FACULDADE IBMEC SÃO PAULO Programa de Mestrado Profissional em Economia

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1 FACULDADE IBMEC SÃO PAULO Programa de Mesrado Profssonal em Economa ANTONIO ARTHUR PITANGUY SAMPAIO ALOCAÇÃO DE ATIVOS COM MODELOS DE VOLATILIDADE MULTIVARIADA EVIDÊNCIAS COM DADOS BRASILEIROS São Paulo 006

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3 ANTONIO ARTHUR PITANGUY SAMPAIO ALOCAÇÃO DE ATIVOS COM MODELOS DE VOLATILIDADE MULTIVARIADA -EVIDÊNCIAS COM DADOS BRASILEIROS Dsseração apresenada ao Programa de Mesrado Profssonal em Economa da Faculdade Ibmec São Paulo, como pare dos requsos para a obenção do íulo de Mesre em Economa. Área de concenração: Fnanças Orenador: Prof. Dr. Pedro Luz Valls Perera Ibmec SP São Paulo, Brasl 006

4 Sampao, Anono Arhur Panguy Alocação de avos com modelos de volaldade mulvarada- evdêncas com dados brasleros / Anono Arhur Panguy Sampao; orenador Prof. Dr. Pedro Luz Valls Perera. São Paulo: Ibmec São Paulo, f. Dsseração (Mesrado Programa de Mesrado de Profssonal em Economa. Área de concenração: Fnanças) Faculdade Ibmec São Paulo.. Alocação de Avos. Volaldade 3. Fnanças

5 ANTONIO ARTHUR PITANGUY SAMPAIO ALOCAÇÃO DE ATIVOS COM MODELOS DE VOLATILIDADE MULTIVARIADA EVIDÊNCIAS COM DADOS BRASILEIROS Dsseração apresenada ao Programa de Mesrado Profssonal em Economa Ibmec São Paulo, como requso parcal para a obenção do íulo de Mesre em Economa. Área de concenração: Fnanças Aplcadas Aprovado em: Dezembro/ 006 Banca Examnadora: Prof. Dr. Pedro Luz Valls Perera Insução: Ibmec São Paulo Prof. Dr. Rnaldo Ares Insução: Ibmec São Paulo Prof. Dr. Jose Valenm Machado Vcene Insução: Banco Cenral do Brasl

6 AGRADECIMENTOS Agradeço a odos os professores do curso de mesrado, mas sobreudo agradeço ao meu orenador. o professor Pedro Valls pelo supore dado ao longo da elaboração dese rabalho. Agradeço ambém ao professor Marco Laurn, em especal, por odo o empo despenddo ajudando-me com as ronas compuaconas sem as quas não era sdo possível a realzação dese rabalho. Agradeço ambém a odos os meus colegas cujo convívo pude desfruar ao longo de odo o curso.

7 À Helena, e aos meus pas Yedda Luca e Aéco(n memoram)

8 RESUMO SAMPAIO, Anono Arhur Panguy. Alocação de avos com modelos de volaldade mulvarada evdêncas com dados brasleros. São Paulo, p. Dsseração (Mesrado) Faculdade de Economa e Fnanças - IBMEC SÃO PAULO. O objevo dese rabalho é esar se exsem ganhos econômcos sgnfcanes com o uso de modelos de volaldade condconal mulvarada no processo de alocação de avos. Avalamos a sgnfcânca econômca de se modelar a volaldade condconal comparando o desempenho de careras de nvesmeno com váras esraégas que operam avamene a volaldade esperada. Comparamos os resulados desas meodologas com esraéga de alocação esáca baseada na varânca não condconal e ambém com uma esraéga de pesos guas para os avos da carera. A base de dados ulzada nese esudo é composa por avos perencenes ao índce IBX-50, no período de Janero de 000 a Dezembro de 005. O processo de alocação de avos é realzado consderando-se um nvesdor avesso ao rsco no conexo de méda-varânca de Markowz. Concluímos que ano no caso de consderarmos axa lvre de rsco como nos casos em que não a levamos em cona, as esraégas esácas não são nferores às esraégas com marz de varânca condconal. Iso é, não podemos dzer que as esraégas que fazem o mng da volaldade e rebalanceamenos peródcos são melhores em ermos de ganhos econômcos. A comparação é realzada para o período fora da amosra. Palavras-chave: Alocação de Avos; Volaldade Condconal; Méda-Varânca.

9 ABSTRACT SAMPAIO, Anono Arhur Panguy. Economc gans n modelng he volaly of porfolos of socks Brazlan case. São Paulo, p. MSc Dsseraon Faculdade de Economa e Admnsração. IBMEC SÃO PAULO. The objecve of hs sudy s o es he economc sgnfcance of condonal volaly modellng n he asse allocaon process. In oher o do so, we compare he performance of porfolos wh dfferen dynamc sraeges n whch we me he expeced volaly. We compare he resuls of hose sraeges o sac non condonal volaly sraeges and also o a sraegy wh equally weghed porfolo. In hs sudy, we used hry of he socks ha compose he Brazlan IBX-50 ndex n he perod from January 000 o December 005. We consdered ha he nvesor s rsk-averse n he Markowz mean-varance conex. Our concluson s ha wh or whou a rsk-free neres rae, he sac sraeges are no nferor o he sraeges wh condonal varance. We canno affrm ha he sraeges ha me he volaly wh perodcal rebalancng acheve beer resuls (hgher economc gans). We conduced our comparson wh ou-of-sample daa. Keywords: Asse Allocaon, Condonal Volaly, Mean-Varance.

10 LISTA DE TABELAS Tabela - Ações que compõe a carera... 6 Tabela Resulados das esraégas em dferenes períodos de rebalanceameno...30

11 SUMÁRIO INTRODUÇÃO... 9 DESCRIÇÃO DOS MODELOS.... MODELO FATORIAL PARA RETORNO DE ATIVOS..... Especfcação Geral dos Modelos de Faores..... Modelo de Faores Esaíscos (laenes) para os reornos GARCH-Orogonal DCC-GARCH ESCOLHA DA CARTEIRA ÓTIMA ESCOLHA DINÂMICA DA CARTEIRA ÓTIMA NO CONTEXTO DA MÉDIA- VARIÂNCIA MEDIDA DE PERFORMANCE DAS ESTRATÉGIAS DESCRIÇÃO DOS DADOS ANÁLISE DOS RESULTADOS CONCLUSÃO... 3 BIBLIOGRAFIA... 33

12 9 INTRODUÇÃO A mporânca da esmação da volaldade é crucal em dversas áreas do esudo de Fnanças, em especal no ocane à gesão de careras de nvesmeno. Iso ano no que ange a escolha dos avos como, ambém, no conrole e admnsração de rsco. Nas úlmas décadas, números argos se desacaram no esudo da volaldade: Engle; (98) desenvolve os modelos ARCH; Bollerslev (986) os ARCH Generalzados (GARCH) Nelson (99) GARCH Exponencal (EGARCH) e Alexander (005) Modelo Garch Orogonal. O modelo DCC (Correlação Condconal Dnâmca) é apresenado por Engle (00) como uma generalzação do modelo CCC (Correlação Condconal Consane) proposo por Bollerslev (990). A maora dos esudos se concenra no desempenho dos modelos de volaldade. Nosso objevo, conudo, não será checar a precsão deses modelos mas, sm, esar a vanagem econômca de modelarmos a volaldade. Iremos, porano, conrapor os resulados obdos por meo de esraégas de rebalanceameno de uma carera de nvesmeno como fruo de mudanças na projeção da marz de varânca dos reornos dos avos. Como sugerdo por Flemng e al. (00), ulzaremos uma análse de Méda Varânca para mplemenar a alocação de avos. Para compararmos careras, fxaremos a aversão relava ao rsco. Iremos escolher ambém o pono de reorno médo na curva de careras efcenes para efeo de comparação. Vamos ulzar dos modelos: Modelo de GARCH Orogonal e o Modelo DCC- GARCH proposo por Engle (00). Iremos comparar eses modelos com uma esraéga ngênua de alocação /N e uma alocação baseada puramene no reorno e marz de varânca hsórcos (calculados de forma não condconal com os dados amosras). Por fm, nossa análse será baseada em uma carera de 30 ações lsadas na Bovespa ( odas componenes do IBX-50). Segundo a meodologa proposa por Han (006) para quanfcar o valor econômco de se modelar a volaldade, calculamos uma axa de desempenho esmada que o nvesdor

13 0 eseja dsposo a pagar para rocar uma esraéga esáca óma por uma carera consruída sob as premssas dos Modelos Volaldade GARCH Orogonal e Modelo DCC -GARCH. Tano o Modelo GARCH Orogonal como o DCC-GARCH nos perme rabalhar com um porfólo bem dversfcado com um grande número de avos. Ao nvés de se modelar a alocação ulzando-se índces de mercado, ulzamos faores laenes. Comparando esraégas baseadas em cada um dos modelos com as respecvas esraégas esácas, chegamos à conclusão que não emos ganhos em rebalancearmos a carera.

14 DESCRIÇÃO DOS MODELOS Nesa seção remos descrever as meodologas esaíscas ulzadas no processo de alocação de avos. Nosso processo de alocação é baseado nas segunes meodologas alocação esáca baseada na marz de médas e varâncas não condconas, Modelos Esaíscos de Faores, Modelos Mulvarados de Volaldade Condconal do po GARCH Orogonal e DCC-GARCH. Com o objevo de descrever o modelo GARCH Orogonal remos descrever prmero de forma geral os Modelos de Faores e mas especfcamene os Modelos de Faores nos quas os mesmos são não observáves, so é, eles são laenes. Em seguda apresenaremos o modelo GARCH Orogonal como descro por Alexander (005). Como alernava ao GARCH orogonal escolhemos o DCC-GARCH, como proposo por Engel (00).. MODELO FATORIAL PARA RETORNO DE ATIVOS Incalmene vamos descrever a ulzação dos Modelos Mulfaoras para descrever a esruura da covarânca dos reornos. No Modelo de Faores decompõe-se o reorno dos avos em Faores Comuns a odos os avos, que compõem a carera, mas um Faor Específco para cada avo. O que o modelo faz é solar as sensbldades de cada avo aos Faores Comuns de Rsco. Pelo fao deses faores mpacarem de alguma forma odos os avos da carera eles são nerpreados como Faores Fundamenas de Rsco. Como em Zvo e Wang (005) os Modelos de Faores são dvddos em rês pos prncpas: ) Modelos de Faores Fundamenas; ) Modelos de Faores Macroeconômcos; 3) Modelos de Faores Esaíscos (ou laenes ).

15 Os Modelos Macroeconômcos ulzam dados macroeconômcos como faores. Os Modelos de Faores Fundamenas ulzam dados específcos das empresas como dados de balanço, Lucro Líqudo, Parmôno Líqudo ec. Os Modelos de Faores Esaíscos (ou laenes) ulzam Faores Comuns que são não observados... Especfcação geral dos Modelos de Faores Podemos descrever a formao geral dos Modelos de Faores como se segue: R = α + β + β f + ε = α + β f + ε f + β f + L K K ' onde é o reorno (real ou o excesso de reorno sobre um avo sem rsco) do avo ( =, R..., N) no período de empo ( =,..., T ), α é o nercepo, f K é o k-ésmo Faor Comum (k =,..., K ), β k é a carga do k-ésmo faor para o avo, e ε é o faor específco do avo. No modelo mulfaoral assume-se que as realzações dos faores f, são I(0) com os momenos não condconas: E[f ] = μ f cov [f ] = E[(f - μ ) (f - μ ) ] = Ω f f f Os erros específcos ε são não correlaconados com cada um dos faores comuns f K al que cov( f k, ε ) = 0, para odo k, e. Os ermos e conemporaneamene não correlaconados enre os avos, so é, ε são seralmene não correlaconados σ cov ( ε, ε js ) = para odo = j e = s = 0, caso conráro

16 3 O modelo pode ser reescro como um modelo de regressão cross-seconal no empo : R = α + B f + ε, =,..., T E[ ε ε f ] = D onde B é a marz de cargas ( N x K ), α é o veor ( N x N ) de nercepos, f é veor de realzações dos Faores no período de empo ( K x ), ε é o veor ( N x ) de erros específcos dos avos com D como a marz dagonal covarânca ( N x N ). abaxo: Dese modo, a marz de covarânca dos reornos dos avos pode ser escra como cov ( R ) = Ω = ΒΩ f Β + D.. Modelo de Faores Esaíscos ( laenes ) para os reornos Os Modelos Esaíscos de Faores não precsam de dados de possíves varáves explcavas e não apresenam problemas de mulcolneardade. Uma desvanagem dos Modelos com Faores Laenes é não ermos necessaramene uma nerpreação econômca das varáves. Uma das écncas esaíscas mas populares, no desenvolvmeno dos Modelos Mulfaoras aplcados à admnsração de avos de rsco, é a Análse de Componenes Prncpas. O Modelo de Faores Orogonas é obdo quando os Faores de Rsco são omados como os Componenes Prncpas do ssema. Ulzamos, assm, o Méodo de Componenes Prncpas no Modelo de Volaldade Condconal do po GARCH Orogonal. Como menconado anerormene, no Modelo de Faores Esaíscos ( ou laenes) as realzações dos faores f não são dreamene observadas e, porano, o que se faz é exraí-las dos reornos observáves R. O méodo que desacamos aqu é a Análse de Componenes Prncpas.

17 4 amosra: A Análse de Componene Prncpal é baseada na marz de covarânca (N x N) da ^ Ω = RR', onde R é a marz ( N x T ) de reornos observados. N Análse de Componene Prncpal nos proporcona uma redução da dmensão que eríamos que ulzar. Os Componenes Prncpas são combnações lneares dos reornos. Os Componenes Prncpas são consruídos e ordenados de forma que o prmero Componene Prncpal explca a maor pare da marz de covarânca dos reornos amosras, o segundo Componene Prncpal explca a segunda maor pare e, assm por dane. Na consrução dos Componenes Prncpas mpomos que eles sejam orogonas enre s e normalzados para erem norma gual a um. Os K Componenes Prncpas mas mporanes são as realzações dos faores. Enão as cargas deses faores podem ser esmadas usando-se écncas de regressão. Denoamos ^ Ω a marz de covarânca amosral dos reornos dos avos. O prmero Componene Prncpal é x * R onde o veor (N x ) x * resolve max x ' x s.a. x x ' = x ^ Ω onde N é o número de avos. * A solução x é o auoveor assocado ao maor auovalor de ^ Ω. O segundo Componene Prncpal é x * R onde o veor ( N x ) x * resolve x ' x s.a. x ' * max Ω x = e x x = 0 x ^ * A solução x é o auoveor assocado ao segundo maor auovalor de processo é repedo aé que o k-ésmo Componene Prncpal seja compuado. ^ Ω. Ese

18 5 As esmavas para os faores realzados são smplesmene os k-ésmos prmeros Componenes Prncpas f k * = x R, k =,..., K. k As cargas dos faores para cada avo, β, e a varânca dos resíduos, var( ε ) = σ podem ser esmadas va MQO a parr da regressão da sére de empo. ' R = β f + ε, =,..., T obendo-se β e para =,..., N. Os veores de dados fcam desa manera, descros σ como uma combnação lnear dos componenes prncpas acrescdos dos veores de erros. A marz de covarânca dos reornos é enão: ^ ^ ^ F Ω = B Ω ^ ^ B' + D β ' σ onde Β = M, =, D O 0 β N ' 0 L σ N F e Ω = T T = ( f - f ) ( f - f ), f T = T = f. Usualmene Ω F = I porque os Componenes Prncpas são oronormas. Como os K Componenes Prncpas são orogonas a marz de covarânca não condconal é dagonal.

19 6 A grande vanagem da ulzação dos Componenes Prncpas é a redução da dmensão do problema de omzação. Oura vanagem esá na orogonalzação das varáves faclando a consrução de grandes marzes de covarânca posvas defndas. Nese caso a marz de covarânca fca basane smplfcada dado que passa a ser uma marz dagonal. Alexander (005) ressala que os dados de enrada devem ser esaconáros e devem esar normalzados para que o componene prncpal não seja domnado pela varável com a maor volaldade. Esa normalzação geralmene é fea smplesmene subrando-se a méda amosral e dvdndo-se pelo desvo padrão amosral. Devdo ao problema de dmensonaldade na esmação de GARCH Mulvarados, o que mpede o uso de modelos Dagonal VEC de Bollerslev e al. (988), BEKK de Engle e Kroner (995), ec decdmos pelo uso de modelos baseados na esmação de GARCHs unvarados como o GARCH Orogonal e o DCC-GARCH.. GARCH-ORTOGONAL Assm para chegarmos ao modelo de GARCH-Orogonal a parr do modelo de Faores Orogonas devemos esmar os ermos da marz de varânca dos componenes prncpas com o modelo GARCH. A déa do GARCH orogonal é que por meo dos faores orogonas consgo dmnur a dmensão do modelo consrundo enão a marz de covarânca dos faores aravés da varânca de GARCH s unvarados. Iso é, a marz de covarânca é uma marz dagonal das varâncas dos faores. Ulzamos o modelo GARCH (,), assm a varânca condconal de cada faor é modelada com o abaxo: σ = ω + αε + βσ De posse dos componenes prncpas e da marz de cargas, emos como volar para a marz de covarânca do ssema orgnal. Assm para projearmos a marz de covarânca dos reornos dos avos k passos à frene, basa que projeemos as varâncas unvaradas dos

20 7 faores pelo modelo GARCH, monemos a marz Ω F e a mulplquemos pela marz de cargas como abaxo: Ω = Β Ω F Β.3 DCC-GARCH O modelo DCC (Correlação Condconal Dnâmca) é uma exensão do modelo CCC (Correlação Condconal Consane) que é baseado no modelo GARCH Mulvarado com Correlação Condconal Consane. Para que as varáves sgam um modelo GARCH, elas devem ser esramene esaconaras. Consderando o processo n-dmensonal X R Txn, =,..., T gerado por: X = μ (θ ) + H (θ ) / ε μ (θ ) = E ( X I ) H = Var (X F ) onde F é o conjuno de nformações no empo, e ε é um processo.d.d. No DCC H é modelada dreamene como uma função de varâncas dnâmcas unvaradas e correlações dnâmcas lneares, H D R D R = (Q * ) Q ( Q * )

21 8 L Q = ( - l = α - ) l S s= ' β Q + α ε ε + β Q s L = l l l S s= s s onde * Q = q 0 0 M 0 0 q 0 M q M 0 33 L L L O L M q nn D é a marz dagonal ( n x n ) com os elemenos h, =,..., n, =,..., T, Q é a marz de varânca- covarânca não condconal de ε. Iso é, Q = E( ε ε ), e α l e β s são parâmeros escalares que sasfazem L l = α + β <. l S s= s A dnâmca perme que a esmação seja fea em duas eapas, o que orna vável a esmação de processos X com grande dmensão. Para lusrar o processo de esmação em duas eapas assummos prmero que o veor dos erros padronzados em dsrbução normal, ε ~ N(0,P ). Chamando θ o veor de parâmeros na marz de varânca-covarânca condconal H, a função de Log verossmlhança, L T ( θ) para T observações do esmador, L ( θ) = T T = log f ( θ, Ω ) X é dado por T L T ( θ) = {n log(π ) + log H + r H r } = T L T ( θ) = {n log(π ) + log D P D + r ( D P D ) r } =

22 9 T L T ( θ) = {n log(π ) + log D + log P + ε P ε } = onde subsuímos ε = D r. Engle (00) propôs que no prmero eságo da esmação assumamos que ε ~ N(0,I) onde I é uma marz dendade (n x n). Parconando o veor de parâmeros em dos subconjunos θ = (ζ, ϕ), onde ζ coném os parâmeros das n volaldades unvaradas e ϕ coném os parâmeros das correlações, a função de log-verossmlhança pode ser expressa como, L T ( θ) = L T (ζ ) ( θ) + L T (ϕ ζ) A esmação no prmero eságo consse em maxmzar a função T L T (ζ )= = n log(π ) + log D + r D r T L T (ζ )= = [ n log(π ) + ( log n = h r + ) ] h T L T (ζ )= = n [ ( log(π ) + log = h r + ) ] h Uma vez que o veor ζ é esmado, o veor dos erros padronzados ε = D empregado no segundo eságo, que corresponde à maxmzação da função, r é L(ϕ ζ) = T = log P + ε P ε sob a premssa de ε ~ N(0, R ).

23 0 O modelo DCC-GARCH generalza o modelo CCC por permr correlações condconas evoluam dnamcamene, mas permndo a esmação em eságos ulzando-se o modelo GARCH unvarado. Se modelarmos a marz de varânca-covarânca com l e s guas a um, a marz em o formao abaxo: ' Q = ( -α - β ) Q + α ε ε + β Q Uma vez esmados odos os parâmeros, para projearmos a marz de varânca K passos à frene, projeamos as varâncas unvaradas K- passos à frene e aplcamos na equação abaxo Q = ( - α β ) Q + Q +K β +K

24 3 ESCOLHA DA CARTEIRA ÓTIMA. 3. ESCOLHA DINÂMICA DA CARTEIRA ÓTIMA NO CONTEXTO DA MÉDIA- VARIÂNCIA. Consderamos que o nvesdor é avesso ao rsco com preferêncas defndas sobre a meda e varânca dos reornos. Ao longo de odo o processo de escolha da carera óma nós raamos os reornos esperados das ações da mesma forma para odos os modelos. O objevo é solar o efeo do mng da volaldade. Flemng, Krby e Osdek (00) e Agular e Wes (000) ambém procederam da mesma manera. Como reorno esperado de cada papel ulza a méda smples dos reornos de cada papel, calculada com os dados denro da amosra. Dvdmos nossa análse em duas pares, em um prmero momeno supomos a não exsênca de axa lvre de rsco e em um segundo momeno nroduzmos a axa lvre de rsco. Conudo em ambos os casos não são permdas vendas a descobero nem alavancagem. Como axa lvre de rsco ulzamos à axa de remuneração da poupança ao longo de 005 (9,9%). Vamos supor que o nvesdor pode operar de acordo com duas esraégas de méda varânca: ) a esraéga de volaldade mínma, que mnmza a volaldade dado um nível de reorno esperado; ) a esraéga de maxmzar a uldade esperada maxmzando o valor esperado de uma função de uldade méda-varânca. Na esraéga de volaldade mínma, sem levar em cona a axa lvre de rsco, como exposo por Elon e Gruber (995 ), o nvesdor resolve a programação quadráca abaxo. mn N N N X σ + = = j = X X j σ j s.a. ) = X = N ) X R = P N = R 3) 0, =,..., N X

25 Varando R P enre o reorno do porfólo de mínma varânca e o reorno do porfólo de reorno máxmo, raçamos a fronera efcene. Na esraéga de maxmzação da uldade, sem levar em cona a axa lvre de rsco, o nvesdor resolve a programação quadráca abaxo. max { E[u( W )] = E[ R p ] - 0,005 *A* σ p, + } W +, + com σ = P, + N N N X σ + = = j = X X j σ j s.a. N X P = R = R N = X = X 0, =,..., N onde A é o coefcene de aversão absolua ao rsco. Na esraéga de volaldade mínma, levando em cona a axa lvre de rsco emos: N = X = j = X j N N mn X σ + σ j s.a. ) = X N R = = N N ) X R + ( X ) rf = P X 3) 0, =,..., N

26 3 emos: Na esraéga de maxmzação da uldade, levando em cona a axa lvre de rsco max {E[u( W )] = E[ ] - 0,005 *A* } W + R p, + com = σ p, + N N N σ P, + X + = σ = X j = X j σ j N s.a. ) = X R = = N N ) X R + ( X ) rf = P 3) X 0, =,..., N 3. MEDIDAS DE PERFORMANCE DAS ESTRATÉGIAS Para medr o valor econômco da modelagem da volaldade, comparamos o desempenho de esraégas dnâmcas com o desempenho de esraégas esácas não condconas, de méda-varânca no período fora da amosra. Vamos ulzar rês meddas de desempenho: ) Índce de Sharpe; ) Alfa de Jansen; 3) Taxa de desempenho Dela. Nossa prmera medda de desempenho será o índce de Sharpe (SR). O índce de Sharpe mede quano reorno exra (reorno acma da axa lvre de rsco) obemos pelo rsco que ncorremos. Calculamos e comparamos os índces de Sharpe da segune forma: Prmero calculamos o reorno realzado das careras denro de cada período de rebalanceameno. Para al ulzamos os reornos observados de cada uma das ações ponderadas pelos respecvos pesos, levando-se em cona os cusos de ransação por ocasão dos rebalaceamenos da carera e ambém o cuso de venda no fnal do período fora da amosra.

27 4 Uma vez obdas as séres de reorno líqudo dos cusos ransaconas, calculamos a méda ( μ ) e o desvo padrão ( p σ p os índces de Sharpe, SR = ( μ - r )/ σ. p f ) para odo o período fora da amosra e enão calculamos p Se as esraégas dnâmcas geram Índces de Sharpe maores do que as esraégas esácas, a modelagem da volaldade em valor econômco sgnfcane para os nvesdores. É mporane ressalar que o Índce de Sharpe não leva em cona a volaldade varando no empo. O desvo padrão da amosra (volaldade não condconal) superesma o rsco condconal que um nvesdor ncorre quando ele segue esraégas de mng de volaldade. Dese modo podemos esar subesmando o desempenho das esraégas dnâmcas ao ulzarmos os índces de Sharpe realzados. A oura medda de desempenho que vamos ulzar é o Alfa de Jansen. Um valor posvo do Alfa de Jansen ndca reornos anormas ou desempenho superor de uma esraéga ava com relação a uma esraéga passva. Esmaremos o alfa de Jansen como sendo o nercepo em uma regressão do excesso de reorno da esraéga dnâmca conra os excessos de reorno da esraéga esáca como abaxo r r = α + r r ) + u, ~ N(0, σ ) d, f β ( S, f u onde é a renabldade realzada da esraéga dnâmca e é a renabldade realzada r d, da esraéga esáca. A ercera e úlma medda de desempenho ulza uma abordagem baseada na uldade para medr o desempenho de esraégas dnâmcas. Conforme Flemng, Krby e Osdek (00), ulza-se uma axa de desempenho que capura o ganho em ermos de uldade de se rocar uma esraéga dnâmca pela esáca. Enão modelamos a uldade quadráca realzada como r S, u( ) = - 0,005 *A* R p, + R p, + R p, + onde R p, + é o reorno bruo realzado da carera, A é o coefcene da aversão absolua ao rsco, o qual assummos como 6 em nossa análse. Com o objevo de medr o valor

28 econômco de se modelar a volaldade vamos calcular uma consane Dela ( Δ ) al que a uldade méda realzada gerada pela esraéga dnâmca seja a mesma das esraégas esácas. Para esmar esa axa de desempenho Dela( Δ ) devemos achar o valor de Dela ( Δ ) que guala os dos lados da equação: 5 T = 0 T [( - Δ ) - 0,005 *A* ( R - Δ ) ] = Rd, + d, + T = 0 T [( ) - 0,005 *A* ] RS, + R S, + Depos de consrur a esmava da marz de covarânca monamos os porfólos dnâmcos e avalamos seu desempenho. Nossa medda de valor do mng da volaldade é o cuso esmado de que o nvesdor avesso ao rsco eseja dsposo a pagar para rocar do porfólo ex-ane esáco para o porfólo dnâmco. Usamos uma análse de méda- varânca para mplemenar as esraégas de alocação de avos. Consequenemene elas são ómas somene se os nvesdores em função uldade logarímca e os prmeros dos momenos caracerzarem compleamene a dsrbução conjuna dos reornos.

29 6 4 DESCRIÇÃO DOS DADOS Escolhemos 30 ações de empresas que compõe o IBX-50. Na escolha dos papés ncalmene nos preocupamos em escolher aqueles que já fossem lsados no níco do período denro da amosra e depos escolhemos aqueles cujas séres de preço apresenassem menos nerrupções. Ulzamos a dferença do logarmo dos preços de um da para o ouro como o reorno do avo. A amosra fo separada em duas pares uma pare ncal ulzada na esmação e uma pare ulzada para valdação fora da amosra dos modelos de alocação. Os reornos dáros de de Janero de 000 aé 3 de Dezembro de 004 são consderados denro da amosra e de de Janero de 005 aé 3 de Dezembro de 006 são consderados fora da amosra. Os códgos das ações, assmera e curose esão na Tabela a segur: Tabela. Ações que compõem a carera Ação Méda Desv. Pad. Assmera Curose Aces4 7.93% 49.6% Ambv4 7.7% 36.8% Arce % 44.4% Arcz6 3.39% 39.7% Bbas % 44.8% Bbdc4 0.83% 39.5% Brkm5 4.59% 47.% Bro4.58% 43.6% Brp4-6.83% 44.9% Cmg4 4.88% 44.7% Cruz % 37.0% Csna3 50.4% 44.6% Ebp % 68.8% Ele6 5.8% 50.6% Embr % 45.% Ggbr % 43.0% Iau4 6.00% 37.7%

30 7 Ação Méda Desv. Pad. Assmera Curose 8 Isa4 8.9% 34.6% Klbn4 34.9% 47.4% Lame4 55.7% 49.% Lg3 8.64% 57.9% Per4.3% 34.5% Sbsp3.93% 4.% Sda % 36.7% Tcsl4-5.73% 55.4% Tmcp4 0.5% 57.6% Tnlp4 3.0% 4.3% Ubbr 3.4% 47.6% Usm5 46.6% 50.3% Vale5 38.0% 33.7% Fone: Elaborada pelo auor.

31 8 5 ANÁLISE DOS RESULTADOS Incalmene remos comparar as esraégas esácas sem levarmos em consderação a exsênca de axa lvre de rsco na esmação dos pesos das careras. Iremos comparar as esraégas: ) /N odos os avos êm pesos guas; ) RMH Renabldade Méda Hsórca. Esraéga de mínma varânca na qual o nvesdor escolhe como renabldade alvo a renabldade méda dos porfolos de mínma e máxma renabldade na fronera efcene. A marz de varânca/covarânca é não condconal calculada com os dados denro da amosra; 3) RMOG Reorno Médo GARCH-Orogonal. Esraéga de mínma varânca na qual o nvesdor escolhe como renabldade alvo a renabldade méda dos porfolos de mnma e maxma renabldade na fronera efcene. A marz de varânca/covaranca é esmada ulzando-se o modelo GARCH-Orogonal; 4) RMDCC Reorno Médo DCC. Esraéga de mínma varânca na qual o nvesdor escolhe como renabldade alvo a renabldade méda dos porfolos de mínma e máxma renabldade na fronera efcene. A marz de varânca/covarânca é esmada ulzando-se o modelo DCC. Nese caso a esraéga que apresenou o maor índce de Sharpe fo a RMOG. Quando comparadas com suas respecvas esraégas dnâmcas, observamos que não emos ganhos com os rebalanceamenos semanas, pos emos quedas no índces de Sharpe e Δ muo próxmo de zero, α nulo ou mesmo negavo. Iso poso, deveríamos ulzar esraéga esáca esmando a marz de varânca pelo modelo GARCH Orogonal. Em seguda passamos a supor a exsênca de axa lvre de rsco e o créro para a escolha dos avos passa a ser a maxmzação da uldade ao longo da fronera efcene. Teríamos rês esraégas esácas e suas respecvas esraégas dnâmcas:

32 9 ) MUH Maxmzação da uldade esperada com marz de varânca hsórca ) MUOG Maxmzação da uldade esperada com marz de varânca esmada com o modelo GARCH Orogonal 3) MUDCC Maxmzação da uldade esperada com marz de varânca esmada com o modelo DCC. Nese caso a esraéga esáca que apresena o melhor resulado é a MUOG, Maxmzação da uldade e esmação da marz de varânca com o modelo GARCH Orogonal. Cabe ressalar que o rebalanceameno semanal nos rês modelos (MUH, MUOG, MUDCC) levou a uma queda nos ndces de Sharpe. Ese resulado pode ser corroborado pelos valores nulos ou negavos do Δ como ambém do α. Assm sera preferível segur uma esraéga esáca ulzando-se o modelo GARCH Orogonal ao nvés de rebalancearmos a carera semanalmene. Em seguda aumenamos o prazo de rebalanceameno (fora da amosra) para qunzenal. Novamene começamos a análse pelos modelos que não levam em consderação a axa lvre de rsco. Neses casos o rebalanceameno não leva a um ganho econômco (queda nos índces de Sharpe), os valores de Δ são nulos ou próxmos de Zero e não descaramos a hpóese nula de que α seja zero. Pelos resulados apresenados (reorno e rsco e índce de Sharpe) as esraégas RMOG e RMDCC esácas seram as melhores e levaram a resulados quase guas. Levando-se em cona a axa lvre de rsco, a maxmzação da uldade e o rebalanceameno semanal a melhor esraéga é a MUOG esáca. Os resulados são apresenados na Tabela a segur.

33 30 Tabela Esraéga Esáca Esraéga Dnâmca Modelo méda desv. Pad SR méda desv. Pad SR Δ ( bp ) α (%) esa. - Rebalanceameno Semanal / N RMH MUH RMOG MUOG RMDCC MUDCC Rebalanceameno qunzenal / N RMH MUH RMOG MUOG RMDCC MUDCC Fone: Elaborada pelo auor. É mporane noar que um modelo GARCH esaconáro possu uma marz de varânca não condconal consane, e se o objevo é um ganho de longo prazo alvez a alocação esáca usando esa marz seja mas efcene (menor cuso de rebalanceameno) o horzone de nvesmeno pode ser mporane. Ouro pono a ser noado é que o cálculo da marz de var-covar dnâmca pode er ouras aplcações além da alocação por exemplo, o cálculo de VaR dnâmco a modelagem

34 3 da volaldade condconal é mporane, e assm a gesão de rsco pode se benefcar desa meodologa

35 3 6 CONCLUSÃO Conclundo, esamos nese rabalho a exsênca de ganhos econômcos ao modelarmos a marz de varânca dos avos de uma carera de nvesmenos e efeuarmos os respecvos rebalanceamenos peródcos. Levamos em consderação cusos ransaconas. Ulzamos ambém duas écncas de esmação: GARCH Orogonal e DCC-GARCH. As esraégas dnâmcas não levaram a ganhos represenavos e pelo conráro algumas vezes pareceram ser conraproducenes. possvelmene pelo cuso de rebalanceameno das careras sob esse créro. Porano, emos ndícos para crer que não emos ganhos econômcos em esmarmos a marz de varânca de forma condconal. Como avanço dese esudo propomos esar a exsênca de ganhos econômcos ao se modelar à volaldade ulzando-se um modelo de Volaldade Esocásca em conjuno com oura écnca de esmação como MCMC.

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