UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA FÁBIO MAGALHÃES NUNES

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1 0 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA FÁBIO MAGALHÃES NUNES ANÁLISE DA CORRELAÇÃO ENTRE O IBOVESPA E O ATIVO PETR4: ESTIMAÇÃO VIA MODELOS GARCH E MODELOS ADITIVOS Poro Alegre 2009

2 FÁBIO MAGALHÃES NUNES ANÁLISE DA CORRELAÇÃO ENTRE O IBOVESPA E O ATIVO PETR4: ESTIMAÇÃO VIA MODELOS GARCH E MODELOS ADITIVOS Dsseração de Mesrado submeda ao Programa de Pós Graduação em Economa da Faculdade de Cêncas Econômcas da UFRGS, com queso parcal para obenção do íulo de Mesre em Economa com ênfase em Economa Aplcada. Orenador: Prof. Dr. Glbero Olvera Kloeckner PORTO ALEGRE 2009

3 2 DADOS INTERNACIONAIS DE CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO (CIP) Responsável: Bbloeca Gláds W. do Amaral, Faculdade de Cêncas Economcas da UFRGS N972a Nunes, Fábo Magalhães Análse da correlação enre o Ibovespa e o avo PETR4: esmaçã va Modelos GARCH e modelos advos/ Fábo Magalhães Nunes. Poro Alegre, f.: l. Orenador: Glbero de Olvera Kloeckner. Ênfase em Economa Aplcada. Dsseração (Mesrado em Economa) Unversdade Federal do Ro grande do Sul, Faculdade de Cêncas Econômcas, Programa de Pós Graduação em Economa, Poro Alegre, Volaldade: índce Bovespa. 2. Volaldade: PETR4. 3. índce Bovespa: Avo PETR4: Correlação. I. Kloeckner, Glbero de Olvera. II. Unversdade Federal do Ro Grande do Sul. Faculdade de Cêncas Econômcas. Programa de Pós Graduação em Economa. III. Tíulo. CDU

4 3 FÁBIO MAGALHÃES NUNES ANÁLISE DA CORRELAÇÃO ENTRE O IBOVESPA E O ATIVO PETR4: ESTIMAÇÃO VIA MODELOS GARCH E MODELOS ADITIVOS Dsseração de Mesrado submeda ao Programa de Pós Graduação em Economa da Faculdade de Cêncas Econômcas da UFRGS, com queso parcal para obenção do íulo de Mesre em Economa com ênfase em Economa Aplcada. Orenador: Prof. Dr. Glbero Olvera Kloeckner Aprovada em: Poro Alegre, Agoso de Prof. Dr. Glbero de Olvera Kloeckner (Orenador) UFRGS Prof. Dr. Igor Moras. UNISINOS Prof. Dr. Oscar Claudno Gall UFRGS Prof. Dr. Fabríco Tourrucôo UFRGS

5 4 AGRADECIMENTOS Comparlho essa alegra com oda mnha famíla especalmene, mnha mãe Elzabehe, mnha rmã Fláva. Sem o apoo ncondconal da mnha namorada, Bárbara, não vencera essa baalha. Agradeço ao Maheus por me dsrar nos momenos de sress com seu sorrso e alega Agradeço ao professor Glbero Kloeckner, meu orenador, por enender mnha suação e não medr esforços para me ajudar. Agradeço aos meus colegas, André, Bruno (caroca), Bruno (cearense) e Pedro pela convvênca nessa baalha. E por fm, agradeço ao meu pa, Mlon Nunes, um grande homem, que não pode me ver angr esse runfo, porém esará sempre orcendo por mm. Aprend muo com esse grande ser Humano, sem sombra de dúvdas, o maor de odos.

6 5..Nas pequenas cosas que Idenfcamos o caráer de um Homem.. Mlon Nunes (meu pa, meu Heró)

7 6 RESUMO A esmação e prevsão da volaldade de avos são de suma mporânca para os mercados fnanceros. Temas como rsco e ncereza na eora econômca ncenvaram a procura por méodos capazes de modelar a varânca condconal que evolu ao longo do empo. O objevo cenral desa dsseração fo modelar va modelos ARCH GARCH e modelos advos o índce do IBOVESPA e o avo PETR4 para analsar a exsênca de correlação enre as volaldades esmadas. A esmação da volaldade dos avos no méodo paramérco fo realzada va modelos EGARCH; já para o méodo não paramérco, ulzouse os modelos advos com 5 defasagens. Palavras Chaves: IBOVESPA. PETR4. modelos GARCH. modelos Advos. Esmação paramérca. Esmação não paramérca.

8 7 ABSTRACT Volaly esmaon and forecasng are very mporan maers for he fnancal markes. Themes lke rsk and uncerany n modern economc heory have encouraged he search for mehods ha allow for modelng of me varyng varances. The man objecve of hs dsseraon was esmae hrough GARCH models and addve models of IBOVESPA and PETR4 asses; and analyzes he exsence of correlaon beween volales esmaed. We use EGARCH models o esmae hrough paramerc mehods and use addve models 5 o esmae non paramerc mehods. Key Words: IBOVESPA. PETR4. GARCH models. Addve models. Paramerc esmaon and Non paramerc esmaon.

9 8 Lsa de Gráfcos Gráfco - Volaldade de um avo modelado va GARCH(,)... 7 Gráfco 2 - Exemplfcação dos parâmeros de suavzação Gráfco 3 - Preços de Fechameno PETR Gráfco 4 Valor de Fechameno do IBOVESPA Gráfco 5 Varação IBOVESPA x PETR Gráfco 6 Reornos dáros IBOVESPA Gráfco 7 PETR4 x Preço do Bren Gráfco 8 Hsograma Reornos Dáros IBOVESPA Gráfco 9 Plo Q Q Reornos dáros IBOVESPA... 5 Gráfco 0 Hsograma Reornos dáros ao quadrado d índce IBOVESPA Gráfco Hsograma Reornos Dáros PETR Gráfco 2 Plo Quans quans dos Reornos dáros do PETR Gráfco 3 Reornos Dáros PETR Gráfco 4 - Hsograma Reornos ao quadrado do avo PETR Gráfco 5 Plo Quans-quans dos reornos ao quadrado do PETR Gráfco 6 Plo Quans Resíduos ARMA(3,0) EGARCH(,3) Gráfco 7 Plo Q x Q resíduos IBOVESPA Gráfco 8 Volaldade esmada PETR4 e IBOVESPA va Modelos EGARCH Gráfco 9 Volaldade esmada períodos 994 à Gráfco 20 Auocorrelação dos resíduos do modelo ARMA (3,0) Gráfco 2 Comporameno ndvdual da volaldade modelo advo 4 IBOVESPA Gráfco 22 Comporameno ndvdual da volaldade modelo advo 5 IBOVESPA Gráfco 23 Comporameno ndvdual da volaldade modelo advo 6 - IBOVESPA Gráfco 24 Comporameno ndvdual da volaldade modelo advo 5 com span ómo IBOVESPA Gráfco 25 Esaíscas provenenes do modelo advo 5 para o IBOVESPA Gráfco 26 Comporameno ndvdual da volaldade modelo advo 4 PETR

10 9 Gráfco 27 Comporameno ndvdual da volaldade modelo advo 5 8 PETR4... Gráfco 28 Comporameno ndvdual da volaldade modelo advo 5 com o span ómo PETR Gráfco 29 Esaíscas provenenes do modelo advo 5 com span ómo para a sére da PETR Gráfco 30 Volaldade esmada va modelos advos para as séres do IBOVESPA e PETR

11 0 Lsa de Quadros Quadro Funções Núcleos Quadro 2 Correlação enre o preço do Bren x Coação TR Quadro 3 Oupu ese BDS Evews Quadro 4 - Correlograma dos Reornos dáros ao Quadrado do IBOVESPA Quadro 5 Correlograma dos Reornos Dáros do PETR Quadro 6 Oupu ese BDS para os Reornos Dáros do Avo PETR Quadro 7 - Correlograma dos Reornos ao quadrado do PETR Quadro 8 Sumáro de Esaíscas do ARMA (3,0) para PETR Quadro 9 Correlograma dos resíduos ao quadrado da sére do IBOVESPA Quadro 0 Coefcene de Correlação das Volaldade esmadas Quadro Coefcene de Correlação Volaldades esmadas Período 994 à Quadro 2 Correlação enre as volaldades esmadas va modelos advos... 84

12 Lsa de Tabelas Tabela Esaíscas do ese de Ljung Box para os Reornos Dáros de PETR Tabela 2 Modelos de Heerocedascdade Condconal para o PETR Tabela 3 - Modelos de Heerocedascdade Condconal para o IBOVESPA Tabela 4 Coefcenes de Informação modelos advos IBOVESPA Tabela 5 Defnção do Span ómo para o modelo advo 5 IBOVESPA Tabela 6 Coefcenes de nformação para defnção do modelo advo ómo PETR4. 79 Tabela 7 Defnção do Span ómo para o modelo advo

13 2 Sumáro Inrodução Modelos Deermníscos de Esmação da Volaldade Modelos ARCH Idenfcação de um modelo ARCH Esmação do Modelo ARCH Modelos GARCH Modelos EGARCH Modelos TARGH Tese BDS (Brock, Decher & Schenkman) Esmação Não Paramérca Resrção nas Funções Núcleos Parâmero de Suavzação Formas de defnr-se o h* Créro de Informação e Valdação Cruzada Seleores Anexos (Plug- n) Esmador de Nadaraya-Wason Modelos Advos Backfng Algorhm Modelos Advos de Volaldade Idenfcação dos Modelos Advos Esmação dos Modelos Apresenando as Séres O que é IBOVESPA? Varações Per4 x Preço do Peróleo Caraceríscas Esaíscas das Séres (análse quanava dos dados) IBOVESPA PETR Esmação da Volaldade... 60

14 Esmação Paramérca va Modelos de Heerocedascdade Condconal Esmação Va Modelos Advos Consderações Fnas REFERÊNCIAS... 88

15 4 Inrodução Uma nfndade de pessoas passa, a maor pare de seu empo, esudando modelos ou eoras que as auxlem na deermnação ou na prevsão das varações dos avos econômcos. O neresse geral da economa fo, sempre, enar anever a dnâmca dos ndcadores econômcos; começando por John M. Keynes com sua elucdação acerca das expecavas condconas, passando por Lucas com sua eora de expecavas raconas, e não esquecendo de Frdman com suas expecavas adapavas. Teórcos modernos como Krugman, Roubn, Barro e enre ouros; não medem esforços para desenvolverem méodos para fomenar essa ânsa por ornar a economa uma cênca exaa e com grande capacdade predva. Com o avanço do mercado de capas juno com o grande volume de cfras e pessoas envolvdas, prever a dnâmca dos avos econômcos, além de anever o comporameno dos preços fuuros das ações, passou a ser uma febre denre números eórcos. Cursos de pósgraduação, com ênfase no mercado de capas, emergem a cada da, assm como novas eoras e análses que podem ser ldas e enconradas com facldade. Começando com os modelos CAPM, de Sharpe (964) e Lnner (965), os quas servam como base para a análse de rsco dos avos; chegando aos modelos de heerocedascdade condconal de Engle (982) e Bollerslev (986), além de suas dervações; e por fm, analsando os modelos não paramércos de esmação proposos por Hase & Tbshran (990). Concluímos que os avanços verfcados na deermnação e na prevsão das varações dos ndcadores econômcos esão condconados ao avanço da economera e da nformáca. Uma explcação para a afrmava explcada no parágrafo aneror sera: poderíamos esmar o modelo CAPM de Sharpe (964) e Lnner (965) aravés do méodo dos Mínmos Quadrados Ordnáros, sendo necessáro frsar que esse méodo exge algumas condções prmáras para gerar esmavas efcenes e não vesadas: Sére esaconára Não haver heerocedascdade Dsrbução normal; Todava, nem sempre as séres respeam as condções, o que sugere uma reflexão de como esmar o modelo CAPM para séres não lneares, heerocedáscas e que não seguem

16 5 uma dsrbução normal (quando a dsrbução ver formao lepocúrco ). Para ese exemplo, em específco, o Méodo dos Momenos Generalzados (GMM) 2 sera o mas efcaz, já que o mesmo é mas robuso que o MQO, ao passo que suas esmavas seram efcenes. Dessa forma, noamos que ceras suposções e condções mposas por deermnados modelos ou méodos de esmação acabam lmando nosso escopo de análse; ao passo que novas formas eram que ser cradas para se chegar a resulados mas sasfaóros. Nesse sendo, denfcamos os modelos sugerdos por Engle (982) e Bollerslev (986) como precursores dessa nova forma de se esmar séres fnanceras. Adconalmene, com os modelos não paramércos proposos por Hase & Tbshran (990), chegamos a ouro paamar, uma vez que para esse méodo de esmação não há necessdade de se supor qual dsrbução os dados seguem o que mnmza nosso erro de especfcação do modelo, (Zegelmann, 2002). Sendo assm, ese rabalho buscará realzar um esudo do comporameno dos avos fnanceros, ulzando como base o Índce IBOVESPA e o avo mas líqudo da bolsa de valores de São Paulo (BOVESPA) o PETR4 3. Esmar-se-á a volaldade desses avos medane a ulzação dos modelos auorregressvos de heerocedascdade condconal (ARCH), adconalmene, se esmará a volaldade dos mesmos avos aravés do méodo não paramérco Advo. A ulzação do avo PETR4 é jusfcada por ele ser o mas negocado na bolsa de valores de São Paulo. Com um volume relavo de negocações nos úlmos 2 meses de 6% do volume oal de negocação da bolsa. Dessa forma, o objevo cenral dessa dsseração é verfcar a exsênca de correlação enre a volaldade do IBOVESPA com a volaldade do PETR4. Tem-se como hpóese a pror que a correlação seja posva e sgnfcava (superor a 50%), odava a parr de procedmenos esaíscos, se enará provar esse argumeno. Como do anerormene, ulzamos o índce IBOVESPA e o PETR4 como nossa base de dados, sendo o período analsado compreenddo enre 0 de Julho de 994 aé 3 de Dezembro de Frsa-se que o período de escolha fo al em vrude da nsução do plano Real, e porque nesses quase 5 anos, passamos por dversas crses, o que nfluenca dreamene nossa esmação va modelos de volaldade. O roero de rabalho dvde-se em: Possuem caudas pesadas, como a dsrbução e a GED. 2 Para melhor aprecação vde Hamlon (2003). 3 Correspode as ações da Perobrás preferencal.

17 6 Prmeramene, serão apresenados alguns modelos deermníscos de como se esmar a volaldade das séres. Nese capíulo, serão apresenados os modelos auorregressvos de heerocedascdade condconal. Além de ser demonsrado como denfcá-los e esmá-los. Anda como subseção dese capíulo, apresenaremos o ese BDS (Brock, Decher & Schenkman, 996) o qual servrá como forma alernava de deermnar se uma sére é IID 4. Após os modelos deermníscos, será apresenada a eora que supora os modelos não paramércos. Apresenar-se-á as funções núcleo de Kernel e seus suavzadores, os esmadores de Nadayra Wason, bem como o méodo Advo de esmação não paramérca. Sendo que a grande vanagem dos modelos advos é o fao deles poderem assumr uma forma muo parecda aos modelos auorregressvos de heerocedascdade condconal, enreano ulzando como propredades de esmação as não paramércas. Em connudade, na prmera seção do capíulo 4, serão demonsradas as séres para as quas esmaremos as volaldades (paramércas e não paramércas); adconalmene, será efeuado odo o procedmeno de esmação apresenando odos os resulado obdos medane a esmação no sofware Evews e R. Além dsso, será verfcado se as volaldades obdas das séres são correlaconadas e ambém será denfcado qual o melhor modelo de volaldade para as ambas as séres. Por fm, nas consderações fnas, apresenaremos um breve resumo do rabalho evdencado odos os resulados obdos e, de forma complemenar, serão realzadas algumas proposções quano a rabalhos fuuros acerca do ema. 4 Para melhor enendmeno vde seção 2.5 dese rabalho.

18 7 2 Modelos Deermníscos de Esmação da Volaldade No níco da década de 80, asssu-se ao surgmeno dos modelos auorregressvos de heerocedascdade condconal ARCH (ver Engle, 982). Esses modelos foram, poserormene, generalzados por Bollerslev (986) com GARCH, orgnando vasa leraura sobre o assuno, anda nesgoada provavelmene. A razão prncpal do surgmeno desses modelos é que, anes dsso, os modelos economércos de séres de empo, fnanceros e macroeconômcos, enfazavam apenas o prmero momeno condconal. Dependêncas emporas de ordem superor eram smplesmene raadas como perurbações aleaóras. Essas dependêncas expressam a exsênca de aglomerações na sére e alernânca de períodos de baxa volaldade com períodos de ala volaldade(vde exo das abscssas). O gráfco apresena essas caraceríscas: Gráfco Reorno de um avo modelado va GARCH (,) Os modelos de heerocedascdade condconal surgram prncpalmene, porque a mporânca do rsco e da ncereza na eora econômca moderna ornou-se proemnene, e pelo fao de modelos como o CAPM de Sharpe (964) e Lnner (965) não funconarem ão bem emprcamene. Talvez fosse necessáro nclur momenos de ordem maor no modelo CAPM para aproxmá-lo dos dados empírcos. Assm, desenvolveram-se écncas que permem a modelagem emporal de varâncas e covarâncas. De fao, os modelos de

19 8 heerocedascdade condconal GARCH fundamenam-se na esmação da varânca condconal em vez de consderá-la consane ao longo do empo. A dsnção de uso enre momenos de segunda ordem condconas e não condconas é a conrbução prncpal desses modelos. Enquano a marz de covarânca não condconal para as varáves de neresse pode ser nvarane no empo, a marz de covarânca condconal depende de esados passados da naureza. Emprcamene observa-se que as séres fnanceras não êm dsrbução normal-padrão em geral, dada elevada probabldade de evenos exremos. Enão, os modelos GARCH eram a capacdade de modelar esse fao eslzado. 2. Modelos ARCH Os modelos ARCH, Auo Regressvo com Heerocedascdade Condconal, foram desenvolvdos por Engle (982) a fm de esmar a varânca da nflação européa. Ese modelo em como premssa básca que o reorno de um avo qualquer X é não correlaconado seralmene, o que denoa que o passado do reorno não nfluenca o presene. Enreano uma oura premssa é que a varânca condconal, nese caso a volaldade, é função quadráca dos reornos passados o que evdenca a exsênca de correlação na varânca. Defnção 2. - Reornos Enenda-se reorno por: ( P ) ln( P ) X (2.) T= ln onde P, com =,2... n, é o preço de um avo em város períodos. Um modelo ARCH(r) é defndo como: X h = = α h ε α α α X + 2 X r X r (2.2)

20 9 Onde ε é.. d( 0,) α 0, α 0, r > 0 0 > Noa-se que ao descrevermos o modelo à dsrbução dos erros (resíduos), ε, não necessa ser Normal, ela pode assumr qualquer dsrbução que melhor explque as caudas pesadas das séres fnanceras 5. Para melhor apresenarmos os modelos ARCH 6, consderaremos o caso onde r =. Dessa forma, o modelo ARCH () é descro por: X h = = α h ε + α X 2 0 (2.3) onde α > 0, α 0 0 resulados: Calculando a méda e a varânca ncondconas da sére chega-se aos segunes a) E ( X ) E{ E( X / F )} = 0 = b) Var( X ) E( X ) = E{ E( X F )} = α α E( X ) Sendo o processo 2 2 ( X ) E( X ) Var( X ) E = = = / 0 + X esaconáro de segunda ordem, enão para odo, emos que: ( ) α 0 Var X = (2.4) α Uma generalzação do resulado enconrado em (2.4) para o modelo ARCH(r) é: 5 Nese sendo, os modelos ARMA, subesmavam as seres fnanceras, uma vez que ao supor que novações, ou choques exernos nham como caraceríscas serem rudo branco e varânca consane, acabava lmando nossa análse. Com o surgmeno dos modelos auo regressvos, o prncpo de normaldade não precsava ser segudo o que acarrea maor qualdade a esmação de séres fnanceras, já que elas são caracerzadas por erem caudas pesadas. 6 Vde Tsay (2002).

21 20 E 2 2 ( X ) = E( h ) = E( h ) E( ) α 2 0 ε = hε = (2.5) r 2 α X = Cabe frsar, que algumas resrções são necessáras para garanr a esaconaredade e a posvdade da varânca condconal. Como fo explcado anerormene, em-se que α > 0, 0 0 α, > 0 é a condção sufcene para que a varânca condconal seja posva. r 2 Além dsso, α < é a condção necessára para que a sére seja esaconára. Isso = X sgnfca que as raízes do polnômo r α devem esar fora do crculo unáro. = L Sabe-se anda, que normalmene, os reornos de uma sére fnancera apresenam caudas longas (pesadas) de modo que o coefcene de curose é maor do que 3. Esse resulado denoa que a sére não é normalmene dsrbuída e sua função de densdade de probabldade é chamada de lepocúrca. O coefcene de curose é dado por: ( X ) ( X ) 2 E K = (2.6) 4 ( E ) 2 Aé ese momeno, defnu-se o que é um modelo ARCH e suas premssas báscas, enreano nada se falou sobre como denfcá-lo e consruí-lo. Nesa próxma subseção, será apresenado como se denfcar um modelo ARCH.

22 2 2.. Idenfcação de um modelo ARCH Como prmero passo para denfcar um modelo ARCH, deve-se enar ajusar um modelo ARMA para remover a correlação seral na sére de X se esa exsr. A déa nesse caso é ulzarmos os modelos Auo Regressvos e de Médas Móves para removermos a correlação seral da sere X. ( B) X θ θ ( B) a φ = 0 + (2.7) a Sendo que ARCH( r) a ~. Para melhor apresenação dos modelos, ao nos referrmos X, esar-se-á supondo que a sére seja não correlaconada seralmene. Como segundo passo do processo de denfcação, verfca-se se a sére apresena heerocedascdade condconal. Na leraura exsem números eses que podem ser ulzados para verfcação dese objevo, para ano, será apresenado rês eses que podem ser realzados para examnar 2 X. X ) Tese de FAC e FACP verfcou-se que os modelos ARCH 7 assemelham-se a um modelo ARMA (Max (p, q),q). Assm as funções de auocorrelação, FAC e as funções de auocorrelação parcal, FACP, devem sugerr se a sére 2 X é heerocedásca e, mas especfcamene, a FACP nos nformará qual a ordem do modelo ARCH que esaremos modelando. ) Tese de Ljung Box (Q) A esaísca de Ljung - Box é ulzada para se esar a presença ou não de heerocedascdade condconal na sére. O ese consse em verfcar se a hpóese nula de que a soma das auocorrelações é esascamene dferene de zero se verfca. Sendo assm em-se: n ^ 0 j = j= H : ρ 0 e (2.8) A esaísca Q é calculada da segune forma: 7 Da mesma forma os GARCH, que será apresenado poserormene.

23 22 Q = T n ρ j D 2 2 χ n T j ( T + ) j = ^ 2 (2.9) ) Tese de Mulplcador de Lagrange - Ese ese fo proposo, ncalmene, por Engle; o qual defnu o ese como: H 0 = 2 n = α = α =... = α 0 x H α 0 para qualquer > 0 a = Dessa forma, os parâmeros assocados à esmação de X devem ser dferenes de zero para que se rejee H 0 e verfque-se dessa manera heerocedascdade. Após breve explanação acerca dos meos para denfcarmos um modelo ARCH, será apresenado na próxma subseção desse rabalho como proceder para esmar um modelo ARCH Esmação do Modelo ARCH Os esmadores do Modelo ARCH, são obdos aravés do méodo de máxma verossmlhança. A função de máxma verossmlhança é dada por: ( x x / α ) f ( x / F ) f ( x / F )... f ( x / F ) f ( x,..., x / θ, α ) L + r,... T = T T T T 2 r r (2.0) e supondo-se normaldade dos resíduos ε podemos reescrever da segune forma; L α x (2.) T 2 T T / 2 = r+ 2σ ( x,..., x / ) = ( σ 2π ) exp f ( x,..., x α )

24 23 para T grande, o ermo ( x,..., x /α ) f pode ser desprezado 8. Dessa forma, maxmzamos a T função de verossmlhança condconal: L 2 x α r exp (2.2) 2 = r+ 2σ T ( x,..., x /, x,..., x ) = ( σ 2π ) T onde a volaldade σ 2 = h é obda recursvamene, Para verfcar se o modelo esmado é adequado, pode-se calcular a esaísca Q de Ljung Box para a sequênca de X ~, ou calcula-se os coefcene de assmera e curose esmados e/ou fazer um gráfco QxQ para avalar a suposção de normaldade. Após apresenação dos Modelos ARCH, será apresenado a generalzação dos modelos ARCH; os modelos GARCH. 2.2 Modelos GARCH Uma generalzação dos modelos ARCH fo sugerda por Bollerslev (986, 987, 988) o chamado modelo GARCH (generalzed ARCH). Sabe-se que um modelo ARMA pode ser mas parcmonoso no sendo de apresenar menos parâmeros do que um modelo AR ou MA puro. Do mesmo modo, um modelo GARCH pode ser usado para descrever a volaldade com menos parâmeros do que um modelo ARCH. Um modelo GARCH pode ser defndo por X h = = α h ε r q α X + β j = j= h j (2.3) Onde ε é.. d( 0,) α 0, α 0, 0 0 > β, ( α + β ) <, m max( r, q) j m = =. 8 Vde Engle (982) para melhor aprecação

25 24 As resrções mposas acma nos remeem à um modelo GARCH esaconáro e posvo, enreano essas resrções especfcam apenas uma condção sufcene, mas não necessára 9. Vale lembrar que os resíduos nesse po de modelo devem ser apenas ndependenes e dencamene dsrbuídos (IID 0 ) não mporando a qual dsrbução segue, uma vez que eles devem segur a melhor dsrbução que especfque suas caraceríscas podendo essa ser a ou a de erros generalzados. O modelo GARCH (r,q) pode ser nerpreado como um processo auoregressvo em 2 X, dessa manera pode-se especfcar que 2 2 ( ) h ν = X h = ε (2.4) E dessa manera obém-se h 2 ( X ν ) r q α X + β j j j (2.5) = j= = α que pode ser reescro como h ( r, q) max q 2 = + ( α + β ) X β jν j = j= α 0 + ν (2.6) Olhando com créro esa úlma equação, verfca-se que a mesma lembra um modelo ARMA[max(r,q), q], o que sugere que poder-se-a denfcar um modelo GARCH aravés da meodologa apresenada por Box-Jenkns. Conudo, essa meodologa é falha, pos se não esvermos raando de um modelo GARCH esse méodo de denfcação não é valdo. Apenas frsando, conforme vso nos modelos ARCH, o coefcene de curose (K) de um modelo GARCH ambém ende a ser maor do que 3, o que remee a uma função de densdade probabldade com caudas pesadas. 9 Ver Nelson e Cao (2002) 0 Na seção 2.5 dese rabalho apresenaremos o ese BDS (Brock, Decher & Schenkman; 987) o qual é ulzado para verfcar se as varáves que compõe uma sére são Independenes e gualmene dsrbuídas).

26 Idenfcação do Modelo GARCH Para denfcar-se um modelo GARCH, podera ser ulzado o ese de Ljung - Box (Q), bem como o ese LM e ambém analsar-se o correlograma dos resíduos; enreano como a especfcação dos modelos GARCH é mas dfícl e sul sugere-se que o pesqusador esme modelos GARCH de ordem baxa, verfcando se o mesmo respee as premssas báscas (levanadas nos modelos ARCH) e depos compare os modelos analsando qual resula em um créro de nformação Akake ou Schwar maor; uma vez que o modelo que possur um créro de nformação maor em módulo é o mas recomendável. Após a explcação dos modelos ARCH - GARCH pode-se noar que os mesmos, raam a varânca dos reornos de manera smérca, já que ambos modelam a volaldade valendo-se de uma função quadráca dos reornos. Porém é censo comum afrmar (evdencas empírcas) que varações negavas dos reornos dos avos em um peso maor do que varações posvas, ao passo que a volaldade assocada a um choque negavo é maor do que a um choque posvo; e é nesse sendo que repousa o caráer assmérco da volaldade. Sendo assm, serão apresenados a segur, dos modelos que raam a volaldade de manera assmérca ao passo que os mesmos êm por conseqüênca darem pesos maores a varações negavas assm como ocorre na práca. 2.3 Modelos EGARCH Para enar superar a defcênca dos modelos ARCH e GARCH quano à assmera da volaldade, Nelson (99) propôs o modelo EGARCH modelo de heerocedascdade condconal auo regressvo generalzado exponencal o qual possbla que choques assmércos sejam absorvdos, bem como que se possam assumr parâmeros negavos para explcar o modelo 2. Exsem dversas varações dos modelos ARCH e GARCH, enreano analsa-se apenas os modelos assmérco EGARCH e TARCH, uma vez que o foco dese rabalho não é fazer uma revsão bblográfca de odos modelos que esmam a volaldade. 2 Vu-se que nos modelos ARCH e GARCH parâmeros negavos não poderam compor o modelo o mesmo devdo as resrções mposas.

27 26 O modelo EGARCH é defndo por X ln = h ε p q r γ k j= = h k = h ( h ) = α 0 + β j ln h j + α + X X (2.7) A especfcação logarímca mpede que a varânca seja negava e o parâmero γ ajusa a assmera dos efeos. Se γ = 0, enão um choque posvo em o mesmo efeo na volaldade que um choque negavo de mesmo amanho; sendo o mpaco nesse caso smérco. Porém, caso o parâmero γ seja negavo, chama-se o efeo do choque assmérco como efeo alavancagem. Um pono que não pode ser esquecdo, é que as raízes do polnômo p β jl j= devem esar fora do círculo unáro afm que a varânca seja esaconára. E de acordo com Nelson (99), a esaconaredade esra é dada se α q = 2 <. Anda, segundo Nelson (99), a melhor forma de se esmar o EGARCH é supondo-se os erros dsrbuídos pela função de Dsrbução dos Erros Generalzados, GED: ν ε ν exp ( ) 2 λ = f u (2.8) ν + ν λ2 Γ ν Quano à denfcação, bem como a esmação do modelo EGARCH, elas seguem os mesmos créros apresenados para os modelos ARCH e GARCH.

28 Modelos TARGH As formulações economércas para capação de mpacos assmércos foram basane esudadas, como no caso do EGARCH apresenado anerormene. Enreano Zakoan (994) propôs o modelo de heerocedascdade condconal auorregressvo runcado, TGARCH, o qual é expresso da segune forma: p q r a γ kd( k 0) ε k j= = k= a a β jσ j + αε + a σ = w + ε (2.9) onde d (.) é uma varável dummy gual a zero se o erro não sasfaz a condção mposa enre parêneses, e, caso sasfaça. Glosen, Jagannahan e Runkle (993) modfcaram o modelo, mpondo a= 2, que é a especfcação, ulzada no programa Evews. por + k O modelo mplca um aumeno da volaldade quando noícas runs, represenadas ε < 0, são acompanhadas por um coefcene posvo, so é, por γ > 0. É possível observar que o modelo GARCH é um caso especal do TGARCH, basando mpor γ = 0 para qualquer k. Como explcado anerormene, como o modelo GARCH é uma varação do TGARCH, sua esmação bem como denfcação se dá pelo mesmo procedmeno lusrado para o ARCH e GARCH. k k 2.5 Tese BDS (Brock, Decher & Schenkman) Ese ese fo proposo por Brock, Decher & Schenkman em 996, o qual vsa denfcar se as varáves aleaóras que compõem uma sére são IID ndependenes e dencamene dsrbuídas. Conforme Fernandes e Premon (2003), o BDS apresena um alo poder conra uma varedade de modelos lneares, não lneares e não esaconáros. O ese BDS é dervado da medda conhecda como correlação negral, na qual se correlacona dos ponos dspersos no espaço m dmensonal, No conexo de séres de empo, eórca será: m X,será raada como um veor X ( X X X ) =,,... m+. A correlação negral

29 28 C ( ς m) I ( u, v,ς ) df ( u) df ( v), = m m (2.20) u v sendo que a função ndcadora (.) função dsrbução de generalzada: I é quando v < ς u, e zero,caso conráro; (.) m X, ela ndca a dsrbução das m- observações consecuvas. F é a Adconalmene, Brock, Decher & Schenkman (996) demonsraram que a esaísca m ( m, ) ( T m)( T m + ) s m m ( X, X ς ) 2 C ς, = I, (2.2) s é um esmador conssene de C ( ς, m). Conforme Serflng (980 apud Fernandes & Preumon, 2003) a ulzação de uma esaísca vnculada ao fao de que esa apresena mínma varânca quando comparamos com odos os ouros esmadores não vesados, converge rapdamene para a normaldade. Se o processo m m X é IID, enão ( X ) = F ( X ) m = 0 F, e C(, m) C( ς, ) m j ς = quase ceramene. Esa relação é ulzada para consrur o segune ese a fm de deecar os desvos da propredade IID. BDS ( ς m, T ) sendo que σ ( ς, m,t ) ( ς, m, T ) C( ς,, T ) σ ( ς, m, T ) C, = T ~ N (2.22) m ( 0,) é uma função não rval da correlação negral. O ese BDS, será esmado va o sofware Evews 5.0, dessa forma, no oupu do resulado, caso o p-valor seja nferor a 5%, rejea-se a hpóese nula de que as séres sejam IID. Após esa apresenação acerca dos modelos deermníscos paramércos da volaldade, apresenaremos no próxmo capíulo uma forma não paramérca de se esmar a

30 29 volaldade das séres. Sendo que a grande dferença enre as formas de se esmar a volaldade apresenadas nessa dsseração, esá no aspeco que na esmação não-paramérca não há necessdade de se supor qual dsrbução os reornos seguem.

31 30 3 Esmação Não Paramérca A movação para rabalhar-se com a esmação não paramérca pode ser snezada na segune frase:...rabalhar com modelos não paramércos ao nvés dos paramércos se apresena quando o pesqusador não possu conhecmeno sufcene sobre o processo gerador explcavo, permndo desa forma que os dados falem por s mesmos... (Sanos, 2008 pg 35) Segundo Zegelmann (2002), modelos não paramércos são caracerzados por coner uma ou mas funções desconhecdas e por não apresenarem espaço paramérco de dmensão fna. Exsem os modelos sem-paramércos os quas se caracerzam por serem composos por uma ou mas funções desconhecdas, e por erem um espaço paramérco desconhecdo com dmensão fna. Por fm, os modelos paramércos, explcados no capíulo aneror, caracerzam-se por possuírem apenas o espaço paramérco de dmensão fna como uma esruura desconhecda. Dessa forma, nos deparamos com um dlema, uma vez que a prncpal vanagem do modelo não paramérco repousa no aspeco de mnmzar o erro de especfcação do modelo, enreano essa maor flexbldade na hora de defnr o modelo gera alguns cusos como: convergênca mas lena, perda do poder de exrapolação e o problema de dmensonaldade. Nese rabalho, será ulzado, o méodo de Suavzação de Kernel para modelar as esruuras explcavas. Para ano, podem ser enconradas referêncas desse modelo nos rabalhos de Zegelmann (2002), Fan e Glbels(996) e Fan e Yao(2003). Nese capíulo, será apresenado os prncpas ponos para a esmação não paramérca. Adconalmene, se apresenará a função núcleo e o esmador de Nadaraya Wason. Por fm, apresenaremos os modelos advos os quas serão ulzados para esmarmos a volaldade das séres do IBOVESPA e do avo PETR4. 3. Inrodução A esmação não paramérca va Função Núcleo desenvolveu-se nos esudos das densdades. Esses esudos possblaram o desenvolvmeno da esmação va função núcleo, pos se saba que a função de dsrbução empírca era o melhor esmador para a função de

32 3 dsrbução desconhecda; enreano no esudo das densdades essa assocação não podera ser realzada dreamene; sendo ese o fao gerador das funções núcleo. dado por: Defnção 3.. ( Dsrbução Empírca ). Seja { X X,... } ; 2 X n uma amosra aleaóra de F X. O esmador empírco de F X é ^ F n n n ( x) = ( )( X ) =, x, x R (3.) Como o esmador F^ n não é dferencável (nos ponos amosras), não podemos ulzá-lo para esmar a densdade de X. Dessa forma, será ulzado um esmador alernavo a (3.) o qual é descro por ^ f n n n ( x) = [ ]( ), = x X x R (3.2) Sendo ese um esmador empírco de f x. Enreano, mesmo na ulzação desse esmador alernavo, ncorremos em um conflo, uma vez que a probabldade do eveno [ X = x] ocorrer é nula, caso X seja uma varável aleaóra conínua. Medane sso, reescreveremos (3.2) como, ^ f n n n ( x) = [ ]( X) = [ ]( X x) = K( X x) n x 0 = n = n = n (3.3) onde K ( ) = [ ](.). 0. Após essa flexblzação da fórmula; ulzando (3.3), com propredades de regulardades mas desejáves, cra-se uma famíla de esmadores cujos desempenhos são próxmos do ómo. Defnção 3..2 (esmador de Densdade) Seja { X X,... } por função núcleo de ; 2 X n uma amosra aleaóra da dsrbução F X = ( f x ) f x é dado por:. O esmador

33 32 ^ f n n n ( x) = K( X x) =, (3.4) onde K (.) é uma função conhecda, nulada função núcleo. Todava, para que o esmador defndo pela função (3.4) enha propredades que respeem nossos neresses, devemos resrng-lo a funções K (.) que respeem as propredades de regulardade que serão apresenadas na seção poseror. 3.2 Resrção nas Funções Núcleos Sendo a função (. ) K nerpreada como o peso de cada varável aleaóra sob o X esmador de densdade, num pono específco de x R ; faz sendo que a função K (.) seja smérca, al que as varáves localzadas na mesma dsânca de x enham o mesmo peso na esmava da densdade empírca de x. Para ano, oma-se como premssas báscas que a função núcleo sasfaça os segunes axomas: ( x) dx = K (3.5) Connudade e, como conseqüênca o da smera, que ( x) dx = 0 xk (3.6) Para ano, vde o quadro abaxo, o qual lusra alguns exemplos de funções núcleos para casos conhecdos 3. 3 Segundo Cleveland e Loader (996a, p. ) e Loader (999, p. 23) esa função deve ser conínua, smérca, com maor peso em orno de x 0 e decrescene a medda em que x se afasa de x 0. Denre as escolhas possíves, desacam-se as funções reangular, r-cúbca, de Epanechnkov e a normal ou Gaussana.

34 Quadro Funções Núcleos 33

35 Parâmero de Suavzação Adconalmene, para gerar maor flexblzação da esmava f x, um novo parâmero será nroduzdo, sendo esse responsável por quanfcar a escala 4 ou grau que cada varável aleaóra nfluencará na defnção da esmava. A nova função é descra por: ^ f h nh n ( x) = K = K ( X x) X x h n = = n h (3.7). =.. O parâmero h h, conhecdo como parâmero de suavzação ou de onde K h ( ) K ( )/ h alsameno, nfluenca dreamene o peso dado a cada esmava de x para defnção da esmava para f X ( x). Dessa forma, ulzando-se um parâmero h grande, observações mas afasadas de x passarão a nfluencar mas a esmava de f X ( x), enquano que quano menor o h, mas nfluênca erão as varáves mas próxmas de x. Segundo Zegelmann (2002), quano maor for o parâmero de suavzação, mas suave orna-se a função de densdade, sendo assm mas plana e regular; já quano menor o parâmero, mas dealhada e rregular a função fca. Esse dealhameno ou suavzação da densdade é acarreada pela nfluênca do parâmero h juno ao núcleo da função escolhda, para melhor aprecação vde gráfco 2 Gráfco 2: exemplfcação dos parâmeros de suavzação. 4 O quano de nformação o dado carregará para defnção da densdade; ou de oura manera, ndcará a vznhança de dados para deermnação do modelo.

36 35 Noa-se que o gráfco 2 mosra esmavas de regressão local para dferenes valores de h. Conforme do por Zegelmann (2002), quando h = 0, se obém uma função muo mas dealhada em comparação a ulzação de h =. Todava, para esa função, o h que melhor capura a real curva das varáves X e Y é o 0,25 já que a curvaura da função expressa com exadão a dsrbução das varáves pré defndas. Segundo Clevand e Loader (996), o grande objevo na defnção do h* é produzr uma esmava que não dsorça a relação de dependênca das varáves envolvdas na função. Por fm, o parâmero h * defne o número real de observações que serão ulzadas na composção da esmava de cada f X ( x) Formas de defnr-se o h* A leraura é rca quano a formas de defnr-se o h que melhor expressa a relação de dependênca das varáves envolvdas. Nese rabalho, será apresenado um breve resumo das pesqusas realzadas por Loader (995 e 999) as quas dscuem dos méodos dferenes de defnção do h*. Loader concluu que a defnção do h* pode ser dvda em dos grupos: os que ulzam o créro de nformação e cross valdaon para defnr o h*, e os que ulzam aproxmação va séres de Taylor para defnção do parâmero de suavzação ómo Créro de Informação e Valdação Cruzada. Eses méodos caracerzam-se por ambém serem ulzados na esmação da regressão paramérca. Dessa forma, eses méodos conssem em se usar alguma medda de aderênca para chegar-se ao parâmero ómo. Segundo Sanos (2008), o prncpo básco da valdação cruzada é prever cada valor da resposa Y, do resane dos dados, so é, dexando-se um dos ponos da amosra de lado para valdação do modelo e ulzando-se as observações resanes para sua esmação (pg 42. Sanos 2008).

37 36 Observando-se a função da valdação cruzada, CV T ( h) = T { YT mh ( X) } = 2 (3.8) deduz-se que o h* será aquele valor que mnmzar a função 3.8, já que esa muo se parece com a equação dos beas de uma regressão paramérca onde ( h ) = 0 CV. Quano à ulzação do Créro de nformação para defnção do parâmero ómo de suavzação, enende-se que quano maor for a esaísca orunda da ulzação do h melhor será o modelo, vso que os créros de Akake e Schwarz dzem que quano maor em módulo for a esaísca gerada na ulzação desse parâmero melhor é o modelo Seleores Anexos (Plug- n) Flexblzando-se a equação do erro em méda quadráca Va expansão de Taylor, emos 5 : h * = C p ( k) T 2 σ ( x) dx ( [ ) 2 p+ m ( x) ] f ( x) dx ( 2p+ 3) (3.9) Segundo Zegelmann (2002), a nenção é usar a expressão 3.9 como seleor de janela, mas como exsem alguns ermos desconhecdos os mesmos precsam ser esmados. O méodo drec plug n consse em esmar os ermos desconhecdos de 3.9 e subsur os mesmos por suas esmavas. 3.4 Esmador de Nadaraya-Wason Para analsar a neração de um conjuno de dados IID, nese caso (X, Y), cujo amanho da população seja n, {( ', Y )} n conjuno seja assm apresenada: X =, defne-se que a esperança condconal desse ( Y X x) E / = (3.0) 5 Para melhor aprecação vde Sanos (2008).

38 37 e adconalmene, deseja-se modelar a relação enre as varáves que compõem esse conjuno como: Y ( Y X ) + ε = E /, =,2,... n (3.) onde ε é o erro amosral de cada observação, Defnndo m ( x) como a represenação de E ( Y X = x) composo por X e Y seja conínuo; emos: ( ) yf ( y) m x Y X x dy = f ( x, y) ( x) ( y) XY = / = y d (3.2) f R R X / e supondo-se que o conjuno Ulzando-se o méodo Plug - In, apresenado anerormene 6 chegamos: m ( x) = R y ^ f XY ^ f ( x, y) X ( x) dy (3.3) conforme vso em 3.7, defnu-se um esmador ómo para f x ( x), agora será defndo, um esmador ómo para ( X Y ) ulzando-se o racocíno análogo, chegamos: f, ulzando-se o parâmero de suavzação. Dessa forma, ^ f n X, Y n = ( x, y) K h = nh ( X x) K ( Y y) n 2 = h X x Y y K K h h (3.4). =.. Subsundo 3.7 e 3.4 em 3.3, emos: h onde K h ( ) K ( )/ h 6 Subsundo-se as funções desconhecdas por suas esmavas 3..

39 38 ( ) ( ) ( ) = = R X XY dy x f y x f x m ^ ^ ^, (3.5.) ( ) = = = R n n h dy h x X K h y Y K x X K y (3.5.2) ( ) = = = n n R h h x X K dy h y Y yk x X K (3.5.3) aravés da ransformação de varáves = h y Y v e lembrando que os axomas necessáros para a função ( ). K é que ela seja smérca e possua norma, dessa forma; ( ) ( ) () = = = n n R h h x X K dy v yk x X K m x ^ = (3.6) ( ) ( ) ( ) = = = n h n h x X K Y x X K m x ^ (3.6.) sendo que a equação 3.6. expressa o esmador de Nadaraya Wason. Podemos reescrever a equação 3.6. por ( ) ( ) = = n n Y x W n m x, ^ (3.7)

40 39 onde W ( x) nk = ( X x) h n, = n (3.8) K h ( X x) Noa-se que o esmador de Nadaraya - Wason descro na equação 3.7, nada mas é que a méda ponderada das n observações de Y pela seqüênca de pesos defndas por W n,. 3.5 Modelos Advos Os modelos advos são uma generalzação dos modelos de regressão lneares, os quas foram esudados por Hase & Tbshran (990). Enquano, nos modelos de regressão lnear múlpla a função de regressão é da como lnear, e dessa forma, adva nas varáves explcavas; nos modelos advos, o pressuposo de lneardade é abandonado, mas a forma adva é manda. Sendo assm, conforme Hase & Tbshran (990), o prncpal nsgh desenvolvdo pelos modelos advos repousa no aspeco de permr que os componenes de regressão lnear assumam formas não paramércas. Segundo Fan & Gjbels (996), o modelo advo é defndo por: Y d j= ( ) = α + g j X j + ε (3.9) onde gj = g,..., g são funções unvaradas desconhecdas. Segundo Hase & Tbshran d (990) para evar a exsênca de consanes lvres, e por conseqüênca, garanr a denfcabldade do modelo se faz necessáro a segune resrção: { ( )} = 0, E g j X j j =,..., d (3.20)

41 40 fao, ese que mpõe: ( Y ) = α E (3.2) o que caracerza que esse modelo pode ser encarado como um mecansmo para redução da dmensão. Anda segundo Fan & Gjbels (996), quando o modelo advo é váldo, em - se; E Y α g j ( X j )\ X k = g k ( X k ), k =,... d (3.22) j k O que mplca no surgmeno de um algormo o qual perme calcular de manera ndependene e unvarada cada função de g,...,g d. Esse algormo ndependene é conhecdo por Backfng Algorhm; o qual será brevemene apresenado abaxo Backfng Algorhm Esse procedmeno consse em aravés da regressão ncal, calcular os resíduos parcas desa e regredr novamene. O procedmeno de Backfng Algorhm segue os segunes passos: ) Incalzação: α = n Y, ^ n = ^ 0 k g k g =, k =,..., d 2) Para cada k,..., d ^ = k α j j k e ober g ().. j=k ^ ^ ^ =, ober g S Y g ( X / X ) 3) Maner rodando aé o segundo passo convergr. k Por fm, conclu-se que os modelos advos superam o problema de dmensonaldade, devdo ao ssema de ajuse ser consruído a parr de suavzadores unvarados (Zegelmann,2002). Adconalmene, espera-se que o Backfng Algorhm gere esmavas que sejam as melhores aproxmações advas à superfíce de regressão. Com o objevo de snezar udo que fo apresenado sobre modelos advos em uma frase, emos:

42 4...nos modelos advos, podemos verfcar a conrbução ndvdual de cada varável em predzer a resposa. (Krchner, Souza & Zelgelmann, pg 4) Modelos Advos de Volaldade De acordo com o exemplo sugerdo por Zegelmann (2002), no qual volaldade é descra por modelos advos, em - se: d ( ) 2 σ X = g ( X ) (3.23) = 0 sendo que o mesmo pode ser reescro por: log d ( ) 2 σ X = log g ( X ) (3.24) = 0 sendo a expressão (3.24) a represenação do modelo advo para o log da volaldade. Conforme explcado anerormene, ulzamos o procedmeno de Backfng Algorhm para gerarmos as melhores aproxmações advas à superfíce da regressão. Enreano, nada fo do sobre como denfcar o melhor modelo advo para esmarse a volaldade das séres de avos a serem ulzadas nesse rabalho. Sendo assm, na seção poseror, serão apresenadas duas formas para efeuarmos esse procedmeno de denfcação Idenfcação dos Modelos Advos Segundo Hase & Tbshran (990), uma forma de se realzar a nferênca quano a denfcação dos modelos advos é a ulzação da soma dos quadrados dos resíduos e seus graus de lberdade aproxmados como mecansmo de auxílo na escolha dos modelos.

43 42 A parr do modelo advo 7 ; y d j= ( X ) = α + g + ε, (3.25) j j a soma dos quadrados dos resíduos pode ser defnda como: SQR = n = ^ y y 2 (3.26) onde y ^ denoa o valor ajusado aravés da avalação do modelo na observação x. Como, em cada passo do procedmeno de Backfng Algorhm, uma marz de suavzação esá envolvda, a qual é defnda por S j, podemos 8 represenar o modelo advo ajusado para cada observação como S j y, onde y denoa o veor de resposas observadas. Dessa forma segundo Bowman & Azzaln (997), os graus de lberdade ulzados no modelo podem ser calculados va ulzação da úlma marz, nese caso S n. Por fm, em-se uma esmava a ser ulzada como o número de graus de lberdade da especfcação do modelo. Adconalmene, a esmava dos graus de lberdade são obdos aravés do raço da marz de suavzação S. A comparação enre modelos alernavos podem ser efeuadas aravés de um ese F aproxmado ou a parr de um créro de nformação aproxmado de Akake (AIC). O ese F aproxmado é especfcado da segune manera: res res ( SQR SQR ) ( df df ) F = (3.27) 2 2 res SQR df esse ese basea-se no ese F para comparação de modelos paramércos. Enreano, no que dz respeo à dsrbução a segur para apuração dos valores, não pode-se realzar a mesma 7 Exemplo proposo por Sanos (2008) 8 As lnhas da marz S j conssem nos pesos que foram ulzados na esmação de cada x.

44 43 analoga ao ese F orgnal, ao passo que Hase & Tbshran (990) sugerem que ao menos alguma aproxmação pode ser fea medane as esmavas de res res ( df ) df 2 e res df como os graus de lberdade a serem ulzados. A oura forma de compararmos os modelos advos é pelo créro de nformação aproxmado de Akake (AIC), sendo ese ulzado para comparação dos modelos alernavos ou,como especfcado anerormene, para defnção do parâmero de suavzação ómo. O créro de nformação é descro por: AIC D y; ^ = µ n + 2dfφ n (3.28) onde os graus de lberdade, df = r( S ), ornam o AIC assnocamene não vesado. Desa forma, nese capíulo procurou-se apresenar a meodologa necessára para a esmação dos modelos não paramércos. Com sso, no capíulo 4 realzaremos a esmação da volaldade do Índce IBOVESPA, bem como do avo PETR4 pelos méodos paramércos e não paramércos com o objevo de respondermos o segune quesonameno: Será que conseguremos comprovar a exsênca da correlação enre a volaldade do IBO VESPA com o avo PETR4 e vce versa? Adconalmene, enaremos desmsfcar qual méodo de esmação é mas efcene para esses casos.

45 44 4. Esmação dos Modelos Nese capíulo, se esmará a volaldade de forma paramérca e não paramérca de duas séres fnanceras de ala represenavdade para o mercado de capas braslero. As séres são o Índce IBOVESPA e o avo PETR4, o qual é o mas negocado na bolsa de capas de São Paulo. Nossa amosra é composa por 3576 observações, sendo o período de análse compreenddo enre 0 de Julho de 994 a 3 de Dezembro de Frsa-se, que a sére do IBOVESPA, fo coleada do se br.fnance.yahoo.com, enquano que os preços dáros do avo da Perobrás foram coleados no própro se da empresa; Dessa forma, na prmera seção dese capíulo, serão apresenados os dados, para os quas será realzado uma breve reflexão, e após, se efeuará, odos os procedmenos economércos para a esmação da volaldade de ambas as séres. 4. Apresenando as Séres Essas duas séres foram seleconadas como nossas amosras de esudo, uma vez que o objevo prncpal desse rabalho é demonsrar que a volaldade do Índce IBOVESPA é alamene nfluencada pela volaldade do avo PETR4 9. Observando-se os gráfcos ndvduas da osclação dos preços de fechamenos do avo PETR4 bem como do IBOVESPA em-se, 9 A déa cenral, é demonsrar que o avo PETR4, represena por quase a oaldade da varação índce IBOVESPA.

46 45 Gráfco 3 - Preços de Fechameno PETR4 Gráfco 4 Valor de Fechameno do IBOVESPA Onde noa-se uma fore smera das varações, enreano para faclar a análse, verfquemos o Gráfco 5 o qual raz as séres sobreposas uma a oura;

47 46 Gráfco 5 Varação IBOVESPA x PETR4 Fca vsível que a endênca de ambas as séres é pracamene a mesma, embora o IBOVESPA sofra maores osclações. Dando-se connudade ao rabalho, se defnrá o real sgnfcado do Índce IBOVESPA O que é IBOVESPA? Conforme a verfcado no se da BMF&BOVESPA 20, o IBOVESPA é o valor aual, em moeda correne, de uma carera eórca de ações consuída em 02/0/968 (valor-base: 00 ponos), a parr de uma aplcação hpoéca. Supõe-se não er sdo efeuado nenhum nvesmeno adconal desde enão, consderando-se somene os ajuses efeuados em decorrênca da dsrbução de provenos pelas empresas emssoras (as como renversão de dvdendos recebdos e do valor apurado com a venda de dreos de subscrção, e manuenção em carera das ações recebdas em bonfcação). Dessa forma, o índce reflee não apenas as varações dos preços das ações, mas ambém o mpaco da dsrbução dos provenos, sendo consderado um ndcador que avala o reorno oal de suas ações componenes. Sendo que a carera eórca do IBOVESPA é formada pelas ações que aenderam cumulavamene aos segunes créros, com relação aos doze meses anerores à formação da carera: ) esar ncluída em uma relação de ações cujos índces de negocabldade somados represenem 80% do valor acumulado de odos os índces ndvduas; ) apresenem parcpação, em ermos de 20 IBOV x PETR , , , , , , , , IBOVESPA_CLOSE PETR4_CLOSE