Introdução à Computação Gráfica

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1 Inrodução à Compuação Gráfca Desenho de Consrução Naval Manuel Venura Insuo Superor Técnco Secção Auónoma de Engenhara Naval

2 Sumáro Represenação maemáca de curvas Curvas polnomas e curvas paramércas Curvas polnomas paramércas Curvas Bézer D Algormo de Caseljau ropredades das curvas de Bézer M.Venura

3 Represenação de Curvas ara que uma curva possa ser manpulada neracvamene, é necessáro que: ossa ser processada maemacamene erma grande varedade de formas, nclundo recas e cóncas erma modfcação conrolada erma jusaposção de segmenos de curva M.Venura

4 Curvas olnomas e Curvas aramércas Inerpolação enre dos ponos eremos: Lnear Quadráca Cúbca Ec. Equações eplícas: f( Equações mplícas: f(, Equações paramércas: f(, g( M.Venura 4

5 Curvas aramércas Vanagens: Suporam declves nfnos, curvas fechadas ou mul-valor Elemenos geomércos defndos paramercamene são nerenemene lmados Epressões paramércas são faclmene raduzdas na formas de vecores e marzes Ulzação de um só modelo maemáco para represenar qualquer curva ou superfíce M.Venura 5

6 M.Venura 6 Curva olnomal aramérca k c k c c c L ( Inerpolação lnear enre ponos (combnação lnear: ( ( ( ( ( F F Funções de Msura ( ( ( [ ] F F

7 Curva olnomal aramérca ( ( ( a a ( [ ] a a a a [ ] ( T M B Curva polnomal epressa em função do parâmero e das coordenadas dos ponos que nerpola M.Venura 7

8 Curva olnomal aramérca onos da curva onos de conrolo T M B arâmero da curva (grau Inerpolação M.Venura 8

9 Curvas de Bézer Desenvolvdas no prncípo dos anos 6 na ndúsra auomóvel Resulado da nvesgação separada de erre Bézer (Renaul e de Caseljau (Croen Curva defnda por polígono de conrolo Fácl de generalzar para ordens mas elevadas, nserndo mas ponos de conrolo. M.Venura 9

10 Algormo de Caseljau erme calcular qualquer pono na curva em poucas erações uramene geomérco, não necessa de calcular polnómos Inerpolação lnear repeda O algormopodeser usadocomodefnçãoda curva M.Venura

11 Algormo de Caseljau Ordem, u.75 M.Venura

12 Algormo de Caseljau M.Venura

13 Algormo de Caseljau M.Venura

14 Algormo de Caseljau M.Venura 4

15 Algormo de Caseljau ( ( ( ( ( M.Venura 5 ( ( Índce do úlmo pono No. ponos - ( ( ( (

16 Trângulo de ascal Os coefcenes do polnómo são calculados pelas combnações n n n! C! ( n! Que podem ser rapdamene deermnadas por uma lnha do Trângulo de ascal: n n n n M.Venura 6

17 M.Venura 7 Algormo de Caseljau [ ] ( ( ( ( ( 6 ( 4 4, - - Q G M T Q b b ( ( ( ( - ( - ( C

18 Resumo Algormo de Caseljau Lnear Grau, Ordem F(, F( -u u F(u (-u u Quadráca Grau, Ordem F(, F( -u u -u -u u F(u (-u u(-u u u Cúbca Grau, Ordem 4 F(, F( M.Venura 8 -u -u u -u -u u-u u-u F(u (-u u(-u u (-u u u u u

19 M.Venura 9 Curvas de Bézer - Epressões aramércas Em que B,n éa função polnomal de Bézer,! (..(!(! n n n B n ( ( ( n n n n n C B, ( ( ( n n n n n C B, n grau n número de ponos -

20 M.Venura Curvas de Bézer - Epressões aramércas ( ( ( ( ( ( n (grau n (grau ( ( ( ( ( ( ( (

21 Cálculo e Represenação da Curva Arbundo ao parâmero valores reas no nervalo [,] (anos quanos se desejarem, e subsundo nas duas epressões paramércas, são deermnadas as coordenadas de ponos da curva ( (, (, (, ( (, N M.Venura

22 ropredades das Curvas de Bézer O grau duma curva de Bézer defnda por n ponos de conrolo é gual a n A curva nerpola o prmero e o úlmo ponos de conrolo A angene à curva no prmero pono de conrolo esá sobre o segmeno de reca que une o prmero e o segundo ponos de conrolo A angene à curva no úlmo pono de conrolo esá sobre o segmeno de reca que une o ercero e o úlmo ponos de conrolo A curva esá neramene conda no casco conveo dos seus ponos de conrolo Esem város processos de deermnar ponos da curva M.Venura

23 Caraceríscas Geomércas ( odem-se defnr curvas fechadas fazendo concdr o prmero e o úlmo ponos de conrolo. M.Venura

24 Caraceríscas Geomércas ( As curvas podem er formas mas ou menos compleas, com o número de ponos de conrolo que se desejar Concaenação de curvas M.Venura 4

25 Eemplo Deduzr as epressões paramércas e raçar a curva defnda pelos ponos do polígono de apoo segunes: (, (, (, M.Venura 5

26 M.Venura 6 Eemplo - Resolução Há ponos de conrolo e, porano, o grau do polnómo é : ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

27 Eemplo Manendo os mesmos ponos de conrolo e do problema aneror, (, (, deermnar a nova posção do pono sobre o eo dos XX, de manera a que a curva gerada passe por, de coordenadas: (.5,.5 M.Venura 7

28 M.Venura 8 Eemplo - Resolução O polígono de conrolo é agora consuído por (, (, (, Como a curva conem o pono (.5,.5, enão, ese um valor do parâmero para o qual: ( (.5 Recorde-se que as epressões paramércas p/ n são ( ( ( ( ( (

29 M.Venura 9 Eemplo - Resolução.. (. ( (.. (. ( ( Subsundo nas epressões paramércas p/ N eremos (.5..5 Os ponos de conrolo são enão: (, (, (, e as epressões paramércas serão: ( ( (

30 Eemplo - Resolução Arbundo valores a obém-se as coordenadas de ponos da curva permndo raçar o segune esboço: ( ( ( Verfcação para.5:.5 (.5.5 (.5.5 (.5 (.5 (.5 M.Venura.5.5

31 Eercíco Consdere os segunes 4 vérces do polígono que defne uma Curva de Bézer: B 4. Calcule as funções de Bézer (msura para cada pono de conrolo.. Calcule 5 ponos da curva e represene-a grafcamene. M.Venura

32 Bblografa Rogers, Davd (998, Mahemacal Elemens for Compuer Graphcs, McGraw-Hll. M.Venura

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