Palavras-chave: Volatilidade Estocástica, Superfície de Volatilidade, Opções de Câmbio

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1 Modelagem De Superfíces De Volatldade Para Opções Com Baxa Lqudez Sobre Pares De Moedas, Cujos Componentes Apresentam Opções Líqudas Em Outros Pares Resumo Este trabalho apresenta um modelo para determnação da superfíce de volatldades de um par de moedas cujas opções têm baxa lqudez, utlzando superfíces de volatldade com maor lqudez, de pares de moedas em que as moedas estudadas sejam uma de suas componentes. Esse objetvo é atngdo através da utlzação de um modelo de volatldade estocástca. A calbração de seus parâmetros é feta a partr dos valores de mercado de Butterfly Spreads e Rsk Reversals dos pares de moedas líqudos. O trabalho contrbu em relação à lteratura no sentdo de amplar a cobertura de strkes e vencmentos consderados, permtndo que, tanto opções pouco líqudas e fora do dnhero, como notas estruturadas com opções embutdas possam ser mas adequadamente apreçadas. Palavras-chave: Volatldade Estocástca, Superfíce de Volatldade, Opções de Câmbo Abstract Ths work presents a model for determnng the volatlty surface of a currency par whose optons have low lqudty, usng hgher lqudty volatlty surfaces of other currency pars, n whch the desred currences are one of ther components. Ths goal s acheved through the use of a stochastc volatlty model. The calbraton of ts parameters s done from market values of the Butterfly Spreads and Rsk Reversals of the lqud-currency pars. Ths work contrbutes to the lterature n an effort to broaden the scope of strkes and maturtes consdered, allowng for both llqud and out of-the-money optons, as well as structured notes wth embedded optons, to be more approprately prced. Keywords: Stochastc Volatlty. Volatlty Surface, Currency Optons JEL: C0, C Área Anpec: Área 7 - Mcroeconoma, Métodos Quanttatvos e Fnanças

2 Modelagem De Superfíces De Volatldade Para Opções Com Baxa Lqudez Sobre Pares De Moedas, Cujos Componentes Apresentam Opções Líqudas Em Outros Pares Rcardo Consonn (EESP/FGV) Afonso de Campos Pnto (EESP/FGV) Resumo Este trabalho apresenta um modelo para determnação da superfíce de volatldades de um par de moedas cujas opções têm baxa lqudez, utlzando superfíces de volatldade com maor lqudez, de pares de moedas em que as moedas estudadas sejam uma de suas componentes. Esse objetvo é atngdo através da utlzação de um modelo de volatldade estocástca. A calbração de seus parâmetros é feta a partr dos valores de mercado de Butterfly Spreads e Rsk Reversals dos pares de moedas líqudos. O trabalho contrbu em relação à lteratura no sentdo de amplar a cobertura de strkes e vencmentos consderados, permtndo que, tanto opções pouco líqudas e fora do dnhero, como notas estruturadas com opções embutdas possam ser mas adequadamente apreçadas. Palavras-chave: Volatldade Estocástca, Superfíce de Volatldade, Opções de Câmbo Abstract Ths work presents a model for determnng the volatlty surface of a currency par whose optons have low lqudty, usng hgher lqudty volatlty surfaces of other currency pars, n whch the desred currences are one of ther components. Ths goal s acheved through the use of a stochastc volatlty model. The calbraton of ts parameters s done from market values of the Butterfly Spreads and Rsk Reversals of the lqud-currency pars. Ths work contrbutes to the lterature n an effort to broaden the scope of strkes and maturtes consdered, allowng for both llqud and out of-the-money optons, as well as structured notes wth embedded optons, to be more approprately prced. Keywords: Stochastc Volatlty. Volatlty Surface, Currency Optons JEL: C0, C Área Anpec: Área 7 - Mcroeconoma, Métodos Quanttatvos e Fnanças

3 . Introdução O mercado de opções de câmbo é um dos que apresentam grande lqudez há város anos, e o correto apreçamento de seus nstrumentos se torna mperatvo para o sucesso de qualquer um dos seus partcpantes. Este estudo apresenta um modelo que determna os pontos faltantes em uma superfíce de volatldades, prncpalmente quando os respectvos dados de mercado são escassos. Estas superfíces servem como base para o apreçamento de nstrumentos fnanceros mas sofstcados, como opções exótcas e notas estruturadas e, neste sentdo, a sua adequada construção é de suma mportânca. O modelo é aplcado ao caso de opções sobre o Euro x Dólar Canadense (EURCAD), que até meados de 007 eram muto pouco líqudas, começaram a ganhar lqudez de forma consstente a partr de 008, e hoje já são bastante negocadas. O modelo utlza as nformações das volatldades mplíctas de opções de pares com maor lqudez (USDCAD - Dólar Amercano x Dólar Canadense e EURUSD - Euro x Dólar Amercano), tratando os processos de volatldades como puramente estocástcos. A escolha destes pares de moedas se deu pela falta de lqudez de outros pares de moedas envolvendo o Real como um de seus componentes, e pelo fato das opções sobre o EURCAD ter apresentado um aumento sgnfcatvo de lqudez nos últmos anos, permtndo que o modelo pudesse ser verfcado com maor precsão. Derman e Kan (994) mostraram que há um efeto conhecdo como sorrso de volatldade, onde as volatldades mplíctas das opções nos seus modelos de apreçamento aumentam à medda que se afastam do preço spot do atvo-objeto, tanto para opções n-the-money como para opções out-of-themoney. Adconalmente, mostram que a volatldade também aumenta com o prazo até o vencmento, um fenômeno conhecdo como estrutura a termo da volatldade. Esses efetos se opõem ao que o modelo proposto por Black-Scholes (97) assume, onde a volatldade é consderada constante, para qualquer strke ou prazo de vencmento. Dversos estudos focam nos fatores que contrbuem na formação do sorrso de volatldade. Fama (964) demonstrou que os retornos dos atvos não seguem uma dstrbução normal. Jarrow e Rudd (98) e Corrado e Su (997) estudaram a assmetra e a curtose nas dstrbuções hstórcas dos retornos. Merton (976) aborda a exstênca de saltos nos preços dos atvos. Hull & Whte (987) abordaram o comportamento estocástco da volatldade. Garman e Kohlagen (98) adaptaram o modelo de Black e Scholes (97) para opções de câmbo, mantendo as suas premssas, estendendo-o para ldar com a presença de duas taxas de juros, uma para cada moeda envolvda. A prncpal contrbução do modelo Garman-Kohlhagen (GK) é que a taxa de câmbo pode ser vsta como um atvo que paga um dvdendos contínuos. O modelo de Heston (99) expande este conceto, assumndo que essas taxas varam com o tempo, segundo um modelo estocástco. Com volatldades também estocástcas. Recentemente, dversos autores brasleros utlzaram técncas para aprofundar o estudo das superfíces de volatldades mplíctas: Oya (009) utlzou a Análse de Componentes Prncpas (PCA) para estudar a superfíce de volatldade mplícta de opções européas do par de moedas USDBRL (Dólar Amercano x Real). Vargas (00) utlzou a volatldade hstórca do atvo-objeto como parâmetro para determnar a superfíce de volatldades mplíctas de ações do Ibovespa. Bustamante (00) utlzou a Transformada Rápda de Fourer para determnar a superfíce de volatldades das opções USDBRL através do modelo de Heston (98). Iveson (00) estudou a determnação de uma superfíce de volatldades de um par de moedas com baxa lqudez, a partr de superfíces de volatldades com maor lqudez, também com base no modelo de Heston (98). Ao utlzar um número maor de prazos até o vencmento e de relações de moneyness, buscando obter valores mas precsos para todo a faxa de valores negocados, este trabalho estende o modelo proposto por Iveson (00), que determna a superfíce de volatldades de um par de moedas cujas opções têm baxa lqudez, utlzando as superfíces de volatldades de outros pares de moedascom componentes comuns ao par líqudo, cujas opções são mas líqudas. O objetvo aqu é permtr que se estme com maor acuráca os valores ausentes das superfíces de volatldades exstentes, devdo a dados ncompletos em função da falta de hstórco de negócos. Adconalmente, o modelo aqu apresentado busca permtr que se determne uma superfíce de volatldades que possblte dentfcar eventuas oportundades de arbtragem devdo a desvos na precfcação das opções dsponíves no mercado.

4 Este trabalho está dvddo em quatro seções, nclundo esta ntrodução. A segunda seção descreve o modelo utlzado e as respectvas hpóteses que o permeam. A tercera seção apresenta tanto a calbração dos parâmetros do modelo a partr dos dados de mercado, como a construção da superfíce de volatldades mplíctas e a dscussão da qualdade dos resultados obtdos. A últma seção conclu o trabalho.. Descrção do Modelo O modelo adotado neste trabalho é um adaptação do modelo de Heston, pos assume que a taxa de câmbo é estocástca, uma vez que a taxa de câmbo pode ser expressa como uma relação entre as taxas de juros local e externa. Cada par de moedas é dentfcado por um índce, para =,,, com as respectvas dnâmcas descrtas pelas seguntes equações: ds = µ. S. dt + σ. S. dw t t t dσ = α σ. dz < dw, dz >= ρ. dt [] A expressão < dw, dz > denota o produto escalar entre os processos de Wener dw e dz, podendo ser nterpretado como a correlação entre ambos. As volatldades nstantâneas σ têm taxa de reversão à méda nula. O índce dentfca os pares de moedas aqu consderados de acordo com a Tabela abaxo: Tabela : Pares de Moedas consderados Par de Moedas USDCAD EURUSD EURCAD A escolha destes pares se deu pela falta de lqudez de outros pares de moedas que envolvessem o Real como um de seus componentes, e pelo fato das opções sobre o EURCAD terem apresentado um aumento sgnfcatvo de lqudez desde 008, permtndo que o modelo pudesse ser verfcado com maor precsão. Este trabalho se utlza, dentre as dversas estruturas presentes no, de dos produtos largamente negocados, Rsk Reversals e Butterfly Spreads defndos a segur : O Rsk Reversal (RR ) é a dferença entre as volatldades mplíctas de uma call e uma put, ambas com mesmo, e nos fornece a nclnação da curva de volatldade, que pode ser utlzada como uma medda do grau de assmetra da dstrbução de retornos do atvo-objeto: RR = σ σ [] Call Put O Butterfly Spread (BF ) é a dferença entre a méda das volatldades mplíctas da call e da put com mesmo e a volatldade mplícta da opção at-the-money, e nos fornece a curvatura da curva de volatldades, sendo uma boa medda do grau de achatamento da dstrbução de retornos do atvo-objeto: BF σ Call + σ Put = σ ATM [] Quanto maor for a procura por um contrato de opções, maor será o seu preço e, conseqüentemente, maor será a sua volatldade mplícta assocada. Para um dado, um Rsk Reversal postvo ndca

5 que a volatldade da call é superor ao da put, ndcando que o mercado atrbu a dstrbução assmétrca de expectatvas de retornos do atvo-base, com maor número de pessoas apostando numa alta de seu preço do que numa baxa. Em seu estudo, Iveson (00) também utlzou dados de Rsk Reversals e Butterfly Spreads com 0.5 e vencmento de 6 meses, dos pares de moedas USDBRL e EURUSD para determnar a superfíce de volatldades do par EURBRL. Entretanto, os fenômenos do sorrso de volatldade e da estrutura a termo da volatldade, descrtos por Derman e Kan (994), mostram que essa abordagem smplfcada (com apenas um e um vencmento) pode ser nefcente para determnar uma superfíce de volatldades mplíctas completa, e aqu resde a maor contrbução deste trabalho. A Fgura mostra as volatldades mplíctas de calls e puts para o par de moedas EURBRL, no da 5/0/0, destacando que os valores para um mesmo prazo, ou para um mesmo, podem apresentar grandes varações. Observa-se um crescmento consderável nos valores das volatldades mplíctas, aumentando à medda que cresce o strke da opção: as volatldades mplíctas são mas baxas para as puts mas out-of-the-money (com s menores), aumentando à medda que se aproxma da opção at-the-money, contnuando seu crescmento, até culmnar nas calls mas out-of-the-money (novamente com s menores). Outro mportante fenômeno observado é a pequena varação das volatldades mplíctas das puts ao longo do tempo, apresentando um aumento sensível apenas nos prazos de vencmentos acma de 6 meses. Essa característca não se observa nas volatldades mplíctas das calls, que exbem um crescmento constante ao longo do tempo, como esperado. Fgura : Volatldades mplíctas para o par de moedas EURBRL, no da 5/0/0 0D Call 5D Call 5D Call 5D Call ATM 5D Put 5D Put 5D Put 0D Put 4% % 0% 8% 6% 4% % 0% W W W M M M 4M 9M Y 8% 6% M 4% M Y % 0% 8% 6% 4% % 0% 5P 0P 5P 0P 5P 0P 5P 40P 45P ATM 45C 40C 5C 0C 5C 0C 5C 0C 5C 8% A Fgura abaxo mostra os valores dos Rsk Reversals e Butterfly Spreads observados no mercado no da 5/0/0, para o mesmo par de moedas. De forma análoga, os valores para dferentes s e 4

6 prazos mostram-se bastante dstntos, prncpalmente nos prazos de 6 meses para o vencmento. As dferenças entre as volatldades mplíctas das calls e puts de mesmo são evdencadas nesses gráfcos, ndcando que a generalzação de um valor para todo e qualquer prazo pode se mostrar nefcaz para a correta determnação da superfíce de volatldades. Fgura : Rsk Reversals e Butterfly Spreads do par de moedas EURBRL, no da 5/0/0 4% % 0% 8% 6% 4% % 0% 0D RR 5D RR 5D RR 5D RR W W W M M M Y M M Y RR 45 RR 40 RR 5 RR 0 RR 5 RR 0 RR 5 RR 0 RR 5 6% 4% % 0% 8% 6% 4% % 0% 4% % 0D BF 5D BF 5D BF 5D BF M M Y 4% % 0% W W W M M M Y BF 45 BF 40 BF 5 BF 0 BF 5 BF 0 BF 5 BF 0 BF 5 0% Cálculo dos parâmetros α e ρ dos pares de moedas líqudos a partr dos valores de Rsk Reversals e Butterfly Spreads Conforme demonstrado por Iveson (00), os parâmetros α e ρ das equações [] para =,, podem ser obtdos a partr do Rsk Reversal, do Butterfly Spread e da volatldade da opção at-the-money de um determnado par de moedas, através das seguntes equações: α = 6σ ATMBF BF T d + σ ATM [4] BF d + RR σ A ρ = [5] d 6σ BF ATM O valor d é obtdo a partr das funções nversas das dstrbuções normas-padrão de cada um dos s dos contratos de Rsk Reversals e Butterfly Spreads utlzados. Yekutel (004) utlzou as cotações dos contratos de opções Rsk Reversals e Butterfly Spreads como nputs em uma rotna de calbração que busca o melhor ajuste (best-ft) dos valores para os parâmetros do Modelo de Heston. A função-custo utlzada para o ajuste no estudo era a soma dos quadrados dos erros entre as volatldades mplíctas dos preços de mercado e as volatldades dos valores obtdos do modelo. Foram encontrados três problemas prncpas quando se tentou ajustar o modelo de Heston a uma superfíce de volatldades real de mercado: Por ser um modelo de 5 parâmetros, o Modelo de Heston não tem a precsão necessára para adequar uma superfíce de volatldades, que mutas vezes contém mas de 0 pontos de nformação. 5

7 O Modelo de Heston gera dnamcamente a assmetra e a curvatura (curtose) da superfíce de volatldade, devdo à natureza estocástca da volatldade. Em períodos curtos de tempo, essas característcas fornecdas pelo modelo são muto nferores àqueles observados nas superfíces de volatldade presentes no. Rebonato (004) aponta que este problema podera ser soluconado por um modelo que também ncluísse saltos, mas que essa solução não sera parcmonosa. O formato da evolução da curva das volatldades mplíctas das opções at-the-money à medda que aumenta o prazo para o vencmento (do curto para o longo prazo) não obedece à forma de transção exponencal prescrto pelo comportamento de reversão à méda do Modelo de Heston (stuação não relevante neste trabalho dada a adoção da taxa de reversão à méda nula). Em vsta de tas observações, Yekutel (004) decdu exclur os dados das opções com vencmentos nferores a dos meses do conjunto de dados para a calbração do Modelo, assm como as opções com 0.0, que compõem o RR 0 e o BF 0. Tas característcas são confrmadas neste estudo. Cálculo dos parâmetros α, para o par de moedas com menor lqudez Uma vez que os dados de Rsk Reversals e Butterfly Spreads para o par EURCAD são demasadamente escassos para utlzar a mesma metodologa aplcada anterormente, defnmos α em função de α, ρ, α, declaradas nas equações [4] e [5]. De [] decorre que: α = Var( dσ ) [6] onde Var ( dσ ) é a varânca de d σ. Prossegumos assm para o desenvolvmento das expressões de d σ e ds / S, como segue. Partndo do prncípo de não-arbtragem do valor da cotação do par de moedas S, onde S = S S, calculamos sua dervada total, dada abaxo: S S ds = ds + ds = SdS + SdS [7] S S Dvdndo [7] por S, e usando [] obtemos [8] ndcada abaxo. Por estarmos tratando de uma assocação de dos processos estocástcos, o termo determnístco (o drft µ ) pode ser desconsderado. ds ds ds = + = σdw + σ dw = σ dw [8] S S S Se tomarmos o produto escalar dos processos estocástcos dos preços dos pares de moedas e, podemos defnr: < dw, dw >= ρdt [9] Com base em [8] e [9], podemos escrever: σ = σ + σ + σ σ ρ [0] Fazendo a dervada total de [0]: σ dσ = σ dσ + σ dσ + ρ σ dσ + ρ σ dσ Chamando = ( σ + ρ σ ) dσ + ( σ + ρ σ ) dσ ( σ + ρ σ ) ( σ + ρ σ ) dσ = dσ + dσ σ σ σ + ρσ Φ A = σ σ + ρσ Φ B = σ Dado que, de [], dσ = α. dz, e substtundo [] em [] obtemos: [] [] 6

8 dσ = Φ α dz + Φ α dz [] A B De [6], podemos calcular α como se segue: α = Var( dσ ) = α Φ + α Φ + α α Φ Φ < dz, dz > A B A B α = α Φ + α Φ + α α Φ Φ < dz, dz > A B A B ds Por defnção, ρ =< dσ, >. Usando [], [] e [8], temos: S ds ρ =< dσ, >=< Φ α dz + Φ α dz, σ dw + σ dw > A B S = α σ Φ < dz, dw > + α σ Φ < dw, dz > A A + α σ Φ < dw, dz > + α σ Φ < dz, dw > B B Dentre as correlações presentes em [4] e [5], conhecemos apenas < dz, dw > e < dz, dw >, guas a ρ, respectvamente. Anda não possuímos uma forma analítca para < dw, dz >, < dw, dz > e < dz, dz >. Devdo ao fato que as séres hstórcas dessas correlações não apresentarem um comportamento estável, a utlzação dos valores hstórcos dessas correlações não é vável, pos esta abordagem atenuara a característca estocástca do modelo, acarretando uma perda de aderênca do modelo ao mundo real. Iveson (00) sugere um artfíco algébrco para soluconar este problema. São defndos dos novos processos estocástcos artfcas dw e dw, ortogonas a dw e dw respectvamente, de modo a satsfazer às seguntes restrções: < dw, dw >= 0 < dw, dw >= 0 dz = ρ dw + ρ dw dz = ρ dw + ρ dw Os processos dw podem ser descrtos como a decomposção do processo estocástco dz em dos componentes: um que decorre dos movmentos da taxa de câmbo (correspondente a ρ dw ), e outro que se orgna do ruído do (correspondente a ρ dw ). Dessa forma, [4] [5] [6] dw pode ser descrto como a parte estocástca do processo de volatldade dz que não pode ser explcada pelos movmentos da taxa de câmbo. Com esses dos novos processos é possível calcular as correlações < dw, dz >, < dw, dz > e < dz, dz > em função das correlações < dw,dw >, < dw, dw > e < dw,dw >. Adconalmente, estas últmas mostram-se muto mas estáves que as prmeras. Tas correlações são defndas como segue: < dw, dw > : é a correlação da parcela da volatldade de USDCAD que é explcada pela varação da taxa de câmbo de USDCAD (a equação resultante da regressão dos retornos de USDCAD com sua volatldade em cada período), com a parcela da volatldade de EURUSD que não é explcada pela varação da taxa de câmbo EURUSD (os resíduos da regressão dos retornos de EURUSD com sua volatldade em cada período). < dw, dw > : é a correlação da parcela da volatldade de EURUSD que é explcada pela varação da taxa de câmbo de EURUSD, com a parcela da volatldade de USDCAD que não é explcada pela varação da taxa de câmbo de USDCAD. 7

9 < dw,dw > : é a correlação da parcela da volatldade de USDCAD que não é explcada pela varação da taxa de câmbo de USDCAD, com a parcela da volatldade de EURUSD que não é explcada pela varação da taxa de câmbo de EURUSD. Expandndo as equações de [6] com as correlações descrtas, podemos defnr: < dw, dz >=< dw, ρ dw + ρ dw >= ρ ρ + ρ < dw, dw > < dw, dz >=< dw, ρ dw + ρ dw >= ρ ρ + ρ < dw, dw > < dz, dz >=< ρ dw + ρ dw, ρ dw + ρ dw > = ρ ρ ρ + ρ ρ < dw, dw > + ρ ρ < dw, dw > + ρ ρ < dw, dw > [7] Utlzando os valores de [7] em [5], podemos defnr ρ = α σ Φ ρ + α σ Φ < dw, dz > + α σ Φ < dw, dz > + α σ Φ ρ A A B B [8] O processo de obtenção de valores das volatldades mplíctas das calls e puts a partr dos dados de mercado é composto por nove fases descrtas abaxo.. Cálculo das séres hstórcas de α, α, ρ, a partr dos valores dos Rsk Reversals e Butterfly Spreads, para cada um dos pares de moedas, dos dados dsponíves no mercado.. Regressão da volatldade dos pares de moedas em função dos retornos dáros. Com os coefcentes obtdos, calcula-se as séres de retornos fltrados dw e dw, e dos resíduos da regressão, obtém-se dw e dw.. Com as séres dw e dw, obtdas na fase, calculam-se os coefcentes < dw,dw >, < dw, dw > e < dw,dw >. 4. A partr da regressão dos retornos fltrados, dw e dw, calcula-se o coefcent. 5. A partr das séres α, α, ρ, obtdos na fase, e do valor ρ, obtdo na fase 4, são calculadas as séres de correlações estocástcas < dw, dz >, < dw, dz > e < dz, dz >. 6. Com os valores das volatldades hstórcas dos pares de moedas, σ e σ, e o valor ρ, obtdo na fase 4, são calculados os valores para Φ A e Φ B. 7. Com as séres α, α, ρ, obtdos na fase, as séres de correlações estocástcas < dw, dz >, < dw, dz > e < dz, dz >, obtdas na fase 5, e os valores de Φ A e Φ B, calculados na fase 6, calcula-se as séres de α. 8. Com as séres α, calculadas na fase 7, calcula-se as séres dos Rsk Reversals e Butterfly Spreads para o par de moedas. 9. A partr das séres dos Rsk Reversals e Butterfly Spreads para o par de moedas, determna-se as volatldades mplíctas para as calls e puts desse par de moedas. O fluxo a ser segudo para a construção da superfíce de volatldades é lustrado na Fgura abaxo. 8

10 Fgura : Fluxograma do processo de obtenção das volatldades mplíctas Obtenção. de α, α, ρ Realzação. das regressões dos movmentos dos pares de moedas Realzação. Obtenção.5 das regressões das dos resíduos das correlações regressões anterores estocástcas 7 Obtenção. de α 8 Obtenção. 9 Obtenção. das volatldades de RR e BF mplíctas das callse das puts 4 Obtenção de ρ 6 Obtenção de Φ A e Φ B Na próxma seção o processo descrto acma é mplementado para se obter as volatldades mplíctas para calls e puts do par de moedas EURCAD, a partr dos Rsk Reversals e Butterfly Spreads para ambos os pares de moedas USDCAD e EURUSD.. Resultados Foram utlzados dados dáros do termnal Bloomberg, para os Rsk Reversals e Butterfly Spreads para os pares de moedas USDCAD e EURUSD, com s de 0.0, 0.5, 0.5 e 0.5, para os prazos de mês ( das útes), meses (6 du), 6 meses (6 du) e ano (5 du), de 06/0/006 a 5/0/0. O número total de observações da sére é de 5 das. Cada da nos fornece observações, para os dversos prazos e s. Apesar de estarem dsponíves opções com prazos de vencmento de até 7 anos, as opções com prazos acma de anos apresentavam lqudez baxa, e portanto foram descartadas deste estudo pelo número excessvo de outlers. Fase : Geração dos α para os pares de moedas USDCAD e EURUSD As séres hstórcas de α e ρ para os pares de moedas USDCAD e EURUSD foram calculados a partr dos valores hstórcos dos Rsk Reversals e Butterfly Spreads de cada um dos pares de moedas. As Fguras 8 e 9 lustram as dferenças entre os valores calculados para os dversos s e prazos, fornecendo bons ndícos que a segmentação em áreas dferentes pode trazer um refnamento nos resultados. Na fgura 4 observamos que os valores dos Alphas para os dferentes s não dferem tanto quando comparados com outro Alphas de mesmo prazo, mas que varam muto para o mesmo, para prazos de vencmento dferentes. Na fgura 5, notamos que a mesma característca ocorre, exceto para os Alphas de 0.5, que apresentam valores modulares menores que para os demas s. Outra característca notável é que a correlação entre os processos estocástcos dw e dz, ndcado pelos Rhos de cada par de moedas, é negatva para o par USDCAD, enquanto que para o par EURUSD, é postva. Essa característca ndcará a sncrona de dreção dos movmentos dos preços e das volatldades do par de moedas em questão. 9

11 Fgura 4: Alphas calculados para as moedas USDCAD e EURUSD no da 5/0/0 Alpha - USDCAD Alpha - EURUSD M M Y Prazo M M Y Prazo Alpha - USDCAD M M Y Alpha - EURUSD M M Y Fgura 5: Rhos calculados para as moedas USDCAD e EURUSD no da 5/0/0 Rho - USDCAD Rho - EURUSD M M Y Prazo M M Y Prazo Rho - USDCAD M M Y Rho - EURUSD M M Y Fase : Regressão das volatldades de cada par de moedas, em função dos movmentos de preços dessa moeda geração de dw e dw Foram fetas regressões das volatldades de mês, meses, 6 meses e ano, em função dos movmentos dáros (retornos logarítmcos de d-0, d- e d-), AR() e AR() para cada par de moedas, USDCAD e EURUSD. A utlzação de processos autorregressvos de a e a ordens se faz necessáro, pos a sére apresenta uma forte correlação seral postva. Essa correlação seral é confrmada pelos resultados dos coefcentes de Durbn-Watson das regressões. Apresentamos a segur os resultados obtdos para cada um dos coefcentes, com suas estatístcas t entre parênteses: 0

12 USDCAD Coefcente M M Y d-0 0,0058 (,60) 0,0007 (0,8) 0,000 (,77) 0,07 (,69) d- -0,5474 (-,8) -0,0850 (-,78) -0,08 (-,09) -0,000 (-,94) d- -0,0948 (-,) -0,0767 (-,5) -0,04089 (-,47) -0,0008 (-,4) EURUSD Coefcente M M Y d-0 0,00097 (0,88) 0,0808 (,0) 0,086 (,46) 0,049 (,47) d- -0,78 (-,54) -0,408 (-,86) -0,076 (-,89) -0,0677 (-,66) d- -0,894 (-,8) -0,56 (-,87) -0,00047 (-,) - Com os coefcentes obtdos, forma calculados as séres de dw e dw para cada um dos períodos analsados, e a partr dos resíduos das regressões, foram gerados as séres de dos períodos analsados. dw e dw para cada um Fase : Regressão das séres geradas na Fase Utlzando-se as séres dw, dw, dw e dw, geradas pelas regressões anterores, foram fetas as regressões de < dw, dw >, < dw, dw > e < dw,dw >. Neste caso também foram utlzados processos autorregressvos de a e a ordens, para corrgr a correlação seral postva. Os coefcentes obtdos são apresentados abaxo, com suas estatístcas t entre parênteses: Coefcente M M Y < dw, dw > 0,07445 (4,6) 0,05978 (,6) 0,0984 (,44) 0,04077 (,) < dw, dw > 0,0994 (4,7) 0,708 (5,9) 0,5 (7,9) 0,496 (5,87) < dw,dw > 0,946 (7,65) 0,08 (9,46) 0,80 (9,80) 0,7867 (9,) Fase 4: determnação d A partr de [9], podemos calcular ρ dt =< dw, dw > da regressão dos retornos de USDCAD e EURUSD em cada período. Os valores obtdos são mostrados abaxo, com suas estatístcas t entre parênteses: M M Y ρ 0,7757 (5,6) 0,7446 (4,78) 0,7057 (4,) 0,6 (,07) Neste caso, os valores obtdos para cada prazo são muto próxmos, havendo uma dferença menor que 4,% entre os valores extremos. Fase 5: Determnação de < dw, dz >, < dw, dz > e < dz, dz > Tendo os valores d e as séres < dw, dw >, < dw, dw > e < dw,dw >, são calculadas as séres de correlações estocástcas hstórcas de < dw, dz >, < dw, dz > e < dz, dz > para cada prazo, através de [7]. Fase 6: Determnação de Φ A e Φ B Com os valores das volatldades hstórcas para cada período de USDCAD e EURUSD, e com os valores d, as séres de Φ A e Φ B para cada prazo foram calculadas, conforme [].

13 Fase 7: Determnação de α Utlzando as séres e coefcentes obtdos, as séres de valores hstórcos para α para cada prazo podem ser calculadas, de acordo com [4] e [8]. A fgura 6 apresenta os valores obtdos para os Alphas e Rhos para o da 5/0/0. Fgura 6: Alphas e Rhos calculados para o par de moedas EURCAD, no da 5/0/ Alpha Rho 6 M M Y Prazo 0.00 M M Y Prazo 5 Alpha 0.07 Rho M M Y M M Y Notamos que o mesmo comportamento apresentado para os Alphas do pares de moedas utlzados anterormente é repetdo para o par de moedas estudado agora: os valores dos Alphas para os dferentes s não dferem muto quando comparados com os de mesmo prazo, mas varam bastante para um mesmo, com prazos de vencmento dferentes. Os valores de Rho, assm como os do par de moedas EURUSD, são postvos, ndcando uma correlação postva entre os os processos estocástcos dw e dz. Fase 8: Determnação de RR EURCAD e BF EURCAD Utlzando [4] e [5], podemos determnar as séres de valores de RR EURCAD e BF EURCAD a partr de cada um dos valores de α. A Fgura 7 apresenta os valores obtdos para os RR EURCAD e BF EURCAD para o da 5/0/0. Todos os valores de BF EURCAD são postvos, assm como os observados para o par EURBRL, mas os valores dos Butterfly Spreads calculados para o par EURCAD ndcam que sua superfíce de volatldades mplíctas possu uma curvatura menor que a da superfíce do par EURBRL. Além dsso, os valores de RR EURCAD são negatvos, ao contráro aos do par EURBRL. Essa característca nos ndca que há uma assmetra nas expectatvas do mercado, snalzando uma perspectva de alta na cotação do par de moedas EURBRL, enquanto que projeta uma queda na cotação do par EURCAD.

14 Fgura 7: Butterfly Spreads e Rsk Reversals calculados para o par de moedas EURCAD, no da 5/0/0 Butterfly Spread Rsk Reversal 0.9 M M Y Prazo M M Y Prazo Butterfly Spread M M Y Rsk Reversal M M Y Fase 9: Determnação das volatldades mplíctas das calls e puts para o par de moedas EURCAD, e sua superfíce de volatldades mplíctas. Tendo os valores dos Butterfly Spreads e Rsk Reversals para o par de moedas EURCAD, é possível calcular as volatldades mplíctas de suas calls e puts, e construr sua superfíce de volatldades mplíctas, utlzando [] e []. A superfíce de volatldades fo construída utlzando-se nterpolação através de splnes cúbcos. Esse método de nterpolação fo utlzado para compensar a relatva escassez de pontos para construção da curva, porém não garante que a superfíce obtda exba a característca de um modelo lvre de arbtragem, de modo que os preços das opções calculadas com a volatldade exbdas possam apresentar eventuas oportundades de arbtragem com seu atvo-objeto. Anda assm, essas oportundades só apareceram entre os vértces, que não são alterados no processo. Comparação da superfíce estmada com a observada no mercado. Uma vez construída a superfíce de volatldades, podemos compará-la com a superfíce de volatldades real de mercado. A Fgura 8 apresenta a superfíce de volatldades para as calls do par EURCAD para o da 5/0/0. Fgura 8: Superposção das superfíces de volatldade estmada e de mercado para as calls do par EURCAD, para o da 5/0/0.

15 A superfíce que está por cma, menos ondulada, é a estmada. A Fgura 9 mostra a subtração das superfíce, destacando as dferenças absolutas, em pontos percentuas, entre elas. É possível observar que as dferenças são muto pequenas, excetuando os valores para o prazo de mês para o vencmento, e para 0.0, que apresentam valores dscordantes. Essas dferenças, para os prazos mas curtos, mostraram um comportamento errátco, de um da para o outro, no período observado Fgura 9: Resultado da subtração das superfíces de volatldade estmada e de mercado das calls do par EURCAD para o da 5/0/0. Fgura 0: Secções temporas das superfíces de volatldade estmada e de mercado das calls do par EURCAD para o da 5/0/0. Prazo = mês.6 Prazo = meses..5 Volatldade Implícta (%) Volatldade Implícta (%).4. Estmado.7 Estmado Prazo = 6 meses 4.0 Prazo = ano Volatldade Implícta (%) Estmado Volatldade Implícta (%) Estmado

16 Uma análse dlgente da Fgura 0 nos permte dentfcar as razões que ocasonam as flutuações mas acentudadas presentes na Fgura 9: o descolamento entre os valores calculados pelo modelo para o prazo de vencmento de mês, comparados aos valores observados no mercado neste da são muto maores do que para os demas prazos, chegando a 0,6%. Fgura : Secções temporas das superfíces de volatldade estmada e de mercado das puts do par EURCAD para o da 5/0/0. Prazo = mês.7 Prazo = meses..6 Estmado Volatldade Implícta (%)..0.9 Volatldade Implícta (%) Estmado Prazo = 6 meses 4. Prazo = ano.6 Estmado 4.0 Volatldade Implícta (%).4..0 Volatldade Implícta (%) Estmado As Fguras 0 e comparam as secções temporas das superfíces de volatldade estmada e de mercado das calls e puts, respectvamente, do par EURCAD para o da 5/0/0. Observa-se uma semelhança, tanto de valores como de formato, para a evolução das curvas de volatldades mplíctas para os prazos de vencmento acma de meses, tanto para as calls, como para as puts, ndcando a boa aderênca do modelo ao mercado para esses prazos. Para o prazo de vencmento de mês, o formato da curva de mercado vara muto, dependendo do da observado, mas o formato da curva do modelo é muto estável, gerando dferenças maores ou menores, de acordo com a nquetação dos partcpantes do mercado no da analsado. Essas dferenças são anacrôncas, e podem apresentar excelentes oportundades de arbtragem. 5

17 Fgura : Secções por das superfíces de volatldade estmada e de mercado das calls do par EURCAD para o da 5/0/0 0,0 0, Volatldade Implícta (%) Estmado Volatldade Implícta (%).0.5 Estmado Prazo (meses).5 6 Prazo (meses) 0,5 0,5.5 Volatldade Implícta (%) Estmado Volatldade Implícta (%) Estmado Prazo (meses).5 6 Prazo (meses). As Fguras e comparam as secções por das superfíces de volatldade estmada e de mercado das calls e puts, respectvamente, do par EURCAD para o da 5/0/0. As curvas observadas nestas fguras são mas alnhadas com os resultados esperados do modelo. Anda se observa um descolamento mas acentuado nos valores das volatldades mplíctas para o prazo de vencmento de mês, prncpalmente nas opções com mas baxo, mas essa característca é atenuada pela escala dos valores das escalas dos gráfcos. A aderênca das curvas de volatldades mplíctas calculadas pelo modelo ao mercado varou pouco ao longo do tempo, apresentando baxa efcáca apenas em períodos turbulentos, quando a volatldade das cotações do atvo-objeto cresceu muto. Nestes casos, o modelo demonstrou pouca establdade para determnar curvas de volatldades com a precsão desejada. 6

18 Fgura : Secções por das superfíces de volatldade estmada e de mercado das puts do par EURCAD para o da 5/0/0 0, , Volatldade Implícta (%) Estmado Volatldade Implícta (%).0.5 Estmado Prazo (meses).5 6 Prazo (meses) 0,5 0, Volatldade Implícta (%) Estmado Volatldade Implícta (%) Estmado Prazo (meses).5 6 Prazo (meses) Dferença entre as volatldades calculadas pelo modelo e as observadas no mercado em 5 de Março de 0 Calls Puts Prazo (meses) Prazo (meses) ,89% -0,4% -0,57% -0,% 0.0 +,65% -0,% -0,74% -0,0% 0.5 +,94% -0,6% -0,6% -0,48% 0.5 +,4% +0,04% -0,46% -0,6% ,6% -0,09% -0,% +0,8% 0.5 -,07% -0,0% +0,8% +0,% 0.5-0,6% -0,0% -0,% +0,00% ,5% -0,8% +0,5% -0,44% As volatldades mplíctas apresentam uma dferença percentual maor para as opções com menor prazo até o vencmento, e para s menores. Em geral, as dferenças percentuas entre as volatldades observadas no mercado e as calculadas pelo modelo são nferores a 0,5%, atrbundo um elevado fator de confabldade ao modelo. 4. Conclusão O objetvo deste trabalho fo desenvolver uma manera de determnar a superfíce de volatldades para opções pouco líqudas, cujo atvo-objeto é um par de moedas cujos componentes tenham opções com maor lqudez quando pareadas com uma tercera moeda. O par de moedas escolhdo para este estudo fo o Euro x Dólar Canadense, que apresentava baxa lqudez e, para possbltar a execução do estudo, 7

19 foram utlzadas as opções destas moedas pareadas com o Dólar Amercano, que possuíam lqudez elevada. O estudo estendeu o modelo proposto por Iveson (00), que somente utlza os valores dos Butterfly Spreads e Rsk Reversals de 0.5 e prazo de vencmento de 6 meses, expandndo o escopo para utlzar também os s de 0.0, 0.5 e 0.5, e os prazos de, e meses para o vencmento, buscando uma maor aderênca das curvas de volatldades. Embora os resultados obtdos reteram aqueles observados por Iveson (00), confrmando que, para determnar apenas o ponto da superfíce de volatldades referente à opção de maor lqudez, e portanto, a de maor nteresse, com prazo de vencmento de 6 meses e 0.5, o modelo proposto por ele é sufcente e efcaz, os resultados obtdos no presente trabalho demonstram que, para a determnação de uma superfíce de volatldades mplíctas completa, é necessára a utlzação de um número maor de s e prazos, cobrndo assm de manera mas abrangente todas as possíves faxas de negocação de nteresse. Os problemas enfrentados por Yekutel (004) também foram observados neste estudo: os valores das volatldades mplíctas para o 0.0 e para o prazo de vencmento de mês de fato se mostraram mas nconstantes, ora muto acma, ora muto abaxo dos valores projetados pelo modelo. Esse comportamento já era esperado, pos estas opções são ou claramente out-of-the-money, ou têm um prazo de vencmento muto curto, e seus preços são mas sujetos a flutuações do mercado, e podem apresentar eventuas oportundades de arbtragem. Em oposçãoao proposto por Yekutel (004), estes dados não devem ser desprezados, mas tratados com cautela, pos as condções descrtas acma provavelmente se devem à baxa lqudez desses vértces, muto próxmos do vencmento ou com strkes muto conservadores, e sujetos a osclações mas acentuadas. O modelo demonstrou algumas lmtações, por utlzar tanto dados de mercado, com dados hstórcos, e por vezes percebe-se um evdente descolamento do modelo em relação ao em momentos de crse, como durante a crse econômca de 008/9. Contudo, o modelo mostra boa aderênca quando o passa por momentos de maor tranqüldade, provando ser uma ferramenta valosa para completar os pontos faltantes de uma superfíce de volatldades de pares de moedas, a partr das superfíces (mas) completas de outros pares de moedas que tenham as moedas de nteresse como um de seus componentes. Bblografa ALEXANDER, C., Modelos de : um gua para a análse de nformações fnanceras, São Paulo: Bolsa de ras & Futuros, 005 BLACK, F., SCHOLES, M., The prcng of optons and corporate labltes. Journal of Poltcal Economy, Vol 8, 97 BOSSENS, F., RAYÉE, G., SKANTZOS, N., DEESLTRA, G., Vanna-Volga Methods appled to FX dervatves: from theory to market practce, CEB Workng Paper N o 09/06, 009 BUSTAMANTE, P. Z., Construção de superfíce de volatldade para o mercado braslero de opções de dólar baseado no modelo de volatldade estocástca de Heston, Dssertação de Mestrado, EESP- FGV, 00 CARR, P., WU, L., Stochastc skew n currency optons, Journal of Fnancal Economcs 86, p - 47, 007 CASTAGNA, A., MERCURIO, F., The Vanna-Volga method for mpled volatltes, Rsk (January 007) 06- CORRADO, C. J., SU, T, Impled volatlty skews and stock ndex skewness and kurtoss mpled by S&P 500 Index opton prces, The Journal of Dervatves, p. 8-9, Summer 997. COX, J. C., INGERSOLL J. E., ROSS S. A., A Theory of the Term Structure of Interest Rates, Econometrca, Vol 5, n., 985 DERMAN, E., Laughter n the Dark: An Introducton to the Volatlty Smle, 008 DERMAN, E., KANI, I. Rdng on a smle, RISK, v.7, n., p. -9, 994 FAMA, E. F. The Behavor of Stock Market Prces, The Journal of Busness, v.8, p.4,

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