FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO RICARDO CONSONNI

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1 FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO RICARDO CONSONNI MODELAGEM DE SUPERFÍCIES DE VOLATILIDADE PARA OPÇÕES COM BAIXA LIQUIDEZ SOBRE PARES DE MOEDAS, CUJOS COMPONENTES APRESENTAM OPÇÕES LÍQUIDAS EM OUTROS PARES SÃO PAULO 0

2 RICARDO CONSONNI MODELAGEM DE SUPERFÍCIES DE VOLATILIDADE PARA OPÇÕES COM BAIXA LIQUIDEZ SOBRE PARES DE MOEDAS, CUJOS COMPONENTES APRESENTAM OPÇÕES LÍQUIDAS EM OUTROS PARES Dsseração apresenada à Escola de Economa da Fundação Geúlo Vargas (FGV/EESP) como requso para obenção do íulo de Mesre em Fnanças e Economa Empresaral. Orenador: Prof. Dr. Afonso de Campos Pno SÃO PAULO 0

3 Consonn, Rcardo. Modelagem de Superfíces de Volaldade para Opções com Baxa Lqudez Sobre Pares de Moedas, Cujos Componenes Apresenam Opções Líqudas em Ouros Pares / Rcardo Consonn f. Orenador: Afonso de Campos Pno Dsseração (mesrado profssonal) - Escola de Economa de São Paulo.. Câmbo a ermo.. Lqudez (Economa). 3. Análse esocásca. 4. Mercado de opções. 5. Moeda. I. Pno, Afonso de Campos. II. Dsseração (mesrado profssonal) - Escola de Economa de São Paulo. III. Tíulo. CDU

4 RICARDO CONSONNI MODELAGEM DE SUPERFÍCIES DE VOLATILIDADE PARA OPÇÕES COM BAIXA LIQUIDEZ SOBRE PARES DE MOEDAS, CUJOS COMPONENTES APRESENTAM OPÇÕES LÍQUIDAS EM OUTROS PARES Dsseração apresenada à Escola de Economa da Fundação Geúlo Vargas (FGV/EESP) como requso para obenção do íulo de Mesre em Fnanças e Economa Empresaral. Daa de aprovação: / / Banca Examnadora: Prof. Dr. Afonso de Campos Pno (Orenador) FGV-EESP Prof. Dr. José Evarso dos Sanos FGV-EAESP Prof. Dr. Oswaldo Luz do Valle Cosa USP-EPUSP 4

5 Agradecmenos Ao meu orenador, Prof. Afonso de Campos Pno, por odo o apoo e dedcação ao longo dese rabalho. Ao Prof. Rcardo Rochman, pela aenção dada na apresenação da dsseração. A Chrsan Iveson, pelos esclarecmenos a respeo do modelo. Aos meus colegas de rabalho, Cláudo de Nard Queroz, Paulo do Cano Huber Jr. e Rodrgo Polasro, pelo apoo na resolução dos cálculos e equações e sugesões na apresenação dos resulados. Aos meus pas, que me deram apoo durane ese empo odo. À mnha namorada, Tas Souza Borba, por odo carnho e compreensão. 5

6 Resumo Ese rabalho apresena um modelo para deermnação da superfíce de volaldades de um par de moedas cujas opções êm baxa lqudez, ulzando superfíces de volaldade com maor lqudez, de pares de moedas em que as moedas esudadas sejam uma de suas componenes. Esse objevo é angdo aravés da ulzação de um modelo de volaldade esocásca. A calbração de seus parâmeros é fea a parr dos valores de mercado de Buerfly Spreads e Rsk Reversals dos pares de moedas líqudos. O rabalho conrbu em relação à leraura no sendo de amplar a coberura de srkes e vencmenos consderados, permndo que, ano opções pouco líqudas e fora do dnhero, como noas esruuradas com opções embudas possam ser mas adequadamene apreçadas. Palavras-chave: Volaldade Esocásca, Superfíce de Volaldade, Opções de Câmbo Absrac Ths work presens a model for deermnng he volaly surface of a currency par whose opons have low lqudy, usng hgher lqudy volaly surfaces of oher currency pars, n whch he desred currences are one of her componens. Ths goal s acheved hrough he use of a sochasc volaly model. The calbraon of s parameers s done from marke values of he Buerfly Spreads and Rsk Reversals of he lqud-currency pars. Ths work conrbues o he leraure n an effor o broaden he scope of srkes and maures consdered, allowng for boh llqud and ou of-he-money opons, as well as srucured noes wh embedded opons, o be more appropraely prced. Keywords: Sochasc Volaly. Volaly Surface, Currency Opons 6

7 LISTA DE FIGURAS Fgura - Volaldade mensal observada nos pares de moedas USDCAD, EURUSD e EURCAD no período de Jan/006 a Mar/0...4 Fgura Smle de volaldade ípco, observado no da 5/03/0, para o par USDBRL...5 Fgura 3 - Exemplo de superfíce de volaldades...5 Fgura 4: Ilusração de uma árvore bnomal com volaldade esocásca (Derman, 008)...7 Fgura 5: Volaldades mplícas para o par de moedas EURBRL, no da 5/03/0...5 Fgura 6: Rsk Reversals e Buerfly Spreads do par de moedas EURBRL, no da 5/03/0...6 Fgura 7: Fluxograma do processo de obenção das volaldades mplícas...9 Fgura 8: Alphas calculados para as moedas USDCAD e EURUSD no da 5/03/0...3 Fgura 9: Rhos calculados para as moedas USDCAD e EURUSD no da 5/03/0...3 Fgura 0: Alphas e Rhos calculados para o par de moedas EURCAD, no da 5/03/ Fgura : Buerfly Spreads e Rsk Reversals calculados para o par de moedas EURCAD, no da 5/03/ Fgura : Superposção das superfíces de volaldade esmada e de mercado para as calls do par EURCAD, para o da 5/03/ Fgura 3: Resulado da subração das superfíces de volaldade esmada e de mercado das calls do par EURCAD para o da 5/03/ Fgura 4: Secções emporas das superfíces de volaldade esmada e de mercado das calls do par EURCAD para o da 5/03/ Fgura 5: Secções emporas das superfíces de volaldade esmada e de mercado das pus do par EURCAD para o da 5/03/ Fgura 6: Secções por Dela das superfíces de volaldade esmada e de mercado das calls do par EURCAD para o da 5/03/0...4 Fgura 7: Secções por Dela das superfíces de volaldade esmada e de mercado das pus do par EURCAD para o da 5/03/ Fgura 8: Superposção das superfíces de volaldade esmada (por baxo) e de mercado para as calls do par EURCAD, para o da 5/09/ Fgura 9: Resulado da subração das superfíces de volaldade esmada e de mercado das calls do par EURCAD para o da 5/09/ Fgura 0: Superposção das superfíces de volaldade esmada (por cma) e de mercado para as calls do par EURCAD, para o da 06/05/ Fgura : Resulado da subração das superfíces de volaldade esmada e de mercado das calls do par EURCAD para o da 06/05/

8 SUMÁRIO. Inrodução...9. Revsão Bblográfca Descrção do Modelo Apresenação e Dscussão dos Resulados Conclusões Bblografa...45 Apêndce I Demonsração maemáca da deermnação dos parâmeros α e ρ dos pares de moedas líqudos a parr dos valores de Rsk Reversals e Buerfly Spreads...47 Apêndce II - Saídas do sofware Evews para as regressões da volaldade de cada Par de Moedas, em função da varação de suas coações Fase...54 Apêndce III Comparação das Superfíces de Volaldades para Ouros Das de Ineresse

9 . INTRODUÇÃO O mercado de opções de câmbo apresena grande lqudez há város anos, e o correo apreçameno de seus nsrumenos se orna mperavo para o sucesso dos parcpanes desse mercado. Esse assuno já fo abordado em números esudos, e as caraceríscas de cada faor que nfluencam o preço das opções, prncpalmene as plan vanlla, cujo volume negocado corresponde a mas da meade do volume oal desse mercado, connuam a ser dscudos, em busca de novos faores e explcações, que possam ornar o processo de apreçameno mas refnado. O preço de uma opção depende dreamene de sua volaldade mplíca, ndcador da expecava de volaldade fuura do avo-objeo, arbuída pelos parcpanes do mercado. A movação para ese rabalho vem da crescene demanda por modelos que permam deermnar, com maor precsão, as superfíces de volaldades mplícas de avos cujas opções êm baxa lqudez, mesmo que seus avos-objeo sejam basane negocados. O objevo dese rabalho é desenvolver uma forma de deermnar a superfíce de volaldades de opções com baxa lqudez, cujo avo-objeo seja um par de moedas cujos componenes enham opções com maor lqudez quando pareadas com uma ercera moeda. O par de moedas escolhdo para ese esudo é o Euro x Dólar Canadense (EURCAD), cujas opções apresenavam baxa lqudez aé meados de 007, quando começaram a ser negocadas com maor freqüênca. Para possblar a execução do esudo, foram ulzadas as opções das moedas componenes do par esudado pareadas com o Dólar Amercano (EURUSD e USDCAD), que possuem lqudez elevada. A relevânca dese esudo consse em permr que os ponos falanes em uma superfíce de volaldades sejam deermnados, prncpalmene quando os dados são escassos. Uma vez esado para um mercado com maor lqudez, o modelo pode ser esenddo para mercados com lqudez reduzda. Esas superfíces servem como base para o apreçameno de nsrumenos fnanceros mas sofscados, como opções exócas e noas esruuradas. O neresse dese rabalho nasce do consane desenvolvmeno do mercado fnancero, e da sofscação dos nsrumenos envolvendo opções sobre pares de 9

10 moedas. A dversfcação dos nvesmenos em crescdo em rmo acelerado para as opções sobre pares de moedas menos líqudos. O mercado de moedas expermenou uma fore expansão na úlma década, não só como meo de especulação, mas ambém como nsrumeno de proeção de nvesmenos cross-border, uma vez que a busca por renabldades maores geralmene é acompanhada pela busca de alernavas mas efcenes de realzar hedge. Esperamos que as opções de câmbo endo o Real como um de seus componenes passem a fgurar denre essas alernavas em um fuuro próxmo. Iveson (00) apresenou um modelo para deermnar a superfíce de volaldades de um par de moedas cujas opções êm baxa lqudez, ulzando as superfíces de volaldades de ouros pares de moedas cujas opções são mas líqudas. Ese rabalho esende esse modelo, ao ulzar um número maor de prazos aé o vencmeno e de relações de moneyness, buscando ober valores mas precsos para odo o range de valores negocados. Seu objevo prmáro é permr que se esmem com maor acuráca os valores ausenes das superfíces de volaldades exsenes, devdo a dados ncompleos, devdo à fala de hsórco de negócos. Adconalmene, busca permr que se deermne uma superfíce de volaldades que possble denfcar oporundades de arbragem devdo a desvos na precfcação das opções dsponíves no mercado. Ese rabalho se dvde em cnco capíulos. O segundo capíulo raz uma vsão geral da bblografa que orenou ese rabalho, desacando os méodos que foram desenvolvdos ao longo do empo para conornar as dfculdades e as dossncrasas desse mercado. São apresenados os rabalhos que denfcam e dscuem o smle de volaldade e a esruura a ermo da volaldade mplíca, e dversas formas para enar modelá-los. O ercero capíulo descreve o modelo ulzado, que se basea no modelo de volaldade esocásca proposo por Heson (993), e ulza duas esruuras negocadas no mercado de moedas, o Rsk Reversal e o Buerfly Spread, cujos preços dervam das volaldades mplícas da opção a-he-money e das calls e pus com um deermnado Dela. Ese modelo fo escolhdo por apresenar uma solução analíca para a volaldade mplíca das dversas opções, faclando a Medda que ndca a relação enre o preço à vsa do avo-objeo e o preço de exercíco da opção sobre esse avo-objeo. 0

11 obenção da superfíce de volaldades. O quaro capíulo apresena a calbração dos parâmeros do modelo a parr dos dados de mercado, a consrução da superfíce de volaldades mplícas e a dscussão da qualdade dos resulados obdos. O quno capíulo apresena as conclusões do rabalho, dscundo as vanagens e lmações do modelo, bem como sugesões de melhoras para desenvolvmenos poserores no ema.

12 . REVISÃO BIBLIOGRÁFICA O objevo dese capíulo é revsar a evolução das eoras que noream o esudo de modelos de precfcação de opções, ndcando o embasameno eórco que permu desenvolver o modelo adoado nese rabalho. Pracamene odos os modelos de apreçameno de opções exsenes baseam-se no modelo desenvolvdo por Black-Scholes (973), que apresena uma solução fechada e que não depende do ajuse de parâmeros, ornando-se muo popular por sua facldade de aplcação. Sua smplcdade, enreano, provém de uma sére de premssas, que embora úes e convenenes, afasa o modelo do mercado real: O exercíco da opção é do po Europeu, ou seja, somene no da de seu vencmeno; O mercado é efcene, de forma que odos os agenes de mercado possuem as mesmas nformações, não sendo possível prever conssenemene a dreção do mercado ou de um avo específco; O mercado opera de forma conínua, segundo um processo de Iō; Não há frcção (cusos de ransação, mposos) no mercado, ou é desprezível; A axa de juros é conhecda e se maném consane durane a vgênca da opção; Os nvesdores podem capar e aplcar à mesma axa de juros, que é a axa lvre de rsco; Os reornos do avo-objeo obedecem a uma dsrbução lognormal; A volaldade do avo-objeo é consane ao longo da vda da opção, para odo e qualquer preço de exercíco ou prazo de vencmeno de opção desse avo-objeo. Garman e Kohlagen (983) adaparam o modelo Black-Scholes (B-S) para as opções de câmbo, manendo suas premssas de smplfcação, esendendo-o para ldar com a presença de duas axas de juros, uma para cada moeda. A prncpal

13 conrbução do modelo Garman-Kohlhagen (GK) é que a axa de câmbo pode ser vsa como um avo que paga um dvdendo conínuo. Os valores para as opções de compra c (call) e opções de venda p (pu) são dados por: qt c = Se Φ( d ) Xe Φ ( d ) [] rt onde: rt p = Xe Φ( d ) Se Φ( d ) [] d qt S σ ln + r q + T X = [3] σ T e S σ ln + r q T X d = = d σ T [4] σ T S = a axa de câmbo spo X = valor de exercíco da axa de câmbo r = axa de juros lvre-de-rsco local, capalzada connuamene q = axa de juros lvre-de-rsco esrangera, capalzada connuamene T = prazo aé o vencmeno, expresso em anos σ = volaldade da axa de câmbo do par de moedas Φ(.) = função de probabldade acumulada da dsrbução normal padrão. O únco parâmero desa equação que não pode ser dreamene observado é a volaldade do preço do avo-objeo. Dessa forma, a volaldade é o prncpal faor de ncereza no preço de uma opção. Na práca, os parcpanes do mercado esmam a volaldade que o avo-objeo devera er para que a opção avalada vesse o preço pracado nesse momeno esá é a chamada volaldade mplíca. A volaldade mplíca é usada para monorar a opnão do mercado acerca da volaldade fuura de deermnado avo. Na práca é comum observar valores dferenes da volaldade mplíca de opções de um mesmo avo objeo. Tal fao decorre de dversos aspecos, enre eles o prazo de vencmeno e o preço de exercíco da opção. Apesar do mercado se basear no modelo B-S para apreçar opções européas, os operadores, sabendo que a volaldade do avo não é 3

14 consane ao longo do empo, ou ao longo do moneyness, cosumam referr-se às opções em função de suas volaldades mplícas. Assm, é práca comum negocar opções em ermos de suas volaldades mplícas, em vez de por seus preços. Um nvesdor em opções geralmene realza suas decsões em relação ao valor da volaldade mplíca que ese esá dsposo a receber ou pagar por uma opção, pos seu preço, por s só, não raz as nformações necessáras para as decsões de nvesmeno. Nese sendo, o nvesdor opera sobre a volaldade mplíca de cada opção. A Fgura apresena as volaldades mensas para os pares de moedas ulzados nese rabalho.,5% USDCAD EURUSD EURCAD,0%,5%,0% 0,5% 0,0% Jan-06 Jan-07 Jan-08 Jan-09 Jan-0 Jan- Fgura - Volaldade mensal observada nos pares de moedas USDCAD, EURUSD e EURCAD no período de Jan/006 a Mar/0 Derman e Kan (994) mosraram que há um efeo conhecdo como sorrso de volaldade (ambém volaly smle ou skew), onde a volaldade mplíca das opções aumena à medda que se afasa do preço spo do avo-objeo, ano para opções n-he-money, como para as opções ou-of-he-money. Adconalmene, mosram que a volaldade ambém aumena com o prazo aé o vencmeno, um fenômeno conhecdo como esruura a ermo da volaldade. Esses efeos se opõem ao que o modelo proposo por Black-Scholes (973), onde a volaldade é Essas expressões são comumene referdas pelos seus ermos em nglês, n-he-money (denro-dodnhero) (ITM), a-he-money (no-dnhero) (ATM) e ou-of-he-money (fora-do-dnhero) (OTM), referndo-se ao moneyness das opções. 4

15 consane, para qualquer srke ou prazo de vencmeno, e a árvore bnomal que descreve a evolução do preço do avo-objeo sera a mesma para qualquer opção que se eseja apreçando. A Fgura mosra um exemplo de smle de volaldade. 7.0% 6.5% 6.0% 5.5% 5.0% 4.5% 4.0% 3.5% 3.0% 0P 5P 0P 5P 30P 35P 40P 45P ATM 45C 40C 35C 30C 5C 0C 5C 0C Fgura Smle de volaldade ípco, observado no da 5/03/0, para o par USDBRL Dversos esudos focam nos faores que conrbuem na formação do sorrso de volaldade: Fama (964) demonsrou que os reornos dos avos não seguem uma dsrbução normal; Jarrow e Rudd (98) e Corrado e Su (997) esudaram a assmera e a curose nas dsrbuções hsórcas dos reornos; Meron (976) aborda a exsênca de salos nos preços dos avos; Hull & Whe (987) abordaram o comporameno esocásco da volaldade. Quando se ordena os prazos de vencmeno das opções em um exo, o moneyness das opções em ouro, e ploa os valores das volaldades mplícas em um ercero, formando um gráfco rdmensonal, como mosrado na Fgura 3, eremos a superfíce de volaldades mplícas das opções desse deermnado avo. Fgura 3 - Exemplo de superfíce de volaldades 5

16 Consderando as premssas enumeradas, de acordo com Wlmo (006), os modelos de volaldade esocásca admem que os preços do avo-objeo seguem um processo de dfusão esocásca random walk da forma ds S = µ. d + σ. dw [5] onde µ é o reorno esperado de um avo com preço S no nsane, volaldade do preço do avo e dw é um processo de Wener padrão. σ é Os modelos de volaldade esocásca ambém prevêem que a varânca segue um processo esocásco Ornsen-Uhlenbeck, conforme descro por Gardner (004), da forma σ dσ = κ( θ σ ) d + λσ dz [6] onde θ é a varânca méda de longo prazo do mercado, κ é a velocdade de reversão à méda da varânca de curo prazo σ, λ é a volaldade de σ e dz é um processo de Wener padrão, possundo correlação ρ com < dw, dz >= ρ. d. dw, de forma que O esudo desse modelo, realzado por Heson (993), mosrou que há dos efeos ndependenes: ρ nfluenca posvamene a assmera dos reornos da dsrbução de reornos do avo-objeo, deslocando a dsrbução para a esquerda e ornando sua cauda drea mas pesada, aumenando o valor das opções ouof-he-money, e dmnuído o valor das opções n-he-money. λ nfluenca posvamene a curose da dsrbução de reornos do avoobjeo, e com sso aumena ambém o valor de suas opções muo n- e ou-ofhe-money, e reduz o valor das opções a-of-he-money. 6

17 Fgura 4: Ilusração de uma árvore bnomal com volaldade esocásca (Derman, 008) O modelo GK assume que as axas de juros local r e exerna q são dferenes. O modelo de Heson (993) expande ese conceo, assumndo que essas axas varam com o empo, segundo um modelo esocásco. O mercado de opções sobre pares de moedas conversíves é caracerzado por elevada lqudez e volaldade, e os nvesdores fazem uso de dversos ndcadores para medr e conrolar seu rsco. Uma das formas mas comuns consse na ulzação das dervadas parcas do modelo GK de apreçameno de opções, em relação a seus faores, colevamene chamadas de gregas, como proxys de sensbldade de preço, conforme defndas abaxo: c S q. T dela = = = e Φ d c e gamma = Γ = =. ( ). Φ( d ) q. T S S. σ. T c. vega = Λ = = S. e q T. Φ( d). T σ q. T c S. e. Φ( d). σ q. T r. T hea = Θ = = + q. S. e. Φ( d) r. X. e. Φ( d) T T [7] [8] [9] [0] rho domésco = Ρ = X T e Φ d [] D E r. T... ( ) rho esrangero = Ρ = S T e Φ d [] q. T... ( ) 7

18 Adconalmene, o mercado crou nsrumenos esruurados, para permr aos nvesdores realzarem esraégas varadas de negocação, possblando que sejam monadas ano posções de hedge, quano de especulação. Denre as dversas esruuras presenes no mercado, dos produos largamene negocados serão de grande uldade para nosso esudo: O Dela Rsk Reversal (RR ) é a dferença enre as volaldades mplícas de uma call e uma pu, ambas com mesmo Dela, e nos fornece a nclnação da curva de volaldade, que pode ser ulzada como uma medda do grau de assmera da dsrbução de reornos do avo-objeo: RR = σ σ [3] Call Pu O Dela Buerfly Spread (BF ) é a dferença enre a méda das volaldades mplícas da call e da pu com mesmo Dela e a volaldade mplíca da opção a-he-money, e nos fornece a curvaura da curva de volaldades, sendo uma boa medda do grau de achaameno da dsrbução de reornos do avo-objeo: BF σ Call + σ Pu = σ ATM [4] Quano maor for a procura por um conrao de opções, maor será o seu preço e, conseqüenemene, maor será a sua volaldade mplíca assocada. Para um dado Dela, um Rsk Reversal posvo ndca que a volaldade da call é superor à da pu, ndcando que o mercado arbu uma dsrbução assmérca de expecavas de reornos do avo-base, com maor número de pessoas aposando numa ala de seu preço do que numa baxa. Ouros ndcadores de sensbldade de expecavas de reornos ulzam dervadas superores das gregas, permndo que se obenha uma melhor aproxmação dos reornos do mercado: Volga: denoa a axa de varação do Vega com relação a mudanças de volaldade do avo-objeo, de acordo com a segune dervada parcal: 8

19 c Λ Λ d d S T dd..( ). ( ) ( ) σ σ d σ σ σ σ Volga = = = = S d Φ d T = d d Φ d = Λ [5] Vanna: denoa a axa de varação do Vega em relação a mudanças de preço do avo-objeo, de acordo com a segune dervada parcal: c Λ Λ d d Vanna = = = = Φ ( d) T + S. ( d) Φ ( d) T = Λ σ. S S d S Sσ T Sσ T [6] Os valores de Volga e Vanna são os mesmos para as calls e as pus. Yekuel (004) apona que se a volaldade da opção a-he-money for ulzada para calcular os prêmos das opções ou-of-he-money e n-he-money, os valores obdos serão nferores aos observados no mercado, ndcando que há um aumeno na volaldade mplíca, à medda que o srke se afasa do valor spo do avo-objeo. Ele sugere que se adape o modelo de B-S para um modelo de volaldade esocásca com as segunes caraceríscas: a varânca do avo-objeo vare de forma aleaóra, com magnude proporconal à volaldade e há um ermo de reversão à méda do drf da varânca Ambas essas caraceríscas fazem pare dos modelos proposos por Cox- Ingersoll-Ross (985) e Heson (993). Yekuel (004) ambém desaca que os modelos de volaldade esocásca apresenam bons sorrsos de volaldade para opções com város meses aé seus vencmenos, mas seus resulados para opções com vencmenos curos é nsasfaóro. Fengler e al (007) aponam que a modelagem da superfíce de volaldade mplíca apresena dos grandes desafos a serem raados, o mas mporane deles sendo o que fo denomnado a consrução degenerada, ou seja, o fao da volaldade mplíca só esar dsponível para um número lmado de prazos (,, 3, 6, 9,, 8, 4 e 36 meses para o vencmeno, a parr de sua emssão), ornando a amosra de dados dscrea. Desa forma, os dados de volaldade mplíca aparecem como lnhas, obrgando os modelos a nerpolarem os ponos nermedáros da 9

20 superfíce. O segundo desafo é decorrene do prmero, pos os dados observados não compõem uma grade de volaldades complea, pos é comum que dversos dos dados esejam falando em deermnadas regões, com combnações de prazos de vencmeno e moneyness de menor lqudez. Bossens e al (009) afrmam que o smle é caracerísco para cada par de moedas e vencmeno das opções, de modo que um modelo que apresena bons resulados para um deermnado par de moedas, pode não er o mesmo desempenho para ouros pares de moedas. Nesse rabalho ambém é dscudo que a volaldade mplíca das opções ou-of-he-money é maor que a volaldade mplíca das opções a-he-money, mosrando que o mercado não presume que a volaldade do avo seja consane ao longo do empo, nem na relação de moneyness da opção. Essa assmera nas volaldades das opções pode ser explcada pela crescene demanda por nsrumenos de hedge pelos nvesdores, que buscam proeger-se de movmenos abrupos do mercado, e esão dsposos a pagar preços mas elevados por essa proeção. Esse efeo, lusrado pela Fgura, é evdencado pelo fao que o mercado ulza volaldades mas elevadas para apreçar esas opções. Alexander (005) ressala que o mercado de ações mosra-se mas volál após uma grande queda nos preços do que após uma elevação de preços de mesma magnude, e essa caracerísca em se ornado mas aparene após o crash das Bolsas em 987. O efeo fnal é que os prêmos das opções sofrem um aumeno em vrude da expecava de elevação da volaldade do mercados no fuuro. Kamal e Gaheral (00) esudaram a dnâmca de formação e aleração das superfíces de volaldades, e deermnaram que seu formao não pode ser arbráro, pos devem obedecer a condções de não-arbragem, como a convexdade do preço em relação ao srke e a aderênca à esruura a ermo das axas de juros. Em geral, essas resrções são aenddas desde que não exsam grandes gradenes na superfíce. Adconalmene, rês pos de aleração no formao da superfíce de volaldades explcam grande pare da sua dnâmca de movmenação: O deslocameno paralelo da superfíce, geralmene caracerzado por um movmeno síncrono, de oda a superfíce, para cma ou para baxo, é responsável pela maor pare das movmenações da superfíce de 0

21 volaldade. Ese movmeno geralmene não é plano : as volaldade mas curas endem a se movmenar mas do que as longas, e uma nclnação (l) ascendene no exo do prazo se orna mas pronuncada. A movmenação da esruura a ermo, onde as volaldades de curo prazo se movmenam em dreção oposa à das volaldades de longo prazo, apoandose em um dos prazos de vencmeno, com pequena nfluênca ao longo do exo de srkes. No esudo realzado, o pono de pvoameno se suava no vencmeno de 9 das. A mudança de curvaura do smle, ao longo do exo dos srkes, com as volaldades das opções com srkes abaxo e acma do spo se aumenando a curvaura da superfíce, e com uma aenuação à medda que aumena o prazo aé o vencmeno. Yoshno e Cosa (004) desacam que, apesar do grande desenvolvmeno de esudos a respeo da ndúsra de dervavos, o mercado de opções européas de câmbo anda se basea em modelos menos sofscados, como B-S e GK, que subesmam efeos quanavos mporanes. Eles ressalam que esses efeos poderam ser melhor explorados aravés de modelos mas robusos, como os que ncorporam o conceo de volaldade esocásca. Segundo eles, eses são os modelos que melhor lusram as caraceríscas dos mercados de câmbo de países emergenes, caracerzados por repedos cclos de ala volaldade, mudanças de regme cambal e crses moneáras, que acarream mudanças na lqudez do mercado. Nesse sendo, propõem uma forma de mplemenar e calbrar o modelo de Heson para o mercado braslero, ulzando uma superfíce de volaldades mplícas. Os modelos radconas (e mas dfunddos aé o momeno) de apreçameno de opções de câmbo baseam-se na adapação de um modelo onde se assume que a volaldade do avo-objeo é consane. Enreano, a observação do mercado não dá supore a essa hpóese, e város modelos foram desenvolvdos para enar modelar um ambene onde a volaldade não é consane: a) Modelos de dfusão un varada, onde as premssas de dfusão e nãoarbragem são mandas, mas a hpóese do Movmeno Brownano Geomérco é relaxada. Nesa caegora enconramos os modelos de árvores

22 bnomas e rnomas mplícas, onde a únca fone de aleaoredade se orgna do movmeno do preço do avo-objeo. Esa não é uma caracerísca presene nos mercados de câmbo, segundo esudo de Carr e Wu (007), que mosra que a nclnação da superfíce de volaldade em relação ao preço de exercíco (X) não é consane, sugerndo que há ouros efeos no mercados que não são capurados/denfcados por ese po de modelo. b) Modelos de volaldade esocásca, em que o processo de dfusão nclu um comporameno esocásco (no empo) da volaldade dos preços do avoobjeo. Sen e Sen (99) e Heson (993) foram os responsáves por raar ese problema de forma analíca, ulzando o mesmo processo esocásco de Ornsen-Uhlenbeck descro em [6], com ρ 0. Eses modelos em a vanagem de ncorporar os efeos do smle e skewness; e c) Modelos de salos, como o proposo por Meron (976), onde a hpóese de dfusão nos preços dos avos é relaxada, combnando o conceo de dfusão Brownano, ulzada nos modelos anerores, com o conceo de salos de Posson, aravés de uma equação do po ds = µ S d + σ S dw JS dq. A + denfcação de salos nos preços depende do uso de écncas de méodos numércos para a resolução de equações dferencas parcas bdmensonas, e a fala de uma solução analíca (fechada) dfcula sua ulzação de manera mas ampla. Yoshno e Cosa (004) dscuem dversos desses modelos, comparando os arfícos ulzados para conornar as dfculdades maemácas enconradas em cada um, e avalando sua efcênca em apreçar opções de câmbo no mercado braslero. Segundo Alexander (005), a maor pare das opções negocadas no mercado de moedas se basea no Modelo GK, apesar das hpóeses que o susenam não serem observadas emprcamene. A assmera observada no apreçameno de opções com dferenes srkes pode ser observada por duas das caraceríscas desse mercado: a dsrbução dos reornos exbe caudas pesadas e a volaldade do avo-objeo não é consane. Dessa forma, a ulzação de um modelo que modele o preço do avo-objeo como um movmeno brownano geomérco não é aproprado, pos ese modelo assume dsrbução normal dos reornos e volaldade

23 consane e os reornos dos avos observados no mercado mosram uma varação elevada, com uma freqüênca maor que a prevsa. Recenemene, dversos auores brasleros ulzaram écncas para aprofundar o esudo das superfíces de volaldades mplícas: Oya (009) ulzou a Análse de Componenes Prncpas para esudar a superfíce de volaldade mplíca de opções européas do par de moedas USDBRL (Dólar Amercano / Real). Vargas (00) ulzou a volaldade hsórca do avo-objeo como parâmero para deermnar a superfíce de volaldades mplícas de ações do Ibovespa. Busamane (00) ulzou a Transformada Rápda de Fourer para deermnar a superfíce de volaldades das opções USDBRL aravés do modelo de Heson (983). Iveson (00) esudou a deermnação de uma superfíce de volaldades de um par de moedas com baxa lqudez, a parr de superfíces de volaldades com maor lqudez. A busca por novas oporundades de nvesmenos causou um aumeno no fluxo de capal enre países, e a necessdade de realzar hedge cambal desses nvesmenos. O mercado de dervavos cambas desenvolveu-se anda mas, expandndo o pagameno das ransações comercas já exsenes, e ornando-se um dos mas líqudos do mercado. Por ouro lado, a lqudez do mercado de dervavos sobre moedas nãoconversíves é muo menor. As opções sobre pares envolvendo o Real, como por exemplo, USDBRL e EURBRL possuem baxa lqudez, e o pareameno com ouras moedas, como por exemplo, JPYBRL, CHFBRL e GBPBRL, pracamene não há lqudez. A combnação dos desafos cados por Fengler e al (007) com a dmnua lqudez dos dervavos de alguns pares de moedas nos apresena o problema que ese rabalho se propõe a auxlar a soluconar: como ulzar superfíces de volaldades de avos com grande lqudez para esmar as superfíces de volaldades de pares de moedas com baxa lqudez. O próxmo capíulo apresenará o modelo ulzado nese rabalho, as premssas ulzadas e o fluxo de rabalho para mplemená-lo. 3

24 3. DESCRIÇÃO DO MODELO O modelo ulzado nese esudo se basea naquele desenvolvdo por Iveson (00), e preende calcular as volaldades mplícas das opções de um par de moedas (Euro x Dólar Canadense - EURCAD), cuja lqudez é reduzda, e sua superfíce de volaldade apresena dversas áreas vazas. O modelo ulzará as nformações das volaldades mplícas de opções de pares com maor lqudez (USDCAD - Dólar Amercano x Dólar Canadense e EURUSD - Euro x Dólar Amercano), modelando os processos das volaldades como puramene esocáscos. A escolha deses pares de moedas se deu pela fala de lqudez de ouros pares de moedas que envolvessem o Real como um de seus componenes, e pelo fao das opções sobre o EURCAD erem apresenado um aumeno sgnfcavo de lqudez desde 008, permndo que o modelo pudesse ser verfcado com maor precsão. O esudo orgnal ambém ulzou dados de Rsk Reversals e Buerfly Spreads com Dela 0.5 e vencmeno de 6 meses, dos pares de moedas USDBRL e EURUSD para deermnar a superfíce de volaldades do par EURBRL. Enreano, os fenômenos do smle de volaldade e da esruura a ermo da volaldade, descros por Derman e Kan (994), mosram que essa abordagem smplfcada (com apenas um Dela e um vencmeno) pode ser nefcene para deermnar uma superfíce de volaldades mplícas complea, e aqu resde a maor conrbução dese rabalho. A fgura 5 mosra as volaldades mplícas das calls e das pus para o par de moedas EURBRL, no da 5/03/0, desacando que os valores para um mesmo prazo, ou para um mesmo Dela, podem apresenar grandes varações. Observa-se um crescmeno consderável nos valores das volaldades mplícas, aumenando à medda que cresce o srke da opção: as volaldades mplícas são mas baxas para as pus mas ou-of-he-money (com Delas menores), aumenando à medda que se aproxma da opção a-he-money, connuando seu crescmeno, aé culmnar nas calls mas ou-of-he-money (novamene com Delas menores). Ouro mporane 4

25 fenômeno observado é a pequena varação das volaldades mplícas das pus ao longo do empo, apresenando um aumeno sensível apenas nos prazos de vencmenos acma de 6 meses. Essa caracerísca não se observa nas volaldades mplícas das calls, que exbem um crescmeno consane ao longo do empo, como esperado. 0D Call 5D Call 5D Call 35D Call ATM 35D Pu 5D Pu 5D Pu 0D Pu 4% % 0% 8% 6% 4% % 0% W W 3W M M 3M 4M 6M 9M Y 8% 6% M 4% 3M 6M Y % 0% 8% 6% 4% % 0% 5P 0P 5P 0P 5P 30P 35P 40P 45P ATM 45C 40C 35C 30C 5C 0C 5C 0C 5C 8% Fgura 5: Volaldades mplícas para o par de moedas EURBRL, no da 5/03/0 A fgura 6 mosra os valores dos Rsk Reversals e Buerfly Spreads observados no mercado no da 5/03/0, para o mesmo par de moedas. De forma análoga, os valores para dferenes Delas e prazos mosram-se basane dsnos, 5

26 prncpalmene nos prazos de 6 meses para o vencmeno. As dferenças enre as volaldades mplícas das calls e pus de mesmo Dela são evdencadas nesses gráfcos, ndcando que a generalzação de um valor para odo e qualquer prazo pode se mosrar nefcaz para a correa deermnação da superfíce de volaldades. 4% % 0% 8% 6% 4% % 0% 0D RR 5D RR 5D RR 35D RR W W 3W M M 3M 6M Y Prazo M 3M 6M Y RR 45 RR 40 RR 35 RR 30 RR 5 RR 0 RR 5 RR 0 RR 5 6% 4% % 0% 8% 6% 4% % 0% 4% 0D BF 5D BF 5D BF 35D BF M 3M 6M Y 4% % % 0% W W 3W M M 3M 6M Y Prazo BF 45 BF 40 BF 35 BF 30 BF 5 BF 0 BF 5 BF 0 BF 5 0% Fgura 6: Rsk Reversals e Buerfly Spreads do par de moedas EURBRL, no da 5/03/0 O modelo adoado nese rabalho é um adapação do modelo de Heson, pos assume que a axa de câmbo é esocásca, uma vez que a axa de câmbo pode ser expressa como uma relação enre as axas de juros local e exerna. Cada par de moedas é denfcado por um índce, para =,, 3, com as respecvas dnâmcas descras pelas segunes equações: ds S = µ. d + σ. dw dσ = α σ. dz < dw, dz >= ρ. d [7] Wener A expressão < dw, dz > denoa o produo escalar enre os processos de dw e dz, podendo ser nerpreado como a correlação enre ambos. As volaldades nsanâneas σ êm axa de reversão à méda nula. 6

27 O índce denfcará os pares de moedas aqu consderados de acordo com a Tabela abaxo: Cálculo dos parâmeros Par de Moedas USDCAD EURUSD 3 EURCAD Tabela : Pares de Moedas consderados dos valores de Rsk Reversals e Buerfly Spreads α e ρ dos pares de moedas líqudos a parr De acordo com o modelo, os parâmeros α e ρ das equações de [7], para = {, }, podem ser obdos a parr do Rsk Reversal, do Buerfly Spread e da volaldade da opção a-he-money de um deermnado par de moedas. A demonsração maemáca da deermnação dos parâmeros α e ρ enconra-se no Apêndce I. Aravés das equações [3] e [33], reproduzdas abaxo, podemos ober α, α, ρ e ρ, ulzando os valores dos Rsk Reversals e Buerfly Spreads observados nos mercados de câmbo dos pares USDCAD e EURUSD. α = 6σ ABF BF T d + σ A [3] BF d + RR σ A ρ = [33] d 6σ BF Yekuel (004) ulzou as coações dos conraos de opções Rsk Reversals e Buerfly Spreads como npus em uma rona de calbração que busca o melhor ajuse (bes-f) dos valores para os parâmeros do Modelo de Heson. A funçãocuso ulzada para o ajuse no esudo era a soma dos quadrados dos erros enre as volaldades mplícas dos preços de mercado e as volaldades dos valores obdos A 7

28 do modelo. Foram enconrados rês problemas prncpas quando se enou ajusar o Modelo de Heson a uma superfíce de volaldades real de mercado: Por ser um modelo de 5 parâmeros, o Modelo de Heson não em a precsão necessára para adequar uma superfíce de volaldades, que muas vezes coném mas de 30 ponos de nformação. O Modelo de Heson gera dnamcamene a assmera e a curvaura (curose) da superfíce de volaldade, devdo à naureza esocásca da volaldade. Em períodos curos de empo, essas caraceríscas fornecdas pelo modelo são muo nferores àqueles observados nas superfíces de volaldade presenes no mercado. Rebonao (004) apona que ese problema podera ser soluconado por um modelo que ambém ncluísse salos, mas que essa solução não sera parcmonosa. O formao da evolução da curva das volaldades mplícas das opções ahe-money à medda que aumena o prazo para o vencmeno (do curo para o longo prazo) não obedece à forma de ransção exponencal prescro pelo comporameno de reversão à méda do Modelo de Heson (suação não relevane nese rabalho, dada a adoção da axa de reversão à méda nula). Em vsa de as observações, Yekuel (004) decdu exclur os dados das opções com vencmenos nferores a dos meses do conjuno de dados para a calbração do Modelo, assm como as opções com Dela 0.0, que compõem o RR 0 e o BF 0. Tas caraceríscas são confrmadas nese esudo. O processo de consrução da superfíce de volaldades mplícas das calls e pus do par de moedas líqudo, a parr dos dados de mercado, depende da deermnação dos Rsk Reversals e Buerfly Spreads desse par de moedas. A obenção desses valores depende da deermnação de α 3 e ρ 3, que por sua vez são calculados em função dos valores de α, α, ρ e ρ, das séres de correlações esocáscas < dw, dz >, < dw, dz > e < dz, dz > e dos parâmeros Φ A e Eses úlmos necessam do parâmero ρ, dependene do processo de flragem dos reornos dos pares de moedas USDCAD e EURUSD. Esse processo é composo por nove fases, e o fluxo de operações é lusrado pela Fgura 7, e descro em maores dealhes em seguda. Φ B. 8

29 Obenção. de α, α, ρ e ρ Realzação. das regressões dos movmenos dos pares de moedas Realzação. 3 Obenção.5 das regressões das dos resíduos das correlações regressões anerores esocáscas 7 Obenção. de α 3 e ρ 3 8 Obenção. 9 Obenção. das volaldades de RR 3 e BF mplícas das 3 callse das pus 4 Obenção de ρ 6 Obenção de Φ A e Φ B Fgura 7: Fluxograma do processo de obenção das volaldades mplícas. Cálculo das séres hsórcas de α, α, ρ e ρ, a parr dos dados de mercado dsponíves de Rsk Reversals e Buerfly Spreads, dos respecvos pares de moedas, ulzando [3] e [33].. Cálculo das séres de reornos flrados dw e dw, e das séres dos resíduos ' dw e ' dw, a parr dos coefcenes obdos da regressão lnear da volaldade dos pares de moedas e, em função de seus reornos dáros. 3. Com as séres dw, dw, ' dw e ' dw (obdas na fase ), são feas as regressões lneares para ober os coefcenes < dw ',dw >, < dw, dw ' > e < dw ',dw ' >. 4. A parr da regressão dos reornos flrados, dw e dw, calcula-se o coefcene ρ, de acordo com [37]: < dw, dw >= ρ d [37] 5. A parr das séres α, α, ρ e ρ (obdas na fase ), e do valor do parâmero ρ (obdo na fase 4), são calculadas as séres de correlações esocáscas < dw, dz >, < dw, dz > e < dz, dz >, segundo [45], reproduzda abaxo: < dw, dz >= ρ ρ + ρ < dw, dw > ' < dw, dz >= ρ ρ + ρ < dw, dw > ' < dz, dz >= ρ ρ ρ + ρ ρ < dw, dw > + ρ ρ < dw, dw > ' ' + ρ ρ < dw, dw > ' ' [45] 9

30 6. Os valores para os parâmeros Φ A e Φ B são calculados ulzando-se [40], reproduzda abaxo, a parr dos valores das volaldades hsórcas dos pares de moedas, σ e σ, e o valor do parâmero ρ (obdo na fase 4): σ + ρσ Φ A = σ σ + ρσ Φ B = σ 3 3 [40] 7. Cálculo das séres de α 3 e ρ 3, ulzando [4] e [46], reproduzdas abaxo: α3 = α Φ A + αφ B + αα ΦAΦ B < dz, dz > [4] ρ = α σ Φ ρ + α σ Φ < dw, dz > + α σ Φ < dw, dz > + α σ Φ ρ [46] 3 A A B B Para a obenção dessas séres, são necessáras as séres α, α, ρ e ρ (obdos na fase ), as séres de correlações esocáscas < dw, dz >, < dw, dz > e dz, dz < > (obdas na fase 5), e os valores de Φ A e Φ B (calculados na fase 6). 8. Cálculo dos valores das séres dos Rsk Reversals e Buerfly Spreads para o par de moedas 3, a parr das séres α 3 e ρ 3, ulzando [3] e [33]. 9. Deermnação das volaldades mplícas para as calls e pus do par de moedas 3, a parr das séres dos Rsk Reversals e Buerfly Spreads para esse par de moedas. No próxmo capíulo o processo descro acma será desenvolvdo para ober as volaldades mplícas para as calls e pus do par de moedas EURCAD, a parr dos Rsk Reversals e Buerfly Spreads para os pares de moedas USDCAD e EURUSD. 30

31 4. APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS Ese capíulo apresena os resulados de cada uma das fases da aplcação do processo de obenção dos valores das volaldades mplícas das calls e pus a parr dos dados de mercado. Amosra Foram ulzados dados dáros do ermnal Bloomberg, para os Rsk Reversals e Buerfly Spreads para os pares de moedas USDCAD e EURUSD, com Delas de 0.0, 0.5, 0.5 e 0.35, para os prazos de mês ( das úes), 3 meses (63 du), 6 meses (6 du) e ano (5 du), de 06/0/006 a 5/03/0. O número oal de observações da sére é de 353 das. Cada da nos fornece 3 observações, para os dversos prazos e Delas. Apesar de esarem dsponíves opções com prazos de vencmeno de aé 7 anos, as opções com prazos acma de anos apresenavam lqudez baxa, e, porano foram descaradas dese esudo pelo número excessvo de oulers. Fase : Geração dos α e ρ para os pares de moedas USDCAD e EURUSD As séres hsórcas de α e ρ para os pares de moedas USDCAD e EURUSD foram calculados a parr dos valores hsórcos dos Rsk Reversals e Buerfly Spreads de cada um dos pares de moedas, ulzando [3] e [33]. As fguras 8 e 9 lusram as dferenças enre os valores calculados para os dversos Delas e prazos, fornecendo bons ndícos que a segmenação em áreas dsnas pode razer um refnameno nos resulados. Na fgura 8 observamos que os valores dos Alphas para os dferenes Delas não dvergem ano quando comparados com ouro Alphas de mesmo prazo, mas que varam muo para o mesmo Dela, para prazos de vencmeno dferenes. Na fgura 9, noamos que a mesma caracerísca ocorre, exceo para os Alphas Dela 0.35, que apresenam valores modulares menores que para os demas Delas. dw e Oura caracerísca noável é que a correlação enre os processos esocáscos dz, ndcado pelos Rhos de cada par de moedas, é negava para o par USDCAD, enquano que para o par EURUSD, é posva. Essa caracerísca ndcará 3

32 a sncrona de dreção dos movmenos dos preços e das volaldades do par de moedas em quesão Alpha - USDCAD 0,0 0,5 0,5 0, Alpha - EURUSD 0,0 0,5 0,5 0,35 6 M 3M 6M Y Prazo 6 M 3M 6M Y Prazo Alpha - USDCAD M 3M 6M Y Alpha - EURUSD M 3M 6M Y ,0 0,5 0,5 0,35 Dela 6 0,0 0,5 0,5 0,35 Dela Fgura 8: Alphas calculados para as moedas USDCAD e EURUSD no da 5/03/0-0, -0,4-0,6-0,8-0,30-0,3-0,34-0,36-0,38-0,40 Rho - USDCAD M 3M 6M Y Prazo 0,0 0,5 0,5 0,35 0,39 0,38 0,37 0,36 0,35 0,34 0,33 0,3 Rho - EURUSD M 3M 6M Y 0,0 0,5 0,5 0,35 Prazo -0,4-0,6-0,8-0,30-0,3 Rho - USDCAD 0,0 0,5 0,5 0,35 Dela M 3M 6M Y 0,39 0,38 0,37 0,36 0,35 Rho - EURUSD M 3M 6M Y -0,34 0,34-0,36-0,38-0,40 0,33 0,3 0,0 0,5 0,5 0,35 Dela Fgura 9: Rhos calculados para as moedas USDCAD e EURUSD no da 5/03/0 3

33 Fase : Regressão das volaldades de cada par de moedas, em função dos movmenos de preços dessa moeda geração de dw e ' dw Foram feas regressões das volaldades hsórcas de mês, 3 meses, 6 meses e ano, em função dos movmenos dáros (reornos logarímcos de d-0, d- e d-), AR() e AR() para cada par de moedas, USDCAD e EURUSD. A ulzação de processos auo-regressvos de a e a ordens se faz necessáro, pos a sére apresena uma fore correlação seral posva. Essa correlação seral é confrmada pelos resulados dos coefcenes de Durbn-Wason das regressões. Apresenamos a segur os resulados obdos para cada um dos coefcenes, e seus níves de sgnfcânca: USDCAD Coefcene M 3M 6M Y d-0 0,0058 ns 0,0007 ns 0,0003 o 0,037 o d- -0,5474 ** -0,0850 ** -0,08 ns -0,0003 o d- -0,0948 * -0,0767 * -0,04089 * -0,0008 * EURUSD Coefcene M 3M 6M Y d-0 0,00097 ns 0,0808 * 0,086 ns 0,049 * d- -0,3783 *** -0,408 ** -0,076 *** -0,067 ** d- -0,894 o -0,356 ** -0,00047 * - Sgnfcânca: ns não-sgnfcavo o 90% * 95% ** 99% *** 99,9% As abelas de saída do sofware Evews para cada uma das regressões realzadas enconram-se no Apêndce II. Com os coefcenes obdos, forma calculados as séres de dw e dw para cada um dos períodos analsados, e a parr dos resíduos das regressões, foram gerados as séres de ' dw e ' dw para cada um dos períodos analsados. 33

34 Fase 3: Regressão das séres geradas na Fase Ulzando-se as séres hsórcas dw, dw, ' dw e ' dw, geradas pelas regressões anerores, foram feas as regressões de < dw, dw >, < dw, dw ' > e ' ' < dw,dw ' >. Nese caso ambém foram ulzados processos auo-regressvos de a e a ordens, para corrgr a correlação seral posva. Os coefcenes obdos são apresenados abaxo, junamene com seus níves de sgnfcânca: Coefcene M 3M 6M Y ' < dw, dw > 0,07445 *** 0,05978 *** 0,03984 ** 0,04077 * < dw, dw > 0,0994 *** 0,708 *** 0,533 *** 0,496 *** ' ' ' < dw,dw > 0,946 *** 0,308 *** 0,380 *** 0,7867 *** Sgnfcânca: ns não-sgnfcavo o 90% * 95% ** 99% *** 99,9% Fase 4: Deermnação de ρ A parr de [37], podemos calcular ρ d =< dw, dw > da regressão do hsórco de reornos dáros de USDCAD e EURUSD em cada período. Os valores obdos são mosrados abaxo, com com seus níves de sgnfcânca: M 3M 6M Y ρ 0,37757 *** 0,37446 *** 0,37057 *** 0,36 *** Sgnfcânca: ns não-sgnfcavo o 90% * 95% ** 99% *** 99,9% Nese caso, os valores obdos para cada prazo são muo próxmos, havendo uma dferença menor que 4,3% enre os valores exremos. Fase 5: Deermnação de < dw, dz >, < dw, dz > e < dz, dz > Tendo os valores de ρ e as séres < dw, dw >, < dw, dw ' > e < dw ',dw ' >, ' são calculadas as séres de correlações esocáscas hsórcas de < dw, dz >, < dw, dz > e dz, dz < > para cada prazo, aravés de [45]. 34

35 Fase 6: Deermnação de Φ A e Φ B Com os valores das volaldades hsórcas para cada período de USDCAD e EURUSD, e com os valores de ρ, as séres hsórcas de Φ A e foram calculadas, conforme [40]. Φ B para cada prazo Fase 7: Deermnação de α 3 e ρ 3 Ulzando as séres e coefcenes obdos, as séres de valores hsórcos para α 3 e ρ 3 para cada prazo podem ser calculadas, de acordo com [4] e [46]. A fgura 0 apresena os valores obdos para os Alphas e Rhos para o da 5/03/0. 6 Alpha 3 0,07 Rho ,0 0,5 0,5 0,35 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0,5 0,5 0,35 8 0,0 0,0 6 M 3M 6M Y Prazo 0,00 M 3M 6M Y Prazo 5 Alpha 3 0,07 Rho M 3M 6M Y 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0,0 M 3M 6M Y 6 0,0 0,5 0,5 0,35 Dela 0,00 0,0 0,5 0,5 0,35 Dela Fgura 0: Alphas e Rhos calculados para o par de moedas EURCAD, no da 5/03/0 Noamos que o mesmo comporameno apresenado para os Alphas do pares de moedas ulzados anerormene é repedo para o par de moedas esudado agora: os valores dos Alphas para os dferenes Delas não dferem muo quando comparados com os de mesmo prazo, mas varam basane para um mesmo Dela, com prazos de vencmeno dferenes. Os valores de Rho, assm como os do par de 35

36 moedas EURUSD, são posvos, ndcando uma correlação posva enre os processos esocáscos dw 3 e dz 3. Fase 8: Deermnação de RR EURCAD e BF EURCAD Ulzando [3] e [33], podemos deermnar as séres hsórcas dos valores de RR EURCAD e BF EURCAD a parr de cada um dos valores de α 3 e ρ 3. A fgura apresena os valores obdos para os RR EURCAD e BF EURCAD para o da 5/03/0. Todos os valores de BF EURCAD são posvos, assm como os observados para o par EURBRL, mas os valores dos Buerfly Spreads calculados para o par EURCAD ndcam que sua superfíce de volaldades mplícas possu uma curvaura menor que a da superfíce do par EURBRL. Além dsso, os valores de RR EURCAD são negavos, ao conráro aos do par EURBRL. Essa caracerísca nos ndca que há uma assmera nas expecavas do mercado, snalzando uma perspecva de ala na coação do par de moedas EURBRL, enquano que projea uma queda na coação do par EURCAD. 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0,0 Buerfly Spread 0,0 0,5 0,5 0,35 M 3M 6M Y Prazo 0,00-0,05-0,0-0,5-0,0-0,5-0,30 Rsk Reversal M 3M 6M Y 0,0 0,5 0,5 0,35 Prazo 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0,0 Buerfly Spread 0,0 0,5 0,5 0,35 M 3M 6M Y Dela 0,00-0,05-0,0-0,5-0,0-0,5-0,30 Rsk Reversal 0,0 0,5 0,5 0,35 Dela M 3M 6M Y Fgura : Buerfly Spreads e Rsk Reversals calculados para o par de moedas EURCAD, no da 5/03/0 36

37 Fase 9: Deermnação das volaldades mplícas das calls e pus para o par de moedas EURCAD, e sua superfíce de volaldades mplícas. Tendo os valores dos Buerfly Spreads e Rsk Reversals para o par de moedas EURCAD, é possível calcular as volaldades mplícas de suas calls e pus, e consrur sua superfíce de volaldades mplícas, ulzando [3] e [4]. A superfíce de volaldades fo consruída ulzando-se nerpolação aravés de splnes cúbcos. Esse méodo de nerpolação fo ulzado para compensar a relava escassez de ponos para consrução da curva, porém não garane que a superfíce obda apresene falsas oporundades de arbragem enre as opções e seu avo-objeo. Anda assm, essas oporundades só apareceram enre os vérces, que não são alerados no processo. Comparação da superfíce esmada com a observada no mercado. Uma vez consruída a superfíce de volaldades, podemos compará-la com a superfíce de volaldades real de mercado. A Fgura apresena a superfíce de volaldades para as calls do par EURCAD para o da 5/03/0. A superfíce que esá por cma, menos ondulada, é a esmada. Fgura : Superposção das superfíces de volaldade esmada e de mercado para as calls do par EURCAD, para o da 5/03/0. 37

38 A Fgura 3 mosra a subração das superfíces de volaldades das calls, desacando as dferenças absoluas, em ponos percenuas, enre elas. É possível observar que as dferenças são aceáves para um modelo como ese, exceuando os valores para o prazo de mês para o vencmeno, e para Dela 0.0, que apresenam valores dscordanes. Essas dferenças, para os prazos mas curos, mosraram um comporameno erráco, de um da para o ouro, no período observado. No Apêndce III, apresenamos ouras duas comparações das superfíces de volaldades para ouros das de neresse: 5/09/008, quando o Lehman Brohers pedu concordaa, e 06/05/00, daa do período esudado em que se observou a máxma dferença enre as volaldades do mercado e as calculadas pelo modelo. Fgura 3: Resulado da subração das superfíces de volaldade esmada e de mercado das calls do par EURCAD para o da 5/03/0. 38

39 , Prazo = mês,6 Prazo = 3 meses,5 Volaldade Implíca (%),0,9 Esmado Mercado Volaldade Implíca (%),4,3 Esmado Mercado,8,,7 0,0 0,5 0,5 Dela 0,35, 0,0 0,5 0,5 Dela 0,35 3,5 Prazo = 6 meses 4,0 Prazo = ano 3,4 3,9 Volaldade Implíca (%) 3,3 3, 3, 3,0,9 Esmado Mercado Volaldade Implíca (%) 3,8 3,7 3,6 3,5 3,4 3,3 Esmado Mercado,8 3,,7 3,,6 0,0 0,5 0,5 Dela 0,35 3,0 0,0 0,5 0,5 Dela 0,35 Fgura 4: Secções emporas das superfíces de volaldade esmada e de mercado das calls do par EURCAD para o da 5/03/0. Uma análse dlgene da Fgura 4 nos perme denfcar as razões que ocasonam as fluuações mas acenuadas presenes na Fgura 3: o descolameno enre os valores calculados pelo modelo para o prazo de vencmeno de mês, comparados aos valores observados no mercado nese da são muo maores do que para os demas prazos, chegando a 0,36%. 39