ANDRÉ ALVES PORTELA SANTOS PREVISÃO NÃO-LINEAR DA TAXA DE CÂMBIO REAL/DÓLAR UTILIZANDO REDES NEURAIS E SISTEMAS NEBULOSOS

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1 ANDRÉ ALVES PORTELA SANTOS PREVISÃO NÃO-LINEAR DA TAXA DE CÂMBIO REAL/DÓLAR UTILIZANDO REDES NEURAIS E SISTEMAS NEBULOSOS FLORIANÓPOLIS 2005

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO SÓCIO-ECONÔMICO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: ECONOMIA E FINANÇAS PREVISÃO NÃO-LINEAR DA TAXA DE CÂMBIO REAL/DÓLAR UTILIZANDO REDES NEURAIS E SISTEMAS NEBULOSOS Dsseração submeda ao Programa de Pós-Graduação em Economa da Unversdade Federal de Sana Caarna como pare dos requsos para obenção do grau de Mesre em Economa ANDRÉ ALVES PORTELA SANTOS Floranópols, março de 2005.

3 PREVISÃO NÃO-LINEAR DA TAXA DE CÂMBIO REAL/DÓLAR UTILIZANDO REDES NEURAIS E SISTEMAS NEBULOSOS André Alves Porela Sanos Esa dsseração fo julgada adequada para obenção do Tíulo de Mesre em Economa, Área de Concenração em Economa e Fnanças, e aprovada em sua forma fnal pelo Programa de Pós-Graduação em Economa da Unversdade Federal de Sana Caarna. Celso Leonardo Weydmann Coordenador do Programa de Pós-Graduação em Economa Banca Examnadora: Newon Carnero Affonso da Cosa Jr. Orenador Leandro dos Sanos Coelho Co-orenador Eraldo Sérgo da Slva Membro

4 AGRADECIMENTOS v A meus pas e meus rmãos, pela ajuda durane oda vda; À famíla Naale Junkes, em especal à Paríca, D. Rosa e Sr. Waldemro, pelo amor e carnho fraernal que por mm sempre veram; Ao meu co-orenador, Prof. Leandro dos Sanos Coelho, pela mensurável ajuda em odo as eapas do rabalho; Ao meu orenador, Prof. Newon Carnero Affonso, pelo apoo e dedcação ao longo de odos esses anos; Ao Prof. Eraldo Sérgo da Slva, por er genlmene dsponblzado as séres hsórcas que ulze nese rabalho; Aos amgos Marco Kko Pcanço, Marcus Emerson Verhne, Jales Danas da Cosa, Lus Gusavo Pno de Carvalho pela ajuda que me deram na elaboração dese rabalho; A odos os amgos que fz no curso de mesrado e na graduação durane esses anos morando nesa lnda e nesquecível cdade; Ao conrbune braslero, que proporconou o fnancameno do meu esudo e da mnha formação em uma Unversdade públca e graua.

5 RESUMO v SANTOS, A. Prevsão não-lnear da axa de câmbo Real/Dólar ulzando redes neuras e ssemas nebulosos f. Dsseração (Mesrado em Economa), Unversdade Federal de Sana Caarna, Ese rabalho em como objevo nvesgar a hpóese de que modelos não-lneares de prevsão de séres emporas são capazes de fornecer uma prevsão fora-da-amosra mas acurada que modelos lneares radconas. De uma perspecva eórca, consdera-se que modelos não-lneares são mas precsos dada sua maor capacdade em capurar nãolneardades presenes em séres fnanceras. Esudos empírcos anerores êm corroborado com essa hpóese, enquano ouros a êm quesonado, ornando a quesão conroversa. Os modelos não-lneares analsados foram as redes neuras percepron mulcamadas (RN-MLP), as redes neuras função de base radal (RN-RBF) e os ssemas nebulosos (fuzzy sysems) do po Takag-Sugeno. Esses modelos possuem caraceríscas adequadas para problemas envolvendo prevsão de séres emporas, como a capacdade de realzar aprendzado aravés de renameno específco acerca do ambene ao qual esá sendo ulzado, no caso das redes neuras, e a capacdade de ldar com ncerezas qualavas e quanavas, no caso dos ssemas nebulosos. As esruuras maemácas NARX e NARMAX (Nonlnear Auoregressve Movng Average wh exogenous npus) foram ulzadas para a represenação dnâmca não-lnear das seres. Os modelos lneares analsados foram os modelos auo-regressvos (AR), modelos méda móvel (MA), modelos auo-regressvos de méda móvel (ARMA) e os modelos auo-regressvos de méda móvel consderando heeroscedascdade condconal auo-regressva dos resíduos (ARMA-GARCH). Os procedmenos de esmação desses modelos, baseados na meodologa Box-Jenkns, esão bem sedmenados denro da área de séres emporas. Foram ulzadas séres de reorno da axa de câmbo Real/Dólar (R$/US$) com freqüênca de 5 mn., 60 mn. e 20 mn. durane o período que va de 0/0/2002 a 0/0/2003 e séres com freqüênca dára e semanal durane o período que va de 0/0/2000 a 0/0/2004. O desempenho predvo dos modelos fo avalado segundo o roo mean squared error (RMSE), o índce de desgualdade U-Thel, o percenual de snas correamene prevsos e a esaísca de falha de prevsão Pesaran-Tmmermann. Além dsso, fo avalado o reorno e o rsco de uma esraéga de negocação esabelecda com base nas prevsões geradas pelos modelos. Os resulados ndcam que os modelos não-lneares obveram um desempenho predvo superor aos modelos lneares. Em odas as séres analsadas, os modelos não-lneares conseguram sgnfcânca esaísca em suas prevsões, além de um índce U-Thel nferor e um percenual de snas correamene prevsos superor em relação aos modelos lneares. Consaou-se que a qualdade da prevsão esá nmamene relaconada com a freqüênca com que a sére é observada. Quano maor fo a freqüênca da sére, maor fo a sua prevsbldade. Uma possível explcação para esse resulado esá na presença de não-lneardade nas séres, enconrada em maor grau nas séres de ala freqüênca. Os resulados da esraéga de negocação ndcaram que as esraégas baseadas nos modelos não-lneares superaram em ermos de rsco e reorno as esraégas baseadas em modelos lneares e a esraéga passva de nvesmeno. As esraégas nãolneares obveram reornos e índces de Sharpe superores às demas esraégas. Nesse sendo, os resulados desse rabalho corroboram com evdêncas empírcas anerores que aesam haver ganho em ermos de desempenho predvo decorrene da ulzação de modelos não-lneares em relação aos modelos lneares. Palavras-Chave: prevsão de séres emporas, modelos lneares, modelos não-lneares.

6 v ABSTRACT SANTOS, A. Prevsão não-lnear da axa de câmbo Real/Dólar ulzando redes neuras e ssemas nebulosos f. Dsseração (Mesrado em Economa), Unversdade Federal de Sana Caarna, Ths sudy nvesgaes he hypohess ha nonlnear models for me seres forecasng are able o provde a more accurae ou-of-sample forecas han radonal lnear models. From a heorecal perspecve, nonlnear models are consdered more precse, due o her greaer capacy o capure nonlnear feaures presen n fnancal seres. Several prevous emprcal sudes have confrmed hs hypohess whle ohers have quesoned such advanages, creang conroversy concernng he lack of academc consensus. The nonlnear models of mullayer percepron and radal bass funcon neural neworks, and he Takag-Sugeno fuzzy sysem were evaluaed. Those models hold approprae characerscs for me seres forecasng problems, lke he ably o perform learnng hrough specfc ranng process, n he case of he neural neworks, and he ably of modelng qualave and quanave unceranes, n he case of he fuzzy sysems. The NARX and NARMAX mahemacal srucures were used for he nonlnear dynamc represenaon of he seres. The lnear models evaluaed were he auoregressve (AR), movng average (MA), auoregressve movng average (ARMA), and auoregressve movng average wh auoregressve condonal heeroskedascy (ARMA-GARCH) models. The esmaon procedures of hese models, based on Box- Jenkns mehodology, are well-esablshed n me seres leraure. Seres of 5mn., 60 mn. and 20 mn. reurns from 0/0/2002 o 0/0/2003 and daly and weekly reurns from 0/0/2000 o 0/0/2004 of he Brazlan exchange rae (R$/US$) were used. The predcve performance was evaluaed usng he followng crera: roo mean squared error (RMSE), U-Thel nequaly ndex, percenage of correced predced sgnals and he Pesaran-Tmmermann predcve falure sasc. The reurn and rsk of a rade sraegy based on model s forecass were also evaluaed. Resuls ndcaed ha nonlnear models perform beer han her lnear counerpars. In all seres, nonlnear models acheved sasc sgnfcance n s forecass, smaller U- Thel ndexes and hgher percenage of correced predced sgnals han lnear models. The forecas performance s also closely relaed o he seres frequency: he hgher he seres frequency, he hgher he forecasably. A possble explanaon for hs resul s he presence of nonlneary n he seres, whch s n a hgher level n hgh frequency seres. The resuls of he rade sraegy ndcaed ha sraeges based on nonlnear models surpassed n erms of reurn and rsk sraeges based on lnear models and a passve rade sraegy. Nonlnear sraeges acheved hgher reurns and hgher Sharpe ndexes han oher sraeges. In hs sense, he resuls of hs sudy corroborae wh prevous emprcal evdence ha saes a gan, n erms of predcve performance, due o he use of nonlnear models. Key-words: me seres forecasng, lnear models, nonlnear models.

7 SUMÁRIO v LISTA DE TABELAS...IX LISTA DE QUADROS...XI LISTA DE FIGURAS... XII LISTA DE SIGLAS E ACRÔNIMOS...XIII PROBLEMÁTICA DE PESQUISA.... INTRODUÇÃO....2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE PESQUISA OBJETIVOS Objevo geral Objevos específcos... 2 MODELOS ECONOMÉTRICOS DE PREVISÃO DE SÉRIES TEMPORAIS 2 2. MODELOS LINEARES Modelos AR, modelos MA e modelos ARMA Modelos ARMA-GARCH MODELOS NÃO-LINEARES Redes neuras arfcas Redes Neuras percepron de uma ou mas camadas Redes Neuras Função de Base Radal Redes neuras em prevsão de séres emporas Aplcações de redes neuras em Economa e Fnanças Ssemas nebulosos (fuzzy sysems) Esruura e classfcação do ssemas nebulosos Ssema nebuloso de TS SÍNTESE CONCLUSIVA FUNDAMENTOS PRÁTICOS DA PREVISÃO DE SÉRIES TEMPORAIS INTRODUÇÃO DETECÇÃO DE NÃO-LINEARIDADES ESCOLHA DA ESTRUTURA DOS MODELOS AVALIAÇÃO DO DESEMPENHO PREDITIVO DOS MODELOS SÍNTESE CONCLUSIVA ANÁLISE EMPÍRICA SÉRIES TEMPORAIS UTILIZADAS E TESTES DE ESPECIFICAÇÃO... 55

8 4.2 ESTIMAÇÃO DOS MODELOS Modelos lneares Modelos não-lneares APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS Esraéga de negocação SÍNTESE CONCLUSIVA v 5 CONCLUSÕES REFERÊNCIAS... 78

9 LISTA DE TABELAS x Tabela 4. Esaísca descrva para as séres de reornos da axa de câmbo Real/Dólar, de acordo com a freqüênca observada Tabela 4.2 Tese BDS para presença de não-lneardade nas séres de reorno da axa de câmbo Real/Dólar Tabela 4.3 Dsrbução do número de observações de cada sére hsórca de acordo com as eapas de esmação e valdação fora-da-amosra Tabela 4.4 Resulados do ese de prevsão de Chow obdos a parr da esmava de um modelo AR() para as séres de reorno da axa de câmbo Real/Dólar Tabela 4.5 Resulados dos modelos lneares e não-lneares de prevsão para a sére da axa de câmbo Real/Dólar com freqüênca de 5 mn Tabela 4.6 Resulados dos modelos lneares e não-lneares de prevsão para a sére da axa de câmbo Real/Dólar com freqüênca de 60 mn Tabela 4.7 Resulados dos modelos lneares e não-lneares de prevsão para a sére da axa de câmbo Real/Dólar com freqüênca de 20 mn Tabela 4.8 Resulados dos modelos lneares e não-lneares de prevsão para a sére da axa de câmbo Real/Dólar com freqüênca dára Tabela 4.9 Resulados dos modelos lneares e não-lneares de prevsão para a sére da axa de câmbo Real/Dólar com freqüênca semanal Tabela 4.0 Resumo dos resulados dos melhores modelos lneares de prevsão para a sére de reornos da axa de câmbo Real/Dólar de acordo com a freqüênca observada Tabela 4. Renabldade acumulada, desvo padrão e índce de Sharpe das esraégas de negocação aplcadas à sére de reornos da axa de câmbo Real/Dólar com freqüênca de 5 mn Tabela 4.2 Renabldade acumulada, desvo padrão e índce de Sharpe das esraégas de negocação aplcadas à sére de reornos da axa de câmbo Real/Dólar com freqüênca de 60 mn Tabela 4.3 Renabldade acumulada, desvo padrão e índce de Sharpe das esraégas de negocação aplcadas à sére de reornos da axa de câmbo Real/Dólar com freqüênca de 20 mn... 7 Tabela 4.4 Renabldade acumulada, desvo padrão e índce de Sharpe das esraégas de negocação aplcadas à sére de reornos da axa de câmbo Real/Dólar com freqüênca dára.... 7

10 Tabela 4.5 Renabldade acumulada, desvo padrão e índce de Sharpe das esraégas de negocação aplcadas à sére de reornos da axa de câmbo Real/Dólar com freqüênca semanal x

11 LISTA DE QUADROS x Quadro 2. Tpos prncpas de funções de avação Quadro 2.2 Tpos prncpas de funções de base radal... 28

12 LISTA DE FIGURAS x Fgura 2. Modelo genérco de um neurôno arfcal Fgura 2.2 Modelos genércos de uma RN feedfoward (a) e uma RN feedback (b) Fgura 2.3 RN percepron mulcamadas Fgura 2.4 Ilusração da dsânca eucldana enre dos veores Fgura 2.5 RN função de base radal Fgura 2.6 Rede neural sem camada nermedára Fgura 2.7 Represenação clássca (a) e fuzzy (b) da alura de deermnada população.. 39 Fgura 2.8 Modelo nebuloso de Takag-Sugeno vso como uma aproxmação lnear local de uma função não-lnear (adapada de Babuska, 2000) Fgura 2.9 Clusers nebulosos em formao elpsodal (adapada de Babuska, 2000) Fgura 4. Gráfcos da sére da axa de câmbo Real/Dólar em nível e dos reornos da axa de câmbo para a sére de 5 mn. e para a sére semanal

13 LISTA DE SIGLAS E ACRÔNIMOS x AR ARCH ARMA ARMA-GARCH GARCH LN MA NARX NARMAX RN RN-MLP RN-MLP-NARX - auo-regressvo heeroscedascdade condconal auo-regressva auo-regressvo de méda móvel modelo ARMA consderando heeroscedascdade condconal auo-regressva dos resíduos...0 -heeroscedascdade condconal auo-regressva generalzada lógca nebulosa méda móvel Nonlnear auoregressve wh exogenous npus Nonlnear auoregressve movng average wh exogenous npus rede neural rede neural percepron mulcamadas rede neural percepron mulcamadas com represenação maemáca NARX...6 RN-MLP-NARMAX - rede neural percepron mulcamadas com represenação maemáca NARMAX...6 RN-RBF RN-RBF-NARX - rede neural função de base radal rede neural função de base radal com represenação maemáca NARX...6 RN-RBF-NARMAX - rede neural função de base radal com represenação maemáca NARMAX...6 SN TS SN-TS SN-TS-NARX SN-TS-NARMAX - ssema nebuloso Takag-Sugeno ssema nebuloso Takag-Sugeno ssema nebuloso Takag-Sugeno com represenação maemáca NARX ssema nebuloso Takag-Sugeno com represenação maemáca NARMAX...6

14 Problemáca de Pesqusa Ese capíulo apresena a movação dese rabalho de pesqusa, analsando quas são as quesões-chave relavas ao esudo. A seção. dscue a quesão da prevsbldade dos reornos dos avos e a quesão da presença de não-lneardades nas séres fnanceras. A seção.2 apresena a formulação do problema de pesqusa, enquano que a seção.3 comena os objevos proposos nese rabalho.. Inrodução O debae acerca da possbldade de prevsão do desempenho do mercado domnou, e anda domna, a mene de muos economsas que se engajam na enava de provar que o mercado aconáro é compleamene mprevsível ou enão na formulação de modelos que buscam algum ndíco de prevsbldade, ou seja, provar que é possível, com base naqulo que aconeceu no passado, esmar o que va ocorrer no fuuro. De acordo com a Hpóese dos Mercados Efcenes (Fama, 970; 99), o preço das ações possu uma dnâmca aleaóra, ou seja, não segue nenhum po de ordem ou padrão. Essa quesão é fundamenal para o debae relaconado à prevsbldade do mercado, pos caso a evolução dos preços realmene não apresene nenhuma ssemáca, ou seja, caso o mercado seja efcene na sua formação de preço, é mpossível prevê-lo. O conceo de mercado efcene é usualmene assocado ao conceo de marngale ou jogo juso (Campbell e al. 997), cuja condção é dada por [ P + / P, P,... ] P E = (.) ou, equvalenemene,

15 2 [ P P P, P,...] 0 E. (.2) + / = onde E é defndo como operador de valor esperado. Tomando P como o preço de um avo na daa, a hpóese marngale assegura que o preço de amanhã é esperado ser gual ao preço de hoje, dada oda a hsóra dos preços do avo. Alernavamene, a expecava de varação no preço é zero, quando condconada à hsóra dos preços; dessa forma o preço pode ano car quano subr. Vsa de uma perspecva de prevsão, a hpóese marngale mplca que a melhor prevsão do preço de amanhã é smplesmene o preço de hoje. Ouro aspeco da hpóese é que as mudanças de preços são não-correlaconadas em odas as defasagens, mplcando a nefcáca de odas as regras lneares de prevsão das mudanças fuuras de preço baseadas apenas no hsórco dos preços. A hpóese marngale levou ao desenvolvmeno de uma hpóese correlaa que se ornou fundamenal nos esudos sobre efcênca dos mercados: a hpóese do camnho aleaóro (random walk hyphohess). A hpóese (ou modelo) do camnho aleaóro pode ser represenada por P = µ + + ε. (.3) P Ese modelo nos dz que o preço do avo no período + é dado pelo seu preço no momeno medaamene aneror, mas um ermo de mudança esperada µ conhecdo como drf, mas um componene de erro não-prevsível. O comporameno do ermo ε é exremamene mporane, e as resrções acerca do comporameno dese ermo movaram Campbell e al. (997) a produzrem rês versões do modelo de camnho aleaóro: Camnho aleaóro : Nesa versão, ambém chamada de versão fore do modelo random walk, assume-se que o ermo ε é dencamene dsrbuído e ndependene. A ndependênca mplca que não só os ncremenos são não-correlaconados, mas ambém qualquer função não-lnear dos ncremenos será não-correlaconada. Camnho aleaóro 2: Esa versão consdera que os ncremenos são ndependenes mas não necessaramene dencamene dsrbuídos. O relaxameno dessa hpóese maném a caracerísca da não-prevsbldade lnear além de admr a presença de faos eslzados em séres fnanceras, como mudanças na volaldade condconal.

16 Camnho aleaóro 3: A versão mas geral e mas esada emprcamene do modelo de camnho aleaóro subsu a hpóese de ncremenos ndependenes pela hpóese de ncremenos dependenes porém não-correlaconados. Isso sgnfca, por exemplo, sasfazer a condção de que a Cov[ ε, ε ] = 0 Cov 2 2 [ ε, ε ] 0 k k 3, para odo k 0, porém a, para odo k 0. Tal processo ndca que os ncremenos são nãocorrelaconados, mas são não-ndependenes, desde que o quadrado dos ncremenos é correlaconado. De fao, a pesqusa empírca sugeru durane muo empo a mpossbldade de se refuar o modelo de camnho aleaóro nas varações de preço dos avos fnanceros. Enreano, como noam Campbell e al. (997), o avanço compuaconal e o surgmeno de meodologas economércas robusas, passaram a sugerr a exsênca algum nível de prevsbldade nos reornos dos avos fnanceros, ndcando que as varações de preço não podam ser oalmene explcadas pelo modelo do camnho aleaóro ou random walk. Assm como nos rabalhos de Lo e Macknlay (988) e poserormene Campbell e al. (997), ndícos crescenes de dependênca enre as sucessvas mudanças de preço passaram agora a sugerr que pode ser possível denfcar algum po de endênca nas séres de preço dos avos, e que esraégas sofscadas de negocação que vsem denfcar essas endêncas podem superar as esraégas smplsas do po buy-andhold. As evdêncas empírcas ulzando ouras abordagens êm sugerdo que as varáves relaconadas aos fundamenos das empresas, as como a relação preço/lucro, valor conábl/valor de mercado denre ouras, auam como prevsores dos reornos das ações (Fama e French, 992), dando orgem às chamadas esraégas conráras de nvesmeno (Lakonshok e al., 994). Xu (2004) argumena que algum nível de prevsbldade dos reornos, mesmo que pequeno, pode alerar sgnfcavamene o preço dos avos, afeando os créros de decsão de alocação do nvesdor como ambém sua aversão ao rsco. Xu mosra que pequenos níves de prevsbldade são sufcenes para fazer com que uma esraéga de negocação gere ganhos sgnfcanes. Segundo o auor, a prevsbldade de curo prazo dos reornos (enendda como correlação posva observada) pode ser arbuída a efeos presenes na mcroesruura do mercado, como negócos não-síncronos e o spread enre compra e venda enquano que a prevsbldade de longo prazo pode ser arbuída a O auor esma modelos economércos de prevsão que possuem um baxo poder explcavo (coefcene de correlação múlpla R 2 em orno de 2%) e, ulzando dados reas e dados obdos por smulação boosrap, conclu que esraégas de negocação baseadas nesses modelos geram reornos ajusados ao rsco superores a uma esraéga buy-and-hold.

17 4 varações no prêmo pelo rsco. Em períodos nermedáros, anúncos nãosncronzados de ganhos das empresas podem er um mporane papel na prevsbldade dos reornos. Uma parcela sgnfcava dos rabalhos relaconados à prevsbldade dos reornos omou um novo rumo a parr do níco da década de 90 graças à nrodução de conceos advndos da Teora do Caos 2, as como dependênca sensível das condções ncas, ssemas dnâmcos não-lneares, araores e bfurcações. Esses conceos, ncalmene aplcados a dversos ouros ssemas da naureza, prncpalmene na físca, ornaram-se novos canddaos à explcação da dnâmca presene nas séres fnanceras (Agurre e Agurre, 997) a qual, assm como dversos ssemas da naureza, passou a ser consderada não-lnear. A parr do fnal da década de 80, esudos relaavam que uma deermnada sére emporal fnancera, quando represenada ulzando coordenadas apropradas, o resulado era não mas uma sére emporal, mas uma fgura geomérca semelhane aos fracas e araores (Agurre e Agurre, 997). Esse resulado ndcava que uma sére emporal fnancera, apesar de caracerzada por consanes fluuações, permanece osclando denro de coordenadas lmadas no espaço de fase. Os ssemas com dnâmca caóca passaram a ser raados não como ssemas em que mpera uma aleaoredade pura, e sm como ssemas dnâmcos em que é possível denfcar, aravés de deermnada represenação, um padrão em sua dnâmca 3. Aualmene, pesqusadores êm relaado a presença de ouras mporanes propredades da físca como les de poênca, perodcdades e memóra longa em dados fnanceros, dando orgem a um campo específco de conhecmeno denro da economa e da físca conhecdo como econofísca (Da Slva e al., 2005; Glera e al., 2002). Assm como ouros ssemas da naureza, a economa é raada como um ssema complexo onde suas subundades neragem enre s de modo não-lnear, possblando denfcar e represenar geomercamene as propredades globas esáves do ssema. O adveno da Teora do Caos à Cênca Econômca esmulou dversos pesqusadores a desenvolverem uma fundamenação maemáca dos conceos da eora. Denro da macroeconoma, por exemplo, demonsrou-se que modelos dnâmcos podem exbr uma naureza exremamene complexa sem a necessdade de choques exógenos, 2 Uma explcação dealhada sobre a Teora do Caos, sua hsóra e seus prncpas conceos, bem como aplcações à Cênca Econômca, é apresenada em Glesser (200) e Gleck (989). 3 É relevane fazer uma dsnção enre ssema não-lnear e ssema caóco. Ese úlmo é um caso parcular de um ssema não-lnear; nem odo ssema não-lnear deve, necessaramene, exbr uma dnâmca consderada caóca. A esmava do expoene de Lyapunov é um procedmeno recorrene para deermnar se deermnada sére é caóca ou não.

18 5 com dversos ponos de equlíbro ou não-convergênca a um esado esaconáro (Schenkman, 990; Boldrn e Deneckere, 989). Do pono de vsa da economera, uma sére de eses esaíscos paramércos e não-paramércos surgram no nuo de verfcar a presença de não-lneardades nas séres fnanceras. Em ouras palavras, o objevo era denfcar a presença de esruuras complexas nerenes ao mecansmo gerador de dados da sére, responsáves por produzr de modo endógeno (sem a necessdade de choques) a osclação e a volaldade nerenes às séres fnanceras (Brock e al. 987). As evdêncas empírcas passaram a ndcar presença sgnfcava de nãolneardades em séres de dversos pos de avos, como câmbo, ações, ouro, conraos fuuros ec, dando supore aos esudos que assocavam a Teora do Caos ao mercado fnancero, como apresenado em Abhyankar e al. (995). Os auores desacam, enreano, que nos ssemas não-lneares que apresenam dependênca sensível das condções ncas, o conhecmeno do mecansmo gerador dos preços pode ser nsufcene para garanr o lucro, já que a acuráca da prevsão pode degenerar rapdamene aé dar empo para que nvesdores execuem o negóco, ndcando que esses conceos são de críca mporânca para a Hpóese dos Mercados Efcenes. Essas consaações rouxeram conseqüêncas mporanes ao uso dos radconas modelos economércos lneares de prevsão de séres fnanceras. Como noam Agurre e Agurre (997), se, de fao, as séres fnanceras são caracerzadas pela presença de não-lneardades, pode-se conclur que () modelos lneares deermníscos são ncapazes de capar as ncerezas presenes na sére observada e () esses modelos não podem reproduzr, de modo ssemáco, as osclações presenes na sére. A ulzação desses modelos passa a ser, enão, naproprada. Dessa forma, a aenção volou-se para formulação de modelos não-lneares de prevsão de séres emporas 4, os quas, de uma perspecva eórca, seram mas apos a capurarem não-lneardades presenes nas séres fnanceras, e, porano, fornecerem uma prevsão acurada. Segundo Clemens e al. (2004) a raconaldade da ulzação de modelos nãolneares derva do fao de que modelos lneares possuem um desempenho nferor na capura de ceros pos de comporamenos econômcos. Nesse sendo, a exsênca de um ou mas regmes do po recessão e expansão, no caso das varáves macroeconômcas, ou ala e baxa volaldade, no caso das varáves fnanceras, jusfcara a ulzação de modelos não-lneares. Segundo os auores, a medda que as 4 Um conceo formal de ssema não-lnear e modelo não-lnear de prevsão é apresenado na seção 2. do capíulo 2.

19 6 meodologas de esmação, seleção e valdação de modelos não-lneares avançarem, é de se esperar uma melhora sgnfcava em seu desempenho predvo. Um pono mporane a ser salenado refere-se à ulzação de séres emporas fnanceras de ala freqüênca 5 nos esudos envolvendo prevsão dos reornos. Dada sua recene dsponbldade para esudos acadêmcos, séres de ala freqüênca êm recebdo desaque na leraura especalzada em prevsão de séres emporas. Em ermos geras, anda são poucos os esudos que ulzam essa modaldade de sére emporal na esmação e valdação dos modelos de prevsão. Deve-se, enreano, ressalar que a dsponbldade de séres de ala freqüênca raz algumas vanagens mporanes, que devem ser exploradas. Do pono de vsa eórco, a grande quandade de observações dsponíves orna os eses de presença de não-lneardades nas séres mas robusos, enquano que do pono de vsa práco orna-se possível o esabelecmeno de esraégas de negocação nra-da..2 Formulação do problema de pesqusa A leraura relaconada à prevsão de séres emporas fnanceras em regsrado, desde a década de 90, mporanes avanços relaconados à ncorporação de novas meodologas que enam deermnar padrões de relaconamenos presenes nos dados do mercado fnancero. Essas meodologas, em sua maora compuaconalmene nensvas, caracerzam-se pela capacdade de denfcação e prevsão de ssemas dnâmcos não-lneares, ou seja, ssemas em que as varáves do ambene possuem um complexo padrão de ner-relaconameno que se alera ao longo do empo. Esse aspeco em esmulado pesqusadores de dversas formações a aplcarem novas abordagens de denfcação de ssemas em város problemas da área de Fnanças, como por exemplo, precfcação de opções (Freas e Souza, 2002), prevsão de falênca de empresas (Malhora e Malhora, 2002) e, prncpalmene, prevsão de séres emporas fnanceras (Rubo e al., 2002; Tsah e al., 998). Essas abordagens não-lneares êm procurado respaldo eórco no crescene relao de presença de nãolneardades em séres fnanceras, o que de alguma forma jusfcara a sua ulzação. Nesse sendo, novas abordagens êm sdo proposas no nuo de capurarem nãolneardades nas séres emporas fnanceras. Imporanes avanços em análse não-lnear de séres emporas como os processos esocáscos não-lneares ARCH e GARCH 5 Sére formada por observações coleadas denro do da, com uma deermnada freqüênca, por exemplo, mn., 5 mn, hora.

20 7 (Engle, 982; Bollerslev, 986), modelos deermníscos não-lneares com dnâmca caóca (Schenkman, 990), análse não-paramérca (Debold e Nason, 990), redes neuras (Haykn, 200; Granger, 995), modelos auo-regressvos não-lneares (Ocal, 2000) e com ransção suave (van Djk e Terasvsra, 2000; Erhem e Terasvra, 996), modelos Markov de mudança de regme (Hamlon, 994) além de modelos de prevsão anda pouco dfunddos enre os economersas, como os ssemas nebulosos e algormos genécos (Coelho e Sanos, 2003) êm reacenddo o neresse acerca da nãolneardades em dados fnanceros, abrndo novas possbldades para prevsão de reorno dos avos. De um pono de vsa esramene eórco, a ulzação de modelos não-lneares na prevsão de séres fnanceras aparena ser perfeamene jusfcável, dada mensa gama de rabalhos empírcos aesando a presença de não-lneardades nesse po de sére (ver, por exemplo, LeBaron, 994; Agurre e Agurre, 997; Abhyankar e al., 995). Enreano, a afrmação de que esses modelos produzem prevsões mas acuradas que modelos lneares radconas não pode ser da com ana veemênca. Djk e Franses (2003) colocam que, em muos rabalhos, apesar da subsancal evdênca de nãolneardade em dados denro-da-amosra, o uso de modelos não-lneares raramene raduz-se em prevsões mas acuradas para dados fora-da-amosra. Em um dos rabalhos mas referencados na leraura, Sock e Wason (999) analsam um conjuno de 49 modelos lneares e não-lneares, conclundo que os modelos lneares geralmene vencem a compeção pela melhor prevsão. Resulados semelhanes são enconrados por Swanson e Whe (995) e Debold e Nason (990). Váras razões para esse po de resulado êm sdo sugerdas na leraura. Ramsey (996) e Djk e Franses (2003) aponam algumas delas, como por exemplo: ) a nãolneardade deecada em séres emporas pode ser espúra, no sendo de que ouras caraceríscas presenes em séres emporas como heeroscedascdade, quebras esruuras ou presença de oulers podem sugerr a presença de não-lneardade; ) modelos não-lneares produzem prevsões ponuas nferores aos modelos lneares, enreano cosumam apresenar nervalos de prevsão mas precsos que seus concorrenes. Djk e Franses (2003) conra-argumenam, afrmando que o aparene desempenho nferor dos modelos não-lneares pode esar relaconado a um créro mprópro usado na avalação das prevsões obdas por as modelos. Abhyankar e al. (995), ulzando uma sére com observações de ala freqüênca do índce da Bolsa de Valores do Reno Undo (FTSE-00), denfcam a presença de dependênca não-lnear em odas as freqüêncas (prncpalmene de mn. e

21 8 5 mn.) enreano pare da não-lneardade enconrada na sére pode ser explcada por um fao eslzado na leraura em fnanças: a varânca condconal dos resíduos (processo ARCH e suas varanes). Em ouras palavras, a não-lneardade esá em pare mascarada por um processo de heeroscedascdade condconal auo-regressva. Bollerslev e al. (992) salenam que, uma vez removdos os efeos GARCH de uma sére emporal, eses usuas de não-lneardade endem a acear (ou rejear a um baxo nervalo de confança) a presença de lneardade na sére. O problema do créro de avalação do desempenho predvo dos modelos é analsado em Lech e Tanner (99). Realzando eses empírcos de prevsão das axas de juros nore-amercanas, os auores concluem que créros de avalação convenconas baseados na mensuração do amanho do erro de prevsão não apresenam relação ssemáca com lucros. Segundo Lech e Tanner (99, pg ) É nauralmene melhor analsar dreamene os lucros do que examnar uma varável que esá, no máxmo, ndreamene relaconada aos lucros. Economsas geralmene assumem que empresas usam prevsões porque elas auxlam os lucros. Dessa forma, um ese de acuráca de prevsão mas aproprado é a lucravdade, e não o amanho do erro de prevsão ou o seu valor ao quadrado. Dessa forma, nos esudos dreconados à prevsão de reornos, orna-se neressane o esabelecmeno de uma esraéga de negocação baseada nos resulados prevsos pelo(s) modelo(s) ulzado(s) e a avalação dos ganhos obdos em comparação a uma esraéga smplsa de negocação do po buy-and-hold. Ramsey (996) salena que os modelos não-lneares são capazes de fornecer um melhor ajusameno à sére emporal, enreano um bom ajusameno não necessaramene leva a uma boa prevsão. A causa dsso resde no fao de que um bom ajusameno sgnfca que o modelo consegue fazer aproxmações locas do ssema, enquano que uma boa prevsão requer um conhecmeno de propredades globas. Desa forma, os modelos não-lneares esão sujeos a grandes erros (ponuas) de prevsão, em função da sua sobre-especalzação ou sobre-ajusameno em relação à sére emporal, ou anda devdo a sua grande sensbldade em relação a valores (condções) ncas. Vale desacar que muos esudos como, por exemplo, Andrada-Felx e al. (2003), Franses e Grensven (998), Kuan e Lu (995), Leung e al. (2000), Dasgupa e al. (994) e Olson e Mossman (2003) a modelagem não-lnear de redes neuras fo superor

22 9 aos modelos lneares na prevsão das séres econômcas e fnanceras. De forma semelhane, os rabalhos de Ocal (2000), ulzando modelos do po STAR (Smooh Transon Auo-Regressve), Mederos e al. (2002) e Boero e Marrocu (2002) ulzando modelos SETAR (Self Excng Threshold Auo-Regressve), obveram erros de prevsão nferores aos modelos auo-regressvos lneares radconas. Esses resulados ornam conroverso o debae acerca dos benefícos da ulzação de modelos não-lneares de prevsão de séres emporas. Duas abordagens relevanes, enre anas ouras, para a prevsão do comporameno de ssemas complexos em fnanças são os ssemas nebulosos e as redes neuras. Nos úlmos anos, pesqusadores (Tseng e Tzeng, 2002; Von Alrock, 2002; León e al., 2002) êm proposo um varado especro de meodologas de denfcação e prevsão não-lnear baseadas em ssemas nebulosos, a car os modelos nebulosos do po Takag-Sugeno (TS) para ldarem com ssemas não-lneares, mal defndos e que apresenam ncerezas. Dervada ncalmene da eora clássca dos conjunos, a qual ulza como prncípo básco a déa de que um elemeno perence ou não-perence a deermnado conjuno, a eora dos conjunos nebulosos fo desenvolvda a parr de 965 por Lof Zadeh para raar do aspeco vago da nformação (Sandr e Correa, 999). O prncípo da ncompabldade, deermnado por Zadeh, afrma que quando a complexdade de um ssema aumena, nossa capacdade de fazer afrmações precsas e sgnfcavas sobre ele dmnu aé um lmar no qual a precsão e a relevânca ornamse caraceríscas muuamene exclusvas (Cox, 994). Poserormene, surgram os denomnados ssemas nebulosos, que são modelos não-lneares de denfcação e prevsão de ssemas que ulzam conceos da eora dos conjunos nebulosos. As redes neuras, por sua vez, êm recebdo consderável aenção nos úlmos anos em função de suas habldades em realzar aprendzagem, sendo aplcadas em um grande número de suações. Em prevsão de séres emporas, dversas meodologas ulzando redes neuras êm sdo proposas na leraura (Narenda e Parhasarahy, 990; Agurre, 2004) e resulados neressanes em problemas da área de Fnanças êm surgdo (Wong e Selv, 998). Do sso, uma quesão anda conroversa colocada aos pesqusadores da área de prevsão de séres emporas refere-se ao ganho na acuráca de prevsão decorrene da ulzação de modelos não-lneares em conrapono aos modelos lneares radconas. Aé que pono a rejeção da hpóese nula de presença de lneardade em séres fnanceras jusfca a ulzação de modelos de prevsão não-lneares? Mas mporane:

23 0 será que a ulzação de modelos não-lneares, em sua maora de maor complexdade, gera uma melhor prevsão do que os modelos lneares radconas a pono de superar a sua ulzação? Nesse sendo, esse esudo vsa, em pare, replcar rabalhos anerores que compararam a capacdade predva de modelos lneares e não-lneares, como, por exemplo, os esudos de Sock e Wason (999) e Djk e Franses (2003). Preende-se fornecer uma conrbução com relação à meodologa e aos créros de avalação da prevsão, além de dscur em que medda a possível presença de não-lneardade nas séres pode nfluencar na sua prevsbldade..3 Objevos.3. Objevo geral O objevo geral dese rabalho é verfcar se modelos não-lneares de prevsão de séres emporas são capazes de gerar uma prevsão fora-da-amosra mas precsa que modelos lneares radconas. Os modelos não-lneares a serem analsados serão as redes neuras percepron mul-camadas e as redes neuras do po função de base radal e os ssemas nebulosos Takag-Sugeno, enquano que os modelos lneares serão os modelos auo regressvos (AR), modelos méda móvel (MA), modelos auo regressvos de méda móvel (ARMA) e modelos auo regressvos de méda móvel consderando heeroscedascdade condconal auo regressva dos resíduos (ARMA-GARCH). Serão ulzadas séres de reorno da axa de câmbo Real/Dólar coleadas nas freqüêncas de 5 mn., 60 mn., 20 mn., dára e semanal. Nas séres de ala freqüênca (5 mn., 60 mn., e 20 mn.) o período observado va de 0/0/2002 a 0/0/2003. Nas séres com freqüênca dára e semanal, o período observado va de 0/0/2000 a 0/0/2004. A déa subjacene ao esabelecmeno desse objevo geral é enar fornecer mas uma conrbução eórca e empírca à quesão relava ao uso de modelos não-lneares em dermeno de modelos lneares. Enquano que parcela dos esudos empírcos mosra que modelos não-lneares conseguem uma prevsão fora-da-amosra mas acurada que modelos lneares (Kaashoek e van Djk 2002; Andrada-Félx e al., 2003; Kuan e Lu, 995), oura parcela dos esudos chega à conclusão oposa (Sock e Wason, 999; Neely e Weller, 2003; Swanson e Whe, 995), ornando a quesão conroversa. Dessa forma, esse esudo preende conrbur para elucdação dessa quesão.

24 .3.2 Objevos específcos Os objevos específcos dese rabalho de pesqusa vsam: ) Verfcar se a prevsbldade esá relaconada com a freqüênca com que a sére é observada; ) Verfcar aravés de eses esaíscos a presença de não-lneardades nas séres analsadas; ) Esabelecer créros de avalação da capacdade dos modelos em realzar prevsões um-passo-a-frene, de modo que se possa escolher, denre cada caegora, qual modelo obeve melhor desempenho; v) Esabelecer uma esraéga de negocação baseada nas prevsões geradas pelos modelos analsados, de modo a verfcar se esraégas baseadas em modelos nãolneares são capazes de gerar um reorno ajusado ao rsco superor às esraégas baseadas em modelos lneares; e v) Esabelecer uma relação enre sgnfcânca esaísca e sgnfcânca econômca das prevsões obdas.

25 2 2 Modelos economércos de prevsão de séres emporas Nese capíulo serão dealhados os modelos unvarados de prevsão de séres emporas ulzados no esudo. Incalmene, uma defnção formal de modelo economérco lnear e não-lnear será fornecda. Em seguda, serão defndos os modelos lneares esmados no rabalho e, na seqüênca, os modelos não-lneares de redes neuras e os ssemas nebulosos do po Takag-Sugeno. De acordo com Inrlgaor (983), os modelos economércos podem ser lneares ou não-lneares nas varáves e/ou nos parâmeros. Por exemplo, um modelo de 2 regressão do po Y = β + β 2 X + ε, onde β e β 2 são parâmeros e ε é o ermo de erro aleaóro, pode ser consderado como um modelo não-lnear nas varáves, porém lnear nos parâmeros. Já o modelo parâmeros e lnear nas varáves. Y β + β + ε é um modelo não-lnear nos = 2 X Inrlgaor (983) noa que os prmeros modelos economércos formulados são lneares, e que a hpóese de lneardade concenra-se exclusvamene nos parâmeros. Para o auor a premssa da lneardade desempenhou papel mporane ao permr a demonsração de eoremas maemácos e esaíscos fundamenas para modelos economércos, nclundo esmação de parâmeros e ulzação de modelos de análse esruural, prevsão e avalação de polícas. Enreano, o uso de modelos economércos não-lneares nos parâmeros em se ornado comum graças a evolução da compuação e da análse numérca, que faclaram a esmação desses modelos. Os modelos lneares e não-lneares podem anda ser classfcados como paramércos e não-paramércos. Nos modelos paramércos a forma de relaconameno funconal enre as varáves é conhecda e os parâmeros desses modelos são passíves de serem esmados por algum créro, como máxma verossmlhança. Nos modelos não-paramércos, exse a ausênca (complea e ou quase complea) de conhecmeno a

26 pror a respeo da forma da função que esá sendo esmada. Dessa forma, mesmo que a função seja esmada a parr do ajuse de parâmeros lvres, o conjuno de formas que a função pode assumr (classe de funções que o modelo pode prever) é muo amplo. Segundo Campbell e al. (997), em análse lnear de séres emporas, a seqüênca de choques ε a qual esá sujea a sére emporal observada x é assumda ser nãocorrelaconada com ela mesma e com a própra sére x, mas não necessaramene ser ndependene e dencamene dsrbuída (IID). Já em análse não-lnear de séres emporas, a seqüênca de choques ε é pcamene assumda ser IID, mas busca-se uma possível função não-lnear relaconando-a à sére x. Uma represenação geral é 3 dada por 6 x f ( ε, ε,...) =, 2 ε (2.) onde os choques são assumdos er méda zero e varânca unára, e f(.) é uma função desconhecda. Campbell e al. (997) noam que a generaldade desa represenação a orna dfícl de se rabalhar; em geral, a maora dos modelos cosuma recar sobre uma classe mas resra, que pode ser descra por x ( ε,...) ε h( ε, ε,...) = g, ε. (2.2) E A função g(.) represena a méda de x condconal à nformação passada, ou seja, [ x ] g( ε ε ) =, 2,.... A novação em x corresponde ao choque ε, e o coefcene de proporconaldade é represenado pela função h(.). O quadrado dessa função é a varânca de x condconal à nformação passada, ou seja, E 2 [( x E [ x ]) ] h( ε ε ) 2 =, 2,.... Modelos com uma função g(.) não-lnear são dos não-lneares em méda, enquano que modelos com uma função são dos não-lneares em varânca. 2 h (.) não-lnear 6 Essa represenação faz uso do Teorema de Represenação de Wold, o qual assegura que qualquer sére emporal pode ser represenada como um processo méda móvel dos ncremenos, os quas represenam a varânca ncondconal e a auocovarânca da sére.

27 2. Modelos lneares Modelos AR, modelos MA e modelos ARMA Segundo a defnção proposa por Box e Jenkns (976), Nelson (973) e Pndyck e Rubnfeld (99), pode-se defnr um processo auo-regressvo com p defasagens AR(p) como y = φ 0 + φ y φ p y p + ε. ou p Φ p(l) y, onde Φ p( L) = ( φl... φpl ) (2.3) (2.4) onde { e } é um ruído branco normalmene dsrbuído com méda zero e varânca consane σ 2. Os ermos φ,..., 0, φ φ p são parâmeros e L é o operador de defasagem defndo por L p y = y. Por sua vez, um processo méda móvel com q defasagens p MA(q) pode ser defndo como y y = µ + ε + θ ε... θ ε + θ2ε q q ou q = µ + Θ ( L) ε, onde Θ L) = ( + θ L θ L ) q q( q (2.5) (2.6) onde θ,... θq são parâmeros e L segue a defnção aneror. Generalzando, um processo auo-regressvo de méda móvel, ARMA(p,q), pode ser escro como y = φ + φ y... θ ε φ p y p + ε + θε + + ou Φ ( L) y = φ 0 + Θ ( L) ε p q q q (2.7) (2.8) A esmava dos parâmeros dos modelos ARMA é realzada da segune forma 7. Seja um veor β que represena os parâmeros p e q (φ e θ) a serem esmados e w o veor de varáves y e ε que compõem os ermos do modelo ARMA. O procedmeno consse em escolher valores numércos de β que mnmze T 2 [ ε w, β ] = [ ] S( β ) = ε, = = T 2 (2.9) 7 Os procedmenos de esmação dos parâmeros dos modelos ARMA são dscudos em Pndyck e Rubnfeld (99).

28 5 onde [ ε ] denoa os erros condconas aos valores de w e β. Expandndo [ ] sére de Taylor em orno de valores ncas de β 0, emos ε em uma ε β [ ] [ ] ( ) [ ] ε ε w, β 0 + β β,0 β = β0 + = 2 p + q = ( β β ) T = [ ε ] β β = β0 + + (2.0) onde β, 0 é o valor do prmero canddao para o parâmero β, e dessa forma o -ésmo componene do veor 0 β. [ ] da expansão de Taylor. Tem-se enão ε pode ser aproxmado aravés dos prmeros dos ermos e x = [ ε ], β = β0 β [ ε ] [ ε w β ], 0 =, 0. (2.) (2.2) Segue-se enão que, aproxmadamene, p q [ ] = [ ε ] ( β ) +, 0 β,0 = ε x,, (2.3) que pode ser reescro como p+ q p+ q [, 0 ] + β,0x, = β x, + [ ε ] ε. = = (2.4) Os parâmeros β da equação 2.4 podem ser esmados aravés de uma regressão lnear. Aravés do méodo dos mínmos quadrados ordnáros (MQO) é fea uma nova esmava βˆ de β. Em seguda, usando uma nova expansão de Taylor de [ ε ] em orno dos valores de ˆβ, é obda um nova versão da equação 2.4, que ambém pode ser esmada aravés de MQO. Esse processo é repedo sucessvamene aé que

29 6 ˆ β ˆ 0, (2.4) k β k onde k é o número de erações requerdas aé que a convergênca ocorra. a esmava fnal dos parâmeros φ,,φ p e θ,,θ q. βˆ k será enão 2..2 Modelos ARMA-GARCH A maora das séres fnanceras não apresena méda consane ao longo do empo, além de exbr fases de relava ranqüldade sendo segudas por fases de ala volaldade. Modelos ARCH e GARCH são especalmene concebdos para modelagem e prevsão de varânca não-consane. De acordo com Fang e Xu (2003), modelos auoregressvos lneares de méda móvel consderando heeroscedascdade condconal (modelos ARMA-GARCH) ornam a varânca dos resíduos prevsível, capurando faos eslzados do segundo momeno dos reornos. Um processo ARMA(p,q)-GARCH(p,q) pode ser defndo como um processo ARMA(p,q) do po Φ ( L) y = φ 0 + Θ ( L) ε (2.5) p q onde o processo gerador de { e } é dado por ε = v h, v ~IID(0,) e q p = αε β = = h α h. (2.6) (2.7) Como { v } é um processo ruído branco ndependene das realzações passadas de e - e a varânca condconal de e é dada por varânca condconal de ε em (2.7) é dada por h. 2 E ε = h, podemos conclur que a A esmação dos parâmeros de um modelo GARCH é usualmene fea aravés da maxmzação de uma função log-lkelhood (Enders, 995). Supondo que a varânca condconal de ε seja dada por

30 h 2 = α 0 + αε ( y βx ) 2 = α 0 + α 7 (2.8) é possível enconrar os valores dos parâmeros α 0, α e β aravés da maxmzação da função log = ( T / 2) ln( 2 ) (/ 2) ln h (/ 2) T 2 π h ( y βx ). = = T (2.9) A maora dos pacoes economércos radconas é capaz de seleconar valores para os parâmeros que maxmzem a função log. 2.2 Modelos não-lneares Uma represenação geral de um modelo não-lnear é dada por: ( x δ ) ε y = ϕ, + (2.2) onde x e δ são varáves explcavas, ε é o componene de dsúrbo esocásco e ϕ é uma função que assoca varáves dependenes à varável y. De acordo com Terasvra e al. (999), a parr dessa defnção geral, os modelos não-lneares se subdvdem em:. Modelos auo-regressvos não-lneares, envolvendo apenas funções das varáves dependenes (modelos unvarados). Tpcamene, apenas funções maemácas smples êm sdo consderadas (ex. funções seno, co-seno, logísca ec);. Modelos de função de ransferênca não-lneares, usando funções da varável dependene defasada e funções de varáves explcavas defasadas e correnes;. Modelos blneares, dados pela relação y = j, k β j, k y jε k. Quando acrescdos do produo de uma varável explcava x e um ermo resdual defasado, em-se os modelos blneares mulvarados; v. Modelos méda móvel não-lneares, formados pela soma de funções dos resíduos defasados ε, ε,..., ε ; j v. Modelos duplamene esocáscos, formados pelos produos cruzados a varável dependene defasada e as varáves explcavas correnes e defasadas.

31 8 Ouras classes mporanes de modelos não-lneares são os modelos NARMAX polnomal e raconal, modelos de Wener, waveles, Hammersen e Volerra, apresenados em Agurre (2004) e Coelho (2000). Nese esudo, a ênfase será dada aos modelos unvarados auo-regressvos nãolneares. Uma represenação geral desses modelos é dada por y = p j= j j ( y y ) α ϕ,..., ε. j p + (2.3) onde ϕ(.) é um conjuno de funções que assoca as varáves defasadas à varável correne. Terasvra e al. (999) observam que quando a função ϕ(.) é a função logísca ( x) = [ + exp( x) ] adane. ϕ em-se o modelo de redes neuras, que será dealhado 2.2. Redes neuras arfcas Uma rede neural arfcal, ou smplesmene rede neural (RN), pode ser defnda como uma esruura compuaconal projeada para mmezar de forma rudmenar a manera pela qual o cérebro humano desempenha uma parcular arefa do seu neresse (Haykn, 200). Devdo a sua naureza nduva, as RNs podem sobrepor a formulação eórca radconal e nferr relações não-lneares complexas enre as observações de uma sére emporal. Desa forma, arqueuras de RNs êm recebdo consderável aenção nos úlmos anos em função de suas habldades em realzar aprendzagem, sendo aplcadas em um grande número de suações e demonsrando desempenho superor às abordagens convenconas. A prncpal caracerísca de uma RN é a capacdade de aprender, aravés de um deermnado po de renameno, campos específcos de conhecmeno. Porugal e Fernandes (995) noam que as RNs são bem aplcadas em suações onde poucas decsões êm que ser omadas a parr de uma grande quandade de dados e suações onde um complexo mapeameno não-lnear deve ser aprenddo. Como o cérebro humano, as RNs são consuídas por um conjuno de undades de processameno conecadas enre s denomnadas de neurônos. A fgura 2. apresena um modelo genérco de neurôno arfcal proposo ncalmene por McCullogh e Ps (942), em que X, X 2 e X 3 correspondem aos valores de enrada e Y equvale ao valor de saída do neurôno. Após a mulplcação dos valores de enrada pelos respecvos

32 9 pesos W, W 2 e W 3 os produos obdos são somados, resulando no poencal de avação, represenado por v. Poserormene, o valor de v é submedo a uma função de avação, cujo resulado Y é o valor de saída do neurôno. A enrada da função de avação pode ser aumenada ou dmnuída por um elemeno exerno chamado de bas ou polarzação Fgura 2. Modelo genérco de um neurôno arfcal. X X 2 W W 2 Bas b k v Σ ϕ(.) Y X 3 W 3 Função de Avação Saída Enradas Maemacamene, pode-se escrever: v n = = w x e n ϕ ( v bk Y = ( w x ) + bk = Y = ) + ϕ (2.4) A função de avação, represenada na equação acma por (.), em como objevo lmar, denro de uma escala de valores, a amplude do snal de saída. Tpcamene, o nervalo normalzado da amplude da saída de um neurôno é escro como o nervalo fechado [-v, +v]. O quadro 2. a segur raz os prncpas pos de funções de avação menconadas na leraura. A função de avação mas comum na consrução de RNs é a função sgmóde, que é defnda como uma função esramene crescene que exbe um balanceameno adequado enre comporameno lnear e não-lnear (Haykn, 200).

33 Quadro 2. Tpos prncpas de funções de avação. Tpo de Função Lmar Lnear Mapeameno Enrada-Saída se v 0 ϕ ( v) = 0 se v < 0 ϕ ( v ) = v 20 Sauração + se ϕ ( v) = v se se Sgmóde * ϕ ( v) = + exp( av) v> v [-,] v< Tangene hperbólca * O parâmero a ndca a declvdade da função sgmóde. e ϕ ( v) = e v v e + e v v A habldade de uma RN em realzar prevsões sobre uma deermnada sére emporal ou reconhecer padrões em um conjuno de dados provém de sua capacdade de aprendzado sobre o ambene no qual esá nserda. O problema do aprendzado consse em enconrar, aravés de um processo neravo (onde cada enrada provoca uma resposa) e eravo (reerado), um conjuno de parâmeros lvres que possble à rede o desempenho desejado. Em ouras palavras, deve-se enconrar o ajuse dos pesos snápcos W e do nível de bas que produzam o menor nível de erro enre a resposa desejada e a resposa esmada pela rede (no caso de uma sére emporal) ou a melhor fronera de separação (decsão) enre padrões presenes em um conjuno de dados. As formas báscas de aprendzagem realzada por uma RN são:. Aprendzado supervsonado: para cada padrão de enrada fornecdo pela rede deve-se fornecer ambém a saída esperada aé que uma lgação adequada enre os dados de enrada e os dados de saída seja enconrada. A RN é exposa a um veor de reno exraído do ambene e um supervsor exerno fornece a resposa desejada para ese veor específco, que é o resulado ómo que a rede devera apresenar;. Aprendzado não-supervsonado: somene os padrões de enrada são fornecdos, fcando a cargo do ssema descobrr soznho padrões específcos da população de enrada. Aravés de denfcação de regulardades esaíscas nos dados de enrada, a rede desenvolve a habldade adapar os pesos de suas conexões para