5 Modelo de Previsão de Temperatura

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1 5 Modelo de Prevsão de Temperaura 5. Prevsão de Clma As varações do clma nfluencam os preços das commodes pela nfluênca na demanda. Todava, a correlação enre eses preços e o parâmero de clma não são perfeos, pos crcunsâncas além da demanda nfluencam o mercado, como legslação governamenal, equlíbro do mercado, rede de dsrbução, enre ouros. Asseldonk, 003, explca que no caso parcular da energa elérca, o clma é a prncpal nfluênca nesa demanda em parcular, o que evdenca a mporânca dos dervavos clmácos como ferramena para o gerencameno do rsco volumérco nese seor. O uso aproprado das prevsões podem aumenar a expecava de lucro e reduzr o rsco de perdas. O pono prncpal é que a prevsão pode ser usada para deermnar o melhor curso de ação e o dervavo de clma pode prevenr conra uma prevsão errada. O empo pode ser consderado como as condções em um dado local, da a da, com mudanças conínuas das condções amosfércas. O clma, ao conráro, é um sumáro esaísco dos evenos do empo ocorrdos em um dado mês, esação, ano ou mas. ormalmene, o clma é prevso em períodos que varam de horas a város meses. A nformação e a écnca ulzada pelo prevsor é foremene dependene do horzone de prevsão que se deseja. Conforme Dschel, 00b, as prevsões de empo são de curo-prazo e devem ser usadas em decsões que requerem um horzone pequeno de empo. o mercado de dervavos clmácos eles fornecem pouca nformação por causa do período da maora dos conraos negocados ser grande. Logo a prevsão clmáca é mas aproprada. o mercado de rsco do clma, o valor do nsrumeno é calculado pelas esmavas dos resulados fuuros e os dados relevanes são as probabldades dos evenos meeorológcos. Para esmar esas probabldades, o empo é projeado para a frene baseado nas décadas passadas e nas meddas da prevsão do clma. Sabe-se que prever o clma é uma arefa complcada por causa da exsênca de múlplas varáves que governam as caraceríscas do empo. o enano,

2 Capíulo 5 Modelo de prevsão de emperaura 44 olhando para o passado, podemos ober nformações precosas sobre o possível comporameno dese, pos é possível assumr um comporameno regular devdo as mudanças no clma segurem um cclo anual com cera varabldade, como explca Garca e Surzenegger, 00. Os faores clmácos serão sempre mprevsíves. Logo uma boa prevsão deve capurar a ncereza na esmação das probabldades dos múlplos cenáros possíves. Bascamene, para esmar a probabldade do clma projeam-se as séres hsórcas da varável modelada no fuuro, esmando-se uma prevsão desa. Os valores dos dervavos de clma são calculados com base na esmação da probabldade que podem se dferencar em cada caso por cona do desenvolvmeno das esmavas e das dferenes dscplnas dos modeladores e prevsores. Um dos maores problemas é enar achar uma manera unversal de mensurar as condções do clma envolvdas no negóco. 5.. Inrodução à Prevsão Meeorológca. As prevsões de mudanças nos preços do mercado fnancero são possíves e podem aé ser efcenes. o enano há um feedback enre a prevsão e o preço, o que, com o decorrer do empo, gera falha nas prevsões devdo as expecavas raconas dos agenes do mercado. O clma, por ouro lado, não é afeado pelas prevsões clmácas e os faores que governam o empo são consanes e ndependenes de qualquer nerferênca humana. Os conraos de dervavos clmácos são baseados em meddas precsas feas em esações ndvduas, e consequenemene as prevsões usadas na precfcação de dervavos clmácos êm que refler sso. ormalmene, as prevsões meeorológcas são dvulgadas sem uma defnção maemáca clara do que elas esão represenando. Para o objevo dese esudo é mas úl que as prevsões represenem a méda e a expecava da dsrbução dos cenáros fuuros. As prevsões podem ser obdas de dversas maneras e os usuáros da prevsão êm que esar apos a comparar as prevsões e defnr qual a melhor. Assume-se que a habldade no passado mplca na habldade no fuuro e comparando o modelo no passado podemos decdr qual modelo va se comporar

3 Capíulo 5 Modelo de prevsão de emperaura 45 melhor no fuuro. Ese pressuposo é razoável na maora das vezes, no enano o ssema de prevsão é connuamene aprmorado e por esse movo a decsão de qual prevsão ulzar deve esar sempre sendo revsa. Os méodos mas smples para medrmos a habldade da prevsão são os que envolvem a comparação das prevsões de emperaura com os valores observados. A prmera medda que vamos consderar é o vés e as ouras são o erro quadráco médo (RMSE), o erro absoluo médo (MAD) e o erro médo absoluo percenual (MAPE). Escrevendo a prevsão da emperaura no da como f, e a emperaura real como T, enão o erro de prevsão é dado por: e = f T O desvo na méda é defndo como a esperança dese erro. E ( e ) = E ( f T ) = E ( f ) E ( T ) Uma manera práca de esmar o vés na méda de uma prevsão é pegar a prevsão de das anerores e comparar com os das de observações e calcular o erro médo. e = e = = = ( f T ) = f T O RMSE e o MAE rão nos razer nformações sobre como a prevsão se compora em relação à méda durane o período analsado. O erro médo ao quadrado (MSE) de uma prevsão é defndo como: MSE = E [( ) ] f T E pode ser esmado para das de prevsão do passado como:

4 Capíulo 5 Modelo de prevsão de emperaura 46 MSE = ( f T ) = O RMSE é a raz quadrada do MSE e mede o amanho do erro de prevsão, assm como em a mesma undade dese. Uma alernava ao RMSE é o MAE, defndo como: MAE = E ( ) f T E esmado por: MAE = = f T Oura mporane esaísca a se consderar é o MAPE, que é o erro médo absoluo percenual. Ese é defndo pela equação abaxo: MAPE = n = f T T n *00 O MAE é menos afeado por erros grandes do que o RMSE e pode varar de uma aplcação para oura. O RMSE é foremene nfluencado pelo nível de varabldade da emperaura em uma locação parcular e por sso não pode ser consderado bom para comparação. Uma boa esaísca para comparação de ajuse enre os modelos é o MAPE pos é dado em valores percenuas. 5. Modelos de Prevsão Com o objevo de enconrar o modelo mas ajusado a sére e que ofereça uma boa prevsão, o presene rabalho pesqusou duas das prncpas écncas unvaradas benchmark, Hol-Wners e Box & Jenkns, e mas o ajuse pela Transformação de Fourer. o caso da modelagem por Hol-Wners fo ulzado

5 Capíulo 5 Modelo de prevsão de emperaura 47 um modelo sem endênca com cclo anual. Pela écnca de Box & Jenkns, a modelagem fo mplemenada a esruura SARIMA ao modelo, devdo a ncorporação do cclo anual verfcado. o ouro modelo a sazonaldade fo capada pela Transformação de Fourer. A nenção é averguar a capacdade predva do modelo 9 passo-à-frene (3 meses). Esse capíulo enconra-se subdvddo em rês pares. Prmero, coloca-se os aspecos eórcos relavos à modelagem Hol-Wners radconal. Poserormene, apresena-se as prncpas caraceríscas da modelagem de Box & Jenkns. Para fnalzar é exposo a modelagem pela ransformação de Fourer com algumas adapações para melhorar o ajuse do modelo. 5.. Hol-Wners A écnca Hol-Wners faz pare de um conjuno de modelos para a prevsão abrangdo pelo Méodo de Amorecmeno Exponencal (MAE), que normalmene é empregado para modelar endênca e/ou sazonaldade exsenes na sére emporal. Porano, neressa fazer uma breve descrção do MAE e, ao mesmo empo, jusfcar a necessdade de rabalhar com a sua forma sazonal na enava de ober prevsões melhores quando a referênca são dados dáros como os que esão sendo nvesgados. O Méodo de Amorecmeno Exponencal ganhou desaque em 970 possblando realzar a modelagem unvarada dos dados, so é, fazer as prevsões de uma sére consderando somene os seus valores defasados. São modelos de valdade local e, por sso, o horzone de prevsão não deve ser muo grande. Segundo Taylor (00), o MAE é um procedmeno basane dfunddo, especalmene em aplcações cujas séres necessam de um procedmeno auomáco de aualzação, devdo a robusez e a exadão de suas esmavas. O MAE corrge os pesos do conjuno de dados conforme a dade dos mesmos dando pesos maores às nformações mas recenes e pesos menores às observações mas angas. O méodo pode ser aplcado ano em séres não sazonas modelando apenas nível e/ou endênca (méodo de Brown), quano em séres sazonas (méodo de Wners).

6 Capíulo 5 Modelo de prevsão de emperaura 48 De acordo com o méodo de Brown, os modelos podem ser consanes (nível médo da sére consane no empo), lneares (quando a sére apresena alguma endênca no empo crescene ou decrescene) ou quadrácos (o modelo é represenado por uma função quadráca do empo). O MAE arbu pesos dferenes aos dados conforme a sua dade. Desa forma, nos modelos exsem os parâmeros (medda numérca que descreve alguma caracerísca da sére como nível, endênca e sazonaldade e que vara no empo sendo aualzado a odo nsane) e os hperparâmeros (quandade fxa e desconhecda que não vara no empo e que necessa ser prevamene esmada para se esmar o parâmero). Todo hperparâmero é obdo mnmzando o erro de prevsão 0 passo à frene. Um desdobrameno dos modelos de Brown é o méodo de Hol que consdera exclusvamene os modelos lneares. a modelagem de Hol há dos hperparâmeros: para a aualzação seqüencal do nível, α, e para a aualzação seqüencal da endênca, ß. Em se raando de séres sazonas, uma das alernavas do méodo de amorecmeno exponencal para realzar ese po de modelagem é aplcar a écnca de Wners. Cabe lembrar que sazonaldade refere-se a um po de repeção peródca defnda que esá relaconada às esações do ano. Segundo o méodo de Wners, a modelagem é fea ulzando valores dscreos, va faores sazonas, que caracerzam o período sazonal. Eses faores podem ser ncorporados aos modelos de forma adva ou mulplcava. Os esmadores dos faores sazonas são seqüencalmene defndos ulzando o méodo de amorecmeno exponencal. As equações de aualzação passam a consderar rês parâmeros e, respecvamene, rês hperparâmeros. A formulação do modelo Hol-Wners convenconal e sua respecva equação de prevsão seguem abaxo: Z = a + a ) * ρ + ε ( Onde ρ :são os faores sazonas. Z + τ Z ˆ + τ ( ) = E = E ( a + aˆ ) ρ Z τ + τ ε + Z + τ τ

7 Capíulo 5 Modelo de prevsão de emperaura 49 Zˆ ( ) = ( a ( ) ˆ a ( )) * m( ) ( ) + τ + ρ + τ A parr desa equação de prevsão odos os faores sazonas são esmados, mas somene aquele correspondene à nformação recebda é aualzado. Iso pode ser verfcado pelas equações abaxo. ível: â () ; hperparâmero α Z aˆ ( ) * ( )[ ˆ ( ) ˆ = α + α a + a ( )] ˆ ρ m( ) + ks ( ) Tendênca: â () ; hperparâmero β [ aˆ ( ) aˆ ( ) ] + ( β ) * aˆ ( ) aˆ ( ) = β * ; β [0,] Faores sazonas ρˆ j () j =,, 3,... ; hperparâmero γ Z ( ) = γ * + ( ) * ˆ ( ( ) ˆ( ) γ ρm a * ˆ m( ) ) ρ ˆ ρ * j ( ) = ˆ ρ ( ) j * ˆ j ( ) ˆ j ( ) ρ ρ = * S ; S * ˆ j ( ) j = ρ γ [0,] ˆ ) * Onde: ρ m( ( ) faor sazonal correspondene ao mês da nformação Z recebda; ˆ ρ * j ( ) = ˆ ρ ( ) ; j =,,...L; j m(): faores sazonas esmados e j não aualzados. É mporane salenar que para a soma dos faores sazonas se gualar ao comprmeno L da sazonaldade, é precso normalzá-los. A normalzação é úl por permr nerprear os faores. Sabe-se que para as séres não sazonas odos

8 Capíulo 5 Modelo de prevsão de emperaura 50 os valores são guas a um. Enão, supondo o caso da emperaura, no verão, os faores assumem índces maores que, ndcando um consumo acma da méda. o nverno, os valores nferores a mosram um consumo abaxo da méda esperada. Essa análse só é possível porque os faores sazonas esão normalzados. ese caso, a dferença enre ρ j ( ) e ˆ ρ ( ) esá sendo dsrbuída enre odos os L faores sazonas. A equação de normalzação é dada por: ˆ * j ˆ ρ j ( ) ˆ ρ ( ) = S ˆ j j ( ) = ρ j * L Uma vez apresenados os aspecos eórcos dos modelos pode-se parr para a sua avalação empírca. Para sso, é precso defnr as esmavas ncas dos parâmeros â (0), â (0) e dos faores sazonas C. Wners propõe as segunes equações: ( S + ) aˆ (0) ˆ = Z a (0) aˆ (0) = [ Z Z ] ( j) () [( j ) * S] C = Z Z ( S + ) * ˆ m( ) ( ) a (0) O méodo de amorecmeno exponencal possbla ober uma modelagem robusa devdo aos parâmeros serem aualzados a odo nsane, o que orna os modelos adapavos. Toda a eora da écnca radconal Hol-Wners evdenca que o méodo compora apenas um únco padrão cíclco relaconado às varações observadas na sére em vrude de mudanças nas esações do ano. As nformações exbdas nesa seção esão baseadas na leura de Monegomery, 976, e Souza, 983.

9 Capíulo 5 Modelo de prevsão de emperaura Box & Jenkns A compreensão da écnca Box & Jenkns (BJ) exposa nesse capíulo fo adqurda a parr de Box, G.E.P., Jenkns, GM, 970, Souza & Camargo, 004. O fundameno eórco da écnca de prevsão por Box & Jenkns é gerar um processo esaconáro de ª ordem passando um ruído branco por um flro lnear de memóra nfna. A déa é que um modelo com nfnos parâmeros não é mplemenável dado a mpossbldade de esmar amanha quandade de parâmeros. Assm, a modelagem BJ consse em enconrar a esruura de auocorrelação presene na sére emporal e a auocorrelação exsene enre os ermos do erro aleaóro. Desa forma, nfnos parâmeros são colocados como a razão de dos fnos parâmeros, como é exposo na dagramação abaxo:: a ψ (B) Z Z = ψ (B) a θ ( B) Ψ( B) = Φ( B) Ф (B) Z = θ (B) a θ ( B) Onde: ψ(b): nfnos parâmeros; : fnos parâmeros; sendo Ф(B) o Φ( B) parâmero da pare auorregressva (AR) e θ(b) o parâmero da pare méda móvel (MA) do modelo, que se refere à modelagem da auocorrelação enre os ermos do erro do modelo. Porano, modelar uma sére pelo méodo BJ consse em defnr a esruura ARMA mas adequada para descrever os dados em esudo. A condção essencal para a aplcação dessa écnca é que a sére seja esaconára de ª ordem. Caso conráro, do conjuno orgnal de dados, cra-se uma nova sére realzando sucessvas dferenças. Essas dferenças represenam o que se chama de dervada para uma varável dscrea. Se a sére em um crescmeno lnear, com a ª dferença fcará horzonal. Se o crescmeno é quadráco, será precso fazer a ª dferença.

10 Capíulo 5 Modelo de prevsão de emperaura 5 Maemacamene essas dferencações são represenadas pelo operador dferença d. O índce sobrescro d dz respeo ao número de dferenças que horzonalzam a sére, ornando-a esaconára de ª ordem. Z = d X. Onde: X é sére orgnal anes de aplcar as dferenças, d : operador dferença e Z: sére esaconára após aplcar as dferenças. O número de dferencações aplcadas à sére para orná-la esaconára é represenado na esruura de modelagem pela lera I. a práca execuam-se quanas dferenças forem necessáras para chegar a uma sére esaconára. Em geral, quando for precso aplcar 3 ou 4 dferenças, a sére não é adequada para ser modelada por Box & Jenkns. Porano, uma esruura ARMA(p,q) é ulzada para modelar séres orgnalmene esaconáras de ª ordem, sendo represenada pelo segune modelo: [Ф (B) X = θ (B) a] Já uma esruura ARIMA(p,d,q) é ulzada para modelar séres orgnalmene não esaconáras pela aplcação de sucessvas dferencações, sendo represenada pelo modelo abaxo: [Ф (B) d Xd = θ (B) a] Quando for precso nclur a componene de sazonaldade no modelo, sso pode ser feo recorrendo à modelagem SARIMA. Esa esruura, além de modelar a correlação convenconal das pares AR(p) e MA(q) do modelo, ambém observa a correlação presene enre os períodos sazonas. Porano, para descrever a sazonaldade exsem esmadores específcos com esa fnaldade para as pares AR(P) e MA(Q) sazonal. As leras maúsculas P e Q smbolzam a ordem sazonal do modelo. Esa ordem é denfcada observando exclusvamene os lags

11 Capíulo 5 Modelo de prevsão de emperaura 53 sazonas. A noação para represenar o modelo com um cclo sazonal e sua esruura são especfcados abaxo: SARIMA (p, d, q) * (P, D, Q)s = (φ, d, θ) * (Φ, D, Θ ) φ (B) Φ (BS) d D X = θ (B) Θ (BS) a As ordens p e q podem ser deermnadas respecvamene nos gráfcos desenhados pela FACP (função de auocorrelação parcal) e pela FAC (função de auocorrelação oal). Para ano, é precso esar aeno a forma de decréscmo da sére e em qual lag aconece o core brusco. Ese core se dá no lag cuja correlação é mas sgnfcava deermnando a ordem do modelo. O padrão eórco de um AR é represenado por um decréscmo exponencal na FAC e um core brusco na FACP no lag correspondene a ordem do modelo. O padrão MA é verfcado a parr de um core brusco na FAC e um decréscmo exponencal na FACP. o modelo ARMA verfca-se a presença de um core brusco ano na FAC quano na FACP. Com respeo a denfcação da ordem sazonal do modelo, o conceo descro no parágrafo aneror permanece o mesmo. Conudo, nese caso, apenas os lags sazonas devem ser avalados. Idenfcada a ordem do modelo, é precso ober as esmavas dos seus parâmeros. De acordo com Souza & Camargo, 004, na pare AR, os parâmeros são lneares e um méodo smples como o de Mínmos Quadrados Ordnáros resolvera faclmene o problema. Porém a pare MA do modelo não é lnear e exge méodos mas complexos para efeuar a esmação de forma sasfaóra. Sendo assm, uma écnca empregada para execuar essa arefa pode ser o Méodo de Máxma Verossmlhança que produz esmadores com mporanes propredades que os ornam araenes para gerar as esmavas. O fundameno eórco desa meodologa é que oda a nformação populaconal absorvda pelos dados enconra-se na função de verossmlhança desde que o modelo enha sdo denfcado correamene. Esmado o modelo é mporane verfcar a sua adequação para realzar as prevsões preenddas. Para sso exsem eses esaíscos baseados,

12 Capíulo 5 Modelo de prevsão de emperaura 54 prncpalmene, na análse dos ruídos que no caso represenam os erros de prevsão. Para sso são realzados eses e análses das esaíscas do modelo para ver o ajuse aos dados. Se a modelagem é boa, os ruídos devem formar uma sére do po ruído branco. O suação deal é enconrar o melhor modelo, sendo ese parcmonoso, ou seja, com menor número de parâmeros Transfomação de Fourer O presene esudo apresena uma adapação da ransformada de Fourer baseado em varações da meodologa de Campbell e Debold (00) para a prevsão de emperauras dáras. A ransformação mosrada na equação abaxo mapea a emperaura no domíno da freqüênca para ober nformações adconas que não esão dreamene dsponíves no formao do domíno emporal. πk F( k) = f ( ) e d Onde f() é a sére emporal orgnal e k é a freqüênca. A ransformação de Fourer busca a correlação enre f() e a funções seno e cosseno exponencal complexa de dferenes frequêncas. F(k) é proporconal a varânca explcada em f(). Pelo cálculo dos cefcenes de Fourer de dferenes freqüêncas, a sére emporal pode ser expressa como negras da amplude randômca e não correlaconada nas váras freqüêncas. A regressão é fea de acordo com o modelo proposo por Campbell e Debold (00), com adapações para um melhor ajuse do modelo aos dados prncpalmene na equação da varânca. Dessa forma a regressão é fea nos ermos de endênca, sazonaldade e cclo na sére de méda dára de emperaura orgnal. A ordem das harmôncas de Fourer e a exensão dos lags auorregressvos são seleconados pela análse especral e pelas esaíscas de ajuse a sére de dados, respecvamene. O foco da modelagem reca sobre o comporameno dnâmco da méda, com conrbuções vndas de componenes cíclcos, de volaldade e de endênca. A varação sazonal fo aproxmada ulzando a sére de Fourer e o componene

13 Capíulo 5 Modelo de prevsão de emperaura 55 cíclco da varânca por um processo GARCH. Dessa forma a esruura do modelo se compõe por consane, endênca, sazonaldade e cclo, represenado por uma função degrau de 365 das, como represenado na equação a segur: T = Cons + Tendênca + Sazonaldade + L l = ρ lt l + σ ε Tendênca = β m m Sazonaldade I d( ) = ( δ c, cos(π ) + δ s, 365 = d( ) sn(π )) 365 T 4 L d( ) d( ) = 0 + β + )) ( δc, cos(π ) + δ s, sn(π + ρ T + β = l σε σ = α 0 + αε. + φσ ε ~ d(0,) A equação pode ser consderada uma decomposção clássca de séres emporas, onde o erro é dsrbuído como uma varável padrão normal, ndependene e dencamene dsrbuída(..d.). A função degrau d() gera varáves dummy para cada da do ano, sendo que não foram consderados na anãlse os das 9 de feverero dos anos bssexos. O componene cíclco é adconado para a conablzação do comporameno auorregressvo de longoprazo, enquano que a capura do componene cíclco de curo-prazo é fea pela ulzação de lags auorregressvos. A esmação do modelo de regressão é realzada com dsúrbos modelados pelo processo GARCH por mínmos quadrados ordnáros.