UM MODELO DE OTIMIZAÇÃO DE CARTEIRAS BASEADO EM PREDIÇÃO

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1 XXXVIII SIPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, eo Ambene e Desenvolvmeno 2 a 5/09/06 Goâna, GO U ODELO DE OTIIZAÇÃO DE CARTEIRAS BASEADO E PREDIÇÃO Fábo Daros de Freas Secreara da Recea Federal Programa de Pós-Graduação em Engenhara Elérca Deparameno de Engenhara Elérca freas@compuer.org Albero Ferrera De Souza Programa de Pós-Graduação em Informáca Deparameno de Informáca alberodesouza@gmal.com Alson Rose de Almeda Programa de Pós-Graduação em Engenhara Elérca Deparameno de Engenhara Elérca alson@ele.ufes.br Unversdade Federal do Espíro Sano Av. Fernando Ferrar, s/n, , Vóra, ES - Brasl RESUO Ese rabalho apresena um modelo predvo de omzação de careras que ulza erros de predção Normas como medda de rsco. Nese modelo, um novo predor neural auoregressvo é ulzado para predzer os reornos fuuros de ações, e os seus erros de predção são ulzados como medda do rsco do nvesmeno nesas ações. Nese predor, as dferenças enre os valores das séres de reornos e um deermnado reorno passado são ulzadas como varáves de regressão. Um grande número de expermenos com dados reas do mercado de ações Braslero fo ulzado na avalação do nosso modelo de omzação de careras. Nossos resulados mosraram que é possível ober erros de predção Normas a parr de séres de reornos de ações não Normas, e que o nosso modelo de omzação de careras baseado em predção supera o modelo de arkowz, apresenando melhores reornos para o mesmo nível de rsco. PALAVRAS CHAVE. Omzação de Careras. Predção de Séres Hsórcas. Redes Neuras. Economa e Fnanças. ABSTRACT Ths work presens a predcon-based porfolo opmzaon model ha uses Normal predcon errors as rsk measure. In hs model, a new auoregressve neural nework predcor s used o predc fuure sock reurns and s predcon errors are used as rsk measure. In hs predcor, he dfferences beween he values of he seres and a specfed pas value are he regresson varables. A large se of expermens wh real daa from he Brazlan sock marke was employed o evaluae our porfolo opmzaon model, whch ncluded he examnaon of he Normaly of he errors of predcon. Our resuls showed ha s possble o oban Normal predcon errors wh non-normal seres of sock reurns, and ha our predcon-based porfolo opmzaon model ouperforms he arkowz porfolo selecon model showng beer reurn for he same rsk. KEYWORDS. Porfolo Opmzaon. Tme Seres Predcon. Neural Neworks. Economcs & Fnance. [ 727 ]

2 XXXVIII SIPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, eo Ambene e Desenvolvmeno 2 a 5/09/06 Goâna, GO. Inrodução A odelagem Esaísca pode ser ulzada para fornecer meddas de ncereza da realzação do reorno fuuro de nvesmenos. Esas meddas de ncereza, denomnadas rsco, ornam a odelagem Esaísca adequada para a comparação de alernavas de nvesmeno. Essa caracerísca esá no cerne da oderna Teora de Careras (TC), nroduzda por Harry arkowz aravés do seu celebrado modelo de seleção de careras (arkowz, 952, 99). Nese modelo, o rsco oal do nvesmeno em váras ações é mnmzado aravés da seleção óma de ações com baxo rsco conjuno, mplemenando, assm, um mecansmo de compensação de perdas denomnado dversfcação efcene. O processo de seleção de careras consse, enão, em enconrar, num grande conjuno de ações, as parcpações (.e. proporções ndvduas) de cada ação que mnmzam o rsco da carera para um deermnado nível de reorno desejado, ou maxmzam o reorno da carera para um deermnado nível de rsco. O modelo assume que as séres hsórcas dos reornos 2 das ações seguem uma dsrbução Normal, e ulza a méda de cada uma desas séres como predção do reorno fuuro de cada ação, a varânca de cada sére como medda de rsco de cada ação, e a covarânca enre pares de séres de reornos como medda de rsco conjuno de cada par de ações (o desvo padrão, a semvarânca e o desvo absoluo ambém podem ser ulzados como medda de rsco no modelo). Após o modelo de arkowz, dversos ouros modelos baseados nas suas premssas báscas (que as séres de reorno são Normas e seus momenos podem ser ulzados como meddas de reorno fuuro e rsco) surgram (Sharpe, 963; Konno, 99; Elon, 2003). Em odos eses modelos, conhecdos como modelos clásscos de seleção de careras, o reorno esperado da carera é dado pela combnação lnear dos reornos esperados (o reorno médo) segundo a parcpação de cada ação na carera. O rsco da carera, por sua vez, assume formulações varadas, mas é sempre relaconado aos momenos cenras da dsrbução Normal conjuna dos reornos das ações que compõem a carera. Em que pese a ampla adoção dos modelos clásscos, é mporane menconar que as dsrbuções das séres de reornos freqüenemene apresenam curose e assmera (Fama, 965; Kon, 984; Freas, 2005), conrarando, assm, a premssa da Normaldade das séres de reornos. Além dsso, a realzação dos reornos médos ende a ser verfcada somene no longo prazo. Eses faos êm esmulado o desenvolvmeno de modelos predvos baseados na Análse de Séres Temporas e ouros méodos não-lneares (e.g. redes neuras arfcas), como forma de suporar o nvesmeno em horzones mas curos. Ese argo apresena um modelo predvo de omzação de careras que ulza erros de predção Normas como medda de rsco. Um novo predor auo-regressvo baseado em redes neuras arfcas (RNAR) fo ulzado para predzer os reornos fuuros das ações, e a varânca dos seus erros de predção fo ulzada como medda de rsco. Nese predor, as varáves de regressão são as dferenças enre os valores da sére de reornos e um deermnado valor passado, ao nvés dos própros valores da sére de reornos, como nos méodos radconas. Nossos resulados expermenas sugerem que os erros de predção são Normas (uma versão aneror desa verfcação de Normaldade dos erros de predção aparece em Freas (2005)), e mosram que o desempenho do modelo predvo de seleção de careras supera o desempenho do modelo de arkowz, apresenando reornos melhores para o mesmo nível de rsco. 2. Predores Neuras Auo-regressvos com Referênca óvel (RNAR-R) O reorno de uma ação no empo, r, é defndo com a dferença enre o preço da ação no empo e o seu preço no empo -, dvdda pelo seu preço no empo -, como mosrado na Eq. (): Uma carera é um conjuno de ações ou ouros avos de rsco. Ese argo consdera apenas careras de ações. 2 A dferença enre o preço da ação no empo e o seu preço no empo -, dvdda pelo seu preço no empo -. [ 728 ]

3 XXXVIII SIPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, eo Ambene e Desenvolvmeno 2 a 5/09/06 Goâna, GO P P r = () P onde P e P são os preços da ação nos empos e -, respecvamene. A sére hsórca dos N reornos passados de uma ação, r', é defnda como: r = ( r,..., r, r ) (2) ' N + A predção baseada em séres emporas do reorno fuuro de uma ação pode ser defnda como o processo de se ulzar os elemenos de r' para ober uma esmava de r +. O número de períodos fuuros, l (l ), afea dreamene a escolha do méodo de predção: para l=, ou predção para um período fuuro, a escolha padrão são os méodos auo-regressvos (Box, 994), enquano que para l>, ou predção para múlplos períodos, écncas como o méodo das Dferenças Temporas (Suon, 988) são ulzadas; ambém podem ser ulzadas l predções recursvas para um período fuuro nese úlmo caso. Ese rabalho nvesga apenas o problema da predção para um período fuuro. O predor de séres emporas baseado em redes neuras clássco é um predor auoregressvo (Whe, 988), S R, cujas enradas são o valor presene e os p- valores passados da sére. A saída dese predor é o valor para o próxmo período, como mosrado na Eq. (3) para o caso das séres de reornos das ações. O número de valores de enrada, p (p>0), é a ordem da regressão, e algumas écncas para sua deermnação são mosradas em Box (994). ( p+,..., r, r ) S R rˆ + r (3) Assm, depos de ser renado com os pares enrada-saída, o predor neural SR mplemena um modelo de regressão não lnear múlpla para a sére de reornos, com seus parâmeros de modelo esmados pelo algormo de renameno ulzado. Nese rabalho, propomos um novo méodo auo-regressvo nsprado no méodo nuvo que pcamene empregamos para analsar vsualmene o gráfco de uma sére hsórca com a fnaldade de exrapolar seu próxmo valor, qual seja, concenrar nossa aenção vsual nos úlmos ponos do gráfco, crando uma janela magnára que delma uma regão capaz de oferecer uma magem com quandade de nformação vsual sufcene para a exrapolação do próxmo pono do gráfco. Nese méodo de predção, pcamene ulzamos algum pono denro da regão analsada como uma referênca a parr da qual o valor do próxmo pono é esmado. Nós mamos esse méodo nuvo no nosso méodo auo-regressvo de predção aravés da subração do valor de um dos reornos, usado como referênca, dos demas reornos apresenados como enrada da rede neural do predor. Ese valor de referênca é fornecdo por um dos elemenos da sére no neror da janela de observação do predor, que compreende os reornos de ordem -p-k+,..., (p, k>0). Nós denomnamos ese predor de rede neural auo-regressva com referênca móvel RNAR-R(p, k), onde p é a ordem da regressão e k é o reardo da referênca (a parr de p). As enradas e saídas da RNAR-R(p, k) são: onde ( r z,..., r z S r z (4) p+ ) R + z (5) = r p k+ Após o renameno, rˆ + é obdo a parr da predção r z ulzando a Eq. (6): + rˆ r z z (6) + = + + Na rede neural auo-regressva com referênca móvel, os valores codfcados nos pesos da rede são pcamene menores que os valores das séres, o que mnmza a possbldade de sauração das saídas dos neurônos, aumena a faxa dnâmca da rede neural e a sua capacdade l [ 729 ]

4 XXXVIII SIPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, eo Ambene e Desenvolvmeno 2 a 5/09/06 Goâna, GO de represenar as séres hsórcas. Como conseqüênca, as necessdades de pré-processamenos, as como a normalzação e a elmnação de endêncas, podem ser alvadas, assm como a possbldade de se ober valores de pesos menores no érmno do renameno pode regularzar a rede neural, melhorando a sua generalzação aravés da redução do overfng (Haykn, 999). 3. Um Novo odelo de Seleção de Careras com Predção de Reornos Nesa seção, apresenaremos brevemene o modelo de seleção de careras de arkowz, o nosso novo modelo baseado em predção, e uma comparação qualava enre ambos. 3.. odelo de Seleção de Careras de arkowz O modelo de arkowz é baseado nas meddas de reorno e rsco de uma combnação de ações, as quas são obdas a parr das meddas ndvduas de reorno e rsco de cada ação negrane da combnação. A medda de reorno esperado de uma ação proposa por arkowz, e anda amplamene ulzada, é a méda arméca da sére de reornos da ação, defnda na Eq. (7), r = N N r = onde r é o reorno esperado da ação no empo +, N é o número de valores passados e r é o reorno passado realzado no empo (Eq. ()). A medda de rsco proposa por arkowz, a varânca da sére de reornos, v (Eq. (8)), reflee a ncereza da realzação do reorno esperado (Eq. (7)). N 2 2 v = σ = ( r r) (8) N = O rsco da carera é defndo como a varânca da combnação lnear das suas ações, ponderada pela parcpação ndvdual de cada ação na carera 3, conforme formulado na Eq. (9). V = v P = = X 2 v + = j=, j j j (7) X X γ (9) Na Eq. (9): o prmero somaóro conablza o rsco ndvdual das parcpações de cada uma das ações que compõem a carera; o segundo grupo de somaóros conablza os rscos conjunos das parcpações dos pares de ações; V é o rsco oal da carera, que é gual à varânca da carera, v P ; X é a parcpação da ação na carera; v é o rsco ndvdual da ação ; e o ermo γ j onde é a covarânca das ações e j, defnda como: r e N γ j = ( r r )( rj r j ) (0) N = r j são os reornos das ações e j no empo, r e r j são os reornos médos das ações e j, e N é o número de observações das séres. O rsco conjuno, ou rsco neravo, de duas ações na carera é dado pela sua covarânca pelas suas parcpações, e o seu efeo na composção do rsco oal da carera, V, é crucal para a obenção de careras com rscos nferores à soma dos rscos ndvduas das suas ações: o rsco neravo é o alcerce do odelo de Omzação de Careras de arkowz (arkowz, 952). O modelo de arkowz mnmza o rsco da carera V (Eq. (9)) para um 3 Ese desenvolvmeno é dealhado em arkowz (99). [ 730 ]

5 XXXVIII SIPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, eo Ambene e Desenvolvmeno 2 a 5/09/06 Goâna, GO reorno de carera desejado, R, resolvendo o problema de programação quadráca formulado como: nmze V = = X 2 v + = j =, j X X γ j j () Sujeo a r P = = X r R (2) = X = (3) X 0, =,..., (4) A Eq. () é a função objevo a ser mnmzada, o rsco oal da carera, a resrção da Eq. (2) garane ao menos a obenção do reorno de carera desejado R, a resrção da Eq. (3) garane a alocação oal dos recursos, e a resrção da Eq. (4) resrnge o modelo às negocações de compra apenas. O conjuno das careras de rsco mínmo para dversos reornos desejados pode ser obdo aravés da paramerzação do modelo para R. Esas careras são denomnadas Careras Efcenes, e esa esraéga de nvesmeno é denomnada Dversfcação Efcene. O locus bdmensonal no espaço rsco-reorno onde esão odas as careras efcenes possíves é denomnado Fronera Efcene. A cada conjuno de ações dsno esá assocada uma Fronera Efcene, a qual depende uncamene dos reornos esperados e rscos ndvduas de cada ação, e das covarâncas das suas séres hsórcas de reornos Seleção de Careras com Predção de Reornos Desde a proposção orgnal do arcabouço méda-varânca por arkowz, sua vabldade compuaconal, smplfcações e exensões de modelo, e o desenvolvmeno de meddas de rsco alernavas êm sdo foco de nensa pesqusa. Eses esforços conrbuíram foremene para esabelecer a eora e práca da seleção de careras, produzndo resulados noáves (arkowz, 956; Sharpe, 963, 97; Konno, 990, 99, 992; Sorno, 99; Hamza, 996; Gll, 2000 ). Conudo, as esmavas de reornos fuuros baseadas na méda das séres de reornos endem a ser verfcadas somene no longo prazo; porano, elas não se mosram adequadas à gerênca ava de careras e a ouras esraégas de curo prazo. A ulzação de melhores méodos de predção para ober as esmavas dos reornos fuuros de curo prazo, acompanhada de meddas de rsco adequadas, pode dervar novos modelos predvos mas adequados às aplcações de curo prazo. Esa seção formula um novo modelo de omzação de careras no qual a varânca dos erros de predção, produzdos por um predor RNAR-R, é a medda de rsco ulzada. Seja r o reorno real da ação no empo, dado por: r = ˆ + ε (5) r onde rˆ é o reorno predo da ação para o empo, obdo no empo -, e ε é o erro de predção para o empo. Para um predor não endencoso, a sére ε = ( ε, ε,..., ε ) dos n erros de ' 2 n [ 73 ]

6 XXXVIII SIPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, eo Ambene e Desenvolvmeno 2 a 5/09/06 Goâna, GO predção, defndos por: ε = r rˆ (6) deve ser esascamene ndependene e dencamene dsrbuída (d), com méda e varânca dadas por: µ ε = ε = 0 (7) n 2 2 ˆ ν = σ ε = ε (8) n = A varânca dos erros de predção (Eq. (8)) é uma medda da ncereza da predção do reorno fuuro, sendo ulzada no modelo como medda do rsco ndvdual das ações. Reorno e Rsco. Nese novo modelo de omzação de careras, o reorno predo da carera, rˆ p, é gual à soma dos reornos predos para as suas ações, rˆ, ponderados pela parcpação de cada ação na carera, X : = rˆ = X rˆ (9) p O rsco da carera é a varânca da dsrbução Normal conjuna da combnação dos erros de predção, expressa por: Vˆ 2 = ˆ ν = ˆ σ = X X ˆ ε γ (20) P P = j= onde as covarâncas γˆ j são obdas com as séres dos erros de predção ex-ane das ações e j: γ j = γ ε = j = j j n ˆ ε ε j (2) n odelo de Omzação de Careras. A parr das defnções das suas meddas fundamenas, o modelo de omzação de careras baseado na predção de reornos é formulado como: nmze ˆ = X X j ˆ γ j = j= V (22) Sujeo a rˆ P = = X rˆ R (23) = X = (24) [ 732 ]

7 XXXVIII SIPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, eo Ambene e Desenvolvmeno 2 a 5/09/06 Goâna, GO X 0, =,..., (25) A Eq. (22) é a função objevo a ser mnmzada, o rsco oal da carera com reornos predos, a resrção da Eq. (23) é a que garane ao menos a obenção do reorno de carera desejado R, a resrção da Eq. (24) garane a alocação oal dos recursos, e a resrção da Eq. (25) resrnge o modelo às negocações de compra apenas. Apesar da ulzação da modelagem Normal conjuna, ese modelo dfere fundamenalmene do modelo de arkowz nos segunes aspecos: () os reornos esperados são os reornos predos, ao nvés das médas das séres de reornos; () os rscos das ações são obdos com as dsrbuções ex-ane dos erros de predção cenradas nos reornos predos de cada ação, e não com as dsrbuções das suas séres de reornos; e () o rsco neravo das ações é obdo aravés das covarâncas ex-ane dos erros de predção (Eq.(2)), e não das covarâncas das séres de reornos. Esa modelagem é baseada na hpóese da Eq. (7) e na Normaldade dos erros de predção, a qual é expermenalmene suporada pelos resulados mosrados na Seção éodos Expermenas Um conjuno de expermenos fo conduzdo com o objevo de: () verfcar a Normaldade dos erros de predção; e () avalar o desempenho do modelo de seleção de careras com predção de reornos em relação ao modelo de arkowz. 4.. Dados Foram seleconadas 46 ações parcpanes do índce Ibovespa da Bolsa de Valores do Esado de São Paulo (BOVESPA) no prmero quadrmesre de Para cada ação, os reornos semanas amosrados às quaras-feras no período enre 6-fev-2000 e 09-mar-2005 foram compuados, obendo-se assm 46 séres com 265 reornos para o conjuno de dados dos expermenos. Implemenamos predores neuras ndvduas para cada uma das ações, ulzando uma janela móvel de 200 semanas para renameno e oura de 5 semanas para ese, com os quas foram realzadas 60 predções para cada ação (46 60 = predções realzadas), conforme descro a segur Predores Neuras Ulzamos predores de referênca móvel com reardo k = e ordem p = 4, ou RNAR- R(4,), que foram mplemenados com uma rede neural feedforward oalmene conecada, com 2 camadas nernas, função de avação sgmodal e opologa 4:30:5: (4 neurônos na enrada, 30 neurônos na prmera camada nerna, 5 neurônos na segunda camada nerna e neurôno na saída). Uma rede RNAR-R(4,) fo renada para cada uma das 46 ações em cada uma das 60 predções (46 60 = sessões de renameno; ulzamos o cluser Enerprse com 64 nós ATHLON XP 800 do Deparameno de Informáca da Unversdade Federal do Espíro Sano hp:// para esa fnaldade). O renameno fo conduzdo durane épocas com o algormo backpropagaon, com axa de aprendzado de e nérca de 0.95 (Haykn, 999). Eses parâmeros opológcos e de renameno foram deermnados emprcamene. Para reduzr o overfng no renameno das redes neuras, empregamos uma forma smplfcada de valdação cruzada (Haykn, 999), a qual conssu em dvdr o conjuno de renameno para cada uma das 60 predções em dos segmenos: um segmeno de renameno e um segmeno de ese ou valdação. O segmeno de renameno para a prmera das 60 predções, as 200 semanas enre 6-fev-2000 e 0-dez-2003, fo ulzado para aualzar os pesos das redes neuras durane as épocas de renameno, enquano o segmeno de valdação, com 5 reornos semanas enre 7-dez-2003 e 4-jan-2004, fo ulzado para seleconar o melhor [ 733 ]

8 XXXVIII SIPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, eo Ambene e Desenvolvmeno 2 a 5/09/06 Goâna, GO conjuno de pesos obdo durane o renameno. Para seleconar ese melhor conjuno de pesos, a cada.000 épocas de aualzação dos pesos, a rede neural da ação fo ulzada para predzer os reornos do segmeno de valdação. O conjuno de pesos responsável pelo menor erro RSE (raz do erro médo quadráco) observado no segmeno de valdação fo preservado e ulzado para predzer o reorno para 2-jan Ese procedmeno fo repedo para cada uma das 59 predções resanes, avançando a janela de 205 semanas, uma semana por vez, nas daas menconadas acma. Os amanhos dos segmenos de renameno e valdação foram obdos com a heurísca proposa em Haykn (999, pág. 27). Tabela. Normaldade dos erros de predção para os predores RNAR-R e para as séres de reornos 5. Expermenos e Resulados Tese do Qu-quadrado para as 46 séres dos erros de predção RNAR-R(4,) α H 0 não rejeada H 0 rejeada (96%) 2 ( 4%) (85%) 7 (5%) (78%) 0 (22%) Tese do Qu-quadrado para as 46 séres de reornos α H 0 não rejeada H 0 rejeada (30%) 32 (70%) (3%) 40 (87%) (%) 4 (89%) Os resulados dos expermenos conduzdos com o méodos descros na Seção 4 são apresenados a segur. 5.. Normaldade dos Erros de Predção A Normaldade dos erros de predção dos predores RNAR-R(4,) e das séres de reornos ulzadas nos expermenos fo esada e os resulados são mosrados na Tabela. Os eses do Qu-quadrado para as 46 séres dos erros de predção, cada uma com 60 observações, foram conduzdos para os níves de sgnfcânca (α) padrão de 0.0, 0.05 e 0.0. A Normaldade dos erros de predção fo acea (.e. não rejeada) para 44 (96%), 39 (85%) e 36 (78%) dos predores RNAR-R(4,), respecvamene. Conudo, para os mesmos níves de sgnfcânca (α), a normaldade das séres de reornos fo acea para apenas 4 (30%), 6 (3%) e 5 (%) das ações, respecvamene. Eses resulados sugerem a possbldade de se ober erros de predção Normas a parr de séres de reornos não Normas. Ese fao é especalmene mporane para o desenvolvmeno de novos modelos predvos de seleção de careras que se benefcem dos desenvolvmenos eórcos do arcabouço Normal Desempenho do odelo de Careras com Predção de Reornos Ulzamos uma janela de 40 predções, ncada na prmera das 60 predções realzadas, para esmar as varâncas e covarâncas dos erros de predção necessáras ao modelo predvo de seleção de careras (Eqs. (20), (2) e (22)). Os reornos médos, varâncas e covarâncas necessáras ao modelo de arkowz foram calculados a parr de uma janela com 245 das 265 semanas dsponíves, ncada na prmera semana. As careras formadas com os modelos de arkowz e predvo foram comparadas ulzando as 20 semanas resanes do conjuno de dados. A comparação fo conduzda seleconando-se careras das Froneras Efcenes de cada modelo, obdas aravés dos procedmenos de omzação descros na Seção 3. A esraéga de nvesmeno ulzada fo re-balancear as careras a cada 4 semanas [ 734 ]

9 XXXVIII SIPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, eo Ambene e Desenvolvmeno 2 a 5/09/06 Goâna, GO consecuvas; assm, formamos um oal de 5 careras para cada modelo (20 semanas/4 semanas de vgênca para cada carera). A Fg. mosra as Froneras Efcenes para os modelos de arkowz e predvo, obdas aravés da paramerzação dos modelos da Seção 3 para R. Os valores de R foram escolhdos de forma que, a parr de um deermnado valor mínmo, fossem obdas Froneras Efcenes com 30 careras ómas para cada modelo, e que odo o espaço de soluções váves de cada problema fosse percorrdo ( = 300 problemas quadrácos). Desa forma, foram ulzados valores de R enre e 0.0 para as careras de arkowz, e enre e 0.2 para as careras predvas. A pare superor da Fg. mosra as 5 Froneras Efcenes para o modelo de arkowz, FE-, FE-2, FE-3, FE-4 e FE-5, obdas no período ncal e na seqüênca dos 4 re-balanceamenos durane as smulações. Seus rscos ómos fcaram enre e 0.003, para reornos enre e 0.008, respecvamene. Na pare nferor da Fg. emos as 5 Froneras Efcenes para o modelo predvo, FE-P, FE-P2, FE-P3, FE-P4 e FE-P5, obdas da mesma forma e com rscos ómos enre e , para reornos enre e 0.228, respecvamene. Desa forma, podemos verfcar que as careras predvas apresenaram resulados de rsco e reorno sgnfcanemene melhores do que aqueles apresenados pelas careras de arkowz, em ermos de Fronera Efcene. Esa superordade pode ser explcada pela maor dversdade de soluções enconradas pelo modelo predvo (veja os formaos e as localzações das Froneras Efcenes dos modelos na Fg. ), demonsrando capurar melhor as dnâmcas de curo prazo do que o modelo de arkowz. Após a obenção das Froneras Efcenes, nós realzamos smulações dos nvesmenos no período acma cado e compuamos os reornos acumulados para ambos modelos. Cada carera fo seleconada no nível de rsco de 0.00 (varânca da dsrbução Normal conjuna das careras) da sua respecva Fronera Efcene vgene (lnhas vercas racejadas da Fg. ), e sua renabldade fo acompanhada durane 4 semanas consecuvas. Ese processo se repeu para cada um dos 4 períodos de re-balanceameno das careras Fg.. Froneras Efcenes para os modelos de arkowz (superor) e Predvo (nferor). A Fg. 2 mosra as dsrbuções Normas para cada uma das 5 careras seleconadas [ 735 ]

10 XXXVIII SIPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, eo Ambene e Desenvolvmeno 2 a 5/09/06 Goâna, GO para os modelos de arkowz e predvo, obdas a parr dos seus respecvos reornos esperados e rscos. As careras, 2, 3, 4 e 5 foram obdas com o modelo de arkowz e suas dsrbuções são mosradas na pare superor da Fg. 2. Elas apresenaram reornos esperados basane smlares devdo à pequena varação da méda ponderada (por cada X ) dos reornos das ações no período das 245 semanas, que ambém pode ser verfcada pela smlardade das suas Froneras Efcenes na pare superor da Fg.. As careras P, P2, P3, P4 e P5 foram obdas com o modelo predvo e são mosradas na pare nferor da Fg. 2. Como mosrado no gráfco, elas apresenaram valores de reorno esperados basane dsnos, exbndo suas propredades predvas de curo prazo, verfcadas ambém pela dversdade das suas Froneras Efcenes na pare nferor da Fg.. Fg. 2. Dsrbuções Normas para cada uma das 5 careras seleconadas para os modelos de arkowz (superor) e Predvo (nferor). A Fg. 3 mosra uma comparação dos reornos acumulados no período de smulação para as 5 careras de arkowz, as 5 careras predvas e o índce Ibovespa (IBOV). Como menconado acma, as careras foram re-balanceadas 4 vezes, nas semanas 4, 8, 2 e 6 do período de smulação, ulzando os dados dsponíves neses momenos. Os períodos de smulação para cada um dos 5 pares de careras é mosrado enre as lnhas vercas da Fg. 3. [ 736 ]

11 XXXVIII SIPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, eo Ambene e Desenvolvmeno 2 a 5/09/06 Goâna, GO reorno acumulado 0,35 0,30 0,25 0,20 0,5 0,0 0,05 P arkowz () Predção (P) IBOV 2 P2 3 P3 4 P4 5 P5 0, semana Fg. 3. Reornos acumulados para as careras de arkowz e predvas comparadas com o índce Ibovespa (IBOV). As careras predvas (P) melhor se susenaram frene à queda do IBOV após a semana 0, em comparação com as careras de arkowz (). Como a Fg. 3 mosra, ncalmene, ambos modelos de careras e o Ibovespa veram desempenho equvalene. Na semana 8, a carera de arkowz apresenou um aumeno sgnfcavo de desempenho, porém fo ulrapassada pela carera predva na semana 0, que se susenou melhor que a carera de arkowz frene a uma mporane baxa do mercado na semana segune (veja o gráfco do Ibovespa). As careras predvas subseqüenes manveram ese desempenho superor aé o fnal do período de análse, nclusve frene ao período remanescene da baxa do Ibovespa. As careras predvas obveram um reorno acumulado de 29.83% no período, enquano as careras de arkowz obveram 24.45%, próxmos aos 24.66% do Ibovespa. 6. Conclusão e Trabalhos Fuuros Nese argo ulzamos um novo méodo de predção denomnado rede neural auoregressva com referênca móvel (RNAR-R) para predzer os reornos fuuros do mercado de ações Braslero. Nese méodo, as varáves de regressão são as dferenças dos valores das séres hsórcas e um deermnado valor passado. A Normaldade dos erros de predção produzdos pelos predores RNAR-R fo examnada, sendo verfcada para 45 das 46 séres esudadas, enquano a Normaldade das séres de reornos fo verfcada para apenas 4 das 46 séres. Ese fao sugere a possbldade de se produzr erros de predção Normas a parr de séres de reorno não Normas. Esa caracerísca dos erros de predção suporou o desenvolvmeno de um novo modelo de seleção de careras baseado em predção que ulza o arcabouço Normal. Smulações de nvesmeno com ese novo modelo mosraram que ele pode produzr resulados melhores que o modelo de seleção de careras de arkowz ele alcançou reornos acumulados 5.7% superores aos do modelo de arkowz no período esudado. Também, as careras predvas demonsraram uma melhor capacdade de acompanhameno do índce de mercado, alcançando reornos 6.38% superores aos do índce Ibovespa, enquano as careras de arkowz alcançaram uma superordade de apenas.2%. Nossos rabalhos fuuros ncluem a nvesgação de melhores ssemas neuras de predção, que mnmzem os erros de predção e a sua varânca, e novas esraégas de nvesmeno que capurem dnamcamene as oporundades de re-balanceameno mas promssoras. [ 737 ]

12 XXXVIII SIPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, eo Ambene e Desenvolvmeno 2 a 5/09/06 Goâna, GO Agradecmenos Os auores agradecem o apoo da empresa Enfoque Informações Fnanceras Lda. (hp:// no fornecmeno das séres hsórcas de longo prazo ulzadas nese rabalho. Referêncas Box, G. E. P., Jenkns G.. e Rensel G. C., Tme Seres Analyss: Forecasng and Conrol. Prence Hall, hrd edon, 994. Elon, E. J., Gruber,. J., Brown, S. J. e Goezmann, W. N., odern Porfolo Theory and Invesmen Analyss. John Wley & Sons, Inc., sxh edon, Fama, E. (965), Porfolo Analyss n a Sable Parean arke. anagemen Scence, Vol., No. 3 Seres A, pp Freas, F. D., De Souza, A. F. e Almeda, A. R. (2005), Auoregressve neural nework predcors n he Brazlan sock markes. VII Smpóso Braslero de Auomação Inelgene (SBAI)/II IEEE Lan Amercan Robocs Symposum (IEEE-LARS), São Lus, Brasl. Gll,. e Kellez, E. (2000), Heursc approaches for porfolo opmzaon. VI Inernaonal Conference on Compung n Economcs and Fnance. Hamza, F. e Janssen, J. (996), Lnear approach for solvng large-scale porfolo opmzaon problems n a lognormal marke. In IAA/AFIR Colloquum, pages , Nürnberg, Germany. Haykn, S., Neural Neworks: a Comprehensve Foundaon. Prence Hall, Inc., 2 edon, 999. Kon, S. J. (984), odels of sock reurns - a comparson. Journal of Fnance, XXXIX(): Konno, H. (990), Pecewse lnear rsk funcons and porfolo opmzaon. Journal of Operaons Research Socey of Japan, (33): Konno, H. e Suzuk, S. (992), A fas algorhm for solvng large scale mean-varance models by compac facorzaon of covarance marces. Journal of Operaons Research Socey of Japan, (35): Konno, H. e Yamazak, H. (99), ean-absolue devaon porfolo opmzaon model and s applcaons o Tokyo sock marke. anagemen Scence, 37(5): arkowz, H.. (952), Porfolo selecon. Journal of Fnance, VII():77 9. arkowz, H.. (956), The opmzaon of a quadrac funcon subjec o lnear consrans. Naval Research Logscs Quarerly, (3): 33. arkowz, H.., Porfolo Selecon: Effcen Dversfcaon on Invesmen. John Wlley & Sons, New York, 2 edon, 99. Sharpe, W. F. (963), A smplfed model for porfolo analyss. anagemen Scence, (9): Sharpe, W. F. (97), A lnear programmng approxmaon for he general porfolo selecon problem. Journal of Fnancal and Quanave Analyss, (6): Sorno, F. A. e Van der eer, R. (99), Downsde rsk. Journal of Porfolo anagemen, pages Suon, R. S. (988), Learnng o predc by he mehods of emporal dfferences. achne Learnng, 3:9 44. Whe, H. (988), Economc predcon usng neural neworks: The case of IB daly sock reurns. In Proceedngs of The IEEE Inernaonal Conference on Neural Neworks. [ 738 ]