A pesquisa Operacional e os Recursos Renováveis. 4 a 7 de novembro de 2003, Natal-RN

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1 A pesqusa Operaconal e os Recursos Renováves 4 a 7 de novembro de 003, Naal-RN AVALIAÇÃO DE OPÇÕES AMERICANAS EXÓTICAS PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS José Paulo Texera Deparameno de Engenhara Indusral PUC-Ro, e-mal: jp@nd.puc-ro.br Tara Keshar Nanda Badya Deparameno de Engenhara Indusral PUC-Ro, e-mal: badya@nd.puc-ro.br Alexandre Faras Froa Deparameno de Engenhara Indusral PUC-Ro, e-mal: alex_froa@homal.com Resumo Embora a maora das opções negocadas aualmene seja do eslo amercano, sua avalação connua sendo uma arefa basane dfícl, parcularmene quando exsem város faores afeando o preço da opção. Isso ocorre bascamene porque méodos de avalação radconas como árvores bnomas e dferenças fnas ornam-se mpracáves na avalação de opções com mas de rês faores de ncereza. Soluções analícas para essas opções mas complexas não exsem ou anda não foram desenvolvdas. Dessa forma, as pesqusas aualmene desenvolvdas esão focadas, em sua maora, no uso de procedmenos numércos para avalação de opções amercanas com caraceríscas mas complexas. Esse rabalho preende esudar um modelo numérco desenvolvdo recenemene, baseado em smulação de Mone Carlo, para a precfcação de opções com caraceríscas de exercíco anecpado. Palavras-chave: opções amercanas; opções exócas; méodos numércos; smulação de Mone Carlo, Méodo dos Mínmos Quadrados. Absrac Though amercan opons are he majory of radable opons her valuaon s a very hard ask, specally when n he presence of mulple facors affecng her prce. Ths dffculs relaed o he mpossbly of he radonal mehods of valuaon such as bnomal rees and fne dfferences o deal more hen hree uncerany facors. Analycal soluons for more complex opons are no avalable or need furher developmen. For hs reason he mos recen research n he area ry o deal wh he use of numercal procedures for he valuaon of amercan opons. The presen paper nend o make use of recenly developed model, based on Mone Carlo Smulaon o value opons wh mmedae exercse characerscs. Keywords: amercan opons; exoc opons; numercal mehods; Mone Carlo Smulaon; Leas Squares Mehod.. Inrodução: conceos báscos A SMC é o modelo de precfcação a ser escolhdo quando uma ou mas das caraceríscas abaxo esão presenes: processos esocáscos mas complexos que o movmeno geomérco brownano; opções dependenes de múlplas varáves de esado e processos esocáscos dversos;

2 payoff s dependenes da rajeóra de preços do avo ( pah dependen ): opções asácas, lookback... e em úlma nsânca qualquer po de opção do eslo amercano. A exsênca de processos esocáscos dversos podem ser exemplcados pela presença de axas de juros, dvdendos e volaldade esocáscos. Além das varáves cadas anerormene podemos er ambém opções envolvendo múlplos avos, geralmene segundo um mesmo processo esocásco. No caso de opções com payoff s dependenes do empo, a hsóra de preços do avo objeo deve ser consderada quando na precfcação da opção e não apenas o preço no nsane fnal, como é o caso de opções européas. A precfcação de uma opção envolvendo apenas um avo objeo pode ser resumdo pelos passos abaxo:. smulação dos preços do avo, S, 0 T ; r E f S, 0 τ. e, onde: f é a função represenava do payoff e [ ]. esmar ( ) [ 0,T ] τ represena o momeno de exercíco; No caso de ermos axas de juros (r) e volaldade (σ ) esocáscas, eses valores devem ambém ser smulados. Uma opção envolvendo múlplos avos pode ser precfcada pelas smulações dos preços dos dferenes avos e deermnação dos payoff s de acordo com a função f dependene dos múlplos avos. Abaxo apresenamos algumas das funções f mas comuns: Européa: ( S T K ) + Amercana: ( S K ) + T T S d K Asáca: 0 + Barrera dupla (knockou): ( ST K ),{ L < S < U, 0 T} Lookback (srke): ( S mn { S, T} ) + T 0 A precfcação de uma call européa envolve apenas a smulação de preços no nsane fnal T, onde o payoff é S T K se S T > K e 0 caso conráro. As smulações dos preços do avo objeo são repedas aravés da ulzação de dferenes números aleaóros (NA) represenavos de uma dsrbução N ~ ( 0,). Assm, nese caso a SMC é da undmensonal por envolver apenas a geração de uma sequênca de NA. Já a precfcação de uma opção amercana é um problema mas complexo por envolver a possbldade de exercíco anecpado em qualquer nsane aé o vencmeno da opção em T. Ese problema será abordado de forma mas dealhada nos ópcos a segur. Por hora, assumndo o conhecmeno da políca de exercíco ómo ao longo do empo, o procedmeno de precfcação da opção amercana será smlar ao da opção européa. A dferença básca resde no fao de ermos que smular os preços do avo em cada nsane de modo a checarmos a possbldade de exercíco anecpado ( * ). No caso da opção européa asáca, precsamos smular os preços do avo ao longo do empo de modo a calcularmos seu preço médo e compará-lo ao valor de exercíco K no nsane fnal T. De manera smlar, numa opção lookback o valor de exercíco no nsane fnal depende do preço mínmo angdo nas smulações do avo ao longo do empo. Essa smulação, por envolver a geração de dversas seqüêncas de NA (uma para cada nsane ), é conhecda como SMC em alas dmensões ou mul-dmensonal

3 A flexbldade da SMC perme a ulzação de qualquer processo esocásco. Se esvermos neressados na geração de apenas um preço smulado, como o valor S T no caso de opções européas, precsaremos gerar apenas um NA (Z) para cada smulação em T. No caso de oparmos pelo movmeno geomérco brownano, o preço fnal do avo pode ser smulado pela expressão abaxo: S T [( r q σ / ) T +σ T Z = S e ] 0 Z ~ N( 0,). Modelo dos Mínmos Quadrados (LSM) Ese méodo de precfcação de opções amercanas, desenvolvdo por Longsaff e Schwarz, fundamena-se na esmação dos valores de maner a opção vva (valor de connuação) para cada nsane de empo. Esa aproxmação basea-se numa função de regressão (mínmos quadrados) para cada nsane, represenava dos valores de connuação das smulações ( V ( w; ) ). Assm como no Modelo de GVW, o valor esperado da opção para cada é deermnado recursvamene (backwards). A maor vanagem do Modelo LSM frene aos demas méodos de avalação baseados em smulações, é o fao do valor esperado da opção só precsar ser calculado uma únca vez, reduzndo consderavelmene o empo compuaconal exgdo. A precfcação de uma call amercana pode ser represenada como: A CALL = Max E exp r K 0 ( w, S ).max{ S( ) } para T ; onde nsane de exercíco: 0 < < L < < T ; ( ) < L L = S preço da ação no nsane ; K preço de exercíco; r ( w, S ) axa de descono assocada a cada smulação ( w ) e preço da ação ( S ). No caso de uma opção amercana smples, consderaremos essa axa como sendo r. consane para odos os camnhos smulados de preços: exp r( w, S ) = e ; 0 No nsane fnal L = T, emos a alernava de exercer a opção caso ela eseja n he money ou permr sua expração se esver ou of he money. No nsane de exercíco anecpado ( < T ), o nvesdor deve decdr enre o exercíco anecpado ou maner a opção vva e reavalar novamene a possbldade de exercíco no nsane poseror +. No nsane, sabemos que o valor da opção devdo ao exercíco anecpado é gual a S( ) K. No caso de oparmos por manê-la vva, o valor da opção em ( V ( w, ) ) corresponderá ao valor esperado dos payoff s gerados pelo exercíco fuuro nos nsanes +, +, K, L, L = T. Assm, consderando a hpóese de não arbragem, o valor de connuação em corresponderá a: 407

4 V, j = + onde C( w ; T ) L j ( w, ) = ( ) EQ exp r w, S. ds. C( w, j; T ) j, F, são os payoff s gerados pelo exercíco da opção. Observamos que ndca que o valor de connuação no nsane, esa condconado às nformações conhecdas na respecva daa ( F ); Assm, a esraéga de exercíco ómo em cada nsane de empo se reduz à comparação dos valores de exercíco medao ( S( ) K ) e valores de connuação ( V ( w, )). Bem como no modelo de GVW, exerceremos anecpadamene a opção (call) sempre que S K V w,. ( ) ( ) O modelo LSM assume que o valor de connuação ( ) V w, em, = L, L, K, pode ser esmado por um modelo de regressão dos mínmos quadrados e uma combnação lnear de um número deermnado de bases ( f n ( X )) represenavas do conjuno de nformações conhecdas em ( F ). Em seu argo orgnal, Longsaff e Schwarz usam como exemplo ncal as poêncas de uma varável de esado X como funções base (polnômo lnear). Assm, emos V n ( w, ) = a0 + a. X + a. X +... (Base: n( X ) X ˆ onde V ˆ (, ) é uma função que esma os valores ( ). w f =, n =,,3...) F V w, para cada smulação w e nsane Fgura - Rea de payoffs e curva de connuação no ercero ano de uma pu amercana com quaro anos. Os payoffs devem ser comparados com a curva do valor de connuação, opando-se pelo exercíco medao caso o payoff seja maor. Devemos salenar que ouras funções como Laguerre, Legendre, Chebyshev e polnômos de Jacob poderam gualmene serem usadas como base. Uma vez smulados os preços das ações para odos os nsanes de exercíco anecpado (,,, L T ), o modelo em quesão pode ser dvddo em duas pares prncpas, L L = correspondenes a cada nsane V ˆ w, pela regressão de Y sobre X ( Y = veor dos valores de connuação em, X = veor dos preços da ações n : () esmar os coefcenes de ( ) 408

5 he money em ); () deermnar o exercíco anecpado em pela comparação dos valores ˆ ( ) e ( ) K V w, S para cada ação n he money. Os passos () e () são enão repedos recursvamene ( L = T, L, K, ) aé que odas as decsões de exercíco anecpado para odos os nsanes de empo e smulações ( w =,, K, N, onde N = número oal de smulações) enham sdo deermnados. Fnalmene o valor da call amercana pode ser avalado por * onde ( ) w exp N ( ) ˆ * ACALL = r N k = 0 ( w, S ). ds w max{ S ( ) K,0} S é o preço da ação para cada nsane de exercíco anecpado ómo * para cada smulação w (rajeóra).caso não exsa nenhum nsane de exercíco anecpado ómo para a w max S K,0 =. smulação w, enão { ( ) } 0 Grau do smulações smulações polnômo PUTLSM Erro (%) PUT LSM Erro (%) Tabela - Análse da precsão do Modelo LSM em função do número de smulações e grau do polnômo lnear ulzado na regressão (DF = 5.3). Smulações PUT LSM Erro (%) 5 nervalos de empo nervalos de empo * PUT B-S = , PUT DF = 5.3 Tabela - Precsão do Modelo LSM em função do número oal de smulações quando comparado a um benchmark baseado no méodo de D.F. Crank-Ncholson. 3. Aplcações do Modelo na Avalação de Opções Complexas 409

6 3.. Modelo Jump-o-Run Meron (976) propôs um processo esocásco onde o preço do avo segura um movmeno geomérco brownano adconado de jumps aleaóros deermnados por uma dsrbução de Posson. O faor adconal represenado por esses jumps pode ser vso como um rsco não ssemáco não capado pelo mercado. Esse processo esocásco é neressane por permr a represenação de dsconnudades no preço do avo, geradas pelo surgmeno de novas nformações. Vsando a smplfcação de nossa lusração, abordaremos uma versão smplfcada do modelo desenvolvdo por Meron, conhecdo como Jump-o-run Model. Nese modelo a ação segue um processo geomérco brownano aé que um eveno (jump) ocorra, a parr do qual a ação perdera oalmene seu valor. Nesa lusração, o jump represena o rsco de falênca da empresa emssora das ações. O processo em quesão pode ser represenado por ds ( r + λ ) S d + S dz S dq = σ onde q é um processo de Posson ndependene com nensdade λ. Quando um eveno de Posson ocorre, o valor de q passa de zero a um ( dq = ), e o preço da ação passa a ser zero daí em dane. A segur apresenaremos os resulados obdos na avalação de duas opções amercanas com λ = 0 e λ = respecvamene. Vsando ornar a comparação de nossos resulados mas sgnfcavas, ajusaremos os parâmeros dos dos casos de modo que as duas dsrbuções de preços do avo enham médas e varâncas guas. A varânca do preço do avo para um Jump-Dfuson process é dada por S + T ( ) ( r ) ( λ σ ) ( 0) e e λ = 0 λ = 0.05 PUTEUR PUTAM Tabela 3: Valores de duas opções pu amercanas e européas cujos preços das ações seguem dos processos esocáscos dversos. Caso base: S = 0 40, X = 40, r =. 06/ ano, q = 0/ ano, σ =./ ano (jump-o-run com λ = ), σ = 30% (mov. geomérco brownano com λ = 0 ) e T = ano; Dados da smulação: Modelo LSM, N = 4 e n = smulações e polnômo lnear de 3 grau (regressão). 40

7 Fgura : Curvas de exercíco médo das duas opções amercanas apresenadas na abela acma. No gráfco acma noamos que a esraéga de exercíco anecpado é mas agressva quando na presença de jumps. 3.. Opções Barrera A aplcação do modelo LSM na avalação de opções do po barrera é relavamene smples. Bascamene devemos modfcar a marz ncal de preços ulzada na precfcação de opções amercanas radconas (vanlla) ornando os preços das ações que angrem a barrera guas a INF (valor nfnamene grande) para odos as rajeóras smuladas. O objevo desa mudança é ornar as ações que angrem a barrera ou of he money para odos os nsanes poserores ao momeno de core da barrera. SB σ = 0. 0,3 0,4 0,5 PUTLSM DF PUTLSM DF PUTLSM DF PUTLSM DF 50 5,4304 5,385 6,3746 6,45 7,68 6,7053 7,89 7, ,588 5,56 6,7974 6,786 7,973 7,75 8,963 8, ,575 5,5377 6,8960 6,8847 8,847 8,939 9,57 9, ,573 5,5393 6,938 6,999 8,394 8,3650 9,790 9,6709 PuAm 5,537 PuAm 6,984 PuAm 8,459 PuAm 0,08 Tabela 4: Valores de opções do po bermuda pu up-ou precfcadas pelo modelo LSM para dversos valores de σ (desvo padrão) e valores da barrera. Na abela acma adoamos como benchmark pu up-ou amercanas cujos valores foram obdos pelo méodo de DF ( M = 00 e N = 4000 ). Podemos consaar que à medda que aumenamos o desvo padrão, a dferença enre os valores obdos pelo modelo LSM e nosso benchmark ende a aumenar. Isso ocorre devdo a ala dependênca das opções do po barrera em relação ao número de nsanes de exercíco anecpado. À medda que aumenamos o desvo padrão essa depêndenca em relação ao número de nervalos de empo usados na smulação orna-se cada vez maor. Essa úlma afrmação pode ser melhor enendda pela abela abaxo. Caso base: Modelo LSM, S = 0 40, X = 45, r =. 0488/ ano, q = 0, T = ano; Dados da smulação: N = 4, n = smulações e polnômo lnear de 3 grau (regressão). SB DF PUTLSM Daas =

8 50 7,056 7,89 7,6670 7, ,539 8,963 8,8455 8, ,895 9,57 9,468 9, ,6709 9,790 9,7508 9,790 Tabela 5: Valores de opções amercanas pu up-ou do caso base da abela acma para dversos nervalos de exercíco anecpado (daas). Noamos que a medda que aumenamos o número de daas de exercíco o valor esmado da pu up-ou pelo modelo LSM converge gradavamene para o valor real represenado pelo benchmark (DF). Fgura 3: Curvas de exercíco anecpado médo para uma pu down-ou e oura amercana do po vanlla com parâmeros guas. Conforme podemos consaar, a curva correspondene a opção down-ou permanece sempre acma do valor de barrera. Caso base: Modelo LSM, S = 0 45, S = 40 B (barrera), X = 50, r =. / ano, q =. 03/ ano, T = 3 meses; Dados da smulação: N =, n = smulações e polnômo lnear de 3 grau (regressão). Fgura 4: Esraéga de exercíco anecpado para as opções barrera e amercana do caso base da fgura acma. Noamos uma dferença nída nas esraégas das duas opções. Consaamos que na opção pu down-ou a maxmzação dos payoff s resula de uma maor concenração dos exercícos anecpados nas semanas ncas. 4

9 3.3. Opções Asácas A precfcação de opções asácas do po amercana ou bermuda apresenam-se como um desafo no campo das fnanças compuaconas. Essa opção é parcularmene mas complexa que as abordadas anerormene por apresenar a possbldade de exercíco anecpado assocada a payoffs dependenes da rajeóra de preços da ação durane deermnada janela de empo. Geralmene esses pos de opções são de dfícl avalação pelos méodos radconas baseados em árvores bnomas e dferenças fnas. Para uma opção asáca do po amercano, a função do valor de connuação (maner a opção vva) e a decsão de exercíco anecpado em cada nsane de empo, depende não mas da monoração de apenas uma varável de esado ( S = preço da ação) mas sm de duas ( S e S = preço médo da ação). S n = n + n = 0 S Dessa forma, as regressões ulzadas no modelo LSM, devem ser represenadas não mas num espaço b-dmensonal ( S ) mas sm por uma superfíce em rês dmensões ( S S ). Longsaff e Schwarz sugere a ulzação de oo bases e polnômos de Laguerre nas regressões a cada nsane de exercíco anecpado. De modo a acelerar o empo compuaconal, opamos por ulzar um polnômo mas smples descro por: f ( S, S ) = α + α. S + α. S + α. S + α. S + α. S S + α. S S + α S S Noamos que em alguns pos de opções exócas a ulzação de polnômos mas complexos, como os de Laguerre, Herme e Legendre, podem conferr um maor grau de precsão aos resulados. No enano, a escolha do polnômo acma sasfaz nossas expecavas a respeo da precsão do modelo quando comparado com um valor de Benchmark (Hull e Whe, 993). X = 40 X = 45 X = 50 X = 55 T = 0.5 T = T = 0.5 T = T = 0.5 T = T = 0.5 T = HW LSM Tabela 6: Valores de opções call asácas para dversos preços de exercíco e vencmeos (6 meses e ano). Noamos que o valor esmado pelo modelo LSM permace próxmo do benchmark (HW) do como uma boa aproxmaçãodo do valor real. Caso base: Call asáca (méda arméca) eslo amercano, S = 50 0, r =. / ano, q = 0/ ano, ; Dados da smulação: Modelo LSM, N = 40, n = smulações e polnômo com oo bases descro acma. 43

10 Fgura 5: Esraéga de exercíco anecpado para as opções asáca e amercana do po vanlla. Noamos que uma call amercana que não paga dvdendos jamas será exercda anecpadamene. Nesse caso, a esraéga óma é represenada pelo exercíco no momeno do vencmeno (semana 4), ornando seu valor gual ao de uma opção européa. Consaamos que o mesmo não vale para o caso de opções asácas, onde são observados exercícos em pracamene odas as semanas. Caso base: Call asáca (méda arméca) eslo amercano, S = 50, X = 50, r =. 5/ ano, q = 0/ ano, σ =. 3/ ano, = 6 0 T meses; Dados da smulação: Modelo LSM, N = 4 (um exercíco por semana), n = smulações e polnômo com oo bases descro acma. Fgura 6: Represenação dos payoff s e curva de connuação esperada no ercero ano de uma call asáca amercana descra abaxo. Observamos que dferenemene do gráfco da fgura 8., essa curva é função de duas varáves, devendo ser análsada num espaço rdmensonal. Caso base: call asáca-amercana, S = 0 50, X = 45, T = 4 anos, r =.0/ ano, q = 0.05/ ano, σ =.30/ ano. Dados da smulação: Modelo LSM, 4 nervalos de empo e 50 smulações (Sobol) Opções Dependenes de Múlplos Avos Nesa seção esenderemos o algormo LSM para o caso de opções amercanas dependenes de múlplos avos. Focaremos nossos resulados em opções baseadas no mínmo ou máxmo de dos e rês avos correlaconados. 44

11 Observamos que os modelos baseados em ávores e DF podem ser aplcados na precfcação de opções dependenes de no máxmo rês avos. No enano, acma de rês dmensões, a aplcação deses méodos orna-se mpracável, resando uncamene os modelos baseados em smulação. Assm como no caso de opções asácas e lookback, a função do valor de connuação nas opções do po máxmo-mínmo depende de múlplas varáves. De modo a faclarmos nossa abordagem, opamos pelas mesmas bases para a avalação de opções sujeas a dos e rês avos correlaconados. No caso de opções sujeas aos preços de rês avos, os ermos S e S correspondem aos dos maores valores do grupo de avos. Srke PUTLSM Trnomal X = Tabela 7: Valores de opções pu amercanas baseadas no valor mínmo mínmo denre dos avos não correlaconados para dversos preços de exercíco (35, 40 e 45). Noamos que o valor esmado pelo modelo LSM permace próxmo do benchmark (árvore rnomal de Boyle). Caso base: opção amercana decra no em (.b) acma, S = S = 40, σ =.0/ ano, σ =.30/ ano, ρ = 0. 5, r =. 05/ ano, q = q = 0/ ano, T =. 583 anos (7 meses); Dados da smulação: Modelo LSM (Sobol), N = 5, n = smulações e polnômo do quno grau com as bases descras acma. CALL Daas de exercíco LSM DF Tabela 8: Valores de opções call amercanas baseadas no valor máxmo denre rês avos correlaconados para dversas daas de exercíco anecpado. Caso base: opção amercana decra no em (.a) acma, S = S = S = 3 00, X = 00, σ = σ = σ =.0/ 3 ano, ρ, = 0.5, ρ,3 = 0.5, ρ,3 = 0.3, r =. 05/ ano, q = q = q = 3.0/ ano, T = 3 anos; Dados da smulação: Modelo LSM (Sobol), n = smulações e e polnômo com as bases descras acma. Fgura 7: Esraéga de exercíco anecpado para o caso base descro na abela acma. Os gráfcos represenam a quandade de exercícos de cada avo em cada nsane de exercíco e o 45

12 percenual oal de exercícos de cada avo. Dados da smulação: Modelo LSM (Sobol), N = 5 e n = smulações. 4. Conclusão Nese rabalho apresenamos o Modelo dos Mínmos Quadrados como a solução mas adequada no raameno de opções amercanas complexas. De modo a fundamenar nosso rabalho abordamos aspecos relavos à precsão do modelo e flexbldade do modelo. As dversas lusrações ao longo do rabalho sugerem a possbldade de obermos dversas nformações do processo de smulação, como: curvas de resrção lvre, probaldade de exercíco em cada nsane e rsco da opção exprar sem valor. Esses resulados são de grande valor quando na avalação de opções reas, apresenando-se como ferramenas gerencas par a omada de decsões. 5. Referêncas Bblográfcas () BOYLE, P.; Broade, M.; Glasserman, P. Mone Carlo mehods for secury prncng, Journal of Economc Dynamcs amd Conrol,, 997, pp () Charnes, J. Usng smulaon for opon prcng, Proceedngs of 000 Wner Smulaon Conference, Orlando, FL, December 0-3, 000. (3) CLEWTOW, L.; STRIKLAND, C. Implemenng dervaves models. New York: John Wley & sons, 998. (4) Hocevar, D. E.., A sudy of varance reducon Technques for esmang crcu yeld, IEEE Trans. Compuer-Aded Desgn, vol. CAD-, no. 3, July 983. (5) FORSYTH, P. A. An Inroducon o Compuaonal Fnance Whou Agonzng Pan. Unversy of Waerloo Workng Paper. Onaro, June 3, 00. (6) FROTA, A.. Modelagem Compuaconal para Avalação de Opções Amercanas, Tese de Mesrado submeda ao DEI PUC-Ro, março de 003. (7) Hull.J. and A. Whe. Effcen Procedure for Valung European and Amercan Pahdependen Opons, Journal of Dervaave,, -3, 993. (8) HULL, J. C. Opons, Fuures & oher Dervaves. 4. ed. New York: Prence Hall, 000. (9) JACKEL, P. Mone Carlo Mehods n Fnance. New York: John Wley & sons, 00. (0) JOY, C.;BOYLE, P..;TAN, K.S. Quas-Mone Carlo Mehods n Numercal Fnance. Managemen Scence, vol.4, n o 6, June 996, pp () LONGSTAFF, F.A.;SCHWARTZ, E.S. Valung Amercan Opons By Smulaon: A Smple Leas-Square Approach. The Revew of Fnancal Sudes, Vol.4, n o, Sprng 00, pp () MORO, B. The Full Mone. Rsk, vol.8, n o, February 995. (3) ODEGAARD, B. A. Fnancal Numercal Recpes. [S.l.:s.n.] Workng Paper, Sepember 9, 999. (4) TAVELLA, D. A. Quanave Mehods n Dervaves Prcng. New York: John Wley & sons, 00. (5) Xaoqng, Lu and KanGuan, Lm, A Parsmonous Mone Carlo Mehod for Prcng Amercan-Syle Opons, Research paper, Cenre for Fnancal Engneerng, Naonal Unversy of Sngapure, june, 00 (6) hp://sphere.rdc.puc-ro.br/marco.nd/ 46