Multi Objective Evolutionary Algorithm Applied to the Optimal Power Flow Problem

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1 36 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 8, NO. 3, JUNE 00 Mul Objecve Evoluonary Algorhm Appled o he Opmal ower Flow roblem E. A. Amorm, S. H. M. Hashmoo, F. G. M. Lma, Member IEEE and J. R. S. Manovan, Member IEEE Absrac Ths wor presens he applcaon of a mulobjecve evoluonary algorhm (MOEA) for opmal power flow (OF) soluon. The OF s modeled as a consraned nonlnear opmzaon problem, non-convex of large-scale, wh connuous and dscree varables. The volaed nequaly consrans are reaed as objecve funcon of he problem. Ths sraegy allows aendng he physcal and operaonal resrcons whou compromse he qualy of he found soluons. The developed MOEA s based on he heory of areo and employs a dversy-preservng mechansm o overcome he premaure convergence of algorhm and local opmal soluons. Fuzzy se heory s employed o exrac he bes compromses of he areo se. Resuls for he IEEE-30, RTS-96 and IEEE-354 es sysems are presens o valdae he effcency of proposed model and soluon echnque. Keywords Mulobjecve Evoluonary Algorhm, Opmal ower Flow, Mulobjecve Opmzaon. I. NOMENCLATURA e j : Índces das barras e geradores. e l : Índces das funções objevo. N e G : Conjunos de barras e de geradores do ssema, respecvamene. C, C e C 0 : Coefcenes de cuso do -ésmo gerador. g eq g : oêncas ava e reava gerada pelo -ésmo gerador. e L Q : oêncas ava e reava demandada pela - L ésma barra. V (, θ, ) : Injeção líquda de poênca ava na barra. QV (, θ, ) : Injeção líquda de poênca reava na barra. mn g e : Capacdades mínma e máxma da geração g de poênca ava do -ésmo gerador. mn Qg e Q : Capacdades mínma e máxma da geração g de poênca reava do -ésmo gerador. V e θ : Magnude de ensão e ângulo de fase na barra. : -ésmo ransformador com conrole auomáco de aps. S : Banco de capacor/reaor shuns na -ésma H Os auores agradecem a FUNECT e CNq (rocesso 3506/007-5) pelo fnancameno dese projeo de pesqusa. E. A. Amorm, S. H. M. Hashmoo e F. G. M. Lma perencem ao epo. de Engenhara Elérca, Unversdade Federal de Mao Grosso do Sul UFMS, Campo Grande - MS Brasl, elzee.amorm@gmal.com; selma_hashmoo@yahoo.com.br; flavo@del.ufms.br. J. R. S. Manovan perence ao epo. de Engenhara Elérca, UNES, Ilha Solera - S, Brasl, man@dee.fes.unesp.br. barra. mn V e V : Lmes nferor e superor da magnude de ensão na -ésma barra. : Fluxo de poênca aparene sobre a lnha j. S j S : Capacdade máxma de fluxo poênca j aparene sobre a lnha j. mn e mn S H e g ref Δu u e mn mn r e : Lmes nferor e superor do -ésmo ransformador com conrole auomáco de aps. S : Lmes nferor e superor do H capacor/reaor shuns na -ésma barra. e oênca ava gerada e capacdade máxma g ref : de geração de poênca ava na barra slac. : Tamanho do passo de dscrezação. u : Lmes nferor e superor das varáves dscrea. r : Lmes nferor e superor referenes à axa de recombnação. mn m e m : Lmes nferor e superor referenes à axa de muação. g e n : Índces e número máxmo de gerações. mn f ( x ) : Valor mínmo da -ésma função objevo. f x : Valor máxmo da -ésma função objevo. ( ) II. INTROUÇÃO ESTE rabalho desaca-se a aplcação dos algormos Nevoluvos mulobjevo (AEMO) para a solução do problema de fluxo de poênca ómo (FO). A aplcação de écncas de omzação no planejameno e operação dos ssemas elércos de poênca se jusfca devdo ao fao de que é alamene vanajoso para as concessonáras de energa elérca operarem seus ssemas de uma manera óma, ou pelo menos omzada o quano seja possível, para aender os créros écncos de segurança e redução de cusos dos nvesmenos e operação. O FO [] represena uma vasa classe de problemas que na área de planejameno de ssemas elércos de poênca buscam omzar uma ou mas função objevo enquano sasfaz um conjuno de resrções físcas e operaconas. Sob o aspeco da pesqusa operaconal, raa-se de um problema de omzação combnaoral complexo de grande pore que possu caraceríscas como não-lneardade, não convexdade, váras resrções e varáves dscreas. Além desas caraceríscas, o FO apresena múlplas soluções locas e resrções nãolneares e desconínuas o que orna o problema um desafo para os pesqusadores da área de planejameno e operação de

2 AMORIM e al.: MULTI OBJECTIVE EVOLUTIONARY 37 ssemas elércos. Na leraura especalzada enconram-se dferenes écncas para a solução do problema de FO. enre esas écncas desacam-se as meodologas convenconas as como programação lnear, programação não-lnear, relaxação lagrangeana, méodos de ponos nerores, programação quadráca, enre ouras [-4]. O sucesso desas écncas depende da convexdade do problema, mas devdo à naureza do problema de FO (não-convexo e não-dferencável) os algormos baseados nessas hpóeses não guaranem enconrar o ómo global. orano, os méodos convenconas que fazem uso de dervadas não são, em geral, capazes de localzar ou denfcar o ómo global. Adconalmene, para a aplcação desses méodos são necessáras algumas hpóeses como funções objevo dferencável e convexa. Salena-se, anda, que neses méodos os resulados obdos dependem das aproxmações ao ómo consderado no níco do processo eravo e, que eles não são efcenes na resolução de problemas com espaços de busca de naureza dscrea. esa forma, orna-se ndspensável o desenvolvmeno de écncas de omzação capazes de superar eses nconvenenes e raar com efcênca as dfculdades. Em conrase com os méodos convenconas, os Algormos Evoluvos (AEs) [5] ncam a busca de ómos locas ou global a parr de uma população de soluções poencas gerada de forma aleaóra e guam a procura com base em mecansmos e/ou regras probablíscas. Eses algormos não ulzam nenhuma nformação referenes às prmeras e/ou segundas dervadas da função objevo e/ou resrções e podem ulzar mecansmos que permem enconrar múlplos ómos locas (se exsrem) numa únca execução. Esas caraceríscas fazem com que eses algormos sejam parcularmene efcenes na resolução de muos problemas reas, em que o espaço de busca muas vezes coném um elevado número de ómos locas e/ou mas de uma solução óma. or ouro lado, são capazes de resolver problemas que apresenam espaço de busca dscrea onde não é possível garanr as condções de dferencabldade e connudade. No enano, quando o problema de omzação é resro, caso do problema de FO, os operadores orgnas de busca dos AEs não garanem a obenção de soluções váves. Esudos sobre o desenvolvmeno e uso de AEs para a solução de problemas resros são recenes e de acordo com [6], a solução de problemas desa classe lma o uso dos AEs em sua forma orgnal, prncpalmene pelo fao de não exsr a garana de que a facbldade será manda após a recombnação ou muação. Na leraura exsem alguns procedmenos que podem ser adoados para raar os problemas resros, as como: écncas de penalzação, reparação de soluções nváves, raameno por múlplos objevos, operadores genécos modfcados e alerações na formulação do problema [7], [4]. Nese rabalho, as resrções de desgualdade voladas são raadas como funções objevo do problema. esa forma, o problema orgnal é ransformado em um problema de omzação mulobjevo que aende as resrções físcas e operaconas sem compromeer a qualdade das soluções enconradas. A solução do problema é deermnada aravés de um algormo evoluvo mulobjevo (AEMO) baseado na eora de areo [8-0]. O AEMO explora uma esraéga elssa para preservar as soluções não-domnadas enconradas e um mecansmo de preservação da dversdade para evar a convergênca premaura do algormo e soluções ómas locas. Além dsso, um procedmeno de desacoplameno mplíco das varáves de conrole é explorado para evar que um objevo seja melhorado em dermeno de ouros. O desacoplameno mplíco das varáves de conrole é realzado durane os processos de recombnação e muação. ara exrar a melhor solução compromsso do conjuno areo-ómo ulza-se um mecansmo de decsão baseado na eora dos conjunos fuzzy [-3]. A efcênca e robusez do AEMO são demonsradas aravés de resulados obdos com os ssemas ese IEEE-30 [4], RTS-96 [5] e IEEE-354 [6]. III. FORMULAÇÃO O ROBLEMA E FLUXO E OTÊNCIA ÓTIMO O problema de FO consse em deermnar um conjuno de varáves de esado e conrole omzadas da rede elérca, a parr dos dados de carga e dos parâmeros físcos e opológcos do ssema elérco de poênca. Ese problema é caracerzado maemacamene como um problema de omzação não-lnear resro, não-convexo e de grande pore (com mlhares de varáves e resrções), com varáves conínuas e dscreas podendo ser formulado como: Mn C( g) + C ( g) + C0 () G sujeo a:, V, = 0 N () ( θ ) g L ( θ ) Q Q Q, V, + S = 0 N (3) g L H G (4) mn g g g Q Q Q G (5) mn g g g V V V N (6) mn j Sj S, j N (7) N (8) mn S S S N (9) mn H H H A função objevo () represena o aspeco econômco do ssema elérco e na práca represena o índce a ser omzado no despacho econômco, na qual cada undade geradora é represenada por uma curva de cuso de geração em função da poênca ava gerada. As resrções de gualdade () e (3), ambém, chamadas de resrções de carga de um problema de FO, correspondem às equações não-lneares do fluxo de poênca clássco e represenam a relação enre as varáves dependenes e as varáves ndependenes. As resrções de desgualdade (4)-(9) são ncluídas no problema

3 38 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 8, NO. 3, JUNE 00 para represenar os lmes físcos dos componenes ou aspecos de segurança relaconados à operação do ssema. IV. TRATAMENTO AS RESTRIÇÕES E ESIGUALAES E ALGORITMOS EVOLUTIVOS A presença de resrções de dversas naurezas nroduz uma complexdade adconal para resolver o problema de omzação aravés dos AEs por dvdr o espaço de soluções em duas classes: soluções facíves (que aendem a odas as resrções smulaneamene) e soluções nfacíves (que volam uma ou mas resrções). Além dsso, os conjunos de soluções facíves e nfacíves podem ser não-convexos e nãoconecados (ver Fg. ). y do problema. esa forma, o problema ()-(9) é ransformado em um problema e de omzação mulobjevo e reescro como segue: A. Mnmzação dos cusos da geração de poênca ava f = Mn C ( ) + C ( ) + C g g 0 G (0) B. Mnmzação das volações da capacdade da geração de poênca ava { gref gref } h = Mn 0, () C. Mnmzação das volações da capacdade da geração de poênca reava p x h = Mn ΔQ G () g G a d e c Em que: mn mn Qg Qg, Qg < Qg Δ Qg = Qg Qg, Qg > Qg 0, caso conráro Fgura : Espaço de busca. Em sua forma orgnal, odas as resrções pernenes ao problema de FO são não-lneares. Enreano, da mesma forma que na solução do fluxo de poênca convenconal, a lnearzação sucessva das equações envolvdas pode ser aplcada, assm como o desacoplameno físco enre as varáves referenes à poênca ava - ângulo da ensão e poênca reava - módulo da ensão pode ser vanajosamene explorado. Mas, quano mas aproxmações forem realzadas no modelo maemáco menos precsa e longe da realdade será a solução do problema de FO. Na maora das mplemenações de AEs para solução do problema de FO, as resrções voladas são adconadas à função objevo do problema aravés das écncas de penaldades. Todava, penalzar as resrções não sasfeas reduz a apdão do ndvíduo e sua probabldade de parcpar do processo de evolução. or ouro lado, é quesonável se a penaldade deve mpor que odos os ndvíduos nfacíves sejam por que quasquer ouros ndvíduos facíves. or exemplo, o pono nfacível y na Fg. esá muo mas próxmo do pono ómo x que os ponos facíves a, d e c, conseqüenemene, o pono y (mesmo sendo nfacível) pode fornecer nformações mas valosas se seleconado, mas devdo a uma políca de penalzar em demasa os ponos nfacíves a probabldade dese pono ser seleconado para a recombnação e muação é muo baxa. Nese rabalho, para aender as resrções físcas e operaconas, sem compromeer a qualdade das soluções enconradas propõem-se raar as nfacbldades ocorrdas no conjuno de resrções de desgualdade como funções objevo. Mnmzação das volações nas magnudes de ensão h = Mn ΔV N (3) 3 N Em que: mn mn V V, V < V Δ V = V V, V > V 0, caso conráro E. Mnmzação das volações nos fluxos de poênca nas lnhas de ransmssão h4 = Mn ΔSj, j N (4), j N Em que: Sj Sj, Sj > Sj Δ Sj = 0, caso conráro Nese modelo de FO modfcado as resrções são as equações de fluxo de carga () e (3). V. OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO Um problema de omzação mulobjevo é caracerzado pela omzação smulânea de váras funções objevo com dferenes soluções ómas [8]. Geralmene, as funções objevo de um problema de omzação mulobjevo são nãocomensuráves e conflanes enre s e por esa razão não exse uma únca solução que seja óma smulaneamene para odos os objevos e sm um conjuno de soluções compromsso denomnado conjuno efcene ou areo-ómo.

4 AMORIM e al.: MULTI OBJECTIVE EVOLUTIONARY 39 ara um problema de omzação mulobjevo com N obj funções objevo ( f ), para serem mnmzadas smulaneamene, a solução x domna a solução x se as condções abaxo são sasfeas:,,, N : f x < f x (5). { } ( ) ( ) obj obj l l (6) Se qualquer uma das condções acma é volada, a solução x não domna a solução x. Se solução x domna solução x, enão x é desgnada solução não-domnada. As soluções que são não-domnadas sobre odo o espaço de busca são chamadas soluções areo-ómas e consuem o conjuno areo-ómo ou a fronera de areo-óma.. l {,,, N } : f ( x ) f ( x ) VI. TÉCNICA E SOLUÇÃO ROOSTA ara solução do FO raado como um problema de omzação mulobjevo propõe-se um AEMO baseado em um procedmeno de ordenação dos ponos canddaos a serem ponos efcenes da população [7]. A dferença desa mplemenação em relação a um algormo genéco smples esá no modo com que o operador de seleção é realzado. Tano o operador de recombnação quano o operador de muação são os usuas dos algormos genécos. Anes do procedmeno de seleção ser aplcado, a população é ordenada com base no nível de não-domnânca dos ndvíduos, so é, odas as soluções não-domnadas da população correne recebem valores alos de apdão. Esa apdão é a mesma para odos os ndvíduos não-domnados, garanndo assm que odos possuam um mesmo poencal reproduvo. ara maner a dversdade da população as soluções nãodomnadas comparlham os seus valores de apdão segundo suas dsâncas Eucldanas [8]. Fnalmene, dvde-se o valor da apdão de cada ndvíduo pelo conador de nchos que é proporconal ao número de vznhos ao seu redor. Ese procedmeno proporcona a coexsênca de ponos ómos múlplos na população. O por valor de apdão comparlhada na solução da prmera fronera não-domnada é enão armazenado para uso poseror. epos que o comparlhameno é execuado e que as apdões são modfcadas os ndvíduos não-domnados são gnorados emporaramene para processar os demas membros da população. O procedmeno para deermnar novas soluções não-domnadas (segundo nível) é novamene execuado, sendo que agora eles recebem um valor de apdão um pouco menor que o por valor de apdão comparlhada no nível aneror. Uma vez mas o procedmeno de comparlhameno é execuado enre as soluções não-domnadas do segundo nível e as novas apdões são calculadas como anes. Ese processo é connuado aé que odos os membros da população enham um valor de apdão comparlhado. ara gerar um conjuno sufcenemene dversfcado de soluções não-domnadas e ober um bom desempenho, na solução do FO, o algormo proposo combna algumas esraégas, as como: - Codfcação das varáves de conrole em base real; - Elsmo; - esacoplameno mplíco das varáves do problema; - Seleção e recombnação smulaneamene; - Redução do conjuno de areo aravés de cluserng; - reservação da dversdade. Adconalmene, um mecansmo de decsão, baseado na eora dos conjunos fuzzy é explorado para exrar a melhor solução compromsso. A. Codfcação e população ncal Os ndvíduos (cromossomos) que compõem a população são formados por 04 subconjunos de varáves, represenadas pelas varáves de conrole do problema em quesão (ver Fg. ). ( u C ) ( u ) V S g g V H Fgura : Esruura do cromossomo da população. A poênca ava gerada ( g ) e as magnudes de ensões ( V ) são raadas como varáves de conrole conínuas ( u C ) e geradas de forma pseudoaleaóra para aender a regão de facbldade desas varáves. Os ransformadores com conrole auomáco de aps ( ) e os bancos de capacores e reaores shuns ( S H ) são represenados por valores dscreos ( u ) como segue: Seja n número aleaóro nero no nervalo [ 0,, K ] e mn u u K = n, enão os valores dscreos são dados Δu por: mn u = u ( ) + n Δu N (7) Tano as varáves conínuas, quano as varáves dscreas são codfcadas em base real sasfazendo suas respecvas regões de facbldade. As vanagens dese ssema de codfcação são armazenar uma maor quandade de nformações que a codfcação bnára para um cromossomo com a mesma dmensão e rabalhar com a represenação real das varáves do problema. A parr das varáves de conrole conínuas e dscreas esabelecdas para cada ndvíduo calculam-se as resrções de fluxo de carga () e (3). Esas resrções são resolvdas aravés do Méodo de Newon [9] e poserormene calculam-se as funções objevo (0)-(4). B. Esraéga elsa O elsmo fo mplemenado para aumenar desempenho do algormo e prevenr a perda das soluções de boa qualdade SH

5 40 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 8, NO. 3, JUNE 00 enconradas ao longo da busca. A écnca elsa desenvolvda é baseada em uma população secundára que coném odas as soluções não-domnadas durane as gerações. Na sua forma mas smples, em cada geração, armazenam-se as soluções não domnadas em um subconjuno elsa (E), para que sejam ulzadas no processo de recombnação com o objevo de aumenar a pressão de seleção e ao mesmo empo acelerar a convergênca do algormo. À medda que o amanho do subconjuno E aumena o empo compuaconal necessáro para esa operação pode ser sgnfcavo. esa forma, em odas as gerações, uma solução não-domnada enconrada na geração correne só é armazenada se ela for dferene das soluções condas no subconjuno E. Após a nserção de uma solução no subconjuno E realza-se uma avalação dos ndvíduos aravés do ese de domnânca (eq. 5 e 6) e as soluções que se ornarem domnadas são elmnadas. C. esacoplameno mplíco das varáves de conrole As volações das resrções de desgualdades são raadas como funções objevo do problema e, ao aualzar um deermnado conjuno de varáves de conrole aravés de recombnação ou muação, um objevo é melhorado em dermeno de ouros. esa forma, após sorear os ndvíduos para execuar a recombnação ou muação, deve-se verfcar qual dos objevos esá sendo conemplado e efeuar a recombnação ou muação consderando apenas o(s) subconjuno(s) de varáves de conrole que nerferem dreamene nese objevo.. Operadores genécos ) Seleção e recombnação O procedmeno de seleção adoado é o de orneo, na qual algumas soluções são aleaoramene escolhdas da população e, com base em algum créro, a solução vencedora é enão seleconada. O procedmeno de orneo é efeuado dreamene sobre as ordens (froneras) recebdas pelos ndvíduos, dese modo, os ndvíduos são seleconados não só pelas suas apdões, mas sm pelas suas apdões denro do conexo mulobjevo de domnânca. Além dsso, ese procedmeno é realzado em conjuno com o operador de recombnação de um únco pono. Seja { N pop} o número máxmo de ndvíduos da população e { M } um conjuno que coném as soluções { M / M Npop e M E} a serem ulzadas nos processos de seleção e recombnação, como segue:. Seleconar por orneo um ndvíduo pa,, do subconjuno M;. Seleconar aleaoramene o segundo pa,, do subconjuno elsa E;. Seleconar aleaoramene um dos objevos do problema e ncar o processo de recombnação; v. Gerar um número aleaóro [ 0,] r. Se r < r ( r é a probabldade de recombnação), enão ober aleaoramene o pono de recombnação. Caso conráro, volar ao passo ; v. Se o objevo escolhdo no passo se referr ao cuso da geração, enão a recombnação de um únco pono será realzada consderando odos os subconjunos de varáves de conrole (Fg. ). Caso conráro, o desacoplameno mplíco das varáves do problema será realzado; v. Reper os passos de à v aé que a nova população possua o número de ndvíduos predefndo. ) Muação A muação é um operador de grande mporânca para a solução de problema do mundo real, pos nroduz, aleaoramene, novas nformações na população, prevenndo a convergênca premaura do algormo. A seqüênca dese procedmeno é descra abaxo:. Gerar um número aleaóro [ 0,] m ;. Se m < m (m é a probabldade de muação), enão seleconar aleaoramene um dos objevos do problema, para realzar a muação. Caso conráro, volar ao passo ;. Se o objevo escolhdo no passo for dferene do cuso da geração, enão deve-se realzar o desacoplameno mplíco das varáves do problema. Caso conráro, a muação será efeuada em odos os subconjunos das varáves de conrole (Fg. ); v. Seleconar o pono de muação para a varável que sofrerá muação; v. Trocar o valor aual da varável seleconada por um valor gerado, aleaoramene, no domíno desa varável; v. Reper os passos à v aé que a nova população enha o número de ndvíduos predefndo. E. Redução do Conjuno de areo Em alguns problemas o conjuno areo-ómo pode ser exremamene grande. Neses casos, a redução do conjuno de soluções não-domnadas sem a degradação das caraceríscas da fronera areo-ómo é ndspensável. ara a redução do número de soluções condas no conjuno areo ómo ulzou-se a écnca denomnada cluserng [0]. Esa écnca parcona o conjuno de soluções domnanes em n grupos (clusers) de acordo com a proxmdade das soluções. ara cada cluser, selecona-se uma solução represenava (cenróde) e as soluções resanes são descaradas. A dsânca enre quasquer dos elemenos do conjuno de soluções nãodomnadas é enconrada aravés da dsânca eucldana [8]. F. reservação da versdade Geralmene para preservar a dversdade da população em algormos evoluvos mulobjevos ulza-se a écnca de nchng [9]. A écnca de nchng consse na dvsão da população em espéces para reduzr a compeção por recursos

6 AMORIM e al.: MULTI OBJECTIVE EVOLUTIONARY 4 e crar subpopulações esáves, cada uma delas concenrada em um ncho do espaço de busca. O esquema de nchng ulza um mecansmo de sharng que rabalha alerando a função de avalação de cada elemeno da população de acordo com o número de ndvíduos semelhanes a ele na população []. orém, ao conráro do esperado, seus resulados não melhoraram sgnfcavamene a dversdade das soluções não-domnadas enconradas. essa forma, para preservar a dversdade na população, além do mecansmo de sharng ulzaram-se as axas de recombnação ( r ) e muação ( m ) aualzadas de forma adapava, como segue: ( ) mn ( ) (8) mn r = r g r r n (9) mm m = m + g m m n G. Melhor solução compromsso ara deermnar uma solução parcular, após a convergênca do algormo aplca-se um mecansmo de decsão, baseado na eora dos conjunos fuzzy. Os conjunos fuzzy são defndos aravés de equações denomnadas funções de pernênca ( μ ). Esas funções represenam o grau de pernênca no conjuno fuzzy usando valores 0 e. Os valores das funções de pernênca ndcam o grau de sasfação das funções objevos do problema. A equação abaxo expressa a função de pernênca que é defnda como em []. mn f ( x) f ( x) μ = 0 f( x) f ( x) (0) f ( x) f( x) mn f mn ( x) f ( x) f ( x ) f ( x) f ( x) =, N Seja N dom o número de soluções não-domnadas da prmera fronera de areo, enão, para cada solução nãodomnada ( Ndom ) a função de pernênca é normalzada como: μ = Nobj μ = Ndom Nobj μ = = obj () A melhor solução compromsso é dada por γ = μ, =,,, N dom. { } VII. RESULTAOS E ISCUSSÕES ara nvesgar a efcênca do AEMO na solução do problema de FO apresenam-se os resulados obdos com os ssemas ese IEEE-30, RTS-96 e IEEE-354. A efcênca e robusez do AEMO são avaladas ulzando-se rês dferenes eses: Tese ) espacho econômco; Tese ) espacho econômco e mnmzação das perdas nas lnhas de ransmssão; Tese 3) Mnmzação do cuso de operação, das perdas nas lnhas de ransmssão e emssão de gases poluenes. As smulações realzadas êm como objevo esar o desempenho e a robusez da meodologa em relação aos segunes aspecos: Mnmzar o cuso de geração; Aender os lmes físcos dos componenes e os aspecos de segurança relaconados à operação do ssema; Efcênca na solução de problemas mulobjevos; Esabelecer uma análse comparava enre o AEMO proposo e uma écnca de omzação clássca. Nas smulações com os rês ssemas ese adoaram-se os segunes lmes e parâmeros: Lmes mínmos e máxmos das axas recombnação e mn mn muação são r = 0,00, r = 0,9, m = 0,0 e 0,5 m =, respecvamene; Lmes mínmo e máxmo para os ransformadores com conrole auomáco de aps são 0,9 pu e, pu, respecvamene; Lmes mínmo e máxmo para os bancos de capacores/reaores shun são 0 e valor enconrado no banco de dados (caso base), respecvamene; Tamanho do passo para a dscrezação dos ransformadores aps é Δ u = 0,0 pu ; Tamanho do passo para a dscrezação dos bancos de capacores/reaores shun são Δ u = 0,0 pu (ssema IEEE-30) e Δ u = 0,5 pu (ssemas RTS-96 e IEEE- 354). Incalmene, as funções objevo consderadas são omzadas ndvdualmene para ober os ponos exremos da curva de areo. ara as funções objevo referenes às resrções de desgualdade os valores mínmos são consderados guas a zero e os valores máxmos são guas a soma das nfacbldades obdas nas smulações do fluxo de carga convenconal (méodo de Newon). A análse comparava é realzada consderando-se o ssema ese IEEE-30 e ulzando-se o sofware MATOWER []. Ese sofware resolve o problema de despacho econômco aravés de écnca de programação lnear sucessva. A. Ssema IEEE-30 barras Ese ssema possu 06 geradores, 04 ransformadores e 0 capacores shuns. O lme mínmo da magnude ensão é 0,95 pu e os lmes máxmos são,0 pu para as barras de geração (, 5, 8, e 3) e,05 pu para as demas barras. Na Tabela I apresenam-se os dados necessáros para a análse do despacho econômco.

7 4 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 8, NO. 3, JUNE 00 Geradores TABELA I AOS OS GERAORES. C( g) + C ( g) + C0 ($/h) g N 0 Barra C C C 0 (MW) mn g (MW) Os resulados referenes à melhor solução compromsso obdos com a aplcação do AEMO são apresenados nas Tabelas II, III e IV. Nesas abelas exbem-se os resulados numércos das smulações para os rês eses em análse. Nas Fguras 3 e 4 apresenam-se a fronera de areo-óma e a melhor solução compromsso obdas nas smulações com os Teses e 3, respecvamene. Na Tabela V apresenam-se os resulados de smulação obdos aravés do sofware MATOWER Fgura 3: Fronera de areo-óma e melhor solução compromsso Tese. TABELA II MELHOR SOLUÇÃO COMROMISSO IEEE-30. oênca ava gerada (MW) Geradores Tese Tese Tese 3 g 9, 7,9 3,34 g 4,84 6,36 6,8 g5 75,3 76,50 75,86 g8 50, 5,5 50,57 g 74,04 7,66 7,5 g3 3,75 3, 8,87 Cuso ($/h) 90835,3 9098, ,43 erdas (MW),69,67,68 Emssão (on/h) 0,05 0,05 0,04 Tempo Comp. (s) 3,7 3,63 3,4 TABELA III AJUSTES E TAS OS TRANSFORMAORES (pu) IEEE-30 Taps Lnha Tese Tese Tese 3 6-9,04,04 0, ,99,09,0 3 4-,0,07, ,98 0,93 0,98 TABELA IV AJUSTE OS BANCOS E CAACITORES/REATORES SHUNTS (pu) IEEE-30 Barra Tese Tese Tese 3 0 0,40 0,90 0,90 4 0,043 0,043 0,043 Fgura 4: Fronera de areo-óma e melhor solução compromsso Tese 3. TABELA V RESULTAOS OBTIOS COM O MATOWER IEEE-30 oênca ava gerada (MW) g : 30,87 g 5 : 79,9 g : 64,87 g : 6, g8 : 5,70 g3 : 3,36 Cuso: 90735,56 ($/h) erdas:,70 MW Tempo Compuaconal:,66 s B. Ssema RTS-96 O ssema RTS-96 consse de 03 áreas nerconecadas aravés de 05 lnhas de lgação. Ese ssema possu 73 barras, 0 lnhas de ransmssão, 33 geradores, 5 ransformadores com ajuse auomáco de aps e 03 capacores/reaores shuns. Os lmes mínmo e máxmo adoados para as magnudes de ensão são 0,95 pu e,05 pu. Na Tabela VI apresenam-se os resulados numércos obdos com os Teses e. A fronera de areo-óma e a melhor solução compromsso obda com o Tese é apresenada na Fg. 5.

8 AMORIM e al.: MULTI OBJECTIVE EVOLUTIONARY 43 TABELA VI MELHOR SOLUÇÃO COMROMISSO. Áreas Cuso de Geração ($/h) Tese Tese área 3750, ,9 área 4338, ,47 área , ,47 Cuso Toal($/h) 496,65 654,86 erdas (MW) 38,35 0,03 Tempo Compuaconal mn e 48 s mn e 57 s Fgura 6: Fronera de areo-óma e melhor solução compromsso Tese. Fgura 5: Fronera de areo-óma e melhor solução compromsso Tese. C. Ssema IEEE-354 O ssema IEEE-354 é baseado no ssema ese IEEE-8 [3] e consse de 03 áreas nerconecadas por 06 lnhas de lgação. Ese ssema possu 354 barras, 64 geradores, 558 lnhas de ransmssão, 4 capacores/reaores shuns e 7 ransformadores com conrole auomáco de aps. Os lmes mínmos e máxmos adoados para as magnudes de ensão são 0,96 pu e,04 pu, respecvamene. Na Tabela VII são mosrados os resulados obdos para os Teses e. Na Fg. 6 pode-se observar a fronera de areoóma, consderando se a redução nos cusos das perdas nas lnhas de ransmssão, o cuso oal da geração de poênca ava e a mnmzação das nfacbldades ocorrdas na geração de poênca reava. TABELA VII MELHOR SOLUÇÃO COMROMISSO IEEE-354. Cuso da geração ($/h) Áreas Tese Tese Área Área Área ,4 8448,8 98, , ,57 368,53 Cuso Toal erdas (MW) Tempo Comp. 3970,79 70,33 3h e 9 mn 40345,53 59,38 3h e 37 mn. Análse dos resulados O AEMO mplemenado convergu para soluções de boa qualdade, ou seja, aleraram-se os conroles de poênca reava dsponíves, melhorando o perfl de ensão. Ressala-se que as magnudes de ensões permaneceram denro dos lmes esabelecdos em odos os casos analsado. As resrções referenes aos fluxos de poênca nas lnhas de ransmssão e à capacdade de geração de poênca ava foram devdamene aenddas em odas as smulações realzadas. A resrção de desgualdade referene à geração de poênca reava fo devdamene aendda. Ese fao pode ser verfcado observando-se as fguras 3, 4,5 e 6. Na Tabela VIII apresenam-se os resulados obdos aravés das smulações com o fluxo de carga convenconal (FCC) para os ssemas ese RTS-96 e IEEE-8. Observando-se as nfacbldades na geração de poênca reava conclu-se que o ssema ese IEEE-354 em excesso de reavo. Conseqüenemene, devdo a esa caracerísca, nas smulações com ese ssema ese, para aender a resrção referene à geração de poênca reava foram necessáros 600 gerações e 900 ndvíduos, acarreando em um elevado empo compuaconal. Salena-se que não fo realzado o Tese 3 para os ssemas ese RTS-96 e IEEE-354 devdo à fala de dados referenes aos coefcenes de emssão de gases dos geradores. Comparando-se os resulados apresenados nas Tabelas II e V observa-se que os resulados obdos com o AEMO são melhores e mas realsas. No enano, a lmação do AEMO é o empo esforço compuaconal exgdo por eses algormos, o que anda dfcula a aplcação dos mesmos para o planejameno de curo prazo e conrole em empo real. Cuso Toal ($/h) erdas (MW) Infac. na geração de poênca reava (MVar) TABELA VIII Resulados do fluxo de carga convenconal. RTS-96 IEEE ,40 7,45 6, ,0 409,76 09,80

9 44 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 8, NO. 3, JUNE 00 VIII. CONCLUSÕES Nese rabalho o problema de despacho econômco fo abordado como um problema de omzação mulobjevo e resolvdo aravés de um algormo evoluvo baseado na eora de areo. Os resulados demonsram que a meodologa proposa é efcene para resolver problemas de omzação mulobjevos e mono-objevo que envolve um grande número de varáves dscreas e váras resrções. As soluções não-domnadas na fronera de areo são bem dsrbuídas e apresenam dversdade sasfaóra. Além dsso, a meodologa não mpõe nenhuma lmação quano ao número de funções objevo, sendo assm, o aumeno do número de funções objevo, as como, emssão de gases poluenes e segurança podem ser consderadas de forma smples e efcene na meodologa proposa. REFERÊNCIAS [] H. W ommel e W. F. Tnney, Opmal power flow soluons; IEEE Trans. on ower Apparaus and Sysems, no. 87, pp , Oc [] J. B. So e E. Hobson, ower sysem secury conrol calculaon usng lnear programmng; IEEE Trans. ower Aparra. 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Tem neresse e desenvolve pesqusas nas áreas de lanejameno e Conrole de Ssemas de Energa Elérca, auando prncpalmene nos segunes emas: esenvolvmeno de modelos maemácos e aplcação de écncas de omzação clássca e meaheuríscas em problemas de planejameno e operação de ssemas elércos de poênca. Selma H. M. Hashmoo possu graduação em Maemáca pela UFMS, campus de Três Lagoas (997) mesrado e douorado em Engenhara Elérca pela Unversdade Esadual aulsa Júlo de Mesqua Flho (UNES) - Campus de Ilha Solera (999 e 005). Aualmene é professora pesqusadora do CNq na UFMS Unversdade Federal de Mao Grosso do Sul (deparameno de engenhara elérca Campo Grande/MS). Flávo Gulherme de Melo Lma possu graduação em Engenhara Elérca pela Unversdade Federal do Ceará (990), mesrado e douorado em Engenhara Elérca pela Unversdade Esadual de Campnas (993 e 000). Aualmene é professor do eparameno de Engenhara Elérca da Unversdade Federal de Mao Grosso do Sul (UFMS). Tem neresse e desenvolve pesqusas nas áreas de planejameno e operação de ssemas elércos. José Robero Sanches Manovan possu graduação em Engenhara Elérca pela Unversdade Esadual aulsa Júlo de Mesqua Flho (UNES) - Campus de Ilha Solera (98), mesrado e douorado em Engenhara Elérca pela Faculdade de Engenhara Elérca e de Compuação da Unversdade Esadual de Campnas (987 e 995). Aualmene é professor adjuno do eparameno de Engenhara Elérca da FEIS-UNES. Tem neresse e desenvolve pesqusas nas áreas de lanejameno e Conrole de Ssemas de Energa Elérca, auando prncpalmene nos segunes emas: esenvolvmeno de modelos maemácos e aplcação de écncas de omzação clássca e meaheuríscas em problemas de planejameno e conrole de ssemas de geração, ransmssão e dsrbução de energa elérca, confabldade e qualdade do fornecmeno de energa de ssemas de dsrbução de energa elérca.