TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO DE PROBLEMAS COM MÚLTIPLOS OBJETIVOS UM ESTUDO SOBRE O MÉTODO DE MINIMIZAÇÃO DE ENERGIA E SUAS VARIANTES

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1 TÉCNICA DE OTIMIZAÇÃO DE PROBLEMA COM MÚLTIPLO OBJETIVO UM ETUDO OBRE O MÉTODO DE MINIMIZAÇÃO DE ENERGIA E UA VARIANTE Mlon Jonahan Marco Aurélo Cavalcane Pacheco ICA: Núcleo de Pesqusa em Inelgênca Compuaconal Aplcada Deparameno de Engenhara Elérca Ponfíca Unversdade Caólca do Ro de Janero Ro de Janero Brasl ca@ele.puc-ro.br Mlon Jonahan Marco Aurélo Cavalcane Pacheco Resumo Ese rabalho em como objevo esudar um méodo para medr a apdão para problemas com múlplos objevos chamado Méodo de Mnmzação de Energa []. erá fea aqu uma análse do comporameno desse méodo ulzando algormos genécos, desacando seus ponos fores e fracos. Em seguda, são sugerdas modfcações no algormo orgnal, a fm de melhorar sua efcênca. Depos dsso, serão apresenados os resulados expermenas dessas mudanças, com as conclusões sendo feas sobre os benefícos proporconados. Palavras-chave: Méodo de Mnmzação de Energa, ulzando algormos genécos..inrodução Muos dos problemas do mundo real envolvem múlplas meddas de desempenho, ou objevos, que devem ser omzados smulaneamene. Infelzmene, no enano, é possível verfcar que há algumas dfculdades em se aplcar écncas de omzação a problemas dese po, ano écncas convenconas como ouras. De fao, a prncpal dfculdade resde no problema de que, de forma geral, as écncas são orgnalmene projeadas para problemas de um únco objevo, ou seja, problemas em que a sasfaoredade de uma dada solução pode ser medda aravés de um valor escalar. Esa caracerísca esá presene, por exemplo, na convenconal écnca de graden descen, assm como na écnca de smulaed annealng e ambém nos algormos genécos radconas, que serão o foco dese rabalho.

2 O que ocorre é que, ao se nclur múlplas meddas de desempenho para uma solução (.e., múlplos objevos), surge um problema para que se possa comparar apropradamene duas soluções dsnas: de que manera deve-se combnar as avalações de cada objevo de forma a se decdr correamene qual solução é superor?. Agregação de Objevos A esraéga de agregação de objevos corresponde ao méodo mas smples e dreo para a combnação de múlplas meddas de desempenho, conssndo smplesmene na méda ponderada em relação a cada objevo. Assm, a avalação F de uma deermnada solução será dada por: F = n = ω () f onde f represena a avalação da solução em relação a um deermnado objevo e w corresponde ao respecvo peso, para um oal de n objevos. Ese méodo possu a vanagem de ser basane fácl de ser mplemenado, além de ser exremamene efcene do pono de vsa compuaconal. Enreano, ele apresena ambém alguns séros problemas, denre os quas devemos desacar a dfculdade de se deermnar quas os pesos w mas adequados para um dado problema em parcular. Em realdade, para ceros problemas, os dferenes objevos podem ser consderados como sendo de mesma mporânca, e porano nesa suação orna-se naural a escolha de pesos w guas. Enreano, na maora dos casos a omzação de um deermnado objevo pode ser mas mporane do que a de ouro, ou anda ser mas complcada a defnção de qual objevo possu maor prordade. Desa forma, na práca, a aplcação do méodo de agregação de objevos para um problema em parcular ermna por exgr sempre um cusoso e cansavo processo de fne-unng, na qual o algormo é esado com dferenes conjunos de pesos aé que se obenham resulados sasfaóros..2 Domnânca e o Conjuno Pareo Ómo O problema de se comparar duas soluções dferenes pode ser resolvdo parcalmene aravés do conceo de domnânca. egundo ese conceo, defne-se que uma solução v domna oura solução u se e somene se para nenhum objevo a solução v possu uma avalação por do que a avalação em u. Além dsso, para pelo menos um objevo, a solução v deve apresenar uma avalação melhor do que a de u. Formalmene, esa domnação de v sobre u pode ser defnda por:

3 {,..., n}, v u {,..., n} v u, > (2) onde supõe-se um problema hpoéco de maxmzação de n objevos. Obvamene, em-se que, em parcular, uma solução v domna uma solução u quando ela apresena avalações superores para odos os objevos. Além dsso, caso uma solução não seja domnada por nenhuma oura, dz-se enão que ela faz pare do chamado conjuno Pareo Ómo. Desa forma, ese conjuno ermna por ser formado por odas aquelas soluções que, na fala de qualquer oura nformação acerca do problema, não podem ser consderadas com absolua cereza como sendo nferores a alguma oura: qualquer oura solução apresenará uma avalação nferor para algum objevo. De fao, exsem dversas meodologas de omzação de problemas com múlplos objevos que procuram enconrar o conjuno Pareo Ómo. Afnal, pode-se perceber faclmene que, qualquer que seja a solução óma para o problema, ele perencerá a ese conjuno com absolua cereza. Por ouro lado, esas écncas são, de forma geral, basane cusosas compuaconalmene, além do que só resolvem parcalmene o problema em quesão: afnal, de odas as soluções perencenes ao conjuno ómo, qual a mas desejável?.3 oluções Balanceadas e Técncas de Dsânca ao Alvo Na práca, é basane freqüene enconrar problemas do mundo real em que uma boa solução deve necessaramene aender sasfaoramene a odos os objevos em quesão. Nesas suações, não se consdera aceável uma solução que apresene uma avalação espeacular para um objevo mas que seja naceavelmene medíocre para oura. Como exemplo dso, podemos car o problema ípco de se omzar um produo de forma a mnmzar o seu cuso e maxmzar a sua qualdade. Num caso como esse, smplesmene não é aceável uma solução de cuso baxíssmo cuja qualdade seja medíocre. Em ouras palavras, é necessáro que se obenha uma solução mas balanceada, com o melhor compromsso possível enre cuso baxo e ala qualdade. Uma forma de se angr ese objevo consse em se avalar uma deermnada solução f aravés da dsânca enre o veor formado pelas avalações f e um veor-alvo user formado pelas avalações deas para cada objevo em separado. Formalmene, esa avalação pode ser descra por: N F = user f = p p p Desa forma, para p=, em-se a chamada manhaan dsance ou dsânca meropolana, que consse na realdade apenas de uma agregação lnear de objevos combnada com uma solução-alvo. Ulzando-se p=2, enreano, obém-se a mas (3)

4 comumene ulzada dsânca eucldeana. De fao, é possível perceber claramene que a avalação de soluções orna-se nese caso não-lnear, de modo que melhoras numa avalação f para um objevo não mas conrabalanceam de forma equvalene poras na avalação f j para ouro objevo. Efevamene, a forma quadráca faz com que uma solução não balanceada seja mas penalzada por apresenar um valor f dsane do alvo user, do que benefcada por er um ouro valor f j dsane de seu alvo user j. Desa forma, pode-se perceber que se exerce agora uma pressão de balanceameno, de modo que se orna mas dfícl que uma solução não balanceada seja consderada superor em relação a uma oura solução mas equlbrada. Em realdade, quano maor o valor de p ulzado, maor será a pressão exercda. Em ouras palavras, quano maor o valor de p, maores serão as penalzações dadas a soluções que apresenem desempenhos medíocres para algum objevo, de modo que cada vez mas se prorzem soluções que não compromeam fracassem em nenhum aspeco, mesmo que não sejam especalmene boas para nenhum objevo em parcular. Em especal, para o caso exremo de p, obém-se a écnca denomnada mnmax ou MnMax, na qual a avalação é de uma solução corresponde à dsânca máxma de algum dos n objevos em relação ao seu alvo, so é: ( user f ) F = max (4) Desa forma, a solução óma corresponderá, no caso de dos objevos, ao pono de nerseção enre as curvas de avalação de cada objevo, não sendo olerado nenhum desvo dese pono de equlíbro. 2 O Méodo de Mnmzação de Energa A esraéga do méodo de mnmzação de energa procura, em prmero lugar, resolver a prncpal nconvenênca do méodo de agregação de objevos, a escolha dos pesos de cada objevo. Além dsso, ambém esão ncorporados ao algormo as especfcações do usuáro, o que não é realzado de forma rval com as écncas que buscam o conjuno Pareo Ómo. O méodo, descro a segur, é projeado denro do conexo dos algormos genécos, e em como caracerísca básca a aualzação dos pesos ao longo do processo evoluconáro de forma a dar maor prordade aos objevos menos sasfeos pela população de soluções em geral. Em prmero lugar, a equação de agregação de objevos, vsa em (), é reformulada da segune forma: F = n = w Fnorm Nese caso, ulza-se um veor normalzado de apdões, Fnorm. A normalzação é usualmene mplemenada aravés da segune equação: (5)

5 f Fnorm = (6) f onde o denomnador represena a méda das avalações angdas pelas soluções da população em relação ao objevo. Baseando-se na equação de aualzação de pesos mplemenada no algormo de reropropagação do conexo de Redes Neuras Arfcas, a segune fórmula para o reajuse de pesos fo obda para esa esraéga: ω, + = k. α. ω, + k2.( α). e, (7) Esa equação ulza um índce adconal, que apona para uma parcular geração do algormo evoluvo. Porano, w,+ é o próxmo valor do peso assocado ao objevo. ese valor é compuado aravés do seu valor aual w, e de uma medda de erro, e,. Aqu, k e k 2 são consanes de normalzação, cujos valores serão deermnados conforme procedmeno lusrado a segur. A déa cenral desa forma de aualzação de pesos é arbur valores maores aos pesos correspondenes a objevos cujos erros assocados sejam maores. O cálculo do erro consdera a especfcação do usuáro da segune forma: e, user f, = (8) user Iso é, consdera-se a dferença enre as especfcações do usuáro para o objevo, user, e a apdão méda do objevo sobre a população no nsane. Desa forma o segundo ermo da equação (7) garane que os objevos cujos valores esejam mas longe da sasfação domnem a função de apdão defnda na equação (5). A prmera parcela de equação (7) produz um efeo análogo ao da aplcação do momeno no aprendzado de Redes Neuras Arfcas, uma vez que nroduz memóra ao ssema. Assm como no caso de Redes Neuras, o objevo da nclusão dese ermo é o de aumenar a esabldade do ssema. Nese caso, o uso do valor aneror do peso na equação de aualzação eva mudanças dráscas no valor do mesmo, que podem nroduzr osclações no algormo genéco. A consane α, presene na equação (7), é empregada para balancear as duas parcelas desa equação, podendo assumr valores enre 0 e. O algormo é ncalzado aravés da escolha de valores ncas para os pesos, cuja soma é dada por um valor nero w0 escolhdo pelo usuáro: n w = w (9) 0,0 =

6 O valor de w0 é neramene arbráro, não nfluencando no desempenho do ssema. Resa enão deermnar os valores das consanes de normalzação k e k 2. O objevo desas consanes é fazer com que a soma dos valores dos pesos w,, em um nsane arbráro, forneça uma medda do esado de convergênca do ssema em relação às especfcações do usuáro. Buscando nese caso uma analoga com Redes Neuras de Hopfeld, defne-se a segune grandeza escalar: E = n 2 w = Onde E corresponde à energa do ssema. A menos da prmera parcela de equação (7), cada peso é proporconal ao erro correspondene. Para que a prmera parcela da equação (7) seja ambém consderada, mpõem-se, como uma condção de conorno, que a soma de pesos seja proporconal à soma dos erros do ssema evoluvo em cada nsane, so é: (0) onde: n w, = k e, = k3e,. () 3 = w0 k 3 = (2) e0 onde e0 é a soma dos erros obdos na prmera geração e k 3 é uma consane de proporconaldade que leva em cona o efeo da escolha do valor de w0. Para que a soma dos pesos obedeça à relação acma, as consanes de normalzação devem assumr os segunes valores: k w, = k 2 = w, w, e, (3) Observa-se que, a compuação de w, é mplemenada anerormene ao cálculo dos valores dos pesos propramene dos. Desa forma garane-se que a energa forneça uma medda coerene do esado do ssema evoluvo. Porano, a mnmzação de energa corresponde ao processo de sasfação de múlplos objevos [].

7 3 Análse do Méodo e Alerações Proposas 3. Análse do Comporameno do Méodo A prncpal vrude do méodo de mnmzação de energa, sem dúvda alguma, resde na sua capacdade de se adapar à realdade enconrada de modo a maner sempre uma boa dversdade na população ao longo do processo evoluconáro. De fao, a consane prorzação dos objevos menos aenddos pela população de soluções em um dado nsane garane que, em nenhum momeno, uma geração seja consuída exclusvamene de soluções de um deermnado po, so é, soluções que sasfaçam muo bem um conjuno específco de objevos em dermeno de ouros. Assm, obém-se uma boa exploração do espaço de busca dsponível, o que aumena a robusez do algormo e perme uma efcênca muo maor em comparação com o méodo de agregação de objevos comum. Além dsso, eva-se ambém o ncômodo processo da escolha de um conjuno de pesos deal, como menconado anerormene. Por ouro lado, em problemas em que soluções balanceadas são desejáves, ese méodo não necessaramene converge para os resulados preenddos. De fao, ao prorzar dferenes objevos de cada vez, ele muas vezes provoca uma especalzação da população, com dferenes grupos se especalzando em sasfazer deermnados objevos. Assm, a cada aualzação dos pesos, um dferene grupo (ou espéce) passa a domnar o resane da população, de modo que a melhor soulução escolhda pelo algormo ermna por osclar enre dferenes soluções boas para dferenes conjunos de objevos, sem convergr para um resulado defnvo. Obvamene, caso exsa uma solução óma que domne odas as demas, o algormo em prncípo convrgrá para ela. 3.2 Alerações Proposas As modfcações aqu proposas êm, em prmero lugar, o nuo de alerar o coporameno do méodo descro na seção aneror de modo a evar que o algormo oscle, convergndo, ao nvés dsso, para uma solução defnva. Além dsso, desejase que o resulado fornecdo pelo méodo corresponda a uma solução balanceada, sem que nenhum dos objevos seja prejudcado excessvamene. Para ano, remos modfcar a equação fnal de avalação de uma solução (5), que calcula a avalação F de um ndvíduo aravés da agregação das avalações ndvduas Fnorm ponderadas pelos auas pesos w. Ao nvés de uma agregação, se ulzará como medda a dsânca enre o veor das avalações da solução para cada objevo e um veor de valores deas. Formalmene, enão, re-escrevemos a equação (5) combnando-a com a equação (3), obendo-se:

8 N F = w. e = p p p onde o ermo e corresponde ao erro da avalação da solução para um dado objevo, enquano p defne a forma como a dsânca enre veores será medda, como vso na seção.3. Desa forma, podemos dzer que, para um valor p=2, a avalação de um deermnado ndvíduo será dada pela soma ponderada dos erros quadrácos das avalações dese ndvíduo para cada objevo. Como descro anerormene, quano maor ese valor de p, maor será a pressão de balanceameno exercda pelo algormo. Nese pono, deve-se enfazar foremene que, para que esa avalação seja coerene, é mprescndível que os erros e sejam normalzados para valores comparáves enre s. Para ano, é necessáro que se perceba ambém que uma normalzação adequada deve, para um deermnado objevo, consderar o valor da avalação f de cada solução com relação ao espaço de busca exsene para ese objevo. Desa forma, dealmene, desejara-se que a melhor avalação possível para um objevo proporconasse e = 0, com a por avalação possível fornecendo e =. Em geral, enreano, ese espaço de busca exao não é conhecdo a pror, sendo necessáro que ele seja esmado a parr de resulados obdos ao longo do própro processo evoluconáro. Desa forma, valores como a melhor e a por avalação enconrada aé o momeno (bes e wors ) podem ser ulzadas para que se realze esa esmava, assm como a avalação méda da população avg, que fornece uma déa do que sera uma avalação razoável. Opconalmene, ambém podem-se ulzar os valores user fornecdos como alvo para esmar ese espaço de busca conforme desejado, embora eses possam nserr dsorções devdo à sua naureza arbrára. Assm, com esas observações em mene, propõe-se aqu que a normalzação dos erros seja dada pela segune equação: (4) e bes f = (5) bes avg onde bes corresponde à melhor avalação enconrada aé o momeno para o objevo, enquano que avg corresponde à avalação méda da população para ese objevo. 4 Resulados Expermenas Para medr o mpaco das alerações aqu proposas, esou-se o algormo em um complexo problema de evolução de crcuos elércos, o mesmo para o qual o méodo de mnmzação de energa fo ncalmene projeado [].

9 4. Problema de Evolução de Crcuos Elércos Ese problema de evolução de crcuos elércos consse bascamene na omzação de dversos parâmeros que especfcam um crcuo. Cada crcuo especfcado ao longo do algormo genéco é smulado e enão em a sua performance medda aravés de uma sére de ndcadores, as como ganho, área, dsspação, ec. Assm, eses dversos ndcadores correspondem aos objevos da omzação desejada, e valores deas desejados podem enão ser especfcados de modo a guar o processo evoluconáro conforme se quera. Uma defnção mas dealhada do problema pode ser enconrada em []. O algormo genéco aqu empregado conssu da mesma mplemenação ulzada em [], a menos das alerações já menconadas ao méodo de mnmzação de energa. Os parâmeros ulzados para os expermenos aqu realzados foram os segunes: Parâmeros geras Valores-Alvo (user ) População: 40 Ganho: 00 Gerações: 300 GBW: Rodadas: 3 Dsspação: 0 Crossover: 70% Pm: 60 Muação: 2,5% Área: 3000 Elsmo Topologa: BCMO Pressão de eleção com faor 0,75 Foram realzados eses de modo a comparar o algormo padrão orgnal com a sua versão modfcada, ulzando-se dsâncas eucldeanas (p=2). Os resulados obdos foram os segunes: Energa Geração Orgnal Modfcado

10 A energa aqu mosrada represena o quano o ssema esá próxmo da solução deal (energa zero ndca que os objevos foram odos alcançados). Aqu, vemos com clareza que o algormo modfcado apresena um nível de energa sensvelmene menor do que o orgnal. Ouro faor mporane que merece desaque é a menor osclação apresenada pela curva de energa do algormo modfcado. De fao, de forma geral o algormo modfcado apresenou melhores resulados em relação ao orgnal. Dos cnco objevos buscados, dos foram sensvelmene melhor omzados pelo novo algormo (área e dsspação), um apresenou um resulado fnal comparável (ganho), ouro eve melhor resulado no algormo orgnalveram melhores resulados (GBW), e o úlmo não apresenou resulado sasfaóro em nenhum dos dos casos (margem de fase). Mesmo assm, é possível perceber, em odos os casos, a maor esabldade proporconada pelo algormo modfcado, fazendo com que muo menos osclações ocorram ao longo do processo evoluconáro. Os gráfcos correspondenes a esses resulados são os segunes: Área Orgnal Modfcado Geração

11 Dsspação Orgnal Modfcado Geração Ganho Orgnal Modfcado Geração

12 GBW Orgnal Modfcado Geração Margem de Fase Orgnal Modfcado Geração

13 5 Conclusões Após analsarmos os resulados obdos, pode ser concluído que as modfcações proposas ao méodo de fao surram um efeo posvo, melhorando a performance geral do algormo e, mas mporane do que sso, dmnundo drascamene as osclações presenes no modelo orgnal. Esas osclações podem causas muos nconvenenes, vso que assm se orna possível que o ndvíduo fnal evoluído por um GA de numerosas gerações seja basane nferor a ndvíduos de gerações anerores. Desa manera, o ganho de esabldade proporconado pelas alerações empregadas deve ser realmene consderado um resulado neressane. De fao, as alerações aqu defndas podem ser refnadas de modo a melhorar anda mas a performance do algormo. Em parcular, pode ser neressane a subsução da equação (4) pela segune relação: N F = = p p ( w. e ) p elevando-se não só o erro e mas ambém o peso w por p. Ouros ponos neressanes para um esudo mas aprofundado conssem no emprego de ouros valores de p e na ulzação de ouras formas de normalzação, não só na equação (5) de cálculo de erro para a avalação, como ambém na equação (8), onde se obêm os valores de erro empregados na aualzação dos pesos. (6) Referêncas. Zebulum, Rcardo.: ínese de Crcuos Elerôncos por Compuação Evoluva. Tese de Douorado. Deparameno de Engenhara Elérca da Ponfíca Unversdade Caólca do Ro de Janero (999) 2. Horn, Jeffrey: Mulcreron Decson Makng em Handbook of Evoluonary Compuaon. IOP Publshng Ld and Oxford Unversy Press (997) 3. Coello, Carlos A.: An Updaed urvey of GA-Based Mulobjecve Opmzaon Technques 4. Fonseca, Carlos M., Flemng, Peer J.: An Overvew of Evoluonary Algorhms n Mulobjecve Opmzaon. Evoluonary Compuaon, Volume 3, Number. prng (995) -6