Richard John Brostowicz Junior. Futuros de swap de variância e volatilidade na BM&F - apreçamento e viabilidade de hedge

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1 FACULDADE IBMEC SÃO PAULO Programa de Mesrado Profssonal em Economa Rchard John Brosowcz Junor Fuuros de swap de varânca e volaldade na BM&F - apreçameno e vabldade de hedge São Paulo 009

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3 Rchard John Brosowcz Junor Fuuros de swap de varânca e volaldade na BM&F - apreçameno e vabldade de hedge Dsseração apresenada ao Programa de Mesrado Profssonal em Economa da Faculdade Ibmec São Paulo, como pare dos requsos para a obenção do íulo de Mesre em Economa. Área de concenração: Fnanças e Macroeconoma Aplcadas Orenador: Prof. Dr. Rcardo Bro Ibmec São Paulo São Paulo 009

4 Brosowcz Jr, Rchard John Fuuros de swap de varânca e volaldade na BM&F - apreçameno e vabldade de hedge / Rchard John Brosowcz Jr; orenador Rcardo Bro São Paulo: Ibmec São Paulo, f. Dsseração (Mesrado Programa de Mesrado Profssonal em Economa. Área de concenração: Fnanças e Macroeconoma Aplcadas) Faculdade Ibmec São Paulo. 1. Swap de varânca. Swap de volaldade 3. Vabldade de hedge

5 FOLHA DE APROVAÇÃO Rchard John Brosowcz Jr Fuuros de swap de varânca e volaldade na BM&F - apreçameno e vabldade de hedge Dsseração apresenada ao Programa de Mesrado Profssonal em Economa do Ibmec São Paulo, como requso parcal para obenção do íulo de Mesre em Economa. Área de concenração: Fnanças e Macroeconoma Aplcadas Aprovado em Mao/009 Banca Examnadora Prof. Dr. Rcardo Bro Orenador Insução: Ibmec São Paulo Assnaura: Prof. Dr. Marcos Eugêno da Slva Insução: USP Assnaura: Prof. Dr. Albero Ohash Insução: Ibmec São Paulo Assnaura:

6 RESUMO Brosowcz Jr, Rchard John. Fuuros de swap de varânca e volaldade na BM&F - apreçameno e vabldade de hedge f. Dsseração (Mesrado) Faculdade Ibmec São Paulo, São Paulo, 009. Um swap de varânca pode eorcamene ser apreçado com um conjuno nfno de calls e pus de opções vanllas se consderarmos que a varânca realzada segue um processo puramene dfusvo com monorameno conínuo. Nesa ese, serão analsadas as possíves dferenças no apreçameno se consderarmos monorameno dscreo da varânca realzada. ambém será analsado o apreçameno de swaps de varânca com payoff em dólares, vso que há um mercado de balcão offshore que funcona desa forma, e que poencalmene servra de hedge para os swaps de varânca da BM&F. Adconalmene, será esada a vabldade de hedge do swap de varânca quando há lqudez em apenas alguns preços de exercíco, como é o caso de opções de câmbo operadas na BM&F. Desa forma, serão monadas careras conendo swaps de varânca e a respecva carera replcane nos preços de exercíco dsponíves como proposo em (DEMEERFI e al., 1999). De posse desas careras, a efcáca do hedge não fo robusa na maora dos eses conduzdos nesa ese. Palavras-chave: swap de varânca; swap de volaldade; vabldade de hedge

7 ABSRAC Brosowcz Jr, Rchard John. Varance and volaly swaps fuure conracs n BM&F prcng and hedge vably f.. Dsseraon (Masershp) Faculdade de Economa e Admnsração. Ibmec São Paulo, São Paulo, 009. A varance swap can heorecally be prced wh na nfne srng of vanlla call and pu opons f we consder ha realzed varance follows a purely dffusve process wh connuous monorng. In hs dsseraon, we wll address he possble prcng dfferences ha may arse f we consder ha realzed varance s dscreely monored. I wll be also analzed he prcng of varance swaps wh a payoff denomnaed n dollars, as here s na offshore marke ha seles hs way and may poenally be a good hedge o he BM&F varance swaps. Addonally, wll be esed f varance swaps can be replcaed wh BM&F vanlla opons when here are only a few srkes avalable. In ha parcular case, he hedge ddn perform que well n he majory of ess conduced n hs dsseraon Keywords : varance swaps; volaly swaps; replcang porfolo

8 LISA DE FIGURAS Fgura 1 Perfl de Varance Vega de um swap de varânca com prazo de 1 ano.1 Fgura Perfl de Varance Vega para um sraddle com K = e 1 ano de prazo..1 Fgura 3 Perfl de Varance Vega em função da axa de câmbo à vsa para espaçameno enre preços de exercíco de 0.01 e K = 1 e K = 4..5 Fgura 4 Perfl de Varance Vega em função da axa de câmbo à vsa para espaçameno enre preços de exercíco de 0.5 e K = 1 e K = 4 6 Fgura 5 Perfl de Varance Vega em função da axa de câmbo à vsa para espaçameno enre preços de exercíco de 0.01, K = 1.5 e K = 3..7 Fgura 6 Perfl de Varance Vega em função da axa de câmbo à vsa para espaçameno enre preços de exercíco de 0.01, K = 1.5 e K =.5.8 f Fgura 7 Perfl de Varance Vega em função da axa de câmbo à vsa para sraddle com preço de exercíco a e F = Fgura 8 Replcação do payoff logarímco assumndo-se o mundo lognormal descro acma 31 Fgura 9 rajeóra do câmbo S ao longo do empo prevsa pela curva dos preços a ermo F.3 Fgura 10 Dferença de PV das duas careras quando S segue uma rajeóra de acordo com o prevso pelos preços a ermo. 33 Fgura 11 rajeóra hosl do avo objeo S por smulação de Mone Carlo 34 Fgura 1 Dferença de PV quando o avo objeo S segue a rajeóra de acordo com a fgura Fgura 13 Replcação do payoff logarímco assumndo-se um mundo lognormal com aleração nos preços de exercíco dsponíves.36 Fgura 14 Dferença de PV agora mudando-se os preços de exercíco da carera replcane. 37 Fgura 15 PV de um swap de varânca X PV da carera replcane dsponível para um swap de varânca de 1Y ncado em 1 Se Fgura 16 PV da carera oal conendo o swap de varânca de 1Y com o hedge dado pela carera replcane dsponível.39 Fgura 17 Replcação do payoff logarímco do swap de varânca de 1Y em 1 Se 06 pelo méodo proposo em (DEMEERFI e al., 1999).40 Fgura 18 rajeóra descra pelo avo objeo aé a daa de vencmeno do swap de varânca de 1 Y.41 Fgura 19 PV de um swap de varânca X PV da carera replcane dsponível para um swap de varânca de 6 M ncado em 1 Jul Fgura 0 PV da carera oal conendo o swap de varânca de 6 M com o hedge dado pela carera replcane dsponível.43 Fgura 1 Replcação do payoff logarímco do swap de varânca de 6M em 1 Jul 08 pelo méodo proposo em (DEMEERFI e al., 1999)..44 f f f

9 Fgura rajeóra descra pelo avo objeo aé o vencmeno do swap de varânca de 6 M.45 Fgura 3 Replcação do payoff logarímco do swap de varânca de 1Y em 1 Se 06 pelo méodo proposo em (DEMEERFI e al., 1999), agora assumndo-se haver as calls e pus de 10% Black Forward Dela Fgura 4 PV de um swap de varânca X PV da carera replcane dsponível esendda para um swap de varânca de 1Y ncado em 1 Se Fgura 5 PV da carera oal conendo o swap de varânca de 1 Y com o hedge dado pela carera replcane dsponível esendda 48 Fgura 6 Replcação do payoff logarímco do swap de varânca de 6 M em 1 Jul 08 pelo méodo proposo em (DEMEERFI e al., 1999), agora assumndo-se haver as calls e pus de 10% Black Forward Dela Fgura 7 PV da carera oal conendo o swap de varânca de 6 M com o hedge dado pela carera replcane dsponível esendda...50

10 SUMÁRIO 1 Inrodução Movação para ulzação de swaps de varânca e volaldade Revsão Bblográfca Descrção dos payoffs e apreçameno de cada conrao Swaps de varânca Informações conrauas Payoff Apreçameno consderando-se o Noconal em reas para swaps de varânca com monoramene conínuo do avo objeo Dferença no apreçameno enre o caso de monorameno conínuo e dscreo da varânca realzada Apreçameno consderando-se o Noconal em dólares para swaps de varânca com monoramene conínuo do avo objeo Dfculdades adconas para o apreçameno de swaps de varânca da axa de câmbo no Brasl Swaps de volaldade Payoff Apreçameno de swaps de volaldade no modelo em que a volaldade realzada é lognormal Vabldade de hedgng para fuuros de swap de varânca da axa de câmbo Análse do perfl de Varance Vega de careras replcanes Smulação de careras conendo o swap de varânca e careras replcanes Back-esng de careras conendo o swap de varânca e a carera replcane dsponível Back-esng de careras conendo o swap de varânca e a carera replcane dsponível esendda 45 6 Conclusão..50 Referêncas

11 1 Inrodução Ese argo aborda dos produos pouco usuas no mercado braslero que podem começar a serem operados num fuuro próxmo na BM&F. raam-se de fuuros de swaps de varânca e volaldade da axa de câmbo. Mas ao conráro de argos clásscos sobre swaps de varânca como (DEMEERFI e al., 1999), que ulzam medaamene apreçameno por não arbragem, ese argo busca nferr se realmene há uma carera replcane dsponível para opções de câmbo na BM&F. Mas especfcamene, o foco prncpal de argo é esar sob quas crcunsâncas as opções vanlla européas de câmbo, dsponíves na BM&F, poderam formar aproxmadamene 1 uma carera replcane para os swaps de varânca da axa de câmbo de reas por dólares. Se odos os preços de exercíco fossem dsponíves e assumndo-se o avo objeo possur um processo puramene dfusvo, enão sera possível consrur uma carera com payoff exaamene gual ao do swap de varânca em odos os esados da naureza. Porano, sob esas crcunsâncas, o apreçameno podera ser perfeamene realzado por não arbragem. Enreano, a exsênca de apenas alguns preços de exercíco pode ornar nsasfaóra a replcação do payoff do swap de varânca. Para avalar sob quas crcunsâncas a replcação se orna sasfaóra, serão ulzadas smulações de Mone Carlo e back-esng de careras conendo o swap de varânca e a carera replcane dsponível de opções de câmbo. Caso a replcação seja robusa, dada a carera replcane dsponível, enão pode-se lançar mão de oda a eora de não arbragem para o apreçameno de swaps de varânca. Caso a replcação se mosre nsasfaóra, enão o preço de exercíco juso obdo por não arbragem sera meramene eórco. O nvesdor asuo devera cobrar um spread, sabendo que em ceras suações seu hedge será nefcene. Inclusve, sob esa hpóese, só sera possível na práca o hedge de um swap de varânca com uma posção conrára em ouro swap de varânca. Porano, o preço de exercíco juso sera dado apenas por les de ofera e demanda. Conudo, em períodos com escassez de lqudez, qual sera o preço de exercíco juso de um swap de varânca da axa de câmbo de reas por dólares cuja replcação por meo de opções vanlla seja nsasfaóra? Consequenemene, verfcar se a replcação por meo de opções de câmbo dsponíves na BM&F é sasfaóra, é val para podermos fnalmene começar a apreçar swaps de varânca. Resumndo, ese argo preende esudar essencalmene a robusez do hedge de swaps de varânca por meo da sua carera replcane dsponível, para que o nvesdor possa poserormene er uma esmava do spread compaível com o rsco não munzável deses conraos. Ouros aspecos, como apreçameno de swaps de varânca assumndo-se monorameno dscreo da varânca realzada, e apreçameno de swaps de varânca sob hpóese do payoff ser pago em dólares ambém serão dscudos. enando-se responder as pergunas acma, ese rabalho fo dvddo em 6 seções. A prmera é uma nrodução ao objevo prncpal do argo. A segunda coném a movação para ulzação de swaps de varânca e não opções européas vanlla como ferramena para operar volaldade. A ercera faz uma breve revsão bblográfca sobre o assuno. Na quara, serão apresenados os payoffs e apreçameno de swaps de varânca e volaldade. O argo (DEMEERFI e al., 1999) e o capíulo 11 sobre dervavos de volaldade de (GAHERAL, 006) serão a base para o exposo acma. Uma boa referênca 1 Aproxmadamene, nese caso, sugere uma replcação que gere fluuações de P&L do conjuno swap de varânca + hedge apenas margnas. Como nos casos esudados em Demeerf e all., 1999 com 19 preços de exercíco dsponíves.

12 para esa pare é ambém o argo (DARIO, 006) que aborda o mesmo ema raado nese argo, porém apenas no que se refere a apreçameno e gerencameno de rsco. Nesa seção há dos focos prncpas. Prmeramene, será apresenada a dferença de apreçameno enre swaps de varânca lqudados em reas e em dólares. O úlmo sera úl por apresenar o evenual hedge no mercado offshore para swaps de varânca na BM&F. Depos, será nvesgada a dferença no apreçameno ao ser consderado monorameno dscreo da varânca realzada ao nvés do habual monorameno conínuo que facla os cálculos. O argo (BROADIE; JAIN, 006) será usado para realzação do ajuse necessáro para calcular a esperança da varânca realzada sob monorameno dscreo. Por úlmo, serão evdencadas algumas poencas dfculdades para o apreçameno de swaps de varânca da axa de câmbo de reas por dólares no Brasl, prncpalmene no que dz respeo à escolha do avo a ser usado para lqudação do conrao. Na quna seção, será dscuda a vabldade de hedgng para os fuuros de swap de varânca. Como a carera replcane para swaps de varânca é composa por um conjuno * nfno de calls e pus vanlla de câmbo no caso de S ser gual ao preço a ermo do avo objeo F (explcação mas dealhada vrá poserormene) somada a uma posção connuamene rebalanceada no avo objeo, enão é naural dscur o que aconece com a carera replcane quando se em apenas alguns preços de exercíco com lqudez, como no dπ caso das opções vanlla de câmbo na BM&F. Incalmene, o perfl de Varance Vega ( ) dσ de cada carera Π será analsado, ndcando em quas crcunsâncas podera haver uma ausênca de capura de varânca realzada para a carera replcane dsponível. Poserormene, serão feos back-esngs e smulações de careras composas pela carera replcane e swaps de varânca, e a rajeóra do P&L desas careras será analsada, enando evdencar a efcáca ou não do hedge proposo com a carera replcane. A meodologa a ser mplemenada para consrução da carera replcane ambém pode ser enconrada em (DEMEERFI e al., 1999). A sexa seção apresena um resumo e a conclusão dos resulados obdos nas seções anerores. Movação para ulzação de swaps de varânca e volaldade Swaps de varânca e de volaldade, apesar do nome, se assemelham a conraos a ermo de varânca e volaldade fuura realzada, respecvamene. Eses dos produos oferecem exposção drea à volaldade da axa de câmbo, dferenemene de opções vanlla de câmbo que êm sua exposção à volaldade de uma cera forma conamnada pela preço correne da axa de câmbo. Para sso, basa noar que o Varance Vega, obdo pela dferencação da fórmula de Black-Scholes adapada para câmbo com relação à volaldade ao quadrado, possu dependênca no valor do avo objeo. Mas especfcamene, o Varance Vega 3 S obdo possu dependênca no moneyness da opção calculado por ln{ }, onde S é o K valor correne da axa de câmbo e K é o preço de exercíco da opção em quesão. d1 S exp{ r τ} τ exp{ } 3 O Varance Vega de uma call de câmbo é f σ π varânca é consane com valor unáro.. Já do payoff do swap de

13 Porano, para um nvesdor que quera fazer uma aposa apenas em varânca realzada, swaps de varânca e de volaldade são a opção mas naural, vso que não apresenam a dependênca descra acma. Conclundo, para qualquer valor correne da axa de câmbo em um nsane de empo fxo, a exposção à varânca realzada σ permanece nalerada em swaps de varânca. Para lusrar melhor o exposo acma, seguem abaxo as fguras 1 e com o perfl de Varance Vega de um swap de varânca de 1 ano e de um sraddle AMF (a-he-money-forward) com K = e 1 ano de prazo. Fgura 1: Perfl de Varance Vega de um swap de varânca com prazo de 1 ano.

14 Fgura : Perfl de Varance Vega para um sraddle com K = e 1 ano de prazo. 3 Revsão bblográfca Duas referêncas que raam o ema swaps de varânca de uma manera mas nuva e geral são (ALLEN e al., 006) e (DEMEERFI e al., 1999). Swaps de varânca, drea ou ndreamene, foram abordados pelos argos menconados a segur. Fo ncalmene apresenado em (NEUBERGER, 1990) a possbldade de ransaconar-se um conrao, que pagasse um payoff baseado apenas na varânca realzada de um avo, sem que dependa da rajeóra descra pelo avo objeo. Ese fo o prmero argo que mosra que um conrao a ermo ou fuuro de varânca pode ser snezado operando-se um conrao com um payoff logarímco 4. Nese argo, ambém são comparados dos méodos para operar a volaldade de um avo. O prmero sera va dela hedgng de opções vanlla européas. O segundo, va o payoff logarímco. Os resulados em (NEUBERGER, 1990) mosram que o úlmo méodo se mosrou superor ao prmero no período em quesão. Um pouco mas arde em 1998, algumas déas de como snezar payoffs baseados na varânca realzada foram mas explcamene apresenadas no argo (CARR e al, 1998). Os auores ulzam as déas proposas em (BREEDEN; LIZENBERGER, 1978) para replcação do conrao com o payoff logarímco. De acordo com os auores, uma posção esáca em opções vanllas combnada com uma posção dnâmca em conraos fuuros sera sufcene para crar um payoff que pagasse a dferença enre a varânca realzada enre dos nsanes de empo fuuros e uma varânca aposada. Nese argo, o auor mosra que operar volaldade va opções vanlla por meo de dela-hedge gera uma dependênca no dollargamma S d Π. Consequenemene, o payoff fnal é dependene do dollar-gamma que por ds sua vez é dependene da rajeóra descra pelo avo objeo, sendo assm ndesejável para um nvesdor que quera fazer uma aposa somene em volaldade. Mas fo em (DEMEERFI e al., 1999) que o ema Swaps de Varânca fo abordado mas especfcamene. Nese argo, os auores dão uma noção nuva bem como uma dervação mas formal sobre o apreçameno de swaps de varânca, nclusve na presença de um "volaly skew". Prmeramene, os auores mosram qual a ponderação necessára para que uma carera conendo dversas opções européas vanlla vesse um perfl de Varance Vega consane. Poserormene, os auores dervam, num conexo onde apenas há a suposção de não haver salos no processo especfcado, qual sera o apreçameno sem arbragem para swaps de varânca. Fórmulas para consrução da carera replcane 5 ambém são apresenadas para o caso onde há apenas um número fno de preços de exercíco dsponíves. Por úlmo, o auor mosra que swaps de volaldade são dependenes do modelo escolhdo para a varânca realzada e devem possur um ajuse de convexdade quando comparados a raz quadrada de um preço de exercíco juso num swap de varânca. 4 Um payoff logarímco em como Payoff = ln ( S ). Leores não famlarzados como um swap de varânca pode ser replcado por um conrao que pague um payoff logarímco, mas uma posção rebalanceada connuamene no avo objeo, podem ver mas dealhes na seção 4 dese argo ou lerem qualquer uma das referêncas cadas no níco desa seção. 5 Na verdade, as careras menconadas são aproxmadamene replcanes pos não coném odos os preços de exercíco dsponíves. Enreano, garanem sempre um payoff superor ao do payoff logarímco caso o avo objeo enha uma rajeóra denro dos preços de exercíco mínmo e máxmo dsponíves.

15 No enano, em (DEMEERFI e al., 1999), ou é ulzado apreçameno por não arbragem (consderando odos os preços de exercícos serem dsponíves), ou assume-se que com um número fno de preços de exercíco dsponíves é possível consrur uma carera que produza um payoff sempre acma (e ão próxmo quano se quera baseada no espaçameno enre os preços de exercíco) do payoff logarímco. Enreano, a banda de valores hpoecamene arbuídos aos preços de exercíco é larga, garanndo assm que dfclmene o avo objeo saa desa banda durane a duração do swap de varânca. Nesa crcunsânca, consdera-se que o payoff logarímco é replcado robusamene. Enreano, a lqudez de opções de câmbo na BM&F é resra 6. Será que so resula no payoff logarímco ser replcado nsasfaoramene, vso que há boa probabldade do avo objeo sar da banda em que a replcação do mesmo é robusa? Se a resposa for posva, enão algum spread devera ser empregado no apreçameno de swaps de varânca da axa de câmbo. Ese argo preende esudar jusamene esa pequena lacuna na leraura de swaps de varânca. Em (ALLEN e al., 006), swaps de varânca são dscudos profundamene, nclusve sob um pono de vsa mas práco. Em (JAVAHERI; WILMO; HAUG, 004), fo dscudo o apreçameno de swaps de volaldade no modelo GARCH (1,1). Em (CARR; Lews, 007) foram apreçados payoffs arbráros de varânca realzada sob hpóese de correlação nula enre o processo do preço da ação e da varânca. Em [14] foram apreçados dervavos de volaldade num modelo de dfusão com salos. (CARR; SAUM, 005) e (BROADIE; JAIN, 006) são boas referêncas para ajuse no apreçameno assumndo-se que a varânca realzada é monorada dscreamene. Fnalmene, (DARIO, 006) é uma referênca em poruguês sobre o assuno. 4 Descrção dos payoffs e apreçameno de cada conrao 4.1 Swaps de Varânca Informações conrauas Swaps de varânca de câmbo são operados no mercado de balcão. Desa forma, fca dfícl generalzar qualquer forma de nformação conraual acerca deses conraos. Já fuuros de swap de varânca são conraos lsados por bolsas. Enreano, as bolsas mundo afora cosumam lançar apenas fuuros de swap de varânca refencados em índces de ações. Porano, ambém há pouca nformação sobre fuuros de swap de varânca de câmbo. Em (ALLEN e al., 006), os auores comenam que usualmene swaps de varânca referencados em ações necessam de margem com um valor ncal alocado como colaeral, da mesma forma como aconece com opções. O valor ncal da margem, enreano, vara de conrao para conrao. ambém é menconado que em alguns das pode não ser dvulgado o fxng 7 de referênca. Ese problema é normalmene chamado de da corrompdo. No caso específco de swaps de varânca da axa de câmbo, há a possbldade de se escolher a PAX 800, o dólar à vsa de fechameno, ou o fuuro de câmbo com vencmeno gual ao do swap de varânca como fxng do swap de varânca. Caso a PAX 800 seja escolhda, enão a chance de haver algum da corrompdo no decorrer do swap é baxa, vso que hsorcamene ese avo quase nunca dexou de ser dvulgado. Na maora dos casos, o BC sempre consegue arbrar um valor para ese avo. Já o fuuro de câmbo com vencmeno gual ao swap de varânca possu 6 Nesa argo, serão consderadas dsponíves calls e pus AMF e 5% de Black Forward Dela na maora das suações esudadas. 7 Fxng é o valor do avo espulado para a lqudação do conrao.

16 maores chances de er algum da corrompdo, assm como o dólar à vsa de fechameno. A fala de lqudez neses avos, em suações exremas, pode gerar a fala de um consenso para se arbrar um valor de fechameno. Ademas, o fuuro de câmbo pode sofrer um lme de ala, por exemplo, e não ser mas operado aé o fnal do pregão. Nese caso, fca anda mas dfícl para se arbrar um valor de fechameno Payoff onde, O payoff de um swap de varânca de câmbo é dado por: Payoff ( ) = NO [ σ K CCY =1 CCY N A σ = R ( x ζ x) N ζ R VAR ] x S = ln( S 1 ) N 1 x = x N =1 A: é o faor de anualzação e é pcamene 5 ( mas pode ser acordado dferenemene no conrao). ζ = 1 ou 0, dependendo se o conrao calcula a varânca realzada ajusando-se pela méda ou não. Payoff CCY () é o payoff que occorre em na moeda CCY especfcada no subscro. NO CCY é o Noconal na moeda especfcada no subscro. K VAR é o preço de exercíco do swap de varânca, ou alernavamene, o nível de varânca no qual o nvesdor enrou no conrao. N : é o número de das úes enre a daa em que ocorreu a ransação e a daa Apreçameno consderando-se o Noconal em reas para swaps de varânca com monoramene conínuo do avo objeo O apreçameno consse em achar o valor de K VAR que zera ncalmene o valor do conrao. Assm sendo emos que: 0 = E [ σ R KVAR ] KVAR = E [ σ R ] onde, E : é a esperança na medda de probabldade neura a rsco em reas. Porano, para achar o valor de K basa calcular a esperança acma. VAR Assumndo-se que o câmbo S segue a segune EDE (equação dferencal esocásca): ds = ( r rf ) d +σ dw S sendo que, S : é a axa de câmbo no nsane.

17 r : é a axa de juros domésca (em reas) no nsane no formao de capalzação conínua. Esa axa pode ser generalzada por um processo adapado pela flração 8 F que represena o conjuno de nformações aé. Uma boa referênca para revsão dos conceos usados nese argo sobre cálculo esocásco sera (WINDCLIFF; FORSYH; VEZAL, 003). rf : é a axa de juros esrangera (em dólares) no nsane no formao de capalzação conínua. Esa axa pode ser generalzada por um processo adapado pela flração F. σ : é a volaldade nsanânea da axa de câmbo em. Da mesma forma, σ pode ser generalzada como um processo adapado pela flração F. W : é um movmeno brownano sob a medda de probabldade neura a rsco em reas. S Com X = ln( ) e ulzando-se o lema de Iô: S 0 dx ds 1 1 = σ S S S d X ds 1 = σ d 0 S 0 < X > = X onde, < X >, = σ s ds é a varação quadráca do processo X enre e. ambém fo ulzado o segune abuso de noação: < > =< X > + X 0, Do exposo acma, noa-se que a varação quadráca do processo pode ser represenada por uma posção esáca num conrao que pague um payoff logarímco mas uma posção dnâmca em conraos de dólares à vsa (Spo), rebalanceados connuamene de modo a 1 maner um Noconal de dólares. Fnalmene, a varânca realzada de a é dada por: S < X >, V, = Porano, para calcularmos a esperança da varânca realzada de 0 a, basa calcularmos a esperança da varação quadráca do processo enre 0 e. ds E [< X > ] = E [ X ] + E [ ] 0 S 0 ds S E 1 E [< X [< X > ] = E [ X ] + 0 ( r rf ) d > ] = ( r rf ) d E [ X ] (1) 0 8 A flração menconada possu as condções usuas defndas em Karazas & Shreve (1991).

18 Alernavamene ambém pode-se escrever: 1 E [< X S > ] = E [ln ] () F onde F é o preço a ermo do avo objeo. A segur, usaremos a segune dendade * proposa em (DEMEERFI e al., 1999) onde S é o valor do preço de exercíco que dvde a lqudez enre calls e pus: X S ln S * S S S * K S dk S K S K ( ) K ( ) 0 S * = * dk (3) De (3) em (1): 1 E [< X > ] = 0 S ( r rf ) d {ln S 1 S * ( K S ) dk *( S K) dk} 0 K K S * Ulzando-se F = S, onde F é o preço a ermo da axa de câmbo, reduz a equação acma para: 1 1 F 1 E [< X > ] = { P( K, ) dk C( K, ) dk} 0 K + K F * A equação acma represena o preço de um swap de varânca para S = F, onde P ( K, ) e C ( K, ) represenam preços de pus e calls vanlla não desconados dados por: C( K, ) = FN ( d1) KN ( d ) e P( K, ) = FN( d1) KN ( d ) ( F K) F ln{ } + 0.5σ τ d 1 = K, d = d1 σ τ e τ = σ τ Dferença no apreçameno enre o caso de monorameno conínuo e dscreo da varânca realzada Uma boa referênca para esa pare é (BROADIE; JAIN, 006). O resulado que será ulzado se enconra no apêndce A do argo cado. Ao consderar-se monorameno dscreo da varânca realzada pode-se dervar que: 1 d ln S = ( r rf σ ) d + σ dw Inegrando-se a expressão acma de a + 1 e usando-se uma dscrezação de Euler: * 0 S ln{ S } = ( r rf σ ) + σ Z + 1

19 onde, N(0,1). Elevando-se ambos os lados ao quadrado e somando-se em odos os Z + 1 nervalos de monorameno resula em: N 1 =0 S N ln { } = ( r rf σ ) + σ Z + ( r ) + 1 rf σ σ Z S + =0 rando-se a esperança sob a medda de probabldades neura a rsco em reas e usando E [ Z ] = 0 e E [ Z ] = 1 mplca que: E S N 1 N [ ln { }] = E [ ( r rf σ ) ] + σ S N 1 =0 Noa-se que o lado dreo da equação acma possu um ermo dependene de para 0 com um aumeno na frequênca de monorameno (com =0 =0 1 e converge endendo a zero). No lme emos que a varânca com monorameno dscreo e conínuo são guas aumenandose a frequênca de monorameno que é um fao desejável e verfcado na equação acma. Mas o que aconece para monorameno dáro? Nese caso específco, analsaremos as dferenças obdas calculando-se as varâncas realzadas sob monorameno conínuo e dscreo e explcaremos as dferenças observadas. No enano, emos um problema para realzação do cálculo da varânca sob monorameno dscreo usando-se a equação acma. A dferença enre as varâncas realzadas sob dferenes frequêncas de monoramenos depende da esperança na medda de probabldade neura a rsco da varânca nsanânea ao quadrado e ermos cruzados que dependem do produo da varânca nsanânea com as axas de juros. Como não sabemos o processo real da varânca nsanânea mas sabemos que sua ordem de grandeza é 10 vezes menor que as axas de juros 9, enão ela será desconsderada na equação acma. Porano, a equação que será ulzada para cálculo da varânca realzada sob monorameno dscreo será: E S N 1 N [ ln { }] E [ ( r rf ) ] + σ S N 1 =0 =0 Podemos reescrever a equação acma da segune forma: E N 1 =0 =0 =0 =0 S N 1 N F [ ln { }] ln { } + σ S F Pode-se noar pela equação acma que a esperança da varânca sob hpóese de monorameno dscreo é sempre superor a esperança sob hpóese de monorameno conínuo. A axa de câmbo de reas por dólares sera um exemplo onde so ocorre. A segur segue um exemplo do exposo acma: Swap de varânca com prazo de 1 ano, so é, com daa de negocação em 1/Se/006 para érmno em 1/Se/007. O valor de K assumndo-se monorameno conínuo é: VAR 1 E [ σ ds] = % s 9 pcamene as axas de juros são da ordem de 10% e as varâncas de 10%. Esa hpóese nos leva à afrmação acma que pcamene a varânca é 10 vezes menor que o valor das axas de juros.

20 Assumndo-se monorameno dscreo dáro o valor de 1 E N 1 [ =0 S ln { S + 1 K VAR mudara para: }] = % Swap de varânca com prazo de 6 meses, so é, com daa de negocação em 1/Se/006 para érmno em 1/Mar/ E 1 E [ [ =0 N 1 σ ds] = % s S ln { S + 1 }] = % Para ouros prazos a dferença mosrou ser da mesma ordem de grandeza, so é, no máxmo 3 ponos base ao quadrado. Porano, para swaps de varânca que não subraem a méda para cálculo da varânca realzada, as dferenças enconradas para esperança da varânca realzada sob os dos pos de monorameno são desprezíves face ao spread de compra-venda de aproxmadamene 50 ponos base ao quadrado neses produos Apreçameno consderando-se o Noconal em dólares para swaps de varânca com monoramene conínuo do avo objeo Na subseção aneror, fo abordado o caso onde o payoff se dava em reas. Os nvesdores podem procurar munzar a posção orgnal adqurda num swap de varânca em reas, ransaconando no exeror (offshore), um conrao de swap de varânca da axa de câmbo. A dferença enre o conrao onshore (com pagameno em reas) e offshore (com pagameno em dólares), consse apenas nesa sul dferença da moeda de lqudação. Para o apreçameno dese conrao offshore, ulzaremos a segune EDE 10 : db f = ( rf r ) d +σ dz B onde, B : é a axa de câmbo no nsane expressa em dólares por reas, so é, coada em USD/BRL. As axas de juros e volaldade possuem o mesmo sgnfcado descro acma. A dferença majorára consse que f Z é agora um movmeno brownano na medda neura a f rsco em dólares. Analogamene ao desenvolvdo acma, pode-se dervar que: E f F B [ σ d] = PB ( K B, ) dk K F B K B B C ( K B B, ) dk Agora, F B é a axa forward com coação em dólares por reas para. Mas precsamene, 10 Incalmene será gnorado o prêmo de conversbldade para cálculo da EDE offshore.

21 F B = B0 exp{ ( rfs rs ) ds} ambém, P B e C B são preços não desconados de pus e calls, respecvamene, de uma undade de opção européa de reas (ao nvés de dólares como eram P e C defndos anerormene) com preço de exercíco K B. A relação dos preços para swaps de varânca que possuem payoff em reas ou dólares é dervada pela segune relação: 1 1 C( K, ) = FN( d1) KN( d ) = N( d B ) N( d1b ) F K 1 1 C( K, ) = [ K BN( d B ) FB N( d1b )] = PB ( K B, ) F K F K B B onde d1 B e d B são calculados de manera análoga a d 1 e d, porém com o avo objeo e preço de exercíco com coações nversas, jusfcando porano o subscro B. Porano, 1 C( K, ) = PB ( K B, ) FK 0 B B B B Iso nos perme conclur que: 1 FK P( K, ) = C B ( K B, ) E f ambém, usualmene: [ 0 σ d] = F C( K, ) dk + FK 0 F FK P( K, ) dk E [ 0 σ d] BRL USD K Var < KVar vso que quando o payoff é em reas, o peso dado às pus é maor 11 que no caso onde o payoff é em dólares. Da mesma forma, quando o payoff é dado em dólares, o peso das calls é maor que no caso onde o payoff é em reas. Como pcamene a superfíce de volaldade da axa de câmbo de reas por dólares possu valores maores de volaldade mplíca para calls fora BRL USD do dnhero que para pus fora do dnhero, so mplca que usualmene K Var < KVar. A nenção dese em fo mosrar que, mesmo num mundo deal onde a volaldade nsanânea onshore e offshore são as mesmas, e as axas de juros para o mercado offshore não possuem prêmo de conversbldade, os valores de K VAR dferem para swaps de varânca com Noconal em reas e em dólares. Obvamene, eses valores dvergem mas anda no mundo real onde a superfíce de volaldade onshore e offshore são dsnas e há o prêmo de conversbldade para apreçameno de conraos a ermo offshore Dfculdades adconas para o apreçameno de swaps de varânca da axa de câmbo no Brasl 11 1 O peso dado é K quando o payoff é em reas e 1 quando o payoff é em dólares. KF

22 O fxng mas usual para os conraos operados sobre a axa de câmbo de reas por dólares é a PAX Esa, por sua vez, é calculada como a méda ponderada pelo volume das ransações de dólares à vsa no mercado de balcão ao longo do da. ambém, para sua consrução há um pouco de arbraredade, vso que o Banco Cenral rera alguns oulers da amosra de negócos ao longo do da usada para o cálculo. De qualquer modo, a volaldade da PAX 800 a cada da é usualmene menor que a volaldade da axa de câmbo de fechameno S, vso que se raa de uma méda dos negócos ao longo do da, suavzando porano sua volaldade. Porano, caso os swaps de varânca enham a PAX 800 de cada da como fxng, enão é de se esperar que se haja uma volaldade menor do que a mplíca no mercado de opções vanlla. O leor pode se pergunar o movo da dmnução da volaldade para os swaps de varânca fxados por PAX 800, quando as opções de câmbo vanlla ambém são fxadas por PAX 800. Aconece que as opções vanlla de câmbo necessam de um processo que descreva o valor da PAX 800 numa daa fuura. Ese processo pode ser perfeamene aproxmado pelo processo descro pela axa de câmbo de fechameno S, para qualquer daa aneror a, vso que a PAX 800 só será formada em. O únco problema com esa aproxmação é que, no da do vencmeno da opção, ela devera er sua volaldade corrgda (no caso reduzda) para refler a PAX 800 e não a axa de fechameno do câmbo S. Enreano, jusamene no da do vencmeno o Vega da opção é quase nulo e uma especfcação ncorrea da volaldade para ese da gera uma mudança ínfma no preço da opção vanlla, mascarando porano esa aproxmação usualmene ulzada. Já para os swaps de varânca que forem fxados por PAX 800, há de se especfcar um processo para a axa PAX 800 ao longo do empo, vso que ao fm de cada da ela deve ser prevsa para fazer o apreçameno do conrao. Mas especfcamene, a volaldade da PAX 800 e não do avo objeo deve ser replcada. Enreano, não há conraos que operem de alguma forma a volaldade da PAX 800, ornando porano a consrução de uma carera replcane anda mas árdua. Porano, esa possbldade resulara em subsancal rsco de base para o nvesdor que desejasse replcar com um porfolo de opções vanlla de câmbo os swaps de varânca endo a PAX 800 como fxng. Oura possbldade sera er a axa de câmbo do conrao fuuro, com vencmeno na mesma daa do vencmeno do swap de varânca como fxng. Esa possbldade ajudara de váras formas. Prmero resolvera o problema de apreçameno sob hpóese de juros esocáscos conforme proposo por (MERON, 1973), vso que sob esa hpóese a volaldade mplíca nas opções é da própra axa forward/fuura de câmbo e não da axa Spo caso seja usada a segune EDE para o processo da axa forward: onde, df F, =, σ F, dw F, : é o preço a ermo correne do avo objeo para a daa. σ : é a volaldade nsanânea do preço a ermo para a daa. F, Para prazos curos aé o vencmeno de opções, ese ajuse por esocascdade de juros é nsgnfcane, mas deve ser consderado para opções com vencmeno após 1 ano com axas de juros bem voláes. O auor (ALLEN e al., 006) ambém ca ese poencal rsco. A escolha pelos fuuros de câmbo em oposção a PAX 800 ambém resolvera o problema 1 Gosara de agradecer Marcos Carrera pela dscussão basane esclarecedora a respeo desa subseção.

23 menconado acma sobre a correção da volaldade dos fxngs. Enão parece mas naural usar os fuuros de câmbo dvulgados pela BM&F para a daa de vencmeno do swap de varânca como fxng, apesar de não ser a opção mas óbva. Enreano, os conraos fuuros da axa de câmbo possuem lqudez apenas nos prmeros dos vencmenos, podendo gerar problemas de das corrompdos conforme vmos acma, prncpalmene nos das que ocorrerem lmes de ala aconados pela BM&F para eses conraos. 4. Swaps de volaldade 4..1 Payoff O payoff de um swap de volaldade de câmbo é dado por: onde, Payoff CCY ( ) = NOCCY [ σ R KVOL ] N A σ = R ( x ζ x) N ζ =1 Pela desgualdade de Jensen, sabe-se que: E[ X ] E[ X ] Porano, se rarmos a raz quadrada da esperança da varânca realzada, ou K VAR, obemos um lme superor para o preço de um swap de volaldade. A dferença enre K VAR e K VOL é usualmene chamada de ajuse de convexdade e ese ajuse depende da volaldade da volaldade realzada a ser especfcada. Iso orna ese ajuse, e porano o preço de exercíco juso K VOL de swaps de volaldade, dependenes da escolha do modelo adoado. A prncpal referênca adoada nesa seção fo (GAHERAL, 006). Nela pode-se ober maores nformações sobre o ajuse de convexdade e sobre a dependênca da escolha do modelo no apreçameno de swaps de volaldade. 4.. Apreçameno de swaps de volaldade no modelo em que a volaldade realzada é lognormal Assumndo-se que a volaldade realzada é lognormalmene dsrbuída com méda µ e varânca s, emos que: E[ < X > ] = exp{ µ + e E[< X > ] = exp{µ + Resolvendo-se o ssema pode-se achar µ e s : 1 s s } } E[< X s = ln{ E[ < X > > ] } ]

24 e E[ < X µ = ln{ E[< X Ulzando-se as equações acma chega-se que: > ] } > ] E[< X > ] E[ < X > ] = s exp{ } Porano, nese modelo, quano maor a volaldade da volaldade realzada s, menor o preço do swap de vol com relação a raz quadrada do preço do swap de varânca e maor o ajuse de convexdade. 5 Vabldade de hedgng para fuuros de swap de varânca da axa de câmbo Nesa seção, vamos esudar a vabldade de hedgng de swaps de varânca da axa de câmbo a serem mplanados na BM&F. Como há em méda 4 opções sobre a axa de câmbo com lqudez na BM&F para cada vencmeno, enão a composção da carera replcane para um swap de varânca (que pode ser decomposo por um conjuno nfno de calls e pus dnamcamene munzados por dela-hedge) deve apresenar mperfeções. Para verfcar ese fao, ncalmene será apresenado o perfl de Varance Vega de dversas possbldades para a carera replcane. É desejado que a carera replcane dsponível possua um perfl de Varance Vega consane como o swap de varânca apresena. Poserormene, serão feos ano smulações quano back-esngs de careras composas pelo swap de varânca e a carera replcane dsponível. A carera replcane dsponível será composa pelas opções AMF (a-he-money forward) call e pu, 5C (5% de call Black forward dela) e 5P (-5% de pu Black forward Dela) salvo alguns poucos casos com propóso meramene lusravo. As volaldades mplícas para esas opções foram obdas a parr de uma base hsórca e nerpoladas para os ponos não observados. A carera replcane do swap de varânca com um número fno de opções será calculada pelas segunes fórmulas adapadas de (DEMEERFI e al., 1999). f ( K ) ( ) n 1 n+ 1, c f Kn, c wc ( Kn c) = wc ( K, K K, c n+ 1, c n, c =0 f ( K ) ( ) n 1 n+ 1, p f Kn, p wp ( K n p ) = wp ( K, ) K K, p n+ 1, p n, p =0 w c ( K n,c ) será ulzado para calcular a quandade de opções 5C e w p ( K n, p ) será ulzado para calcular a quandade de opções 5P. A quandade de opções AMF é dada por: ) e w ( K c w ( K p 0 0 f ( K ) = K 1, c ) f ( K 1, c f ( K ) = K 1, p 1, p K ) ) f ( K K 0 )

25 Nese conexo, a função f é dada por: f ( S ) = onde, F é o preço a ermo para a daa e [ S F S ln{ }] F F K0 = F K1, c K0 = F K1, p Ulzando agora a dervação proposa em (DEMEERFI e al., 1999) para K VAR : K VAR * * * ds S S S S S S = E [ ln ln ] 0 * * * + S S S S S 0 onde, Π CP K VAR = [ * ( r rf ) d ( 1) ln ] 0 * S S0 F S + Π : é a carera de opções (call e pus) não desconadas com pesos dados por w c ( K n,c ) e w p ( K n, p ) cuja combnação dá o segune payoff na daa de vencmeno: * S S S f ( S ) = [ ln ] * * S S * No nosso caso, consderaremos que S = F = K0, chegando-se porano às fórmulas ncalmene apresenadas nesa seção. 5.1 Análse do perfl de Varance Vega de careras replcanes Conforme do acma, ncalmene vamos analsar o perfl de Varance Vega de dversas mplemenações da carera replcane de um swap de varânca de 1 ano, varando-se o número de preços de exercíco e o espaçameno enre eles. Os gráfcos obdos devem ser semelhanes à fgura 1 de (DEMEERFI e al., 1999). Prmeramene, será observado se uma carera replcane composa por opções vanllas de câmbo (com pesos nversamene proporconas a K ), com preço de exercíco ncal 1, preço de exercíco fnal 4 e com preços de exercíco nermedáros espaçados a cada 0.01, maném um perfl de Varance Vega consane enre 1 e 4 (para referênca, o valor de F é de para ese prazo). Esa é a nossa expecava após a observação do gráfco h da fgura 1 de (DEMEERFI e al., 1999). A fgura 3 lusra o resulado obdo. CP

26 Fgura 3: Perfl de Varance Vega em função da axa de câmbo à vsa para espaçameno enre preços de exercíco de 0.01 e K = 1 e K = 4. f A fgura 3 apresena o perfl de Varance Vega esperado, vso que o mesmo apresena perfl consane para valores de câmbo enre 1 e 4. Na verdade, o perfl começa a perder Varance Vega um pouco anes de 4, assm como o gráfco h da fgura 1 de (DEMEERFI e al., 1999) ambém começa a perder Varance Vega anes de 180, que é o úlmo preço de exercíco em que se compra as opções vanllas naquela suação. Ao começarmos a aumenar o espaçameno enre os preços de exercíco, o perfl de Varance Vega começa a fcar osclaóro, ndcando que se capura varânca realzada mas para ceros valores do câmbo do que em ouros. Ese perfl de Varance Vega é ndesejado para replcação do swap de varânca. Pode-se ambém verfcar o exposo acma pelo gráfco d da fgura 1 de (DEMEERFI e al., 1999). A fgura 4 lusra o Varance Vega resulane para uma carera replcane com preço de exercíco ncal 1, preço de exercíco fnal 4 e com preços de exercíco nermedáros espaçados a cada 0.5.

27 Fgura 4: Perfl de Varance Vega em função da axa de câmbo à vsa para espaçameno enre preços de exercíco de 0.5 e K = 1 e K = 4. f ambém será avalado o que aconece com o Varance Vega de careras com espaçameno de 0.01, mas esreando-se gradualmene o nervalo enre os preços de exercíco ncas e fnas da carera replcane dsponível. Vale lembrar que o prmero resulado a ser analsado é o da fgura 3, onde o preço de exercíco ncal é 1, o preço de exercíco fnal é 4 e o espaçameno enre preços de exercíco é de Nesa suação, o Varance Vega possu o perfl consane desejado. A próxma suação a ser analsada será o Varance Vega de uma carera com espaçameno de 0.01 e preço de exercíco ncal 1.5 e preço de exercíco fnal 3. Esa suação esá lusrada na fgura 5.

28 Fgura 5: Perfl de Varance Vega em função da axa de câmbo à vsa para espaçameno enre preços de exercíco de 0.01, K = 1.5 e K = 3. f Noa-se na fgura 5 que o perfl de Varance Vega já começa a se ornar mas côncavo na regão que suposamene devera ser consane. Será analsado agora o que aconece com o Varance Vega de uma carera replcane com espaçameno enre preços de exercíco de 0.01 e com preço de exercíco ncal 1.5 e preço de exercíco fnal.5. A fgura 6 lusra esa suação. Fgura 6: Perfl de Varance Vega em função da axa de câmbo à vsa para espaçameno enre preços de exercíco de 0.01, K = 1.5 e K =.5. f

29 Noa-se que a medda que a dsânca enre o preço de exercíco ncal e fnal encura, o perfl de Varance Vega se orna mas côncavo pero de seu pco. No lme onde o preço de exercíco ncal é gual ao preço de exercíco fnal, há apenas um sraddle na carera replcane que em o perfl de Varance Vega da fgura 7. Fgura 7: Perfl de Varance Vega em função da axa de câmbo à vsa para sraddle com preço de exercíco a e F = Pelas fguras de 5 a 7, pode-se afrmar que o esreameno do nervalo enre os preços de exercíco ncal e fnal da carera replcane prejudca a formação de uma carera com perfl de Varance Vega consane. De fao, quano mas esreo o nervalo enre os preços de exercíco dsponíves, mas côncavo é o perfl de Varance Vega que se orna alamene dependene do valor do câmbo. Ese fao é ndesejado para replcação de swaps de varânca que possuem perfl de Varance Vega consane para qualquer valor do câmbo. 5. Smulação de careras conendo o swap de varânca e careras replcanes Nesa subseção, serão realzadas algumas smulações de rajeóras do avo objeo S, analsando poserormene a replcação obda do payoff logarímco pela carera replcane seleconada naquela rajeóra, bem como a dferença de PV das duas careras. Mas especfcamene, será dealhada sob quas rajeóras do avo objeo S, a carera replcane em boa aderênca ao payoff logarímco. Como consequênca dese fao, as careras que

30 verem boa aderênca ao payoff logarímco ambém erão pouca dferença de PV 13 para o swap de varânca e podem ser consderadas bons hedges. Os preços de exercíco ncalmene seleconados para composção da carera replcane são a call e pu AMF juno com a call e pu de 5% Forward Dela, conforme já fo prevamene menconado. odas as smulações nesa subseção se suam num mundo onde o avo objeo segue o movmeno brownano geomérco abaxo: ds S = ( r rf ) d +σdw onde, r = 10%, rf = 5%, σ = 15% e W é um movmeno Brownano na medda de probabldades neura a rsco em reas. Nesa subseção, será consderado um swap de varânca de 1 Y em 1 Se 06. Uma PV 1% aposa consderável sera operar o equvalene a 400,000 dólares de Vega ( ). Para σ S obermos ese valor de Vega, o Noconal do swap de varânca em reas era que ser calculado por: VEGA( USD) S NOBRL = = 89,053,333 1% σ R De posse do Noconal a ser operado para ober-se a exposção desejada, o próxmo passo sera calcular os pesos das opções vanllas presenes na carera replcane dsponível. Sabe-se que um swap de varânca pode ser replcado por uma carera de opções munzadas dnamcamene ao fnal do da por dela-hedge. Nese rabalho, o foco esá na composção esáca da replcação do swap de varânca formada pela carera de opções. Porano, será analsada a dferença dára enre o valor presene da carera de opções 14 conra a varânca fuura calculada do swap de varânca. Vale noar que ambos sofrem um Π decameno naural do seu valor presene devdo ao hea. Desa forma, pergunas relaconadas ao quano de varânca realzada é capurada pela esraéga de dela-hedge da carera replcane, referenes à composção dnâmca da replcação, não serão abordadas nese argo. Consequenemene, o valor presene da carera replcane dsponível será dado por: onde, PV = Var_ Fuura e _ F, F, Var Fuura = NoBRL{ [ln ( 1)] + Π } * * CP S S Π é a carera de calls e pus não desconadas na daa com pesos calculados pelas CP fórmulas apresenadas na seção aneror e sugerdas por (DEMEERFI e al., 1999). Já o preço a ermo vso em para vencmeno em. F, é 13 PV é o valor presene vso em. 14 somada a um caxa mas um conrao a ermo para replcação esáca do payoff logarímco.

31 A prmera smulação efeuada fo checar se sob realzações de axas de câmbo guas as projeadas pelas axas de câmbo forward a carera replcane possu boa aderênca ao payoff logarímco. Nossa nução nos dz que sm, vso que os valores dos preços de exercíco foram ncalmene calculados com base nas curvas ncas de juros e na superfíce ncal de volaldade. A fgura 8 nos mosra o gráfco de replcação do payoff logarímco smulado nesas crcunsâncas. Fgura 8: Replcação do payoff logarímco assumndo-se o mundo lognormal descro acma. Na fgura 8, pode ser observado que para valores do câmbo enre 1.9 e 3, a carera replcane dsponível replca de manera sasfaóra o payoff logarímco. A fgura 9 lusra a rajeóra do câmbo S prevsa na curva de preços a ermo F.

32 Fgura 9: rajeóra do câmbo S ao longo do empo prevsa pela curva dos preços a ermo F. Como a axa de câmbo S nesa smulação se maneve enre.15 e.3, e como vmos acma a replcação do payoff logarímco sera boa para valores de S enre 1.9 e 3, enão é de se esperar que a carera replcane enha seu PV sempre próxmo do swap de varânca. Ese resulado pode ser consaado observando a fgura 10 que lusra a dferença de PV das duas careras.

33 Fgura 10: Dferença de PV das duas careras quando S segue uma rajeóra de acordo com o prevso pelos preços a ermo. Porano, de posse da carera replcane dsponível, e com uma rajeóra suave e bem comporada do avo objeo, pode-se afrmar que a replcação fo de cera forma sasfaóra 15. Agora será analsada uma suação exrema. Será escolhda uma rajeóra de S obda por smulação de Mone Carlo de acordo com a fgura A dferença de PV fo nferor a uma vol pos o Vega era ncalmene de 400,000 dólares.

34 Fgura 11: rajeóra hosl do avo objeo S por smulação de Mone Carlo. Noa-se pela fgura 11 que em deermnados nsanes o avo objeo S chegou próxmo ao valor A replcação do payoff logarímco permanece gual a da fgura 8, vso que não fo alerada a carera replcane. Vale ressalar, conforme fo do acma, que esa carera replcane em boa aderênca ao payoff logarímco apenas para S enre 1.9 e 3. Porano, nossa nução é que nesa suação deve er havdo uma grande dferença de PV das duas careras. A fgura 1 corrobora ese fao.

35 Fgura 1: Dferença de PV quando o avo objeo S segue a rajeóra de acordo com a fgura 11. Desa forma, conclu-se que para esa realzação da rajeóra de S, a replcação fo nsasfaóra, gerando dferenças de PV na casa de 5,000,000 de reas. Vale ressalar que o Vega desa operação era de 850,000 reas, o que dá uma dferença de aproxmadamene 30 vols 16. Porano, de posse da carera replcane dsponível na BM&F 17, mesmo num mundo lognormal conrolado, fca evdene que o grau de aversão ao rsco do nvesdor devera ser ncluso de alguma forma no apreçameno do swap de varânca. Para aqueles nvesdores que acredam que o câmbo S dfclmene sara da banda enre 1.9 e 3, enão a carera replcane sera um hedge razoável e as fórmulas apresenadas em (DEMEERFI e al., 1999) poderam ser empregadas. Já para um nvesdor que acredasse na possbldade de S sar da banda enre 1.9 e 3, um prêmo por rsco devera ser nauralmene embudo no apreçameno do swap de varânca, vso que nesa crcunsânca o hedge pela carera replcane fo nsasfaóro. A suação reporada acma podera ser razoavelmene alerada caso exsssem ouras possbldades de preços de exercíco dsponíves no mercado (logcamene há ouras possbldades de preços de exercíco no mercado caso o nvesdor se predsponha a pagar um spread de compra-venda subsancal). Por exemplo, podera se alerar o veor de preços de exercíco ncas ulzados para cálculo dos pesos de [1.9907,.1556,.336,.6500, ] para [1.35, 1.6, 1.8,.,.5]. Com eses novos preços de exercíco para a carera 16 Nesa suação, a convexdade do swap de varânca com relação a volaldade devera er sdo conablzada para se er um resulado mas exao, vso que o choque na volaldade fo muo grande. 17 Assumndo-se novamene lqudez apenas na call e pu AMF e 5% Black Forward Dela.

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