ESTIMAÇÃO DA VOLATILIDADE PARA A SÉRIE DO IBOVESPA: APLICAÇÃO DE MODELOS DE MEMÓRIA CURTA

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1 XXX ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Maurdade e desafos da Engenhara de Produção: compevdade das empresas, condções de rabalho, meo ambene. São Carlos, SP, Brasl, a5 de ouubro de. ESTIMAÇÃO DA VOLATILIDADE PARA A SÉRIE DO IBOVESPA: APLICAÇÃO DE MODELOS DE MEMÓRIA CURTA Carlos Albero G. Slva (CEFET-RJ) gon.slva@sof.com.br : O presene esudo examna o processo de volaldade de reornos do Ibovespa, ulzando modelos de memóra cura, compreendendo o período 7 de abrl de a 7 de agoso de 9. Os resulados empírcos mosraram reações de perssêncca e assmera na volaldade, ou seja, os choques negavos e posvos êm mpacos dferencados sobre a volaldade dos reornos de acordo com os modelos EGARCH(,) e TARCH (,), que foram obdos por ajusameno dos dados. Com base no créro do menor erro quadráco médo (REQM), o modelo escolhdo para a prevsão da volaldade de reornos do Ibovespa fo o GARCH(,). A soma dos parâmeros de reação e de perssênca fo gual a,9764 ou seja, bem próxmo de, ndcando que um choque na volaldade de reornos do Ibovespa no nsane nfluencará a volaldade nos nsanes segunes, ou seja, erá um efeo perssene. Palavras-chaves: volaldade, modelos de memóra cura, prevsão.

2 . Inrodução O objevo dese argo é avalar a volaldade condconal da sére dos reornos dáros do Ibovespa obda por meo dos modelos de memóra cura (GARCH, EGARCH E TARCH). Também é nvesgada a sazonaldade no comporameno das varações das séres de ponos na sua volaldade, com a nclusão de varáves dummy. A pesqusa fo realzada ulzando-se a sére dos reornos dáros do Ibovespa compreendendo o período 7 de abrl de a de feverero de 9. A segur realza-se um breve comenáro de alguns rabalhos ulzando modelos de memóra cura. Moa e Fernandes (4), compararam modelos da famíla GARCH com esmadores alernavos baseados em coações de aberura, fechameno, máxmo e mínmo. Os resulados ndcaram que os esmadores alernavos são precsos quano aos modelos do po GARCH. Moras e Porugal (999) apresenaram modelos da famíla GARCH que capam dferenes efeos observados em séres fnanceras, as como a aglomeração da varânca, o efeo leverage e a perssênca na volaldade. Nese esudo é comparada a esmava da volaldade do índce Bovespa obda por processos deermníscos e esocáscos, abrangendo rês períodos conurbados: a crse do Méxco, a crse Asáca e a moraóra Russa. Os resulados do esudo mosraram que ambos os processos conseguem prever a volaldade. Cosa e Cerea (999) examnaram a nfluênca de evenos sobre a volaldade nos mercados de ações da Amérca Lana, ulzando o modelo GJR-GARCH(,)-M. O esudo ulza índces dáros dos mercados de ações e abrange um período compreenddo enre janero de 995 e dezembro de 998. Os resulados obdos sugerem que a nfluênca dos evenos negavos é superor a dos evenos posvos na maora dos países analsados. Em relação à aplcação de séres fnanceras, város auores brasleros e nernaconas desenvolveram rabalhos, ulzando os modelos de memóra cura (condconalmene heeroscedáscos), pode-se car Duare, Pnhero e Hel (996), Busamane e Fernandes (995), Almeda e Perera (999), Issler (999), Badya e Cosa (999), Barcnsk e al (997), Engle e Bollerslev (986), Bollerslev, Ray e Kenneh (99) e Slva (6).. Procedmenos Meodológcos. Teses Ulzados.. Teses de Dckey-Fuller Aumenado (ADF) e Phllps e Perron Para esar a esaconaredade das séres, serão ulzados nese rabalho, os eses ADF (Dckey Fuller Aumenado) (979) e Phllps e Perron (988). no sendo de verfcar a exsênca ou não de raízes unáras nas séres emporas. O ese de Dckey-Fuller Aumenado (ADF) com consane e endênca, consse na esmação da segune equação por Mínmos Quadrados Ordnáros (MQO): Y Y p Y

3 onde: = operador de dferenças ( Y Y ) ; Y = consane; = componene de endênca do modelo; = coefcene que perme esar a esaconaredade (se =, Y em uma raz unára); p = o número de ermos defasados a nclur no modelo; = ermo de erro aleaóro ou perurbação esocásca. O ese Phllps e Perron (PP) ambém é usado para nvesgar a presença de raz unára da sére. O que dfere enre os dos eses é o fao de que o ese Phllps-Perron garane que os resíduos são não correlaconados e possuem varânca consane. Ao conráro do ese Dckey-Fuller Aumenado, o ese de Phllps-Perron não nclu ermos de dferenças defasadas, mas pode ambém nclur ermos de endênca e um nercepo... Tese de Normaldade da Sére: Jarque-Bera (JB) O ese de normaldade Jarque-Bera (JB) é baseado nas dferenças enre os coefcenes de assmera e curose da sére e os da le normal, servndo para esar a hpóese nula de que a amosra fo exraída de uma dsrbução normal. Para a realzação dese ese, calcula-se, prmeramene a assmera e a curose dos resíduos e ulza-se a esaísca de ese: S JB n 6 ( C 3) 4 onde JB é o ese Jarque-Bera, S é o coefcene de assmera das observações, C é o coefcene de curose das observações e n é o número de observações. Sob a hpóese nula de normaldade, a esaísca JB segue a dsrbução qu-quadrado com dos graus de lberdade. Se o valor de JB for muo baxo, a hpóese nula de normaldade da dsrbução dos erros aleaóros não pode ser rejeada. Se o valor de JB for muo alo, rejea-se a hpóese de que os resíduos ou erros aleaóros se comporam como uma dsrbução normal. Se o valor p da esaísca qu-quadrado calculada for sufcenemene baxo, pode-se rejear a hpóese de que os resíduos êm dsrbução normal. Se o valor p for alo, acea-se a hpóese de normaldade.. Modelos de Memóra Cura Ao conráro dos preços, a volaldade não é dreamene observado no mercado, podendo apenas ser esmada no conexo de um modelo.. Assm, é possível a obenção de dferenes valores de volaldade ulzando-se um mesmo conjuno de dados, basando ulzar modelos dsnos, que são, em grande pare, eorcamene bem fundamenados. No caso, específco dese argo, opouse por comparar a capacdade predva dos modelos de memóra cura (GARCH, EGARCH e TARCH), sobre os quas será efeuado um breve comenáro a segur. 3

4 No rabalho ncal de Engle (98) é proposo o prmero modelo a raar da varânca condconal em séres fnanceras, ou seja, o modelo ARCH (Auoregressve Condonal Heeroscedascy), o qual explca que a varânca da sére no nsane condconada pelo passado (volaldade) depende de,... da segune forma:... p p p. onde é a varânca condconal de dado o passado, é uma consane e coefcene de reação assocado a, =,..., p. é o A proposção orgnal, elaborada por Engle (98), mereceu exensos debaes e dversos aperfeçoamenos ao longo dos anos. Bollerslev (986) erá consaado que muas aplcações de modelos ARCH a séres reas conduzem a valores para p muo elevados exgndo, assm, muas resrções aos parâmeros do modelo para garanr a posvdade das varâncas. Já Bourbonnas e Terreza (8) mosram que um processo ARCH só é jusfcado aé a ordem p = 3, superor a 3 usam-se os modelos GARCH, que apresenam melhores resulados. O modelo GARCH proposo por Bollerslev (986) é uma generalzação do modelo ARCH. Ese modelo adcona a ordem do componene ARCH(p) e a ordem do componene GARCH (q). O modelo GARCH (p,q) pode ser expresso da segune manera: p q j onde: = varânca condconal no período = consane; = coefcene de reação da volaldade; j j = ermo de erro defasado em um período; = coefcene de perssênca da volaldade. v = varânca condconal defasada de um período. A vanagem do modelo é que ele coném poucas resrções nos parâmeros. As condções para a varânca ser posva e fracamene esaconára são:, e., O coefcene alfa ( ) mede a exensão em que um choque no reorno hoje, afea a volaldade do reorno do da segune, enquano que o coefcene bea ( ) for alo o choque da varânca condconal leva mas empo para dsspar-se oalmene. A soma ( ) revela a medda de perssênca da volaldade, ou seja, quando a volaldade dos reornos é ala hoje, é provável que a volaldade será ala no período segune (fuuro). Isso mosra que a ala perssênca, o choque enfraquecerá lenamene. 4

5 O modelo GARCH (p,q) capura correamene dversas caraceríscas observadas nas séres hsórcas fnanceras, as como a lepocúrca e o agrupameno de volaldade, não capura o efeo de alavancagem, pos a varânca condconal é função apenas das magnudes das novações e não dos seus snas (Brooks, ). Assm, surgram ouros modelos com a capacdade de capar a assmera, as como os modelos EGARCH e TARCH. O modelo EGARCH (Exponenal Generalzed Auoregressve Condonal Heeroscedascy) proposo por Nelson (99), consse em capar os mpacos assmércos nas séres de dados, não endo que exgr-se a posvdade dos coefcenes. A varânca condconal do modelo EGARCH é dada por: ln( ) q j ( ln j j p v onde é o coefcene que capa o efeo assmera da volaldade do ermo de defasagem. Se, ndca ausênca de assmera na volaldade. Se, ndca um mpaco dferencado de choques negavos e posvos na volaldade. Se, ndca presença do efeo alavancagem. O coefcene ndca a perssênca de choques na volaldade. j Um modelo mas smples, para a capação do efeo alavancagem, onde choques posvos e negavos no mercado geram mpacos dferenes sobre a volaldade nas séres fnanceras, fo apresenado por Glosen, Jagannahan e Runkle (993) e poserormene mplemenado por Zakoan (994), denomnado por TARCH (Threshold ARCH). Nese modelo, a varânca condconal é dado por: w p q j j d v onde mede o efeo assmera, d é uma varável dummy e é o ermo de erro no empo -, com a denoar a defasagem. A varável dummy d assume o valor gual a, se (más noícas no mercado), e o valor gual a se (boas noícas no mercado). Nese modelo, a volaldade ende a aumenar com as más noícas e a dmnur com as boas noícas. Assm sendo, as noícas posvas no mercado êm o mpaco enquano as noícas negavas êm o mpaco. Se, as noícas negavas êm um efeo menor do que as noícas posvas. Esse é o conhecdo efeo leverage. O choque da noíca no nsane é assmérco se e smérco se. O méodo empregado para a esmação dos modelos apresenados anerormene é o da máxma verossmlhança. 5

6 3. Análse dos Resulados Empírcos Nese esudo foram ulzados dados referenes às coações dáras do Ibovespa, na Bolsa de Valores de São Paulo, no período de 7/4/ a //9, num oal de 94 observações. Os dados foram coleados juno ao se Yahoo/fnanças. As fguras e mosram o comporameno das séres de coações (ponos) e reornos dáros do Ibovespa no período consderado. Os reornos dáros foram calculados aravés da fórmula: r ln( P ) ln( P ). Sendo que P represena a coação no da e P a coação no da aneror (-) Algumas esaíscas descrvas báscas são apresenadas na abela. Observa-se que os reornos dáros no período analsado apresenam uma dsrbução lepocúrca devdo ao excesso de curose (6,539) em relação à dsrbução normal(3,). A esaísca de Jarque-Bera ndcou a rejeção da normaldade da dsrbução da sére, com p-valor =, A parr do ese Dckey-Fuller Aumenado (ADF) e Phllps-Perron (PP), com consane e com endênca, confrmaram que a sére de reornos dáros do Ibovespa é esaconára e não coném raízes unáras, conforme se observa na abela. A parr do ese Dckey-Fuller Aumenado (ADF) e Phllps-Perron (PP), com consane e com endênca, confrmaram que a sére de reornos dáros do Ibovespa é esaconára e não coném raízes unáras, conforme se observa na abela Fgura - Sére de ponos dáros do Ibovespa Fgura Sére de reornos dáros do Ibovespa Esaíscas Méda Medana Máxmo Mínmo Desvo padrão Valores,564,, ,96,38 Esaíscas Assmera Curose Jarque-Bera p-valor JB Observações Valores,6838 6, , 94 Fone: Elaborada pelo auor. Tabela Sumáro esaísco dos reornos. 6

7 Varável Dckey-Fuller (ADF) Phllps-Perron (PP) Valor Críco (5%) Ibovespa - 46,959-47,36-3,48 Tabela Tese de esaconardade para a sére dos reornos do Ibovespa. Fo modelada uma sére de modelos de memóra cura (famíla ARCH), no sendo de observar a dnâmca da volaldade do reorno do Ibovespa. Assm sendo, foram calbrados doze modelos odos com ruído branco. Na abela 3 consam os modelos seleconados com base nos valores AIC (créro de nformação de Akake) e SBC (créro de Schwarz Bayesano). Modelos AIC SBC GARCH (,) - 5,78-5,3 EGARCH (,) - 5,4-5,3 TARCH (,) - 5,49-5,365 Tabela 3 Modelos Seleconados O passo segune fo esmar os parâmeros dos modelos para a sére de reornos dáros do Ibovespa. Os resulados obdos para os modelos GARCH(,), EGARCH(,) e TARCH(,) enconram-se apresenados na abela 4. O sofware ulzado para esmar a regressão dos dados e dos modelos fo Evews 5.. Varânca GARCH (,) EGARCH(,) TARCH(,),886 (,) -,3735 (,) -,4 (,),66 (,) -,5 (,),6 (,),948 (,),8958 (,) d,94 (,). / / -,888 (,),38 (,) ln( ),97 (,) Fone: Elaborada pelo auor. Tabela 4 Resulados da esmação dos modelos. Os números enre parêneses são os valores de probabldade (p- value), calculados ao nível de sgnfcânca de 5%. 7

8 Observa-se no modelo GARCH(,), que os coefcenes esmados são esascamene sgnfcavos ao nível de 5%. A soma dos coefcenes e represenados respecvamene por e fo gual a,9764, ndcando que um choque na sére dos reornos do Ibovespa erá efeo por muo empo na volaldade deses reornos. O coefcene de perssênca da volaldade do ermo gual a,948, confrma que os choques da volaldade serão lenamene enfraquecdos dos reornos. Na abela 4, pode-se confrmar, pelo valor negavo e a sgnfcânca do parâmero do ermo /, do modelo EGARCH (,), e pelo valor posvo e a sgnfcânca do parâmero do ermo d, do modelo TARCH (,), que a sére de reornos do Ibovespa fornece evdêncas de assmera. Dessa manera, os resulados comprovam que a volaldade, no período analsado, apresena resposas dferenes a choques posvos e negavos. Para verfcar as meddas de avalação de desempenho da capacdade predva dos modelos, ulzou-se o créro de raz do erro quadráco médo. Os resulados obdos enconram-se apresenados na abela 5. Assm sendo, o melhor modelo para a prevsão da volaldade de reornos do Ibovespa fo o modelo GARCH(,). Como se pode verfcar aravés do modelo escolhdo, o coefcene de perssênca dado pela soma dos coefcenes ( ) apresena valor elevado, próxmo de, (um). Isso sgnfca que choques na volaldade de reornos do Ibovespa rão perdurar por um período demasadamene prolongado. Modelos GARCH(,) EGARCH(,) TARCH(,) REQM,399,43,4 Fone: Elaborada pelo auor. Tabela 5 Avalação de desempenho dos modelos de predção da volaldade. A fgura 3 mosra a prevsão da varânca pelo modelo GARCH (,). Pode-se consaar que a prevsão para a varânca condconal reflee o fao da soma dos parâmeros ser próxmo de, (um) Prevsão da Varânca Condconal Fgura 3 Prevsão da Varânca Condconal dos Reornos 8

9 De forma geral, pode-se observar que o mercado de ações na BOVESPA apresena uma assmera em sua volaldade, uma vez que choques negavos endem a se propagar de forma mas fore e em períodos mas exensos do que choques posvos, ou seja, a varação de preços no índce Bovespa é nfluencada por resulados de problemas econômcos do que por caraceríscas nerenes ao própro mercado. 4. Conclusões Nese esudo realzou-se uma análse empírca da volaldade da sére dos reornos dáros do Ibovespa, ulzando os modelos GARCH (,), EGARCH (,) e TARCH (,). Os modelos ulzados apresenam fores avanços meodológcos no raameno dos reornos do Ibovespa, servndo como ferramenas mporanes de gerencameno de rsco pelos nvesdores. Os reornos dáros da sére apresenaram uma dsrbução lepocúrca devdo ao excesso de curose em relação à dsrbução normal. A esaísca de Jarque-Bera ndcou a rejeção da normaldade da dsrbução da sére. Os resulados empírcos mosraram reações de perssênca e assmera na volaldade, ou seja, os choques negavos e posvos êm mpacos dferencados sobre a volaldade dos reornos, o que pode ser comprovado pelos modelos EGARCH (,) e TARCH (,). Com base no créro de raz do erro quadráco médo (REQM), o modelo escolhdo para a prevsão da volaldade da sére dos reornos do Ibovespa fo o GARCH(,). Observa-se que a soma dos parâmeros esmados e fo gual a,9764 ou seja, bem próxmo de, ndcando que qualquer urbulênca no mercado no decorrer do empo, os choques da volaldade levarão um longo empo para desaparecer. Referêncas ALMEIDA, N. M. C. G. e PEREIRA, P. L. V. Mudança de Regme em Volaldade: Os Modelos SWGARCH. Anas do XXI Enconro Braslero de Economera, 39-58, 999, BAIDYA, T. K. N. e COSTA, P. H. S. Modelagem de séres fnanceras brasleras: prevsão de preços de alguns avos. Revsa da Sobrapo, 999. BARCINSKI, A., ALMEIDA, B. C. D., GARCIA, M. G. P. e SILVEIRA, M. A. C. Esmação da volaldade do reorno das ações brasleras Um méodo alernavo à famíla GARCH. Revsa BM&F, 6, -39, 997. BOLLERSLEV, T., RAY, Y. C. e KENNETH, F. K.- ARCH modelng n fnance: a revew of he heory and emprcal evdence. Journal of Economercs, 5, 5-59, 99. BOLLERSLEV,T. - Generalzed Auoregressve Condonal Heeroskedascy. Journal of Economercs, 3(3), 37 37, 996. BOURBONNAIS, R. e TERRAZA, M. - Analyse des séres emporelles: Applcaons à l econome e à la geson. Dunod, Pars, 8. 9

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