2.1. Modelos Baseados em Premissas de Distribuições Simulação de Monte Carlo

Transcrição

1 2 Value-a-Rsk Anes de adenrar na seara que raa o ermo cenral dese capíulo, é neressane realzar uma cação da evolução hsórca do esudo do rsco. Joron (2003, p. 10) resume os prncpas rabalhos aravés da abela ranscra a segur: 1938 Duraon de íulos de renda fxa 1952 Arcabouço de méda-varânca de arkowz 1963 Capal Asse Prncng odel (CAP) de Sharpe 1966 odelo mulfaoral 1973 odelo de precfcação de opções de Black & Scholes, as gregas 1979 odelo bnomal para precfcação de opções 1983 RAROC, reorno ajusado ao rsco 1986 Lmes de exposção por faxa de duraon 1988 Avos ajusados ao rsco para bancos e lmes baseados nas gregas 1992 eses de esresse 1993 Value a Rsk (VAR) 1994 Rskercs 1997 Credercs, CredRsk Inegração dos rscos de crédo e de mercado 2000 Gesão de rsco em empresas abela 2 - Evolução Hsórca do Esudo do Rsco Fone: Joron, 2003 Harry arkowz, denre seus dversos rabalhos, desenvolveu anda em 1952 o noóro rabalho versando sobre seleção de careras. Ese é por muos consderado um dos precursores, senão o precursor da moderna eora das fnanças. O auor percebeu que o rsco é um faor preponderane nas omadas de decsões referenes às escolhas de nvesmenos possíves. Baseou-se no prncípo da raconaldade do nvesdor, desacando denre as dversas assunções levanadas, que enre careras de mesmo reorno ese escolherá o que apresenará menor rsco, e para porfólos de reornos dferenes, qual maor ese for, mas propenso a acear o rsco aquele esará. ambém ulzou-se da premssa que o nvesdor somene oma como faor de análse para decsão a méda (reorno) e o desvo-padrão ou varânca (rsco), faos aé hoje empregados.

2 Value-a-Rsk 26 No desenvolver de sua eora, provou que o rsco oal de um porfólo depende não somene do rsco (varânca) de cada um dos avos que o compõe, mas ambém de ouro componene, a correlação ou covarânca enre dos avos, nclusve ornando-se o faor preponderane dese componene a medda que a quandade, de avos que negram a carera aumena, denomnando dese de rsco ssêmco ou não dversfcado e o prmero de rsco não-ssemáco ou dversfcável. osra enão a famosa curva que relacona o rsco do porfólo com a quandade de elemenos que o mesmo possu. Por fm, chega ao conceo de fronera efcene. Ao relaconar em um dagrama de rsco x reorno as possíves combnações dos avos exsenes, a fronera será aquela que sempre apresena o maor reorno possível para um dado nível de rsco. Nese conexo, surge o V@R (Value-A-Rsk), como uma ferramena com a fnaldade de avalar os rscos de mercado que são decorrenes de mudanças nos preços do mercado, de forma ssemáca. Joron (2003, p. 19) defne de forma nuva: O V@R sneza a maor (ou por) perda esperada denro de deermnado período de empo e nervalo de confança. Segundo us Jr e Lews, V@R é a maor perda esperada do rsco de mercado, expressa em moeda correne, que um íulo ou carera sofrerá além de um nervalo e com um grau de cereza escolhdo pelo omador de decsão. Exsem hoje dversas ferramenas de gesão de rsco. Elas surgram como resposa ao aumeno das volaldades dos mercados fnanceros globas, prncpalmene pelas dversas crses aravessadas. Enão era necessáro apresenar modelos que permssem uma maor ranqüldade ao nvesdor. Sua concepção orgnal fo movada pelos dversos desasres fnanceros enfrenados pelo mercado, ano no passado quano em épocas recenes. Ele surge não de forma predva, a qual vem mosrando-se cada vez mas nefcene, pela dfculdade de rerar nformações precsas sobre um avo que possu seu valor descro como uma função aleaóra com o passar do empo. O V@R deve ser vso como uma ferramena necessára, mas não sufcene para a admnsração do rsco, que é algo basane complexo. Ele deve ser ulzado pela gesão como um ndcador para suas decsões admnsravas e não

3 Value-a-Rsk 27 a únca resposa para a solução de odos os problemas envolvendo rsco, de forma que sejam sabdas suas lmações e conroles. De manera a enender sua complexdade e desafos, prmeramene é necessáro compreender como o V@R é esmado. É um processo de quaro passos: 1- Deermnar o horzone de empo sobre o qual é requerda a esmação da perda poenca. 2- Seleconar o grau de cereza requerdo, o nervalo de confança para a esmação. 3- Crar uma dsrbução de probabldade dos reornos desejados para a carera ou nsrumeno sob consderação. 4- Fnalmene, ler a solução, o V@R esmado pela observação da quandade perdda que aparece abaxo da curva em forma de sno. VAR raduz o rsco de qualquer nvesmeno fnancero em um padrão comum: a perda poencal. Para enender o conceo de V@R, é necessáro valorar a carera ulzando-se o preço na daa aual, além de denfcar os faores de mercado que nfluencam o resulado do mesmo. Enão, é necessáro omar novos valores para o porfólo e calcular a dferença enre eses e o valor aual prevamene esabelecdo. Ao reper ese conceo, é possível ober uma dsrbução das varações. Dado so, V@R é especfcado em ermos de nervalos de confança. De forma a lusrar o conceo para faclar sua compreensão, em-se a Fgura 1, que represena no exo x a dferença enre o valor alernavo da carera e o valor aual e enquano no exo y a freqüênca acumulada que cada valor apresena nos dferenes nervalos de empo. Fgura 1 Freqüêncas das dferenes varações na carera Fone: Elaboração própra

4 Value-a-Rsk 28 A mplemenação já não é ão smples quano o conceo, pos exsem váras maneras de ober os valores alernavos para a carera para calcular a varação de preço. São rês os méodos mas usados para cálculo, smulação de one Carlo, modelos paramércos e smulação hsórca. Esses modelos serão resumdamene explcados abaxo. É mporane ressalar ncalmene que os dos prmeros méodos, one Carlo e méodos paramércos, são baseados em algumas suposções. Ambos supõem explcamene que os faores de rsco seguem uma dsrbução normal e, os reornos dos faores de rsco um modelo de dsrbução normal mulvarado. Para a compreensão da aplcação desses modelos, porano, são necessáros alguns conhecmenos a respeo dessas dsrbuções. Algumas explcações nesse conexo serão dadas ao longo da descrção dos méodos em quesão odelos Baseados em Premssas de Dsrbuções Smulação de one Carlo Incalmene, será descro o modelo de one Carlo. Para ncar esa mplemenação, deve-se consderar que o processo de geração dos reornos para cada faor de rsco pode ser escro aravés de um ovmeno Geomérco Brownano dado por: dp ( ) ( ) P = µ d +σdw ( ), = 1,..., n (1) Sendo n o número de faores de rsco, P o nível do faor de rsco no empo, µ o drf e σ a volaldade. No caso da Smulação de one Carlo, para que seja possível compreender o processo de geração de cenáros, a eq. (1) deve ser reescra com os ermos ncremenos ndependenes d W ~ ( ). Desa manera: dp ( ) ( ) P = µ d + n j= 1 c j dw ~ ( ), = 1,..., n (2)

5 Value-a-Rsk 29 A equação (2) pode ser reescra na forma veoral para faclar a vsualzação e nução dos coefcenes c j. Isso é possível uma vez que o processo para se chegar a esa equação é semelhane à écnca de Análse de Componenes Prncpas, onde escrevemos um grupo de varáves correlaconadas como uma combnação lnear de varáves ndependenes. Porano, em-se: dp P onde = µ d dp : P + C = ~ d W dp P ( ) ( ), ( = 1, 2,..., Dessa forma, o veor de reorno para qualquer faor de rsco do empo aé o empo pode ser escro como: r 1 2 = ( µ )( ) + C 2, σ Onde: z n ) r, é o veor de reornos do empo ao empo, (3) (4) 2 σ é um veor n x 1 que é gual à dagonal da marz de covarâncas dos reornos, e z ~ NV (0,I). Buscando esmar µ, percebe-se que, quando se ulza horzones curos, assumr o valor zero para o reorno esperado pode ser ão bom quano qualquer esmava de méda que podera ser usada. Porano, pode-se assumr um reorno esperado gual a zero, ou, de forma equvalene, é possível consderar que µ = 1/2σ. Dessa forma, a eq. (4) pode ser reduzda a: r, = C z (5) É possível provar que os reornos de um da ( - = 1) a parr da eq. (5) seguem uma dsrbução normal mulvarada de méda zero e marz de covarânca. A parr desse resulado, verfca-se que a eq. (5) é equvalene à equação:, = σε (6) r Dessa forma, obém-se a duas equações que podem ser usadas para a geração de cenáros de reorno a parr de varáves ndependenes e normalmene dsrbuídas. Se houver apenas um faor de rsco, por exemplo, podemos ulzar a eq. (6). Já para casos em que é desejado consderar múlplos faores de rscos, a eq. (5) orna-se a mas aproprada. Para ulzá-la, é necessáro ncalmene enconrar

6 Value-a-Rsk 30 a marz C de forma que = C C e gerar n varáves ndependenes e normalmene dsrbuídas que serão represenadas no veor coluna z. Uma vez produzdos os cenáros de reorno para faores de rsco, precsa-se raduzr esses reornos em cenáros de lucros ou perdas para os nsrumenos que serão obdos. De forma geral, se exsrem nsrumenos, onde o valor presene de cada um deles é uma função de n faores de rsco Vj(P) com j = 1,..., e P = (P (1), P (2),..., P (n) ), é possível ober um cenáro de perdas e lucros (P&L) de um da para ese porfólo segundo os cnco passos abaxo descros: 1. Gerar um conjuno z de varáves normas ndependenemene dsrbuídas. 2. ransformar as varáves obdas em um conjuno de reornos r = r (1), r (2),..., r (n) correspondendo a cada faor de rsco aravés da marz C, ou seja, r = C z. 3. Ober o preço para cada faor de rsco de um da a parr de hoje usando a fórmula: P 1 =P 0 e r 4. Ober o preço de cada nsrumeno usando os preços P 0 e P 1 anerormene calculados. 5. Ober P&L para o porfólo como: ( Vj ( P1) Vj( Po) O procedmeno é o mesmo para cenáros de das, porém, nese caso, a fórmula orna-se: j P r = Po e (7) Algumas écncas não descras nesse capíulo são necessáras para realzação de odos os cálculos descros acma com o objevo de enconrar o cenáro de perdas e lucros do porfólo. Prmeramene, emos a necessdade de enconrar uma marz C que sasfaça a condção = C C. É mporane ressalar que a escolha da marz C não é únca, exsem dferenes méodos de decomposção da marz de covarâncas, sendo um dos mas populares a decomposção de Cholesky. Ese méodo será dealhado mas a frene, de forma a exemplfcar uma escolha adequada da marz C. Oura écnca mporane e necessára para a aplcação dese méodo de smulação de cenáros aleaóros é a geração de varáves ndependenes e dencamene dsrbuídas em uma normal. O prmero passo para a geração de

7 Value-a-Rsk 31 varáves aleaóras normalmene dsrbuídas consse em gerar números aleaóros unformemene dsrbuídos, com valores enre zero e um e gual probabldade. Em seguda, aplca-se uma ransformação para ober números normalmene dsrbuídos a parr dos valores enconrados. Város algormos compuaconas com o objevo de gerar números aleaóros êm sdo esudados. as adane, um méodo de geração de números aleaóros normalmene dsrbuídos será mas dealhado a fm de se faclar a ulzação dese na aplcação do modelo de smulação de one Carlo na geração de cenáros aleaóros. as adane serão ambém dealhados méodos de se calcular váras meddas de rsco a parr do cenáro P&L gerado éodo Paramérco O modelo de one Carlo descro no em aneror, apesar de apresenar grande flexbldade, por consderar poucas hpóeses, pode se ornar alamene complexo compuaconalmene. Se for possível sacrfcar alguma precsão dos dados, caberá ulzar modelos que fazem uso de mas suposções e, consequenemene, reduzem o empo compuaconal. Nese conexo, surgem os modelos paramércos. Eses são bem mas rápdos que o méodo de one Carlo, porém, não são ão precsos. Eles buscam represenar a função de preço para cada nsrumeno como uma combnação lnear dos faores de rsco, de forma a ober fórmulas analícas para V@R e ouras esaíscas de rsco. Sua precsão fca, porano, compromeda, a menos que a função de preço possa ser bem aproxmada por uma função lnear dos faores de rsco. Nese rabalho, dar-se-á foco ao méodo paramérco Dela, que será descro em dealhes a segur. Incalmene, é assumdo que se enconra em uma posção dependene de n faores de rsco represenados por P (1), P (2),...P (n). Para calcular V@R, deve-se aproxmar o valor presene V da posção assumda usando uma expansão de prmera ordem da sére de aylor, como mosrado na equação abaxo: n V ( ) V ( P + P) V ( P) + P ( ) = 1 P (8)

8 Value-a-Rsk 32 Com base na eq. (8), é possível ober uma expressão smples para P&L, represenada por uma combnação lnear dos faores de rsco de reorno: V = V V n ( ) ( ) ( P + P) V ( P) δr, ondeδ = P ( ) = 1 P A expressão ambém pode ser apresenada na forma marcal, como se segue: V δ r (10) O veor δ é composo dos delas equvalenes para a posção, que podem ser nerpreados como a sensbldade de mudança no valor presene (V) em função de alerações em cada um dos faores de rsco. Os reornos apresenados na equação (r) são na verdade reornos percenuas ( r = P ). É mporane aqu P ressalar que ese modelo é baseado na suposção de que os reornos logarímcos são normalmene dsrbuídos, de forma que os delas equvalenes apresenam boas propredades de agregação. Desa forma, supondo um porfólo conssndo de posções, em-se para P&L: P & L = V j δ j j j r = δ porfólo (9) r (11) Com base nessa expressão, é possível conclur que os delas equvalenes para o porfólo oal pode ser calculado aravés do cálculo prelmnar dos delas equvalenes ndependenemene de cada posção e poseror agregação deses. Consegue-se verfcar anda que, uma vez que os reornos dos faores de rsco são normalmene dsrbuídos, P&L segue ambém uma dsrbução normal, com méda zero e varânca δ δ. Sabe-se que uma dsrbução normal é oalmene descra por sua meda e varânca, logo o fao de P&L segur uma dsrbução normal apresenará fores mplcações para o cálculo das meddas de rsco, as como: V@R, V@R margnal, V@R ncremenal, enre ouros. Um exemplo pode ser cado para o cálculo do V@R, que, sob as suposções do modelo paramérco, será gual a um múlplo do desvo padrão de P&L, uma vez que percens de uma dsrbução normal pode ser expressados por múlplos do desvo padrão.

9 Value-a-Rsk odelos Baseados em Dsrbuções Empírcas Smulação Hsórca Além dos modelos para dsrbução de reornos descros anerormene, é possível ulzar frequêncas hsórcas dos reornos de forma a ober uma dsrbução empírca para os reornos de faores de rsco. Uma vanagem desse méodo em relação aos demas é que nenhuma suposção de dsrbução específca precsa ser fea e nenhum parâmero precsa ser esmado. Por ouro lado, há a desvanagem de que o período seleconado pode não ser represenavo para resulados fuuros em um prazo mas longo. Conforme descro anerormene, os méodos de smulação de one Carlo e paramérco são baseados na suposção de que os reornos seguem uma dsrbução normal. Enreano, essa aproxmação já fo muas vezes quesonada e a busca por ouras dsrbuções alernavas mosrou-se, aé o momeno, ncapaz de enconrar uma aproxmação padrão adequada para odos os casos e períodos de valoração da carera de valores. O modelo de smulação hsórca surge, porano, como alernava na qual uma dsrbução hsórca é esabelecda a parr de amosras do empo passado e aplcada aos dados auas para se ober cenáros de preço de faores de rsco que serão, poserormene, ulzados na obenção de cenáros de P&L para o porfólo. Noa-se que ese méodo ncorpora nformações sobre reornos exremos (não represenados em uma dsrbução normal) que esejam ncluídos no período ulzado para recolher as amosras. Segue abaxo o dealhameno do procedmeno a ser realzado para aplcação do méodo. Supondo-se n faores de rsco e um banco de dados conendo m reornos dáros. Defne-se a marz m x n de reornos hsórcos como: ( 1) r ( r 1 r m 1) ( 1) (2) r L L L r L r L r ( n) ( n) 1 ( n m ) (12) Ulzando-se as enradas desa marz, pode-se calcular o cenáro de perdas e lucros (P&L) de um porfólo específco de manera bem semelhane ao

10 Value-a-Rsk 34 realzado para o modelo de one Carlo, com a únca dferença da dsrbução ulzada em cada caso. Para um porfólo consuído de nsrumenos de valor presene gual a uma função dos n faores de rsco V j (P) com j = 1,..., e P = (P (1), P (2),..., P (n) ), é possível calcular o cenáro de perdas e lucros para das como se segue: 1. Consdera-se uma coluna r da marz R correspondene a um cenáro de reornos para cada faor de rsco. 2. Obém-se o preço de cada faor de rsco de das, aravés da fórmula: P r = Po e (13) 3. Calcula-se o preço de cada nsrumeno ulzando-se o valor aual P 0 e o valor para das, P. 4. Obém-se P&L para o porfólo como: j ( 1 Vj ( P ) Vj( Po) Descro o méodo de Smulação hsórca, fnalza-se a apresenação dos rês prncpas modelos de smulação ulzados para a obenção de cenáros de perdas e lucros (P&L). Uma vez obdos os cenáros, alguns procedmenos devem anda ser realzados para chegar-se ao objevo fnal de se ober meddas esaíscas do rsco assocado à carera. Esses procedmenos serão descros a segur, com a devda dferencação para méodos de smulação (one Carlo e hsórco) e o méodo paramérco. (14) 2.3. Análse Esaísca para o Cálculo do V@R Conforme do anerormene, uma medda de mensuração e conrole dos rscos de mercado basane ulzada é o Value-a-Rsk (V@R), defnda como o valor máxmo que pode ser perddo, com um cero nível de confança, em um dado horzone de empo. A parr dos cenáros gerados de acordo com os méodos de smulação e paramérco, o cálculo de V@R orna-se bem smples e será dealhado a segur:

11 Value-a-Rsk Ulzando-se modelos de smulação Com base nos cenáros P&L gerados a parr da smulação pode-se calcular valores de V@R aravés de procedmenos smples. De modo geral, se m cenáros P&L foram gerados, e deseja-se calcular V@R para um nível de confança α, deve-se ordenar os m cenáros em ordem decrescene V (1), V (2),..., V (m) de forma que o V@R pode ser enconrado pelo valor correspondene a - V (k), onde k = mα. Supondo-se, por exemplo, que foram gerados cenáros P&L e que se deseja calcular V@R 95%, V@R sera defndo como o quno percenl de perdas, de forma que, de manera smplfcada, ese podera ser calculado como o 50 por cenáro de perdas. É mporane noar que a apresenação de V@R como um valor únco, dá déa de um número ao qual o valor real devera se aproxmar, mas essa smples esmava não dá déa da proxmdade ou do afasameno do valor real, ou melhor, da precsão do resulado. Com a ulzação de dos grupos de cenáros aleaóros, por exemplo, um obdo a parr da smulação de one Carlo e ouro a parr da smulação hsórca, provavelmene seram obdos valores dferenes e não sera possível deermnar qual deles é o mas confável. Dane dsso, surge a alernava de se especfcar a precsão do valor enconrado aravés do cálculo de nervalos de confança. Esses nervalos podem ser ulzados para se deermnar o número deal de smulações a serem rodadas de acordo com o nível de precsão desejado, uma vez que exse aí um radeoff enre precsão e empo compuaconal. Quano maor o número de smulações, maor será a exensão do nervalo a ser enconrado de acordo com o procedmeno descro a segur: Pode-se enconrar os lmes superor (s) e nferor (r) de um nervalo de confança (1-p), aravés da expressão: r = mα + mα (15) onde ( 1 α) z p, e s = mα mα (1 α) z p 2 2 z p é o valor correspondene ao percenl para a normal padrão. 2 O cálculo desse nervalo fornece uma déa do erro ao qual a esmava enconrada esá sujea e pode ndcar a necessdade de se amplar o número de smulações efeuadas a fm de se reduzr ese.

12 Value-a-Rsk Ulzando-se o méodo paramérco Para calcular-se V@R a parr da aproxmação paramérca, é mporane ressalar que, uma vez que V@R é um percenual da dsrbução de P&L e percens de uma dsrbução normal são sempre múlplos do desvo padrão, o valor a ser enconrado para V@R será sempre um múlplo do desvo padrão da dsrbução obda para P&L aravés do méodo paramérco. Dessa forma, lembrando que, de acordo com o modelo paramérco, P&L segue uma dsrbução normal, com méda zero e varânca parr da fórmula: VaR = z α δ δ δ δ, obém-se V@R (1-α)% a (16) Onde z esá assocado ao percenl α e deve ser rerado da abela normal padrão a parr da ransformação da dsrbução de P&L V@R margnal Defne-se V@R margnal de uma posção em relação a um porfólo como a quandade de rsco que esa posção acrescena ao porfólo, ou seja, esa medda nforma como o V@R de um porfólo se alerara se uma posção específca fosse vendda. Em ermos maemácos, V@R margnal pode ser defndo como a dferença enre V@R do porfólo oal e o V@R enconrado para o porfólo sem a posção em quesão. Noa-se, porano, que V@R margnal dependerá da correlação exsene enre a posção específca e o reso do porfólo do qual esa faz pare Cálculo para méodo paramérco Aravés do méodo paramérco e com base no que fo do a respeo da defnção de V@R margnal, pode-se ober um valor para ese como se segue: 2 2 VaR( P) VaR( P p) = VaR ( P p) + VaR ( p) + 2ρVaR( P p) VaR( p) VaR( P p) 1 2 = VaR( p) ( ξ + 2ρξ + 1 1) ξ (17)

13 Value-a-Rsk 37 Onde, ρ é a correlação enre a posção p e o reso do porfólo P p, e ξ = V@R (p) /V@R (P-p). É neressane noar que V@R margnal é uma função crescene da correlação enre a posção e o porfólo. Dessa forma, V@R margnal posvo ndca que esa correlação é posva, enquano V@R margnal negavo ndca correlação negava. Além dsso, podemos verfcar que, quando V@R da posção é muo menor que o V@R de odo o porfólo, V@R margnal será aproxmadamene gual a zero. Em algumas análses, pode ser necessáro verfcar V@R margnal para um grupo de posções em relação a odo o porfólo. Isso pode ser feo da mesma manera que a descra acma para uma únca posção V@R ncremenal Assm como o V@R margnal, V@R ncremenal é ambém uma medda de varação do V@R de um porfólo em vrude de alguma aleração realzada na composção dese. Enreano, enquano V@R margnal pode ser calculado para vendas ou compras de uma posção nera ou de um conjuno delas, V@R ncremenal perme esmar o efeo poencal da venda ou compra de apenas uma porção de uma posção. É mporane esabelecer uma defnção mas precsa de IV@R para faclar a explcação do seu cálculo. Sendo ω a quana de dnhero nvesda no nsrumeno, o V@R ncremenal do nsrumeno pode ser defndo como: IVaR = VaR ω ω (18) Cálculo pelo méodo paramérco Recordando-se as suposções e os parâmeros calculados para formação de cenáros aravés do méodo paramérco, sabe-se que o amanho de uma posção é gual ao dela equvalene correspondene à mesma. Dessa forma, é possível calcular V@R para o porfólo conforme apresenado anerormene, como: VaR = z α δ δ (19)

14 Value-a-Rsk 38 O calculo do IV@R, porano, será dado a parr da subsução da eq. (19) na eq. (18), como se segue: VaR IVaR = ω ω ω ω ω Σ = zα ω = ω Logo : IVaR zα ω j ω Σω j = ω, onde : = j zα. ω Σω (20) É mporane noar que represena a sensbldade do porfólo a alerações em cada um dos faores de rsco Cálculo para méodos de smulação O méodo paramérco é bem adequado para se calcular IV@R para suações em que as posções são lneares. Quando as posções não são exaamene lneares, orna-se aproprado ulzar um méodo de smulação no cálculo de IV@R. Para a compreensão do cálculo de IV@R que será apresenado a segur, é mporane noar algumas observações no cálculo de V@R para modelos de smulação. Supondo que foram esabelecdos 1000 cenáros, como do anerormene, V@R 95% será o valor correspondene ao 50 por cenáro. Noase que, ao se alerar P&L em pequenas proporções, aravés da rerada de pare de uma posção, os cenáros obdos connuarão ordenados na mesma seqüênca, de forma que o mesmo cenáro orgnal será anda o 50 por cenáro, mas agora com um valor de P&L um pouco alerado. Logo, conclu-se que, a dferença no valor de V@R em função de uma pequena aleração no amanho (h) de uma posção será V@R=h x, onde x é o P&L para o cenáro que represenava V@R anes da aleração na posção. Desa forma, pode-se assumr que V@R esá relaconado apenas ao cenáro em análse e, em-se: VaR ω ω = ω x = lm h 0 hx ω h (21)

15 Value-a-Rsk 39 Cabe ressalar que, uma vez que, em geral, é realzado em mas de um cenáro, é necessáro calcular a méda de odos os cenáros que possuem valor de porfólo gual a V@R. Dane deses faores e a parr da eq. (20), é possível conclur que: [ ω x / x VaR] IVaR = E ω = A nerpreação desa fórmula perme afrmar que IV@R do nsrumeno é o valor esperado de P&L de, dado que P&L do porfólo oal é o valor de V@R. (22) 2.4. Aplcação das dferenes meodologas Uma vez apresenados rês modelos dsnos de obenção de cenáros de P&L (one Carlo, Smulação hsórca e méodo paramérco), assm como os respecvos procedmenos de cálculo de meddas de rsco como V@R, V@R margnal e IV@R, orna-se relevane mosrar adversdades de suações que podem levar à ndcação de ulzação de uma meodologa em dermeno de oura. Cada uma das meodologas apresenadas possu forças e fraquezas e nenhuma delas pode ser da melhor para odas as suações que podem aparecer, porano, é mporane saber analsar para cada suação qual dessas meodologas é a mas aproprada. Nese conexo, a prncpo, é relevane dealhar a dferença enre nsrumenos lneares e não lneares. Quando o preço de um nsrumeno muda desproporconalmene em relação a um avo adjacene, ele é do não lnear. As esmavas de preços desses nsrumenos são mas complexas que as de nsrumenos lneares, ornando-se necessára a ulzação de fórmulas como Black-Scholes em dermeno de fórmulas smples, de prmera ordem, como dela. Uma vez defndos nsrumenos lneares e não lneares cabe acrescenar que, enquano os méodos de smulação (one Carlo e hsórca) são aproprados para qualquer po de nsrumeno, lneares ou não, o méodo paramérco é precso apenas para avos radconas e dervavos lneares. O preço pago pela maor precsão dos méodos de smulação é o aumeno da complexdade e empo compuaconal.

16 Value-a-Rsk 40 É mporane ressalar que odos as rês meodologas para esmar em alguma vanagem a oferecer e elas podem ser ulzadas de forma conjuna, de forma a oferecer maor robusez à esmava de V@R. Pode-se por exemplo, ulzar o méodo paramérco, que em aplcação smples e rápda, para a medção nsanânea de rsco durane um da de negocação e, poserormene, ao fm do da, se realzar uma esmava com base nos modelos de smulação para se ober valores mas precsos e confáves.