sobre o índce S&P 100, perme verfcar que, no mercado poruguês, o poder explcavo da volaldade hsórca é nferor ao enconrado no mercado amercano (0,138 para o mercado poruguês e 0,57 para o mercado amercano). A esaísca 2 R na regressão aneror perme conclur que efecvamene a capacdade prevsonal da volaldade hsórca, em relação à volaldade realzada, é muo baxa. A esaísca de Durbn-Wason ( Dw ) apresena um valor de 0,0046, o que é ndcavo de exsênca de correlação posva na sére de resíduos. Esa análse perme conclur que a volaldade hsórca é um prevsor nefcene da volaldade realzada VOLATILIDADE IMPLÍCITA PROCEDIMENTO AMOSTRAL Uma segunda enava de modelação da volaldade do índce PSI-20 passa pela ulzação da volaldade mplíca. A nvesgação dese po de volaldade aplcada ao índce PSI-20 enfrena à parda dversas lmações, para além das usualmene referdas em esudos empírcos aplcados a mercados esrangeros congéneres, e que passam pelo efeo sorrso da volaldade, bem como pela deecção de uma esruura de prazo da volaldade. 936

10 Em Porugal rabalhar a volaldade do índce PSI-20 aravés da volaldade mplíca mplca ulzar as opções sobre o PSI-20 que êm por acvo subjacene os fuuros sobre o PSI-20. A ulzação de opções sobre fuuros não é a mas correca porque, como esá devdamene descro na leraura, a volaldade dos fuuros é ssemacamene maor do que a volaldade do índce. A sére é relavamene cura dadas as condconanes do mercado poruguês sobre o PSI-20. O mercado de opções sobre o PSI-20 é um mercado jovem com um reduzdo número de ransacções e consequenemene com pouca lqudez. Muos foram os das em que não exsu qualquer ransacção, faco que se nensfcou em parcular ao longo do ano Apenas a parr de Mao de 2001 é que se verfca uma reanmação do mercado com nensfcação da quandade de ransacções. A parr de Junho consaa-se, mesmo, que exsem ransacções na maora dos das em que o mercado eseve abero, sendo város os conraos que foram daramene ransacconados. Ese aumeno na acvdade da bolsa de dervados é, muo provavelmene, um reflexo da lgação enre a BVLP e a MEFF que eve o seu arranque no prncípo de Abrl de Ese período de maor volume de ransacções é, no enano, muo curo para a análse que se preende efecuar. Quadro 5 Transacções de conraos de opções sobre o índce PSI Pos. Aberas (fnal do ano) Nº negócos Volume de conraos (fone: Relaóro sobre a suação dos mercados de valores mobláros dados da BVLP) Noe-se que se, em relação ao número de negócos efecuados, 2001 se apresena como um ano de desenvolvmeno do mercado de opções, a avalação do valor ransacconado, por comparação com anos anerores, já é uma anevsão do que acaba por suceder em 2002 em que os conraos só foram negocados durane os rês prmeros meses. Após um acréscmo de acvdade de 1999 para 2000, em 2001 a quebra no mercado de opções é noóra. Regse-se anda o faco de o número de posções aberas no fnal de 2001 ser de apenas No ano de 2002 o faco de em apenas rês meses exsr um maor número que de negócos quer de volume de conraos resula do faco de er exsdo, no da 05 de Feverero a negocação de um volume de conraos de opções com vencmeno a um mês. Esa fo uma suação esporádca, apresenando durane o reso do ano, um volume de negócos pracamene nulo. A análse que agora se efecua cenra-se nas opções de compra porque as opções de venda veram volumes de negocação muo baxos, de apenas cerca de 50% dos verfcados com as opções de compra. Para além dos facos arás menconados a maora das opções ransacconadas dzem respeo a prazos de vencmenos muo curos. Esa endênca acenua-se ao longo de odo o período em análse. Por exemplo, em 2001 exsem apenas 9 das com ransacções de opções de prazos superores a 30 das. No mercado de opções sobre o PSI-20 as ransacções de opções com prazos de vencmeno superores a 30 das dzem respeo, salvo raras excepções, ao conrao com vencmeno no mês segune. Por úlmo exse anda como lmação o faco de que exse um conjuno muo sgnfcavo das opções ransacconadas que não se enconravam a-he-money. Para enconrar os valores da volaldade mplíca dados sobreposos recorreu-se ao méodo bssecconal com um grau de exacdão de 0,01%. Para ese esudo, e para evar o problema da esruura de prazo da volaldade opou-se por gnorar as ransacções que dzam respeo a opções cuja daa de expração seja superor a 30 das, o que, como arás fcou referdo, levou à elmnação de um conjuno muo reduzdo de 937

11 ransacções. Para os das em que foram efecuadas ransacções de opções com dferenes preços de exercíco as volaldades obdas foram ponderadas pelos respecvos volumes de ransacções, a exemplo do procedmeno usualmene ulzado em aplcações empírcas congéneres. Para que se pudesse fazer a comparação, uma vez que nem em odos os das houve ransacções e consequenemene formação de preços no mercado de opções, consderou-se, para os das em que não exsram ransacções, o valor da volaldade mplíca observada no da medaamene aneror. Chrsensen e Prabhala (1998) consderam que muos dos esudos empírcos que aplcam a volaldade mplíca enfermam de dos erros prncpas: o uso de séres de dados curas e a ulzação de dados sobreposos. Quano ao uso de séres mas ou menos curas, o mercado poruguês sobre o índce PSI-20 em obvamene a lmação do empo de negocação das opções ser muo curo. Quando se ena rabalhar com valores não sobreposos exse a necessdade de rabalhar com valores mensas, o que encura anda mas a sére. No caso poruguês a ulzação de dados não sobreposos leva à obenção de uma sére de apenas 36 observações. A sére de dados mensas da volaldade mplíca dados não sobreposos fo obda da segune forma: aendendo a que o úlmo da de negocação é a ercera sexa-fera do mês de vencmeno, avançou-se para a segunda-fera segune à expração de um conrao. Fo enão rerado do mercado nformação relava: ao valor de mercado do índce, ao preço da opção de compra que, exprando denro de um mês, seja aquela cujo valor esá mas a-he-money (em ambos os casos valores de fecho dáros), ao respecvo preço de exercíco e à axa de juro Eurbor com vencmeno a um mês. Dado que mercado de opções sobre o PSI-20 não fo, durane o período em análse, muo acvo, exsu alguma dfculdade em cumprr exacamene com esas regras. Assm, sempre que se verfcou a ausênca de negocação no da prevso passou-se para o da medaamene segune em que exsu negocação do conrao com vencmeno a um mês. Ese problema ornou-se mas noóro ao longo do ano de 2000, onde apenas no mês de Dezembro exsram negocações do conrao com vencmeno a um mês, na segunda-fera poseror à ercera sexa-fera do mês. Ao longo do ano 2000, as dscrepâncas angem o lme máxmo de 11 das levando a que os conraos analsados enham vencmenos que osclam enre os 30 e os 16 das. Para os resanes anos em análse, a osclação das maurdades dos conraos é subsancalmene menor varando enre os 30 e os 25 das. Para cada observação do preço da opção calculou-se enão a volaldade mplíca recorrendo-se ao méodo bssecconal com um grau de exacdão de 0,01%. Noe-se que, correspondendo ao objecvo vsado, a sére obda não apresena qualquer sobreposção, sendo sm um conjuno de opções com vencmenos sucessvos e maurdade de um mês. A análse da efcênca da volaldade mplíca, enquano esmador da volaldade realzada, é efecuada segundo os mesmos passos dados na análse da volaldade hsórca. A volaldade realzada é calculada expospara os períodos de empo que osclam enre a daa em que é feo o cálculo da volaldade mplíca e a maurdade do respecvo conrao de opção 8. As duas séres de volaldade são comparadas com base nas respecvas esaíscas descrvas. A análse da efcênca da volaldade mplíca como esmador da volaldade fuura preende averguar se a nformação conda na volaldade mplíca é relevane para a prevsão da volaldade fuura, fazendo comparações com o nível de volaldade realzada calculada ex-pos para os mesmos períodos. A análse 8 O que mplca o uso de séres de volaldade realzada, calculadas ex-pos, dferenes das ulzadas para a comparação com a sére de volaldade hsórca. 938

12 convenconal ulzada nese po de eses é obda aravés de uma esmação, aravés do méodo dos mínmos quadrados ordnáros, do modelo apresenado na equação segune: σ = 0 + I + e (4) onde σ represena a volaldade realzada, calculada ex-pos, para o período e I represena a volaldade mplíca no níco do período (devdo à necessdade de concdênca dos períodos para os quas se analsa a volaldade mplíca e a realzada). Tal como para a volaldade hsórca, são aqu esadas rês hpóeses: Se a volaldade mplíca coném alguma nformação acerca da volaldade realzada. Se a volaldade mplíca é uma esmava não envesada da volaldade realzada. Se a volaldade mplíca é um prevsor efcene da volaldade realzada RESULTADOS DADOS SOBREPOSTOS Foram calculadas as esaíscas descrvas da sére, que apresenadas no quadro que se segue. Quadro 6 - Esaíscas descrvas das séres (volaldade mplíca e realzada) dados sobreposos Vol. Realzada Vol. Implíca Méda 0,1693 0,2420 Desvo Padrão 0,0680 0,0738 Máxmo 0,0043 0,0056 Mínmo 0,0001 0,0005 Assmera 1,0541 1,5831 Curose 1,3691 4,2821 Ao analsar as esaíscas descrvas das séres verfca-se com facldade a dscrepânca exsene enre elas. Embora apresenem desvo padrões com valores próxmos, verfca-se que, em méda, a volaldade mplíca é superor à volaldade realzada, para o mesmo período. Embora ao nível da assmera se verfque que a sére de volaldade mplíca apresena uma assmera posva superor é ao nível da curose que se enconra a maor dferença, apesar de ambas as séres serem lepocúrcas. A análse da efcênca da volaldade mplíca como esmador da volaldade fuura, preende averguar se a nformação conda na volaldade mplíca é relevane para a prevsão da volaldade fuura, fazendo comparações com o nível de volaldade realzada calculada ex-pos para os mesmos períodos. Assm, a esmação do modelo apresenado na fórmula (4) perme ober os segunes resulados: Quadro 7 Informação conda na volaldade mplíca dados sobreposos 0 2 R Dw 0,11968 (0,008) 0,2052 (0,03) 0,0497 0,2320 (enre parêness é apresenado o desvo padrão) A análse do quadro aneror perme conclur que 0 e são dferenes de zero. Dado que, adconalmene, é dferene de um, pode afrmar-se que a volaldade mplíca, calculada com dados sobreposos, é um esmador envesado da volaldade realzada. 939

13 O faco de apresenar um valor de 0,2052 sgnfca que coném alguma nformação acerca da volaldade realzada, apesar do seu valor não ser muo sgnfcavo. A comparação com os resulados de Chrsensen e Prabhala (1998) perme conclur que os valores obdos para o mercado poruguês são basane nferores aos obdos para um mercado amercano congénere (0,2052 conra 0,76 enconrado na aplcação ao mercado de opções sobre o índce S&P 100). A esaísca 2 R apresena um valor muo nferor à undade, o que reforça a conclusão de que a volaldade mplíca não consu um bom esmador da volaldade realzada. A esaísca de Durbn-Wason apresena, ambém, um valor muo baxo sugesvo da exsênca de correlação posva nos resíduos da esmação. Assm, a volaldade mplíca, para além de envesada é anda um esmador nefcene da volaldade realzada RESULTADOS DADOS NÃO SOBREPOSTOS Por defnção a volaldade mplíca dá-nos uma prevsão da volaldade ex-ane, assm, e porque o objecvo é enconrar um bom prevsor da volaldade, calculou-se o desvo padrão da renabldade do índce PSI-20, expos, para os mesmos períodos de empo. Uma análse das esaíscas descrvas das séres perme ober os segunes valores: Quadro 8 Esaíscas descrvas das séres (volaldade mplíca e realzada) dados não sobreposos Vol. Realzada Vol. Implíca Méda 0,1729 0,2385 Desvo Padrão 0,0579 0,0390 Máxmo 0,0036 0,0030 Mínmo 0,0009 0,0016 Assmera 1,2432-0,3065 Curose 2,1526-0,5219 A análse do quadro aneror perme verfcar que efecvamene exse uma grande dferença enre as esaíscas descrvas das séres. Ao nível da méda a dferença ange 6,56 %, apresenando-se a volaldade mplíca com valores, em méda, basane superores. Ao nível do desvo padrão maném-se a dscrepânca das séres, mas é na análse da assmera e da curose que as maores dferenças se verfcam. A volaldade realzada apresena assmera posva e a volaldade mplíca assmera negava. Já no que respea à curose o comporameno nverso maném-se, com a volaldade realzada com uma dsrbução lepocúrca e a volaldade mplíca com uma volaldade plancúrca. A esmação da regressão (4) aplcada aos dados mensas perme ober os segunes valores: Quadro 9 Informação conda na volaldade mplíca dados não sobreposos 0 2 R Dw 0,20414 (0,0604) -0, (0,025) 0, ,315 (enre parêness é apresenado o desvo padrão) A análse da regressão cujos resulados são apresenados no quadro aneror leva a que se enconrem valores para 0 e dferenes de zero, apresenado agora um valor negavo e basane dferene da undade. Tal como no caso aneror, pode conclur-se que a volaldade mplíca é um esmador envesado da volaldade 940

14 realzada. A esaísca do seu comporameno. 2 R confrma que ese esmador da volaldade realzada coném pouco valor explcavo Apenas a esaísca de Durbn-Wason apresena uma noa dscordane, dado que apesar de basane dferene de 2, apresena um valor muo mas próxmo do que na análse da regressão aneror. Os resulados obdos no quadro 9 podem, no enano, ser posos em causa. Para al conrbu o faco de se esar a rabalhar com uma amosra muo pequena. Assm, a sgnfcânca esaísca dos resulados anerores em de ser encarada com alguma reserva VOLATILIDADE IMPLÍCITA COM DADOS SOBREPOSTOS E NÃO SOBREPOSTOS A análse execuada nos ponos e fo efecuada separadamene porque o cálculo da volaldade realzada eve que ser fea de acordo com dferenes créros. Assm, os resulados apenas podem ser comparados em ermos de dferenças nas esaíscas descrvas das séres e dos parâmeros obdos nas regressões. Verfca-se pos que, apesar de a segunda sére raar dados não sobreposos, a sua dferença em relação à volaldade realzada é sgnfcava quando comparada com dados dêncos mas sobreposos. A comparação dos quadros 6 e 8 conduz à conclusão de que apesar da dferença de médas ser superor no caso da ulzação de dados sobreposos, a análse dos resanes momenos da dsrbução garane uma maor aproxmação da sére de volaldade mplíca e volaldade realzada, no caso de ulzação de dados sobreposos. Repare-se que a volaldade mplíca é em méda superor à volaldade realzada em 7,26% no caso do uso de dados sobreposos e em 6,56% no caso do uso de dados não sobreposos. Apesar de, no caso de ulzação de dados sobreposos a volaldade mplíca apresenar, em méda uma dferença superor, quando se comparam as dferenças verfca-se que, no caso de ulzação de dados não sobreposos, a dferença apenas dmnu cerca de 0,7%. Repare-se que ao nível da assmera e curose das dsrbuções das séres de volaldade realzada e mplíca (com dados sobreposos) exse alguma proxmdade. Assm, ambas as séres são assmércas posvas e lepocúrcas (apesar da curose da volaldade realzada ser muo superor à da volaldade mplíca). No caso da ulzação de dados sobreposos a dsrbução da sére de volaldade mplíca alera-se compleamene apresenando assmera negava e valores de curose negavos. A comparação dos obdos nas duas regressões efecuadas, conferem ambém um maor poder explcavo da volaldade realzada, à sére que ulza dados sobreposos. Os resulados obdos na aplcação ao mercado de opções poruguês são oposos dos obdos por Chrsensen e Prabhala (1998). A explcação para as conclusões obdas poderá resdr no faco de, no caso dos dados não sobreposos, se esar a rabalhar com uma amosra muo reduzda (a sére apresena apenas 36 observações). O uso de uma sére ão pequena dmnu a sgnfcânca esaísca dos resulados, e os própros Chrsensen e Prabhala (1998) apresenam ese facor como explcavo de alguns desempenhos menos bons, em aplcações empírcas, da volaldade mplíca. Tendo em cona oda a análse aneror, e apesar dos resulados da esmação da volaldade mplíca com dados sobreposos serem superores aos da sére com dados não sobreposos, pode conclur-se que, nas acuas 941

15 condções de funconameno do mercado poruguês, a volaldade mplíca não consu um bom prevsor da volaldade fuura. 3.CONCLUSÕES Pode dzer-se que o mercado Poruguês consu um caso de conornos muo específcos. Traa-se de um mercado perférco sem grande lqudez e profunddade e que esá longe de poder ser consderado um mercado basane acvo, nomeadamene na pare relava aos mercados de dervados. O presene rabalho preende, pos, examnar a relação enre a volaldade hsórca e a volaldade realzada ex-pos do índce PSI-20 e a volaldade mplíca e a volaldade realzada ex-pos do índce PSI-20, de forma a verfcar qual das duas especfcações da volaldade é o melhor prevsor da volaldade fuura e se o faz, ou não, de forma efcene. A análse da capacdade explcava das séres de volaldade hsórca e mplíca, efecuadas ao longo do presene rabalho, permram anever que nenhuma se apresena como um esmador efcene e não envesado da volaldade realzada. Não obsane, consaa-se que o poder explcavo da volaldade mplíca é superor ao da volaldade hsórca. Conraramene ao verfcado em esudos empírcos congéneres, verfca-se que os resulados obdos na modelação da volaldade mplíca com dados sobreposos são superores aos obdos com dados não sobreposos. BIBLIOGRAFIA ABKEN, P.; COHEN, H. (1994): Generalzed mehod of momens esmaon of healh-jarrow-moron models of neres rae conngen clams. Federal Reserve Bank of Alana, pp Abken, P.; Nand, S. (1996): Opons and volaly. Economc Revew - Federal Reserve Bank of Alana, pp AMIN, K.; MORTON, A. (1994): Impled volaly funcons n arbrage-free erm srucure models. Journal of Fnancal Economcs, 35, pp BATES, D. (1995): Jumps and sochasc volaly: exchange rae processes mplc n deuschemark opons. Revew of Fnancal Sudes, 9, pp BECKERS, S. (1981): Sandard devaon mpled n opon prces as predcors of fuure sock prce varably. Journal of Bankng and Fnance, 5, pp BHARADIA, M.; CHRISTOFIDES, N.; SALKIN, G.R. (1995): Compung he Black-Scholes mpled volaly: generalzaon of a smple formula. Advances n fuures and opons research, vol. 8, pp BLAIR, B.; POON, S.; TAYLOR, S. (2001): Forecasng S&P100 volaly: The ncremenal nformaon conen of mpled volales and hgh frequency ndex reurns. Journal of Economercs, 105, pp.5-26 BRENNER, M.; SUBRAHMANYAM, B. (1988): A smple formula o compue he mpled sandard devaon. Fnancal Analyss Journal; pp CANINA, L.; FIGLEWSKI, S. (1993): The nformaonal conen of mpled volaly. Revew of Fnancal Sudes, 6, pp CHRISTENSEN, B.; PRABHALA, N.R. (1998): The relaons beween mpled and realzed volaly. Journal of Fnancal Economcs, 50, pp DAY, T.; LEWIS, C. (1992): Sock marke volaly and he nformaon conen of sock ndex opons. Journal of Economercs, 52, pp EVNINE, J. (1988): Esmang volaly. Porfolo nsurance: a gude o dynamc hedgng, Wley, New York FLEMING, J. (1998): The qualy of marke volaly forecas mpled n S&P100 ndex opon prces. Journal of Emprcal Fnance, 5, pp

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